Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

11Atom Hidrogen

Sembilan persepuluh atom di semesta adalah hidrogen: satu proton yang menahan satu elektron, satu-satunya atom yang dapat diselesaikan fisika secara eksak — sekaligus kunci yang membuka semua atom lainnya. Teori kuantum lama pada Bab 2 menerka energinya; perangkatnya kini tersedia untuk menurunkannya: potensial Coulomb masuk ke persamaan radial bab lalu, dan keluarlah aras $-E_{\text{I}}/n^2$ , jejari Bohr, kulit dan subkulit tabel berkala kimia, serta deret spektrum yang dibaca para astronom dalam tiap nebula. Penyelesaian yang sama, setelah diskalakan ulang, memerikan helium terionkan, atom muonik, positronium, dan “atom” elektron–lubang di dalam semikonduktor; diregangkan sampai $n \approx 100$ ia memerikan atom Rydberg selebar setengah mikrometer, yang bisikan radionya memetakan awan terionkan Galaksi dan yang interaksinya kini menggerakkan komputer kuantum.

11.1 Soal Coulomb terselesaikan

Teorema 11.1 (Aras hidrogen)

Untuk $V(r) = -e^2/4\pi\varepsilon_0 r$ (tuliskanlah $k = e^2/4\pi \varepsilon_0$ ), keadaan terikatnya dilabeli $(n, l, m)$ dengan

E_n = -\frac{E_{\text{I}}}{n^2} , \qquad E_{\text{I}} = \frac{m_{\text{e}}k^2}{2\hbar^2} = 13.6\,\mathrm{eV} , \qquad n = 1, 2, 3, \dots

dan, untuk tiap $n$ , bilangan orbitalnya $l = 0, 1, \dots, n-1$ serta $m = -l, \dots, l$ . Panjang alaminya adalah jejari Bohr $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k = 52.9\,\mathrm{pm}$ ; keadaan dasarnya adalah

\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\;\eu^{-r/a_0} .

Energinya bergantung pada $n$ saja: dengan mencacah $m$ dan $l$ -nya, aras $n$ berdegenerasi $n^2$ kali (dilipatduakan oleh spinnya, Bab 12) — jauh melampaui degenerasi $(2l+1)$ kali yang dijelaskan keisotropannya.

Bukti sebagian. Untuk keadaan dasarnya, cobalah $u = Cr\,\eu^{-r/a}$ dalam persamaan radialnya dengan $l = 0$ : $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$ , sehingga $-\tfrac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}u'' - \tfrac kr u = Eu$ menuntut $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ (dengan mencocokkan suku $1/r$ -nya) — yang berarti $a = a_0$ — dan $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ . Penyelesaian umumnya (polinomial Laguerre, dengan $n - l - 1$ simpul radial) diterima tanpa bukti; tiap langkah penyusunannya dasar namun panjang. Degenerasi $l$ yang “kebetulan” itu mencerminkan rahasia klasik gaya $1/r$ murni — elips Kepler tidak berpresesi, dan sebuah vektor kekal tambahan (Laplace–Runge–Lenz) menunjuk sepanjang sumbu mayornya yang tetap; versi kuantumnyalah yang mengikat $l$ yang berbeda pada satu energi (Latihan 11.12). ∎

Aras hidrogen -E_ I/n2, yang disebar menurut l: semua subkulit satu n berimpit (yakni “kebetulan” Coulombnya). Lompatan turun yang berakhir pada n = 1 membentuk deret Lyman ultraungu; yang berakhir pada n = 2 membentuk deret Balmer tampak yang mewarnai nebula menjadi merah. — Aras hidrogen $-E_{\text{I}}/n^2$ , yang disebar menurut $l$ : semua subkulit satu $n$ berimpit (yakni “kebetulan” Coulombnya). Lompatan turun yang berakhir pada $n = 1$ membentuk deret Lyman ultraungu; yang berakhir pada $n = 2$ membentuk deret Balmer tampak yang mewarnai nebula menjadi merah.

11.2 Di mana elektronnya berada

Proposisi 11.2 (Sebaran radial)

Peluang menemukan elektron antara $r$ dan $r + \dd r$ adalah $P(r)\,\dd r$ dengan $P(r) = |u(r)|^2$ , yakni kuadrat fungsi radial ternormalkan pada Teorema 10.6. Untuk keadaan terendahnya: $P_{1s} \propto r^2\eu^{-2r/a_0}$ , yang memuncak tepat pada $r = a_0$ dengan $\langle r\rangle = \tfrac32 a_0$ ; $P_{2s}$ menunjukkan dua punuk yang dipisahkan sebuah simpul berbentuk bola; $P_{2p} \propto r^4\eu^{-r/a_0}$ , yang memuncak pada $4a_0$ . Secara umum $\langle r\rangle \approx n^2a_0$ : atomnya tumbuh secara kuadratik seiring eksitasinya, sedangkan ikatannya menyusut sebagai $1/n^2$ — itulah daya ungkit di balik raksasa Rydberg pada Soal 11.1.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Rapat peluang radial. Puncak 1s berada tepat pada a_0; keadaan 2s membawa satu simpul bola beserta cuping yang dekat dengan intinya — yakni “penembusan” yang kelak menata tabel berkala — sedangkan 2p, yang tertembok penghalang sentrifugalnya, menjauh. — Rapat peluang radial. Puncak $1s$ berada tepat pada $a_0$ ; keadaan $2s$ membawa satu simpul bola beserta cuping yang dekat dengan intinya — yakni “penembusan” yang kelak menata tabel berkala — sedangkan $2p$ , yang tertembok penghalang sentrifugalnya, menjauh.

Contoh 11.3 (Membaca ukurannya)

Keadaan dasarnya: selebar $0.1\,\mathrm{nm}$ , sedalam $13.6\,\mathrm{eV}$ — yakni skala seluruh kimia. Pada $n = 10$ : jejarinya $\sim5\,\mathrm{nm}$ , ikatannya $0.136\,\mathrm{eV}$ — terpegang longgar. Pada $n = 100$ : sebuah atom berskala mikrometer yang terikat sebesar $1.4\,\mathrm{meV}$ , yang dirusak medan selemah apa pun — namun ruang antarbintang cukup kosong bagi atom semacam itu untuk hidup dan bersiaran (Soal 11.1).

11.3 Spektrumnya

Proposisi 11.4 (Deret dan kaidah pemilihan)

Lompatan $n' \to n$ memancarkan panjang gelombang

\frac{1}{\lambda} = R_{\text{H}}\Big(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2}\Big) , \qquad R_{\text{H}} = \frac{E_{\text{I}}}{hc} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1} ,

dengan tunduk pada kaidah pemilihan dipol $\Delta l = \pm1$ (fotonnya membawa $\hbar$ ). Deret Lyman ( $\to n = 1$ ) terletak di ultraungu jauh mulai dari $121.6\,\mathrm{nm}$ ; deret Balmer ( $\to n = 2$ ) bermula pada garis merah $H\alpha$ , $656.3\,\mathrm{nm}$ — yakni warna nebula pancaran dan lidah api matahari; deret Paschen dan seterusnya mundur ke inframerah, dan antara $n = 110$ dan $109$ rumus yang sama mendarat pada $5.0\,\mathrm{GHz}$ : hidrogen berbicara dari ultraungu sampai ke pemutar gelombang radio.

Bukti. Kekekalan energi dengan Teorema 11.1; $R_{\text{H}}$ seperti dalam Soal 2.1, yang kini diturunkan alih-alih dipostulatkan. ∎

Contoh 11.5 (Atom mirip hidrogen: satu penyelesaian, banyak atom)

Gantilah muatan protonnya dengan $Ze$ dan elektronnya dengan sembarang massa yang mengorbit $\mu$ : tiap rumusnya berskala ulang sebagai

a \to a_0\,\frac{m_{\text{e}}}{\mu}\,\frac1Z , \qquad E_{\text{I}} \to E_{\text{I}}\,\frac{\mu}{m_{\text{e}}}\,Z^2 .

He $^+$ ( $Z = 2$ ): $54.4\,\mathrm{eV}$ . Elektron dalam atom berat ( $Z \sim 30$ ): energi kulit K-nya dalam keV — yakni sinar-X ciri yang dipakai Moseley untuk mengurutkan unsurnya (Latihan 11.5). Hidrogen muonik ( $\mu = 207 m_{\text{e}}$ ): sebuah atom berskala femtometer yang menyelidiki protonnya sendiri. Positronium ( $e^+e^-$ , $\mu = m_{\text{e}}/2$ ): ikatannya separuh, ukurannya dua kali, dan umurnya pendek, yang berakhir dalam foton pemusnahan. Dan di dalam semikonduktor, sebuah elektron dan sebuah lubang saling mengorbit dengan massa efektif yang kecil dalam dielektrik yang menyaring: itulah eksiton, atom yang sama yang tumbuh sampai sepuluh nanometer dan milielektronvolt (Latihan 11.7) — hidrogen lebih merupakan cetakan daripada sebuah atom.

Satu penyelesaian, empat “atom”: menyekalakan ulang massa, muatan dan lingkungan dielektriknya mengubah hidrogen menjadi penyelidik proton, uji elektrodinamika kuantum murni, dan kuasi-atom pemancar cahaya dalam semikonduktor.

Metode 11.6 (Bekerja dengan sistem hidrogenik)

(1) Skalakanlah lebih dahulu: $a \propto 1/\mu Z$ , $E \propto \mu Z^2$ mengubah jawaban hidrogen apa pun menjadi jawaban mirip hidrogen apa pun. (2) Ukurannya: $\langle r\rangle \sim n^2a$ ; jarak aras di dekat aras $n$ : $\dd E/\dd n = 2E_{\text{I}}/n^3$ . (3) Spektrumnya: rumus Rydberg ditambah $\Delta l = \pm1$ . (4) Penembusannya: keadaan $s$ merasakan intinya, keadaan ber- $l$ tinggi mengorbit di luarnya — itulah tuas kimia banyak elektron. (5) Jangkar uji waras: $13.6\,\mathrm{eV}$ , $52.9\,\mathrm{pm}$ , $121.6\,\mathrm{nm}$ , $656.3\,\mathrm{nm}$ — empat bilangan yang layak dihafal seumur hidup.

Tabung lucutan hidrogen dan sebuah spektroskop saku: pijar merah mudanya, setelah terpilah, menjadi garis Balmer — yakni sidik jari bilangan bulat yang diturunkan bab ini dari potensial Coulomb.

11.4 Latihan

Latihan 11.1 ★

(a) Periksalah lewat penyulihan bahwa $u = Cr\eu^{-r/a_0}$ menyelesaikan persamaan radial $l = 0$ dengan $E = -E_{\text{I}}$ , asalkan $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k$ . (b) Normalkanlah ( $\int_0^\infty x^2\eu^{-x}\dd x = 2$ ). (c) Periksalah dimensi $a_0$ dan $E_{\text{I}}$ . (d) Mengapa tak ada keadaan di bawah $-E_{\text{I}}$ (kemukakanlah dengan Latihan 7.12)?

Solusi

Solusi Latihan 11.1.

(a) $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$ ; suku $1/r$ -nya cocok apabila $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ , yakni $a = a_0$ , dan suku tetapannya memberikan $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ . (b) $C = 2/a_0^{3/2}$ . (c) $[\hbar^2/mk] = \mathrm{m}$ ; $[mk^2/\hbar^2] = \mathrm{J}$ . (d) Argumen variasi pada Latihan 7.12 menunjukkan bahwa $-E_{\text{I}}$ adalah energi terkecil yang dapat dicapai keadaan ternormalkan mana pun: asas ketaktentuan memasang lantai bagi atomnya.

Latihan 11.2 ★

Hitunglah (a) panjang gelombang Lyman $\alpha$ dan batas Lyman; (b) ketiga garis Balmer pertama beserta batas Balmernya — yang mana yang tampak, dan apa warnanya? (c) rentang deret Paschen; (d) frekuensi transisi $n = 110 \to 109$ .

Solusi

Solusi Latihan 11.2.

(a) $121.6\,\mathrm{nm}$ ; batasnya $91.2\,\mathrm{nm}$ . (b) $656.3$ (merah), $486.1$ (biru kehijauan), $434.0\,\mathrm{nm}$ (ungu); batasnya $364.6\,\mathrm{nm}$ — ketiga yang pertama tampak. (c) Dari $1875\,\mathrm{nm}$ turun sampai $820\,\mathrm{nm}$ : inframerah dekat. (d) $R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$ .

Latihan 11.3 ★

Untuk keadaan dasarnya: (a) tentukanlah maksimum $P_{1s}(r)$ ; (b) hitunglah $\langle r\rangle$ ; (c) hitunglah peluang menemukan elektronnya di luar $2a_0$ ( $\int_x^\infty t^2\eu^{-t}\dd t = (x^2 + 2x + 2)\eu^{-x}$ ); (d) mengapa gambaran “orbit” berjejari tepat $a_0$ menyesatkan?

Solusi

Solusi Latihan 11.3.

(a) $\dd(r^2\eu^{-2r/a_0})/\dd r = 0$ pada $r = a_0$ . (b) $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty r^3\eu^{-2r/a_0}\dd r = (4/a_0^3)\times 3!\,(a_0/2)^4 = \tfrac32 a_0$ . (c) Dengan $x = 4$ : $\tfrac12(16 + 8 + 2)\eu^{-4} = 0.24$ : seperempat waktunya elektronnya berada di luar $2a_0$ . (d) Elektronnya tidak mempunyai jejari: $P(r)$ adalah sebaran dengan modus, rata-rata dan ekor yang panjang — atomnya kabur pada tingkat faktor dua.

Latihan 11.4 ★

(a) Daftarkanlah pasangan $(l, m)$ untuk $n = 3$ lalu periksalah cacahnya $n^2 = 9$ . (b) Dengan spinnya, berapa keadaan dalam kulit $n = 1, 2, 3$ ? (c) Cocokkanlah dengan panjang $2, 8, 18$ baris tabel berkalanya. (d) Degenerasi yang mana (dalam $m$ , atau dalam $l$ ) yang bertahan pada elektron terluar natrium, dan mengapa yang lain pecah?

Solusi

Solusi Latihan 11.4.

(a) $l = 0$ : satu; $l = 1$ : tiga; $l = 2$ : lima — jadi sembilan. (b) $2$ , $8$ , $18$ . (c) Persis panjang ketiga baris pertamanya: tabel berkala adalah catatan pengisian kulit ini. (d) Degenerasi $m$ -nya bertahan (ruangnya tetap isotropik); degenerasi $l$ -nya pecah karena potensial tersaring yang dilihat elektron valensinya tidak lagi $1/r$ murni — Latihan 11.8.

Latihan 11.5 ★★

Tangga Moseley. Sebuah elektron dalam (kulit K) sebuah unsur $Z$ bergerak dalam medan inti yang nyaris telanjang, yang disaring satu elektron K lainnya: muatan efektifnya $\approx Z - 1$ . (a) Tunjukkanlah bahwa energi sinar-X $2p \to 1s$ kira-kira $\tfrac34(Z-1)^2E_{\text{I}}$ . (b) Hitunglah untuk tembaga ( $Z = 29$ ) lalu bandingkanlah dengan K $\alpha$ terukur pada $8.05\,\mathrm{keV}$ . (c) Moseley (1913) memetakan $\sqrt{\nu}$ terhadap $Z$ dan memperoleh garis lurus: apa yang dibuktikannya tentang makna nomor atom? (d) Ramalkanlah energi K $\alpha$ unsur $Z = 43$ yang waktu itu belum ditemukan.

Solusi

Solusi Latihan 11.5.

(a) Mirip hidrogen dengan $Z - 1$ : $h\nu = (Z-1)^2E_{\text{I}}(1 - \tfrac14)$ . (b) $784 \times 10.2\,\mathrm{eV} = 8.0\,\mathrm{keV}$ — cocok dengan K $\alpha$ tembaga yang terukur. (c) Bahwa bilangan bulat yang mengurutkan unsurnya adalah muatan intinya, bukan bobot atomnya: celah dalam garis Moseley menemukan letak unsur yang belum ditemukan. (d) $42^2 \times 10.2 = 18.0\,\mathrm{keV}$ — teknesium, yang ditemukan berpuluh tahun kemudian, memenuhinya.

Latihan 11.6 ★★

Positronium. (a) Berilah alasan bagi $\mu = m_{\text{e}}/2$ lalu berikanlah energi ikat dan jejari Bohrnya. (b) Berapa panjang gelombang Lyman $\alpha$ -nya? (c) Para-positronium memusnahkan diri menjadi dua foton: berapa energinya dan bagaimana arah nisbinya (dari Bab 5)? (d) Di manakah kedokteran mendeteksi sidik ini setiap hari?

Solusi

Solusi Latihan 11.6.

(a) Dua massa yang sama: $\mu = m_{\text{e}}/2$ : ikatannya $6.8\,\mathrm{eV}$ , jejarinya $2a_0 = 0.106\,\mathrm{nm}$ . (b) $\tfrac34 \times 6.8 = 5.1\,\mathrm{eV}$ : $243\,\mathrm{nm}$ . (c) Dua foton $511\,\mathrm{keV}$ , saling membelakangi (kekekalan momentum dalam keadaan diam). (d) Tomografi pancaran positron: pasangan foton $511\,\mathrm{keV}$ yang segaris itulah isyarat yang ditriangulasi tiap cincin PET.

Latihan 11.7 ★★

Eksiton. Dalam galium arsenida, $\varepsilon_{\text{r}} = 12.9$ dan massa efektif tereduksinya $\mu = 0.058\,m_{\text{e}}$ . (a) Tunjukkanlah $a_{\text{ex}} = a_0\,\varepsilon_{\text{r}}\,m_{\text{e}}/\mu$ lalu hitunglah. (b) Berapa energi ikat eksitonnya? (c) Bandingkanlah $a_{\text{ex}}$ dengan jejari titik kuantum pada Soal 7.1 lalu berilah alasan, akhirnya, bagi pengabaian suku Coulombnya pada titik yang kecil. (d) Mengapa garis eksiton hanya muncul dalam semikonduktor yang murni dan dingin ( $k_{\text{B}}T$ berbanding jawaban Anda pada (b))?

Solusi

Solusi Latihan 11.7.

(a) $a_{\text{ex}} = 0.0529 \times 12.9/0.058 = 11.8\,\mathrm{nm}$ . (b) $E = 13.6 \times 0.058/12.9^2 = 4.7\,\mathrm{meV}$ . (c) Ukuran pasangan alaminya melampaui titiknya: dindingnya, bukan tarikannya, yang membentuk keadaannya — $1/R^2$ mengalahkan $1/R$ , seperti yang dijanjikan. (d) $k_{\text{B}}T$ pada suhu ruang lima kali energi ikatnya: pasangannya terionkan; fisika eksiton hidup di bawah $\sim50\,\mathrm{K}$ dalam kristal yang bersih.

Latihan 11.8 ★★

Penembusan dan logam alkali. Natrium adalah elektron valensi mirip hidrogen di luar teras tertutup bermuatan efektif $+e$ . (a) Manakah di antara $3s$ , $3p$ , $3d$ yang paling merasakan inti yang tersaring tak sempurna, dan mengapa (ingatlah gambar radialnya)? (b) Aras terukurnya adalah $E_{3s} = -5.14\,\mathrm{eV}$ , $E_{3p} = -3.04\,\mathrm{eV}, E_{3d} = -1.52\,\mathrm{eV}$ : periksalah bahwa $3d$ nyaris hidrogenik ( $n = 3$ ) sedangkan $3s$ jauh lebih dalam, lalu jelaskanlah. (c) Hitunglah panjang gelombang $3p \to 3s$ : warna termasyhur apakah itu? (d) Tuliskanlah aras alkalinya sebagai $-E_{\text{I}}/(n - \delta_l)^2$ lalu tariklah “cacat kuantum” $\delta_s$ dan $\delta_p$ untuk natrium.

Solusi

Solusi Latihan 11.8.

(a) $3s$ : cuping terdalamnya menyelam ke dalam terasnya, tempat muatan inti $+11$ nyaris tidak tersaring. (b) $-13.6/9 = -1.51\,\mathrm{eV}$ cocok dengan $3d$ nyaris persis: $3d$ mengorbit di luar terasnya dan melihat neto $+1$ ; $3s$ (dan sebagian $3p$ ) mencicipi potensial dalamnya lalu tenggelam. (c) $\Delta E = 2.10\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 590\,\mathrm{nm}$ — yakni kuning natrium lampu jalan. (d) $n_{\text{eff}} = \sqrt{13.6/|E|}$ : $1.63$ dan $2.11$ , sehingga $\delta_s = 1.37$ , $\delta_p = 0.89$ .

Latihan 11.9 ★★

Sebuah proton dalam nebula menangkap sebuah elektron ke $n = 100$ . (a) Berapa energi yang dilepaskan dalam foton penangkapannya jika elektronnya datang nyaris bebas? (b) Atomnya menuruni tangganya, terutama lewat langkah $\Delta n = 1$ pada $n$ tinggi: pada pita mana foton itu jatuh? (c) Langkah terakhir penurunannya adalah Lyman $\alpha$ ; cahaya tampak nebula dikuasai H $\alpha$ : telusurilah langkah penurunan yang mana itu. (d) Jelaskanlah mengapa nebula pancaran berpijar merah padahal garis terkuat hidrogen (Lyman $\alpha$ ) bersifat ultraungu.

Solusi

Solusi Latihan 11.9.

(a) Kira-kira sebesar ikatan $n = 100$ , $\sim1.4\,\mathrm{meV}$ , ditambah energi termal kecil elektronnya: sebuah foton inframerah jauh atau radio. (b) Langkah $\Delta n = 1$ di dekat $n \approx 100$ jatuh pada pita radio GHz — yakni garis rekombinasinya. (c) H $\alpha$ adalah langkah $3 \to 2$ , di dekat akhir penurunannya. (d) Lyman $\alpha$ , walaupun terkuat, bersifat ultraungu dan, dalam nebula yang penuh hidrogen keadaan dasar, terhambur secara resonan lalu terperangkap; H $\alpha$ lolos dengan bebas dan mewarnai nebulanya menjadi merah.

Latihan 11.10 ★★★

Rata-rata dan virialnya. Untuk keadaan dasarnya, hitunglah (a) $\langle 1/r\rangle$ lalu periksalah $\langle E_p\rangle = -2E_{\text{I}} = 2E_1$ ; (b) $\langle E_k\rangle = +E_{\text{I}}$ , sehingga memeriksa nisbah virial pada Latihan 2.4; (c) laju akar rata-rata kuadrat elektronnya beserta $v/c$ ; (d) orde besar medan magnet yang dirasakan protonnya akibat gerak elektronnya (sebuah lingkar arus $ev/2\pi a_0$ yang dilihat pada jarak $a_0$ ) — sebuah bilangan yang akan diperlukan struktur hiperhalus.

Solusi

Solusi Latihan 11.10.

(a) $\langle 1/r\rangle = 1/a_0$ : $\langle E_p\rangle = -k/a_0 = -27.2\,\mathrm{eV} = 2E_1$ . (b) $\langle E_k\rangle = E_1 - \langle E_p\rangle = +13.6\,\mathrm{eV}$ : yakni nisbah virial $-\tfrac12$ tiap orbit $1/r$ . (c) $v = \sqrt{2E_k/m_{\text{e}}} = \alpha c = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) $I = ev/2\pi a_0 \approx 1\,\mathrm{mA}$ yang beredar pada $53\,\mathrm{pm}$ : $B \sim \mu_0I/2a_0 \approx 12\,\mathrm{T}$ — medan internal raksasa yang kelak menjadi santapan struktur hiperhalus.

Latihan 11.11 ★★★

Seberapa halus struktur halus itu. (a) Tunjukkanlah bahwa skala laju keadaan dasarnya $\langle v^2\rangle^{1/2}/c = \alpha \approx 1/137$ , dan untuk $Z$ mirip hidrogen: $Z\alpha/n$ . (b) Koreksi relativistiknya masuk pada orde nisbi $(v/c)^2$ : perkirakanlah skala struktur halusnya $\alpha^2E_{\text{I}}$ dalam meV, beserta orde pembelahannya untuk $n = 2$ dalam GHz. (c) Untuk uranium mirip hidrogen ( $Z = 92$ ): berapa $v/c$ pada $n = 1$ — apakah perlakuan tak relativistiknya masih dapat dipertahankan? (d) Apa yang diumumkan secara fisis oleh pembesaran tanpa batas yang formal pada $Z\alpha \to 1$ ( $Z \approx 137$ )?

Solusi

Solusi Latihan 11.11.

(a) Dari Latihan 11.10(c), $v/c = \alpha$ ; penyekalaannya: $Z\alpha/n$ . (b) $\alpha^2E_{\text{I}} = 0.72\,\mathrm{meV}$ ; pada $n = 2$ pembelahannya keluar berpuluh $\text{µ}\mathrm{eV}$ — sekitar $10\,\mathrm{GHz}$ , yang terukur lewat radio (dan memang terukur). (c) $Z\alpha = 0.67$ : dua pertiga laju cahaya — perlakuan Schrödingernya gagal; persamaan Dirac mengambil alih. (d) Pada $Z\alpha \to 1$ energi keadaan dasarnya secara formal menyelam melewati $-2m_{\text{e}}c^2$ : vakumnya sendiri akan memercikkan pasangan elektron–positron — yakni medan superkritis, yang dicari dalam tumbukan ion berat.

Latihan 11.12 ★★★

Degenerasi yang tak masuk akal. (a) Dalam mekanika klasik, tunjukkanlah bahwa untuk $V = -k/r$ orbitnya menutup (tanpa presesi) dengan mengutip vektor kekal Laplace–Runge–Lenz $\vect A = \vect p\wedge\vect L - mk\,\vect e_r$ — periksalah $\dd\vect A/\dd t = 0$ dengan memakai hukum Newton. (b) Kemukakanlah: sebuah vektor kekal yang menetapkan sumbu elipsnya merupakan simetri tambahan di luar rotasinya — dan simetri tambahan berarti degenerasi tambahan (ingatlah Latihan 8.9). (c) Tambahkanlah koreksi $1/r^2$ yang kecil pada potensialnya lalu tunjukkanlah bahwa elipsnya berpresesi: sumbunya berputar, dan $\vect A$ tak lagi kekal. (d) Kaitkanlah: dalam atom berelektron banyak potensial efektifnya bukan $1/r$ murni, dan degenerasi $l$ -nya pecah (natrium!); dalam hidrogen sendiri, kerelatifan memasok koreksi kecilnya — ciri teramati yang mana pada Latihan 11.11 itu?

Solusi

Solusi Latihan 11.12.

(a) Turunkanlah: $\dot{\vect p}\wedge\vect L = -(mk/r^3)\vect r\wedge(\vect r\wedge\dot{\vect r}\,m)$ ; menjabarkan hasil kali silang gandanya memberikan tepat $mk\,\dd\vect e_r/\dd t$ : jadi $\dot{\vect A} = \vect 0$ . (b) Sumbu yang kekal adalah simetri di luar keisotropannya; degenerasi berarti pelabelan yang belum lengkap, dan label tambahannya (sepupu kuantum $\vect A$ ) menghubungkan $l$ di dalam satu $n$ . (c) Dengan $V = -k/r + \epsilon/r^2$ momentum sudut efektifnya bergeser, periode sudutnya tak lagi cocok dengan periode radialnya, dan sumbu elipsnya berputar dengan laju $\propto\epsilon$ . (d) Koreksi kerelatifan berperan sebagai $\epsilon$ dalam hidrogen sendiri: struktur halus pada Latihan 11.11 justru merupakan pecahnya degenerasi $l$ itu.

11.5 Soal: Atom raksasa

Soal 11.1

Soal akhir pekan — atom Rydberg, dari pijar radio Galaksi sampai komputer kuantum

Regangkanlah hidrogen sampai $n \approx 100$ dan ia menjadi benda yang berbeda jenisnya: selebar beberapa mikrometer, terikat oleh milielektronvolt, luar biasa peka — dan luar biasa berguna. Soal ini menyekalakan penyelesaian hidrogennya ke atas, mula-mula ke awan antarbintang yang bersiaran pada panjang gelombang sentimeter, lalu ke larik laboratorium tempat raksasa semacam itu saling membelit menjadi pengolah. Data: $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ , $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $R_{\text{H}}c = 3.29 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ , $k_{\text{B}}T$ pada $300\,\mathrm{K}$ adalah $25.9\,\mathrm{meV}$ .

Bagian I — Hukum penyekalaannya.

Berikanlah keempat penyekalaan dasarnya terhadap $n$ : ukuran $\langle r\rangle$ , ikatan $|E_n|$ , jarak aras $E_{n+1} - E_n$ (untuk $n$ besar), dan frekuensi orbit klasik orbit Bohr yang bersesuaian.
Tunjukkanlah bahwa untuk $n$ besar frekuensi transisi $n+1 \to n$ mendekati $2R_{\text{H}}c/n^3$ , lalu periksalah bahwa ia sama dengan frekuensi orbit klasiknya (asas korespondensi pada Soal 2.1, yang kini lengkap).
Hitunglah ukuran dan ikatannya pada $n = 50$ dan $n = 100$ .
Dipol listrik sebuah atom Rydberg berskala sebagai $n^2ea_0$ : hitunglah pada $n = 50$ dalam debye ( $1\,\text{D} = 3.34 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) lalu bandingkanlah dengan $1.85\,\mathrm{D}$ milik molekul air.
Perkirakanlah medan listrik yang mencabik atom $n = 50$ itu, sebagai $F \sim |E_n|/(e\,\langle r\rangle)$ , dalam V/cm.
Mengapa atom semacam itu tidak dapat bertahan dalam kimia vakum laboratorium biasa — namun bertahan baik-baik saja di ruang antarbintang (bandingkanlah laju tumbukannya)?

Bagian II — Garis rekombinasi Galaksi. Dalam nebula terionkan, proton menangkap elektron ke $n$ yang tinggi; penurunannya memancarkan sisir “garis rekombinasi radio”.

Hitunglah frekuensi transisi $n = 110 \to 109$ (yang disebut H109 $\alpha$ ).
Pada pita mana ia jatuh, dan teleskop macam apa yang menerimanya?
Hitunglah panjang gelombang H109 $\alpha$ lalu bandingkanlah dengan ukuran atom pemancarnya: berapa atom muat dalam satu panjang gelombang?
Garis ini mengukur suhu nebulanya lewat lebar Dopplernya: pada $T = 10^{4}\,\mathrm{K}$ , laju termal hidrogennya $\sim12.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — hitunglah lebar garis pecahannya $\Delta\nu/\nu$ beserta lebar H109 $\alpha$ dalam kHz.
Gelombang radio menembus debu yang menghitamkan langit optis: apa yang karenanya dapat dipetakan para astronom garis rekombinasi yang tak dapat dipetakan astronom garis Balmer?
Di atas kira-kira $n \sim 1000$ (atom selebar $0.05$ milimeter!), arasnya mengabur menjadi kontinum bahkan di angkasa: sebutkanlah dua efek yang melebarkan atau memusnahkan keadaan semacam itu.

Bagian III — Raksasa di laboratorium.

Laser menggerakkan atom rubidium ke $n \approx 70$ dalam larik penjepit optis berjarak mikrometer. Dua atom semacam itu yang terpisah jarak $R$ berinteraksi lewat dipol imbasannya (ingatlah Latihan 9.10): dengan dipol $\propto n^2$ , tunjukkanlah bahwa kekuatan van der Waalsnya berskala sebagai $n^{11}$ yang raksasa (pakailah $C_6 \propto d^4/\Delta E$ dengan jarak aras $\Delta E \propto n^{-3}$ ).
“Pemblokiran”: di dalam jejari $R_{\text{b}}$ , interaksinya menggeser keadaan tereksitasi gandanya keluar dari resonansi lasernya, sehingga dua atom tidak dapat sama-sama tereksitasi. Jelaskanlah dalam satu kalimat mengapa hal ini mewujudkan sebuah gerbang dua kubit.
Jejari pemblokirannya mencapai beberapa mikrometer — ribuan kali ukuran keadaan dasar atomnya: mengapa jangkauan yang panjang ini (bandingkanlah dengan jangkauan nanometer kimia) justru yang diinginkan sebuah pengolah yang dapat diperbesar?
Keadaan Rydberg pada $n = 70$ hidup $\sim100\,\text{µ}\mathrm{s}$ sedangkan sebuah gerbang memakan $\sim0.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ : kira-kira berapa operasi muat dalam satu umur, dan mengapa nisbah itu, bukan umurnya saja, yang berperan?
Radiasi benda hitam suhu ruang, yang memuncak di dekat $100\,\mathrm{meV}$ namun kaya akan ekor berenergi rendah, menggerakkan transisi antara aras Rydberg bertetangga yang hanya berjarak $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : mengapa percobaan berketelitian tinggi harus mengurung atomnya dalam perisai dingin?
Perkirakanlah berapa transisi dipol mirip antena ( $\propto n^2$ ) yang digerakkan mandi foton $300\,\mathrm{K}$ tiap sekon dibandingkan atom $n = 1$ : penyekalaan yang mana yang menjadikan atom Rydberg sensor medan gelombang mikro dan terahertz yang sangat halus?

Bagian IV — Gambaran besarnya.

Satu rumus, $E_n = -E_{\text{I}}\mu Z^2/m_{\text{e}}n^2$ , membentang berapa orde besar energi ikat dari uranium mirip hidrogen ( $Z = 92$ , $n = 1$ ) sampai ke keadaan Rydberg $n = 1000$ ? Hitunglah kedua ujungnya.
Umur radiatif keadaan ber- $l$ rendah berskala sebagai $n^3$ : dari umur $2p$ sebesar $1.6\,\mathrm{ns}$ , perkirakanlah umur keadaan $100p$ — lalu bandingkanlah dengan soal benda hitam suhu ruang pada Bagian III.
Di CERN, antiatom antihidrogen kini dispektroskopi pada selang $1s \to 2s$ sampai lima belas angka: simetri dasar apa yang diuji kesesuaiannya dengan hidrogen biasa, dan mengapa hidrogen adalah atom yang tepat untuk perbandingan itu?
Pada $n \sim 100$ gelombang de Broglie elektronnya membungkus orbit yang nyaris klasik; pada $n = 1$ sama sekali tak ada orbit: dalam satu kalimat, di manakah gambaran klasiknya menyala?
Tetapan Rydberg diukur sampai lima belas angka: mengapa hidrogen, di antara semua sistem, merupakan jangkar ketelitian yang wajar bagi fisika atom?
Hadiah Nobel 2012 (Haroche) memakai atom Rydberg sebagai pencacah foton yang tidak memusnahkan fotonnya: dua sifat mana dari Bagian I dan III yang menjadikannya penyelidik nirbongkar yang ideal bagi medan gelombang mikro?
Ringkaslah hasil bernama itu: penyekalaan $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ dan $n^{11}$ satu atom yang terselesaikan secara eksak meregangkan hidrogen dari $52.9\,\mathrm{pm}$ sampai setengah mikrometer, menala suaranya dari $121.6\,\mathrm{nm}$ sampai $6\,\mathrm{cm}$ , dan menjadikannya sekaligus mercusuar radio Galaksi dan gerbang dua kubit komputer kuantum atom netral.

Solusi

Solusi Soal 11.1.

1. $\langle r\rangle \sim n^2a_0$ ; $|E_n| = E_{\text{I}}/n^2$ ; jarak arasnya $\approx 2E_{\text{I}}/n^3$ ; frekuensi orbitnya $\propto 1/n^3$ (Kepler pada orbit Bohrnya). 2. $E_{n+1} - E_n \to 2E_{\text{I}}/n^3$ , dan $h$ kali frekuensi klasiknya $v_n/2\pi r_n$ sama dengan bentuk yang sama (perhitungan pada Soal 2.1, butir 20). 3. $n = 50$ : $132\,\mathrm{nm}$ , $5.4\,\mathrm{meV}$ ; $n = 100$ : $0.53\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.4\,\mathrm{meV}$ . 4. $n^2ea_0 = 2.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m} \approx 6300\,\text{D}$ : dipol setara tiga ribu molekul air pada satu atom. 5. $F \sim 5.4 \times 10^{-3}/1.32 \times 10^{-7} \approx 4 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} = 400\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$ ; ambang pengionan klasik eksaknya sekitar delapan kali lebih kecil ( $\sim50\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$ ): bagaimanapun juga, hanya sebisik medan. 6. Dengan penampang lintang geometris $\sim\pi n^4a_0^2$ , bahkan vakum laboratorium ultratinggi menumbukkan atom semacam itu dalam hitungan mikrosekon; kerapatan antarbintang ( $\sim10^{6}$ partikel tiap $\mathrm{m}^{3}$ ) memberinya berhari-hari — angkasa adalah bejana vakum yang lebih baik. 7. $\nu = R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$ . 8. Radio sentimeter: sebuah teleskop radio — cakram besar dan penerima yang senyap. 9. $\lambda = 6.0\,\mathrm{cm}$ ; atom $n = 110$ berukuran $\sim0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ : seratus ribu atom tiap panjang gelombang — sepenuhnya berada dalam rezim “antena”. 10. $\Delta\nu/\nu \sim v/c = 4.3 \times 10^{-5}$ : sekitar $200\,\mathrm{kHz}$ pada $5\,\mathrm{GHz}$ — dan lebar terukurnya mengembalikan suhu nebulanya. 11. Galaksi bagian dalam yang terionkan: daerah HII yang tersembunyi di balik debu yang memadamkan tiap foton Balmer — garis rekombinasi radio memetakan struktur spiral yang tak dapat dilihat astronomi optis. 12. Medan listrik mikro ion tetangganya (pelebaran Stark) mengaburkan arasnya, dan radiasi benda hitam serta radiasi kosmis ditambah tumbukan mengionkan atau mencampur $l$ keadaannya yang rapuh. 13. $C_6 \sim d^4/\Delta E \propto (n^2)^4/n^{-3} = n^{11}$ : naikkanlah $n$ dari $1$ ke $70$ dan interaksinya tumbuh sebanyak dua puluh orde besar. 14. Di dalam $R_{\text{b}}$ keadaan pasangannya tergeser keluar dari resonansi, sehingga eksitasi satu atom mensyaratkan tanggapan tetangganya: persis logika terkendali yang diperlukan sebuah gerbang dua kubit. 15. Interaksi berjangkauan mikrometer membuat tiap atom dapat duduk dalam penjepitnya sendiri yang dapat dialamati, berjauhan menurut ukuran atom namun terkopel kuat — jangkauan interaksinya sepadan dengan resolusi optisnya. 16. $\sim 200$ gerbang tiap umur: nisbah itulah yang membatasi kesetiaan yang dapat dicapai, dan nisbah itu, bukan mikrosekonnya yang mentah, yang menghidupi sebuah pengolah. 17. Pada $300\,\mathrm{K}$ mandi fotonnya rapat pada $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : ia mengocok dan mengionkan aras Rydberg dalam umur radiatifnya; perisai dingin ( $4\,\mathrm{K}$ ) membuat transisi itu kelaparan. 18. Laju transisinya berskala sebagai $d^2 \propto n^4$ : pada $n = 50$ , enam juta kali kopling atom biasa — itulah sebabnya sel uap atom Rydberg kini menjadi sensor medan gelombang mikro dan terahertz yang terkalibrasi. 19. $92^2 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 115\,\mathrm{keV}$ turun sampai $13.6/10^6\,\mathrm{eV} = 13.6\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : sepuluh orde besar dari satu rumus. 20. Kekalisikan menyingsing di tempat jarak arasnya menjadi bagian yang lenyap dari energinya, $n \gg 1$ — yakni limit korespondensi atomnya sendiri. 21. Ia satu-satunya atom yang dapat dihitung dari asas pertama sampai ketelitian percobaannya: setiap ketaksesuaian berarti penemuan, sehingga hidrogen menjadi jangkar tetapan dasarnya. 22. $\tau \approx 1.6\,\mathrm{ns} \times 50^3 = 0.2\,\mathrm{ms}$ — murah hati, tetapi penataan ulang oleh benda hitam (Bagian III) menggerogotinya, satu alasan lagi bagi perisai dinginnya. 23. Simetri CPT — atom materi dan antimateri harus cocok garis demi garis; hidrogen menjadi jangkarnya karena hanya di sanalah teorinya menjangkau angka kelima belas bersama percobaannya. 24. Dipol $n^2$ -nya membuat atomnya merasakan medan satu foton gelombang mikro, sedangkan umurnya yang panjang dan struktur arasnya membiarkannya memperoleh fase yang terukur tanpa menyerap fotonnya: yakni penginderaan kuantum nirbongkar. 25. Penyekalaan $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ , $n^{11}$ meregangkan satu atom yang terselesaikan itu dari $52.9\,\mathrm{pm}$ sampai setengah mikrometer dan dari $121.6\,\mathrm{nm}$ sampai $6\,\mathrm{cm}$ — penyelesaian Schrödinger yang sama, yang bersiaran dari daerah HII Galaksi dan menjadi pengatur waktu gerbang dua kubit dalam larik penjepit optis.