Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

8Formalisme Mekanika Kuantum

Ambillah tiga penapis polarisasi. Dua di antaranya, yang disilangkan pada $90^\circ$ , menghalangi cahaya sepenuhnya; sisipkanlah yang ketiga di antaranya pada $45^\circ$ dan cahaya justru menembus — menambah penghalang malah membuka jalan. Tak ada gambaran penapis sebagai ayakan yang selamat dari percobaan ini; yang selamat adalah aljabar linear: polarisasi sebuah foton adalah sebuah vektor, tiap penapis mengukurnya sepanjang sebuah sumbu lalu memproyeksikannya, dan peluangnya adalah kuadrat komponennya. Bab ini memasang aljabar itu sebagai landasan mekanika kuantum yang sesungguhnya. Fungsi gelombang pada bab sebelumnya hanyalah satu busana nyata dari tubuh yang lebih abstrak: keadaan adalah vektor dalam ruang Hilbert, besaran teramati adalah operator Hermitian, nilai terukur adalah nilai eigen, peluang adalah kuadrat hasil kali skalar, dan perkembangannya dibangkitkan oleh Hamiltonian. Lima postulat, yang semuanya sudah bekerja dalam segala yang telah kita hitung — dan, sekali dinyatakan dengan rapi, cukup ampuh untuk menangani sistem yang tak dapat diperikan gelombang mana pun pada sebuah garis: polarisasi foton, spin elektron, dan neutrino yang jati dirinya berayun melintasi Bumi.

8.1 Keadaan adalah vektor

Definisi 8.1 (Ruang keadaan, ket dan kurung)

Keadaan sebuah sistem kuantum membentuk ruang vektor kompleks dengan sebuah hasil kali dalam — yakni ruang Hilbert $\mathcal H$ (matematikanya dikembangkan dalam jilid matematika Tahun 3). Sebuah keadaan adalah sebuah vektor, yang ditulis sebagai ket $\ket\psi$ , yang ternormalkan: $\braket\psi\psi = 1$ . Hasil kali dalam dua keadaan adalah bilangan kompleks $\braket\varphi\psi$ , yang konjugat-linear pada lubang pertamanya, dengan $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$ . Dalam basis ortonormal $\{\ket{e_i}\}$ ,

\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

Fungsi gelombang pada bab sebelumnya adalah keluarga komponen $\ket\psi$ sepanjang kedudukan: $\psi(x) = \braket{x}{\psi}$ ; tak ada yang hilang, dan sistem dengan ruang keadaan berhingga — yang tak terbayangkan sebagai gelombang — menjadi dapat diperikan.

Contoh 8.2 (Polarisasi foton: dunia berdimensi dua)

Sebuah foton yang meluncur menuruni sumbu $z$ membawa keadaan polarisasi dalam ruang Hilbert berdimensi dua, dengan basis $\ket H$ (mendatar) dan $\ket V$ (tegak). Cahaya yang terpolarisasi pada sudut $\theta$ adalah superposisi

\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

dan polarisasi lingkaran adalah gabungan kompleks $(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2$ : koefisiennya yang kompleks bukanlah hiasan melainkan fisika. Setiap sistem kuantum dua aras — spin, molekul amonia, sebuah kubit adiwarsa — adalah ruang vektor yang sama ini dalam pakaian yang berbeda.

Keadaan polarisasi sebagai sebuah vektor: kuadrat komponennya pada basis sebuah penganalisis adalah peluang hasilnya — geometri yang menjelma peluang.

8.2 Besaran teramati adalah operator

Definisi 8.3 (Besaran teramati)

Yang disebut besaran teramati adalah operator linear $\hat A$ pada $\mathcal H$ yang bersifat Hermitian: $\braket{\varphi}{\hat A\psi} = \braket{\hat A\varphi}{\psi}$ untuk semua keadaan (dalam bahasa matriks, $A = A^{*\top}$ ). Vektor eigen dan nilai eigennya, $\hat A\ket{a} = a\ket{a}$ , membawa fisikanya: $a$ -nya adalah nilai terukur yang mungkin. Kasus yang sudah dikenal: kedudukan ( $\hat x$ : perkalian dengan $x$ ), momentum ( $\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x$ ), energi ( $\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)$ ) — dan, dalam dua dimensi, sembarang matriks Hermitian $2\times2$ .

Teorema 8.4 (Mengapa Hermitian)

Operator Hermitian mempunyai nilai eigen yang real, dan vektor eigen dengan nilai eigen yang berbeda saling ortogonal; pada ruang dalam buku ini vektor eigennya membentuk basis ortonormal $\mathcal H$ (yakni teorema spektral, yang dibuktikan dalam dimensi berhingga pada jilid matematika Tahun 2; untuk operator tak terbatas $\hat x$ , $\hat p$ , $\hat H$ pernyataan lengkapnya termasuk teori spektral Tahun 3 dan diterima tanpa bukti). Nilai terukur haruslah real dan hasil yang dapat dibedakan haruslah ortogonal: kehermitianan justru merupakan syarat agar sebuah operator dapat mewakili sebuah pengukuran.

Bukti sebagian. $a\braket aa = \braket{a}{\hat Aa} = \braket{\hat Aa}{a} = a^*\braket aa$ : jadi $a$ real. Untuk $\hat A\ket a = a\ket a$ , $\hat A\ket b = b\ket b$ : $a\braket ba = \braket{b}{\hat Aa} = \braket{\hat Ab}{a} = b\braket ba$ , sehingga $(a - b)\braket ba = 0$ . ∎

Contoh 8.5 (Sebuah besaran teramati dua aras)

Pada ruang polarisasinya, dalam basis $(\ket H, \ket V)$ , tinjaulah

\hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} :

Ia Hermitian; nilai eigennya $\pm1$ ; vektor eigennya $(\ket H \pm \ket V)/\sqrt2$ — yakni polarisasi pada $\pm45^\circ$ . Mengukur $\hat A$ berarti bertanya “diagonal atau antidiagonal?”, dan basis eigennya adalah jawaban kedua pertanyaan itu. Setiap polarisator $45^\circ$ dalam percobaan pembuka adalah matriks ini dalam wujud kaca.

8.3 Postulatnya

Teorema 8.6 (Aturan mekanika kuantum)

(P1) Keadaan sebuah sistem adalah ket ternormalkan $\ket\psi$ dalam ruang Hilbertnya. (P2) Setiap besaran terukur adalah operator Hermitian $\hat A$ . (P3) Satu-satunya hasil yang mungkin dari mengukur $\hat A$ adalah nilai eigennya. (P4) Pada keadaan $\ket\psi$ , hasil $a$ muncul dengan peluang $\mathcal P(a) = |\braket a\psi|^2$ (kaidah Born; untuk nilai eigen yang berdegenerasi, jumlahkanlah kuadrat komponennya pada ruang eigennya). Rata-rata banyak percobaan adalah $\langle\hat A\rangle = \bra\psi\hat A\ket\psi$ . (P5) Segera setelah pengukuran yang memberikan $a$ , keadaannya adalah proyeksi (ternormalkan) $\ket\psi$ pada ruang eigen $a$ — yakni keruntuhan: pengukuran adalah interaksi yang meninggalkan sistemnya dalam keadaan yang cocok dengan jawabannya sendiri. (P6) Di antara pengukuran, keadaannya berkembang secara uniter menurut persamaan Schrödinger $\iu\hbar\,\dfrac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)} = \hat H\ket{\psi(t)}$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 8.7 (Tiga polarisator, dihitung)

Cahaya tegak bertemu penganalisis yang disilangkan $90^\circ$ : $|\braket HV|^2 = 0$ — padam. Sisipkanlah polarisator $45^\circ$ : keadaan $\ket V$ melewatinya dengan peluang $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$ lalu runtuh menjadi $\ket{45^\circ}$ (P5); keadaan itu kemudian melewati penganalisis mendatarnya dengan peluang $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$ . Transmisi netonya $\tfrac14$ alih-alih nol: penapis di tengah tidak “membuka lubang” — ia melakukan sebuah pengukuran, dan keruntuhannya menyiapkan ulang fotonnya. Tak ada ayakan klasik yang berbuat demikian; sebuah proyeksi tak berbuat lain.

Percobaan tiga polarisator sebagai tiga pengukuran berturutan: proyeksikan, runtuhkan, proyeksikan lagi. Penapis tambahan justru menaikkan cahaya yang diteruskan — mustahil bagi ayakan, otomatis bagi proyeksi. — Percobaan tiga polarisator sebagai tiga pengukuran berturutan: proyeksikan, runtuhkan, proyeksikan lagi. Penapis tambahan justru *menaikkan* cahaya yang diteruskan — mustahil bagi ayakan, otomatis bagi proyeksi.

Catatan 8.8 (Apa yang tidak diizinkan keruntuhannya)

Keruntuhannya seketika dalam formalismenya, dan korelasi kuantum antara partikel yang berjauhan itu nyata dan terukur — tetapi tak ada pesan yang menumpanginya: hasil pada satu detektor, dibaca sendirian, tak terbedakan dari lemparan koin apa pun yang dilakukan di kejauhan. Keacakan kuantum juga tak dapat direduksi: kaidah Born memberikan peluang bahkan ketika keadaannya diketahui selengkapnya — tak ada lagi yang dapat diketahui. Kedua pernyataan itu adalah teorema formalismenya, yang teruji sampai ketelitian tinggi; kegelisahan terhadap keduanya wajar dan telah menggerakkan percobaan selama seabad, yang semuanya dimenangkan mekanika kuantum.

8.4 Komutator dan ketaktentuan

Definisi 8.9 (Komutator; besaran teramati yang serasi)

Yang disebut komutator dua operator adalah $[\hat A, \hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A$ . Contoh pendirinya, dari $\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x$ :

[\hat x, \hat p] = \iu\hbar .

Dua besaran teramati bersifat serasi apabila $[\hat A, \hat B] = 0$ : keduanya lalu mempunyai basis eigen bersama dan dapat diketahui serentak; mengukur yang satu tidak mengganggu keadaan yang tajam pada yang lain. Sekumpulan besaran teramati yang berkomutasi dan basis eigen bersamanya tunggal (sebuah CSCO) adalah makna “melabeli sebuah keadaan selengkapnya” — label $(n_1, n_2, n_3)$ kotaknya persis itulah.

Teorema 8.10 (Hubungan ketaktentuan, secara umum)

Dalam keadaan apa pun, simpangan baku dua besaran teramati memenuhi

\Delta A\;\Delta B \ \ge\ \tfrac12\,\big|\langle[\hat A, \hat B]\rangle\big| .

Untuk $\hat x$ dan $\hat p$ : $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ — yakni hubungan Heisenberg, yang kini menjadi teorema aljabar linear alih-alih patokan kasar. Ketakserasiannya bersifat kuantitatif: besar komutatornya menetapkan lantai ketajaman bersamanya.

Bukti sebagian. Misalkan $\hat\alpha = \hat A - \langle A\rangle$ , $\hat\beta = \hat B - \langle B\rangle$ . Ketaksamaan Cauchy–Schwarz jilid matematika Tahun 3 memberikan $\Delta A^2\Delta B^2 = \|\hat\alpha\psi\|^2\|\hat\beta\psi\|^2 \ge |\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}|^2$ ; bagian khayal hasil kali itu adalah $\tfrac1{2\iu}\langle[\hat A, \hat B]\rangle$ , dan $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ . ∎

Catatan 8.11 (Bayangan klasiknya)

Bagilah dengan $\iu\hbar$ lalu biarkan $\hbar \to 0$ : komutatornya menjadi kurung Poisson pada Bab 2, dengan $\{x, p\} = 1$ menggemakan $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ , dan kurung momentum sudut yang dihitung di sana akan kembali sebagai komutator, tanpa perubahan, dalam Bab 10. Kaidah Dirac — kurung klasik dikalikan $\iu\hbar$ — adalah cara kerangka mekanika selamat dari revolusinya.

8.5 Perkembangan dan kekekalan

Proposisi 8.12 (Perkembangan rata-rata; besaran kekal)

Untuk besaran teramati tanpa kebergantungan waktu eksplisit,

\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\,\big\langle[\hat H, \hat A]\big\rangle .

Besaran teramati yang berkomutasi dengan Hamiltoniannya bersifat kekal — peluangnya, bukan sekadar rata-ratanya, membeku; simetri sekali lagi menyerahkan hukum kekekalan, kini dalam bentuk komutasi. Keadaan stasioner adalah vektor eigen $\hat H$ , yang berkembang hanya lewat fase $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ ; superposisi dua aras berlayang pada frekuensi Bohr $(E_2 - E_1)/h$ , sebagaimana sudah ditunjukkan sumur jilid Tahun 2.

Bukti. Turunkanlah $\bra\psi\hat A\ket\psi$ lalu masukkanlah P6 beserta konjugatnya:

\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat H\hat A\ket\psi - \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat A\hat H\ket\psi = \frac{\iu}{\hbar}\,\langle[\hat H, \hat A]\rangle . \qedhere

∎

Metode 8.13 (Mekanika kuantum matriks)

Untuk sembarang soal beraras berhingga: (1) pilihlah basis yang sesuai dengan pertanyaannya (sumbu penganalisisnya, keadaan eigen energinya); (2) tuliskanlah keadaannya sebagai vektor kolom dan besaran teramatinya sebagai matriks Hermitian; (3) diagonalkanlah apa yang diukur — nilai eigennya adalah hasilnya, dan kuadrat komponennya adalah peluangnya; (4) kembangkanlah keadaan eigen energinya lewat fase $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ lalu nyatakanlah kembali dalam basis pengukurannya; (5) setelah sebuah pengukuran, mulailah lagi dari keadaan yang terproyeksikan. Seluruh Soal 8.1 adalah resep ini yang dijalankan pada semesta dua aras.

Tiga polarisator di atas meja kerja: masing-masingnya sebuah pengukuran, yang memproyeksikan keadaan cahayanya pada sebuah sumbu. Silangkanlah dua dan tak ada yang lewat; selipkanlah yang ketiga di antaranya secara miring dan cahayanya kembali — postulat bab ini, yang diperagakan di atas meja.

8.6 Latihan

Latihan 8.1 ★

Dalam basis ortonormal $(\ket1, \ket2)$ , misalkan $\ket\psi = (2\ket1 + \iu\ket2)/\sqrt5$ dan $\ket\varphi = (\ket1 - \ket2)/\sqrt2$ . (a) Periksalah penormalannya. (b) Hitunglah $\braket\varphi\psi$ dan $\braket\psi\varphi$ . (c) Berapa peluang menemukan $\ket\psi$ dalam keadaan $\ket\varphi$ ? (d) Susunlah keadaan yang ortogonal terhadap $\ket\psi$ (sampai pada fasenya).

Solusi

Solusi Latihan 8.1.

(a) $(4 + 1)/5 = 1$ dan $(1 + 1)/2 = 1$ . (b) $\braket\varphi\psi = (2 - \iu)/\sqrt{10}$ ; $\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}$ : keduanya konjugat. (c) $|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2$ . (d) Selesaikanlah $\braket\psi\chi = 0$ : $\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5$ .

Latihan 8.2 ★

Matriks manakah di antara berikut ini yang Hermitian, dan berapa nilai eigen serta vektor eigen ternormalkan dari yang memang Hermitian?

\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix} .

Solusi

Solusi Latihan 8.2.

Pertama: Hermitian; $\pm1$ dengan $(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2$ . Kedua: Hermitian; $\pm1$ dengan $(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2$ . Ketiga: tidak Hermitian (transpos-konjugatnya berbeda). Keempat: Hermitian; $\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$ memberikan $1$ dan $4$ , dengan vektor eigen $\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3$ dan $\big(\ket1 + (1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3$ .

Latihan 8.3 ★

Cahaya yang terpolarisasi pada sudut $\alpha$ bertemu penganalisis pada sudut $\beta$ . (a) Tuliskanlah kedua keadaannya dalam basis $(\ket H, \ket V)$ lalu hitunglah peluang transmisinya. (b) Perolehlah kembali hukum Malus. (c) Untuk aliran berisi $N$ foton, berapa ragam cacah yang diteruskan? (d) Cahaya lingkaran $(\ket H + \iu\ket V)/\sqrt2$ pada penganalisis linear bersudut sembarang: berapa transmisinya? Jelaskanlah ketakbergantungan jawabannya pada sudutnya.

Solusi

Solusi Latihan 8.3.

(a) $\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha = \cos(\beta - \alpha)$ : peluangnya $\cos^2(\beta - \alpha)$ . (b) Keterangannya $\propto$ cacah fotonnya: itulah Malus. (c) Tiap foton adalah percobaan yang saling bebas: ragamnya $N\mathcal P(1 - \mathcal P)$ — deraunya sendirilah yang mengesahkan adanya foton. (d) $|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2 = 1/2$ untuk setiap $\beta$ : cahaya lingkaran tidak memilih satu pun sumbu melintang.

Latihan 8.4 ★

(a) Buktikanlah $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ dengan mengenakannya pada sebuah fungsi coba. (b) Hitunglah $[\hat x^2, \hat p]$ dan $[\hat x, \hat p^2]$ . (c) Tunjukkanlah $[\hat A, \hat B\hat C] = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A, \hat C]$ . (d) Simpulkanlah $[\hat x, \hat p^n] = \iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ lalu tafsirkanlah: operasi klasik manakah yang ditiru $[\hat x, \cdot\,]$ ?

Solusi

Solusi Latihan 8.4.

(a) $(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') = \iu\hbar f$ . (b) $[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x$ ; $[\hat x, \hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p$ . (c) Tambahkan lalu kurangkan $\hat B\hat A \hat C$ . (d) Induksi dengan (c): $\iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ — $[\hat x, \cdot]$ berlaku sebagai $\iu\hbar\,\partial/\partial p$ , yakni bayangan kuantum kurung Poisson dengan $x$ .

Latihan 8.5 ★★

Pengukuran berturutan. Sebuah foton bermula sebagai $\ket V$ . (a) Ia bertemu polarisator pada $45^\circ$ lalu $0^\circ$ (mendatar): hitunglah peluang selamat melewati keduanya, dengan keruntuhan antaranya dibuat gamblang. (b) Gantilah polarisator tengahnya dengan polarisator pada $30^\circ$ , $60^\circ$ : berapa transmisinya? (c) Untuk $N - 1$ polarisator antara yang melangkah $90^\circ/N$ : tunjukkanlah bahwa peluang selamatnya adalah $\cos^{2N}(\pi/2N)$ lalu hitunglah untuk $N = 2, 5, 20$ . (d) Limit $N \to \infty$ memutar polarisasinya tanpa rugi: berilah ulasan (rotasi “Zeno kuantum” ini dipakai pada kubit sungguhan).

Solusi

Solusi Latihan 8.5.

(a) $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$ , runtuh, lalu $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$ : totalnya $\tfrac14$ . (b) Dengan mengambil urutan $60^\circ$ , $30^\circ$ (tiga langkah $30^\circ$ ): $(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42$ . (c) Tiap langkah $\pi/2N$ lolos dengan $\cos^2(\pi/2N)$ : kebertahanannya $[\cos^2(\pi/2N)]^N = 0.25$ , $0.60$ , $0.88$ untuk $N = 2, 5, 20$ . (d) Ketika $N \to \infty$ kebertahanannya menuju $1$ : banyak pengukuran lembut mengemudikan keadaannya melewati $90^\circ$ tanpa rugi — pengukuran yang dipakai sebagai roda kemudi.

Latihan 8.6 ★★

Pada ruang dua arasnya, $\hat A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}$ , $\hat B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ . (a) Hitunglah $[\hat A, \hat B]$ : apakah keduanya serasi? (b) Keadaannya $\ket1$ : berikanlah statistik hasil pengukuran $\hat B$ , lalu statistik pengukuran $\hat A$ setelah pengukuran $\hat B$ memberikan $+1$ . (c) Ukurlah $\hat A$ lebih dahulu (hasilnya $+1$ ), lalu $\hat B$ , lalu $\hat A$ lagi: dengan peluang berapa $\hat A$ yang terakhir bertentangan dengan yang pertama? (d) Apa yang akan disiratkan komutator nol bagi (c)?

Solusi

Solusi Latihan 8.6.

(a) $[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix} \neq 0$ : tidak serasi. (b) $\hat B$ pada $\ket1$ : $+1$ dengan kepastian, tanpa perlu keruntuhan; $\hat A$ lalu memberikan $\pm1$ dengan peluang $\tfrac12$ masing-masing. (c) Setelah $\hat A \to +1$ keadaannya $(\ket1 + \ket2)/\sqrt2$ ; $\hat B$ meruntuhkannya menjadi $\ket1$ atau $\ket2$ (masing-masing $\tfrac12$ ); bagaimanapun juga $\hat A$ yang terakhir memberikan $\pm1$ dengan peluang $\tfrac12$ : bertentangan dengan peluang $\tfrac12$ . (d) Besaran teramati yang berkomutasi berbagi keadaan eigen: pengukuran tengahnya tidak akan mengganggu, dan pengulangannya akan sesuai dengan kepastian.

Latihan 8.7 ★★

(a) Untuk keadaan Gauss pada Latihan 7.1 yang dibatasi pada satu dimensi, hitunglah $\Delta x$ dan $\Delta p$ (pakailah pasangan Fourier atau integralkanlah) lalu periksalah kesamaan dalam hubungan Heisenbergnya. (b) Keadaan mana yang menjenuhkan teorema ketaktentuan umumnya (nyatakanlah syaratnya dari kasus kesamaan Cauchy–Schwarz)? (c) Sebuah elektron yang terkurung pada $\Delta x = 0.1\,\mathrm{nm}$ : berapa skala energi kinetik minimumnya? (d) Hal yang sama untuk sebutir kelereng ( $10\,\mathrm{g}$ ) yang terlokalkan sampai satu mikron: simpulkanlah.

Solusi

Solusi Latihan 8.7.

(a) $\Delta x = \sigma$ dan $\Delta p = \hbar/2\sigma$ (transformasi Fourier fungsi Gauss selebar $\sigma$ mempunyai lebar $1/2\sigma$ dalam $k$ ): hasil kalinya tepat $\hbar/2$ . (b) Kesamaan dalam Cauchy–Schwarz: $\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi$ dengan nisbah khayal murni — untuk $x, p$ persamaan diferensial ini hanya mempunyai penyelesaian Gauss. (c) $\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E \sim \Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV}$ — atom adalah mesin elektronvolt karena ia kotak seukuran angstrom. (d) $\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : tak berarti apa pun, selamanya.

Latihan 8.8 ★★

(a) Dari Proposisi 8.12, perolehlah kembali pasangan Ehrenfest untuk $\hat x$ dan $\hat p$ dengan $\hat H = \hat p^2/2m + V$ . (b) Tunjukkanlah bahwa paritas $\hat\Pi$ ( $\hat\Pi\psi(x) = \psi(-x)$ ) bersifat Hermitian, kuadratnya identitas, dan nilai eigennya $\pm1$ . (c) Tunjukkanlah $[\hat H, \hat\Pi] = 0$ untuk potensial setangkup lalu simpulkanlah bahwa aras yang tak berdegenerasi mempunyai paritas tertentu. (d) Fakta teramati apa tentang aras sumur ganda setangkup yang dijelaskan hal ini (ingatlah dublet amonia jilid Tahun 2)?

Solusi

Solusi Latihan 8.8.

(a) $[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m$ dan $[\hat H, \hat p] = \iu\hbar V'(\hat x)$ memberikan $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ , $\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle$ . (b) Penggantian variabel dalam hasil kali dalamnya menunjukkan kehermitianannya; $\hat\Pi^2 = \mathbb 1$ memaksa nilai eigennya $\pm1$ . (c) $V(-x) = V(x)$ membuat $\hat H$ buta terhadap paritas; keadaan eigen yang tak berdegenerasi karena itu harus menjadi keadaan eigen $\hat\Pi$ juga: genap atau ganjil. (d) Dublet nyaris berdegenerasi sumur ganda setangkupnya: satu keadaan genap, satu ganjil — yakni pasangan inversi amonia, yang terbelah oleh penerowongan, dan memancar pada $24\,\mathrm{GHz}$ .

Latihan 8.9 ★★

Sebuah CSCO yang bekerja. Dalam kotak persegi berdimensi dua, aras $E \propto 5$ direntang oleh $\ket{1,2}$ dan $\ket{2,1}$ . (a) Tunjukkanlah bahwa energi saja tidak melabeli keadaannya. (b) Misalkan $\hat S$ menukar $x \leftrightarrow y$ : tunjukkanlah bahwa $\hat S$ Hermitian, berkomutasi dengan $\hat H$ , lalu carilah keadaan eigennya di dalam aras itu. (c) Periksalah bahwa pasangan $(\hat H, \hat S)$ melabeli tiap keadaan aras ini secara tunggal. (d) Berikanlah pelajaran umumnya: degenerasi berarti himpunan pelabelnya belum lengkap, dan simetrinya memasok label yang hilang.

Solusi

Solusi Latihan 8.9.

(a) Kedua keadaannya berbagi $E$ : mengumumkan energinya menyisakan dua kemungkinan. (b) $\hat S$ menukar labelnya: ia Hermitian, kuadratnya identitas, dan berkomutasi dengan $\hat H$ yang setangkup; di dalam arasnya keadaan eigennya adalah $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2$ dengan nilai eigen $\pm1$ . (c) $(E, +)$ dan $(E, -)$ : label yang tunggal. (d) Degenerasi adalah alamat yang belum lengkap; simetri yang menyebabkannya juga menyediakan angka yang hilang.

Latihan 8.10 ★★★

Ketaktentuan energi–waktu, secara jujur. Untuk sembarang besaran teramati $\hat A$ , definisikanlah waktu perkembangannya $\tau_A = \Delta A\,/\,|\dd\langle\hat A\rangle/\dd t|$ — yakni waktu yang diperlukan rata-ratanya untuk bergerak sejauh satu simpangan baku. (a) Dari Teorema 8.10 dan Proposisi 8.12, buktikanlah $\Delta E\;\tau_A \ge \hbar/2$ . (b) Mengapa ini bukan ketaktentuan antara dua besaran teramati (apakah waktu itu, dalam formalismenya)? (c) Terapkanlah pada keadaan atom tereksitasi berumur $10\,\mathrm{ns}$ : berapa lebar garisnya? (d) Terapkanlah pada arloji Anda: seberapa tajam energi sebuah sistem dapat ditetapkan jika sesuatu di dalamnya berubah kasat mata tiap sekon?

Solusi

Solusi Latihan 8.10.

(a) $\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|$ ; lalu bagilah. (b) Waktu adalah parameter teorinya, bukan sebuah operator: hubungan itu membatasi seberapa cepat apa pun yang terukur dapat berkembang, pada rentang energi tertentu. (c) $\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ : lebar garis alaminya beberapa megahertz. (d) Perubahan kasat mata tiap sekon hanya menuntut $\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J}$ — bagi energi makroskopis, sama sekali bukan kekangan: arloji boleh berdetak.

Latihan 8.11 ★★★

Pembuktian teorema ketaktentuan. Dengan $\hat\alpha, \hat\beta$ seperti dalam teksnya: (a) berilah alasan bagi $\Delta A^2 = \|\hat\alpha\ket\psi\|^2$ dengan memakai kehermitianannya; (b) kenakanlah Cauchy–Schwarz lalu belahlah $\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}$ menjadi bagian Hermitian dan anti-Hermitian, lalu kenalilah keduanya dengan rata-rata antikomutator dan komutatornya; (c) simpulkanlah, lalu nyatakanlah kapan kesamaannya berlaku; (d) tunjukkanlah bahwa untuk $[\hat A, \hat B] = \iu\hbar$ tak ada keadaan yang dapat menjadi vektor eigen salah satu besaran teramatinya sambil menjaga kedua simpangannya tetap berhingga — lalu damaikanlah dengan gelombang bidang.

Solusi

Solusi Latihan 8.11.

(a) $\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} = \Delta A^2$ menurut kehermitianan $\hat\alpha$ . (b) $\braket{\hat\alpha \psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha, \hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle$ : suku pertamanya real (bagian Hermitiannya), yang kedua khayal murni. (c) $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ memberikan teoremanya; kesamaannya menuntut vektor yang sebanding dan rata-rata antikomutator yang lenyap. (d) Keadaan eigen $\hat A$ mempunyai $\Delta A = 0$ , sehingga memaksa $0 \ge \hbar/2$ : mustahil bagi keadaan yang dapat dinormalkan. Gelombang bidang “mencapainya” hanya dengan menjadi idealisasi tak ternormalkan di luar ruang Hilbertnya.

Latihan 8.12 ★★★

Panci yang ditunggui. Sebuah sistem dua aras bermula dalam $\ket1$ dan Hamiltoniannya menggerakkan osilasi mirip Rabi: setelah waktu $t$ keadaannya adalah $\cos(\omega t)\ket1 + \sin(\omega t)\ket2$ (terimalah ini sebagaimana adanya). (a) Tanpa pengukuran, kapan pemindahan ke $\ket2$ selesai? (b) Ukurlah “keadaan yang mana?” pada waktu $T/N, 2T/N, \dots$ dengan $T = \pi/2\omega$ : tunjukkanlah bahwa peluang menemukan sistemnya masih dalam $\ket1$ pada tiap pemeriksaan adalah $[\cos^2(\pi/2N)]^N$ . (c) Hitunglah untuk $N = 1, 4, 20, 100$ lalu tunjukkanlah bahwa nilainya menuju $1$ : pengamatan yang sering membekukan perkembangannya (yakni efek Zeno kuantum, yang teramati dengan ion terperangkap pada 1990). (d) Jelaskanlah dalam satu kalimat postulat mana yang melakukan pembekuan itu.

Solusi

Solusi Latihan 8.12.

(a) Pada $\omega t = \pi/2$ , yakni $t = T$ . (b) Pada tiap pemeriksaan keadaannya sudah berputar sebesar $\pi/2N$ ; ia ditemukan dalam $\ket1$ dengan $\cos^2(\pi/2N)$ lalu runtuh kembali ke $\ket1$ ; pemeriksaannya saling bebas, sehingga hasilnya berupa hasil kali. (c) $0$ , $0.53$ , $0.88$ , $0.98$ : jika ditunggui cukup dekat, pancinya tak pernah mendidih. (d) Postulat proyeksinya (P5): tiap pengamatan mengembalikan perkembangannya ke garis mulanya.

Konferensi Solvay 1927 (foto oleh Benjamin Couprie, domain publik): orang-orang yang membangun postulat bab ini, dalam satu ruangan — dan pada pekan itu juga masih berdebat tentang apa arti pengukuran.

8.7 Soal: Neutrino berganti busana di tengah perjalanan

Soal 8.1

Soal akhir pekan — osilasi dua aras melintasi Bumi

Neutrino lahir dalam reaksi inti sebagai keadaan rasa — neutrino elektron $\ket{\nu_e}$ atau neutrino muon $\ket{\nu_\mu}$ — tetapi ia merambat sebagai keadaan eigen energi (massa) $\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}$ . Kedua basisnya tidak berimpit: keduanya terputar oleh sebuah sudut pencampuran $\theta$ ,

\ket{\nu_e} = \cos\theta\,\ket{\nu_1} + \sin\theta\,\ket{\nu_2} , \qquad \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\,\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\ket{\nu_2} .

Penemuan bahwa neutrino karena itu berayun antarrasa selama terbang — sehingga ia bermassa — meraih Hadiah Nobel 2015. Soal ini menurunkan efeknya tanpa apa pun di luar bab ini. Neutrino ultrarelativistik bermomentum $p$ dan bermassa $m_i$ mempunyai energi $E_i \approx pc + m_i^2c^4/2pc \approx E + m_i^2c^4/2E$ .

Bagian I — Menyiapkan formalismenya.

Periksalah bahwa $(\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2})$ yang ortonormal membuat $(\ket{\nu_e}, \ket{\nu_\mu})$ ortonormal pula.
Mengapa basis perambatannya haruslah basis eigen energi, apa pun basis kelahiran neutrinonya? (Postulat mana yang mengatur penerbangan bebasnya?)
Sebuah neutrino muon lahir pada $t = 0$ . Tuliskanlah $\ket{\psi(0)}$ dalam basis massanya.
Tuliskanlah $\ket{\psi(t)}$ , dengan tiap komponen massanya membawa fasenya $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ .
Tunjukkanlah bahwa fase global tidak berperan lalu faktorkanlah $\eu^{-\iu E_1t/\hbar}$ : hanya fase nisbi $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$ yang menggerakkan fisikanya.
Nyatakanlah $E_2 - E_1$ dalam $\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2$ dan $E$ , untuk neutrino ultrarelativistik.

Bagian II — Rumus osilasinya.

Hitunglah amplitudo $\braket{\nu_e}{\psi(t)}$ .
Tunjukkanlah bahwa peluang kemunculannya adalah

$\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_e}(t) = \sin^2(2\theta)\,\sin^2\Big(\frac{\Delta\phi}{2}\Big) .$

(Pakailah $2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$ .)
Periksalah kedua limit uji warasnya: $\theta = 0$ dan $m_1 = m_2$ . Karena itu, apa yang dibuktikan osilasi yang teramati?
Dengan $t \approx L/c$ , tunjukkanlah

$\mathcal P = \sin^2(2\theta)\, \sin^2\Big(\frac{\Delta m^2c^4}{4\hbar c}\,\frac{L}{E}\Big) ,$

lalu definisikanlah panjang osilasinya $L_{\text{osc}} = 4\pi\hbar cE/\Delta m^2c^4$ .
Tunjukkanlah bahwa peluang bertahannya $\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_\mu} = 1 - \mathcal P_{\nu_\mu\to\nu_e}$ : di manakah keuniterannya dipakai?
Mengapa osilasinya hanya mengukur $\Delta m^2$ , tak pernah massanya sendiri?

Bagian III — Membaca percobaannya. Neutrino muon atmosfer ( $E \approx 1\,\mathrm{GeV}$ ) turun bagai hujan pada sebuah detektor dari atas ( $L \approx 15\,\mathrm{km}$ ) dan dari bawah, menembus Bumi ( $L \approx 12\,800\,\mathrm{km}$ ). Super-Kamiokande (1998) mendapati fluks dari bawah berkurang separuh, dan fluks dari atas utuh.

Dengan memakai $\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , tunjukkanlah bentuk praktisnya $\dfrac{\Delta m^2c^4\,L}{4\hbar cE} = 1.27\, \dfrac{\Delta m^2c^4\,[\mathrm{eV}^{2}]\ L\,[\mathrm{km}]} {E\,[\mathrm{GeV}]}$ .
Jika osilasinya harus berkembang penuh pada $L = 12\,800\,\mathrm{km}$ tetapi dapat diabaikan pada $15\,\mathrm{km}$ untuk $E = 1\,\mathrm{GeV}$ , kurunglah $\Delta m^2c^4$ secara kasar.
Nilai terukurnya $\Delta m^2c^4 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ : hitunglah panjang osilasinya pada $1\,\mathrm{GeV}$ lalu periksalah terhadap kedua jarak lintasannya.
Penekanan dari bawahnya dekat dengan $1/2$ , bukan $0$ : tunjukkanlah bahwa merata-ratakan $\sin^2$ pada banyak panjang osilasi (dan pada energinya) memberikan $\tfrac12\sin^22\theta$ , lalu simpulkanlah bahwa pencampuran atmosfernya nyaris maksimum ( $\theta \approx 45^\circ$ ).
Berapa yang diberikan $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ bagi massa yang lebih berat saja jika yang lebih ringan dapat diabaikan — lalu bandingkanlah dengan massa elektron: seberapa anehkah ringannya neutrino?
Antineutrino reaktor mempunyai $E \approx 4\,\mathrm{MeV}$ . Dengan memakai rumus $1.27$ yang sama, tunjukkanlah bahwa jarak lintasan satu sampai dua kilometer tertala pada belahan $2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ (percobaan Daya Bay), sedangkan $L \approx 180\,\mathrm{km}$ (KamLAND) tertala pada belahan “surya” yang lebih kecil $7.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$ — periksalah keduanya secara numerik.

Bagian IV — Apa maknanya.

Matahari memancarkan $\nu_e$ ; selama berpuluh tahun detektor hanya mencacah sepertiga ramalannya. Jelaskanlah “masalah neutrino surya” dan penyelesaiannya, masing-masing dalam satu kalimat.
Mengapa osilasinya memaksa kesimpulan bahwa neutrino bermassa, bertentangan dengan pembukuan asli Model Baku?
Sebuah sistem kuantum yang mempertahankan keterpaduan fase sepanjang $12800$ kilometer: apa yang dikatakan hal ini tentang betapa lemahnya neutrino berinteraksi, dan mengapa detektornya harus raksasa?
Rasa adalah sebuah besaran teramati: mengapa operatornya gagal berkomutasi dengan Hamiltonian bebasnya, dan hukum kekekalan apa yang karena itu tidak tersedia bagi rasa (sedangkan energi dan momentum tetap kekal)?
Alam mempunyai tiga rasa dan tiga massa: mengapa perlakuan dua arasnya toh memerikan tiap percobaan dengan begitu baik? (Tinjaulah hierarki kedua $\Delta m^2$ -nya dan yang mana yang dipilah tiap jarak lintasannya.)
Dalam formalisme bab ini, sebutkanlah tepat bahan apa saja yang menghasilkan osilasinya: ketakcocokan basis yang mana, postulat yang mana, fase yang mana.
Ringkaslah hasil bernama itu: sudut rotasi di dekat $45^\circ$ dan belahan $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ membuat neutrino muon berenergi GeV lenyap dengan panjang osilasi $\sim1000\,\mathrm{km}$ — aljabar linear dua aras, yang dibenarkan menembus tubuh Bumi.

Solusi

Solusi Soal 8.1.

1. Sebuah rotasi mengirim pasangan ortonormal ke pasangan ortonormal: $\braket{\nu_e}{\nu_\mu} = -\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0$ . 2. P6: penerbangan bebasnya dibangkitkan $\hat H$ , yang keadaan eigennya berkembang sendiri lewat fase — apa pun basis yang dipilih saat produksinya. 3. $\ket{\psi(0)} = \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\ket{\nu_1} + \cos\theta\ket{\nu_2}$ . 4. $\ket{\psi(t)} = -\sin\theta\,\eu^{-\iu E_1t/\hbar} \ket{\nu_1} + \cos\theta\,\eu^{-\iu E_2t/\hbar}\ket{\nu_2}$ . 5. Fase global gugur dari setiap $|\braket\cdot\cdot|^2$ : simpanlah $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$ . 6. $E_2 - E_1 = (m_2^2 - m_1^2)c^4/2E = \Delta m^2c^4/2E$ . 7. $\braket{\nu_e}{\psi(t)} = \eu^{-\iu E_1t/\hbar} \sin\theta\cos\theta\,(\eu^{-\iu\Delta\phi} - 1)$ . 8. $|\cdots|^2 = \sin^2\theta\cos^2\theta\,|{\eu^{-\iu \Delta\phi} - 1}|^2 = \sin^22\theta\,\sin^2(\Delta\phi/2)$ . 9. Tanpa pencampuran, atau tanpa belahan massa: tanpa osilasi. Osilasi yang teramati membuktikan $\theta \neq 0$ dan $m_1 \neq m_2$ — neutrino berbobot. 10. Sulihkanlah $\Delta\phi = \Delta m^2c^4L/2\hbar cE$ ; $L_{\text{osc}}$ membuat argumennya $\pi$ . 11. Kedua peluang rasanya adalah kuadrat komponen dalam basis ortonormal sebuah keadaan ternormalkan: jumlahnya $1$ — keuniteran perkembangannya mempertahankan normanya. 12. Hanya fase nisbinya yang teramati, dan ia memuat $E_2 - E_1 \propto m_2^2 - m_1^2$ : massa mutlaknya saling meniadakan. 13. $\dfrac{L}{4\hbar cE}$ dalam satuan yang dinyatakan itu: $10^{3}\,\mathrm{m}/(4 \times 1.973 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{m} \times 10^{9}) = 1.27$ tiap $\mathrm{eV}^{2}$ . 14. Berkembang penuh di bawah: $1.27\,\Delta m^2 \times 12800 \gtrsim 1$ , yakni $\Delta m^2c^4 \gtrsim 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$ ; dapat diabaikan di atas: $1.27\,\Delta m^2 \times 15 \ll 1$ , yakni $\ll 5 \times 10^{-2}$ : jadi di sekitar $10^{-4}$ – $10^{-2}\,\mathrm{eV}^{2}$ . 15. $L_{\text{osc}} = \pi E/(1.27\,\Delta m^2c^4) \approx 990\,\mathrm{km}$ pada $1\,\mathrm{GeV}$ : $15\,\mathrm{km}$ tak tersentuh, $12\,800\,\mathrm{km}$ sepanjang tiga belas panjang penuh — tepat pola yang teramati. 16. Pada banyak panjang dan rentang energi, $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$ : penekanannya $\tfrac12\sin^22 \theta$ ; nilai setengah yang terukur memaksa $\sin^22\theta \approx 1$ , $\theta \approx 45^\circ$ — alam memilih pencampuran maksimum. 17. $m_2c^2 \approx \sqrt{2.5 \times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{eV}$ : sepuluh juta kali lebih ringan daripada elektron — materi teringan yang dikenal, dan belum ada yang tahu mengapa. 18. Daya Bay: $1.27 \times 2.5 \times 10^{-3} \times 1.5/0.004 \approx 1.2$ — berorde satu, jadi tertala; KamLAND: $1.27 \times 7.5 \times 10^{-5} \times 180/0.004 \approx 4.3$ — berorde satu bagi belahan suryanya: tiap jarak lintasan adalah interferometer yang disetel pada satu $\Delta m^2$ . 19. Masalahnya: hanya sepertiga $\nu_e$ Matahari yang diramalkan itu tiba. Penyelesaiannya: dua pertiga yang hilang tiba sebagai rasa yang lain, yang menjadi tujuan perputaran $\nu_e$ -nya (SNO mencacah totalnya dan mendapati Matahari tak bersalah). 20. Osilasi menuntut $\Delta m^2 \neq 0$ : sedikitnya satu neutrino bermassa — fisika laboratorium pertama di luar Model Baku yang asli. 21. Keterpaduan fase sepanjang $10^7$ meter berarti praktis tak ada yang berinteraksi di sepanjang jalan: penampang lintangnya begitu kecil sehingga diperlukan ribuan ton air untuk menangkap segelintir — karena itulah Super-Kamiokande berbobot lima puluh ribu ton. 22. Operator rasanya diagonal dalam basis rasa, yang bukan basis energinya: $[\hat H, \text{rasa}] \neq 0$ — rasa memang bukan besaran kekal penerbangan bebasnya, sedangkan energi dan momentum kekal. 23. Kedua belahannya berbeda tiga puluh kali lipat: pada $L/E$ tertentu satu osilasinya aktif sedangkan yang lain membeku atau sudah rata-rata penuh — tiap percobaan melihat sistem dua aras yang efektif. 24. Basis produksinya $\neq$ basis perambatannya (yakni rotasi $\theta$ ); P6 memasok kedua fasenya; kaidah Born mengubah fase nisbinya menjadi sebuah peluang. 25. $\theta \approx 45^\circ$ dan $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ memberi neutrino muon berenergi GeV panjang osilasi di dekat $1000\,\mathrm{km}$ : aljabar linear dua aras, yang terbukti menembus planet, dan sebuah Hadiah Nobel bagi lenyapnya separuh fluks.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium