الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

20الفوتونات والفونونات

وُلدت النظرية الكمومية في موضوع هذا الفصل. ففي سنة 1900 أبى طيف الأجسام المتوهجة أن يطيع الفيزياء الكلاسيكية — بل أسوأ، إذ تنبأت الفيزياء الكلاسيكية بطاقة لانهائية عند الأطوال الموجية القصيرة، وهي “كارثة فوق البنفسجي” — وتبيّن أن دواء بلانك اليائس، أي طاقة في رزم مقدارها $h\nu$ ، هو مفتاح القرن الرئيسي. ومع الآلة المجمَّعة الآن — من إحصاء الأنماط في الفصل 7، وترموديناميك المذبذب في الفصل 17 — يأخذ قانون بلانك نصف صفحة: أي غاز من الفوتونات، بمذبذب واحد مشغول بوزونيًّا لكل نمط من أنماط الجوف. ونصف الصفحة نفسه، مع الصوت مكان الضوء، هو نظرية ديباي في الأجسام الصلبة والسعة الحرارية $T^3$ التي أخطأها نموذج أينشتاين. ويملأ كلَّ سنتيمتر مكعب من الكون تحفةُ الموضوع: خلفية الكون الميكروية عند 2.725 كلفن، وهي أكمل جسم أسود قيس قط — أي الإشعاع الحراري للكون الفتيّ نفسه، ولا يزال يصل.

20.1 قانون بلانك، مستنتَجًا

مبرهنة 20.1 (طيف الجسم الأسود)

الجوف عند درجة الحرارة $T$ يسند أنماطًا كهرمغناطيسية — أي أمواجًا موقوفة تُحصى تمامًا كما في القضية 7.5، مرتين من أجل الاستقطاب:

g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .

وكل نمط مذبذب كمومي يحمل، عند التوازن، $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ فوتونًا (التمرين 17.5؛ أو بالمكافئ، بوزونات عند $\mu = 0$ ). فتكون الطاقة لكل حجم ولكل تواتر

u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\, \frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :

وهو قانون بلانك (1900). ونتائجه، وكلها كما قيست: الذروة عند $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (وهو قانون فين للانزياح في كتاب السنة الثانية، مستنتَجًا الآن)؛ والتدفق الكلي من سطح أسود $\Phi = \sigma T^4$ مع

\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}

(ستيفان–بولتزمان، وثابته مبنيّ الآن من $h$ و $c$ و $k_{\text{B}}$ )؛ وكثافة الفوتونات $n_\gamma \approx 2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ في المتر المكعب.

برهان جزئي. اضرب إحصاء الأنماط في $h\nu\,\bar n$ . ويعطي تكامل الطاقة الكلي، مع $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ و $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (مقبولًا)، المقدارَ $u_{\text{كلي}} = aT^4$ ويعطي، مع عامل التدفق المعياري $c/4$ ، الثابتَ $\sigma$ المذكور. وأما قانون فين فهو تعظيم التمرين 20.1. وعند التواتر المنخفض ( $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ ) يحمل كل نمط $k_{\text{B}}T$ — أي رايلي–جينز، وهو صحيح للراديو، وكارثي إذا مُدّ إلى كل $\nu$ : فقطع بلانك هو سحب رخصة التوزّع المتساوي (المبرهنة 17.5) نمطًا نمطًا. ∎

أطياف بلانك عند ثلاث درجات حرارة (كلٌّ محجَّم إلى ارتفاع مقارن: فالمساحات الحقيقية تنمو وفق T4). ويتبع خط رايلي–جينز الكلاسيكي الجناح المنخفض التواتر ثم يحلّق نحو كارثة فوق البنفسجي؛ أما رسم بلانك h فيغلق الأنماط العالية التواتر ويثني المنحني نزولًا. — أطياف بلانك عند ثلاث درجات حرارة (كلٌّ محجَّم إلى ارتفاع مقارن: فالمساحات الحقيقية تنمو وفق $T^4$ ). ويتبع خط رايلي–جينز الكلاسيكي الجناح المنخفض التواتر ثم يحلّق نحو كارثة فوق البنفسجي؛ أما رسم بلانك $h\nu$ فيغلق الأنماط العالية التواتر ويثني المنحني نزولًا.

مثال 20.2 (ثلاثة موازين حرارة)

الشمس ( $T = 5800\,\mathrm{K}$ ): ذروتها عند $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — وقد تطورت أعيننا على أعظميتها. وجسم عند $310\,\mathrm{K}$ : ذروته قرب $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، ويشعّ $\sigma T^4 \approx 520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ من كل متر مربع من الجلد (ورحمةً بنا، تشعّ الغرفة راجعةً؛ التمرين 20.2). والكون ( $T = 2.725\,\mathrm{K}$ ): ذروته قرب $1.9\,\mathrm{mm}$ بالصورة التواترية ( $160\,\mathrm{GHz}$ )، و $411$ فوتونًا في السنتيمتر المكعب — أي خلفية الكون الميكروية، وهي المثال الكبير في هذا الفصل (المسألة 20.1).

قضية 20.3 (ترموديناميك الضوء)

لغاز الفوتونات كثافة طاقة $u = aT^4$ (مع $a = 4\sigma/c$ )، وضغط

P = \frac u3 ,

وكثافة إنتروبيا $\tfrac43 aT^3$ ، وعدد فوتونات $\propto T^3$ . والنتائج: أن علبة مملوءة إشعاعًا تتمدد تمددًا كظومًا تبرد وفق $T \propto 1/L$ — فقد بردت فوتونات الكون المتمدد من $3000$ كلفن إلى $2.725$ كلفن اليوم بعامل مطّ $\approx1100$ مع إبقائها على طيف بلانك تامّ؛ و في النجوم الضخمة يتيح النموّ $T^4$ لضغط الإشعاع أن ينافس ضغط الغاز، فيضع حدًّا أعلى لكتل النجوم (الفصل 27).

برهان جزئي. $P = u/3$ : فالغاز المتماثل المناحي من جسيمات بسرعة $c$ يعطي ثلث كثافة طاقته ضغطًا (وهو العامل $\langle \cos^2\theta\rangle = 1/3$ ، كما في النظرية الحركية في كتاب السنة الأولى). والإنتروبيا من $\dd U = T\dd S - P\dd V$ مطبَّقة على $U = aT^4V$ . وأما الكظوم: فثبات $S \propto T^3V$ يعطي $T \propto V^{-1/3}$ . ∎

20.2 الفونونات: إتمام ديباي

مبرهنة 20.4 (نموذج ديباي)

اهتزازات البلورة أمواج مرنة مكمَّمة تمامًا مثل الضوء: أي فونونات، بثلاثة استقطابات عند سرعة الصوت $c_{\text{s}}$ ، تُحصى مثل الفوتونات لكن بسقف كلي مقداره $3N$ نمط — وهو السقف الذي يعرّف درجة حرارة ديباي

k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}} (6\pi^2n)^{1/3} .

وتُقحم السعة الحرارية بين القانونين الكلاسيكيين:

C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}}) \qquad\text{(ديولونغ--بتي)} , \qquad C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}} \Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3 \;(T \ll \theta_{\text{D}}) :

أي قانون $T^3$ الذي طالبت به مسعّرية درجات الحرارة المنخفضة و عجز عنه تواتر أينشتاين الواحد (التمرين 17.6). والسبب هو نفسه سبب الضوء: فمهما بردت البلورة، توجد كمّات صوت طويلة الموجة رخيصة كيفما شئنا، ويعطي إحصاؤها الشبيه بالفوتونات قانونَ $T^3$ الشبيه بالفوتونات.

برهان جزئي. كرّر حساب الفوتونات مع $c \to c_{\text{s}}$ ، وثلاثة استقطابات، ومجموع أنماط $\int g\,\dd\nu = 3N$ يثبّت القطع. وعند $T \ll \theta_{\text{D}}$ يكون القطع غير مرئي و يعطي تكامل الطاقة $T^4$ المقدارَ $C \propto T^3$ ؛ وعند $T$ المرتفعة يحمل كل نمط من الأنماط $3N$ المقدارَ $k_{\text{B}}T$ . وأما تكامل الإقحام الكامل فمقبول. ∎

السعة الحرارية لبلورة: يبلغ النموذجان كلاهما ديولونغ–بتي، لكن عند درجة الحرارة المنخفضة يموت منحني أينشتاين ذو التواتر الواحد موتًا أُسّيًا بينما تسند فونونات ديباي الرخيصة الطويلة الموجة قانونَ T3 المقيس — فمنطقة T المنخفضة “فيزياء فوتونات” محضة بالصوت. — السعة الحرارية لبلورة: يبلغ النموذجان كلاهما ديولونغ–بتي، لكن عند درجة الحرارة المنخفضة يموت منحني أينشتاين ذو التواتر الواحد موتًا أُسّيًا بينما تسند فونونات ديباي الرخيصة الطويلة الموجة قانونَ $T^3$ المقيس — فمنطقة $T$ المنخفضة “فيزياء فوتونات” محضة بالصوت.

مثال 20.5 (الفونونات جسيمات حقيقية)

تنتثر الفونونات النيوترونات والأشعة السينية مع حفظ الطاقة و(كمية الحركة) البلورية — ومنحنيات التبدد المقيسة $\omega(\vect k)$ في الفصل 23 هي تحليلها الطيفي. وهي تحمل الحرارة: فناقلية العازل الحرارية هي ناقلية غاز فونونات $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ ، و الألماس — الصلب الخفيف النقيّ — ينقل خمسة أضعاف النحاس عند حرارة الغرفة بالفونونات وحدها (التمرين 20.12). وهي تخبو عند درجة الحرارة المنخفضة وفق $T^3$ ، ولذلك يتحدث مهندسو التبريد عن بلورات تصير “صامتة صوتيًّا”.

طريقة 20.6 (حرفة غاز الإشعاع)

(1) أحصِ الأنماط ( $\propto\nu^2$ لكل استقطاب في ثلاثة أبعاد)؛ واشغلها بالمقدار $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$ ؛ وكامل — وتوقّع طاقات $T^4$ وأعدادًا وسعات $T^3$ . (2) والذُّرى بفين؛ و المجاميع بستيفان؛ ولا يكون $k_{\text{B}}T$ الكلاسيكي لكل نمط إلا تحت $h\nu \sim k_{\text{B}}T$ . (3) ومن أجل الأجسام الصلبة، اسقف الأنماط عند $3N$ (أي عند $\theta_{\text{D}}$ )؛ وصورة أينشتاين من أجل أنماط الفرع الضوئي، وصورة ديباي من أجل الصوتي. (4) والإشعاع الكظوم: $T \propto V^{-1/3}$ . (5) وتحقق من ثابتَي الصنعة: $\lambda_{ \max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ و $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$ .

بيت من خلال آلة تصوير حرارية: كل سطح يشعّ طيف بلانك الخاص به، وتقرأ الآلة درجة الحرارة من الأشعة تحت الحمراء مباشرةً — أي ستيفان وبولتزمان وفين يدقّقون فاتورة التدفئة.

20.3 تمارين

تمرين 20.1 ★

(أ) من قانون بلانك بصورة الطول الموجي، بيّن أن الذروة تطيع $\lambda_{\max}T =$ ثابت (ويمكن الاستشهاد بالمعادلة المتساميّة: $x = 4.965$ ). (ب) احسب الأطوال الموجية الذروية من أجل الشمس، وفتيلة عند $2700\,\mathrm{K}$ ، وجسم عند $310\,\mathrm{K}$ ، وسماء عند $2.725\,\mathrm{K}$ . (ج) وأيّ الأربعة تعاينه العين البشرية جيدًا، وما نسبة خرج الفتيلة المرئية (قدّرها: صغيرة)؟ (د) ولماذا تكون “آلات التصوير تحت الحمراء” الأداة المناسبة للناس والمباني؟

حل

حل التمرين 20.1.

(أ) وضع $\dd u/\dd\lambda = 0$ يعطي $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$ ، أي $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$ : ومنه $\lambda_{\max}T = hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (ب) $0.50$ و $1.07$ و $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ و $1.06\,\mathrm{mm}$ . (ج) لا تعاين العين إلا ذروة الشمس؛ أما الفتيلة فذروتها في تحت الحمراء القريبة ولا تعطي إلا بضعة بالمئة من قدرتها ضوءًا — وهو القصور الذي أحالها إلى التقاعد. (د) الناس والمباني “يشعّون” عند عشرة ميكرومترات: فالمصوِّرات الحرارية آلات تصوير للذروة الثانية.

تمرين 20.2 ★

الميزانيات الإشعاعية. (أ) شخص ( $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ ، وجلده عند $306\,\mathrm{K}$ ) في غرفة عند $293\,\mathrm{K}$ : احسب القدرة المشعّة الصافية $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$ . (ب) قارنها بأيض الجسم البالغ $100\,\mathrm{W}$ : فلماذا نحتملها (بالملابس، و بالغرفة التي تشعّ راجعةً)؟ (ج) تمتصّ الأرض ضوء الشمس على $\pi R^2$ وتشعّ على $4\pi R^2$ : استنتج $T_{\text{فعّال}} = [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ مع $\Phi_\odot = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ وبياض $A = 0.30$ ، ثم احسبها. (د) والمتوسط السطحي المقيس $288\,\mathrm{K}$ : سمِّ آلية الفرق البالغ $33\,\mathrm{K}$ (المسألة 9.1).

حل

حل التمرين 20.2.

(أ) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$ . (ب) وتدفق الغرفة الراجع داخل الفرق أصلًا؛ والملابس تدسّ سطوحًا وسطى دافئة — فالإشعاع دفتر ذو اتجاهين. (ج) $T_{\text{فعّال}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$ . (د) والزيادة البالغة $33\,\mathrm{K}$ هي أثر الدفيئة: أي بطانية تحت الحمراء في المسألة 9.1، مكمَّاةً في التمرين 20.9.

تمرين 20.3 ★

عدّ الفوتونات. (أ) مع $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ في المتر المكعب: احسب كثافة فوتونات الخلفية عند $2.725\,\mathrm{K}$ . (ب) وضوء الشمس عند الأرض: من $\Phi_\odot$ ومن متوسط طاقة فوتون $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$ ، احسب تدفق الفوتونات لكل متر مربع في الثانية. (ج) ومصباح متوهج عند $60\,\mathrm{W}$ (ونسبة المرئي منه 5%): احسب الفوتونات المرئية في الثانية. (د) ولماذا يكون “عدّ الفوتونات” روتينيًّا لعلماء الفلك وسخيفًا للمدافئ؟

حل

حل التمرين 20.3.

(أ) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} = 411$ في cm $^3$ . (ب) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 6 \times 10^{21}$ فوتونًا لكل متر مربع في الثانية. (ج) $3\,\mathrm{W}/ 3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ في الثانية. (د) والإشارات الفلكية تصل فوتونًا فوتونًا — أي بسرعات يستطيع عدّاد فرزها؛ أما $10^{22}$ في الثانية من مدفأة فمتصل لأيّ كاشف.

تمرين 20.4 ★

الكارثة وذيلها. (أ) بيّن أن التوزّع المتساوي الكلاسيكي ( $k_{\text{B}}T$ لكل نمط) يعطي $u(\nu) = 8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$ ، وهو متباعد عند التكامل. (ب) وأين يؤول قانون بلانك إليه؟ (ج) يقيس فلكيّو الراديو الخلفية عند $1.4\,\mathrm{GHz}$ : تحقق من $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ هناك و برّر عادتهم في ذكر الشدّات على أنها “درجة حرارة الهوائي” بالكلفن. (د) وعند ذروة الخلفية البالغة $160\,\mathrm{GHz}$ ، احسب $h\nu/k_{\text{B}}T$ : أتكون الذروة كلاسيكية؟

حل

حل التمرين 20.4.

(أ) $k_{\text{B}}T$ لكل نمط مضروبًا في إحصاء الأنماط $\nu^2$ : فتكون لانهائية عند التكامل — وهي الكارثة. (ب) من أجل $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ . (ج) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$ : أي عميقًا في الذيل الكلاسيكي، حيث الشدّة $\propto T$ — ومنه “درجة حرارة السطوع” بالكلفن. (د) $2.8$ : فالذروة حيث يكون حسم بلانك الكمومي في كامل قوته.

تمرين 20.5 ★★

ضغط الإشعاع. (أ) استنتج $P = u/3$ من التماثل المناحي (أو اقبل العامل الحركي) واحسب ضغط ضوء الشمس عند مدار الأرض؛ وقارنه بالضغط الجوّي. (ب) وداخل الشمس ( $T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ ): احسب $P_{\text{rad}} = aT^4/3$ وقارنه بضغط الغاز $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$ . (ج) وضغط الإشعاع ينمو وفق $T^4$ وضغط الغاز وفق $T$ : بيّن لماذا تصير النجوم الضخمة بما يكفي (ومن ثمّ الأسخن) مهيمَنة بالإشعاع وغير مستقرة — أي سقف إدنغتون قرب $\sim100\,M_\odot$ . (د) والليزرات: حزمة عند $1\,\mathrm{kW}$ مبأّرة لتدفع — أيّ قوة؟ ولماذا تبقى “حزم الجرّ” في الأفلام بينما تكون الملاقط الضوئية (بالتدرّجات، وبالبيكونيوتنات) أدوات حقيقية؟

حل

حل التمرين 20.5.

(أ) من أجل الحزمة الشمسية الموجَّهة $P \approx \Phi/c = 4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : أي إحدى عشرة رتبة تحت الجوّ — فالأشرعة لا تعمل إلا لأن الفضاء يطرح كل ما عداها. (ب) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$ : أي أقلّ من جزء من ألف من ضغط الغاز — فالشمس مسنودة بالغاز. (ج) $P_{\text{rad}}/P_{\text{غاز}} \propto T^3/n$ : فالنجوم الأضخم تحترق أسخن، وطوفان $T^4$ ينافس في النهاية قبضة الثقالة على الغاز — فيسقف عدم الاستقرار الإضاءي النجومَ قرب $\sim100\,M_\odot$ . (د) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ : فحزم الجرّ تبقى خيالًا؛ أما الملاقط فتستعمل تدرّجات المجال على أجسام مجهرية، حيث تحكم البيكونيوتنات (المسألة 16.1).

تمرين 20.6 ★★

مطّ الكون. أُصدرت الخلفية عند إعادة الالتحام ( $T \approx 3000\,\mathrm{K}$ ، في أرض التمرين 18.12) وتصل عند $2.725\,\mathrm{K}$ . (أ) من $T \propto 1/a$ ، احسب عامل مطّ كل الأطوال منذ الإصدار. (ب) بيّن أن طيف بلانك يبقى بلانكيًّا تحت مطّ منتظم لكل طول موجي (فماذا يصيب $T$ ؟). (ج) وأين تصل الذروة المصدَرة (وهي ضوء برتقالي مرئي!)؟ (د) ولماذا تكون السماء مظلمة للعين ومتوهجة لمستقبِل ميكروي؟

حل

حل التمرين 20.6.

(أ) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . (ب) ويُمطّ $\lambda$ كل نمط بالعامل نفسه: فيرتسم شكل $\nu^3$ على نفسه مع $T \to T/(1+z)$ — فلا يستطيع التمدد أن يخرج منحني بلانك عن بلانكيته. (ج) وتصل الذروة الحمراء العميقة عند $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند $1.06\,\mathrm{mm}$ . (د) والسماء نفسها خالية عند $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ومشبَعة عند الميليمتر: فالظلمة عبارة عن طول موجي.

تمرين 20.7 ★★

درجات حرارة ديباي من الصوت. (أ) احسب $\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ من أجل النحاس ( $c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) وقارنها بالقيمة المسعّرية $343\,\mathrm{K}$ . (ب) والألماس: $c_{\text{s}} \approx 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$ : احسب و قارن مع $\approx2200\,\mathrm{K}$ . (ج) والرصاص: ليّن وثقيل — اشرح قيمته $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ في جملة واحدة. (د) اذكر القاعدة الرابطة بين صلابة جسم صلب و كتلته الذرّية ودرجة تجمّده الكمومي.

حل

حل التمرين 20.7.

(أ) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ في مقابل القيمة الموفَّقة $343\,\mathrm{K}$ : أي المقياس الصحيح (والمتوسط السليم على السرعات الطولية و المستعرضة يسدّ الفجوة). (ب) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — مطابقةً: فالألماس هو الحالة القصوى. (ج) وسرعة الصوت المنخفضة (اللين) والذرات الثقيلة كلتاهما تدفع $\theta_{\text{D}}$ نزولًا: فشبكة الرصاص كلاسيكية على الفور تقريبًا. (د) $\theta_{\text{D}} \propto c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ في صورتها: فالصلب الخفيف يتجمّد متأخرًا، واللين الثقيل يتجمّد باكرًا.

تمرين 20.8 ★★

النحاس عند كلفن واحد. (أ) باستعمال $C = \gamma T + \beta T^3$ مع $\gamma$ من المثال 19.3 ومعامل $T^3$ الديبائي من أجل $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ : احسب الحدّين لكل مول عند $1\,\mathrm{K}$ . (ب) وأيّهما يغلب، وبكم يغلب؟ (ج) وعند أيّ درجة حرارة يتقاطعان؟ (د) ولماذا يكون هذا النظام نافذةَ المسعّري على كثافة الحالات الإلكترونية؟

حل

حل التمرين 20.8.

(أ) إلكترونيًّا: $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ يعطي $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ؛ وشبكيًّا: $1944R\dots$ — فحدّ ديباي $T^3$ يعطي $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . (ب) الإلكترونات، بفارق رتبة قدر. (ج) قرب $3\,\mathrm{K}$ (التمرين 19.5). (د) وتحت العبور يكون مقطع $C/T$ المقيس هو $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$ : فتجربة بميزان حرارة ومسخِّن تقرأ كثافة حالات سطح فيرمي.

تمرين 20.9 ★★

دفيئة من طبقة واحدة. لتجلس السطح (بدرجة الحرارة $T_s$ ) تحت طبقة جوّية رقيقة واحدة (بدرجة الحرارة $T_a$ ) شفافة لضوء الشمس ومعتمة للأشعة تحت الحمراء الحرارية. (أ) اكتب ميزان الطاقة للطبقة (تمتصّ $\sigma T_s^4$ وتشعّ $2\sigma T_a^4$ ) وللسطح (يمتصّ ضوء الشمس $S$ زائدَ $\sigma T_a^4$ ). (ب) بيّن أن $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{فعّال}}$ حيث $\sigma T_{\text{فعّال}}^4 = S$ . (ج) ومع $T_{\text{فعّال}} = 255\,\mathrm{K}$ : احسب $T_s$ وقارنه مع $288\,\mathrm{K}$ (فالجوّ الحقيقي بطانية جزئية متعددة الطبقات). (د) اربط مع المسألة 9.1: فأيّ فيزياء جزيئية تجعل الطبقة معتمة في تحت الحمراء وشفافة في المرئي؟

حل

حل التمرين 20.9.

(أ) الطبقة: تمتصّ $\sigma T_s^4$ وتصدر $2\sigma T_a^4$ (من الوجهين): ومنه $T_s^4 = 2T_a^4$ . والسطح: $S + \sigma T_a^4 = \sigma T_s^4$ . (ب) وبحذف $T_a$ : $S = \tfrac12\sigma T_s^4$ ، أي $T_s = 2^{1/4}T_{\text{فعّال}}$ . (ج) $1.19 \times 255 = 303\,\mathrm{K}$ — وهو يتجاوز $288\,\mathrm{K}$ الحقيقية لأن البطانية الحقيقية جزئية وطبقية. (د) الكمّات الاهتزازية للغازات النزرة الثلاثية الذرات: شفافة عند $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و معتمة عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — أي جزيء المسألة 9.1.

تمرين 20.10 ★★★

ثابت ستيفان من الصفر. (أ) ركّب $u_{\text{كلي}} = \int u(\nu)\dd\nu$ مع $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ ومع القيمة المعطاة $\pi^4/15$ ، فتحصل على $u = aT^4$ مع $a = 8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$ . (ب) والتدفق من سطح أسود هو $c\,u/4$ (اقبل الربع الهندسي): كوّن $\sigma$ واحسبه عدديًّا من $h$ و $c$ و $k_{\text{B}}$ . (ج) وقارنه مع $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ . (د) وانعكاس تاريخي: طابق بلانك قانونه على الأطياف و استخرج كليهما $h$ و $k_{\text{B}}$ (ومنه عدد أفوغادرو) سنة 1900 — اذكر لماذا يثبّت منحني الجسم الأسود ثابتين معًا.

حل

حل التمرين 20.10.

(أ) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x = 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$ . (ب–ج) $\sigma = ac/4 = 2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — من ثلاثة ثوابت، بالضبط. (د) شكل المنحني يثبّت $h/k_{\text{B}}$ (عبر $h\nu/k_{\text{B}}T$ ) ومقياسه المطلق يثبّت $k_{\text{B}}^4/h^3$ : أي معادلتان و ثابتان — فقرأ بلانك $h$ و $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}}$ من موافقة واحدة، قبل حبيبات بيران بسنوات.

تمرين 20.11 ★★★

معاملا أينشتاين A و B (1917). ذرات ذات مستويين (وطاقتاها $0, h\nu_0$ ؛ وجمهرتاها $N_1, N_2$ ) تجلس في إشعاع كثافته الطيفية $u(\nu_0)$ . وسرعة الامتصاص: $B_{12}uN_1$ ؛ والإصدار المستحثّ: $B_{21}uN_2$ ؛ والتلقائي: $AN_2$ . (أ) اكتب ميزان التوازن. (ب) واشترط أن تصحّ نسبة بولتزمان $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ ومقدار $u$ عند بلانك معًا من أجل كل $T$ : فاستنتج $B_{12} = B_{21}$ و

\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .

(ج) فسّر: لماذا يفرض التوازن الحراري وجود الإصدار التلقائي، ويثبّت سرعته من المستحثّ؟ (د) والعامل $\nu^3$ : اربطه بأعمار التمرين 13.8 وبسبب صعوبة حصول الليزر عند تواترات الأشعة السينية.

حل

حل التمرين 20.11.

(أ) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$ . (ب) وحلّ من أجل $u$ : $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$ ؛ ومطابقة صورة بلانك من أجل كل $T$ تفرض $B_{12} = B_{21}$ و $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$ . (ج) ومن دون $A$ لا يمكن أيّ توازن في وجه قانون بلانك: فالتوازن نفسه يقتضي أن تتفكك الذرات المثارة من غير باعث، بسرعة مرتبطة بالمستحثّة — فتنبّأ أينشتاين بالإصدار التلقائي من الترموديناميك، قبل عقد من استنتاج الميكانيك الكمومي له. (د) $A \propto \nu^3$ : فالحالات فوق البنفسجية تتفكك في نانوثوانٍ (التمرين 13.8)، فتكون القلوب باهظة الكلفة عند الأطوال الموجية القصيرة — أي مشكلة ليزر الأشعة السينية.

تمرين 20.12 ★★★

الألماس، طريق الفونونات السريع. الناقلية الحرارية لعازل: $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ لكل حجم، مع $\ell$ متوسط المسير الحرّ للفونون. (أ) من أجل الألماس عند $300\,\mathrm{K}$ ( $C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$ ، أي مجمَّد جزئيًّا؛ و $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\ell \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): احسب $\kappa$ وقارنه بقيمة النحاس $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ . (ب) ولماذا يكون $\ell$ طويلًا هكذا في الألماس (فهو صلب خفيف نظيف نظائريًّا — فما الذي ينتثر الفونونات؟). (ج) والألماس المنقّى نظائريًّا يكاد يضاعف $\kappa$ : فماذا يكشف ذلك عن انتثار الفونونات باضطراب الكتل النظائرية؟ (د) واذكر استعمالين: ناشرات الحرارة في الإلكترونيات؛ ولماذا يحسّ الألماس باردًا على الشفة — اشرح الإحساس.

حل

حل التمرين 20.12.

(أ) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4} \times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ : أي خمسة أضعاف النحاس. (ب) والصلابة والخفّة تعنيان فونونات سريعة؛ والشبكة النقية التامّة الخفيفة لا تعرض عليها ما تنتثر به — فيبلغ $\ell$ آلاف ثوابت الشبكة. (ج) وحتى فرق كتلة ذرات $^{13}$ C ينتثر الفونونات انتثارًا قابلًا للقياس: فالاضطراب النظائري مقاومة حقيقية، تزيلها التنقية. (د) ناشرات الحرارة تحت رقاقات القدرة؛ ولأن حرارة الشفة تندفع بعيدًا بهذه السرعة يحسّ الألماس الحقيقي باردًا بصورة مفاجئة — فاختبار الجوهري باللمس قياس فونوني.

السماء كلها في الميكرويّات (NASA/WMAP، ملكية عامة): أي إشعاع بلانك للخلفية الكونية عند 2.7\, K، مرسومًا. والتنقيط جزء من 105 — أي بذور المجرّات، مطبوعةً على جسم هذا الفصل الأسود. — السماء كلها في الميكرويّات (NASA/WMAP، ملكية عامة): أي إشعاع بلانك للخلفية الكونية عند $2.7\,\mathrm{K}$ ، مرسومًا. والتنقيط جزء من $10^5$ — أي بذور المجرّات، مطبوعةً على جسم هذا الفصل الأسود.

20.4 مسألة: أقدم ضوء

مسألة 20.1

مسألة نهاية الأسبوع — قراءة خلفية الكون الميكروية

صوّب أيّ مستقبِل موجات ميليمترية إلى أيّ رقعة من السماء يذكرْ الإشارة نفسها: أي طيف بلانك عند $T = 2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$ ، أملسَ من أيّ فرن بناه البشر. وهو ومضة إعادة الالتحام في الكون (التمرين 18.12)، ممطوطةً ألفًا ومئة ضعف، ويحمل تعداد الكون. والمعطيات: $T_0 = 2.725\,\mathrm{K}$ ؛ و $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ و $u = aT^4$ مع $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$ ؛ وكثافة الباريونات اليوم $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ والكثافة الحرجة $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

الجزء الأول — الطيف.

احسب الطول الموجي الذروي للخلفية (بفين) وكثافة فوتوناتها في السنتيمتر المكعب.
احسب كثافة طاقتها، بوحدة $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ وبوحدة $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ، ونسبة مكافئها الكتلي من الكثافة الحرجة.
طابق طيف COBE (1990) بلانكَ في حدود أجزاء قليلة من $10^4$ — فصفّق الحضور للرسم. فلماذا يصعب هكذا شرح طيف حراري تامّ من سماء خالية بأيّ شيء سوى ماضٍ ساخن كثيف؟
وعند الإصدار كوّنت الفوتونات نفسها جسمًا أسود عند $3000\,\mathrm{K}$ : تحقق من عامل المطّ $1 + z = T_{\text{عندئذٍ}}/T_0$ .
ولماذا صار الكون شفافًا عند تلك الدرجة بالضبط (تذكّر أيّ توازن في الفصل 18 انطفأ)؟
سماء الليل مظلمة (وهي مفارقة أولبرز في الفلك القديم): فبأيّ معنًى دقيق تكون في الواقع ساطعة — وعند أيّ طول موجي ودرجة حرارة؟

الجزء الثاني — التعداد.

احسب نسبة الفوتونات إلى الباريونات $\eta^{-1} = n_\gamma/n_{\text{b}}$ .
وذلك العدد — نحو ملياري فوتون لكل بروتون — من معطيات علم الكون الأساسية: اذكر ما الذي يقيسه عن لاتناظر المادة–اللامادة (وتذكّر التمرين 18.12: فالفوتونات أكثرها نواتج فناء).
قارن كثافة طاقة الخلفية بكثافة ضوء النجوم ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ متوسَّطةً على الكون): فأيّ ضوء يهيمن على الكون؟
والخلفية تفوق، بالفوتونات، كلَّ ما أشرقت به النجوم قط: فلماذا يجعل هذا الكونَ الفتيّ “مهيمَنًا بالإشعاع”، وما الذي تولّى بعدئذٍ (بمقارنة تحجيمَي $T^4$ و $T^3$ بمقدار $a^{-3}$ للمادة)؟
قدّر عهد تساوي المادة والإشعاع: فمع كثافة الإشعاع محجَّمةً وفق $(1+z)^4$ والمادة وفق $(1+z)^3$ ، ومع نسبة اليوم $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ ، جد $z_{\text{تعادل}}$ .
وقد انفصلت النيوترينوات أبكر وبردت أكثر قليلًا (إذ فاتها إعادة تسخين فناء $e^+e^-$ في التمرين 18.12): فالمتنبَّأ به $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — احسبه، و تعجّبْ من تنبؤ ببحر نيوترينوات عند $1.95\,\mathrm{K}$ لم يكشفه أحد مباشرةً بعد.

الجزء الثالث — اللاتماثلات المناحية.

الخفية أسخن بمقدار $3.4\,\mathrm{mK}$ في اتجاه و أبرد في المقابل: فسّر ذلك بفيزياء دوبلر في الفصل 4 واستخرج سرعتنا ( $\Delta T/T = v/c$ ).
وبعد إزالة ذلك القطب الثنائي، تبقى تموّجات $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ (COBE سنة 1992، ثم WMAP، ثم بلانك): فماذا ترسم عند $z = 1100$ ؟
وتلك البذور الكثافية $10^{-5}$ نمت مجرات: فلماذا تضخّم الثقالة الزيادات الكثافية (بأيّ عدم استقرار)، ولماذا احتاج النموّ إلى تساوي المادة والإشعاع كي يبدأ جدّيًّا؟
وحجم أقوى تموّج (نحو درجة واحدة على السماء) طول موجي صوتي — أي صوت في بلازما الفوتونات والباريونات (وهو غاز هذا الفصل مع أمواج الفصل 3!): فما الذي يضع مقياسه (أي المسافة التي يقطعها الصوت قبل إعادة الالتحام)؟
وقياس تلك الزاوية قياسًا إلى المقياس الفيزيائي المعلوم يثلّث هندسة الكون: اذكر النتيجة (مسطَّح، بدقة بالمئة).
القطب الأحادي عند $2.7\,\mathrm{K}$ ، والقطب الثنائي عند $3\,\mathrm{mK}$ ، و تموّجات $10^{-5}$ : رتّب ما علّمه كلٌّ منها (ماضٍ ساخن؛ وحركتنا؛ وبذور كل شيء وهندسته).

الجزء الرابع — الإرث.

وجد بنزياس وويلسون الإشارة سنة 1965 ضجيجَ هوائي لا يُزال (بعد طرد الحمام): فلماذا كان فائض متماثل المناحي مستقلّ الفصول عند $3\,\mathrm{K}$ غير قابل للشرح بأيّ مصدر محلي أو مجرّي؟
ونحو $1\%$ من تشويش تلفاز تناظري غير مضبوط كان هذه الإشارة: تأمّل في جملة واحدة.
وتمرّ الخلفية عبر عناقيد المجرّات فتُركل قليلًا إلى تواتر أعلى بالإلكترونات الساخنة (وهو أثر سونييف–زلدوفيتش): فلماذا يجعل هذا العناقيد مرئيةً ظلالًا عند التواتر المنخفض، وما ميزة ذلك الظلّ الخاصة (استقلاله عن البعد)؟
وتصطاد جبهة اليوم استقطاب الخلفية بحثًا عن بصمة الأمواج الثقالية البدئية: فأيّ فصول من هذا الكتاب يزوّجها ذلك الاكتشاف (استقطاب الفصل 6، و أمواج الثقالة)؟
احسب تدفق فوتونات الخلفية عبر جسمك ( $n_\gamma c/4$ لكل وحدة مساحة، ومقطع الجسم $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ): فكم أثرًا من آثار الانفجار العظيم يعبرك في الثانية؟
والخلفية تخصّ مرجعًا ساكنًا واحدًا (وهو الذي يتلاشى فيه القطب الثنائي): اشرح لماذا لا يناقض هذا النسبية — فأيّ صنف من المراجع تفضّله محتويات المادة لا القوانين؟
لخّص النتيجة الموسومة: منحني بلانك عند $2.725$ كلفن يملأ السماء — $411$ فوتونًا في السنتيمتر المكعب، ومليارين لكل باريون، وذروة عند $160\,\mathrm{GHz}$ — وهو الوصل الحراري للبداية الساخنة: أي الفيزياء الإحصائية حجرَ أساس علم الكون.

حل

حل المسألة 20.1.

1. $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$ ؛ و $411$ فوتونًا في cm $^3$ . 2. $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx 0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ؛ ومكافئها الكتلي $u/c^2 \approx 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : أي نحو $5\times10^{-5}$ من الحرجة. 3. الطيف الحراري يقتضي أن يكون المصدر والإشعاع قد توازنا — وهو مستحيل على أيّ تجمّع من نجوم أو غبار أو بلازما مضافةٍ على خطوط رؤية مختلفة؛ ولا يلائمه إلا كون كان هو نفسه ذات مرة جوفًا ساخنًا معتمًا. 4. $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . 5. عبر توازن ساها إلى الذرات المتعادلة: فاختفت الإلكترونات الحرة، وتوقف انتثار طومسون، وطارت الفوتونات بلا مسّ منذئذٍ. 6. ساطعة عند الأطوال الموجية الميليمترية، عند $2.725\,\mathrm{K}$ : فسماء أولبرز مشتعلة فعلًا — لكن الانزياح الأحمر نقل الاشتعال خارج المرئي. 7. $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ فوتونًا لكل باريون. 8. الفوتونات رماد فناء المادة و اللامادة؛ والباريونات هي الفائض الواحد لكل مليار الذي نجا: والمقدار $\eta$ يقيس اللاتناظر البدئي — ولا يزال بلا تفسير. 9. $4.2 \times 10^{-14}\,$ في مقابل $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : أي إن الضوء الأثريّ يفوق، في كثافة الطاقة، كلَّ ما أصدرته النجوم قط. 10. الإشعاع يتخلخل وفق $a^{-4}$ (فالعدد $a^{-3}$ ، و كل فوتون ممطوط $a^{-1}$ )، والمادة وفق $a^{-3}$ : ففي البدء حكم الإشعاع؛ ثم تجاوزته المادة عند التساوي، فأتاحت للبنية أن تنمو. 11. $1 + z_{\text{تعادل}} \approx 3400$ . 12. $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 = 1.95\,\mathrm{K}$ : أي خلفية نيوترينوات كونية متنبَّأ بها، وهي أجرأ شيك غير مصروف في الفيزياء الحرارية. 13. $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3} \approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : أي حركة المجموعة الشمسية عبر المرجع الأثريّ. 14. تموّجات درجة الحرارة (ومن ثمّ الكثافة والسرعة) في الكون وعمره 380 000 سنة: أي صورة فوتوغرافية للبذور. 15. الرقع المفرطة الكثافة تجذب أشدّ فتنمو (وهو عدم الاستقرار الثقالي)؛ وقبل التساوي كان ضغط الإشعاع يردّها إلى الوراء — فانتظر النموّ أن تحكم المادة. 16. المسافة التي قطعها الصوت ( $c/\sqrt3$ في مائع الفوتونات والباريونات) حتى إعادة الالتحام — وهو أفق الصوت، أي مسطرة صوتية مدفونة في السماء. 17. تطابق الزاوية هندسة كون مسطَّح في حدود واحد بالمئة تقريبًا: فالمستقيمات المتوازية، كونيًّا، تبقى متوازية. 18. القطب الأحادي: البداية الساخنة. والقطب الثنائي: سرعتنا البالغة $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . والتموّجات: أصل البنية و هندسة الفضاء — وكل منزلة عشرية اكتشاف. 19. كانت متساوية في كل اتجاه، ليلًا ونهارًا، صيفًا وشتاءً، وبلا حمام: فلا شيء محلي أو مجرّي أو جهازي بهذا التماثل المناحي — إلا السماء نفسها. 20. فحيح على كل جهاز غير مضبوط: فالانفجار العظيم كان على التلفاز طوال الوقت. 21. إلكترونات العناقيد الساخنة تركل فوتونات الخلفية بكومبتون صعودًا في التواتر: فتحت العبور يزيل العنقود فوتونات — أي ظلّ عمقه مستقل عن البعد، فتستطيع المسوح إيجاد العناقيد عند أيّ انزياح أحمر. 22. والأمواج الثقالية البدئية تلوي استقطاب الخلفية إلى “أنماط B”: أي أمواج النسبية مقروءةً في ضوء منتثر بطومسون — وهما خيطان من خيوط هذا الكتاب معقودان. 23. $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$ : أي نحو $10^{16}$ فوتونًا من فوتونات الانفجار العظيم تعبرك في الثانية، بلا إحساس. 24. إنه مرجع تختاره المحتويات (حيث يكون الإشعاع متماثل المناحي)، لا القوانين: فالنسبية لا تحرّم إلا المراجع التي تفضّلها القوانين — فالحركة عبر الخلفية قابلة للكشف، والحركة عبر الزمكان ليست كذلك. 25. منحني بلانك عند $2.725\,\mathrm{K}$ على كل خط رؤية — $411$ فوتونًا في السنتيمتر المكعب، و $10^9$ لكل باريون، و تموّجات عند $10^{-5}$ : أي الجسم الأسود في الفيزياء الإحصائية، مرفوعًا إلى وثيقة تأسيس علم الكون.