الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

14الجسيمات المتطابقة

كل إلكترون في الكون مطابق تمامًا لكل إلكترون آخر — لا شبيه به كما تتشابه قطعتا نقد من دار سكّ واحدة، بل غير مميَّز عنه مبدئيًا: فلا وسم ولا خدش ولا تاريخ يميّز واحدًا منها. والميكانيك الكمومي يأخذ ذلك على محمل الجدّ، وتدير نتائجه العالم. فتبديل جسيمين متطابقين يجب ألّا يغيّر شيئًا قابلًا للرصد، وهذا لا يترك للدالة الموجية المتعددة الجسيمات غير خيارين: أن تبقى على حالها (البوزونات) أو أن تغيّر إشارتها (الفرميونات). ومن إشارة الناقص وحدها يتبع مبدأ الاستبعاد لباولي، وبنية الأغلفة والجدول الدوري كله، وصلابة المادة تحت أقدامنا، والضغط الذي يحمل النجوم الميتة؛ ومن إشارة الزائد تتبع اجتماعية الفوتونات — ومن ثمّ الليزر — ثم، بعد ثلاثة فصول، تكثّف بوز–أينشتاين. وقلّ في الفيزياء أن حملت إشارة واحدة هذا القدر.

14.1 مسلَّمة المناظرة

تعريف 14.1 (التبديل)

من أجل جسيمين متطابقين فضاء حالاتهما مولَّد بالجداءات $\ket{a}\otimes\ket{b}$ (فالجسيم 1 في $\ket a$ والجسيم 2 في $\ket b$ — بالمواضع والسبينات وكل شيء)، يبدّل مؤثر التبديل $\hat P_{12}$ الدورين: $\hat P_{12}\ket a\otimes\ket b = \ket b\otimes\ket a$ . وهو هرميتي، ومربعه المطابقة، ويتبادل مع أيّ هاميلتونية تعامل الجسيمين معاملة واحدة: فقيمتاه الذاتيتان $\pm1$ وسمان محفوظان للعالم.

مبرهنة 14.2 (البوزونات والفرميونات)

حالات الجسيمات المتطابقة ليست مسموحة فحسب بل ملزَمة بأن تكون حالات ذاتية لكل تبديل: أي متناظرة تناظرًا تامًّا من أجل صنف من الجسيمات — هي البوزونات — ومتخالفة التناظر تخالفًا تامًّا (أي تغيّر الإشارة عند كل تبديل) من أجل الصنف الآخر — هي الفرميونات. ويحدّد سبينُ النوع الصنفَ الذي ينتمي إليه (وهي مبرهنة السبين والإحصاء، ولا تُبرهن إلا في نظرية الحقول الكمومية النسبية وهي مُسلَّم بها هنا):

\text{سبين صحيح} \Rightarrow \text{بوزون} , \qquad \text{سبين نصف صحيح} \Rightarrow \text{فرميون} .

فالفوتونات والبيونات وذرات $^4$ He بوزونات؛ والإلكترونات والبروتونات والنترونات و $^3$ He فرميونات. والمركَّب يسلك سلوك مجموع أجزائه: فعدد زوجي من الفرميونات المرتبطة بوزون ( $^4$ He: بروتونان ونترونان وإلكترونان)، وعدد فردي فرميون ( $^3$ He) — ولذلك نتائج ظاهرة إلى حدّ وجود سائلَي هليوم مختلفين.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

نتيجة 14.3 (مبدأ الاستبعاد لباولي)

لا يمكن أبدًا لفرميونين أن يشغلا الحالة الأحادية الجسيم نفسها: فوضع $\ket a = \ket b$ في التركيب المتخالف التناظر $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$ يعطي المتجهة المعدومة — فلا وجود لحالة كهذه. ومن أجل الإلكترونات (سبينها $\tfrac12$ )، يقبل كل مدار اثنين على الأكثر، بإسقاطَي سبين متعاكسين.

مثال 14.4 (إحصاء مختلف)

جسيمان بين حالتين $a, b$ : يعطي الإحصاء الكلاسيكي (أي بجسيمات مميَّزة) أربعة تشكيلات؛ وللبوزونات ثلاثة ( $aa$ و $bb$ وحالة مختلطة واحدة)؛ وللفرميونات واحد بالضبط (وهو المختلط المتخالف التناظر). وسترث الفيزياء الإحصائية هذه الأعداد جملةً (الفصل 19)؛ وهي هنا سلفًا تحلّ إحراجًا من القرن التاسع عشر — أي إنتروبيا “مزج” عيّنتين من الغاز نفسه (التمرين 14.10).

14.2 الجدول الدوري

قضية 14.5 (الأغلفة، ولماذا توجد الكيمياء)

املأ المدارات الشبيهة بالهدروجينية $(n, l, m, m_s)$ بإلكترون واحد لكل منها، من أدنى الطاقات أولًا، بترتيب المستويات الذي يحدّده النفاذ والحجب ( $1s$ و $2s$ و $2p$ و $3s$ و $3p$ و $4s$ و $3d$ …— التمرين 11.8). ويجعل مبدأ باولي الملء يتشبّع: فيغلق $2$ إلكترون الغلاف الأول، ويغلق $8$ يغلقون الصف الثاني والثالث، فيكتسب جدول العناصر دوراته. والكيمياء هي فيزياء الإلكترونات التي تركها مبدأ الاستبعاد في الخارج: فالأغلفة الممتلئة (الغازات النبيلة) خاملة؛ وإلكترون واحد وراء غلاف ممتلئ (القلويات) أو نقصان إلكترون واحد عن الامتلاء (الهالوجينات) نشطان في اتجاهين متعاكسين. ولولا إشارة الناقص لغرق كل إلكترون في $1s$ ، ولكانت كل ذرة كرة منكمشة شبيهة بالهليوم، ولما كانت روابط ولا جزيئات ولا كيميائيون يأسفون على ذلك.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملء المدارات اثنين اثنين: فيبني مبدأ الاستبعاد دورات الجدول. وتوضّح إلكترونات الأكسجين الأربعة في 2p قاعدة هوند — إذ تصطفّ السبينات وتتوزع على المدارات قبل الازدواج، وهو أثر تبديلي صرف (). — ملء المدارات اثنين اثنين: فيبني مبدأ الاستبعاد دورات الجدول. وتوضّح إلكترونات الأكسجين الأربعة في $2p$ قاعدة هوند — إذ تصطفّ السبينات وتتوزع على المدارات قبل الازدواج، وهو أثر تبديلي صرف (القضية 14.6).

14.3 تفاعل التبديل

قضية 14.6 (تناظر حالة الزوج الفضائية)

من أجل إلكترونين، يجب أن تكون الحالة الكلية (الفضاء $\times$ السبين) متخالفة التناظر: فالحالة الأحادية (وسبينها متخالف التناظر، التمرين 12.11) تفرض دالة موجية فضائية متناظرة، والحالة الثلاثية تفرض متخالفة التناظر. وتختلف الحالتان فيزيائيًّا: ففي الحالة الفضائية المتخالفة التناظر لا يمكن للإلكترونين أن يتطابقا أبدًا ( $\psi(\vect r, \vect r) = 0$ ) فيبقيان متباعدين، بينما تدع الحالة المتناظرة لهما أن يتكدّسا. ولمّا كان القرب يكلّف طاقة كولوم، اكتسب ترتيب السبينين فرقًا في الطاقة — هو طاقة التبديل — بحجم كهرستاتيكي (أي بالإلكترون-فولط!)، مع أنه لا وجود لقوة مغناطيسية بتلك القوة: فالسبينات تصطفّ أو تتعاكس بسبب الهندسة مع التنافر. وهذا هو محرك قاعدة هوند، وطيفَي الهليوم، والرابطة التساهمية، و— مكبَّرًا عبر بلورة — المغناطيسية الحديدية نفسها (الفصل 22).

برهان جزئي. المحاسبة التناظرية هي المبرهنة 14.2 مع تراكيب السبين؛ والانعدام عند التطابق هو تخالف التناظر مقروءًا عند $\vect r_1 = \vect r_2$ . وأما نتيجة الطاقة فهي نظرية الاضطرابات في المرتبة الأولى في التنافر: فالحدّ المباشر مشترك بين التناظرين ويدخل التكامل المتقاطع (“التبديلي”) بإشارتين متعاكستين (التمرين 14.6). ∎

احتمال إيجاد الزوج عند التباعد x_1 - x_2: فالحالة الفضائية المتناظرة تتكدّس عند التماسّ، وتحمل المتخالفة التناظر “ثقب تبديل” — أي صفرًا تامًّا عند التطابق. وأطعِم هذه الهندسة تنافر كولوم تكتسب ترتيبات السبين فروقًا في الطاقة بالإلكترون-فولط. — احتمال إيجاد الزوج عند التباعد $x_1 - x_2$ : فالحالة الفضائية المتناظرة تتكدّس عند التماسّ، وتحمل المتخالفة التناظر “ثقب تبديل” — أي صفرًا تامًّا عند التطابق. وأطعِم هذه الهندسة تنافر كولوم تكتسب ترتيبات السبين فروقًا في الطاقة بالإلكترون-فولط.

مثال 14.7 (الهليومان في ذرة واحدة)

تأتي حالات الهليوم المثارة $1s\,2s$ في عائلتين لا تكادان تتداخلان: الباراهليوم (أحادي، بفضاء متناظر) والأورثوهليوم (ثلاثي، بفضاء متخالف التناظر)، والثلاثي أدنى بنحو $\approx0.8\,\mathrm{eV}$ — إذ يوفّر ثقب تبديله تنافر كولوم. والحالة الأساسية بارا بالضرورة (فالتشكيل $1s^2$ يفرض الحالة الفضائية المتناظرة)؛ وأدنى حالة أورثو، إذ لا ثلاثي أدنى تتفكك إليه وانقلابات السبين ممنوعة، تعيش ساعات — أي ذرة شبه مستقرة تُستعمل حصانَ عملٍ في الحزم الذرّية. وقد فهرس مطيافيو القرن التاسع عشر “هليومين”؛ والحلّ إشارة ناقص واحدة.

مثال 14.8 (الرابطة التساهمية)

قرّب ذرتَي هدروجين إحداهما من الأخرى: يستطيع الإلكترونان أن يدخلا التركيب الفضائي المتناظر للمدارين الذرّيين (بسبينين أحاديين) أو التركيب المتخالف التناظر (بسبينين ثلاثيين). فالحالة المتناظرة تكدّس الشحنة بين البروتونين، حيث تجذبهما معًا: أي ربط — وهو الرابطة التساهمية في H $_2$ ، وعمقها $4.5\,\mathrm{eV}$ . أما الحالة المتخالفة التناظر فتخلي المستوي الأوسط: فهي دافعة صرفة. وكل سطر في الكيمياء العضوية مسك دفاتر لإلكترونات مزدوجة السبين مشتركة تناظريًا — فمبدأ الاستبعاد، مقروءًا بالعكس، هو صمغ الجزيئات.

14.4 البوزونات: كلما كثروا كان أفضل

قضية 14.9 (التعزيز البوزوني)

الانتقالات التي تضيف بوزونًا إلى حالة تحوي $n$ منها سلفًا لها سعات معزَّزة بالعامل $\sqrt{n + 1}$ — ومعدلات بالعامل $n + 1$ (بجبر السلّم في الفصل 9، إذ إن النمط البوزوني هو مذبذب). والحدّ “ $1$ ” هو الإصدار التلقائي؛ والحدّ “ $n$ ” هو الإصدار المستحثّ، المتناسب مع الجمهور الحاضر سلفًا: أي الانهيال وراء كل ليزر (كتاب السنة الثانية)، وقد انكشف الآن تناظرَ تبديل صرفًا. والإحصاء نفسه، مطبَّقًا على ذرات مبرَّدة حتى تتراكب حزمها الموجية، يتنبأ بتدافع نحو حالة كمومية واحدة — أي تكثّف بوز–أينشتاين، المحفوظ إلى الفصل 19.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

طريقة 14.10 (معالجة الجسيمات المتطابقة)

(1) حدّد الإحصاء من السبين (وفي المركَّبات: اجمع عدد الفرميونات). (2) ومن أجل إلكترونين، حلّل الحالة إلى فضاء $\times$ سبين واقرن الأحادي بالفضاء المتناظر والثلاثي بالمتخالف التناظر. (3) وأحصِ الحالات لا الجسيمات بأسمائها: اذكر الإشغالات. (4) ومسائل الطاقة مع التنافر: تكامل مباشر واحد، وتكامل تبديلي بإشارة التناظر. (5) وتذكّر الشعارين — الفرميونات: واحد على الأكثر لكل حالة، وثقب تبديل حول كل منها؛ والبوزونات: معدلات معزَّزة بالإشغال.

هليوم سائل يغلي بهدوء قرب 4\, K: أي مائع من بوزونات متطابقة تمامًا. وعلى بضع درجات أدنى يكفّ فجأةً عن الغليان ويجري بلا احتكاك — أي انعدام التمييز، مرقّى إلى هدروليكا. — هليوم سائل يغلي بهدوء قرب $4\,\mathrm{K}$ : أي مائع من بوزونات متطابقة تمامًا. وعلى بضع درجات أدنى يكفّ فجأةً عن الغليان ويجري بلا احتكاك — أي انعدام التمييز، مرقّى إلى هدروليكا.

14.5 تمارين

تمرين 14.1 ★

(أ) بيّن أن $\hat P_{12}$ هرميتي وأن $\hat P_{12}^2 = \mathbb 1$ : فما قيمه الذاتية الممكنة؟ (ب) بيّن أن $[\hat P_{12}, \hat H] = 0$ من أجل جسيمات متطابقة واستنتج انحفاظ صنف التناظر. (ج) لماذا لا يمكن لحالة جسيمين متطابقين أن “تكون” ببساطة $\ket a\otimes\ket b$ بلا تناظر؟ (د) صنّف: $^1$ H و $^2$ H (الديوتريوم) و $^4$ He و $^3$ He، وجزيء هدروجين، و فوتونًا.

حل

حل التمرين 14.1.

(أ) التبديل مرتين لا يفعل شيئًا: فالقيمتان الذاتيتان $\pm1$ . (ب) تدخل الجسيمات المتطابقة في $\hat H$ دخولًا متناظرًا، ومنه $\hat H\hat P_{12} = \hat P_{12}\hat H$ : فلا يتغير صنف التناظر أبدًا. (ج) كانت $\ket a\otimes\ket b$ و $\ket b\otimes\ket a$ ستكونان حالتين مختلفتين تصفان الوضع الفيزيائي نفسه — أي تمييزًا غير قابل للرصد يجب ألّا تحمله الصياغة. (د) $^1$ H (فرميونان): بوزون؛ والديوتريوم (ثلاثة): فرميون؛ و $^4$ He: بوزون؛ و $^3$ He: فرميون؛ و H $_2$ (أربعة): بوزون؛ والفوتون: بوزون.

تمرين 14.2 ★

(أ) اكتب الحالة المتخالفة التناظر المنظَّمة المبنية من مدارين متعامدين $\ket a, \ket b$ . (ب) بيّن أنها تنعدم لمّا $a = b$ . (ج) ومن أجل ثلاثة فرميونات في $a, b, c$ : اكتب التركيب المتخالف التناظر تمامًا (ستة حدود بإشارات متناوبة — أي محدد $3\times3$ ) وتحقق من أن تبديلًا واحدًا يقلب إشارته. (د) لماذا تجعل صورة المحدد مبدأَ باولي تلقائيًا؟

حل

حل التمرين 14.2.

(أ) $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$ . (ب) معدومة تطابقيًا. (ج) المجموع المتناوب على التباديل الستة — أي المحدد $3\times3$ للمدارات في مقابل الجسيمات؛ وتبديل سطرين يقلب إشارة المحدد. (د) المحدد الذي فيه عمودان متساويان ينعدم: ووجود فرميونين في مدار واحد عمود مكرَّر.

تمرين 14.3 ★

جسيمان يتقاسمان ثلاث حالات متعامدة. أحصِ حالات الجسيمين من أجل (أ) جسيمين مميَّزين؛ (ب) بوزونين؛ (ج) فرميونين (بلا سبين). (د) وأعد (ج) من أجل إلكترونين بسبين: فكم حالة الآن؟

حل

حل التمرين 14.3.

(أ) $3^2 = 9$ . (ب) $3$ مزدوجة $+$ $3$ أزواج $= 6$ . (ج) $3$ أزواج. (د) ست حالات أحادية الجسيم (ثلاثة مدارات $\times$ سبينان): ومنه $\binom62 = 15$ .

تمرين 14.4 ★

(أ) أعطِ التشكيلات الأساسية للكربون والنتروجين والأكسجين و النيون. (ب) اذكر قاعدة هوند وطبّقها على إلكترونات النتروجين الثلاثة في $2p$ . (ج) برّر قاعدة هوند في جملة واحدة انطلاقًا من القضية 14.6. (د) أيّ عنصر تجعله أغلفته الممتلئة أقلّ المواد المعروفة نشاطًا، وأيّ إلكترون واحد ناقص يجعل الفلور أشرهها؟

حل

حل التمرين 14.4.

(أ) الكربون: $1s^22s^22p^2$ ؛ والنتروجين: $2p^3$ ؛ والأكسجين: $2p^4$ ؛ والنيون: $2p^6$ . (ب) تشغل إلكترونات النتروجين الثلاثة في $2p$ المداراتِ الثلاثة فرادى، بسبينات متوازية. (ج) السبينات المتوازية تفرض حالة فضائية متخالفة التناظر، وثقب تبديلها يوفّر تنافر كولوم — فالاصطفاف مشترًى بوفر كهرستاتيكي. (د) الهليوم (مع أقربائه النبلاء)؛ والفلور، وهو ينقصه إلكترون واحد عن إغلاق النيون، ينتزع واحدًا من أيّ شيء تقريبًا.

تمرين 14.5 ★★

جسيمان لا يتفاعلان في علبة مستوياتها $E_n = n^2E_1$ . (أ) احسب الطاقة الأساسية من أجل بوزونين؛ ومن أجل فرميونين بلا سبين؛ ومن أجل إلكترونين. (ب) احسب المستوي المثار الأول لكل حالة. (ج) الحالة الأساسية الفرميونية أغلى: وهذه “الترقية الفرميونية” ضغط جنيني — اشرح في جملة واحدة كيف تمنع المادة من الانهيار. (د) عمّم: $N$ فرميونًا بلا سبين في العلبة — بيّن أن الطاقة الأساسية تنمو وفق $N^3$ لا وفق $N$ .

حل

حل التمرين 14.5.

(أ) البوزونان: $2E_1$ ؛ والفرميونان بلا سبين: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$ ؛ والإلكترونان: $2E_1$ (فيتقاسمان $n = 1$ بسبينين متعاكسين). (ب) البوزونان و الإلكترونان: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$ ؛ والفرميونان بلا سبين: $E_1 + 9E_1 = 10E_1$ . (ج) ضغط الفرميونات يفرض إشغال مستويات أعلى فأعلى: فكلفة الطاقة لكل ضغطة ضغطٌ خارجي لا يزيله أيّ تبريد — أي عدم انضغاطية المادة جنينيًا. (د) $\sum_{n=1}^N n^2 \approx N^3/3$ : فمجموع بحر فيرمي ينمو وفق $N^3$ .

تمرين 14.6 ★★

مع مدارين حقيقيين متعامدين $\varphi_a, \varphi_b$ وحالتَي زوج $\psi_\pm \propto \varphi_a(1)\varphi_b(2) \pm \varphi_b(1)\varphi_a(2)$ : (أ) بيّن أن $\psi_-(\vect r, \vect r) = 0$ ؛ (ب) استنتج $\langle(\vect r_1 - \vect r_2)^2\rangle_\pm = (\text{حدود مشتركة}) \mp 2\,|\bra{a}\hat{\vect r}\ket{b}|^2$ ، و عيّن أيّ تناظر يبقي الجسيمين أبعد؛ (ج) من أجل تفاعل دافع $V(|\vect r_1 - \vect r_2|)$ ، حاجج في إشارة $E_+ - E_-$ ؛ (د) اربط ذلك بترتيب الأورثو والبارا في الهليوم.

حل

حل التمرين 14.6.

(أ) يتقاصّ الحدّان عند $\vect r_1 = \vect r_2$ . (ب) وبالنشر، تسهم الحدود المتقاطعة بالمقدار $\mp2|\bra a\hat{\vect r}\ket b|^2$ : فللحالة المتخالفة التناظر متوسط مربع تباعد أكبر. (ج) والأبعد يعني طاقة تنافر أقلّ: ومنه $E_- < E_+$ . (د) يقع ثلاثي الهليوم (بفضائه المتخالف التناظر) تحت أحادي التشكيل نفسه — أي الأورثوهليوم تحت البارا، بمقدار $0.8\,\mathrm{eV}$ من التنافر الموفَّر.

تمرين 14.7 ★★

سلّم الهليوم. (أ) لماذا يجب أن تكون الحالة الأساسية أحادية السبين؟ (ب) يقع ثلاثي $1s2s$ تحت أحادي $1s2s$ بمقدار $0.80\,\mathrm{eV}$ : عبّر عن ذلك بتكامل تبديلي وقارن حجمه بطاقات السبين–سبين المغناطيسية ( $\sim\mu_{\text{B}}^2\mu_0/4\pi a_0^3$ ، وقدّرها). (ج) لماذا تكون الحالة $2\,^3S$ شبه مستقرة (فأيّ قاعدتَي انتقاء يجب أن تُخرقا معًا)؟ (د) عمرها المقيس $\approx8000\,\mathrm{s}$ : قارنه مع $1.6\,\mathrm{ns}$ في الحالة $2p$ من الهدروجين واعجب بمسؤولية.

حل

حل التمرين 14.7.

(أ) $1s^2$ حالة فضائية متناظرة: فوجب أن يؤلف السبينان الأحاديَّ المتخالف التناظر. (ب) الانفصام $= 2J$ : ومنه $J \approx 0.4\,\mathrm{eV}$ . أما الطاقة المغناطيسية الحقيقية بين ثنائيَي القطب عند $a_0$ : فهي $\mu_0\mu_{\text{B}}^2/4\pi a_0^3 \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ — أي أصغر ألف مرة: فما يسمّى “قوة السبين” كهرباء ساكنة مرتديةً ألوان السبين. (ج) يحتاج التفكك إلى $1\,^1S$ إلى انقلاب سبين (من أحادي إلى ثلاثي) وإلى انتقال $s \to s$ (أي $\Delta l = 0$ ): فهو ممنوع مرتين. (د) $8000$ ثانية في مقابل $1.6\,\mathrm{ns}$ : أي اثنتا عشرة رتبة، من قاعدتَي انتقاء — فشبه الاستقرار قواعد متراكمة لا قوى مضعَّفة.

تمرين 14.8 ★★

الأورثو والبارا هدروجين. بروتونا الجزيء H $_2$ فرميونان: فالحالة الكلية من سبين نوويّ $\times$ دوران يجب أن تكون متخالفة التناظر تحت تبديلهما؛ وتبديل البروتونين يقلب أيضًا محور الجزيء، فيضرب الحالة الدورانية في $(-1)^J$ . (أ) بيّن أن الثلاثي النوويّ (الأورثو) يقترن مع $J$ الفردي، والأحادي (البارا) مع $J$ الزوجي. (ب) عند درجات الحرارة العالية، أيّ نسبة أورثو إلى بارا تمليها تعدديات السبين؟ (ج) تقع أدنى حالة أورثو ( $J = 1$ ) أعلى بالمقدار $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ من حالة بارا $J = 0$ ، ويستغرق تحوّل السبين أيامًا: فماذا يحدث داخل خزان هدروجين مسيَّل حديثًا كلما تحوّلت نسبة الأورثو ببطء، ولماذا يجب أن تحفّز معامل التسييل التحوّل قبل التخزين؟ (د) أيّ برنامج وقود مبرَّد يومي (الصواريخ!) يلقى هذه المسألة بالضبط؟

حل

حل التمرين 14.8.

(أ) إشارة التبديل الكلية $=$ (جزء السبين) $\times (-1)^J$ يجب أن تكون $-1$ : فيأخذ الثلاثي (بسبينه المتناظر) $J$ الفردي، والأحادي $J$ الزوجي. (ب) النسبة $3:1$ من التعدديات. (ج) تسترخي نسبة الأورثو البالغة 3/4 إلى بارا ( $J = 0$ )، محرِّرةً $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ لكل جزيء — وهو أكثر من الحرارة الكامنة للسائل: فالخزان غير المحفَّز يغلي حتى يجفّ ببطء. ولذلك تحوّل المعامل الأورثو $\to$ بارا على حفّاز في أثناء التسييل. (د) صواريخ الهدروجين السائل — فكل منصة إطلاق ترث مسألة إحصاء السبين النووي.

تمرين 14.9 ★★

التدافع البوزوني. نمط يحوي $n$ فوتونًا؛ وتتغير العناصر المصفوفية لإضافة واحد وفق $\sqrt{n+1}$ . (أ) بيّن أن معدلات الإصدار في النمط تتغير وفق $n + 1$ والامتصاص وفق $n$ . (ب) في تجويف يحوي أحد أنماطه $10^{10}$ فوتون وجيرانه لا شيء، قارن معدلَي إصدار ذرة مثارة في كل منهما. (ج) اشرح في جملتين كيف يجعل هذا ضوء الليزر ينمو في نمط واحد. (د) أين ظهر العامل $\sqrt{n+1}$ سلفًا في القضية 9.7؟

حل

حل التمرين 14.9.

(أ) تتغير المعدلات كمربع السعة: أي $n + 1$ نحو نمط مشغول، و $n$ في الاتجاه المعاكس. (ب) $10^{10} + 1$ في مقابل $1$ : فيفوز النمط المزدحم بعشرة مليارات. (ج) فوتون تلقائي واحد في النمط المفضَّل يميل بالاحتمالات؛ وكل فوتون مستحثّ يرفع $n$ ويزيد الميل حدّة: أي انهيال من فوتونات متطابقة — تضييق للكسب في نمط واحد. (د) في العلاقة $\hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n+1}\,\ket{n+1}$ : فالنمط البوزوني هو المذبذب، و التعزيز هو معامل سلّمه.

تمرين 14.10 ★★★

مفارقة غيبس، محلولةً بالتطابق. حجمان متساويان $V$ من غاز مثالي، في كل منهما $N$ جزيئة، وبدرجة الحرارة نفسها، يُوصلان. (أ) إذا كان الغازان مختلفين (كالأرغون والنيون)، ارتفعت الإنتروبيا بالمقدار $2Nk_{\text{B}}\ln2$ — تذكّر لماذا (فكل غاز يضاعف حجمه). (ب) وإذا كانا الغاز نفسه، لم يغيّر فتح الصنبور شيئًا عيانيًا: فأيّ عبث يترتب لو ظهرت إنتروبيا المزج مع ذلك (انظر في الإغلاق ثم الفتح من جديد)؟ (ج) بيّن أن معاملة الجزيئات على أنها مميَّزة تنتج فعلًا تلك الإنتروبيا الزائفة، وأن قسمة إحصاء الحالات على $N!$ — وهو مشروع فقط لأن الجزيئات متطابقة — تحذفها. (د) العبرة في جملة واحدة: فالفيزياء الإحصائية الكلاسيكية تستعير في صمت واقعة كمومية؛ وستستعيرها الفصول التالية جهرًا.

حل

حل التمرين 14.10.

(أ) يتمدد كل غاز في ضعف الحجم: ومنه $\Delta S = Nk_{\text{B}}\ln2$ لكل غاز. (ب) وكان إغلاق الصنبور وفتحه من جديد سيصنع إنتروبيا بلا أيّ تغير في الحالة — أي احتيال دفتري لا نهاية له. (ج) وبجزيئات مسمّاة، يكون للغاز المجموع $\binom{2N}{N}$ إسنادًا إضافيًا يجيب “أيّ جهة” تساوي $2Nk_{\text{B}}\ln2$ ؛ وقسمة كل إحصاءات الحالات على $N!$ — وهو الإحصاء الأمين للجسيمات المتطابقة — تحذف هذا بالضبط. (د) فالعامل $N!$ الذي احتاجت إليه الفيزياء الكلاسيكية ولم تستطع تبريره هو مسلَّمة المناظرة منظورًا إليها من بعيد.

تمرين 14.11 ★★★

باولي يحمل الأموات. يحشد قزم أبيض نحو $10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، أي كثافة إلكترونات $n_{\text{e}} \approx 3 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ (بإلكترون واحد لكل كتلتَي نويّة). (أ) احسب طاقة فيرمي انطلاقًا من التمرين 7.8 — ولاحظ أن الصيغة اللانسبية تتوتّر. (ب) قارن $E_{\text{F}}$ مع $k_{\text{B}}T$ عند $T = 10^{7}\,\mathrm{K}$ : فبأيّ معنًى يكون هذا النجم الأبيض المتوهج باردًا؟ (ج) اشرح في جملتين كيف يقدّم الاستبعاد، لا الحرارة، الضغطَ الذي يوازن الثقالة. (د) ماذا يجب أن يحدث كلما أُضيفت كتلة و صارت $E_{\text{F}}$ نسبية — وأيّ حدّ شهير يُنذر بذلك (الفصل 27)؟

حل

حل التمرين 14.11.

(أ) $E_{\text{F}} = \hbar^2(3\pi^2n_{\text{e}})^{2/3}/2m_{\text{e}} \approx 0.16\,\mathrm{MeV}$ — أي ثلث طاقة سكون الإلكترون: فالنجم على حافة النظام النسبي. (ب) $k_{\text{B}}T \approx 0.9\,\mathrm{keV} \ll E_{\text{F}}$ : فعلى مقياس فيرمي يكون النجم الأبيض المتوهج منحطًّا عميقًا — أي “باردًا”. (ج) تتكدّس الإلكترونات على طريقة باولي حتى $0.16\,\mathrm{MeV}$ ؛ وضغط النجم يرفع كل مستوٍ مشغول، وتدرج الطاقة ذاك ضغطٌ لا يتوقف على درجة الحرارة — فالاستبعاد، لا الحرارة، يحمل الوزن. (د) يليّن الانحطاط النسبي قانون الضغط حتى تفوز الثقالة عند كتلة منتهية: أي حدّ تشاندراسيخار، المحفوظ إلى الفصل 27.

تمرين 14.12 ★★★

من التبديل إلى المغانط. نمذج إلكترونين متجاورين في جسم صلب وفق القضية 14.6: فطاقتهما هي $E_{\text{أحادي}}$ أو $E_{\text{ثلاثي}} = E_{\text{أحادي}} - 2J$ بثابت تبديل $J$ . (أ) بيّن أن هذا تعيد إنتاجه الهاميلتونية السبينية الفعّالة $\hat H = -2J\,\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2/\hbar^2$ (باستعمال $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12[\hat S^2 - \hat S_1^2 - \hat S_2^2]$ ). (ب) من أجل $J > 0$ تصطفّ السبينات المتجاورة: فأيّ ظاهرة عيانية تنتجها شبكة من أزواج كهذه؟ (ج) قدّر درجة حرارة الترتيب $k_{\text{B}}T_{\text{C}} \sim J$ من أجل $J \approx 0.1\,\mathrm{eV}$ وقارنها بقيمة الحديد $1043\,\mathrm{K}$ . (د) لماذا لا يستطيع أيّ تفاعل مغناطيسي بين ثنائيَي قطب (تذكّر حجمه من التمرين 14.7ب) أن يفسّر مغنطًا عند ألف كلفن — وما الذي يفسّره، في جملة واحدة؟

حل

حل التمرين 14.12.

(أ) $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S^2 - \tfrac32\hbar^2)$ : أي $-\tfrac34\hbar^2$ على الأحادي و $+\tfrac14\hbar^2$ على الثلاثي — فتعيد الهاميلتونية المذكورة إنتاج الانفصام $2J$ . (ب) شبكة من جيران مصطفّين: أي مغنطة تلقائية — هي المغناطيسية الحديدية. (ج) $J/k_{\text{B}} \approx 1200\,\mathrm{K}$ : وقيمة الحديد $1043\,\mathrm{K}$ هي هذا المقياس بالضبط. (د) المغناطيسية بين ثنائيَي القطب مقدارها $10^{-4}$ إلكترون-فولط: فكانت ستترتّب عند ملّي كلفنات. أما المغناطيسية الحديدية فهي تنافر كولوم وهو يختار ترتيبات السبين عبر هندسة التبديل.

14.6 مسألة: منطق الجدول الدوري

مسألة 14.1

مسألة نهاية الأسبوع — ثلاث قواعد كمومية تبني الكيمياء كلها

أعطِ فيزيائيًّا مدارات الهدروجين $(n, l, m)$ وسبين الإلكترون ومبدأ باولي، يتبع الجدول الدوري — بدوراته وعائلاته وأحجامه، وتعرّج طاقات التأيّن، بل حتى لون الذهب. وتبني هذه المسألة ذلك. المعطيات: المستويات الهدروجينية $-13.6\,Z_{\text{فعّال}}^2/n^2$ إلكترون-فولط؛ وطاقات التأيّن الأولى المقيسة (بالإلكترون-فولط): H $13.6$ ، He $24.6$ ، Li $5.4$ ، Be $9.3$ ، B $8.3$ ، C $11.3$ ، N $14.5$ ، O $13.6$ ، F $17.4$ ، Ne $21.6$ ، Na $5.1$ .

الجزء الأول — القواعد الثلاث.

اذكر المكوّنات الثلاثة: فهرس المدارات $(n, l, m)$ بانحلالاته، والمضاعفة بالسبين، و مبدأ الاستبعاد. فكم إلكترونًا يسع $n = 1$ و $2$ و $3$ ؟
لماذا يختلف ترتيب طاقات الأغلفة الجزئية في ذرة متعددة الإلكترونات عن ترتيب الهدروجين المبني على $n$ وحده (تذكّر النفاذ والحجب، التمرين 11.8)؟
اكتب ترتيب الملء حتى $4s$ و $3d$ ، وأعطِ تشكيلات Na ( $Z = 11$ ) و Cl ( $17$ ) و K ( $19$ ) و Fe ( $26$ ).
أطوال الصفوف: فسّر القيم المشاهَدة $2, 8, 8, 18$ في دورات الجدول الأربع الأولى انطلاقًا من ترتيب الملء (ولماذا يكون الصف الثالث 8 لا 18؟).
أيّ سمة واحدة تجعل الغازات النبيلة صامتة كيميائيًا؟
عرّف الشحنة الفعّالة $Z_{\text{فعّال}}$ التي يراها إلكترون التكافؤ، واشرح لماذا تكون نحو $1$ لإلكترون الصوديوم الخارجي بينما يرى كل من إلكتروني الهليوم الشحنةَ الكاملة $Z = 2$ تقريبًا ناقصًا جزءًا من حجب أحدهما للآخر.

الجزء الثاني — قراءة الصف الثاني.

انطلاقًا من المعطيات، تتسلق طاقة التأيّن من Li إلى Ne لكنها تهبط عند B وعند O: عيّن الهبوطين.
فسّر هبوط البورون (فأيّ غلاف جزئي يُفتتح عند B، ولماذا يكون $2p$ أغلى إمساكًا من $2s$ ؟).
فسّر هبوط الأكسجين (فما الذي يجب أن يفعله اثنان من إلكترونات الأكسجين في $2p$ لأول مرة، وأيّ قاعدة تُفقد راحتها؟).
قدّر طاقة تأين الهليوم تقديرًا ساذجًا بالمقدار $13.6 \times Z^2 = 54.4\,\mathrm{eV}$ : فلماذا تكون القيمة المقيسة $24.6\,\mathrm{eV}$ أصغر بكثير، وأيّ عدد $Z_{\text{فعّال}} \approx 1.34$ يخبرك به هذا الملاءمة؟
قيمة الليثيوم $5.4\,\mathrm{eV}$ في مقابل قيمة الهدروجين $13.6\,\mathrm{eV}$ : فأيّ أثرين (الحجب؛ و $n$ الأعلى) يتآمران؟
لماذا ينكمش حجم الذرة عبر الصف (Li $\to$ Ne) مع أن الإلكترونات تُضاف؟

الجزء الثالث — العائلات والروابط.

القلويات: إلكترون $s$ واحد فوق قلب نبيل — استنتج سماتها العائلية (تأين منخفض، وأيونات $+1$ ، وكيمياء عنيفة مع الماء) من التشكيل.
الهالوجينات: فجوة واحدة في غلاف $p$ — استنتج سماتها (الألفة الإلكترونية، وأيونات $-1$ ، وجزيئات ثنائية الذرة).
كربونات أربع: لماذا تكون ذرة $2s^22p^2$ رباعية التكافؤ عمليًّا (فأيّ شبه انحلال يتيح لها الترقية و التهجين — تذكّر هجائن شتارك في المثال 13.4)؟
استعمل المثال 14.8: لماذا لا تكوّن ذرتان مغلقتا الغلاف (هليومان) أيّ رابطة تساهمية؟
الفلزات الانتقالية: شبه الانحلال بين $4s$ و $3d$ يعطي عشرة أعمدة من كيمياء متشابهة: فلماذا يغيّر ملء غلاف $d$ داخلي الكيمياء تغييرًا ضئيلًا هكذا؟
تنبّأ، من التشكيلات وحدها، بأيّ العناصر K و Ca و Sc يُظهر أول إلكترونات $d$ غير مزدوجة صالحة للمغناطيسية.

الجزء الرابع — وراء القواعد التقريبية.

تسند قاعدة هوند إلى النتروجين ثلاثة سبينات متوازية في $2p$ : فأيّ خاصية ذرية قابلة للقياس (أي عزمه المغناطيسي) يحدّدها ذلك، وأيّ آلية من آليات الفصل الرابع عشر تدفع ثمن الاصطفاف؟
يقتضي وجود الجدول نفسه تطابق الإلكترونات تطابقًا صارمًا: فماذا كانت إلكترونات “مميَّزة قليلًا” ستفعل بمبدأ باولي وبإغلاق الأغلفة؟
في الذرات الثقيلة تتحرك الإلكترونات الداخلية بسرعة $Z\alpha c$ : فمن أجل الذهب ( $Z = 79$ )، قدّر $v/c$ لزوج $1s$ و اذكر نوعيًّا ما تفعله النسبية بطاقة المدار $6s$ — وهو التفسير المقبول للون الذهب ولسيولة الزئبق.
يمتلئ الغلاف الجزئي $4s$ قبل $3d$ ومع ذلك يتأين أولًا في الفلزات الانتقالية، ويستعير الكروم والنحاس إلكترون $s$ ليبلغا $3d^5$ و $3d^{10}$ : فبم تنبئ هذه الشذوذات عن مدى تقارب طاقتَي الغلافين الجزئيين؟
نظيران لعنصر واحد متطابقان كيميائيًا تقريبًا: فانطلاقًا من القواعد الثلاث، لماذا لا تعبأ الكيمياء إلا بالعدد $Z$ ولا تكاد تعبأ بكتلة النواة؟
تنتهي الدورة السابعة قرب $Z \approx 118$ وتحيد كيمياء العناصر فائقة الثقل عن منطق أعمدة الجدول الساذج: سمِّ المقياسين المتنافسين (بنية الأغلفة في مقابل الآثار النسبية والكولومية عند $Z$ الكبير).
لخّص النتيجة الموسومة: فهرس واحد من المدارات، ومضاعفة واحدة بالسبين، وإشارة ناقص واحدة — والحصيلة هي القانون الدوري: صفوف $2, 8, 8, 18$ ، والهبوطان عند B و O، وعائلتا النشط والنبيل، مقيسةً كلها في سلّم التأيّن من $5.1\,\mathrm{eV}$ (Na) إلى $24.6\,\mathrm{eV}$ (He).

حل

حل المسألة 14.1.

1. المدارات $(n, l, m)$ بعدد $n^2$ لكل $n$ ؛ والسبين يضاعف؛ وباولي يحدّ إلكترونًا واحدًا لكل وسم كامل: فتكون $2$ و $8$ و $18$ . 2. تحجب الإلكترونات الداخلية النواة حجبًا مختلفًا من أجل $l$ مختلفة: فتغرق مدارات $s$ النافذة تحت مدارات $p$ و $d$ الأقلّ نفاذًا — فيتبع ترتيب الطاقات الزوج $(n, l)$ ، لا $n$ وحده. 3. الترتيب $1s\,2s\,2p\,3s\,3p\,4s\,3d$ ؛ والصوديوم: [Ne] $3s^1$ ؛ والكلور: [Ne] $3s^23p^5$ ؛ والبوتاسيوم: [Ar] $4s^1$ ؛ والحديد: [Ar] $4s^23d^6$ . 4. تنغلق الصفوف عند كل تشكيل نبيل: $2$ (عند $1s$ )، و $8$ (عند $2s2p$ )، و $8$ من جديد (عند $3s3p$ — لأن $3d$ يقع فوق $4s$ فينتظر)، ثم $18$ (عند $4s3d4p$ ). 5. غلاف مغلق: فجوة كبيرة إلى المدار التالي، ولا إلكترون رخيص يُعطى، ولا مكان يُؤخذ. 6. $Z_{\text{فعّال}}$ هي الشحنة النووية ناقصًا حجب الإلكترونات الداخلية (وجزئيًا التي في الغلاف نفسه): فإلكترون تكافؤ الصوديوم يرى $11 - 10 \approx 1$ ؛ أما إلكترونا الهليوم فيتقاسمان الشحنة العارية $Z = 2$ ، ويحجب كل منهما الآخر بالثلث لا أكثر. 7. من Li $\to$ Be ترتفع، وتهبط عند B؛ ومن N $\to$ O تهبط: وهذان هما الهبوطان. 8. يفتتح البورون الغلاف $2p$ ، وهو أعلى وأقلّ نفاذًا من $2s$ : فإلكترونه الجديد ببساطة أسهل انتزاعًا. 9. يجب على الأكسجين، لأول مرة، أن يزدوج إلكترونين في مدار $p$ واحد: فتنافر إضافي، واستقرار تبديلي مفقود — فيُخصم من الإلكترون الرابع في $2p$ . 10. يحجب كل إلكترون الآخر حجبًا ناقصًا: فتعطي الملاءمة $24.6 = 13.6\,Z_{\text{فعّال}}^2$ القيمة $Z_{\text{فعّال}} = 1.34$ — أي ثلثا شحنة محجوبان. 11. حجب قلبي شبه تامّ ( $Z_{\text{فعّال}} \approx 1.3$ ) ووقوع الإلكترون الخارجي عند $n = 2$ : وكلاهما يقلّل الربط. 12. تدخل الإلكترونات المضافة الغلافَ نفسه و تحجب بعضها بعضًا حجبًا رديئًا بينما يتسلق $Z$ : فينمو $Z_{\text{فعّال}}$ وينكمش الغلاف كله — فالنيون أصغر من الليثيوم. 13. إلكترون $s$ واحد رخيص فوق قلب نبيل: فالتأيّن $\sim5\,\mathrm{eV}$ ، وأيونات $+1$ فورية، ومنح عنيف للإلكترون — فالسمات العائلية تشكيل واحد. 14. فجوة واحدة في إغلاق $p^6$ : فألفة إلكترونية هائلة، وأيونات $-1$ ، وازدواج الفجوات في جزيئات X $_2$ . 15. يقع $2s$ و $2p$ متقاربين: فالترقية $2s^22p^2 \to$ أربعة هجائن نصف ممتلئة تكلّف قليلًا وتشتري رابطتين إضافيتين — فرباعية تكافؤ الكربون شبه انحلال مستثمَر. 16. مع أربعة إلكترونات، يمتلئ التركيبان الرابط وضدّ الرابط: فتتقاصّ المكاسب، ولا رابطة تساهمية — فيبقى الهليوم وحيدًا. 17. تدفن إلكترونات $d$ نفسها داخل جلد $4s$ : فالكيمياء الخارجية، التي يحدّدها الغلاف $s$ ، تتغير قليلًا عبر عشرة عناصر — أي هضبة كيميائية. 18. السكانديوم، [Ar] $4s^23d^1$ : أول إلكترون $d$ غير مزدوج. 19. عزم مغناطيسي من ثلاثة سبينات مصطفّة ( $\sim3\mu_{\text{B}}$ )؛ ويدفع التبديل ثمن الاصطفاف — أي وفر كولومي، لا قوى مغناطيسية. 20. إلكترونات مميَّزة قليلًا كان يمكنها أن تتزاحم كلها نحو $1s$ (إذ لا تقاصّ تامًّا للحالات المناظَرة): فكانت الأغلفة تتسرب، وتتلطخ الإغلاقات، وينحلّ القانون الدوري. 21. $v/c \approx Z\alpha = 0.58$ : فتقلّص الزيادة النسبية في الكتلة المدارَ $6s$ وتثبّته؛ وينزلق امتصاص الذهب $5d \to 6s$ نحو الأزرق (فيترك الأصفر منعكسًا)، ويرتبط زوج $6s^2$ المشدود في الزئبق ارتباطًا واهنًا إلى حدّ يجعل الفلز سائلًا. 22. إنهما يجريان في مستوًى واحد تقريبًا: فترتيب يتوقف على الإشغال، و $4s$ يتأين أولًا، واستعارتا $3d^5$ و $3d^{10}$ في الكروم والنحاس — فالأغلفة الجزئية نصف الممتلئة والممتلئة تشتري استقرارًا تبديليًا رخيصًا. 23. الكيمياء شأن الإلكترونات، والإلكترونات لا تحسّ غير الشحنة النووية: ولا تدخل الكتلة إلا عبر انزياحات اهتزازية (نظيرية) ضئيلة. 24. بنية الأغلفة (المفضّلة لمنطق الغازات النبيلة) في مقابل التثبيتات النسبية والإجهاد الكولومي الصرف عند $Z\alpha \to 1$ : فكيمياء العناصر فائقة الثقل شدّ حبل بينهما. 25. فهرس من المدارات، ومضاعفة واحدة، وإشارة ناقص واحدة: فصفوف $2, 8, 8, 18$ ، وهبوطان عند البورون والأكسجين، وعائلات من القلوي إلى النبيل، وسلّم التأيّن من $5.1\,\mathrm{eV}$ إلى $24.6\,\mathrm{eV}$ — أي القانون الدوري مستنتَجًا لا محفوظًا.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

التبديل

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد