Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

14Partikel Identik

Tiap elektron di semesta benar-benar identik dengan tiap elektron lainnya — bukan mirip sebagaimana dua keping uang dari satu percetakan, melainkan tak terbedakan pada asasnya: tak ada tanda, tak ada goresan, tak ada riwayat yang dapat menandai satu di antaranya. Mekanika kuantum menanggapi hal ini dengan sungguh-sungguh, dan akibatnya menjalankan dunia. Menukar dua partikel identik tidak boleh mengubah apa pun yang teramati, dan itu hanya menyisakan dua pilihan bagi fungsi gelombang banyak partikelnya: tetap sama (boson) atau berganti tanda (fermion). Dari tanda minusnya saja menyusul asas larangan Pauli, struktur kulit dan seluruh tabel berkala, kekakuan materi di bawah kaki kita, serta tekanan yang menahan bintang yang mati; dari tanda plusnya menyusul sifat berkerumun foton — sehingga lahirlah laser — dan, tiga bab di depan, pengembunan Bose–Einstein. Jarang sekali dalam fisika satu tanda memikul begitu banyak.

14.1 Postulat penyetangkupan

Definisi 14.1 (Penukaran)

Untuk dua partikel identik dengan ruang keadaan yang direntang hasil kali $\ket{a}\otimes\ket{b}$ (partikel 1 dalam $\ket a$ , partikel 2 dalam $\ket b$ — kedudukan, spin dan segalanya), operator penukaran $\hat P_{12}$ menukar perannya: $\hat P_{12}\ket a\otimes\ket b = \ket b\otimes\ket a$ . Ia Hermitian, kuadratnya identitas, dan berkomutasi dengan Hamiltonian mana pun yang memperlakukan partikelnya secara identik: nilai eigennya $\pm1$ adalah label dunia yang kekal.

Teorema 14.2 (Boson dan fermion)

Keadaan partikel identik bukan sekadar diizinkan melainkan diwajibkan menjadi keadaan eigen tiap penukarannya: sepenuhnya setangkup bagi satu golongan partikel — yakni boson — dan sepenuhnya antisetangkup (berganti tanda pada tiap penukarannya) bagi golongan yang lain — yakni fermion. Golongan mana yang dimiliki sebuah jenis ditetapkan oleh spinnya (yakni teorema spin-statistik, yang hanya dibuktikan dalam teori medan kuantum relativistik dan diterima tanpa bukti di sini):

\text{spin bulat} \Rightarrow \text{boson} , \qquad \text{spin setengah bulat} \Rightarrow \text{fermion} .

Foton, pion dan atom $^4$ He adalah boson; elektron, proton, neutron dan $^3$ He adalah fermion. Sebuah gabungan berperilaku menurut jumlah bagiannya: fermion yang terikat bersama dalam jumlah genap adalah boson ( $^4$ He: 2p + 2n + 2e), dan dalam jumlah ganjil adalah fermion ( $^3$ He) — dengan akibat yang sekasat mata dua jenis helium cair yang berbeda.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Akibat 14.3 (Asas larangan Pauli)

Dua fermion tak pernah dapat menempati keadaan satu partikel yang sama: memasukkan $\ket a = \ket b$ ke gabungan antisetangkupnya $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$ memberikan vektor nol — keadaan semacam itu tidak ada. Untuk elektron (berspin $\tfrac12$ ), tiap orbitalnya menerima paling banyak dua, dengan proyeksi spin yang berlawanan.

Contoh 14.4 (Mencacah secara berbeda)

Dua partikel di antara dua keadaan $a, b$ : pencacahan klasik (yang dapat dibedakan) memberikan empat susunan; boson mempunyai tiga ( $aa$ , $bb$ , dan satu keadaan campuran); fermion tepat satu (yakni yang campuran dan antisetangkup). Fisika statistik akan mewarisi pencacahan ini seluruhnya (Bab 19); di sini pun ia sudah melarutkan sebuah rasa malu abad kesembilan belas — yakni entropi “pencampuran” dua cuplikan gas yang sama (Latihan 14.10).

14.2 Tabel berkala

Proposisi 14.5 (Kulit, dan mengapa kimia ada)

Isilah orbital mirip hidrogen $(n, l, m, m_s)$ dengan satu elektron masing-masing, mulai dari energi terendah, menurut urutan aras yang ditetapkan penembusan dan penyaringannya ( $1s$ , $2s$ , $2p$ , $3s$ , $3p$ , $4s$ , $3d$ , …— Latihan 11.8). Asas Pauli membuat pengisiannya jenuh: $2$ elektron menutup kulit pertamanya, $8$ menutup baris kedua dan ketiganya, dan tabel unsurnya memperoleh periodenya. Kimia adalah fisika elektron mana pun yang ditinggalkan asas larangan itu di lapisan terluar: kulit yang penuh (gas mulia) bersifat lembam; satu elektron di luar kulit yang penuh (alkali) atau kurang satu lubang dari penuh (halogen) bersifat reaktif dengan cara yang berlawanan. Tanpa tanda minusnya, tiap elektron akan tenggelam ke $1s$ , tiap atom akan menjadi bola menciut mirip helium, dan tak akan ada ikatan, tak ada molekul, dan tak ada ahli kimia yang menyesalinya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Mengisi orbitalnya dua demi dua: asas larangannya membangun periode tabelnya. Keempat elektron 2p oksigen menggambarkan kaidah Hund — spinnya menyearah lalu menyebar pada orbitalnya sebelum berpasangan, yakni efek penukaran yang murni (). — Mengisi orbitalnya dua demi dua: asas larangannya membangun periode tabelnya. Keempat elektron $2p$ oksigen menggambarkan kaidah Hund — spinnya menyearah lalu menyebar pada orbitalnya sebelum berpasangan, yakni efek penukaran yang murni (Proposisi 14.6).

14.3 Interaksi penukaran

Proposisi 14.6 (Kesetangkupan keadaan ruang pasangannya)

Untuk dua elektron, keadaan totalnya (ruang $\times$ spin) haruslah antisetangkup: singlet (spin antisetangkup, Latihan 12.11) memaksa fungsi gelombang ruang yang setangkup, dan triplet memaksa yang antisetangkup. Keduanya berbeda secara fisis: dalam keadaan ruang antisetangkup elektronnya tak pernah dapat berimpit ( $\psi(\vect r, \vect r) = 0$ ) sehingga saling menjauh, sedangkan keadaan setangkupnya membiarkannya berkerumun. Karena kedekatan berongkos energi Coulomb, susunan spinnya memperoleh selisih energi — yakni energi penukaran — yang berukuran elektrostatik (elektronvolt!), padahal tak ada gaya magnetik sebesar itu: spinnya menyearah atau berlawanan arah karena geometri ditambah tolakannya. Inilah mesin kaidah Hund, kedua spektrum helium, ikatan kovalen, dan — setelah diperbesar lewat sebuah kristal — feromagnetisme itu sendiri (Bab 22).

Bukti sebagian. Pembukuan kesetangkupannya adalah Teorema 14.2 ditambah gabungan spinnya; lenyapnya pada titik berimpit adalah keantisetangkupan yang dibaca pada $\vect r_1 = \vect r_2$ . Akibat energinya adalah teori gangguan orde pertama dalam tolakannya: suku langsungnya sama bagi kedua kesetangkupannya sedangkan integral silangnya (“penukaran”) masuk dengan tanda yang berlawanan (Latihan 14.6). ∎

Peluang menemukan pasangannya pada pemisahan x_1 - x_2: keadaan ruang setangkupnya berkerumun pada titik sentuhnya, sedangkan yang antisetangkup membawa “lubang penukaran” — yakni nol yang eksak pada titik berimpit. Berikanlah geometri ini kepada tolakan Coulomb dan susunan spinnya akan memperoleh selisih energi berorde elektronvolt. — Peluang menemukan pasangannya pada pemisahan $x_1 - x_2$ : keadaan ruang setangkupnya berkerumun pada titik sentuhnya, sedangkan yang antisetangkup membawa “lubang penukaran” — yakni nol yang eksak pada titik berimpit. Berikanlah geometri ini kepada tolakan Coulomb dan susunan spinnya akan memperoleh selisih energi berorde elektronvolt.

Contoh 14.7 (Dua helium dalam satu atom)

Keadaan tereksitasi helium $1s\,2s$ hadir dalam dua keluarga yang nyaris tidak saling berkombinasi: parahelium (singlet, ruang setangkup) dan ortohelium (triplet, ruang antisetangkup), dengan tripletnya terletak $\approx0.8\,\mathrm{eV}$ lebih rendah — lubang penukarannya menghemat tolakan Coulomb. Keadaan dasarnya niscaya para ( $1s^2$ memaksa keadaan ruang setangkupnya); dan keadaan orto terendahnya, yang tak mempunyai triplet lebih rendah untuk dituju dan pembalikan spinnya terlarang, hidup berjam-jam — yakni atom metastabil yang dipakai sebagai andalan dalam berkas atom. Para spektroskopis abad kesembilan belas mendaftar “dua helium”; penyelesaiannya adalah satu tanda minus.

Contoh 14.8 (Ikatan kovalen)

Dekatkanlah dua atom hidrogen: kedua elektronnya dapat masuk ke gabungan ruang setangkup kedua orbital atomnya (spinnya singlet) atau ke gabungan antisetangkupnya (triplet). Keadaan setangkupnya menumpuk muatan di antara kedua protonnya, tempat muatan itu menarik keduanya: jadi mengikat — yakni ikatan kovalen H $_2$ , yang sedalam $4.5\,\mathrm{eV}$ . Keadaan antisetangkupnya mengosongkan bidang tengahnya: jadi murni menolak. Tiap baris kimia organik adalah pembukuan elektron berpasangan spin yang dibagi secara setangkup — asas larangan, yang dijalankan terbalik, adalah perekat molekul.

14.4 Boson: makin ramai makin baik

Proposisi 14.9 (Penguatan bosonik)

Transisi yang menambahkan sebuah boson ke keadaan yang sudah memuat $n$ di antaranya mempunyai amplitudo yang menguat sebesar $\sqrt{n + 1}$ — sehingga lajunya sebesar $n + 1$ (yakni aljabar tangga pada Bab 9, karena sebuah ragam bosonik memang sebuah osilator). Angka “ $1$ ”-nya adalah pancaran spontan; angka “ $n$ ”-nya adalah pancaran terangsang, yang sebanding dengan kerumunan yang sudah hadir: yakni longsoran di balik tiap laser (jilid Tahun 2), yang kini terungkap sebagai kesetangkupan penukaran yang murni. Statistik yang sama, yang diterapkan pada atom yang didinginkan sampai paket gelombangnya bertumpang tindih, meramalkan penyerbuan ke satu keadaan kuantum tunggal — yakni pengembunan Bose–Einstein, yang disimpan untuk Bab 19.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Metode 14.10 (Menangani partikel identik)

(1) Putuskanlah statistiknya dari spinnya (untuk gabungan: jumlahkanlah cacah fermionnya). (2) Untuk dua elektron, faktorkanlah ruang $\times$ spin lalu pasangkanlah singletnya dengan ruang setangkup, dan tripletnya dengan ruang antisetangkup. (3) Cacahlah keadaannya, jangan pernah partikel-dengan-nama: daftarkanlah pendudukannya. (4) Pertanyaan energi dengan tolakannya: integral langsungnya sekali, dan integral penukarannya dengan tanda kesetangkupannya. (5) Ingatlah kedua semboyan itu — fermion: paling banyak satu tiap keadaan, dengan lubang penukaran di sekitar tiap satunya; boson: lajunya terdorong oleh pendudukannya.

Helium cair, yang mendidih tenang di dekat 4\, K: sebuah fluida boson yang identik sempurna. Beberapa derajat lebih rendah ia mendadak berhenti mendidih lalu mengalir tanpa gesekan — ketakterbedaan, yang diangkat menjadi hidraulika. — Helium cair, yang mendidih tenang di dekat $4\,\mathrm{K}$ : sebuah fluida boson yang identik sempurna. Beberapa derajat lebih rendah ia mendadak berhenti mendidih lalu mengalir tanpa gesekan — ketakterbedaan, yang diangkat menjadi hidraulika.

14.5 Latihan

Latihan 14.1 ★

(a) Tunjukkanlah bahwa $\hat P_{12}$ Hermitian dan $\hat P_{12}^2 = \mathbb 1$ : berapa nilai eigen yang mungkin? (b) Tunjukkanlah $[\hat P_{12}, \hat H] = 0$ untuk partikel identik lalu simpulkanlah bahwa golongan kesetangkupannya kekal. (c) Mengapa keadaan dua partikel identik tidak dapat begitu saja “berupa” $\ket a\otimes\ket b$ tanpa kesetangkupan? (d) Golongkanlah: $^1$ H, $^2$ H (deuterium), $^4$ He, $^3$ He, molekul hidrogen, dan sebuah foton.

Solusi

Solusi Latihan 14.1.

(a) Menukar dua kali sama dengan tidak berbuat apa pun: nilai eigennya $\pm1$ . (b) Partikel identik masuk ke $\hat H$ secara setangkup, sehingga $\hat H\hat P_{12} = \hat P_{12}\hat H$ : golongan kesetangkupannya tak pernah berubah. (c) $\ket a\otimes\ket b$ dan $\ket b\otimes\ket a$ akan menjadi keadaan yang berbeda padahal memerikan keadaan fisis yang sama — yakni pembedaan tak teramati yang tak boleh dibawa formalismenya. (d) $^1$ H (2 fermion): boson; deuterium (3): fermion; $^4$ He: boson; $^3$ He: fermion; H $_2$ (4): boson; foton: boson.

Latihan 14.2 ★

(a) Tuliskanlah keadaan antisetangkup ternormalkan yang dibangun dari orbital ortogonal $\ket a, \ket b$ . (b) Tunjukkanlah bahwa ia lenyap ketika $a = b$ . (c) Untuk tiga fermion dalam $a, b, c$ : tuliskanlah gabungan yang sepenuhnya antisetangkup (enam suku dengan tanda berselang-seling — yakni sebuah determinan $3\times3$ ) lalu periksalah bahwa satu penukaran membalik tandanya. (d) Mengapa bentuk determinannya membuat asas Pauli menjadi otomatis?

Solusi

Solusi Latihan 14.2.

(a) $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$ . (b) Nol secara identik. (c) Jumlahan berselang-seling atas keenam permutasinya — yakni determinan $3\times3$ orbital terhadap partikelnya; menukar dua barisnya membalik tanda determinannya. (d) Determinan dengan dua kolom yang sama akan lenyap: dua fermion dalam satu orbital adalah kolom yang terulang.

Latihan 14.3 ★

Dua partikel berbagi tiga keadaan ortogonal. Cacahlah keadaan dua partikelnya untuk (a) partikel yang dapat dibedakan; (b) boson; (c) fermion (tanpa spin). (d) Ulangilah (c) untuk elektron dengan spinnya: berapa keadaannya sekarang?

Solusi

Solusi Latihan 14.3.

(a) $3^2 = 9$ . (b) $3$ pasangan ganda $+$ $3$ pasangan campuran $= 6$ . (c) $3$ pasangan. (d) Enam keadaan satu partikel (tiga orbital $\times$ dua spin): $\binom62 = 15$ .

Latihan 14.4 ★

(a) Berikanlah konfigurasi dasar karbon, nitrogen, oksigen dan neon. (b) Nyatakanlah kaidah Hund lalu terapkanlah pada ketiga elektron $2p$ nitrogen. (c) Berilah alasan bagi kaidah Hund dalam satu kalimat dari Proposisi 14.6. (d) Kulit penuh unsur manakah yang menjadikannya zat paling tidak reaktif yang dikenal, dan satu elektron yang hilang manakah yang menjadikan fluorin yang paling rakus?

Solusi

Solusi Latihan 14.4.

(a) C: $1s^22s^22p^2$ ; N: $2p^3$ ; O: $2p^4$ ; Ne: $2p^6$ . (b) Ketiga elektron $2p$ nitrogen menempati ketiga orbitalnya sendiri-sendiri, dengan spin sejajar. (c) Spin yang sejajar memaksa keadaan ruang yang antisetangkup, yang lubang penukarannya menghemat tolakan Coulomb — penyejajarannya dibeli dengan penghematan elektrostatik. (d) Helium (beserta kerabat mulianya); fluorin, yang kurang satu elektron dari penutupan neon, merenggutnya dari hampir apa saja.

Latihan 14.5 ★★

Dua partikel tak berinteraksi dalam kotak beraras $E_n = n^2E_1$ . (a) Berapa energi dasarnya untuk dua boson; untuk dua fermion tanpa spin; untuk dua elektron? (b) Berapa aras tereksitasi pertama masing-masingnya? (c) Keadaan dasar fermionnya berongkos lebih mahal: “penaikan Fermi” ini adalah tekanan dalam bentuk embrio — jelaskanlah dalam satu kalimat bagaimana ia mencegah materi meruntuh. (d) Umumkanlah: untuk $N$ fermion tanpa spin dalam kotaknya — tunjukkanlah bahwa energi dasarnya tumbuh sebagai $N^3$ , bukan $N$ .

Solusi

Solusi Latihan 14.5.

(a) Boson: $2E_1$ ; fermion tanpa spin: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$ ; elektron: $2E_1$ (spin yang berlawanan berbagi $n = 1$ ). (b) Boson dan elektron: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$ ; fermion tanpa spin: $E_1 + 9E_1 = 10E_1$ . (c) Memampatkan fermion memaksa pendudukan aras yang makin tinggi: ongkos energi tiap perasannya adalah tekanan ke luar yang tak dapat dihilangkan pendinginan mana pun — yakni ketaktermampatan materi dalam bentuk embrio. (d) $\sum_{n=1}^N n^2 \approx N^3/3$ : total lautan Ferminya tumbuh sebagai $N^3$ .

Latihan 14.6 ★★

Dengan orbital real ortogonal $\varphi_a, \varphi_b$ dan keadaan pasangan $\psi_\pm \propto \varphi_a(1)\varphi_b(2) \pm \varphi_b(1)\varphi_a(2)$ : (a) tunjukkanlah $\psi_-(\vect r, \vect r) = 0$ ; (b) turunkanlah $\langle(\vect r_1 - \vect r_2)^2\rangle_\pm = (\text{suku bersama}) \mp 2\,|\bra{a}\hat{\vect r}\ket{b}|^2$ , lalu kenalilah kesetangkupan mana yang menjaga partikelnya lebih berjauhan; (c) untuk interaksi tolak $V(|\vect r_1 - \vect r_2|)$ , kemukakanlah tanda $E_+ - E_-$ ; (d) kaitkanlah dengan urutan orto–para helium.

Solusi

Solusi Latihan 14.6.

(a) Kedua sukunya saling meniadakan pada $\vect r_1 = \vect r_2$ . (b) Setelah dijabarkan, suku silangnya menyumbang $\mp2|\bra a\hat{\vect r}\ket b|^2$ : keadaan antisetangkupnya mempunyai rata-rata kuadrat pemisahan yang lebih besar. (c) Lebih berjauhan berarti energi tolakannya lebih kecil: $E_- < E_+$ . (d) Triplet helium (ruang antisetangkup) terletak di bawah singlet konfigurasi yang sama — ortohelium di bawah parahelium, sebesar $0.8\,\mathrm{eV}$ tolakan yang dihemat.

Latihan 14.7 ★★

Tangga helium. (a) Mengapa keadaan dasarnya harus berupa singlet spin? (b) Triplet $1s2s$ terletak $0.80\,\mathrm{eV}$ di bawah singlet $1s2s$ : nyatakanlah hal ini sebagai sebuah integral penukaran lalu bandingkanlah besarnya dengan energi spin–spin magnetik ( $\sim\mu_{\text{B}}^2\mu_0/4\pi a_0^3$ , hitunglah). (c) Mengapa keadaan $2\,^3S$ bersifat metastabil (dua kaidah pemilihan mana yang keduanya harus dilanggar)? (d) Umur terukurnya $\approx8000\,\mathrm{s}$ : bandingkanlah dengan $1.6\,\mathrm{ns}$ milik hidrogen $2p$ lalu takjublah dengan penuh tanggung jawab.

Solusi

Solusi Latihan 14.7.

(a) $1s^2$ adalah keadaan ruang setangkup: spinnya harus membentuk singlet yang antisetangkup. (b) Pembelahannya $= 2J$ : $J \approx 0.4\,\mathrm{eV}$ . Energi dipol–dipol magnetik yang sejati pada $a_0$ : $\mu_0\mu_{\text{B}}^2/4\pi a_0^3 \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ — seribu kali lebih kecil: “gaya spin” itu adalah elektrostatika yang mengenakan warna spin. (c) Meluruh ke $1\,^1S$ menuntut pembalikan spin (singlet–triplet) dan transisi $s \to s$ ( $\Delta l = 0$ ): jadi terlarang ganda. (d) $8000$ s berbanding $1.6\,\mathrm{ns}$ : dua belas orde besar, dari dua kaidah pemilihan — kemetastabilan adalah kaidah yang bertumpuk, bukan gaya yang melemah.

Latihan 14.8 ★★

Orto- dan parahidrogen. Kedua proton H $_2$ adalah fermion: keadaan spin inti $\times$ rotasi totalnya haruslah antisetangkup terhadap penukarannya; menukar protonnya juga membalikkan sumbu molekulnya, sehingga mengalikan keadaan rotasinya dengan $(-1)^J$ . (a) Tunjukkanlah bahwa triplet inti (orto) berpasangan dengan $J$ ganjil, dan singletnya (para) dengan $J$ genap. (b) Pada suhu tinggi, nisbah orto:para berapa yang ditetapkan kelipatgandaan spinnya? (c) Keadaan terendah ortonya ( $J = 1$ ) terletak $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ di atas $J = 0$ paranya, dan pengubahan spinnya memakan waktu berhari-hari: apa yang terjadi di dalam tangki hidrogen yang baru dicairkan ketika bagian ortonya perlahan berubah, dan mengapa pabrik pencairnya harus memangkinkan pengubahan itu sebelum penyimpanan? (d) Program bahan bakar kriogenik sehari-hari yang mana (roket!) yang menghadapi persoalan persis ini?

Solusi

Solusi Latihan 14.8.

(a) Tanda penukaran totalnya $=$ (bagian spinnya) $\times (-1)^J$ haruslah $-1$ : triplet (spin setangkup) mengambil $J$ ganjil, dan singletnya $J$ genap. (b) $3:1$ dari kelipatgandaannya. (c) Bagian orto sebesar 3/4 mengendur menjadi para ( $J = 0$ ), sambil melepaskan $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ tiap molekul — lebih besar daripada kalor laten zat cairnya: sebuah tangki tanpa mangkin perlahan mendidihkan dirinya sampai kering. Pabriknya mengubah orto $\to$ para di atas mangkin selama pencairannya. (d) Peroketan hidrogen cair — tiap landasan peluncuran mewarisi persoalan statistik spin inti.

Latihan 14.9 ★★

Penyerbuan bosonik. Sebuah ragam memuat $n$ foton; unsur matriks untuk menambahkan satu berskala sebagai $\sqrt{n+1}$ . (a) Tunjukkanlah bahwa laju pancarannya ke dalam ragam itu berskala sebagai $n + 1$ dan serapannya sebagai $n$ . (b) Dalam sebuah rongga yang satu ragamnya memuat $10^{10}$ foton sedangkan tetangganya kosong, bandingkanlah laju pancaran sebuah atom tereksitasi ke masing-masingnya. (c) Jelaskanlah dalam dua kalimat bagaimana hal ini membuat cahaya laser tumbuh dalam satu ragam tunggal. (d) Di manakah dalam Proposisi 9.7 $\sqrt{n+1}$ itu sudah muncul?

Solusi

Solusi Latihan 14.9.

(a) Lajunya berbanding kuadrat amplitudonya: $n + 1$ ke dalam ragam yang terisi, dan $n$ untuk arah sebaliknya. (b) $10^{10} + 1$ berbanding $1$ : ragam yang ramai menang sepuluh miliar kali. (c) Satu foton spontan dalam ragam yang disukai memiringkan peluangnya; tiap foton terangsang menaikkan $n$ lalu mempercuram kemiringannya: yakni longsoran foton yang identik — penguatan yang menyempit ke dalam satu ragam tunggal. (d) Dalam $\hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n+1}\,\ket{n+1}$ : ragam bosoniknya adalah osilatornya, dan penguatannya adalah koefisien tangganya.

Latihan 14.10 ★★★

Paradoks Gibbs, yang diselesaikan lewat keidentikan. Dua volume sama $V$ berisi gas ideal, masing-masing $N$ molekul, pada suhu yang sama, disatukan. (a) Jika gasnya berbeda (katakanlah argon dan neon), entropinya naik sebesar $2Nk_{\text{B}}\ln2$ — ingatlah mengapa (tiap gasnya melipatduakan volumenya). (b) Jika keduanya gas yang sama, membuka kerannya tidak mengubah apa pun secara makroskopis: kemustahilan apa yang akan menyusul seandainya entropi pencampurannya toh muncul (tinjaulah menutup lalu membukanya lagi)? (c) Tunjukkanlah bahwa memperlakukan molekulnya sebagai dapat dibedakan memang menghasilkan entropi palsu itu, dan bahwa membagi cacah keadaannya dengan $N!$ — yang sah hanya karena molekulnya identik — menyingkirkannya. (d) Pelajarannya, dalam satu kalimat: fisika statistik klasik diam-diam meminjam sebuah fakta kuantum; bab berikutnya akan meminjamnya dengan lantang.

Solusi

Solusi Latihan 14.10.

(a) Tiap gasnya mengembang ke volume dua kali lipat: $\Delta S = Nk_{\text{B}}\ln2$ tiap gas. (b) Menutup lalu membuka kerannya lagi akan memproduksi entropi tanpa perubahan keadaan apa pun — yakni kecurangan pembukuan abadi. (c) Dengan molekul yang bernama, gas gabungannya mempunyai $\binom{2N}{N}$ penetapan “di sisi mana” tambahan yang bernilai $2Nk_{\text{B}}\ln2$ ; membagi semua cacah keadaannya dengan $N!$ — yakni pencacahan jujur bagi partikel identik — menyingkirkan persis itu. (d) $N!$ yang diperlukan fisika klasik namun tak dapat dibenarkannya adalah postulat penyetangkupan yang dilihat dari kejauhan.

Latihan 14.11 ★★★

Pauli menahan yang mati. Sebuah katai putih memampatkan sekitar $10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , yakni kerapatan elektron $n_{\text{e}} \approx 3 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ (satu elektron tiap dua massa nukleon). (a) Hitunglah energi Ferminya dari Latihan 7.8 — lalu perhatikanlah bahwa rumus tak relativistiknya mulai tegang. (b) Bandingkanlah $E_{\text{F}}$ dengan $k_{\text{B}}T$ pada $T = 10^{7}\,\mathrm{K}$ : dalam pengertian apa bintang yang berpijar putih ini justru dingin? (c) Jelaskanlah dalam dua kalimat bagaimana asas larangan, bukan kalor, memasok tekanan yang mengimbangi gravitasinya. (d) Apa yang harus terjadi ketika massanya ditambah dan $E_{\text{F}}$ menjadi relativistik — batas termasyhur mana yang dipratayangkannya (Bab 27)?

Solusi

Solusi Latihan 14.11.

(a) $E_{\text{F}} = \hbar^2(3\pi^2n_{\text{e}})^{2/3}/2m_{\text{e}} \approx 0.16\,\mathrm{MeV}$ — sepertiga energi diam elektronnya: bintangnya duduk di tepi rezim relativistik. (b) $k_{\text{B}}T \approx 0.9\,\mathrm{keV} \ll E_{\text{F}}$ : pada skala Ferminya bintang yang berpijar putih itu sangat berdegenerasi — jadi “dingin”. (c) Elektronnya menumpuk secara Pauli sampai $0.16\,\mathrm{MeV}$ ; memampatkan bintangnya menaikkan tiap aras yang terisi, dan gradien energi itu adalah tekanan yang tidak bergantung suhu — asas larangannya, bukan kalornya, yang memikul bebannya. (d) Degenerasi relativistiknya melunakkan hukum tekanannya sampai gravitasinya menang pada massa yang berhingga: yakni batas Chandrasekhar, yang disimpan untuk Bab 27.

Latihan 14.12 ★★★

Dari penukaran ke magnet. Modelkanlah dua elektron bertetangga dalam sebuah zat padat dengan Proposisi 14.6: energinya adalah $E_{\text{singlet}}$ atau $E_{\text{triplet}} = E_{\text{singlet}} - 2J$ dengan tetapan penukaran $J$ . (a) Tunjukkanlah bahwa hal ini dihasilkan kembali oleh Hamiltonian spin efektif $\hat H = -2J\,\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2/\hbar^2$ (pakailah $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12[\hat S^2 - \hat S_1^2 - \hat S_2^2]$ ). (b) Untuk $J > 0$ spin bertetangganya menyearah: gejala makroskopis apa yang dihasilkan sebuah kisi berisi pasangan semacam itu? (c) Perkirakanlah suhu penataannya $k_{\text{B}}T_{\text{C}} \sim J$ untuk $J \approx 0.1\,\mathrm{eV}$ lalu bandingkanlah dengan $1043\,\mathrm{K}$ milik besi. (d) Mengapa tak ada interaksi dipol–dipol magnetik (ingatlah besarnya dari Latihan 14.7b) yang dapat menjelaskan magnet seribu kelvin — dan apa yang dapat menjelaskannya, dalam satu kalimat?

Solusi

Solusi Latihan 14.12.

(a) $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S^2 - \tfrac32\hbar^2)$ : $-\tfrac34\hbar^2$ pada singletnya, $+\tfrac14\hbar^2$ pada tripletnya — Hamiltonian yang dinyatakan itu menghasilkan kembali pembelahan $2J$ -nya. (b) Sebuah kisi berisi tetangga yang menyearah: kemagnetan spontan — yakni feromagnetisme. (c) $J/k_{\text{B}} \approx 1200\,\mathrm{K}$ : nilai $1043\,\mathrm{K}$ milik besi tepat pada skala ini. (d) Kemagnetan dipol–dipol berorde $10^{-4}$ eV: ia akan menata diri pada milikelvin. Feromagnetisme adalah tolakan Coulomb yang memilih susunan spinnya lewat geometri penukarannya.

14.6 Soal: Logika tabel berkala

Soal 14.1

Soal akhir pekan — tiga kaidah kuantum membangun seluruh kimia

Berikanlah kepada seorang fisikawan orbital hidrogen $(n, l, m)$ , spin elektronnya, dan asas Pauli, maka tabel berkalanya menyusul — periodenya, keluarganya, ukurannya, gigi gergaji energi pengionannya, bahkan warna emas. Soal ini membangunnya. Data: aras hidrogenik $-13.6\,Z_{\text{eff}}^2/n^2$ eV; energi pengionan pertama terukur (eV): hidrogen $13.6$ , helium $24.6$ , litium $5.4$ , berilium $9.3$ , boron $8.3$ , karbon $11.3$ , nitrogen $14.5$ , oksigen $13.6$ , fluorin $17.4$ , neon $21.6$ , natrium $5.1$ .

Bagian I — Ketiga kaidahnya.

Nyatakanlah ketiga bahannya: katalog orbital $(n, l, m)$ beserta degenerasinya, pelipatduaan oleh spinnya, dan asas larangannya. Berapa elektron yang muat dalam $n = 1$ , $2$ , $3$ ?
Mengapa urutan energi subkulit dalam atom berelektron banyak berbeda dari urutan murni menurut $n$ pada hidrogen (ingatlah penembusan dan penyaringan, Latihan 11.8)?
Tuliskanlah urutan pengisiannya sampai $4s$ dan $3d$ , lalu berikanlah konfigurasi Na ( $Z = 11$ ), Cl ( $17$ ), K ( $19$ ), Fe ( $26$ ).
Panjang barisnya: jelaskanlah $2, 8, 8, 18$ yang teramati pada keempat periode pertama tabelnya dari urutan pengisiannya (mengapa baris ketiganya 8, bukan 18?).
Ciri tunggal apa yang membuat gas mulia bisu secara kimia?
Definisikanlah muatan efektif $Z_{\text{eff}}$ yang dilihat sebuah elektron valensi, lalu jelaskanlah mengapa nilainya kira-kira $1$ bagi elektron terluar natrium sedangkan tiap elektron helium melihat nyaris seluruh $Z = 2$ dikurangi sebagian penyaringan oleh temannya.

Bagian II — Membaca baris keduanya.

Dari datanya, energi pengionannya memanjat dari Li ke Ne tetapi turun pada B dan pada O: tentukanlah letak kedua lekukannya.
Jelaskanlah lekukan boronnya (subkulit mana yang terbuka pada B, dan mengapa $2p$ lebih mahal dipegang daripada $2s$ ?).
Jelaskanlah lekukan oksigennya (apa yang harus dilakukan dua elektron $2p$ oksigen untuk pertama kalinya, dan kenyamanan kaidah yang mana yang hilang?).
Perkirakanlah energi pengionan helium secara naif sebagai $13.6 \times Z^2 = 54.4\,\mathrm{eV}$ : mengapa nilai terukurnya $24.6\,\mathrm{eV}$ jauh lebih kecil, dan bilangan $Z_{\text{eff}} \approx 1.34$ hasil pencocokannya mengatakan apa kepada Anda?
Nilai litium $5.4\,\mathrm{eV}$ berbanding hidrogen $13.6\,\mathrm{eV}$ : pasangan efek apa (penyaringan; $n$ yang lebih tinggi) yang bersekongkol?
Mengapa ukuran atom menyusut sepanjang satu baris (Li $\to$ Ne) padahal elektronnya justru ditambah?

Bagian III — Keluarga dan ikatan.

Alkali: satu elektron $s$ di atas teras mulia — turunkanlah ciri keluarganya (pengionan rendah, ion $+1$ , kimia air yang ganas) dari konfigurasinya.
Halogen: satu lubang dalam kulit $p$ — turunkanlah cirinya (afinitas elektron, ion $-1$ , molekul dwiatom).
Empatnya karbon: mengapa atom $2s^22p^2$ dalam praktiknya bervalensi empat (kenyaris-degenerasian apa yang membiarkannya naik dan menghibrid — ingatlah hibrida Stark pada Contoh 13.4)?
Pakailah Contoh 14.8: mengapa dua atom berkulit tertutup (dua helium) tidak membentuk ikatan kovalen?
Logam transisi: kenyaris-degenerasian $4s$ / $3d$ menghasilkan sepuluh kolom berkimia serupa: mengapa mengisi kulit $d$ yang di dalam begitu sedikit mengubah kimianya?
Ramalkanlah, hanya dari konfigurasinya, yang manakah di antara K, Ca, Sc yang pertama menunjukkan elektron $d$ tak berpasangan yang siap bermagnet.

Bagian IV — Melampaui patokan kasarnya.

Kaidah Hund memberi nitrogen tiga spin $2p$ yang sejajar: sifat atom terukur yang mana (yakni momen magnetiknya) yang ditetapkannya, dan mekanisme bab 14 mana yang membayar penyejajarannya?
Keberadaan tabelnya sendiri menuntut keidentikan elektron yang ketat: apa yang akan dilakukan elektron yang “sedikit dapat dibedakan” terhadap asas Pauli dan terhadap penutupan kulitnya?
Dalam atom berat elektron dalamnya bergerak pada $Z\alpha c$ : untuk emas ( $Z = 79$ ), perkirakanlah $v/c$ bagi pasangan $1s$ lalu nyatakanlah secara kualitatif apa yang dilakukan kerelatifan terhadap energi orbital $6s$ -nya — yakni penjelasan yang diterima bagi warna emas dan kecairan raksa.
Subkulit $4s$ terisi sebelum $3d$ namun terionkan lebih dahulu pada logam transisi, dan kromium serta tembaga meminjam satu elektron $s$ untuk mencapai $3d^5$ dan $3d^{10}$ : apa yang dikatakan penyimpangan ini tentang betapa berdekatannya energi kedua subkulit itu?
Dua isotop sebuah unsur hampir sepenuhnya serupa secara kimia: dari ketiga kaidahnya, mengapa kimia hanya peduli pada $Z$ dan nyaris tidak peduli pada massa intinya?
Periode 7 berakhir di dekat $Z \approx 118$ dan kimia superberat menyimpang dari logika kolom naif tabelnya: sebutkanlah kedua skala yang bersaing (struktur kulitnya berbanding efek relativistik dan Coulomb pada $Z$ yang besar).
Ringkaslah hasil bernama itu: satu katalog orbital, satu pelipatduaan oleh spin, satu tanda minus — dan hasilnya adalah hukum berkala: baris $2, 8, 8, 18$ , lekukan pada B dan O, keluarga yang reaktif dan yang mulia, semuanya terukur dalam tangga pengionan dari $5.1\,\mathrm{eV}$ (Na) sampai $24.6\,\mathrm{eV}$ (He).

Solusi

Solusi Soal 14.1.

1. Orbital $(n, l, m)$ dengan $n^2$ tiap $n$ ; spinnya melipatduakan; Pauli membatasi satu elektron tiap label lengkapnya: $2$ , $8$ , $18$ . 2. Elektron dalamnya menyaring intinya secara berbeda bagi $l$ yang berbeda: orbital $s$ yang menembus tenggelam di bawah orbital $p$ dan $d$ yang kurang menembus — urutan energinya mengikuti $(n, l)$ , bukan $n$ saja. 3. Urutannya $1s\,2s\,2p\,3s\,3p\,4s\,3d$ ; Na: [Ne] $3s^1$ ; Cl: [Ne] $3s^23p^5$ ; K: [Ar] $4s^1$ ; Fe: [Ar] $4s^23d^6$ . 4. Barisnya menutup pada tiap konfigurasi mulianya: $2$ ( $1s$ ), $8$ ( $2s2p$ ), $8$ lagi ( $3s3p$ — karena $3d$ terletak di atas $4s$ dan menunggu), lalu $18$ ( $4s3d4p$ ). 5. Sebuah kulit tertutup: celahnya besar menuju orbital berikutnya, tak ada elektron murah untuk diberikan, dan tak ada ruang untuk menerima. 6. $Z_{\text{eff}}$ adalah muatan intinya dikurangi penyaringan elektron dalamnya (dan sebagian, elektron sekulitnya): elektron valensi natrium melihat $11 - 10 \approx 1$ ; kedua elektron helium berbagi $Z = 2$ yang telanjang, dengan masing-masing menyaring temannya hanya sepertiga. 7. Li $\to$ berilium naik, lalu turun pada B; N $\to$ O turun: itulah kedua lekukannya. 8. Boron membuka $2p$ , yang lebih tinggi dan kurang menembus daripada $2s$ : elektron barunya memang lebih mudah dibuang. 9. Oksigen harus, untuk pertama kalinya, memasangkan dua elektron dalam satu orbital $p$ : tolakannya bertambah, dan pemantapan penukarannya hilang — elektron $2p$ keempatnya mendapat potongan harga. 10. Tiap elektronnya menyaring temannya secara tak sempurna: pencocokan $24.6 = 13.6\,Z_{\text{eff}}^2$ memberikan $Z_{\text{eff}} = 1.34$ — dua pertiga muatan yang tersaring. 11. Perisai terasnya yang nyaris lengkap ( $Z_{\text{eff}} \approx 1.3$ ) dan elektron terluarnya yang ber- $n = 2$ : keduanya memangkas ikatannya. 12. Elektron yang ditambahkan masuk ke kulit yang sama lalu menyaring satu sama lain dengan buruk sementara $Z$ memanjat: $Z_{\text{eff}}$ tumbuh dan seluruh kulitnya menciut — neon lebih kecil daripada litium. 13. Satu elektron $s$ yang murah di atas teras mulia: pengionannya $\sim5\,\mathrm{eV}$ , ion $+1$ seketika, dan penyerahan elektron yang ganas — ciri keluarganya hanyalah satu konfigurasi. 14. Satu lubang dalam penutupan $p^6$ : afinitas elektronnya besar, ionnya $-1$ , dan lubangnya berpasangan menjadi molekul X $_2$ . 15. $2s$ dan $2p$ terletak berdekatan: menaikkan $2s^22p^2 \to$ empat hibrida setengah terisi berongkos sedikit namun membeli dua ikatan tambahan — kevalensiempatan karbon adalah kenyaris-degenerasian yang dimanfaatkan. 16. Dengan empat elektron, gabungan pengikat maupun pengantiikatnya sama-sama terisi: perolehannya saling meniadakan, sehingga tak ada ikatan kovalen — helium tetap penyendiri. 17. Elektron $d$ -nya mengubur diri di dalam kulit $4s$ -nya: kimia luarnya, yang ditetapkan kulit $s$ -nya, sedikit sekali berubah sepanjang sepuluh unsur — yakni dataran kimia. 18. Skandium, [Ar] $4s^23d^1$ : elektron $d$ tak berpasangan yang pertama. 19. Sebuah momen magnetik dari tiga spin yang menyearah ( $\sim3\mu_{\text{B}}$ ); penyejajarannya dibayar penukarannya — yakni penghematan Coulomb, bukan gaya magnetik. 20. Elektron yang sedikit dapat dibedakan dapat berkerumun menuju $1s$ (tanpa peniadaan eksak keadaan tersetangkupkannya): kulitnya akan bocor, penutupannya mengabur, dan hukum berkalanya larut. 21. $v/c \approx Z\alpha = 0.58$ : pertambahan massa relativistiknya menciutkan dan memantapkan orbital $6s$ -nya; serapan $5d \to 6s$ emas meluncur ke arah biru (sehingga menyisakan pantulan kuning), dan pasangan $6s^2$ raksa yang mengetat berikatan begitu lemah sehingga logamnya cair. 22. Keduanya berjalan nyaris sejajar: urutannya bergantung pendudukan, $4s$ terionkan lebih dahulu, dan peminjaman $3d^5$ / $3d^{10}$ oleh Cr dan Cu — subkulit setengah terisi dan terisi penuh membeli kemantapan penukaran dengan murah. 23. Kimia adalah urusan elektronnya, dan elektronnya hanya merasakan muatan intinya: massanya masuk sekadar lewat pergeseran getaran (isotop) yang mungil. 24. Struktur kulitnya (yang memihak logika gas mulia) berhadapan dengan pemantapan relativistik dan tegangan Coulomb yang sesungguhnya pada $Z\alpha \to 1$ : kimia superberat adalah tarik-menarik keduanya. 25. Satu katalog orbital, satu pelipatduaan, satu tanda minus: baris $2, 8, 8, 18$ , lekukan pada boron dan oksigen, keluarga dari alkali sampai mulia, dan tangga pengionan dari $5.1\,\mathrm{eV}$ sampai $24.6\,\mathrm{eV}$ — hukum berkala yang diturunkan, bukan dihafalkan.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Penukaran

Lihat semua 431 istilah di glosarium