25الفيزياء النووية

حل التمرين 25.1.

(أ) $^{12}$C: $6, 6, 12$؛ و $^{14}$C: $6, 8, 14$؛ و $^{235}$U: $92, 143, 235$؛ و $^{238}$U: $92, 146, 238$. (ب) الكربونان؛ و اليورانيومان. (ج) والكيمياء سحابة الإلكترونات، يثبّتها $Z$؛ و الاستقرار توازن $N$–$Z$ في الداخل. (د) متساويات الكتلة — يصلها تفكك $\beta^-$: $^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N} + \text{e}^- + \bar\nu$، أي دقّة ساعة الكربون المشعّ.

حل التمرين 25.2.

(أ) $\rho = Am_{\text{u}}/\tfrac43\pi r_0^3A = 3m_{\text{u}}/4\pi r_0^3 \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: فيتلاشى $A$. (ب) $5\,\mathrm{mL} \to 1.2 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ — أي مليار طنّ في ملعقة صغيرة. (ج) $(R/R_{\text{ذرة}})^3 \approx (4.7\times10^{-5})^3 \approx 10^{-13}$: فالذرة فضاء خالٍ فيه ذرّة ثقيلة. (د) والحجم $\propto A$ يعني أن كل نوويّ يطالب بحيّز ثابت ولا يرتبط إلا بجيرانه الملامسة: فالقوة تتشبّع عند مدى $\mathrm{fm}$.

حل التمرين 25.3.

(أ) $\Delta m = 2(1.007276 + 1.008665) - 4.001506 = 0.030\,376\,\mathrm{u}$: ومنه $B = 28.3\,\mathrm{MeV}$. (ب) $B/A = 7.07\,\mathrm{MeV}$. (ج) $28.3\,\text{MeV}/13.6\,\text{eV} \approx 2\times10^6$: أي ست رتب قدر — ولذلك يتفوق الوقود النووي على الكيميائي بمليون. (د) وجسيم $\alpha$ رزمة مجمَّعة سلفًا ورخيصة استثنائيًّا: فإصداره يصدّر أربعة نوويّات بحسم مغرٍ مقداره $28.3\,\mathrm{MeV}$، لا يضاهيه نوويّ مفرد.

حل التمرين 25.4.

(أ) $N = N_{\text{A}}/226 = 2.66 \times 10^{21}\,$. (ب) $\lambda = \ln2/(1600\times3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ج) $\mathcal A = \lambda N = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$: أي كوري واحد، بالبناء — وهو غرام آل كوري نفسه. (د) وبعد ثلاثة أعمار نصف: $0.125\,\mathrm{g}$ من الراديوم (والباقي رادون و بناته الآن، سائرةً نحو الرصاص).

حل التمرين 25.5.

(أ) الحجم $+882$؛ والسطح $-261$؛ وكولوم $-0.711\times676/3.83 = -126$؛ واللاتناظر $-23.7\times16/56 = -6.8$ (بوحدة $\mathrm{MeV}$). (ب) ومع الازدواج $+12/\sqrt{56} = +1.6$: يكون $B \approx 490\,\mathrm{MeV}$، و $B/A = 8.76$ في مقابل القيمة المقيسة $8.79$ — أي ثلاثة بالألف من قطرة سائلة. (ج) والحجم في مقابل السطح$+$كولوم: فتقاطع معدّلات نموّها هو الذي ينحت الأعظمية عند الحديد. (د) وكولوم بعيد المدى: فكل بروتون ينفر كل بروتون آخر، $\propto Z^2$، بينما لا تدفع القوة القوية المتشبّعة أبدًا إلا $\propto A$ — ومنه هزيمة الأوزان الثقيلة في النهاية.

حل التمرين 25.6.

(أ) اشتقاق $\partial/\partial Z$ لحدَّي كولوم واللاتناظر يعطي $2a_{\text{C}}Z/A^{1/3} = 4a_{\text{A}}(A - 2Z)/A$؛ فحلّ. (ب) $Z^* = 50.5/1.163 = 43.4$: واختيار الطبيعة عند $A = 101$ هو الروثينيوم، $Z = 44$. (ج) ومن دون كولوم، $Z^* = A/2$: أي سلّما فيرمي (الفصل 19)، وأرخص ما يكونان مملوءين إلى ارتفاع واحد. (د) ومقعد الشظية في الوادي هو $Z^* \approx 41$: أي بنقص خمسة بروتونات — فيتسلق شلال من خمسة تفككات $\beta^-$ عائدًا، ويحوّل كلٌّ منها نيوترونًا ويصدر إلكترونًا و نقيض نيوترينو.

حل التمرين 25.7.

(أ) $t = T_{1/2}\ln(1/0.3)/\ln2 = 5730\times1.74 \approx 10^{4}\,$ سنة: أي نار من نهاية العصر الجليدي. (ب) $N_{^{14}\text{C}} = (N_{\text{A}}/12)\times10^{-12} = 5.0 \times 10^{10}\,$؛ و $\lambda = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$: ومنه $\mathcal A \approx 0.2\,\mathrm{Bq}$ — أي عشرات التفككات في الدقيقة لكل غرام، وهي سرعة العدّ العملية في كل مخبر تأريخ. (ج) وبعد تسعة أعمار نصف تهبط الفعالية تحت الخلفية: فالساعة لا تزال تجري لكن لا يمكن قراءتها. (د) والصخور لم تتنفس كربون الجوّ قط؛ فساعاتها هي البدئية — اليورانيوم–الرصاص، و البوتاسيوم–الأرغون — بأعمار نصف من مليارات السنين.

حل التمرين 25.8.

(أ) قيمة $8.78\,\mathrm{MeV}$ لجسيم $\alpha$ دون حافة $26\,\mathrm{MeV}$ بكثير: فكلاسيكيًّا لا يستطيع المغادرة ولا كان ليدخل — ومع ذلك عمر النصف $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$. (ب) $\lambda_1 = \ln2/3 \times 10^{-7}\,\mathrm{s} = 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ و $\lambda_2 = \ln2/1.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 4.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$: فالنسبة $\approx 5\times10^{23}$. (ج) وسرعة النفق هي $\eu^{-2G}$ مع أُسّ غاموف $\propto Z/\sqrt E$: فتنصيف $E$ يرفع $2G$ بنحو خمس وخمسين وحدة، و $\eu^{55} \approx 10^{24}$ — أي خط غايغر–نتال المستقيم الشنيع، من أُسّي واحد. (د) وبروتونات الشمس تنفق هي أيضًا: فيجب أن تكون درجة حرارة اللبّ عالية بما يكفي بالضبط ليسند جداءُ ذيل ماكسويل في عامل غاموف الاحتراقَ — أي الجرف نفسه، مُتسلَّقًا من الجهة الأخرى.

حل التمرين 25.9.

(أ) الشقّ ينقل ${\sim}235$ نوويًّا من $7.6\,$ إلى ${\sim}8.5\,\mathrm{MeV}$ من الارتباط: ومنه $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$. (ب) $N = 2.56 \times 10^{24}\,$ نواة: ومنه $E = 8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} \approx 2000$ طنّ نفط — لكل كيلوغرام. (ج) و$3\,\mathrm{GW}$ حرارية لمدة سنة هي $9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$: أي نحو $1.2\,\mathrm{t}$ من $^{235}$U. (د) والشظيتان الموجبتان تنطلقان متباعدتين تحت تنافر كولوم بينهما، حاملتين ${\sim}170\,\mathrm{MeV}$ طاقةً حركية تصير حرارةً في حدود ميكرومترات — فالمفاعل غلّاية لهبها ارتداد كهرساكن.

حل التمرين 25.10.

(أ) $10^4$ جيل: $(1.001)^{10^4} = \eu^{10} \approx 22000$ — أي من الميغاواطات إلى عشرات الغيغاواطات في ثانية واحدة؛ ولا محرك يحرّك قضيبًا بتلك السرعة. (ب) ومع $k - 1 < \beta$ لا تستطيع السلسلة أن تتكاثر على النيوترونات الفورية وحدها: فكل خطوة نموّ تنتظر المتخلّفين عند ${\sim}10\,\mathrm{s}$، فيصير زمن الجيل الفعّال جزءًا من الثانية أو أكثر. (ج) $(1.0005)^{10} \approx 1.005$: أي نصف بالمئة في الثانية — وهي أرض القضبان والمشغّلين. (د) ودفع $k - 1$ وراء $\beta$ وضع المفاعل على ساعة $10^{-4}\,\mathrm{s}$ الفورية: ففقدوا مهلة النيوترونات المتأخرة التي تجعل المفاعلات قابلة للتوجيه.

حل التمرين 25.11.

(أ) $\dot m = L_\odot/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ من الكتلة الصرفة؛ و دفق الهدروجين $\dot m/0.0071 \approx 6 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ — أي ستمئة مليون طنّ في الثانية. (ب) والهدروجين القابل للاحتراق ${\sim}2\times10^{30}\times0.1\times0.75 = 1.5 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}$: ومنه $t \approx 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 8$ مليارات سنة — فالشمس في منتصف العمر. (ج) والحاجز ${\sim}1.4\,\mathrm{MeV}$ في مقابل $k_{\text{B}}T \approx 1.3\,\mathrm{keV}$: أي عجز بألف ضعف — فلا يندمج إلا أسرع بروتونات ذيل ماكسويل، بالنفق (التمرين 25.8)؛ ولذلك تحترق الشمس مليارات السنين بدل أن تنفجر. (د) والرماد $^4$He — مستقر، وفي رضا سحري مضاعف؛ ولا شظايا غنية بالنيوترونات تتفكك تفكك $\beta$ قرونًا.

حل التمرين 25.12.

(أ) $\lambda = \ln2/21\,600\,\mathrm{s} = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: ومنه $N = \mathcal A/\lambda = 1.6 \times 10^{13}\,$ نواة — أي $2.6\,\mathrm{ng}$. فالطبّ بالنانوغرام. (ب) وستّ ساعات تعمّر أطول من الفحص لا أطول من عطلة الأسبوع: فتطفئ الجرعة نفسها؛ و $\gamma$ النقيّ عند $140\,\mathrm{keV}$ يغادر الجسم إلى آلة التصوير من دون ضريبة $\alpha$/$\beta$ الحارقة للنسيج. (ج) والإلكترون والبوزترون الساكنان يفنيان إلى فوتونين بمقدار $511\,\mathrm{keV}$، متعاكسين (بحفظ الطاقة وكمية الحركة، الفصل 5): فيعرّف كل زوج متزامن خطًّا عبر الورم، وآلاف الخطوط تثلّثه — أي تصوير مقطعي بقانون حفظ. (د) و $2\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ تدفئ النسيج نصف ميليكلفن — أي حراريًّا رشفة ماء فاتر؛ لكنها موصَلة ${\sim}10^{17}$ تأيّنًا في الكيلوغرام، يقصّ كلٌّ منها روابط كيميائية بمقياس $\mathrm{eV}$، فتكون فتّاكة كيميائيًّا لخلية منقسمة. فالجولات تقيس الحرارة؛ و الغرايات تقيس التخريب.