Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

5Dinamika Relativistik

Pada 1964 William Bertozzi merekam elektron yang melesat menuruni pemercepat linear: tiap semburannya diberi energi terukur, dan lajunya dicatat sepanjang $8.4\,\mathrm{m}$ penerbangan. Newton meramalkan bahwa elektron $15\,\mathrm{MeV}$ seharusnya terbang delapan kali laju cahaya; pencatat waktunya mengatakan $0.9999c$ dan menolak melampauinya, sekeras apa pun elektronnya didorong. Kinematika mengatakan kepada kita pada bab lalu bahwa $c$ adalah sebuah batas; dinamika kini harus menjelaskan apa yang terjadi pada dorongannya — ke mana usahanya pergi ketika lajunya tidak lagi tumbuh. Jawabannya menata ulang mekanika di sekitar momentum baru dan energi baru, yang disatukan dalam persamaan paling termasyhur dalam fisika: energi yang tersimpan adalah massa, dan massa adalah energi yang bermukim, $E = mc^2$ . Bab ini membangun dinamikanya, lalu mempekerjakannya di tempat ia hidup sehari-hari — peluruhan radioaktif, tumbukan partikel, dan pemercepat yang mengubah gerak menjadi materi baru.

5.1 Momentum dan energi, dibangun ulang

Catatan 5.1 (Mengapa $m\vect v$ harus pergi)

Momentum klasik $m\vect v$ kekal dalam setiap kerangka jika kecepatannya bertransformasi menurut Galileo. Kenyataannya tidak (Proposisi 4.10): tumbukan yang mengekalkan $\sum m\vect v$ dalam satu kerangka gagal mengekalkannya dalam kerangka lain, sehingga momentum lama itu tidak dapat menjadi hukum alam — paling banter bayangannya pada laju rendah. Perbaikannya adalah mengukur kecepatannya dengan jam partikel itu sendiri: $\dd\vect r/\dd\tau = \gamma\,\vect v$ bertransformasi dengan rapi, dan $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ ternyata kekal dalam semua kerangka sekaligus.

Definisi 5.2 (Momentum dan energi relativistik)

Partikel bermassa $m$ dan berkecepatan $\vect v$ ( $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ) membawa momentum dan energi

\vect p = \gamma m\vect v , \qquad E = \gamma mc^2 .

Dalam keadaan diam, $E_0 = mc^2$ : itulah energi diam. Energi kinetiknya adalah tambahan dari geraknya, $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$ , yang untuk $v \ll c$ menyusut menjadi $\tfrac12 mv^2$ yang sudah dikenal (jabarkanlah $\gamma$ ). Dalam setiap proses terkucil, $\vect p$ total dan $E$ total — termasuk energi diamnya — kekal.

Teorema 5.3 (Hubungan energi–momentum)

Untuk sembarang partikel,

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 , \qquad \vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :

gabungan $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ bernilai sama dalam setiap kerangka — ia bagi energi dan momentum sebagaimana selang bagi waktu dan ruang. Dua rezimnya: pada laju rendah, $E \approx mc^2 + p^2/2m$ ; pada energi tinggi ( $E \gg mc^2$ ), $E \approx pc$ dan $v \to c$ : mendorong lebih keras menambah energi dan momentum, hampir tak menambah laju.

Bukti. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$ ; dan $pc^2/E = \gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$ . Keinvariannya terhadap kerangka menyusul karena $m$ dan $c$ tidak bergantung kerangka. ∎

Proposisi 5.4 (Partikel tak bermassa)

Partikel bermassa nol mempunyai $E = pc$ dan bergerak tepat pada $c$ dalam setiap kerangka; ia tidak dapat diperlambat, hanya digeser merah. Foton adalah kasus bakunya: $E = h\nu$ dan $p = h\nu/c = h/\lambda$ — yakni hubungan Planck–Einstein pada jilid Tahun 1, yang kini terlihat sebagai sudut $m = 0$ dari mekanika.

Bukti. Ambillah $m = 0$ dalam Teorema 5.3: $E = pc$ dan $v = pc^2/E = c$ . ∎

Kiri: percobaan “laju pamungkas” Bertozzi — laju elektron yang terukur (titik) mengikuti kurva relativistiknya dan jenuh pada c, sementara garis Newton berlayar melewatinya. Kanan: hiperbola energi–momentum; simpangannya pada p = 0 adalah energi diam, dan asimtotnya adalah E = pc milik foton. — Kiri: percobaan “laju pamungkas” Bertozzi — laju elektron yang terukur (titik) mengikuti kurva relativistiknya dan jenuh pada $c$ , sementara garis Newton berlayar melewatinya. Kanan: hiperbola energi–momentum; simpangannya pada $p = 0$ adalah energi diam, dan asimtotnya adalah $E = pc$ milik foton.

Contoh 5.5 (Orde besar)

Fisika partikel menghitung energi dalam elektronvolt dan massa dalam $\mathrm{MeV}/c^2$ : elektron $0.511$ , proton $938.3$ , muon $105.7$ , pion $139.6$ . Elektron berenergi kinetik $1\,\mathrm{MeV}$ mempunyai $\gamma = 2.96$ dan $v = 0.94c$ — sudah sepenuhnya relativistik, dan itulah sebabnya elektronika tetap klasik ( $\mathrm{eV}$ ) sedangkan fisika inti tidak ( $\mathrm{MeV}$ ). Proton LHC $6.8\,\mathrm{TeV}$ mempunyai $\gamma = 7250$ dan tertinggal dari foton hanya $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

5.2 Massa adalah energi yang bermukim

Teorema 5.6 (Kesetaraan massa–energi)

Massa sebuah benda adalah energi total isinya, dibagi $c^2$ , yang diukur dalam kerangka diamnya: panaskanlah sebuah benda, putarlah pegasnya, eksitasikanlah atomnya, dan beratnya bertambah sebesar $\Delta E/c^2$ ; ikatkanlah bagiannya menjadi satu dan beratnya berkurang sebesar energi ikat dibagi $c^2$ — yakni defek massa. Sebaliknya, energi diam dapat dilepaskan: setiap kali jumlah massa akhirnya kurang dari jumlah massa awalnya, selisih $\Delta m\,c^2$ muncul sebagai energi kinetik atau radiasi.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 5.7 (Pembukuan $c^2$ )

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : selisih massa satu gram setara dengan $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ , yaitu energi sebuah kota kecil selama sehari. Ikatan kimia (beberapa eV per molekul) menggeser massa sebesar satu per $10^{10}$ — selamanya tak tertimbang, dan itulah sebabnya kimia tak pernah menyadarinya. Ikatan inti menggesernya hampir $1\%$ : helium berbobot $0.7\%$ lebih ringan daripada empat bahan hidrogennya, dan bagian yang hilang itu, yang mengalir dari Matahari sebagai cahaya, merugikannya $\Delta m = L_\odot/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ tiap sekon — empat juta ton sinar matahari. Pemusnahan melunasi seluruh rekeningnya: elektron yang bertemu positron tak meninggalkan apa pun selain dua foton $511\,\mathrm{keV}$ , yakni isyarat yang dipakai pemindai PET untuk mengamati otak yang hidup.

Catatan 5.8 (Apa arti “perubahan” itu)

Tak ada materi yang “berubah menjadi” energi: energi totalnya kekal sejak semula. Yang berubah adalah tempat mukimnya — dari energi diam, yang berbobot, menjadi energi kinetik dan radiasi, yang terbang. Pernyataan mendalam $E = mc^2$ adalah bahwa kelembaman itu sendiri merupakan kandungan energi: sekotak gas panas melawan percepatan lebih kuat daripada kotak yang sama dalam keadaan dingin.

5.3 Tumbukan dan peluruhan

Definisi 5.9 (Momentum-empat dan massa invarian)

Bungkuslah energi dan momentum sebuah partikel menjadi momentum-empatnya $P = (E/c, \vect p)$ . Untuk sistem partikel, jumlahkanlah komponen demi komponen: $E_{\text{tot}} = \sum E_i$ , $\vect p_{\text{tot}} = \sum\vect p_i$ . Yang disebut massa invarian $M$ sistemnya didefinisikan oleh

M^2c^4 = E_{\text{tot}}^2 - \|\vect p_{\text{tot}}\|^2c^2 :

bilangan yang sama dalam setiap kerangka, dan sama dengan energi total (dibagi $c^2$ ) dalam kerangka pusat momentum tempat $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ . Perhatikan bahwa $M$ melebihi jumlah massa bagiannya setiap kali bagian itu bergerak satu terhadap yang lain — dua foton yang terbang saling menjauh mempunyai $M > 0$ walaupun masing-masingnya tak bermassa.

Metode 5.10 (Menyelesaikan tumbukan relativistik)

(1) Tuliskanlah kekekalan momentum-empat: $E$ dan $\vect p$ bersama, tak pernah salah satunya saja. (2) Hitunglah invarian $E^2 - p^2c^2$ bungkusan mana pun yang paling nyaman — ia dapat dihitung dalam kerangka yang paling mudah lalu dipakai dalam kerangka lain mana pun. (3) Ambang: sebuah reaksi mungkin terjadi bila massa invarian keadaan awalnya mencapai jumlah massa diam keadaan akhirnya. (4) Peluruhan dalam keadaan diam: momentum hasilnya berlawanan dan sama besar; energinya menyusul hanya dari massanya. (5) Barulah pada akhir sekali, jika diminta, ubahlah menjadi laju lewat $v = pc^2/E$ .

Contoh 5.11 (Sidik jari pion)

Pion bermuatan yang diam meluruh, $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (neutrinonya praktis tak bermassa). Kekekalan momentum membuat hasilnya saling membelakangi dengan $p$ yang sama; kekekalan energi berbunyi $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ . Penyelesaiannya:

pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,

sehingga setiap muon dari pion yang meluruh dalam keadaan diam lahir dengan energi kinetik tepat $4.1\,\mathrm{MeV}$ — sebuah garis berenergi tunggal, dan pengamatannya (Powell, 1947) adalah cara massa pion pertama kali ditimbang. Peluruhan dua benda selalu menghasilkan garis semacam itu; peluruhan tiga benda mengaburkannya menjadi spektrum, dan justru itulah cara neutrino pertama kali dicurigai dalam peluruhan $\beta$ inti.

Proposisi 5.12 (Ambang: kelaliman sasaran diam)

Untuk menciptakan partikel baru, hanya energi pusat momentum $Mc^2$ yang tersedia. Berkas berenergi $E$ yang menghantam sasaran bermassa $m_{\text{t}}$ yang diam menghasilkan

M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 + 2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :

energi yang berguna hanya tumbuh sebagai $\sqrt E$ — sisanya terbuang untuk mendorong serpihannya ke depan. Dua berkas serupa yang bertumbukan berhadapan menghasilkan $Mc^2 = 2E$ : seluruhnya berguna. Satu rumus inilah sebabnya mesin di garis depan berupa penumbuk (Soal 5.1).

Bukti. Hitunglah $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ di laboratorium: $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$ dengan $p$ momentum berkasnya; jabarkanlah lalu pakailah $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$ . Untuk penumbuknya, $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ dan $Mc^2 = E_{\text{tot}}$ . ∎

Membuat materi dari gerak: pada sasaran diam, kekekalan momentum memaksa hasilnya terus terbang, dan energi pusat momentum yang berguna hanya tumbuh sebagai √ E; pada tumbukan berhadapan, seluruh 2E tersedia. — Membuat materi dari gerak: pada sasaran diam, kekekalan momentum memaksa hasilnya terus terbang, dan energi pusat momentum yang berguna hanya tumbuh sebagai $\sqrt E$ ; pada tumbukan berhadapan, seluruh $2E$ tersedia.

5.4 Gaya dan mesinnya

Proposisi 5.13 (Persamaan gerak relativistik)

Hukum Newton bertahan dalam bentuk

\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)} {\dd t} , \qquad \frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .

Medan magnet, yang selamanya tegak lurus terhadap $\vect v$ , tidak mengubah energi dan melenturkan lintasannya menjadi lingkaran berjejari

r = \frac{p}{qB}

— rumus yang sama seperti dalam jilid Tahun 1, dengan $p$ yang relativistik. Tetapi frekuensi peredarannya $qB/\gamma m$ kini turun ketika partikelnya memperoleh energi: dorongan berfrekuensi tetap sebuah siklotron kehilangan langkah di sekitar skala MeV, dan mesin berenergi tinggi — yaitu sinkrotron — justru menaikkan medan dan frekuensinya seirama dengan $\gamma$ , sehingga berkasnya tetap pada satu cincin.

Bukti sebagian. Hukum gayanya adalah definisi dinamika yang taat asas dengan momentum barunya ( $\dd E/\dd t$ menyusul dari $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ : $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$ ). Untuk lingkarannya: $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$ dengan $|\vect p|$ tetap berarti vektor momentumnya berputar dengan laju $qvB/p$ , sehingga jejarinya $v/(qvB/p) = p/qB$ . ∎

Contoh 5.14 (Membaca LHC seperti sebuah latihan)

Proton berenergi $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ dalam dipol $B = 8.3\,\mathrm{T}$ : $p \approx E/c$ (ultrarelativistik), sehingga $r = p/qB = 2.7\,\mathrm{km}$ — dan memang jejari lentur magnetik cincinnya $2.8\,\mathrm{km}$ , dengan keliling $27\,\mathrm{km}$ yang sebagian besar berupa magnet. Tumbukan berhadapannya menyediakan $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$ ; untuk mencapainya pada sasaran diam diperlukan berkas sebesar $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx 10^{17}\,\mathrm{eV}$ — seratus kali jangkauan mesin mana pun yang pernah dibangun. Rumus penumbuk itulah, bukan magnet yang lebih kuat, yang membeli garis depan energi modern.

Partikel bermuatan yang melintasi kamar kabut. Jejak seperti ini — yang melingkar dalam medan magnet, yang muncul berpasangan — mengubah E = mc2 dari sebuah rumus menjadi pembukuan sehari-hari: positron ditemukan pada foto semacam itu. — Partikel bermuatan yang melintasi kamar kabut. Jejak seperti ini — yang melingkar dalam medan magnet, yang muncul berpasangan — mengubah $E = mc^2$ dari sebuah rumus menjadi pembukuan sehari-hari: positron ditemukan pada foto semacam itu.

5.5 Latihan

Latihan 5.1 ★

Sebuah elektron ( $mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ ) bergerak pada $0.99c$ . Hitunglah $\gamma$ , momentumnya dalam $\mathrm{MeV}/c$ , energi total dan energi kinetiknya. Pertanyaan yang sama untuk proton ( $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ) berenergi kinetik $1\,\mathrm{GeV}$ .

Solusi

Solusi Latihan 5.1.

Elektron: $\gamma = 7.09$ ; $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$ , sehingga $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$ ; $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$ , $E_k = 3.11\,\mathrm{MeV}$ . Proton: $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$ , $\gamma = 2.07$ , $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = pc/E = 0.875$ .

Latihan 5.2 ★

(a) Berapa energi yang tertidur dalam satu gram materi? (b) Ledakan Hiroshima melepaskan sekitar $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ : selisih massa sebesar apakah itu? (c) Matahari memancarkan $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ : berapa massa yang dilepaskannya tiap sekon, dan berapa bagian dari $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ -nya dalam sepuluh miliar tahun? (d) Baterai telepon Anda menyimpan $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : seberapa lebih berat telepon yang terisi penuh?

Solusi

Solusi Latihan 5.2.

(a) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ . (b) $6 \times 10^{13}/ 9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — bomnya mengubah kurang dari satu gram. (c) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; selama $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ( $3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$ ): $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$ , sekitar $0.07\%$ Matahari. (d) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx 0.6\,\mathrm{ng}$ — nyata, dan selamanya tak tertimbang.

Latihan 5.3 ★

(a) Berapa momentum yang dibawa berkas penunjuk laser $5\,\mathrm{mW}$ tiap sekon, dan berapa gaya yang dirasakan penunjuk itu? (b) Berapa gaya yang dikerahkan sinar matahari ( $1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) pada layar surya $100\,\mathrm{m}^{2}$ yang memantul sempurna? (c) Dari keadaan diam, seberapa cepat wahana berlayar $10\,\mathrm{kg}$ bergerak setelah sebulan? (d) Mengapa ekor debu komet menunjuk menjauhi Matahari?

Solusi

Solusi Latihan 5.3.

(a) $p = P/c$ tiap sekon: gaya $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ berupa hentakan balik. (b) Pemantulan melipatduakan pemindahannya: $F = 2\Phi A/c = 2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$ . (c) $a \approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; setelah $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v \approx 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lambat pada awalnya, tetapi mesinnya tak pernah kehabisan bahan bakar. (d) Momentum sinar matahari (bersama angin surya) mendorong debunya terus-menerus ke luar: ekornya mengalir menjauhi Matahari, bukan tertinggal di belakang kometnya.

Latihan 5.4 ★

Berlatih dengan satuan. (a) Tunjukkanlah bahwa $\mathrm{MeV}/c^2$ adalah satuan massa lalu ubahlah massa elektron ke kilogram. (b) Berapa $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ dalam $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ? (c) Sebuah kuadrat massa invarian diperoleh sebagai $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ (dalam satuan $c = 1$ ): energi pusat momentum sebesar apakah itu? (d) Mengapa fisikawan partikel mengambil $c = 1$ , dan apa yang harus dimasukkan kembali oleh pembaca untuk memperoleh bilangan SI?

Solusi

Solusi Latihan 5.4.

(a) $m = E_0/c^2$ : $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ . (b) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ energi pusat momentum. (d) Dengan $c = 1$ , energi, momentum dan massa berbagi satu satuan dan tiap rumus melepaskan $c$ -nya; untuk kembali ke SI, masukkanlah kembali pangkat $c$ tunggal yang membetulkan dimensinya.

Latihan 5.5 ★★

Elektron Bertozzi berenergi kinetik $0.5$ , $1$ , $4.5$ dan $15\,\mathrm{MeV}$ . (a) Hitunglah ramalan Newton $v^2 = 2E_k/m$ untuk masing-masingnya, dalam satuan $c^2$ . (b) Hitunglah $v^2/c^2$ relativistiknya. (c) Waktu terbangnya sepanjang $8.4\,\mathrm{m}$ pada $15\,\mathrm{MeV}$ : berapa yang terbaca pada jamnya, dan berapa yang akan diramalkan Newton? (d) Energi elektronnya juga diukur secara kalorimetrik — lewat kalor yang ditimbulkannya saat menumbuk: mengapa langkah itu merupakan inti sebenarnya percobaan tersebut?

Solusi

Solusi Latihan 5.5.

(a) $2E_k/mc^2$ : $1.96$ , $3.9$ , $17.6$ , $59$ — mustahil setelah nilai yang pertama. (b) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$ : $0.74$ , $0.89$ , $0.990$ , $0.9989$ . (c) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$ ; nilai Newton $7.7c$ akan terbaca $3.7\,\mathrm{ns}$ . (d) Kalorimeternya membuktikan bahwa elektronnya sungguh membawa seluruh $15\,\mathrm{MeV}$ ke dalam sasarannya: energinya memang ada di sana, namun lajunya sudah berhenti tumbuh — usaha kini membeli momentum dan energi, bukan kecepatan.

Latihan 5.6 ★★

Pion bermuatan meluruh dalam keadaan diam: $\pi^+ \to \mu^+\nu$ , $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ , $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$ , $m_\nu \approx 0$ . (a) Tunjukkanlah $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ lalu hitunglah. (b) Berapa energi kinetik dan laju muonnya? (c) Berapa energi neutrinonya? (d) Dalam keadaan terbang pada $\gamma_\pi = 50$ , berapa energi laboratorium maksimum dan minimum muon peluruhannya (peluruhan ke depan dan ke belakang)?

Solusi

Solusi Latihan 5.6.

(a) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ ; kucilkanlah akarnya lalu kuadratkan: $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 = (139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (b) $E_\mu = \sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$ : $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$ . (c) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (d) Dengan mendorongnya: $E_{\text{lab}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$ dengan $\beta \approx 1$ : antara $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ dan $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$ .

Latihan 5.7 ★★

Massa invarian dalam kerja. (a) Dua foton $200\,\mathrm{MeV}$ terbang membentuk sudut $60^\circ$ satu terhadap yang lain: hitunglah massa invarian pasangannya. (b) Pion netral ( $m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$ ) meluruh menjadi dua foton: berapa massa invarian pasangan fotonnya, dalam setiap kerangka? (c) Jelaskanlah bagaimana sebuah percobaan “menemukan” sebuah partikel sebagai tonjolan pada sebaran massa invarian hasil peluruhannya. (d) Dua foton berenergi sama terbang tepat sejajar: berapa massa invariannya? Apa yang dikatakan hal ini tentang kerangka diam sebuah berkas cahaya?

Solusi

Solusi Latihan 5.7.

(a) Untuk dua kuantum tak bermassa, $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) = 2 \times 200^2 \times \tfrac12$ : $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$ . (b) Tepat $m_{\pi^0}$ — massa invarian adalah massa partikelnya, dalam setiap kerangka. (c) Hitunglah $M$ untuk tiap pasangan foton dalam peristiwanya: pasangan acak tersebar mulus, sedangkan anak sejati sebuah partikel menumpuk pada massanya — itulah tonjolannya. (d) $\theta = 0$ : $M = 0$ ; berkas cahaya sejajar tidak mempunyai kerangka diam — ia bergerak dengan $c$ sebagai satu kesatuan, seperti tiap fotonnya.

Latihan 5.8 ★★

Pembukuan LHC (proton $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ ). (a) Berapa $\gamma$ , dan berapa kekurangan lajunya $c - v$ (pakailah $c - v \approx c/2\gamma^2$ )? (b) Berapa frekuensi peredarannya pada cincin $27\,\mathrm{km}$ dan berapa putaran tiap sekon? (c) Berapa energi tersimpan berkas berisi $3 \times 10^{14}$ proton, dalam kilogram TNT ( $4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ )? (d) Berapa setara massa energi kinetik kedua berkasnya, dalam mikrogram — yaitu materi yang segera dibuat.

Solusi

Solusi Latihan 5.8.

(a) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$ ; $c - v \approx c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 = 11.1\,\mathrm{kHz}$ : sebelas ribu putaran tiap sekon. (c) $3 \times 10^{14} \times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ TNT — dalam berkas setipis rambut. (d) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx 7\,\text{µ}\mathrm{g}$ : persediaan kerja materi yang akan dibuat.

Latihan 5.9 ★★

Menumbukkan foton. (a) Tunjukkanlah bahwa satu foton dalam vakum tidak dapat meluruh menjadi pasangan elektron–positron, seberapa pun besar energinya (pakailah invariannya). (b) Terhadap foton kedua berenergi $\epsilon$ secara berhadapan, tunjukkanlah bahwa penciptaan pasangannya menuntut $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) Foton $511\,\mathrm{keV}$ memerlukan pasangan seperti apa? Bagaimana halnya sinar-X $50\,\mathrm{keV}$ ? (d) Semesta dipenuhi cahaya bintang dan latar gelombang mikro kosmik: apa yang diramalkan (b) tentang jangkauan sinar $\gamma$ berenergi TeV melintasi ruang antargalaksi?

Solusi

Solusi Latihan 5.9.

(a) Massa invarian sebuah foton adalah $0$ ; massa invarian pasangan $e^+e^-$ paling sedikit $2m_{\text{e}}c^2$ . Invariannya tidak dapat berubah dalam peluruhan terkucil: terlarang. (Setara dengan itu: tak ada kerangka yang membuat momentumnya setimbang.) (b) Berhadapan, $M^2c^4 = 4E\epsilon$ ; penciptaan pasangannya menuntut $Mc^2 \ge 2m_{\text{e}}c^2$ , yakni $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) Foton $511\,\mathrm{keV}$ yang lain; untuk $50\,\mathrm{keV}$ , pasangan sebesar $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$ . (d) Foton TeV memenuhi ambang $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ pada cahaya bintang biasa: langit itu sendiri menyerap sinar $\gamma$ TeV pada jarak kosmologis — semesta tidak tembus pandang pada semua energi.

Latihan 5.10 ★★★

Compton, lewat momentum-empat. Sebuah foton berpanjang gelombang $\lambda$ menghantam elektron yang diam lalu terhambur pada sudut $\theta$ . (a) Tuliskanlah kekekalan momentum-empatnya lalu kucilkanlah invarian elektron akhirnya. (b) Turunkanlah

\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .

(c) Hitunglah $h/m_{\text{e}}c$ dan pergeseran maksimumnya; mengapa efeknya tak terlihat dengan cahaya tampak tetapi menentukan bagi sinar-X? (d) Apa yang ditetapkan pengukuran Compton pada 1923 tentang cahaya, yang belum ditetapkan efek fotolistrik?

Solusi

Solusi Latihan 5.10.

(a) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$ ; kuadratkanlah kedua ruasnya (invarian): $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\! \cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$ . (b) Dengan $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$ , $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ dan $P_\gamma\!\cdot\! P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$ : $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$ , yang dalam panjang gelombang ( $E = hc/\lambda$ ) merupakan pergeseran yang dinyatakan itu. (c) $h/m_{\text{e}}c = 2.43\,\mathrm{pm}$ , paling besar $4.9\,\mathrm{pm}$ : satu per $10^5$ dari cahaya tampak (tak terlihat), beberapa persen dari sinar-X $100\,\mathrm{pm}$ (terukur). (d) Bahwa sebuah foton menumbuk bagaikan bola bilyar — membawa momentum $h/\lambda$ yang dipertukarkan dalam peristiwa perorangan, bukan sekadar energi dalam bongkahan.

Latihan 5.11 ★★★

Ujung spektrum sinar kosmik. Semesta mandi dalam foton gelombang mikro berenergi khas $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . Proton berenergi $E$ yang menghantam satu foton secara berhadapan dapat tereksitasi ke resonansi $\Delta$ ( $m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$ ), sambil kehilangan energi tiap kali. (a) Tunjukkanlah bahwa syarat ambangnya kira-kira $4E\epsilon = (m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$ . (b) Hitunglah ambang $E$ -nya. (c) Di atasnya, semesta menjadi legap bagi proton di luar sekitar $100\,\mathrm{Mly}$ : apa yang diramalkan hal ini bagi spektrum sinar kosmik yang teramati (pemenggalan Greisen–Zatsepin–Kuzmin)? (d) Sinar kosmik berenergi $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ pernah terekam — partikel “Oh-My-God”: apa yang dituntut keberadaannya dari sumbernya?

Solusi

Solusi Latihan 5.11.

(a) $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ secara berhadapan (dengan protonnya ultrarelativistik); ambangnya pada $M = m_\Delta$ . (b) $E = (1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}) \approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ untuk foton rata-ratanya — ekor termal latar gelombang mikro menurunkan pemenggalan efektifnya menjadi $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ . (c) Proton di atas pemenggalannya kehilangan energi kepada $\Delta$ dalam $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$ : spektrumnya seharusnya berakhir di dekat $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ bagi sumber yang jauh — yakni penekanan GZK yang teramati. (d) Sumbernya haruslah sekaligus pemercepat luar biasa dan dekat secara kosmis — di dalam supergugus kita — dan itulah sebagian sebabnya asal usulnya masih diburu.

Latihan 5.12 ★★★

Roket foton. Sebuah roket bermassa awal $m_{\text{i}}$ memancarkan buangannya sebagai berkas cahaya terkolimasi lalu mencapai laju $\beta c$ . (a) Dengan mengekalkan energi dan momentum antara awal dan akhirnya, tunjukkanlah

\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,

yakni eksponensial rapiditasnya — persamaan Tsiolkovsky relativistik dengan buangan sebaik-baiknya. (b) Berapa nisbah massanya untuk mencapai $0.9c$ ? Dan untuk mencapai $0.9c$ lalu berhenti di tujuan? (c) Berkasnya harus dibuat dengan cara tertentu: dengan pemusnahan materi–antimateri berefisiensi sempurna, berapa kilogram antimateri per kilogram muatan untuk perjalanan sekali jalan $0.9c$ ? (d) Produksi antiproton sedunia hanya beberapa nanogram tiap tahun: simpulkanlah, dalam satu kalimat, tentang roket foton.

Solusi

Solusi Latihan 5.12.

(a) Energi: $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$ ; momentum: $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$ . Lenyapkanlah $E_\ell$ : $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} = m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$ . (b) $\sqrt{19} = 4.4$ ; mempercepat dan mengerem mengkuadratkannya: $19$ . (c) Massa yang dihabiskan $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ haruslah bahan bakar yang dimusnahkan, separuhnya antimateri: $1.7\,\mathrm{kg}$ antimateri tiap kilogram yang diantarkan (sekali jalan, tanpa pengereman). (d) Dengan produksi sedunia beberapa nanogram tiap tahun, roket foton tetap menjadi hitungan di atas kertas, bukan rekayasa.

Penemuan antimateri (Carl D. Anderson, 1932, domain publik): sebuah positron tunggal yang memanjat menembus pelat timbal kamar kabut, melengkung ke arah yang salah bagi elektron dan terlalu rapat bagi proton — pembukuan E = mc2 yang tertangkap berjalan terbalik. — Penemuan antimateri (Carl D. Anderson, 1932, domain publik): sebuah positron tunggal yang memanjat menembus pelat timbal kamar kabut, melengkung ke arah yang salah bagi elektron dan terlalu rapat bagi proton — pembukuan $E = mc^2$ yang tertangkap berjalan terbalik.

5.6 Soal: Membuat materi — antiproton dan Bevatron

Soal 5.1

Soal akhir pekan — bagaimana kekekalan momentum menetapkan harga antidunia

Persamaan Dirac menuntut, sejak 1931, bahwa proton mempunyai saudara kembar cermin bermuatan berlawanan. Membuat satu berarti membeli energi diamnya dengan energi berkas — dan kekekalan momentum menetapkan harganya. Soal ini menetapkan harga itu, merancang mesin yang membayarnya, lalu mengikuti penemuan 1955. Data: $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$ ; muatan dan bilangan barion (proton dan neutron $+1$ , antiproton $-1$ ) kekal dalam setiap reaksi.

Bagian I — Perkakas momentum-empat.

Untuk satu partikel, tunjukkanlah $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ dari definisi $E$ dan $\vect p$ .
Untuk sebuah sistem, mengapa $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ sama dalam semua kerangka, dan sama dengan apakah ia dalam kerangka pusat momentum?
Berkas proton berenergi $E$ menghantam proton yang diam: tunjukkanlah $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ .
Periksalah kedua limitnya: pada energi rendah $Mc^2 \to 2m_{\text{p}}c^2$ ; pada energi tinggi $Mc^2 \approx \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — yakni hukum akar kuadratnya.
Sebuah reaksi hanya diizinkan jika $Mc^2$ mencapai jumlah massa diam hasilnya, dengan semua hasilnya diam dalam kerangka pusat momentum pada ambangnya: berilah alasan bagi anak kalimat terakhir ini.
Mengapa energi kinetik hasilnya di laboratorium tidak pernah dapat diambil kembali untuk penciptaan partikel pada sasaran diam?

Bagian II — Menetapkan harga antiproton.

Dalam tumbukan $p + p$ , reaksi termurah yang membuat sebuah antiproton $\bar p$ harus juga membuat sebuah proton tambahan: tuliskanlah, lalu berilah alasan dengan muatan dan bilangan barionnya.
Tunjukkanlah bahwa ambangnya menuntut $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ .
Simpulkanlah energi berkas yang diperlukan $E = 7m_{\text{p}}c^2$ dan energi kinetik $T = 6m_{\text{p}}c^2$ ; hitunglah $T$ .
Pada ambangnya, berapa bagian energi kinetik berkasnya yang sungguh-sungguh menjadi massa diam baru ( $2m_{\text{p}}c^2$ di antaranya)? Di manakah sisanya?
Pada penumbuk $p$ – $p$ berhadapan, berapa energi kinetik tiap berkas yang dituntut reaksi yang sama? Bandingkanlah kedua rancangan itu.
Pada 1954 belum ada penumbuk (berkasnya terlalu tipis untuk saling menghantam): fakta praktis apa yang memaksa pilihan sasaran diam, dan berapa harganya dalam energi berkas?

Bagian III — Merancang Bevatron. Mesin yang dibangun di Berkeley mencapai $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ — cukup nyaman di atas ambangnya — dengan medan dipol $B = 1.56\,\mathrm{T}$ .

Hitunglah energi total dan momentum berkasnya pada energi puncaknya.
Hitunglah jejari lenturnya $r = p/qB$ lalu bandingkanlah dengan $15.2\,\mathrm{m}$ milik mesin itu.
Hitunglah laju protonnya dan frekuensi peredarannya pada cincin $2\pi r$ .
Pada penyuntikannya protonnya tiba dengan energi kinetik $10\,\mathrm{MeV}$ : hitunglah lajunya, lalu jelaskanlah mengapa frekuensi pemercepatnya harus menyapu sepanjang tiap daurnya (dua besaran mana yang berubah ketika $E$ tumbuh?).
Dengan perolehan sekitar $1.5\,\mathrm{kV}$ tiap putaran, berapa putaran dan berapa lama satu daur pemercepatannya berlangsung?
Nama “Bevatron” berasal dari BeV, yakni miliaran elektronvolt: nyatakanlah dalam satu baris fisika apa yang menetapkan angka rancangan $6$ BeV lebih sedikit itu.

Bagian IV — Penemuannya, 1955.

Sebuah magnet melenturkan tiap calonnya pada sebuah lingkaran: jelaskanlah mengapa hal ini memilih partikel menurut momentumnya ( $r = p/qB$ ), bukan menurut energi atau lajunya — dan mengapa berkas terpilih menurut momentum tetap mencampur berbagai jenis.
Berkas pada sasaran tembaga menghasilkan curahan pion negatif ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ) yang di antaranya bersembunyi beberapa antiproton. Spektrometernya memilih partikel negatif bermomentum $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ : hitunglah laju sebuah antiproton dan laju sebuah pion pada momentum itu.
Sepanjang lintasan terbang $12\,\mathrm{m}$ , hitunglah kedua waktu terbangnya: resolusi waktu sebesar apa yang dituntut penemuan itu?
Sidik kedua yang bebas memakai pencacah Cerenkov, yang hanya menyala di atas suatu ambang laju: partikel mana yang diatur agar menyalakannya, dan mengapa keberlebihan itu penting bagi sebuah penemuan?
Chamberlain dan Segrè menghitung sekitar satu antiproton tiap $44\,000$ pion: mengapa argumen ambangnya menjamin lajunya akan sangat kecil bahkan di atas ambang?
Sebuah antiproton akhirnya bertemu proton lalu saling memusnahkan: berapa energi yang dilepaskan tiap peristiwa, dan menjadi apa, lazimnya?
Ringkaslah hasil bernama itu: kekekalan momentum-empat menetapkan harga antiproton pada $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ di sasaran diam; sebuah sinkrotron $6.2\,\mathrm{GeV}$ berjejari $15\,\mathrm{m}$ membayarnya, dan antidunia menjadi fakta laboratorium — Hadiah Nobel 1959.

Solusi

Solusi Soal 5.1.

1. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$ . 2. $E_{\text{tot}}$ dan $\vect p_{\text{tot}}$ bertransformasi seperti $E$ dan $\vect p$ satu partikel (keduanya jumlahan), sehingga aljabar yang sama memberikan sebuah invarian; di tempat $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ ia menjadi kuadrat energi totalnya: $Mc^2 = E_{\text{CM}}$ . 3. $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$ . 4. $E \to m_{\text{p}}c^2$ memberikan $M = 2m_{\text{p}}$ ; $E \gg m_{\text{p}}c^2$ memberikan $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$ . 5. Gerak nisbi apa pun di antara hasilnya menambahkan energi kinetik dalam kerangka pusat momentum di atas massa diamnya; $Mc^2$ minimum — yakni ambangnya — membuat semuanya diam satu terhadap yang lain. 6. Momentum laboratorium $\vect p_{\text{tot}} \neq \vect 0$ harus bertahan melewati tumbukannya: hasilnya terhukum untuk bergerak, dan energi kinetiknya terkunci dari pembuatan massa. 7. $p + p \to p + p + p + \bar p$ : muatannya $+2 \to +2$ ; bilangan barionnya $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$ . Membuat $\bar p$ sendiri, atau dengan apa pun yang kurang dari satu barion tambahan penuh, melanggar salah satu dari keduanya. 8. Empat massa proton yang saling diam: $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ . 9. $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2$ : $E = 7m_{\text{p}}c^2$ , $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.63\,\mathrm{GeV}$ . 10. Massa diam barunya: $2m_{\text{p}}c^2$ dari $T = 6m_{\text{p}}c^2$ — sepertiganya; dua pertiga lainnya terbang terus sebagai energi kinetik hasilnya, yang dilindungi kekekalan momentum. 11. Secara berhadapan, $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) = 4m_{\text{p}}c^2$ : $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ tiap berkas — enam kali lebih kecil daripada berkas sasaran diam, dan dua belas kali lebih kecil dalam energi kinetik totalnya. 12. Berkas pada masa itu jauh terlalu renggang untuk bertumbukan satu sama lain secara berguna; sasaran padat menyediakan $10^{22}$ proton tiap sentimeter kubik. Harganya: $5.6\,\mathrm{GeV}$ alih-alih $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$ . 13. $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$ ; $pc = \sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$ . 14. $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — persis mesin sebagaimana dibangun. 15. $\beta = pc/E = 0.991$ ; orbitnya $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$ : $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$ . 16. Pada $10\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 0.145$ : $f = 0.46\,\mathrm{MHz}$ . Ketika energinya memanjat, lajunya (sehingga $f$ ) dan momentumnya (sehingga medan yang diperlukan pada jejari tetap) sama-sama berubah: medan dan frekuensi radionya harus naik bersama — yakni muslihat yang mendefinisikan sinkrotron. 17. $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ putaran; pada frekuensi rata-rata berskala megahertz, satu daur pemercepatannya berorde satu sampai dua sekon. 18. Ambang antiproton $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ , ditambah kelonggarannya: pembukuan soal ini secara harfiah adalah alasan pemilihan energi — dan nama — mesin itu. 19. $r = p/qB$ tidak memuat massa: magnetnya melenturkan momentum yang sama secara sama, partikel apa pun itu — sehingga berkas terpilihnya tetap mencampur pion, kaon dan (jarang) antiproton, semuanya pada $1.19\,\mathrm{GeV}/c$ . 20. $\bar p$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} = 1.51\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.79$ . $\pi^-$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.993$ . 21. $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$ ; $t_\pi = 40\,\mathrm{ns}$ : selisih $11\,\mathrm{ns}$ menuntut pewaktuan berskala nanosekon — yang tersedia, tepat pas, pada 1955. 22. Pencacahnya diatur agar menyala bagi pion yang cepat dan tetap gelap bagi antiproton yang lambat (veto kecepatan); dengan perbandingan $1$ berbanding $44000$ , hanya dua sidik yang saling bebas (waktu terbang dan ambang Cerenkov) yang dapat menyingkirkan kebetulan palsu. 23. Tepat di atas ambangnya hasilnya lahir hampir dalam keadaan saling diam: reaksinya nyaris tak mempunyai ruang fase, sedangkan produksi pion, yang jauh di atas ambangnya sendiri, melimpah — kelangkaannya dijamin oleh kinematika yang sama yang menetapkan harganya. 24. $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$ tiap pemusnahan, lazimnya menjadi segenggam pion yang meluruh lebih lanjut menjadi foton, muon dan neutrino. 25. Kekekalan momentum-empat menetapkan harga antiproton pada $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ di sasaran diam; Bevatron $6.2\,\mathrm{GeV}$ berjejari $15.1\,\mathrm{m}$ membayarnya; waktu terbang dan veto Cerenkov menemukan satu partikel antidunia tiap $44000$ penipu — dan Hadiah Nobel 1959 mengesahkan pembukuannya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium