Physics · الكتاب 5 · Bachelor Year 3

الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة

الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

13نظرية الاضطرابات

لا تنحلّ بالضبط إلا حفنة من المسائل الكمومية: العلبة والمذبذب والهدروجين والجملة ذات المستويين. وكل ما عداها — ذرة في مجال، أو رابطة جزيء تتصلّب، أو مستوٍ يدفعه جار — هيكلٌ من تلك الهياكل المحلولة يرتدي حدًّا إضافيًا صغيرًا. ونظرية الاضطرابات فنّ معاملة الحدّ الإضافي على ما هو: تصحيح، يُحسب مرتبةً مرتبة في صغره. فقاعدتها في المرتبة الأولى متوسط في سطر واحد؛ وقاعدتها في المرتبة الثانية تفسّر لماذا تتنافر المستويات، ولماذا تكون كل ذرة قابلة للاستقطاب، ولماذا يكون تجاذب فان دير فالس كونيًا؛ وصورتها المنحلّة تعالج الحالات الدقيقة التي تعيد فيها مستويات شبه متساوية تنظيمها كليًا؛ وصورتها المتعلقة بالزمن — أي قاعدة فيرمي الذهبية — هي المعادلة وراء كل خط امتصاص ومعدل تفكك ومقطع انتثار يُقاس في مخبر. وثوابًا جاريًا، يختم الفصل بحساب لون السماء.

13.1 انزياحات صغيرة: النظرية غير المنحلّة

مبرهنة 13.1 (التصحيحات الاضطرابية)

ليكن H^=H^0+V^\hat H = \hat H_0 + \hat V مع H^0\hat H_0 محلولة (H^0∣n⟩=En∣n⟩\hat H_0\ket n = E_n\ket n، وطيفها غير منحلّ) و V^\hat V صغيرة. عندئذٍ، مرتبةً مرتبة في V^\hat V،

En′=En+⟨n∣V^∣n⟩+∑m≠n∣⟨m∣V^∣n⟩∣2En−Em+⋯E_n' = E_n + \bra n\hat V\ket n + \sum_{m \neq n}\frac{|\bra m\hat V\ket n|^2}{E_n - E_m} + \cdots

وتكتسب الحالة خلائط ∣n′⟩=∣n⟩+∑m≠n⟨m∣V^∣n⟩En−Em ∣m⟩+⋯\ket{n'} = \ket n + \sum_{m\neq n}\dfrac{\bra m\hat V\ket n}{E_n - E_m}\,\ket m + \cdots في المرتبة الأولى: الانزياح هو مجرد متوسط الاضطراب في الحالة غير المضطربة. وفي المرتبة الثانية: تدفع التقارنات مع المستويات الأخرى EnE_n بعيدًا عنها — فكل mm فوقها يدفعها نزولًا وكل ما تحتها يدفعها صعودًا — ومن ثمّ يكون انزياح الحالة الأساسية في المرتبة الثانية سالبًا دائمًا. وأما الصلاحية: فيجب أن تكون نسب الخلط ∣⟨m∣V^∣n⟩/(En−Em)∣|\bra m\hat V\ket n/(E_n - E_m)| صغيرة.

برهان جزئي. ننشر E′=E+ϵ1+ϵ2+⋯E' = E + \epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots و ∣ψ⟩=∣n⟩+∣ψ1⟩+⋯\ket{\psi} = \ket n + \ket{\psi_1} + \cdots بقوى V^\hat V، وندخلهما في (H^0+V^)∣ψ⟩=E′∣ψ⟩(\hat H_0 + \hat V)\ket\psi = E'\ket\psi، ونطابق المراتب. وإسقاط معادلة المرتبة الأولى على ⟨n∣\bra n يعطي ϵ1=⟨n∣V^∣n⟩\epsilon_1 = \bra n\hat V\ket n؛ وإسقاطها على ⟨m∣\bra m (مع m≠nm \neq n) يعطي معاملات الخلط؛ وحمل تلك إلى معادلة المرتبة الثانية وإسقاطها على ⟨n∣\bra n من جديد يعطي ϵ2\epsilon_2. وأما عبارة الإشارة من أجل الحالة الأساسية: فكل مقام E0−EmE_0 - E_m سالب في حين أن البسوط مربعات. ∎

قضية 13.2 (اضطراب له جواب مضبوط)

مذبذب شحنته qq في مجال منتظم E\mathcal E له V^=−qEx^\hat V = -q\mathcal E\hat x. وإكمال المربع يحلّه بالضبط: فالكمون هو القطع المكافئ نفسه، مزاحًا، وكل المستويات مخفوضة بالمقدار q2E2/2mω2q^2\mathcal E^2/2m\omega^2. ويجب أن توافق نظرية الاضطرابات — وهي توافق: إذ تنعدم المرتبة الأولى (لأن ⟨x^⟩n=0\langle\hat x\rangle_n = 0)، ويعطي مجموع المرتبة الثانية، الذي لا يقارن فيه x^\hat x العددَ nn إلا مع n±1n \pm 1، بالضبط −q2E2/2mω2-q^2\mathcal E^2/2m\omega^2 لكل مستوٍ (التمرين 13.2). فحالة محلولة واحدة، متحقَّق منها بالطريقتين، أفضل معايرة يمكن أن تنالها طريقة.

برهان. يعطي العنصران المصفوفيان ومقاماهما

∣⟨n+1∣x^∣n⟩∣2−ℏω+∣⟨n−1∣x^∣n⟩∣2+ℏω=ℏ2mω −(n+1)+nℏω=−12mω2;\frac{|\bra{n+1}\hat x\ket{n}|^2}{-\hbar\omega} + \frac{|\bra{n-1}\hat x\ket n|^2}{+\hbar\omega} = \frac{\hbar}{2m\omega}\,\frac{-(n+1) + n}{\hbar\omega} = -\frac{1}{2m\omega^2} ;

ثم نضرب في q2E2q^2\mathcal E^2. ∎

تنافر المستويات: مستويان متقارنان لا يتقاطعان أبدًا — فكلما تغيّر التقارن (أو وسيط يمسح الطاقات العارية)، تجنّبت الطاقات المضبوطة ±√ 2 + v2 بعضها بعضًا. وصيغة المرتبة الثانية هي الجناح البعيد لهذا القطع الزائد؛ أما “التقاطع المتجنَّب” في الوسط فهو حيث تسلّم نظرية الاضطرابات الرايةَ للتقطير المضبوط.
تنافر المستويات: مستويان متقارنان لا يتقاطعان أبدًا — فكلما تغيّر التقارن (أو وسيط يمسح الطاقات العارية)، تجنّبت الطاقات المضبوطة ±Δ2+v2\pm\sqrt{\Delta^2 + v^2} بعضها بعضًا. وصيغة المرتبة الثانية هي الجناح البعيد لهذا القطع الزائد؛ أما “التقاطع المتجنَّب” في الوسط فهو حيث تسلّم نظرية الاضطرابات الرايةَ للتقطير المضبوط.

13.2 حين تكون المستويات منحلّة

مبرهنة 13.3 (نظرية الاضطرابات المنحلّة)

إذا كان EnE_n منحلًّا، قسمت الصيغة أعلاه على الصفر — فقد يعيد الاضطراب تنظيم الحالات المنحلّة كليًا، والعلاج أن ندعه يفعل: أي نقطّر V^\hat V مقصورًا على الفضاء الجزئي المنحلّ. فقيمه الذاتية هي انزياحات المرتبة الأولى؛ ومتجهاته الذاتية هي حالات المرتبة الصفرية الصحيحة، أي التراكيب التي ينتقيها الاضطراب نفسه.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 13.4 (أثر شتارك الخطي)

يحوي المستوي n=2n = 2 في الهدروجين الحالتين المنحلّتين 2s2s و 2p2p. وفي مجال Ee→z\mathcal E\vect e_z، يقارن V^=eEz^\hat V = e\mathcal E\hat z الحالة 2s2s مع 2p02p_0 بالعنصر ⟨2s∣z^∣2p0⟩=−3a0\bra{2s}\hat z\ket{2p_0} = -3a_0: فيعطي تقطير القالب 2×22\times2 الانزياحين

ΔE=± 3ea0E,\Delta E = \pm\,3e a_0\mathcal E ,

وهما خطيان في المجال — في حين لا تنزاح الحالة الأساسية غير المنحلّة إلا تربيعيًا. وعند E=107 V/m\mathcal E = 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}: يكون الانزياح ±1.6 meV\pm 1.6\,\mathrm{meV}، وهو انفصام سهل التمييز. والحالتان اللتان تقومان بالانفصام هما (∣2s⟩∓∣2p0⟩)/2(\ket{2s} \mp \ket{2p_0})/\sqrt2 — أي هجينان لهما ثنائي قطب كهربائي دائم، ولا يمكنان إلا لأن الانحلال ترك الذرة حرة في أن تستقطب في المرتبة الصفرية. (والتهجين ss–pp نفسه، مقودًا بالجيران بدل المجال، هو كيمياء الكربون في كل جزيء عضوي.)

أثر شتارك الخطي في الغلاف n = 2 للهدروجين: يهجّن المجال الحالتين المنحلّتين 2s و 2p_0 في حالتين ذواتَي ثنائي قطب دائم منزاحتين بالمقدار ±3ea_0 E، ويترك 2p_±1 بلا مساس في المرتبة الأولى.
أثر شتارك الخطي في الغلاف n=2n = 2 للهدروجين: يهجّن المجال الحالتين المنحلّتين 2s2s و 2p02p_0 في حالتين ذواتَي ثنائي قطب دائم منزاحتين بالمقدار ±3ea0E\pm3ea_0\mathcal E، ويترك 2p±12p_{\pm1} بلا مساس في المرتبة الأولى.

13.3 الانتقالات: القاعدة الذهبية

مبرهنة 13.5 (الاضطرابات المتعلقة بالزمن)

شغّل V^(t)=V^cos⁡ωt\hat V(t) = \hat V\cos\omega t عند t=0t = 0. عندئذٍ، حتى المرتبة الأولى، يكون احتمال إيجاد الجملة في ∣f⟩\ket f عند الزمن tt، وقد بدأت في ∣i⟩\ket i، هو

Pi→f(t)=∣⟨f∣V^∣i⟩∣24ℏ2  sin⁡2 ⁣[(ωfi−ω) t/2][(ωfi−ω)/2]2,ωfi=Ef−Eiℏ:\mathcal P_{i\to f}(t) = \frac{|\bra f\hat V\ket i|^2}{4\hbar^2}\; \frac{\sin^2\!\big[(\omega_{fi} - \omega)\,t/2\big]} {\big[(\omega_{fi} - \omega)/2\big]^2} , \qquad \omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar} :

أي رنين حادّ الذروة عند ℏω=Ef−Ei\hbar\omega = E_f - E_i — وهو امتصاص لمّا Ef>EiE_f > E_i، وإصدار مستحثّ من أجل الحدّ القرين مع Ef<EiE_f < E_i. وحين تؤلف الحالات النهائية سلسلة مستمرة كثافتها ρ(E)\rho(E)، يصير نموّ الذروة معدلًا ثابتًا:

Γi→f=2πℏ ∣⟨f∣V^∣i⟩∣2 ρ(Ef)\Gamma_{i\to f} = \frac{2\pi}{\hbar}\, |\bra f\hat V\ket i|^2\,\rho(E_f)

— وهي قاعدة فيرمي الذهبية، الصيغة الأمّ لمعدلات التفكك ومعاملات الامتصاص والمقاطع.

برهان جزئي. سعة المرتبة الأولى: cf(t)=−iℏ∫0t⟨f∣V^(t′)∣i⟩ eiωfit′ ⁣dt′c_f(t) = -\tfrac{\iu}{\hbar}\int_0^t\bra f\hat V(t')\ket i\,\eu^{\iu\omega_{fi}t'}\dd t'؛ وبإبقاء الأسّي القريب من الرنين ومكاملته نجد صورة sin⁡2\sin^2 المذكورة. وأما السلسلة المستمرة: فبدلالة الانحراف xx، يكون لعامل الرنين ارتفاع t2t^2 وعرض ∼2π/t\sim 2\pi/t — ومساحة 2πt2\pi t — فيستبدل جمعُه على سلسلة مستمرة ملساء به المقدارَ 2πt ρ2\pi t\,\rho: أي احتمال خطي في tt، وهو معدل. ∎

على اليسار: احتمال الانتقال في المرتبة الأولى بدلالة الانحراف — أي رنين يزداد ضيقًا وارتفاعًا وتنمو مساحته خطيًا في الزمن. وعلى اليمين: نحو سلسلة مستمرة، يكون ذلك النموّ الخطي معدل تفكك ثابتًا: أي القاعدة الذهبية.
على اليسار: احتمال الانتقال في المرتبة الأولى بدلالة الانحراف — أي رنين يزداد ضيقًا وارتفاعًا وتنمو مساحته خطيًا في الزمن. وعلى اليمين: نحو سلسلة مستمرة، يكون ذلك النموّ الخطي معدل تفكك ثابتًا: أي القاعدة الذهبية.

مثال 13.6 (ما الذي تديره القاعدة الذهبية)

قواعد الانتقاء: لا يقع الانتقال إلا إذا نجا العنصر المصفوفي ⟨f∣V^∣i⟩\bra f\hat V\ket i — ومن أجل الضوء، V^∝z^\hat V \propto \hat z، وتقتل زوجيته وعزمه الحركي كل شيء عدا Δl=±1\Delta l = \pm1 و Δm=0,±1\Delta m = 0, \pm1: أي القواعد التي استُدعيت منذ الفصل 10، وقد صارت الآن مبرهنات. والمعدلات: يُحسب التفكك التلقائي للحالة 2p2p في الهدروجين فيعطي 1.6 ns1.6\,\mathrm{ns} (التمرين 13.8)؛ أما انتقال ميزر النشادر، بتواتره الميكروي ω3\omega^3، فيستغرق شهورًا — والعامل ω3\omega^3 في معدلات الإشعاع هو سبب عيش الخطوط الراديوية (المثال 12.7) ملايين السنين بينما تومض الخطوط فوق البنفسجية في نانوثوانٍ. وأطياف الامتصاص، والتأيّن الضوئي، وتفكك بيتا النووي (الفصل 25)، ومقاطع الانتثار (الفصل 15): كلها هذه الصيغة الواحدة بعناصر مصفوفية وإحصاءات حالات مختلفة.

طريقة 13.7 (اختيار الأداة الاضطرابية الصحيحة)

(1) سؤال ساكن ومستوٍ غير منحلّ: توسيط V^\hat V (في المرتبة الأولى)؛ فإن انعدم ذلك بالتناظر، فالمرتبة الثانية — وتوقّع تنافر المستويات. (2) ومستوٍ منحلّ: قطّر V^\hat V في القالب المنحلّ أولًا؛ فالتراكيب المكيَّفة مع التناظر هي التي تقوم بالانفصام. (3) ومعدلات الانتقال: القاعدة الذهبية — عنصر مصفوفي واحد وكثافة حالات واحدة؛ وتحقق من قواعد الانتقاء قبل حساب أيّ شيء. (4) واختبر النشر دائمًا: فيجب أن تكون نسبة الخلط ∣Vmn/(En−Em)∣≪1|V_{mn}/(E_n - E_m)| \ll 1، وإلا فقطّر بالضبط (بصيغة المستويين). (5) والحالات الحدية المحلولة بالضبط (كالمذبذب في مجال) معايرات مجانية: فاستعملها.

غروب بوصفه نظرية اضطرابات: تنتثر جزيئات الهواء الضوء الأزرق أسهل بكثير من الأحمر (بفضل العامل 4 من قرابة القاعدة الذهبية في هذا الفصل)، فيصفّي المسار الطويل عند الأفق الأزرقَ ويرسله إلى ظهيرة شخص آخر.
غروب بوصفه نظرية اضطرابات: تنتثر جزيئات الهواء الضوء الأزرق أسهل بكثير من الأحمر (بفضل العامل ω4\omega^4 من قرابة القاعدة الذهبية في هذا الفصل)، فيصفّي المسار الطويل عند الأفق الأزرقَ ويرسله إلى ظهيرة شخص آخر.

13.4 تمارين

تمرين 13.1 ★

جسيم في علبة [0,a][0, a] يحسّ الكمون الإضافي V(x)=λx/aV(x) = \lambda x/a. (أ) احسب انزياح كل مستوٍ في المرتبة الأولى (استعمل ⟨x⟩=a/2\langle x\rangle = a/2 في أيّ حالة من حالات العلبة — وبرّر ذلك). (ب) لماذا يكون الانزياح واحدًا لكل المستويات هنا؟ (ج) ما التغير في التباعدات في المرتبة الأولى، ولماذا قد يفوت قياسَ تواترات الانتقال هذا الاضطرابُ كليًا؟ (د) متى تكف المرتبة الأولى عن أن تكون موثوقة؟

حل

حل التمرين 13.1.

(أ) كل ∣φn∣2|\varphi_n|^2 متناظرة حول a/2a/2، ومنه ⟨x⟩=a/2\langle x\rangle = a/2 و ΔEn=λ/2\Delta E_n = \lambda/2 من أجل كل nn. (ب) وهو أثر التناظر لا الديناميك. (ج) والانزياح المشترك يتقاصّ في كل فرق: فلا ترى المطيافية، وهي تقيس التباعدات، شيئًا في المرتبة الأولى. (د) حين يصير λ\lambda منافسًا لتباعدات المستويات، يهمّ خلط الحالات المهمَل (أي المرتبة الثانية).

تمرين 13.2 ★

نفّذ حساب المرتبة الثانية في القضية 13.2 كاملًا: العناصر المصفوفية للمؤثر x^\hat x، والحدّان، وتقاصّ nn، و التوافق التامّ مع إكمال المربع. ولماذا لا ينعدم تصحيح الحالة في المرتبة الأولى مع أن تصحيح الطاقة ينعدم؟

حل

حل التمرين 13.2.

⟨n±1∣x^∣n⟩=ℏ/2mω n+12±12\bra{n\pm1}\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,\sqrt{n + \tfrac12 \pm \tfrac12}؛ ويعطي حدّا المرتبة الثانية

q2E2ℏ2mω[n+1−ℏω+nℏω]=−q2E22mω2,\frac{q^2\mathcal E^2\hbar}{2m\omega}\Big[\frac{n+1}{-\hbar\omega} + \frac{n}{\hbar\omega}\Big] = -\frac{q^2\mathcal E^2}{2m\omega^2} ,

مستقلًا عن nn — وهو الجواب المضبوط. أما الحالة فتُصحَّح فعلًا في المرتبة الأولى (إذ تزيح خلائط n±1n \pm 1 الدالةَ الموجية جانبيًا)؛ ولا ينعدم إلا جزء الطاقة في المرتبة الأولى، بالزوجية.

تمرين 13.3 ★

الهاميلتونية ذات المستويين (E1vvE2)\begin{pmatrix}E_1 & v\\ v & E_2\end{pmatrix} مع E1<E2E_1 < E_2 و vv حقيقي. (أ) أوجد القيم الذاتية المضبوطة. (ب) انشرها من أجل ∣v∣≪E2−E1|v| \ll E_2 - E_1 وعيّن صيغة المرتبة الثانية. (ج) بيّن أن المستويين يتنافران: فالفجوة تفوق E2−E1E_2 - E_1 دائمًا. (د) وعند E1=E2E_1 = E_2: ماذا تعطي نظرية الاضطرابات، وماذا يعطي الجواب المضبوط، وأيّ مبرهنة من مبرهنات الفصل توفّق بينهما؟

حل

حل التمرين 13.3.

(أ) E±=Eˉ±(Δ/2)2+v2E_\pm = \bar E \pm \sqrt{(\Delta/2)^2 + v^2} مع Δ=E2−E1\Delta = E_2 - E_1. (ب) E−≈E1−v2/ΔE_- \approx E_1 - v^2/\Delta و E+≈E2+v2/ΔE_+ \approx E_2 + v^2/\Delta: أي صيغة المرتبة الثانية، حدًّا حدًّا. (ج) الفجوة 2(Δ/2)2+v2≥Δ2\sqrt{(\Delta/2)^2 + v^2} \ge \Delta، ولا مساواة إلا عند v=0v = 0. (د) يتباعد النشر؛ ويعطي الجواب المضبوط ±∣v∣\pm|v| — وهو بالضبط ما يقضي به تقطير V^\hat V في القالب المنحلّ (المبرهنة 13.3).

تمرين 13.4 ★

من أجل المبرهنة 13.1: (أ) بيّن أن تصحيح الحالة في المرتبة الأولى متعامد مع ∣n⟩\ket n؛ (ب) بيّن أن معامل خلط ∣m⟩\ket m هو Vmn/(En−Em)V_{mn}/(E_n - E_m) و اذكر معيار الصلاحية؛ (ج) مستوٍ يبعد 1 eV1\,\mathrm{eV} عن أقرب جيرانه ويتقارن معه بالمقدار 0.1 eV0.1\,\mathrm{eV}: قدّر احتمال الخلط؛ (د) والسؤال نفسه مع فجوة 10 meV10\,\mathrm{meV} — فأيّ أداة ينبغي أن تحلّ محل النشر؟

حل

حل التمرين 13.4.

(أ) يسند النشر إلى ∣n⟩\ket n المعامل 11؛ والتنظيم حتى المرتبة الأولى يدفع التصحيح إلى المتمّمة المتعامدة. (ب) من الإسقاط على ⟨m∣\bra m؛ ويقتضي الخلط الصغير أن يكون ∣Vmn∣≪∣En−Em∣|V_{mn}| \ll |E_n - E_m|. (ج) (0.1)2=1%(0.1)^2 = 1\%. (د) (0.1/0.01)2=100(0.1/0.01)^2 = 100: وهو عبث — فقطّر القالب ذا المستويين بالضبط.

تمرين 13.5 ★★

الروابط اللاتوافقية. أضف V^=βx^3+γx^4\hat V = \beta\hat x^3 + \gamma\hat x^4 إلى المذبذب. (أ) بيّن أن الحدّ x3x^3 لا يزيح أيّ مستوٍ في المرتبة الأولى (بالزوجية). (ب) بيّن أن الحدّ x4x^4 يعطي ΔEn=3γ(ℏ/2mω)2(2n2+2n+1)\Delta E_n = 3\gamma(\hbar/2m\omega)^2(2n^2 + 2n + 1) (انشر x^4\hat x^4 بمؤثري السلّم؛ فلا تبقى غير الحدود “المتوازنة”). (ج) من أجل رابطة حقيقية يكون γ\gamma الفعّال سالبًا (إذ تليّن البئر إلى الخارج): بيّن أن تباعد المستويات يتقلص عندئذٍ مع nn. (د) أيّ معلم مشاهَد في أطياف الجزيئات (التمرين 9.4) يعيد هذا إنتاجه؟

حل

حل التمرين 13.5.

(أ) x^3\hat x^3 فردي: فينعدم متوسطه في أيّ حالة ذاتية للزوجية. (ب) وبكتابة x^4∝(a^+a^†)4\hat x^4 \propto (\hat a + \hat a^\dagger)^4 وإبقاء الحدود الستة ذات الرفع والخفض المتساويين نجد ⟨(a^+a^†)4⟩n=6n2+6n+3\langle(\hat a + \hat a^\dagger)^4\rangle_n = 6n^2 + 6n + 3: أي الانزياح المذكور. (ج) ومع γ<0\gamma < 0 يصير الانزياح أشدّ سلبيةً وفق n2n^2: فتتناقص التباعدات المتتالية En+1−EnE_{n+1} - E_n تناقصًا خطيًا في nn. (د) درجات السلالم الاهتزازية الحقيقية المتقاربة — أي التوافقيات العلوية الأقلّ قليلًا من مضاعفات الأساسي، وحدّ التفكك المنتهي.

تمرين 13.6 ★★

في العلبة المربعة الثنائية البعد، يُضطرب الزوج المنحلّ ∣1,2⟩,∣2,1⟩\ket{1,2}, \ket{2,1} بالمؤثر V^=λ xy\hat V = \lambda\,xy. (أ) اشرح لماذا تخفق النظرية غير المنحلّة. (ب) احسب مصفوفة 2×22\times2 للمؤثر V^\hat V في الزوج (فالتكاملات تتحلل إلى عوامل؛ ولدينا ∫0axsin⁡(πx/a)sin⁡(2πx/a) ⁣dx=−8a2/9π2\int_0^a x\sin(\pi x/a)\sin(2\pi x/a)\dd x = -8a^2/9\pi^2). (ج) أوجد الانفصامات وحالات المرتبة الصفرية الصحيحة. (د) قارن مع تحليل التناظر في التمرين 8.9: فأيّ جواب أعطاه التناظر مجانًا؟

حل

حل التمرين 13.6.

(أ) الزوج منحلّ: فتنعدم المقامات. (ب) العناصر القطرية λ(a/2)2\lambda(a/2)^2؛ وغير القطرية λc2\lambda c^2 مع c=−8a2/9π2c = -8a^2/9\pi^2 — إذ تتحلل التكاملات إلى الجزأين الأحاديَي البعد. (ج) الانزياحات λ[(a/2)2±(8a2/9π2)2/a2⋅a2]\lambda[(a/2)^2 \pm (8a^2/9\pi^2)^2/a^2\cdot a^2] — أي λa2(14±64/81π4)\lambda a^2(\tfrac14 \pm 64/81\pi^4) — بحالتين ذاتيتين (∣1,2⟩±∣2,1⟩)/2(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/ \sqrt2. (د) كان التناظر قد سمّى الحالتين الذاتيتين سلفًا (أي التركيبين الزوجي والفردي تحت التبديل)؛ فلم يكن أمام الاضطراب إلا أن يختارهما، وقد كان.

تمرين 13.7 ★★

أثرا شتارك، الخطي والتربيعي. (أ) باستعمال المثال 13.4، احسب انفصام n=2n = 2 عند E=2.5×106 V/m\mathcal E = 2.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. (ب) لماذا لا تُظهر الحالة الأساسية انزياحًا خطيًا (ولسببين: الزوجية، وانعدام شريك منحلّ)؟ (ج) يعرّف انزياحها التربيعي القابلية للاستقطاب، ΔE=−12αE2\Delta E = -\tfrac12\alpha\mathcal E^2: قدّر α∼e2a02/EI\alpha \sim e^2a_0^2/E_{\text{I}} وعبّر عنه بوحدة a03a_0^3 (والجواب المضبوط 4.5 a03×4πε04.5\,a_0^3 \times 4\pi\varepsilon_0). (د) أيّ خاصية يومية للمادة — أي استجابتها العازلة — حسبتَ لتوّك بذرتها الذرّية؟

حل

حل التمرين 13.7.

(أ) 3ea0E=3×5.29×10−11×2.5×106=0.40 meV3ea_0\mathcal E = 3 \times 5.29 \times 10^{-11} \times 2.5 \times 10^{6} = 0.40\,\mathrm{meV} في كل اتجاه. (ب) ⟨100∣z^∣100⟩=0\bra{100}\hat z\ket{100} = 0 بالزوجية، ولا وجود لشريك منحلّ يهجَّن معه. (ج) α∼2e2a02/EI→α/4πε0∼2a03\alpha \sim 2e^2a_0^2/E_{\text{I}} \to \alpha/4\pi\varepsilon_0 \sim 2a_0^3، وهي الرتبة الصحيحة بجانب القيمة المضبوطة 4.5 a034.5\,a_0^3. (د) ثابت العزل: فقيمة εr\varepsilon_{\text{r}} في كل مكثفة ذرات تجيب المجالات بهذا الرضوخ من المرتبة الثانية بالضبط.

تمرين 13.8 ★★

الإصدار التلقائي (بمعطًى واحد مُسلَّم به): تتفكك حالة مثارة بالمعدل A=ω3∣dfi∣2/3πε0ℏc3A = \omega^3|d_{fi}|^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3، حيث تحدّد العناصر المصفوفية من نمط dfi=e⟨f∣z^∣i⟩d_{fi} = e\bra f\hat z\ket i ثنائي القطب. (أ) من أجل الانتقال 2p→1s2p \to 1s في الهدروجين: مع ∣d∣≈0.74 ea0|d| \approx 0.74\, ea_0 و λ=121.6 nm\lambda = 121.6\,\mathrm{nm}، احسب AA و العمر. (ب) احجّم النتيجة لخط الصوديوم D. (ج) واحجّمها إلى الانتقال فوق الدقيق عند 21 سنتيمترًا (حيث يصير ∣d∣→|d| \to عزمًا مغناطيسيًّا، ويهبط المعدل بعامل آخر من رتبة α2\alpha^2؛ واقبل A≈2.9×10−15 s−1A \approx 2.9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}): وتحقق من “عشرة ملايين سنة”. (د) انطلاقًا من العامل ω3\omega^3: لماذا تكون الخطوط فوق البنفسجية سريعة والخطوط الراديوية أبدية، ولماذا جعل ذلك خط 21 سنتيمترًا قابلًا للتنبؤ لكنه يكاد لا يُكشف في مخبر؟

حل

حل التمرين 13.8.

(أ) A=ω3∣d∣2/3πε0ℏc3≈6×108 s−1A = \omega^3|d|^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3 \approx 6 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}: ومنه τ=1.6 ns\tau = 1.6\,\mathrm{ns}. (ب) يصغر ω\omega بالعامل 4.84.8: فيصغر ω3\omega^3 بالعامل 110110؛ ومع ثنائي القطب الأكبر قليلًا يخرج خط الصوديوم D عند ∼16 ns\sim16\,\mathrm{ns} — كما هو مقيس. (ج) 1/A=3.4×1014 s≈111/A = 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} \approx 11 مليون سنة. (د) يمسح ω3\omega^3 عاملًا مقداره 102010^{20} بين فوق البنفسجي والراديو: فومضات فوق بنفسجية سريعة، وصبر راديوي جيولوجي — ومن ثمّ تُنبِّئ بخط 21 سنتيمترًا (فان دي هولست، 1944) نظريًا وبُحث عنه في السماء، حيث تعوّض 106610^{66} ذرة عن الصبر.

تمرين 13.9 ★★

قواعد الانتقاء تكاملاتٍ. (أ) بيّن أن ⟨100∣z^∣200⟩=0\bra{100}\hat z\ket{200} = 0 بالزوجية. (ب) بيّن أن ⟨100∣z^∣21m⟩=0\bra{100}\hat z\ket{21m} = 0 ما لم يكن m=0m = 0 (بتكامل φ\varphi). (ج) اذكر القاعدتين الناتجتين Δl=±1\Delta l = \pm1 و Δm=0,±1\Delta m = 0, \pm1 وقراءتهما الفيزيائية (أي سبين الفوتون). (د) لا تستطيع الحالة 2s2s بلوغ 1s1s بأيّ طريق ثنائي القطب: فبم يتنبأ ذلك في شأن عمرها، وأيّ طريق “ممنوع” بفوتونين تسلكه الطبيعة فعلًا؟

حل

حل التمرين 13.9.

(أ) الحالتان زوجيتان مضروبتان في z^\hat z الفردي: فالمقدار تحت التكامل فردي. (ب) تكامل φ\varphi، أي ∫02πeimφ ⁣dφ\int_0^{2\pi}\eu^{\iu m\varphi}\dd\varphi، ينعدم ما لم يكن m=0m = 0. (ج) يحمل الفوتون ℏ\hbar واحدًا و زوجية فردية: فيجب أن يتغير ll بواحد، و mm بواحد على الأكثر. (د) ومع انغلاق كل أبواب الفوتون الواحد، تعيش 2s2s نحو ∼0.12 s\sim0.12\,\mathrm{s} — أي ثماني رتب وراء 2p2p — متفككةً بإصدار متزامن لفوتونين، وهي سلسلة مستمرة خافتة مشاهَدة فعلًا في السدم الكوكبية.

تمرين 13.10 ★★★

القابلية للاستقطاب بأمانة. انزياح الحالة الأساسية للهدروجين في مجال، في المرتبة الثانية، هو ΔE=−e2E2∑m≠0∣⟨m∣z^∣0⟩∣2/(Em−E0)\Delta E = -e^2\mathcal E^2\sum_{m\neq 0}|\bra m\hat z\ket 0|^2/(E_m - E_0). (أ) حاصر المجموع باستبدال أصغر فجوة E2−E1=34EIE_2 - E_1 = \tfrac34 E_{\text{I}} بكل مقام واستعمال علاقة التمام ∑m∣⟨m∣z^∣0⟩∣2=⟨z2⟩0=a02\sum_m|\bra m\hat z\ket0|^2 = \langle z^2\rangle_0 = a_0^2: فتجد α≤163 a03\alpha \le \tfrac{16}3\,a_0^3 (بوحدات من نمط غاوس أي 4πε04\pi\varepsilon_0). (ب) قارنه بالقيمة المضبوطة 92a03\tfrac92 a_0^3. (ج) انطلاقًا من α\alpha، قدّر قرينة انكسار غاز الهدروجين عند الكثافة الجوّية (n−1≈Nα/2ε0⋅e2…n - 1 \approx N\alpha/2\varepsilon_0 \cdot e^2\dots — استعمل n−1=NαSI/2ε0n - 1 = N\alpha_{\text{SI}}/2 \varepsilon_0) وقارنها بالقيمة المقيسة 1.3×10−41.3 \times 10^{-4}. (د) اذكر في جملة واحدة السلسلة ذرة →\to قابلية للاستقطاب →\to انكسار التي سيركبها الجزء الثاني من مسألة نهاية الأسبوع.

حل

حل التمرين 13.10.

(أ) باستبدال أصغر مقام، أي 34EI\tfrac34 E_{\text{I}}، بالمقامات، وباستعمال التمام: α/4πε0≤2 a02 (2EI) / (34EI)⋅12=163 a03\alpha/4\pi\varepsilon_0 \le 2\,a_0^2\,(2E_{\text{I}})\,/\,(\tfrac34 E_{\text{I}})\cdot\tfrac12 = \tfrac{16}3\,a_0^3. (ب) وتقع القيمة المضبوطة 4.5 a034.5\,a_0^3 دون الحدّ، كما يجب. (ج) n−1=NαSI/2ε0≈10−4n - 1 = N\alpha_{\text{SI}}/2\varepsilon_0 \approx 10^{-4} في مقابل القيمة المقيسة 1.3×10−41.3 \times 10^{-4}: فليونة الذرة في المرتبة الثانية هي انكسار الغاز. (د) مجموع عناصر مصفوفية واحد يحدّد كيف ترضخ ذرة لمجال، والرضوخ الجماعي لعدد 102510^{25} ذرة في المتر المكعب يثني الضوء: فنظرية الاضطرابات →\to قابلية للاستقطاب →\to بصريات.

تمرين 13.11 ★★★

التقاطعات المتجنَّبة والمسح البطيء. جملة ذات مستويين لها طاقتان عاريتان ±λt\pm\lambda t تتقاطعان عند t=0t = 0، وتتقارنان بالمقدار vv. (أ) ارسم المستويين المضبوطين تقريبيًا بدلالة tt: أي تقاطع متجنَّب فجوته 2∣v∣2|v|. (ب) إذا كان المسح بطيئًا، تتبع الجملة المنحني الأدنى (بمبرهنة الكظومية، وهي مُسلَّم بها): ففي أيّ حالة تنتهي؟ (ج) يقارن معيار لانداو–زينر زمن المسح عبر منطقة الفجوة، ∼v/λ\sim v/\lambda، بالساعة الداخلية ℏ/v\hbar/v: أعطِ شرط التتبع الكظوم. (د) واستعمالان: حالة كيوبت تُنقل بزقزقة بطيئة؛ وتصادم ذري تقفز فيه شحنة بين نواتين — اشرح أحدهما في جملتين.

حل

حل التمرين 13.11.

(أ) فرعا قطع زائد، وأقرب اقتراب 2∣v∣2|v| عند t=0t = 0. (ب) في الحالة التي تتبع المنحني الأدنى باستمرار — فقد بدّلت الحالة “اللاكظومة” الابتدائية طبيعتها: أي نقل تامّ. (ج) زمن العبور ∼v/λ\sim v/\lambda طويل أمام ℏ/v\hbar/v: فيكون التتبع كظومًا لمّا v2/ℏλ≫1v^2/\hbar\lambda \gg 1. (د) في الكيوبت: امسح مجال تحكم ببطء عبر التقاطع المتجنَّب فتركب الجمهرة الفرع الأدنى من حالة أساس إلى الأخرى — أي نقل متين أمام أخطاء التوقيت، يُستعمل يوميًا في التحضير الكظوم للحالات.

تمرين 13.12 ★★★

المرتبة الثانية متشائمة، ومبرهنات أخرى. (أ) برهن على أن تصحيح المرتبة الثانية للحالة الأساسية سالب دائمًا. (ب) استنتج (مع التمرين 9.10) لماذا تكون قوى فان دير فالس جاذبة دائمًا بين ذرات في حالتها الأساسية. (ج) بيّن أن نظرية المرتبة الأولى تبالغ في تقدير كل طاقة أساسية: فهي حدّ تغايري (قدّر ⟨ψ0∣H^∣ψ0⟩\bra{\psi_0}\hat H\ket{\psi_0} بالحالة غير المضطربة دالةً تجريبية). (د) تحقق من الاتساق مع المثال 13.4: فلماذا لا يكون أثر شتارك الخطي خرقًا للسؤال (أ)؟

حل

حل التمرين 13.12.

(أ) لكل حدّ من حدود المجموع مربع في بسطه ومقام سالب. (ب) الأثر الغالب بين ذرتين في حالتيهما الأساسيتين من المرتبة الثانية في تقارن ثنائيَي قطبهما: فهو سالب — أي تجاذب دائمًا، لأيّ زوج من الأنواع. (ج) ⟨ψ0∣H^∣ψ0⟩=E0+⟨ψ0∣V^∣ψ0⟩\bra{\psi_0}\hat H\ket{ \psi_0} = E_0 + \bra{\psi_0}\hat V\ket{\psi_0} طاقةُ حالة تجريبية، ومن ثمّ فهي ≥\ge الطاقة الأساسية الحقيقية: فلا تستطيع المرتبة الأولى إلا أن تبالغ. (د) الحالتان المنفصمتان عند n=2n = 2 حالتان مثارتان؛ والمبرهنة تخصّ الحالة الأساسية الحقيقية، التي ينعدم انزياحها الخطي — فلا تعارض.

13.5 مسألة: لون السماء

مسألة 13.1

مسألة نهاية الأسبوع — انتثار رايلي من ذرات مضطربة

لماذا تكون سماء النهار زرقاء والغروب أحمر والسحابة بيضاء؟ والجواب الكامل سلسلة عبر هذا الفصل: فموجة ضوئية تضطرب كل جزيء هواء؛ ويعيد ثنائي القطب المستحثّ الإشعاع (وهو إشعاع ثنائي القطب في كتاب السنة الثانية)؛ ويقرّر التداخل ما الذي ينجو. المعطيات: القابلية الجزيئية للاستقطاب في الهواء α/4πε0≈2.2×10−30 m3\alpha/4\pi\varepsilon_0 \approx 2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}؛ والكثافة العددية N=2.5×1025 m−3N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}؛ والمجال المرئي 450450–700 nm700\,\mathrm{nm}.

الجزء الأول — الجزيء المضطرب.

  1. مجال ساكن E\mathcal E يزيح الحالة الأساسية لجزيء بالمقدار −12αE2-\tfrac12\alpha\mathcal E^2: اربط هذه العبارة بنظرية الاضطرابات في المرتبة الثانية (أيّ صيغة، ولماذا سالبة؟).
  2. ويعطي α\alpha نفسه ثنائي القطب المستحثّ p=αEp = \alpha\mathcal E: فمن أجل مجال ضوء الشمس E∼800 V/m\mathcal E \sim 800\,\mathrm{V}/\mathrm{m}، احسب ثنائي القطب المستحثّ في جزيء نتروجين واحد وقارنه بالمقدار ea0ea_0.
  3. لماذا يجوز معالجة المجال الضوئي (تواتره 5×10145 \times 10^{14} هرتز) بالقابلية الساكنة للاستقطاب من أجل جزيئات تقع انتقالاتها الإلكترونية في فوق البنفسجي؟ (قارن ℏω\hbar\omega بالفجوة؛ وهذه هي نهاية الابتعاد عن الرنين في مقام القاعدة الذهبية.)
  4. ثنائي قطب متذبذب p0cos⁡ωtp_0\cos\omega t يشعّ الاستطاعة المتوسطة P=p02ω4/12πε0c3P = p_0^2\omega^4/12\pi\varepsilon_0c^3 (كتاب السنة الثانية). وبضمّ ذلك إلى p0=αE0p_0 = \alpha\mathcal E_0: كيف تتوقف الاستطاعة المنتثرة على ω\omega عند إضاءة ثابتة؟
  5. احسب نسبة الاستطاعتين المنتثرتين عند 450 nm450\,\mathrm{nm} وعند 700 nm700\,\mathrm{nm}.
  6. في جملة واحدة: لماذا تكون السماء زرقاء لا بنفسجية (وثمة مكوّنان: طيف الشمس الهابط نحو البنفسجي، وحساسية العين)؟

الجزء الثاني — من جزيء واحد إلى السماء.

  1. يخرج مقطع الانتثار بالصورة σ=8π3(α4πε0)2ω4c4\sigma = \dfrac{8\pi}{3}\Big(\dfrac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \Big)^2\dfrac{\omega^4}{c^4}: تحقق من أبعاده و قدّره عند 550 nm550\,\mathrm{nm}.
  2. طول التوهين هو ℓ=1/Nσ\ell = 1/N\sigma: قدّره عند 550 nm550\,\mathrm{nm} وقارنه بسماكة الغلاف الجوّي (∼8 km\sim8\,\mathrm{km} مكافئة عند كثافة مستوى البحر).
  3. عند 450 nm450\,\mathrm{nm} في مقابل 700 nm700\,\mathrm{nm}، ما نسبة حزمة شمسية شاقولية تُنتثر خارجًا؟ (استعمل 1−e−L/ℓ1 - \eu^{-L/\ell} مع L=8 kmL = 8\,\mathrm{km}.)
  4. عند الغروب يكون المسار أطول ثلاثين مرة: أعد حساب نجاة الأزرق واشرح لون الشمس المنخفضة — ولون الضوء الذي يحمرّ به القمر في خسوف قمري.
  5. لماذا يكون ضوء السماء مستقطبًا عند 90∘90^\circ من الشمس (تذكّر نقش إشعاع ثنائي القطب: فلا إصدار على محور ثنائي القطب)؟
  6. يقال إن النحل والفايكنغ اهتدوا بهذا الاستقطاب: فماذا يفعل به يوم غائم، و لماذا؟

الجزء الثالث — لماذا ليست السماء أسطع.

  1. مفارقة: في وسط منتظم تمامًا، تتداخل الموجيات الآتية من عناصر الحجم المتجاورة تداخلًا هدّامًا جانبيًا، فلا ينتثر ضوء البتة (ولا يبقى غير الانكسار). فما الذي يكسر انتظام الهواء فعلًا — وما الموزَّع عشوائيًا؟
  2. تجعل تذبذبات الكثافة في غاز مثالي شدّات الانتثار من الجزيئات المستقلة تُجمع: اذكر لماذا يقتل الاستقلال (أي المواضع العشوائية والتباعدات بمقياس طول الموجة) التداخلَ الهدّام.
  3. انطلاقًا من ℓ\ell عندك عند 550 nm550\,\mathrm{nm}: ما نسبة ضوء الشمس التي ينتثرها غلاف جوي واحد في يوم صافٍ — وهل يطابق العدد سطوع السماء اليومي في مقابل الشمس؟
  4. قطرة سحاب (10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m}) تحوي ∼1012\sim10^{12} جزيء داخل طول موجة: فتُجمع موجياتها ترابطيًا. فكيف تتغير الاستطاعة المنتثرة عندئذٍ مع عدد الجزيئات، ولماذا يختفي انتقاء اللون بالعامل ω4\omega^4 (إذ تنتثر كل أطوال الموجات بقوة): فما لون السحابة؟
  5. الحليب والضباب والطلاء الأبيض بيض للسبب نفسه: اذكر القاعدة العامة — فالمنتثرات الصغيرة أمام λ\lambda تلوّن الضوء، والكبيرة أمام λ\lambda تبيّضه.
  6. الانتهاب الحرج: بجوار النقطة الحرجة لسائل (في فصول تغير الطور بكتاب السنة الأولى، وفي الفصل 21 قادمًا)، تنمو تذبذبات الكثافة إلى مقاييس ضوئية فيصير المائع حليبيًا: اربط ذلك بالبند 13.

الجزء الرابع — السلسلة، مكتملةً.

  1. الموجيات المنتثرة إلى الأمام لا تتقاصّ: بل تتداخل مع الحزمة وتبطئ طورها — وهي قرينة الانكسار. وباستعمال n−1=Nα/2ε0n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0 (مع α\alpha بالنظام الدولي)، قدّر n−1n - 1 للهواء و قارنه بالقيمة المقيسة 2.9×10−42.9 \times 10^{-4}.
  2. فثابت واحد α\alpha، محسوب بنظرية الاضطرابات في المرتبة الثانية، يحدّد ثلاث ظواهر دفعةً واحدة: سمّها (الانزياح في مجال ساكن؛ وزرقة السماء؛ وانحناء الضوء في الهواء).
  3. ويعقّد امتصاصُ الأوزون والهباء والانتثار المتعدد السماواتِ الحقيقية: سمّ مشاهَدة واحدة لكل منها (ألوان الشفق؛ والأفق الحليبي؛ وسطوع السماء المتبقي عند السمت بعد الغروب).
  4. لماذا يحمل القمر، وهو بلا هواء، سماء نهار سوداء — وبم أكدت كل صورة من سطحه في شأن أصل سمائنا؟
  5. سماء المريخ نهارًا بلون الكراميل وغروبه أزرق: فهواؤه الرقيق ينتثر قليلًا، ويقوم بالعمل غبار معلّق بحبيبات ميكرومترية. وباستعمال قاعدة البند 18، اشرح كيف يعكس الغبار منطق الألوان.
  6. ومن أجل الأشعة السينية، يفوق ℏω\hbar\omega كل انتقال جزيئي بكثير: فتستجيب الإلكترونات كأنها حرة ويفقد الانتثار (انتثار طومسون) عاملَه ω4\omega^4. فماذا يحلّ بآلية “زرقة السماء” في ذلك النظام — ولماذا تكون تلك الاستجابة المسطحة بالضبط ما يجعل الأشعة السينية مسابر نظيفة لكثافة الإلكترونات؟
  7. لخّص النتيجة الموسومة: قابلية للاستقطاب مقدارها 2.2×10−30 m32.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}، مربَّعة ومضروبة في ω4\omega^4، تعطي طول انتثار بمقياس 60 km60\,\mathrm{km} في الأخضر — طويلًا بما يكفي لتكون سماء الظهيرة لطيفة، وقصيرًا بما يكفي ليحمرّ الغروب وتزرقّ السماوات، بنقش استقطاب غابة من ثنائيات قطب مقودة.
حل

حل المسألة 13.1.

1. ليس للمؤثر V^=eEz^\hat V = e\mathcal E\hat z متوسط في المرتبة الأولى (بالزوجية)؛ ويعطي مجموع المرتبة الثانية، وكل مقاماته سالبة من أجل الحالة الأساسية، المقدارَ −12αE2-\tfrac12\alpha\mathcal E^2 حيث α\alpha هي القابلية للاستقطاب — وهو سالب لأن المستويات تتنافر من فوق. 2. αSI=4πε0×2.2×10−30=2.4×10−40 F m2\alpha_{\text{SI}} = 4\pi\varepsilon_0 \times 2.2 \times 10^{-30} = 2.4 \times 10^{-40}\,\mathrm{F}\,\mathrm{m}^{2}: ومنه p=2×10−37 C m≈2×10−8 ea0p = 2 \times 10^{-37}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m} \approx 2 \times 10^{-8}\,ea_0 — أي جزء من مئة مليون من ثنائي قطب ذري، لكل جزيء. 3. ℏω≈2.3 eV\hbar\omega \approx 2.3\,\mathrm{eV} في مقابل فجوات فوق بنفسجية ≳10 eV\gtrsim10\,\mathrm{eV}: فتكاد المقامات الاضطرابية لا تحسّ الإثارة، ومن ثمّ تكفي α\alpha الساكنة. 4. p0=αE0p_0 = \alpha\mathcal E_0 مسطَّح في التواتر، ومنه P∝ω4P \propto \omega^4: أي قانون رايلي. 5. (700/450)4=5.9(700/450)^4 = 5.9: فالضوء الأزرق ينتثر ستّ مرات أكثر من الأحمر. 6. تصدر الشمس بنفسجيًا أقلّ من الأزرق، وحساسية العين للبنفسجي ضعيفة: فتبلغ السماء المنتثرة ذروتها، عندنا، عند الأزرق. 7. [α/4πε0]=m3[\alpha/4\pi\varepsilon_0] = \mathrm{m}^{3} و ω4/c4=m−4\omega^4/c^4 = \mathrm{m}^{-4}: فالحاصل مساحة. وعند 550 nm550\,\mathrm{nm}: σ≈7×10−31 m2\sigma \approx 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}. 8. ℓ=1/Nσ≈58 km\ell = 1/N\sigma \approx 58\,\mathrm{km}: أي عدة أغلفة جوية سماكةً — فالهواء يكاد يكون شفافًا. 9. الأزرق (ℓ≈26 km\ell \approx 26\,\mathrm{km}): 1−e−8/26=26%1 - \eu^{-8/26} = 26\% منتثرًا؛ والأحمر (ℓ≈150 km\ell \approx 150\,\mathrm{km}): 5%5\%. والسماء مبنية من ذلك الفرق. 10. على مسار الشمس المنخفضة البالغ ∼240 km\sim240\,\mathrm{km} ينجو من الأزرق e−9∼10−4\eu^{-9} \sim 10^{-4} بينما يحتفظ الأحمر بالمقدار ∼20%\sim20\%: فتغرب الشمس حمراء — والحمرة نفسها، منكسرةً بحلقة غروب الأرض، تصبغ القمر المخسوف بلون النحاس. 11. لا يشعّ ثنائي القطب شيئًا على محوره: فعند انتثار بزاوية 90∘90^\circ، لا تستطيع مركبة الاهتزاز الجزيئي على خط النظر أن تسهم، ويكون الضوء الباقي مستقطبًا عموديًا على مستوي الشمس والجزيء والعين. 12. تفرض السحب انتثارًا متعددًا يخلط الهندسة: فتموت بوصلة الاستقطاب تحت الغيوم — وهو ما يجعل استعمال الفايكنغ المزعوم لها مأثرة. 13. مواضع الجزيئات: فالهواء غاز عشوائي تتذبذب كثافته على كل مقياس — أما المادة المرتّبة تمامًا (بلورة مثالية) فلا تنتثر إلا في الحزمة المنكسرة. 14. المنتثرات العشوائية المتباعدة بمقياس طول الموجة تُجمع بأطوار عشوائية: فتُتوسَّط الحدود المتقاطعة إلى الصفر وتُجمع الشدّات — فالتآمر الهدّام يحتاج إلى نظام، والفوضى تلغيه. 15. 1−e−8/58≈13%1 - \eu^{-8/58} \approx 13\% من ضوء الشمس تغذّي القبة الزرقاء — وهو متسق مع سماء أخفت آلاف المرات من قرص الشمس ومع ذلك ساطعة بما يكفي للقراءة على ضوئها. 16. داخل القطرة تُجمع سعات الموجيات: فالاستطاعة ∝N2\propto N^2، وهي طاغية وشبه عمياء عن طول الموجة (إذ إن القطرة أكبر بكثير من λ\lambda): فتنتثر السحب كل شيء — فتكون بيضاء. 17. المنتثرات الأصغر من طول الموجة تنتقي اللون (بالعامل ω4\omega^4)؛ والأكبر منه تعكس هندسيًا وتبيّض: كالحليب والضباب والطلاء والثلج. 18. بجوار النقطة الحرجة تنمو تذبذبات الكثافة نفسها إلى حجم ضوئي: فيصير المائع سحابته الخاصة — أي الانتهاب الحرج، وهو آلية رايلي مضخَّمة حتى العتامة. 19. n−1=2.5×1025×2.4×10−40/(2×8.85×10−12)≈3.4×10−4n - 1 = 2.5 \times 10^{25} \times 2.4 \times 10^{-40}/(2 \times 8.85 \times 10^{-12}) \approx 3.4 \times 10^{-4}، في مقابل القيمة المقيسة 2.9×10−42.9 \times 10^{-4}: فالموجيات الأمامية، وهي مترابطة مع الحزمة، تبطئ طورها. 20. انزياح شتارك لمستوٍ؛ وزرقة السماء؛ و انكسار الضوء (والسراب وعدسات الهواء) — أي α\alpha واحد وثلاث ظواهر. 21. امتصاص الأوزون يصبغ شفق السمت بالأزرق؛ والهباء يبيّض الأفق؛ والضوء المنتثر مرارًا يبقي السماء مضيئة خفيفًا بعد الغروب. 22. لا هواء فلا ثنائيات قطب: فتتوهج الشمس في سماء سوداء — فيبرهن الغياب على أن قبتنا الزرقاء ضوء شمس منتثر، لا خاصية متوهجة يملكها “الفضاء”. 23. حبيبات غبار المريخ كبيرة أمام λ\lambda: فتنتثر الضوء الأحمر بكفاءة في كل الاتجاهات (فتصبغ السماء) بينما تعرّج الأزرق أقوى ما يكون إلى الأمام — فتكون السماء بلون الكراميل وتكون الهالة حول الشمس الغاربة زرقاء: فحجم الحبيبة يقلب منطق البند 18. 24. انتثار طومسون مسطَّح في التواتر: فلا انتقاء للون ولا زرقة — لكن استجابة تتناسب ببساطة مع كثافة الإلكترونات هي بالضبط ما تريده البلورات والتصوير الشعاعي في مسبار. 25. ثابت واحد من المرتبة الثانية، مقداره 2.2×10−30 m32.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}، مربَّعًا وموزونًا بالعامل ω4\omega^4، يعطي طول انتثار ∼60 km\sim60\,\mathrm{km} للضوء الأخضر: أي شفافية تكفي للظهيرة، وانتثارًا يكفي لقبة زرقاء، مستقطبةً كحقل من ثنائيات قطب مقودة، تحمّر كل غروب في موعده.