Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

24Elektron dalam Zat Padat

Tembaga menghantarkan listrik sejuta miliar miliar kali lebih baik daripada kuarsa — yakni jangkauan terlebar dari sifat fisis mana pun, yang diperintah bahan yang tampak seperti bongkahan kelabu dalam kedua keadaannya. Kerangka bab lalu tak menjelaskan satu pun darinya; elektron yang dituangkan ke dalamnya menjelaskan semuanya. Bab ini menjalankan ketiga serangan abad itu terhadap masalahnya, masing-masing mewarisi puing serangan sebelumnya: bola gelinding klasik Drude (1900), yang memperoleh hukum Ohm dengan tepat dan kapasitas kalor dengan memalukan salahnya; gas Fermi Sommerfeld, yakni Bab 19 yang mencairkan ceknya; dan wawasan Bloch bahwa gelombang elektron dalam kisi berkala memantul secara Bragg seperti gelombang lainnya — yang membuka celah pita yang memilah semua zat padat menjadi logam, penyekat, dan anak tengah bercelah sempit, yakni semikonduktor, yang di atasnya seluruh zaman elektronika dibangun. Bab ini berakhir di dalam sebuah panel surya.

24.1 Logam bola gelinding Drude

Proposisi 24.1 (Hantaran Drude)

Perlakukanlah elektron valensi sebuah logam sebagai gas klasik berkerapatan $n$ , yang memantul dari rintangan tiap $\tau$ detik. Medan $\vect E$ mempercepat masing-masingnya di antara tumbukan; kecepatan hanyut rata-ratanya adalah $\vect v_{\text{d}} = -e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ , yang mungil di samping gerak termalnya. Kerapatan arusnya $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}}$ lalu menaati hukum Ohm secara setempat, $\vect j = \sigma\vect E$ , dengan

\sigma = \frac{ne^2\tau}{m_{\text{e}}} .

Nilai $\sigma$ tembaga yang terukur menuntut $\tau \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — dan kedua kejayaan modelnya menyusul: ia menjelaskan mengapa hambatan memanas (kerja medannya ditermalkan tiap tumbukan), dan ia meramalkan hukum Wiedemann–Franz, yakni bahwa $\kappa/\sigma T$ adalah tetapan yang sama untuk semua logam — elektronnya mengangkut muatan sekaligus kalor (Latihan 24.5).

Bukti. Di antara tumbukan $\dot{\vect v} = -e\vect E/m_{\text{e}}$ ; karena mulai dari awal tiap tumbukannya, kecepatan rata-rata yang diperolehnya dalam waktu rata-rata $\tau$ adalah $-e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ . Maka $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}} = (ne^2\tau/m_{\text{e}})\vect E$ . ∎

Gambaran Drude: sebutir elektron memantul-mantul pada 106\, m/ s, sementara medannya menumpangkan hanyutan sebesar sepersekian milimeter tiap detik (). Hukum Ohm jatuh dengan sendirinya; kegagalan modelnya mengajarkan lebih banyak lagi. — Gambaran Drude: sebutir elektron memantul-mantul pada $\sim10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sementara medannya menumpangkan hanyutan sebesar sepersekian milimeter tiap detik (Latihan 24.2). Hukum Ohm jatuh dengan sendirinya; kegagalan modelnya mengajarkan lebih banyak lagi.

Catatan 24.2 (Penyelamatan Sommerfeld)

Gas Drude seharusnya menambahkan $\tfrac32k_{\text{B}}$ tiap elektronnya pada kapasitas kalor sebuah logam; percobaannya menemukan seratus kali lebih sedikit. Bab 19 sudah membebaskan elektronnya: mereka adalah gas Fermi yang merosot, $T_{\text{F}} \sim 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , dan hanya kulit termal dalam jarak $k_{\text{B}}T$ dari permukaan Ferminya yang dapat menanggapi — baik terhadap kalor maupun terhadap hamburan. Pengulangan Drude oleh Sommerfeld dengan statistika Fermi–Dirac mempertahankan rumus hantarannya (dengan $\tau$ kini sebagai umur elektron permukaan Ferminya, yang $10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ -nya adalah $v_{\text{F}}$ , bukan laju termalnya), memperbaiki kapasitas kalornya menjadi serpih $T/T_{\text{F}}$ yang terukur, dan bahkan membetulkan tetapan bilangan Wiedemann–Franz. Satu misteri selamat dari tiap model elektron bebas: mengapa kuarsa sama sekali tak mau menghantar.

24.2 Bloch: kisinya berbicara

Teorema 24.3 (Keadaan Bloch dan celah pita)

Dalam potensial berkala yang sempurna, keadaan tunaknya adalah gelombang Bloch $\psi_k(x) = u_k(x)\eu^{\iu kx}$ — yakni gelombang datar yang berbusana kekalaan kisinya sendiri $u_k$ — yang merambat tanpa hamburan: kristal yang sempurna memiliki hambatan nol, dan hambatan yang sebenarnya datang dari ketaksempurnaannya (getaran, pengotor). Tetapi tak semua energi selamat. Pada $k = \pi/a$ panjang gelombang elektronnya adalah $2a$ : yakni syarat Bragg pada kisinya sendiri (Teorema 23.6 membuat penemuan yang sama untuk bunyi). Gelombang pantul dan datangnya membentuk dua pola tegak — dengan muatan menumpuk pada ionnya (berenergi lebih rendah) atau di antaranya (lebih tinggi) — sehingga parabola elektron bebas $E = \hbar^2k^2/2m_{\text{e}}$ merobek terbuka: yakni selang energi terlarang, celah pita $E_{\text{g}}$ , yang memisahkan sebuah pita keadaan terizinkan yang terisi penuh dari pita berikutnya. Jati diri elektronik sebuah kristal adalah tangga pita dan celahnya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Elektron yang nyaris bebas. Jauh dari tepi zonanya elektronnya nyaris tak menyadari kisinya; pada k = π/a pantulan Braggnya sendiri membelah parabolanya, lalu melarang energi dalam celahnya. Gelombang bunyi melakukan persis hal ini dalam bab lalu — kisi yang sama, perpaduan yang sama, penyewa yang baru. — Elektron yang nyaris bebas. Jauh dari tepi zonanya elektronnya nyaris tak menyadari kisinya; pada $k = \pi/a$ pantulan Braggnya sendiri membelah parabolanya, lalu melarang energi dalam celahnya. Gelombang bunyi melakukan persis hal ini dalam bab lalu — kisi yang sama, perpaduan yang sama, penyewa yang baru.

Definisi 24.4 (Logam, penyekat, semikonduktor)

Isilah pitanya dengan elektron kristalnya, dua tiap keadaannya (Bab 14), dari yang terdingin lebih dahulu. Jika pita terisi teratasnya terisi sebagian, energi yang sangat kecil pun dapat menggeser elektronnya menjadi gerak bersih: yakni sebuah logam (natrium: satu elektron valensi, separuh pita; logam berdwivalensi menghantar lewat pita yang bertindihan). Jika ia tepat penuh, dengan celah lebar di atasnya, tak ada dorongan kecil yang dapat menata ulang apa pun: yakni sebuah penyekat (intan, $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ). Jika celahnya kecil — $1.12\,\mathrm{eV}$ dalam silikon — kegelisahan termalnya mengangkat beberapa elektron menyeberang, masing-masing meninggalkan lubang yang gesit di bawahnya: yakni sebuah semikonduktor, yang cacah pembawanya $\propto\eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ berlipat dua tiap beberapa derajat. Karena itu muncullah pemisahan besar itu: logam menghantar lebih buruk ketika dipanaskan (karena lebih banyak getaran untuk dihamburi), semikonduktor lebih baik (karena pembawanya bertambah secara eksponensial) — yakni satu pembalikan tanda yang mengenali kelas sebuah bahan dalam satu pengukuran.

Pengisian pitanya menentukan segalanya. Pita yang terisi sebagian menghantar; pita penuh di bawah celah yang lebar tak dapat; celah yang sempit membiarkan suhu (atau cahaya, atau pendopingan) berunding — yakni seluruh kegunaan semikonduktor terletak pada hantarannya yang dapat disetel. — Pengisian pitanya menentukan segalanya. Pita yang terisi sebagian menghantar; pita penuh di bawah celah yang lebar tak dapat; celah yang sempit membiarkan suhu (atau cahaya, atau pendopingan) berunding — yakni seluruh kegunaan semikonduktor terletak pada hantarannya yang *dapat disetel*.

24.3 Merekayasa celahnya: pendopingan dan pertemuannya

Definisi 24.5 (Pendopingan)

Gantikanlah satu atom silikon dalam sejuta dengan fosforus (yang berlima elektron valensi): empat ikatannya terpenuhi dan elektron kelimanya, yang terikat hanya sebesar $45\,\mathrm{meV}$ (Latihan 24.10), sudah bebas pada suhu ruang. Donor semacam itu membuat semikonduktor jenis-n, yang menghantar lewat elektron; boron (berisi tiga elektron) adalah sebuah akseptor, yang menyambar sebuah elektron ikatan lalu melepaskan lubang yang gesit — yakni elektron yang hilang yang bergerak, menanggapi medan, dan mengangkut muatan positif sesungguh sebuah gelembung mengangkut daya apung: yakni jenis-p. Pendopingan mengayunkan kerapatan pembawanya — dan karenanya hantarannya — sepanjang enam orde besar sesuka hati: yakni tombol yang mengubah pasir menjadi rangkaian.

Proposisi 24.6 (Pertemuan p–n)

Sambungkanlah jenis-p ke jenis-n. Elektronnya tumpah menuju lubangnya lalu memusnahkannya di dekat antarmukanya, sehingga menyingkapkan zona penipisan berisi dopan terion yang tetap, yang lapis gandanya membangun medan dalam — yakni kesetimbangan pada tegangan bawaannya $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e) \ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/n_{\text{i}}^2) \approx 0.7\,\mathrm{V}$ dalam silikon. Pertemuannya lalu menyearahkan: panjaran maju menurunkan penghalangnya dan arusnya tumbuh sebagai $\eu^{eV/k_{\text{B}}T}$ ; panjaran mundur menaikkannya dan hanya bocoran $I_0$ yang mengalir:

I = I_0\big(\eu^{eV/k_{\text{B}}T} - 1\big) .

Ketaksetangkupan inilah dioda — dan, dijalankan dalam ragamnya, LED (yakni pasangan yang bergabung kembali memancarkan foton berenergi celah), sel surya (yakni foton berenergi celah menciptakan pasangan yang disapu keluar oleh medan bawaannya: Soal 24.1), dan, digandakan menjadi lapis berlapis, transistor: yakni sakelar yang dicetak sebuah cip modern sebanyak ratusan miliar.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Hukum dioda. Tegangan maju dibayar kembali secara eksponensial; tegangan mundur hanya membeli bocorannya I_0. Satu pertemuan menyearahkan; dua membuat transistor; satu meter persegi berisi pertemuan, yang tersinari matahari, membuat sebuah pembangkit listrik. — Hukum dioda. Tegangan maju dibayar kembali secara eksponensial; tegangan mundur hanya membeli bocorannya $I_0$ . Satu pertemuan menyearahkan; dua membuat transistor; satu meter persegi berisi pertemuan, yang tersinari matahari, membuat sebuah pembangkit listrik.

Sekeping wafer silikon yang selesai: ratusan cip, masing-masing berisi miliaran pertemuan, yang tercetak ke dalam satu kristal terdoping — yakni teori pita sebagai resep manufaktur paling berakibat pada abad kedua puluh.

24.4 Latihan

Latihan 24.1 ★

Tembaga Drude. $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , hambatan jenisnya $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Hitunglah (a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho$ ; (b) lintasan bebas rata-ratanya dengan memakai kecepatan Fermi $v_{\text{F}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (c) lintasan itu dalam tetapan kisi ( $a = 3.61\,\text{Å}$ ); (d) jelaskanlah mengapa penerbangan sepanjang itu sudah mengisyaratkan bahwa ionnya sendiri bukanlah yang menghamburkannya.

Solusi

Solusi Latihan 24.1.

(a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ . (b) $\ell = v_{\text{F}}\tau \approx 39\,\mathrm{nm}$ . (c) Kira-kira 110 tetapan kisi. (d) Elektron yang berlayar melewati seratus ion tanpa menghambur tak mungkin sedang memantul dari ionnya sendiri — kisinya pasti tembus terhadapnya, persis seperti yang kemudian dibuktikan teorema Bloch (Teorema 24.3).

Latihan 24.2 ★

Siput dalam kawat. Sebuah kawat tembaga $1\,\mathrm{mm}^{2}$ mengangkut $10\,\mathrm{A}$ . (a) Hitunglah kecepatan hanyutnya. (b) Berapa lama sebuah elektron akan menyeberangi kabel lampu sepanjang $1\,\mathrm{m}$ ? (c) Mengapa lampunya toh menyala seketika? (d) Bandingkanlah $v_{\text{d}}$ dengan $v_{\text{F}}$ lalu berilah ulasan tentang gambaran bola gelinding Drude.

Solusi

Solusi Latihan 24.2.

(a) $v_{\text{d}} = I/neA = 7.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — yakni kurang dari satu milimeter tiap detik. (b) Kira-kira 23 menit. (c) Medannya menegakkan dirinya sepanjang kawatnya nyaris pada laju cahaya lalu membuat seluruh laut elektronnya menghanyut sekaligus: pembarisnya lambat, perintah berbarisnya tidak. (d) $v_{\text{d}}/v_{\text{F}} \sim 10^{-9}$ : penghantaran adalah kecondongan yang tak terasa pada gerak kuantum yang ganas, bukan aliran klasik yang tenang.

Latihan 24.3 ★

Memilah menurut pitanya. Golongkanlah, dengan kaidah pengisian pitanya: (a) natrium (berisi satu elektron valensi); (b) magnesium (berisi dua — namun tetap logam: apa yang harus dilakukan pitanya?); (c) intan ( $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ); (d) silikon ( $1.12\,\mathrm{eV}$ ) — lalu nyatakanlah untuk masing-masingnya tanda $\dd\rho/\dd T$ .

Solusi

Solusi Latihan 24.3.

(a) Pita terisi separuh: logam, $\dd\rho/\dd T > 0$ . (b) Dua elektron akan mengisi pitanya tepat penuh — magnesium menghantar karena pita penuhnya bertindihan dengan pita kosong berikutnya: logam, $\dd\rho/\dd T > 0$ . (c) Pita penuh, celah $5.5\,\mathrm{eV}$ : penyekat (secara resmi $\dd\rho/\dd T < 0$ , tetapi pada dasarnya tanpa pembawa yang dapat dicacah). (d) Semikonduktor: $\dd\rho/\dd T < 0$ , yakni pembalikan tanda eksponensial yang mengkhianati kelasnya.

Latihan 24.4 ★

Celah dan foton. (a) Panjang gelombang foton berapa yang cocok dengan celah silikon, dan dalam daerah spektrum mana silikon menjadi tembus? (b) Hal yang sama untuk intan: mengapa ia bening dalam cahaya tampak? (c) Sebuah LED galium nitrida memiliki $E_{\text{g}} = 3.4\,\mathrm{eV}$ : tepi warna apa yang ditetapkannya, dan mengapa LED biru memerlukan bahan ini? (d) Mengapa LED merah mati gelap dan bukan berpijar putih samar ketika dipaksa berlebihan?

Solusi

Solusi Latihan 24.4.

(a) $\lambda = hc/E_{\text{g}} = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : silikon bersifat tembus dalam inframerah di baliknya — dan karena itulah kamera inframerah dapat dilensai dengan silikon. (b) $225\,\mathrm{nm}$ , dalam ultraungu: tak ada foton tampak yang dapat diserap, sehingga intan bening seperti air. (c) $365\,\mathrm{nm}$ : celah yang cukup lebar untuk biru ( $2.8\,\mathrm{eV}$ ) ada dalam nitrida dan nyaris tak ada di tempat lain yang praktis — LED biru menunggu berpuluh tahun pada penumbuhan bahannya. (d) Celahnya menetapkan fotonnya: memaksanya berlebihan menambahkan kalor, bukan lebar celah, dan diodanya matang menjadi gelap — warna sebuah LED adalah tetapan bahan, bukan setelan kecerlangan.

Latihan 24.5 ★★

Wiedemann–Franz. (a) Dari $\kappa = 400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ dan $\sigma = 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ tembaga pada $300\,\mathrm{K}$ , hitunglah $\kappa/\sigma T$ . (b) Bandingkanlah dengan nilai Sommerfeld $L = \pi^2k_{\text{B}}^2/3e^2 = 2.44 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ . (c) Jelaskanlah dalam satu kalimat mengapa satu jenis pembawa mengikat kedua hantarannya. (d) Panci masak dan pegangannya: pakailah hukumnya untuk menjelaskan pilihan bahan sebuah dapur.

Solusi

Solusi Latihan 24.5.

(a) $\kappa/\sigma T = 400/(5.9\times10^7\times300) = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ . (b) Dalam sepuluh persen dari $L$ . (c) Elektron permukaan Fermi yang sama mengangkut muatannya sekaligus kalornya, sehingga waktu hamburannya saling meniadakan dalam nisbahnya. (d) Panci bajanya menghantarkan kalor ke makanannya karena elektronnya bergerak; pegangan kayunya, yang menyekat dalam kedua artinya, menjaga elektronnya — dan kalornya — keluar dari tangan Anda.

Latihan 24.6 ★★

Pembebasan kapasitas kalornya. (a) Drude meramalkan $\tfrac32nk_{\text{B}}$ dari elektronnya: dengan $n$ tembaga, berapa bagian yang akan ditambahkannya pada nilai kisinya $3nk_{\text{B}}$ (dengan satu elektron hantaran tiap atomnya)? (b) Bab 19 sebaliknya memberikan $C_{\text{el}} \sim \tfrac{\pi^2}{2}nk_{\text{B}}(T/T_{\text{F}})$ : hitunglah penekanannya $T/T_{\text{F}}$ pada $300\,\mathrm{K}$ ( $T_{\text{F}} = 8.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (c) Mengapa suku elektroniknya toh menang pada suhu helium cair (ingatlah $T^3$ kisinya)? (d) Pengukuran apa, yang diplot sebagai $C/T$ terhadap $T^2$ , yang mengurai keduanya?

Solusi

Solusi Latihan 24.6.

(a) Lima puluh persen tambahan — yang secara mencolok absen dari percobaannya. (b) $T/T_{\text{F}} \approx 0.004$ : suku elektroniknya dicekik sampai di bawah satu persen. (c) $T^3$ kisinya runtuh lebih cepat daripada $T$ elektronnya: di bawah beberapa kelvin, elektron yang “dapat diabaikan” itu adalah satu-satunya yang tersisa. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ : titik potongnya $\gamma$ menimbang elektronnya, kemiringannya $\beta$ menimbang kisinya — satu grafik, kedua penyewanya.

Latihan 24.7 ★★

Permukaan Fermi bertemu zonanya. (a) Untuk tembaga, hitunglah panjang gelombang Ferminya $\lambda_{\text{F}} = 2\pi/k_{\text{F}}$ dengan $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3}$ . (b) Bandingkanlah dengan $2a$ : seberapa dekat permukaan Ferminya dengan syarat Braggnya? (c) Jelaskanlah secara fisis mengapa kedua gelombang tegak pada $k = \pi/a$ (yakni muatan pada ionnya berbanding di antaranya) harus berbeda energinya. (d) Kenyataan percobaan yang mana dari Latihan 24.1 yang akhirnya dijelaskan teorema tanpa-hamburan Bloch?

Solusi

Solusi Latihan 24.7.

(a) $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3} = 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $\lambda_{\text{F}} = 4.6\,\text{Å}$ . (b) $2a = 7.2\,\text{Å}$ : yakni orde yang sama — permukaan Fermi tembaga menjangkau menuju batas zonanya, dan fisika pembuka celahnya terjadi tepat pada energi yang penting. (c) Satu gelombang tegak menumpuk muatannya pada ion positifnya (dengan energi elektrostatik yang lebih rendah), yang lain di antaranya (lebih tinggi): panjang gelombang yang sama, dua energi — yakni celahnya. (d) Lintasan bebas sepanjang 110 tetapan kisinya: gelombang Bloch tak menghambur dari kisi yang sempurna, sehingga hanya getaran dan pengotornya yang tersisa untuk melawan.

Latihan 24.8 ★★

Termometer eksponensialnya. Silikon hakiki memiliki $n_{\text{i}} \propto \eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ . (a) Hitunglah nisbah kerapatan pembawanya antara $400\,\mathrm{K}$ dan $300\,\mathrm{K}$ . (b) Karena itu sketsalah hambatan sebuah termistor terhadap suhunya lalu pertentangkanlah dengan milik sehelai kawat platina. (c) Mengapa ada faktor 2 dalam eksponennya (apa yang tercipta berpasangan)? (d) Perkirakanlah suhu ketika elektronika silikon gagal karena pembawa hakikinya menenggelamkan pendopingan $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ ( $n_{\text{i}}(300\,\text{K}) \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 24.8.

(a) $E_{\text{g}}/2k_{\text{B}} = 6500\,\mathrm{K}$ : $\exp[6500(1/300 - 1/400)] \approx 230$ . (b) Hambatan termistornya terjun secara eksponensial — yakni kurva yang curam dan peka; hambatan platina memanjat dengan lembut dan lurus (karena lebih banyak fonon). Yang satu adalah termometer menurut cacah pembawanya, yang lain menurut hamburannya. (c) Pembawanya lahir berpasangan elektron–lubang, dan kesetimbangan $np = n_{\text{i}}^2$ membelah ongkos celahnya di antara keduanya — sehingga muncullah $E_{\text{g}}/2$ . (d) $n_{\text{i}}$ mencapai $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ di dekat $760\,\mathrm{K}$ : pendopingannya tenggelam dan rangkaiannya melupakan rancangannya. Peranti yang sebenarnya menyerah lebih awal — bocoran mundurnya, yang berlipat dua tiap sepuluh kelvin, berkelakuan buruk lebih dahulu.

Latihan 24.9 ★★

Hitungan pendopingan. Silikon memiliki $5 \times 10^{28}\,\mathrm{atom}/\mathrm{m}^{3}$ . (a) Satu fosforus tiap sejuta atom silikonnya: berapa kerapatan pembawanya, dan berapa nisbahnya terhadap $n_{\text{i}} \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ ? (b) Sebesar faktor berapa satu bagian tiap sejuta kotoran mengubah hantarannya? (c) Jelaskanlah mengapa pabrikasi semikonduktor pertama-tama memurnikan sampai bagian tiap semiliar sebelum mendoping secara sengaja. (d) Perkirakanlah jarak rata-rata antardonornya lalu bandingkanlah dengan orbit $2.4\,\mathrm{nm}$ Latihan 24.10.

Solusi

Solusi Latihan 24.9.

(a) $5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ — yakni lima juta kali $n_{\text{i}}$ . (b) Faktor yang sama $\sim5\times10^6$ : satu bintik tiap sejuta atomnya menguasai hantarannya sepenuhnya. (c) Karena bagian tiap sejuta yang tak sengaja akan melakukan hal yang sama tanpa diundang: hanya kristal yang murni sampai bagian tiap semiliar yang memiliki hantaran yang menjadi milik perancangnya. (d) $d \sim n^{-1/3} \approx 27\,\mathrm{nm}$ , yakni sepuluh kali orbit $2.4\,\mathrm{nm}$ -nya: donornya adalah hidrogen yang terpencil; doronglah pendopingannya seratus kali lipat dan orbitnya bersentuhan — yakni pita pengotor, dan akhirnya sebuah logam.

Latihan 24.10 ★★★

Donor sebagai atom hidrogen. Elektron fosforus yang kelima mengorbit ionnya yang $+e$ di dalam silikon: tapisilah Coulombnya dengan $\varepsilon_{\text{r}} = 11.7$ (Bab 22) lalu ringankanlah elektronnya menjadi massa pita efektifnya $m^* = 0.26\,m_{\text{e}}$ . (a) Skalakanlah hasil hidrogen Bab 11: tunjukkanlah $E = 13.6\,\mathrm{eV}\times(m^*/m_{\text{e}})/ \varepsilon_{\text{r}}^2$ lalu hitunglah. (b) Bandingkanlah dengan $k_{\text{B}}T$ pada $300\,\mathrm{K}$ : apakah donornya terion? (c) Skalakanlah jejari Bohrnya dengan cara yang sama. (d) Orbitnya terbentang sepanjang berpuluh sel kisi: jelaskanlah mengapa hal itu secara taat asas membenarkan pemakaian $\varepsilon_{\text{r}}$ dan $m^*$ sama sekali.

Solusi

Solusi Latihan 24.10.

(a) $E = 13.6\times0.26/11.7^2 \approx 26\,\mathrm{meV}$ (nilai fosforus yang terukur, $45\,\mathrm{meV}$ , menjaga skalanya tetap jujur). (b) Sebanding dengan $k_{\text{B}}T = 26\,\mathrm{meV}$ : pada dasarnya semua donornya terion pada suhu ruang — yakni premis Definisi 24.5. (c) $a = 0.53\,\text{Å}\times\varepsilon_{\text{r}}/(m^*/ m_{\text{e}}) \approx 2.4\,\mathrm{nm}$ . (d) Orbit yang terbentang sepanjang berpuluh sel melihat kristalnya sebagai medium yang mulus — dan itulah persis syarat yang membuat $\varepsilon_{\text{r}}$ limbak dan $m^*$ rata-rata pita menjadi sah: hampirannya mengesahkan dirinya sendiri.

Latihan 24.11 ★★★

Bilangan pertemuannya. Sebuah dioda silikon memiliki $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $T = 300\,\mathrm{K}$ . (a) Hitunglah $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e)\ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/ n_{\text{i}}^2)$ . (b) Dari hukum diodanya, hitunglah nisbah arusnya pada $+0.5\,\mathrm{V}$ dan $-0.5\,\mathrm{V}$ . (c) Mengapa $I_0$ — dan karenanya bocoran mundurnya — kira-kira berlipat dua tiap $10\,\mathrm{K}$ ? (d) Sebuah jembatan berisi empat dioda semacam itu mengubah arus bolak-balik menjadi arus searah: sketsalah gagasan rangkaiannya dengan kata-kata.

Solusi

Solusi Latihan 24.11.

(a) $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . (b) $eV/k_{\text{B}}T = 19.3$ : nisbahnya $\eu^{19.3} \approx 2\times10^{8}$ — diodanya adalah jalan satu arah sampai delapan angka. (c) $I_0 \propto n_{\text{i}}^2 \propto \eu^{-E_{\text{g}}/k_{\text{B}}T}$ : yakni eksponensial yang sama seperti Latihan 24.8, sehingga muncullah pelipatduaan menurut patokan kasar itu. (d) Keempat diodanya membentuk belah ketupat: tiap setengah daurnya, pasangan mana pun yang terpanjar maju menggiring arusnya menembus bebannya ke arah yang sama — arus bolak-balik masuk, arus searah bergelombang keluar.

Latihan 24.12 ★★★

Merancang celah suryanya. (a) Foton di bawah $E_{\text{g}}$ lewat begitu saja; energi foton di atas $E_{\text{g}}$ hilang sebagai kalor dalam hitungan pikodetik. Jelaskanlah tawar-menawar yang dihasilkannya dalam memilih $E_{\text{g}}$ . (b) Optimumnya di dekat $1.3\,\mathrm{eV}$ membatasi kehematan pertemuan tunggal pada kira-kira sepertiga (Shockley–Queisser): di mana letak silikon ( $1.12\,\mathrm{eV}$ )? (c) Mengapa susunan tandem (yakni sel bercelah lebar di atas sel bercelah sempit) mengalahkan batasnya? (d) Mengapa panel surya yang panas justru lebih buruk? (Dua alasan yang jujur menurut babnya: $I_0$ hukum diodanya, dan penyusutan sedikit celahnya bersama $T$ .)

Solusi

Solusi Latihan 24.12.

(a) Sempitkanlah celahnya dan lebih banyak foton melewatinya tetapi masing-masing hanya menyerahkan energi celah yang kecil; lebarkanlah dan tiap fotonnya membayar lebih tetapi lebih sedikit yang memenuhi syarat: panen $\times$ tegangannya memuncak di antaranya. (b) Tepat di bawah optimumnya $1.3\,\mathrm{eV}$ : langit-langit ideal silikon adalah $\sim30\,\%$ — cukup dekat sehingga kemurahannya menang. (c) Sel atas bercelah lebarnya mengambil birunya pada tegangan tinggi, lalu meneruskan merahnya ke sel bercelah sempit di bawahnya: tiap fotonnya dipanen di dekat energinya sendiri, penermalannya menyusut, dan langit-langit susunannya memanjat menuju empat puluhan. (d) Kalor menaikkan $I_0$ secara eksponensial, lalu menyeret turun tegangan rangkaian terbukanya $\sim(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ ; dan celahnya sendiri menyempit sedikit, sehingga menukarkan tegangan dengan arus yang tak dapat dipulihkannya sepenuhnya.

Tiruan transistor pertama (Bell Laboratories, 1947, ranah publik): dua sentuhan emas yang ditekankan pada sekeping germanium. Mesin pertama teori pita — dan, lewat keturunannya, semua mesin lainnya.

24.5 Soal: Referendum atap

Soal 24.1

Referendum atap. Tetangga Anda sedang memutuskan apakah akan memasangi rumahnya dengan panel fotovoltaik dan telah menunjuk Anda, sang fisikawan, sebagai penengah. Panel calonnya: silikon, $2\,\mathrm{m}^{2}$ , enam puluh sel seri, berperingkat $400\,\mathrm{W}$ di bawah $1000\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ baku cahaya matahari tengah hari.

Bagian I — Cahaya matahari bertemu celahnya.

Cahaya matahari kira-kira adalah spektrum termal $5800\,\mathrm{K}$ (Bab 20): hitunglah energi foton puncaknya (Wien) dalam eV.
Celah silikon adalah $1.12\,\mathrm{eV}$ : berapa panjang gelombang terpanjang yang dapat dipanen sebuah sel silikon?
Kira-kira seperlima daya mataharinya tiba dalam foton di bawah celahnya. Apa yang terjadi padanya dalam panelnya?
Sebuah foton hijau $2.5\,\mathrm{eV}$ terserap: berapa banyak energinya yang selamat sebagai energi pasangan elektron–lubang, dan ke mana sisanya pergi, dan secepat apa?
Gabungkanlah butir 3 dan 4 menjadi putusan spektrumnya: kira-kira separuh daya datangnya sudah hilang sebelum elektronika mana pun bermula. Nyatakanlah kedua saluran ruginya masing-masing dalam satu kalimat.
Mengapa sebuah foton memerlukan $\ge E_{\text{g}}$ sama sekali — apa yang melarang penyerapan dua foton bercelah separuh secara berturutan cepat dalam silikon biasa?

Bagian II — Pertemuannya sebagai mesin.

Tiap selnya adalah pertemuan p–n. Jelaskanlah dalam tiga kalimat bagaimana medan bawaan zona penipisannya mengubah pasangan yang tercipta menjadi arus luar — pembawa mana pergi ke arah mana, dan mengapa mereka tidak sekadar bergabung kembali.
Dengan $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ , hitunglah $V_{\text{bi}}$ pada $300\,\mathrm{K}$ .
Sel yang bekerja menyerahkan kira-kira $0.6\,\mathrm{V}$ . Enam puluh seri: berapa tegangan kerja panelnya?
Dari peringkat $400\,\mathrm{W}$ -nya, simpulkanlah arus kerjanya.
Perkirakanlah fluks foton (yakni foton tiap detiknya) yang diserap panelnya secara berguna, dengan mengambil $\sim2\,\mathrm{eV}$ tiap foton terserapnya, lalu bandingkanlah dengan fluks elektron yang diisyaratkan arus Anda: berapa bagian foton terserapnya yang menghasilkan satu elektron terkumpul?
Kehematan terpasangnya: $400\,\mathrm{W}$ dari $2000\,\mathrm{W}$ yang datang. Serasikanlah 20 % itu dengan “separuh hilang sebelum elektronika” Bagian I: ke mana perginya ketiga puluh angka sisanya?
Mengapa selnya menyerahkan $0.6\,\mathrm{V}$ dan bukan $1.12\,\mathrm{V}$ penuh celahnya? (Sebutkanlah biang keladinya dalam hukum diodanya.)

Bagian III — Atap yang sebenarnya.

Tengah hari musim dingin tanpa awan pada lintang $50^\circ$ menyerahkan cahaya pada ketinggian $30^\circ$ . Hitunglah faktor geometrinya terhadap datangnya cahaya secara tegak lurus pada panel yang mendatar.
Lembar data panelnya mencantumkan $-0.4\,\%/\text{K}$ keluarannya: panel atap yang hitam mencapai $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pada musim panas. Berapa banyak peringkatnya yang selamat?
Jelaskanlah rugi suhunya dengan Latihan 24.12(d).
Sebuah cerobong menaungi satu sel dari keenam puluhnya. Mengapa hal itu dapat mencekik seluruh untai serinya — dan apa yang dilakukan sifat dioda selnya sendiri terhadap sel yang malang tertaungi itu?
Pabrikannya memasang sebuah dioda pintas melintasi tiap subuntainya: jelaskanlah tugasnya dalam satu kalimat.
Dirata-ratakan atas hari dan cuacanya, atapnya menghasilkan $15\,\%$ daya terpasangnya. Perkirakanlah energi tahunan dari panel $400\,\mathrm{W}$ itu dalam kilowatt-jam.

Bagian IV — Putusannya.

Pada $0.25\,\mathrm{euro}$ tiap kWh, berapa yang dihasilkan panelnya tiap tahun? Dengan ongkos terpasang $300\,\mathrm{euro}$ , berapa waktu balik modalnya?
Panelnya memakan kira-kira $500\,\mathrm{kWh}$ untuk dibuat (silikonnya dimurnikan lewat peleburan): berapa lama sampai ia membayar kembali energinya sendiri?
Tetangga Anda bertanya mengapa panelnya tak dapat “sekadar dibuat hitam” untuk menangkap seperlima di bawah celahnya. Jawablah dengan teori pita dalam dua kalimat.
Ia lalu bertanya mengapa tidak menumpuk panel kedua yang bercelah lebih kecil di bawahnya: jawablah dengan Latihan 24.12(c) — lalu sebutkanlah ganjalan praktisnya.
Tiga puluh tahun kemudian, panelnya telah pudar menjadi 85 % peringkatnya. Penjahat mikroskopis mana dari bab ini (ingatlah apa yang membatasi $\tau$ , dan apa yang ditakuti pertemuannya) yang masuk akal menuakan sebuah sel?
Serahkanlah ringkasan sang penengah dalam empat baris: fisika celahnya menetapkan panennya, pertemuannya mengubahnya, kabel seri dan suhunya memajakinya, dan buku besarnya — energi dan euro — ditutup dengan menguntungkan panelnya.

Solusi

Solusi Soal 24.1.

1. $\lambda_{\text{puncak}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ : yakni kira-kira $2.5\,\mathrm{eV}$ . 2. $hc/E_{\text{g}} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . 3. Ia berlayar menembus selnya (tanpa keadaan akhir untuk diserapi) lalu berakhir sebagai kalor dalam alas belakangnya — yang menghangatkan atapnya, bukan kabelnya. 4. $1.12\,\mathrm{eV}$ selamat sebagai pasangannya; kelebihan $1.4\,\mathrm{eV}$ -nya mengalir menjadi fonon dalam hitungan pikodetik — lebih cepat daripada yang dapat dicegat rangkaian mana pun. 5. Ketembusan di bawah celahnya ( $\sim20\,\%$ dayanya) dan penermalan di atas celahnya ( $\sim30\,\%$ ): spektrumnya dipajaki separuh sebelum pertemuannya melihat satu elektron pun. 6. Penyerapan adalah lompatan kuantum satu foton yang memerlukan keadaan akhir yang nyata; pada separuh celahnya tak ada tempat untuk berhenti, dan peristiwa dua fotonnya dapat diabaikan pada kerapatan foton cahaya matahari. 7. Pasangan yang tercipta di dalam atau di dekat zona penipisannya merasakan medan bawaannya: elektronnya tersapu ke sisi n, lubangnya ke sisi p, dan medannya memisahkan mereka lebih cepat daripada mereka dapat saling menemukan untuk bergabung kembali — muatannya menumpuk sampai rangkaian luar melegakannya sebagai arus. 8. $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . 9. $60\times0.6\,\mathrm{V} = 36\,\mathrm{V}$ . 10. $I = 400/36 \approx 11\,\mathrm{A}$ . 11. Untuk seluruh panelnya, cahaya di atas celahnya sebesar $\sim1400\,\mathrm{W}$ pada $\sim2\,\mathrm{eV}$ masing-masing: yakni $4\times10^{21}$ foton tiap detiknya — tetapi keenam puluh selnya terpasang seri, sehingga arus $11\,\mathrm{A}$ -nya (yakni fluks elektron $I/e \approx 7\times10^{19}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) melewati tiap selnya, yang bagian fotonnya sendiri adalah $4\times10^{21}/60 \approx 7\times10^{19}$ tiap detiknya: nyaris tiap foton terserapnya menghasilkan satu elektron terkumpul. Kehematan kuantumnya sangat baik; ruginya bersifat energetik, bukan berupa cacah. 12. Setelah 50 % spektrumnya, selnya membayar kekurangan tegangannya ( $0.6/1.12 \approx 54\,\%$ ) beserta beberapa angka pantulan dan penggabungan kembalinya: $0.5\times0.54 \approx 27\,\%$ , yang terpangkas menjadi 20 % terpasangnya. 13. Bocorannya $I_0$ : tegangan rangkaian terbukanya $(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ berhenti ketika arus fotonya dan bocoran diodanya setimbang — yakni kira-kira $0.6\,\mathrm{V}$ , jauh di bawah celahnya. 14. $\sin30^\circ = 0.5$ : yakni separuh peringkat tengah harinya dari geometrinya saja — sebelum awannya. 15. $\Delta T = 40\,\mathrm{K}$ : $-16\,\%$ , sehingga menyisakan $\approx335\,\mathrm{W}$ — hari yang paling cerah bukanlah hari yang terbaik tiap wattnya. 16. Kalor menggelembungkan $I_0$ secara eksponensial, dan tegangan rangkaian terbukanya — yakni teguran sebuah logaritma — turun sepersekian persen tiap kelvinnya; celahnya yang sedikit menyusut menuntaskan pekerjaannya. 17. Kabel serinya memaksa satu arus bersama: sel yang tertaungi, yang tak menghasilkan apa pun, digiring ke panjaran mundur oleh kelima puluh sembilan rekannya lalu melesapkan daya mereka sebagai bintik panas — untainya tercekik sampai ke sel terlemahnya. 18. Dioda pintasnya memberi arusnya lintasan maju mengelilingi subuntai yang tertaungi, dengan mengorbankan tegangannya dan bukan keluaran seluruh panelnya. 19. $400\,\mathrm{W}\times0.15\times8760\,\mathrm{h} \approx 530\,\mathrm{kWh}$ tiap tahunnya. 20. $\approx130\,\mathrm{euro}$ tiap tahunnya: balik modalnya kira-kira $300/130 \approx 2.5$ tahun, lalu dua dasawarsa keuntungan. 21. $500/530 \approx$ satu tahun: panelnya membayar kembali energi pembuatannya kira-kira secepat harganya. 22. Kehitaman bukanlah pilihan melainkan sebuah struktur pita: penyerapan memerlukan keadaan kosong satu energi foton di atas keadaan yang penuh, dan di bawah celahnya silikon sama sekali tak punya yang dapat ditawarkan — cat tak dapat menambahkan keadaan. 23. Tumpuklah sel bercelah lebar di atasnya untuk mengambil birunya pada tegangan tinggi lalu meneruskan merahnya ke bawah: tandemnya mengalahkan langit-langit pertemuan tunggalnya. Ganjalannya: susunan serinya harus menyamakan arus (dan harga) antarlapisnya. 24. Apa pun yang memendekkan $\tau$ dan meracuni pertemuannya: cacat yang tercipta oleh ultraungu dan pengotor yang berdifusi masuk menghamburkan dan memerangkap pembawanya, kelembapan mengaratkan sentuhannya, dan bintik panas menuakan diodanya — yakni entropi lambat sebuah kristal yang diminta duduk di bawah matahari selama tiga puluh tahun. 25. Celahnya memanen separuh mataharinya; pertemuannya mengubah pasangannya menjadi $36\,\mathrm{V}$ arus yang teratur; untai serinya, naungan dan panas musim panasnya mengambil bagiannya; dan pada $\sim530\,\mathrm{kWh}$ tiap tahunnya berbanding balik modal energi satu tahun dan uang tiga tahun, sang penengah memutuskan: pasanglah pada atapnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium