Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

12Spin dan Sistem Dua Aras

Pada 1922 Stern dan Gerlach mengirimkan seberkas atom perak melalui sebuah magnet yang timpang, dengan harapan tak ada pembelokan atau sebuah lelehan yang sinambung. Berkasnya terbelah bersih menjadi dua. Tak ada momentum sudut orbital yang dapat berbuat demikian: $2l + 1$ selalu ganjil. Atomnya sedang mengumumkan kepunyaan baru yang murni kuantum — yakni spin, sebuah momentum sudut hakiki sebesar $j = \tfrac12$ , yaitu anak tangga setengah bulat yang disiapkan aljabar Bab 10 dan yang tak pernah dapat dipakai orbit. Spin melipatduakan tiap keadaan elektron (sehingga melengkapi pencacahan di balik tabel berkala), membawa kemagnetan besi dan proton, serta merupakan sistem dua aras terbersih yang ditawarkan alam: fisika bab ini menjalankan pemindai resonansi magnetik di tiap rumah sakit, jam sesium yang mendefinisikan sekon, bisikan 21 sentimeter yang dipakai untuk memetakan galaksi, dan kubit.

12.1 Percobaan yang menemukannya

Contoh 12.1 (Stern–Gerlach)

Sebuah momen magnetik $\vect\mu$ dalam medan yang takhomogen merasakan gaya $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : pembelokannya mengukur $\mu_z$ . Harapan klasiknya: momennya terarah acak, sehingga membentuk kipas yang sinambung. Harapan kuantum bagi momentum orbital: $2l + 1$ bercak: satu, tiga, lima — selalu ganjil. Yang teramati untuk perak (dan untuk hidrogen): dua bercak, setangkup, tanpa apa pun di antaranya. Komponen terukurnya hanya mengambil dua nilai — yakni ciri $j = \tfrac12$ , yang terlarang bagi orbit, sekaligus peragaan langsung kuantisasinya: perkakasnya adalah alat ukur bagi satu komponen spin, dan berkasnya terbelah menjadi kedua nilai eigennya.

Percobaan Stern–Gerlach: medan yang takhomogen menarik momen yang berlawanan ke arah yang berlawanan, sehingga magnetnya menjadi perkakas pengukur bagi satu komponen spin. Atom peraknya mendarat dalam dua bercak — yakni besaran teramati bernilai dua, tertangkap basah.

Definisi 12.2 (Spin setengah)

Elektron (dan proton, neutron, kuark) membawa momentum sudut hakiki dengan $j = \tfrac12$ : yakni ruang keadaan berdimensi dua yang direntang $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (keadaan eigen $\hat S_z$ dengan $\pm\hbar/2$ ), yang di atasnya berlaku

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— yakni matriks Pauli, yang mewujudkan aljabar momentum sudutnya dalam rumah sekecil mungkin. Keadaan umum $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ adalah sebuah spinor. Momen magnetik elektronnya adalah

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

dua kali laju orbitalnya tiap satuan momentum sudut — yakni anomali yang telah diukur Einstein–de Haas (Latihan 10.12) dan yang kelak diramalkan persamaan Dirac. Spin bukanlah rotasi apa pun: tak ada jejari, tak ada “bola yang berputar” yang selamat dari pemeriksaan — ia hakiki, seperti muatan.

Contoh 12.3 (Penapis Stern–Gerlach yang dirantai)

Pilihlah berkas $S_z = +\hbar/2$ , lalu ukurlah $S_z$ lagi: semua atomnya menjawab $+$ . Ukurlah $S_x$ sebagai gantinya: separuh dan separuh — keadaan $\ket\uparrow$ adalah superposisi $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . Kini pertahankanlah berkas $S_x = +$ lalu ukurlah $S_z$ sekali lagi: separuh dan separuh lagi — pengukuran $S_x$ -nya menghapus $S_z$ yang tadinya tajam. Tiga magnet sudah cukup untuk memperagakan ketakserasian, keruntuhan dan kaidah Born; rantai ini adalah Contoh 8.7 yang dilakukan dengan atom.

12.2 Bola Bloch

Proposisi 12.4 (Spin sepanjang sumbu mana pun)

Untuk arah satuan $\vect n = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$ , operator $\vect n\cdot\hat{\vect\sigma}$ mempunyai nilai eigen $\pm1$ , dengan

\ket{+\vect n} = \cos\tfrac\theta2\,\ket\uparrow + \eu^{\iu\varphi}\sin\tfrac\theta2\,\ket\downarrow .

Tiap spinor murni adalah $\ket{+\vect n}$ untuk tepat satu arah: ruang keadaannya memetakan ke sebuah bola — yakni bola Bloch — dengan keadaan ortogonalnya berada di antipoda (perhatikanlah setengah sudutnya: arah yang berlawananlah, bukan yang tegak lurus, yang ortogonal). Rotasi bolanya persis merupakan perkembangan yang dibangkitkan sebuah medan magnet: itulah geometri tiap pengolahan kubit yang pernah dilakukan.

Bukti sebagian. Diagonalkanlah matriks $2\times2$ -nya $\vect n\cdot\vect\sigma = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\,\eu^{-\iu\varphi}\\ \sin\theta\,\eu^{\iu\varphi} & -\cos\theta\end{pmatrix}$ : terasnya $0$ , determinannya $-1$ , nilai eigennya $\pm1$ ; spinor yang diberikan diperiksa lewat penyulihan (identitas setengah sudut). Antipodanya: $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ memberikan $\braket{+\vect n'}{+\vect n} = 0$ . ∎

Bola Bloch: tiap keadaan spin-1/2 adalah sebuah titik; kutubnya adalah ,, khatulistiwanya memuat superposisi setaranya, dan keadaan ortogonal duduk di antipodanya. Medan magnet memutar bolanya — yakni panel kendali kubitnya. — Bola Bloch: tiap keadaan spin- $\tfrac12$ adalah sebuah titik; kutubnya adalah $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ , khatulistiwanya memuat superposisi setaranya, dan keadaan ortogonal duduk di antipodanya. Medan magnet memutar bolanya — yakni panel kendali kubitnya.

12.3 Spin dalam medan: presesi dan resonansi

Proposisi 12.5 (Presesi Larmor)

Dalam medan statis $\vect B_0 = B_0\vect e_z$ , Hamiltonian $\hat H = -\hat{\vect\mu}\cdot\vect B_0$ membelah kedua arasnya sebesar $\hbar\omega_0$ dan membuat spin rata-ratanya berpresesi terhadap medannya:

\frac{\dd\langle\hat{\vect S}\rangle}{\dd t} = \gamma\,\langle\hat{\vect S}\rangle\wedge\vect B_0 , \qquad \omega_0 = |\gamma|B_0 ,

dengan nisbah giromagnetiknya $\gamma$ ( $\mu = \gamma S$ ). Vektor Blochnya berputar terhadap $z$ pada $\omega_0$ , dengan sudutnya terhadap medan membeku — persis gambaran gasing klasik, yang eksak di sini karena komutatornya linear. Untuk elektron: $28\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ ; untuk proton (momennya $2.79$ magneton inti): $\gamma_p/2\pi = 42.6\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ — yakni pelat nomor tiap mesin MRI.

Bukti. Kenakanlah Proposisi 8.12 dengan $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ : komutatornya memberikan $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = +\gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ dan $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ , yang tersusun menjadi hasil kali vektor yang dinyatakan itu. ∎

Proposisi 12.6 (Resonansi magnetik)

Tambahkanlah medan kecil $B_1$ yang berputar pada bidang melintangnya dengan frekuensi $\omega$ . Dalam kerangka yang ikut berputar bersamanya, $B_0$ secara efektif menyusut menjadi $(\omega_0 - \omega)/|\gamma|$ ; pada resonansinya ( $\omega = \omega_0$ ) hanya $B_1$ yang bertahan, dan spinnya berpresesi terhadapnya pada frekuensi Rabi $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ : bermula dari $\ket\uparrow$ , peluang telah terbalik adalah

\mathcal P_\downarrow(t) = \sin^2\Big(\frac{\Omega_1t}{2}\Big) .

Sebuah pulsa berdurasi $\pi/\Omega_1$ (yakni “pulsa $\pi$ ”) membalik spinnya; separuhnya (yakni “pulsa $\pi/2$ ”) membaringkannya pada bidang khatulistiwa, tempat ia berpresesi pada $\omega_0$ dan, lewat induksi Faraday, menyiarkan frekuensinya ke tiap kumparan di dekatnya. Di luar resonansinya amplitudo bolak-baliknya runtuh sebagai $\Omega_1^2/[\Omega_1^2 + (\omega - \omega_0)^2]$ : tanggapannya sangat memilih — yakni sebuah resonansi — dan itulah yang membuat spin dapat dialamati, jenis demi jenis dan, dengan gradien medan, tempat demi tempat (Soal 12.1).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Kiri: osilasi Rabi — pada resonansi spinnya terbalik penuh dan berkala; di luar resonansi, hanya sebagian dan lebih cepat. Kanan: di antara pulsanya spin rata-ratanya berpresesi terhadap B_0 pada frekuensi Larmor, sambil memancarkan nadanya ke kumparan penerima. — Kiri: osilasi Rabi — pada resonansi spinnya terbalik penuh dan berkala; di luar resonansi, hanya sebagian dan lebih cepat. Kanan: di antara pulsanya spin rata-ratanya berpresesi terhadap $\vect B_0$ pada frekuensi Larmor, sambil memancarkan nadanya ke kumparan penerima.

Contoh 12.7 (Struktur hiperhalus dan garis 21 cm)

Dalam keadaan dasar hidrogen, spin elektron dan spin protonnya berinteraksi lewat momen magnetiknya: keempat keadaan spinnya terbelah menjadi sebuah triplet dan sebuah singlet yang terpisah hanya $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ — yakni pembelahan hiperhalus, $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ , $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . Transisinya sangat lambat (satu pembalikan tiap sepuluh juta tahun), tetapi Galaksi memuat $10^{66}$ atom hidrogen: garis 21 cm cukup terang untuk telah memetakan lengan spiralnya, lengkungan cakramnya, dan — lewat pergeseran Dopplernya — kurva rotasi datar yang mengemukakan adanya materi gelap. Fisika yang sama, dalam keadaan dasar sesium, membelah arasnya tepat sebesar $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : sejak 1967, definisi sekon adalah sebuah pembalikan spin hiperhalus yang dicacah (Latihan 12.12).

Metode 12.8 (Keterampilan dua aras)

(1) Tuliskanlah sembarang Hamiltonian dua aras dalam matriks Pauli: $\hat H = \epsilon_0\mathbb 1 + \vect h\cdot\hat{\vect\sigma}$ — maka vektor Blochnya berpresesi terhadap $\vect h$ pada $2|\vect h|/\hbar$ ; selebihnya hanyalah geometri. (2) Keadaan eigen sepanjang $\vect n$ : pakailah setengah sudutnya. (3) Soal resonansi: pindahlah ke kerangka yang berputar; pada resonansinya, hanya $B_1$ yang tersisa. (4) Pulsanya: $\pi/2$ untuk memulai isyarat presesinya, $\pi$ untuk membalik (dan untuk memfokuskan kembali — yakni gema spinnya). (5) Skala energinya: $\mu_{\text{B}}B$ untuk elektron ( $58\,\text{µ}\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ ), tiga orde lebih kecil untuk inti — yakni frekuensi radio, spektroskopi tanpa kelvin.

Sebuah pemindai MRI: medan adiwarsa menyearahkan spin proton tubuhnya, pulsa radio memiringkannya, lalu presesi Larmornya dibaca kembali kumparan demi kumparan — fisika dua aras bab ini, yang memotret sebuah lutut.

12.4 Latihan

Latihan 12.1 ★

(a) Periksalah $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \mathbb 1$ dan $\sigma_x\sigma_y = \iu\sigma_z$ . (b) Simpulkanlah $[\hat S_x, \hat S_y] = \iu\hbar\hat S_z$ : yakni aljabar momentum sudut dalam dimensi dua. (c) Tunjukkanlah $\hat S^2 = \tfrac34\hbar^2\,\mathbb 1$ lalu periksalah $j(j+1)$ untuk $j = \tfrac12$ . (d) Tunjukkanlah bahwa sembarang matriks Hermitian $2\times2$ adalah gabungan real $\mathbb 1$ dan ketiga $\sigma_i$ .

Solusi

Solusi Latihan 12.1.

(a) Perkalian langsung. (b) $[\hat S_x, \hat S_y] = (\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$ . (c) $\hat S^2 = (\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$ : memang $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$ . (d) $\{\mathbb 1, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$ merentang keempat dimensi real matriks Hermitian $2\times2$ ( $a + \vect b\cdot\vect\sigma$ dengan $a, \vect b$ real).

Latihan 12.2 ★

(a) Carilah keadaan eigen ternormalkan $\sigma_x$ dan $\sigma_y$ . (b) Sebuah spin yang disiapkan dalam $\ket{+x}$ diukur sepanjang $z$ : berapa peluang hasilnya? (c) Sepanjang $y$ ? (d) Periksalah keduanya terhadap gambaran Blochnya (sudut $\theta, \varphi$ yang mana?).

Solusi

Solusi Latihan 12.2.

(a) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$ ; $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$ . (b) Separuh dan separuh. (c) Separuh dan separuh lagi: $|\braket{\pm y}{+x}|^2 = |1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$ . (d) $\ket{+x}$ : di khatulistiwanya pada $\varphi = 0$ ; mengukurnya sepanjang $z$ atau $y$ memproyeksikannya ke kutub yang berjarak $90^\circ$ — selalu $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$ .

Latihan 12.3 ★

Tiga magnet Stern–Gerlach berantai, dengan sumbu $z$ , lalu $\vect n$ bersudut $\theta$ pada bidang $xz$ , lalu $z$ lagi; berkas $+$ -nya dipertahankan tiap kali. (a) Berapa peluang selamat melewati magnet keduanya? (b) Berapa peluang selamat melewati ketiganya? (c) Hitunglah pada $\theta = 90^\circ$ lalu bandingkanlah dengan Contoh 12.3. (d) Untuk $\theta$ berapa kebertahanan tiga magnetnya maksimum, dan jawabannya menggemakan apa dari Latihan 8.5?

Solusi

Solusi Latihan 12.3.

(a) $\cos^2(\theta/2)$ . (b) $\cos^2(\theta/2) \times \cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$ . (c) $\theta = 90^\circ$ : $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$ , yakni bilangan rantai polarisatornya. (d) Secara sepele $\theta = 0$ ; pelajaran yang sebenarnya adalah bahwa pengukuran antara yang lembut paling murah ongkosnya — yakni limit langkah kecil pada Latihan 8.5, tempat banyak rotasi kecil meloloskan keadaannya dengan rugi yang lenyap.

Latihan 12.4 ★

Hitunglah pembelahan arasnya $2|\mu|B$ beserta frekuensi resonansinya dalam medan $1\,\mathrm{T}$ untuk (a) elektron ( $g = 2$ ); (b) proton ( $\mu_p = 2.79\,\mu_{\text{N}}$ , $\mu_{\text{N}} = e\hbar/2m_{\text{p}}$ ); (c) bandingkanlah keduanya dengan $k_{\text{B}}T$ pada $300\,\mathrm{K}$ : seberapa terpolarisasikah spin elektron dan spin inti pada suhu ruang? (d) Karena itu, pita spektrum manakah yang dihuni ESR dan NMR?

Solusi

Solusi Latihan 12.4.

(a) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 28\,\mathrm{GHz}$ . (b) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B = 0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$ . (c) Terhadap $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$ : polarisasi elektronnya $\sim2 \times 10^{-3}$ , protonnya $\sim3 \times 10^{-6}$ — ensembel spin termal nyaris teracak sempurna. (d) ESR: gelombang mikro; NMR: radio — terpisah tiga orde besar, dengan satu fisika.

Latihan 12.5 ★★

Turunkanlah presesi Larmor: dengan $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ , (a) hitunglah $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t$ , $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t$ dari komutatornya; (b) selesaikanlah $\langle\hat{\vect S}\rangle(t)$ dengan spin awalnya sepanjang $x$ ; (c) tunjukkanlah bahwa $\|\langle\hat{\vect S}\rangle\|$ dan sudutnya terhadap $\vect B_0$ bersifat tetap; (d) mengapa gambaran keadaan eigen energi (dua aras stasioner) dan gambaran presesi (sebuah vektor yang berputar) memerikan fisika yang sama — keadaan apa yang berpresesi?

Solusi

Solusi Latihan 12.5.

(a) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ , $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ . (b) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$ , $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ (tandanya menurut tanda $\gamma$ ). (c) Keduanya tampak jelas dari (b). (d) Keadaannya adalah superposisi kedua keadaan eigen energinya; fase nisbinya maju pada $\omega_0$ , dan fase yang berputar itulah yang menjadi presesinya — aras stasioner dan vektor yang berputar adalah dua pembacaan atas satu perkembangan dua aras.

Latihan 12.6 ★★

(a) Periksalah bahwa $\ket{+\vect n}$ pada Proposisi 12.4 memang vektor eigen yang diakukan. (b) Tunjukkanlah bahwa keadaan antipodanya ortogonal. (c) Di manakah pada bolanya keadaan eigen $\sigma_x$ dan $\sigma_y$ berada? (d) Gerbang “NOT” sebuah kubit memetakan $\ket\uparrow \leftrightarrow \ket\downarrow$ : rotasi bola yang manakah itu, dan pulsa mana pada Proposisi 12.6 yang melakukannya?

Solusi

Solusi Latihan 12.6.

(a) Sulihkanlah lalu pakailah identitas setengah sudutnya. (b) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 + \eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 = \cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$ . (c) Di khatulistiwanya, pada $\varphi = 0, \pi$ ( $\sigma_x$ ) dan $\varphi = \pm\pi/2$ ( $\sigma_y$ ). (d) Rotasi $180^\circ$ terhadap sumbu khatulistiwa mana pun — pulsa $\pi$ resonansi magnetik adalah gerbang NOT kubitnya.

Latihan 12.7 ★★

Kerangka berputar, secara jujur. Dengan $\hat H(t) = -\gamma(B_0\hat S_z + B_1[\hat S_x\cos\omega t - \hat S_y\sin\omega t])$ : (a) jelaskanlah mengapa berpindah ke kerangka yang berputar pada $\omega$ terhadap $z$ menggantikan $B_0$ dengan $B_0 - \omega/\gamma$ dan membekukan $B_1$ ; (b) pada resonansinya, perikanlah gerak vektor Blochnya dalam kerangka yang berputar; (c) turunkanlah durasi pulsa $\pi$ untuk proton dengan $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; (d) sketsalah apa yang dilihat pengamat dalam kerangka laboratorium selama pulsa itu (dua rotasi yang bersarang).

Solusi

Solusi Latihan 12.7.

(a) Dalam kerangka yang berputar, penggeraknya diam, sedangkan rotasi kerangkanya mengurangi $\omega/\gamma$ dari medan statis efektifnya (pembukuan yang sama seperti gaya inersia kerangka berputar). (b) Hanya $B_1$ yang bertahan: vektor Blochnya berpresesi terhadap sumbu $B_1$ melintang yang tetap pada $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ — yakni pembalikan yang mantap. (c) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{ MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$ . (d) Sebuah spiral cepat yang kerucutnya mengetat: presesi $128\,\mathrm{MHz}$ terhadap $z$ , yang perlahan berangguk turun pada $426\,\mathrm{Hz}$ — yakni sekrup gabus seribu putaran dari kutub ke kutub.

Latihan 12.8 ★★

Garis 21 cm. (a) Periksalah bahwa $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ memberikan $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ dan $\lambda = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) Keadaan tereksitasinya hidup $10^{7}\,\mathrm{yr}$ : lebar garis sebesar apakah itu, dan mengapa lebar teramatinya ( $\sim$ kHz ke atas) murni Doppler? (c) Tepi cakram sebuah galaksi menjauh dengan $220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ terhadap pusatnya: hitunglah rentang frekuensi profil 21 cm-nya. (d) Mengapa garis 21 cm menelusuri gas atomik netral, sedangkan CO (Soal 10.1) menelusuri gas molekul — dan mengapa para astronom memerlukan keduanya?

Solusi

Solusi Latihan 12.8.

(a) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} = 1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) $\Delta \nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$ : sama sekali dapat diabaikan — tiap lebar teramatinya berasal dari gerak. (c) $\Delta\nu = \nu\,(2v/c) = 1420\,\text{MHz} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx 2\,\mathrm{MHz}$ : yakni profil bertanduk dua sebuah cakram yang berputar. (d) 21 cm berbicara di tempat hidrogennya atomik (hangat, renggang); CO berbicara di tempat hidrogennya sudah berpasangan menjadi H $_2$ yang tak terlihat (dingin, rapat): bersama-sama keduanya menginventarisasi seluruh medium antarbintang sebuah galaksi.

Latihan 12.9 ★★

Nitrogen molekul amonia menerowong menembus bidang H $_3$ -nya: kedua susunan “payung”nya bercampur menjadi keadaan setangkup dan taksetangkup yang terbelah sebesar $\Delta E = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ (yakni dublet inversi jilid Tahun 2). (a) Berilah alasan bagi perlakuan amonia sebagai sistem dua aras. (b) Berapa frekuensi transisi dan panjang gelombangnya? (c) Dalam maser (1954), molekul terpilih keadaannya yang melintasi rongga resonan menguatkan gelombang mikro itu: syarat populasi apa yang harus dipenuhi berkas yang masuk, dan bagaimana bedanya dari keadaan termal? (d) Apa yang diperagakan maser amonia tiga tahun sebelum laser optis jilid Tahun 2?

Solusi

Solusi Latihan 12.9.

(a) Dua susunan yang terkopel penerowongan: pada energi rendah ruangnya berdimensi dua — amonia memang sebuah spin- $\tfrac12$ yang menyamar. (b) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 1.25\,\mathrm{cm}$ . (c) Berkasnya harus tiba dengan keadaan atasnya berpopulasi berlebih (yang dipilih lewat pembelokan elektrostatik) — yakni pembalikan populasi, yang tak dapat diperoleh secara termal, karena Boltzmann selalu memihak aras yang lebih rendah. (d) Penguatan terangsang lewat pembalikan populasi — yakni asas kerja laser, yang lebih dahulu diperagakan pada frekuensi gelombang mikro.

Latihan 12.10 ★★★

Kopling spin–orbit, ditaksir. Dalam kerangka diam elektronnya, intinya mengelilinginya: elektronnya duduk dalam medan magnet $B_{\text {int}}$ . (a) Dari Latihan 11.10(d), ambillah $B_{\text{int}} \sim 10\,\mathrm{T}$ untuk hidrogen $n = 2$ lalu perkirakanlah pergeseran arasnya $\mu_{\text{B}}B_{\text{int}}$ : bandingkanlah dengan skala struktur halus pada Latihan 11.11. (b) Garis D natrium terbelah sebesar $0.6\,\mathrm{nm}$ pada $589\,\mathrm{nm}$ : ubahlah menjadi meV dan menjadi sebuah medan internal. (c) Mengapa pembelahannya tumbuh curam terhadap $Z$ (medan dalamnya berskala kira-kira seperti $Z^4$ dibagi $n^3$ )? (d) Keadaannya dilabeli dengan $j = l \pm \tfrac12$ total: cacahlah keadaan sebuah aras $p$ lalu periksalah bahwa tak ada yang hilang.

Solusi

Solusi Latihan 12.10.

(a) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — yakni skala $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ pada Latihan 11.11: struktur halus memang spin yang bertemu medan geraknya. (b) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/ \lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$ : yakni medan internal $\Delta E/2\mu_{ \text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$ . (c) Medan dalamnya tumbuh seperti $Z^4$ (muatan intinya berpangkat tiga dalam medannya, dan sekali lagi lewat jejari orbitnya): atom berat mempunyai struktur halus yang dapat dilihat dengan spektroskop saku. (d) $j = \tfrac32$ : empat keadaan; $j = \tfrac12$ : dua — enam seluruhnya, tepat $2 \times (2l + 1)$ untuk $l = 1$ .

Latihan 12.11 ★★★

Dua spin bersama. Untuk dua partikel berspin $\tfrac12$ , spin totalnya $\hat{\vect S} = \hat{\vect S}_1 + \hat{\vect S}_2$ . (a) Tunjukkanlah bahwa keempat keadaan hasil kalinya tertata ulang menjadi sebuah triplet ( $S = 1$ : $\ket{\uparrow\uparrow}$ , $(\ket{\uparrow\downarrow} + \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ , $\ket{\downarrow\downarrow}$ ) dan sebuah singlet ( $S = 0$ : $(\ket{\uparrow\downarrow} - \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ ) — periksalah cacah $S_z$ -nya dan, untuk kedua keadaan tengahnya, pengaruh $\hat S^2$ (pakailah $\hat S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2$ dan $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S_{1+}\hat S_{2-} + \hat S_{1-}\hat S_{2+}) + \hat S_{1z}\hat S_{2z}$ ). (b) Yang manakah di antara keempatnya yang terbelit — yang tak dapat dituliskan sebagai hasil kali? (c) Pasangan hiperhalus hidrogen (Contoh 12.7) persis merupakan triplet/singlet ini: yang mana yang lebih tinggi energinya, mengingat garisnya dipancarkan pada 21 cm? (d) Spin singletnya berantikorelasi sempurna sepanjang tiap sumbu: ukurlah yang satu sepanjang $\vect n$ mana pun dan yang lain menjawab sebaliknya. Mengapa korelasi ini, sedahsyat apa pun, tidak mengirimkan isyarat apa pun?

Solusi

Solusi Latihan 12.11.

(a) Cacah $S_z$ -nya: $+\hbar, 0, 0, -\hbar$ ; mengenakan $\hat S^2$ (lewat identitas tangganya) pada gabungan setangkupnya memberikan $2\hbar^2$ ( $S = 1$ ), dan pada gabungan taksetangkupnya $0$ ( $S = 0$ ). (b) Hanya singletnya (beserta keadaan triplet tengahnya) yang tak dapat dituliskan sebagai hasil kali — singletnyalah sang pasangan terbelit maksimum. (c) Pemancaran berarti tripletnya terletak di atas: susunan spin sejajarnya lebih berenergi sebesar $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ . (d) Tiap pengamat sendirian hanya melihat hasil yang benar-benar acak; korelasinya baru muncul ketika kedua daftarnya dipertemukan — tak ada statistik setempat yang berubah, sehingga tak ada yang merambat (argumen pada Catatan 8.8).

Latihan 12.12 ★★★

Jam yang mendefinisikan sekon. Pembelahan hiperhalus keadaan dasar sesium tepat $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ (menurut definisi sekonnya). Dalam jam pancuran, atomnya memperoleh pulsa $\pi/2$ , terbang bebas selama $T = 0.5\,\mathrm{s}$ , lalu memperoleh pulsa $\pi/2$ kedua; bagian yang terpindahkan berosilasi sebagai $\cos^2(\pi\,\delta\,T)$ dengan pelencengan $\delta$ (yakni rumbai Ramsey — terimalah ini). (a) Jelaskanlah dalam bahasa Bloch apa yang dilakukan tiap pulsa $\pi/2$ beserta penerbangan bebasnya. (b) Berapa lebar rumbai pusatnya? (c) Dengan nisbah isyarat terhadap derau yang memungkinkan pusat rumbainya dibelah sebesar $10^4$ , ketepatan frekuensi pecahan berapa yang dihasilkannya? (d) Mengapa jam optis (transisi petahertz) mengalahkan jam gelombang mikro pada kemampuan pembelahan rumbai yang tetap — dan kira-kira sebesar faktor berapa?

Solusi

Solusi Latihan 12.12.

(a) Pulsa $\pi/2$ pertamanya membaringkan vektor Blochnya di khatulistiwa; selama $T$ ia berpresesi pada $\nu_0$ atomnya sendiri sedangkan osilator setempatnya berputar pada $\nu$ : selisih sudut yang terkumpul adalah $2\pi\delta T$ ; pulsa $\pi/2$ keduanya mengubah fase itu menjadi populasi — yakni sebuah interferometer dalam waktu. (b) $\Delta\delta \sim 1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$ . (c) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx 10^{-14}$ — satu sekon tiap tiga juta tahun. (d) Pembelahan rumbai mutlak yang sama pada pembawa $10^5$ kali lebih tinggi memenangkan $10^5$ dalam ketepatan pecahannya: karena itulah jam optis strontium dan iterbium mencapai $10^{-18}$ , dan definisi sekonnya menunggu diperbarui.

12.5 Soal: Melihat ke dalam tubuh

Soal 12.1

Soal akhir pekan — pencitraan resonansi magnetik, dari spin ke pindaian

Dua pertiga tubuh manusia adalah air; tiap molekul air membawa dua proton, yang masing-masingnya sebuah magnet berspin $\tfrac12$ . Tempatkanlah seseorang dalam medan yang kuat, gelitiklah protonnya pada frekuensi Larmornya, lalu dengarkanlah: itulah pencitraan resonansi magnetik, yakni fisika spin sebagai kedokteran. Data: $\gamma_{\text{p}}/2\pi = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ ; $B_0 = 3.0\,\mathrm{T}$ ; kerapatan proton jaringannya $n \approx 6.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $k_{\text{B}}T$ pada $310\,\mathrm{K}$ adalah $26.7\,\mathrm{meV}$ ; $h = 4.14 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{s}$ .

Bagian I — Spin di dalam magnetnya.

Hitunglah frekuensi Larmornya pada $3.0\,\mathrm{T}$ beserta energi fotonnya $h\nu$ dalam eV.
Hitunglah ketakseimbangan populasi antara kedua aras protonnya, $\Delta n/n \approx h\nu/2k_{\text{B}}T$ .
Hanya kelebihan ini — beberapa per sejuta — yang menyumbang isyarat: berapa proton yang “berguna” tiap sentimeter kubik jaringannya?
Mengapa polarisasi termalnya begitu lemah di sini padahal berkas Stern–Gerlachnya terbelah sepenuhnya? (Apa yang diukur masing-masing percobaan: nilai eigen atom tunggal, atau rata-rata termal?)
Melipatduakan $B_0$ berbuat apa pada isyaratnya (dua efek: polarisasinya dan ggl imbasannya pada frekuensi yang lebih tinggi)? Mengapa rumah sakit membayar magnet yang lebih besar?
Magnetnya adiwarsa dan selalu menyala: mengapa sebuah tabung oksigen baja yang lepas di dalam ruangan itu menjadi proyektil yang mematikan (gaya yang mana pada Contoh 12.1 yang bekerja padanya)?

Bagian II — Pulsa dan gema.

Sebuah kumparan melintang mengenakan $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ pada resonansinya: hitunglah frekuensi Rabinya beserta durasi pulsa $\pi/2$ dan $\pi$ -nya.
Setelah pulsa $\pi/2$ , apa yang dilakukan kemagnetannya, dan apa yang diimbaskan hukum Faraday dalam kumparan penerimanya (pada frekuensi berapa)?
Isyarat melintangnya meluruh dengan tetapan waktu $T_2$ (spinnya kehilangan fase dalam medan satu sama lain dan dalam ketakhomogenan setempatnya); kemagnetan membujurnya tumbuh kembali dengan $T_1$ (energinya mengalir ke jaringannya). Nilai khasnya: $T_1 \approx 1\,\mathrm{s}$ , $T_2 \approx 0.1\,\mathrm{s}$ . Mengapa waktu keterpaduannya tak pernah dapat jauh melampaui waktu pengenduran energinya (apa yang dilakukan tiap pembalikan yang menukar energi terhadap fasenya)?
Gema spin: setelah pulsa $\pi/2$ dan selang $\tau$ , sebuah pulsa $\pi$ dikenakan dan, pada $2\tau$ , spin yang tadinya kehilangan fase menyearah kembali dan isyaratnya kembali. Jelaskanlah muslihatnya dengan pelari di lintasan yang disuruh berbalik arah.
Peluruhan yang mana yang dibatalkan gemanya — kehilangan fase akibat ketakhomogenan medan yang statis, atau akibat medan molekul yang berfluktuasi — dan mengapa hanya yang itu?
Jaringan yang berbeda mempunyai $T_1$ , $T_2$ yang berbeda (lemak: $T_1$ pendek; air atau cairan: panjang; banyak tumor: $T_2$ lebih panjang daripada jaringan tuan rumahnya). Dalam satu kalimat: bagaimana mengatur waktu urutan pulsanya mengubah waktu pengenduran menjadi ketegasan citranya?

Bagian III — Dari isyarat ke citra.

Tumpangkanlah gradien $G = 40\,\mathrm{mT}/\mathrm{m}$ sepanjang $z$ : frekuensi Larmornya menjadi bergantung kedudukan. Hitunglah $\dd\nu/\dd z$ dalam kHz tiap milimeter.
Sebuah pulsa RF berbentuk yang hanya memuat pita $\nu_0 \pm 1\,\mathrm{kHz}$ mengeksitasi lempeng tubuh yang mana? (Yakni pemilihan irisannya.)
Selama pembacaannya, gradien sepanjang $x$ membuat tiap kolom irisannya menyiarkan frekuensinya sendiri: operasi matematis apa yang mengubah isyarat waktu yang diterima menjadi profil ruang (ingatlah perkakas Fourier jilid Tahun 2)?
Perkirakanlah informasi pindaian totalnya: sebuah citra $256 \times 256$ pada 12 bit, dan mengapa memerolehnya baris demi baris (satu gema tiap baris, dengan waktu pengulangan $\sim T_1$ ) membuat satu pindaian memakan waktu beberapa menit.
Pasiennya mendengar ketukan keras: apa yang berdentam secara mekanis (pikirkanlah kumparan gradiennya yang beralih dalam medan $3\,\mathrm{T}$ — gaya yang mana)?
Pencitraan sinar-X menegaskan kerapatan elektron; MRI menegaskan kerapatan proton dan pengendurannya: mengapa MRI menjadi pilihan bagi jaringan lunak dan otak, dan dosis pengion sebesar apa yang diberikannya?

Bagian IV — Pekerjaan lain sang spin.

Para kimiawan menjalankan percobaan yang sama pada resolusi $10\,\mathrm{ppm}$ : awan elektron sedikit memerisai tiap intinya, sehingga menggeser resonansinya (yakni “pergeseran kimia”). Mengapa hal ini menjadikan NMR sidik jari molekul?
MRI fungsional memetakan pikiran: hemoglobin yang kehabisan oksigen bersifat paramagnetik dan memperpendek $T_2^*$ setempatnya. Telusurilah rantainya dari kegiatan saraf sampai keterangan citranya.
Fisika Larmor yang sama dengan momen elektron berjalan pada $84\,\mathrm{GHz}$ pada $3\,\mathrm{T}$ : mengapa resonansi elektron tak berguna di dalam tubuh manusia namun berharga untuk mempelajari radikal dan cacat?
Bandingkanlah energi foton pada butir 1 dengan energi ikatan kimia yang khas: berilah alasan bagi sebutan “tak mengionkan” lalu pertentangkanlah dengan foton sinar-X $60\,\mathrm{keV}$ .
Polarisasi sepuluh per sejutanya dapat ditingkatkan: gas xenon yang terpolarisasi laser mencapai polarisasi berorde satu lalu dihirup untuk mencitrakan rongga udara paru-paru. Kira-kira sebesar faktor berapa isyarat tiap intinya naik, dan mengapa kerapatan gasnya yang rendah tetap membuat muslihat itu diperlukan?
Sebuah spin elektron tunggal dalam perangkap mirip transistor silikon kini dibaca dan digerakkan sebagai kubit dengan persis pulsa bab ini: sebutkanlah dua sifat spin (ukuran ruang Hilbertnya; lemahnya koplingnya terhadap derau) yang merekomendasikannya.
Ringkaslah hasil bernama itu: presesi spin $128\,\mathrm{MHz}$ , polarisasi termal sepuluh per sejuta, dua jam pengenduran dan tiga gradien medan sudah cukup untuk memotret otak yang hidup dalam irisan — yakni dua bercak Stern dan Gerlach, yang tumbuh menjadi sebuah rumah sakit.

Solusi

Solusi Soal 12.1.

1. $\nu = 42.58 \times 3.0 = 127.7\,\mathrm{MHz}$ ; $h\nu = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . 2. $\Delta n/n = h\nu/2k_{\text{B}}T = 5.3 \times 10^{-7}/(2 \times 0.0267) \approx 10^{-5}$ : sepuluh per sejuta. 3. $6.6 \times 10^{22}\,\mathrm{cm}^{-3} \times 10^{-5} \approx 7 \times 10^{17}$ proton pembawa isyarat tiap sentimeter kubik — lemah tiap spinnya, perkasa karena jumlahnya. 4. Stern–Gerlach mengukur tiap atomnya lalu membelahnya menurut nilai eigennya; MRI mendengarkan rata-rata termal $10^{23}$ spin, dan Boltzmann menjaga rata-rata itu tetap dalam hitungan mikrovolt dari nol. 5. Polarisasinya $\propto B_0$ dan ggl imbasannya $\propto \omega \propto B_0$ : isyaratnya kira-kira $\propto B_0^2$ — itulah alasan memilih $3\,\mathrm{T}$ daripada $1.5\,\mathrm{T}$ , dan alasan adanya mesin riset $7\,\mathrm{T}$ . 6. Sebuah feromagnet dalam gradien sesatnya merasakan $F = \mu\,\partial B/\partial z$ yang diskalakan ke besi berkilogram: ratusan newton muncul di ambang pintu — itulah alasan adanya perisai dan daftar periksanya. 7. $\nu_1 = \gamma B_1/2\pi = 426\,\mathrm{Hz}$ : pulsa $\pi/2$ $0.59\,\mathrm{ms}$ , pulsa $\pi$ $1.2\,\mathrm{ms}$ . 8. Ia berpresesi pada bidang melintangnya pada $127.7\,\mathrm{MHz}$ ; fluks kemagnetan yang berputar itu menembus kumparannya lalu mengimbaskan (Faraday) ggl radio tepat pada frekuensi itu — yakni isyarat MR mentahnya. 9. Tiap pembalikan yang menukar energi juga mengacak fase spin yang terbalik itu: apa pun yang menyebabkan $T_1$ menyumbang pada $T_2$ , dan kehilangan fase mempunyai salurannya sendiri pula — keterpaduannya mati lebih dahulu. 10. Pada $\tau$ tiap pelari berbalik arah: yang cepat, yang paling jauh di depan, kini paling jauh jalan pulangnya; pada $2\tau$ semuanya melintasi garis mulanya berjajar — kehilangan fasenya terputar mundur dan gemanya berdenting. 11. Hanya bagian yang statis: sebuah spin yang mempertahankan frekuensinya yang tetap (walaupun keliru) menelusuri kembali fasenya secara persis; medan molekul yang berfluktuasi berubah di antara kedua paruhnya sehingga tidak terputar mundur — peluruhan merekalah $T_2$ sejati yang khas tiap jaringan. 12. Cuplikanlah lebih awal dan lebih sering (TR pendek, TE pendek) dan $T_1$ lemak yang pendek akan bersinar; tunggulah lama dan gemakan belakangan dan cairan ber- $T_2$ panjang akan berpijar: pengaturan jam urutannyalah yang memilih tetapan pengenduran mana yang melukis gambarnya. 13. $\dd\nu/\dd z = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T} \times 0.04\,\mathrm{T}/\mathrm{m} = 1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm}$ . 14. Lempeng tempat frekuensi Larmor setempatnya jatuh di dalam pita itu: tebalnya $2\,\mathrm{kHz}/1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm} \approx 1.2\,\mathrm{mm}$ — yakni sebuah irisan terpilih. 15. Sebuah transformasi Fourier: frekuensinya melabeli kedudukannya, sehingga spektrum gemanya adalah proyeksi irisannya. 16. $256^2 \times 12 \approx 100\,\mathrm{kB}$ ; dengan satu baris terkodekan tiap waktu pengulangan berorde $T_1$ , $256$ baris memakan beberapa menit — itulah sebabnya pasien diminta tidak bergerak. 17. Kumparan gradiennya membawa arus terkendali berskala kiloampere di dalam $3\,\mathrm{T}$ : gaya Laplace memalunya ke dudukannya pada tiap pengalihan — yakni latar suara senapan mesin tiap pindaian. 18. Sinar-X membayangkan kerapatan elektron — tulang lawan udara — sambil menaruh dosis pengion; MRI membaca kerapatan proton beserta dua jam pengendurannya, yang berbeda secara kaya di antara jaringan lunak: otak, tulang rawan dan tumor, yang semuanya serupa bagi sinar-X, berbeda bagi spin, dengan dosis pengion nol. 19. Tiap lingkungan kimia memerisai protonnya sebesar beberapa per sejuta: proton sebuah molekul melaporkan diri sebagai sisir garis tergeser yang terpilah — yakni penentuan struktur di dalam tabung. 20. Kegiatannya menaikkan aliran darah dan pengoksigenan setempatnya; deoksihemoglobin yang paramagnetik menjadi encer; $T_2^*$ setempatnya memanjang; dan vokselnya menjadi terang beberapa sekon setelah pikirannya. 21. Pada $84\,\mathrm{GHz}$ jaringannya legap (gelombang mikro milimeter nyaris tidak menembus kulit) dan pengenduran elektronnya berskala mikrosekon — tak berharap di dalam tubuh, tetapi sempurna untuk mencacah radikal dan cacat dalam bahan serta dalam dosimetri. 22. $5 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ berbanding ikatan berorde eV: sepuluh juta kali terlalu lemah untuk memutuskan apa pun — jadi tak mengionkan; satu foton sinar-X $60\,\mathrm{keV}$ membawa $10^{11}$ kali lebih banyak. 23. Dari $10^{-5}$ menjadi berorde satu: perolehan $\sim10^5$ tiap intinya — yang diperlukan karena gas yang dihirupnya ribuan kali lebih encer daripada proton air. 24. Sebuah spin- $\tfrac12$ adalah sistem dua aras yang sempurna (tanpa aras bocor), dan ia terkopel dengan derau muatan hanya secara lemah lewat momen magnetiknya: keterpaduan yang panjang dalam bahan industri. 25. Presesi $128\,\mathrm{MHz}$ , polarisasi $10^{-5}$ , dua jam pengenduran dan tiga gradien: fisika spin yang memotret otak yang hidup, irisan demi irisan, dengan dosis pengion nol — yakni dua bercak perak 1922 yang tumbuh menjadi sebuah bagian rumah sakit.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Spin setengah

Lihat semua 431 istilah di glosarium