23الأجسام الصلبة البلورية

حل التمرين 23.1.

(أ) المكعبي البسيط: $8\times\tfrac18 = 1$؛ و BCC: $8\times\tfrac18 + 1 = 2$؛ و FCC: $8\times\tfrac18 + 6\times\tfrac12 = 4$. (ب) والقطر $a\sqrt3 = 4r$: ومنه $r = a\sqrt3/4$. (ج) وقطر الوجه $a\sqrt2 = 4r$: ومنه $r = a\sqrt2/4$. (د) $0.68$ و $0.74$: فالربط الفلزي الأعمى عن الاتجاه يريد أقصى رصّ، ومنه بنى FCC (أو السداسية المكافئة في الكثافة) في النحاس والألومنيوم والفضة والذهب.

حل التمرين 23.2.

(أ) $a/\sqrt2 = 2.55\,\text{Å}$. (ب) 12 — وهو عدد تناسق الرصّ المتقارب. (ج) $8960\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ (المثال 23.2). (د) $n = 4/a^3 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$، ومنه يحمل الميكرومتر المكعب $8.5\times10^{10}$ ذرة — ولذلك تكون معدنيّة الرقاقات إحصاءً لا نجارة.

حل التمرين 23.3.

(أ) $\sin\theta_1 = \lambda/2d = 0.273$: ومنه $\theta_1 = 15.8^\circ$. (ب) $n \le 2d/\lambda = 3.66$: أي ثلاث مراتب. (ج) و $\sin\theta \le 1$ يفرض $n\lambda \le 2d$؛ وطول الضوء المرئي $\lambda \sim 5000\,\text{Å}$ أطول بألف مرة — فلا تباعد مستويات بلوري يستطيع عرجه. (د) و $\sin\theta$ يهبط 1 %: ومنه $\theta_1 \to 15.7^\circ$. فمقياس الانعراج ميزان حرارة دقيق — وبهذه الإزاحة يُقاس التمدد الحراري على المقياس الذرّي.

حل التمرين 23.4.

(أ) $d_{100} = a > d_{110} = a/\sqrt2 > d_{111} = a/\sqrt3$. (ب) أكبر $d$ وأصغر زاوية: (100). (ج) العائلة الثمانية الوجوه (111) — ففي بنية الألماس تزدوج صفائحها طبقاتٍ مضاعفة قوية الربط بينها فجوات واسعة قليلة الروابط: أي مستوي الشقّ. (د) وكل حبيبة تعكس عند $\theta$ نفسها لكن بسمت عشوائي: فتتفتح الأشعة المنعكسة مخاريطَ نصف زاويتها $2\theta$، تقطع الكاشف حلقات.

حل التمرين 23.5.

(أ) يحتاج التداخل إلى فروق مسير من رتبة $\lambda$؛ و التباعدات أنغستروميات، فيجب أن يكون $\lambda$ كذلك. (ب) $E = hc/\lambda \approx 8\,\mathrm{keV}$. (ج) $p = h/\lambda$، ومنه $V = p^2/2m_{\text{e}}e \approx 60\,\mathrm{kV}$ (والنسبية تقتطع بضعة بالمئة) — أي جهد عمل المجهر الإلكتروني. (د) $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$: فنيوترونات حرارة الغرفة تولد جاهزة للانعراج. وهي تنتثر عن النوى لا عن سحب الإلكترونات — فترى الهدروجين بوضوح وتحمل عزمًا مغناطيسيًّا يرسم الترتيب المغناطيسي، وكلاهما شبه خفيّ على الأشعة السينية.

حل التمرين 23.6.

(أ) أربعة أزواج لكل خلية حجمها $a^3$. (ب) $N_{\text{A}} = 4M/\rho a^3 = 4\times0.05844/(2165\times1.794 \times 10^{-28}\,) \approx 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$. (ج) $N_{\text{A}} \propto a^{-3}$: فخطأ 0.1 % في $a$ هو 0.3 % في $N_{\text{A}}$. (د) والطريقة تعدّ الذرات بافتراض أن كل خلية ممتلئة و متطابقة: فالفراغات والشوائب وحدود الفسيفساء كلها تخطئ العدّ — ومن هنا كرات السيليكون التامّة بتعصّب في إعادة تعريف الكيلوغرام.

حل التمرين 23.7.

(أ) يرى كل أيون $2\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}/n = 2\ln2$ بوحدات $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0$ (والعامل 2: من الجانبين)، جاذبةً. (ب) $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0 = 5.11\,\mathrm{eV}$؛ و $\times1.7476 = 8.93\,\mathrm{eV}$. (ج) والتصغير يقتل $1/9$ من الجذب: $U = 8.93\times\tfrac89 = 7.94\,\mathrm{eV}$. (د) وهي في حدود واحد بالمئة من $7.9\,\mathrm{eV}$: فشبكة شحنات نقطية زائدَ أُسّ صلابة واحد يشرحان ميزانية جسم أيوني صلب كلها — والميكانيك الكمومي يختبئ داخل $r_0$ وداخل الأُسّ.

حل التمرين 23.8.

(أ) $r_0 = 2^{1/6}\times3.40 = 3.82\,\text{Å}$، أي 1.5 % فوق القيمة المقيسة $3.76\,\text{Å}$ (فكل ذرة تحسّ أيضًا بجيرانها الاثني عشر، فيضيق البئر). (ب) $T_{\text{m}} \sim \epsilon/2k_{\text{B}} \approx 60\,\mathrm{K}$: أي المقياس الصحيح للقيمة $84\,\mathrm{K}$. (ج) وطاقة الهليوم عند النقطة الصفرية $\hbar\omega/2$ في بئر بهذا الضحالة تنافس البئر نفسه: فتهزّ البلورة نفسها حتى التفكك، ويبقى الهليوم سائلًا عند $T = 0$ ما لم يُعصر. (د) وعمق $\sim0.01\,\mathrm{eV}$ في مقابل التساهمي $\sim3.6\,\mathrm{eV}$ لكل رابطة: فثلاثمئة ضعف في الطاقة هي كامل المسافة من الصقيع إلى الألماس.

حل التمرين 23.9.

(أ) عند $ka \ll 1$: $\omega \approx 2\sqrt{K/m}\,(ka/2) = a\sqrt{K/m}\,k$. (ب) ومدّ خلية بمقدار $\delta$: فالإجهاد $\sim K\delta/a^2$، والتشوّه $\delta/a$، ومنه $E \sim K/a$، أي $K \sim Ea$. (ج) $K \approx 31\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$، و $v = a\sqrt{K/m} \approx 4400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي القيمة المقيسة $4000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في حدود 10 %، من نابض خُمّن من معامل يونغ. (د) $v = a\sqrt{K/m}$: فالروابط الصلبة ترفع، والذرات الخفيفة ترفع — والألماس يعظّم الاثنين، ومنه صوت عند $18\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\Theta_{\text{D}} \approx 2200\,\mathrm{K}$.

حل التمرين 23.10.

(أ) $\dd\omega/\dd k \propto \cos(ka/2) = 0$ عند $k = \pi/a$. (ب) $u_n \propto (-1)^n$: أي كل ذرة في طور معاكس لجاريها معًا — وهي موجة موقوفة، تتخضخض فيها الطاقة في مكانها. (ج) ومع $\lambda = 2a$، تختلف الأمواج المنتثرة إلى الخلف عن الذرات المتعاقبة في المسير بطول موجي واحد بالضبط: أي شرط براغ على السلسلة نفسها. فتعكس الشبكة اهتزازها هي، وتتقفّل الأمواج الأمامية والخلفية في النمط الموقوف، ولا تستطيع الموجة السائرة المضيّ. (د) $\omega_{\text{max}} = 2\sqrt{K/m} \approx 3.4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، أي $\sim5\,\mathrm{THz}$: أي تحت الأحمر البعيد — فتلتقي اهتزازات الشبكة والضوء تحت الأحمر في الديوان نفسه، وهي الحقيقة وراء التمرين التالي.

حل التمرين 23.11.

(أ) في النمط الضوئي تتحرك الشبكتان الجزئيتان $+$ و $-$ في اتجاهين متعاكسين: أي ثنائي قطب كهربائي متذبذب، وهو بالضبط ما تمسك به موجة الضوء. (ب) $\omega \approx \sqrt{2K/\mu}$ مع $\mu = 2.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$: ومنه $\omega \approx 4.7 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، و $\lambda = 2\pi c/\omega \approx 40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — أي تحت الأحمر البعيد (وعصابة أشعة البقايا المقيسة للملح تقع عند $61\,\text{µ}\mathrm{m}$: أي الديوان الصحيح من نموذج بنابضين). (ج) وعند تلك العصابة يمتصّ رنين البلورة نفسها الموجةَ ويعيد عكسها: فيصير الملح الشفاف مرآةً معتمة. (د) وذرة واحدة لكل خلية تعني ألا شبكة جزئية ثانية تنبض ضدها: أي فرع واحد، بلا فجوة.

حل التمرين 23.12.

(أ) $N$ ذرة $\times$ 3 اتجاهات انزياح = $3N$ مذبذب، فيُقطع الطيف الخطي متى أحصى $3N$ نمطًا: وذلك يعرّف $k_{\text{D}}$. (ب) $k_{\text{D}} = (6\pi^2n)^{1/3} = 1.7 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$، و $\Theta_{\text{D}} = \hbar vk_{\text{D}}/k_{\text{B}} \approx 350\,\mathrm{K}$ — أي القيمة المسعّرية $343\,\mathrm{K}$، من سرعة صوت وكثافة. (ج) والخط المستقيم يفوته التسطّح عند حافة المنطقة: فيفرط ديباي في إحصاء التواترات العالية، ويجهد التوفيق عند درجات الحرارة الوسطى؛ أما قانون $T^3$ (بالأمواج الطويلة وحدها) فآمن. (د) وكلاهما يقول إن الطيف ينتهي حين يبلغ الطول الموجي التباعدَ الذرّي — أي نمط واحد لكل ذرة، مكسوًّا إما متجه موجة قطع وإما درجة حرارة قطع.