Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

19Statistika Kuantum

Elektron hantaran tembaga adalah gas yang seribu kali lebih rapat daripada udara — namun elektronnya nyaris tak menambah apa pun pada kapasitas kalor tembaga, yakni skandal yang menghantui fisika klasik selama lima puluh tahun. Awan atom rubidium, yang didinginkan sampai seperseratus miliar kelvin, tiba-tiba runtuh menjadi satu keadaan kuantum tunggal setebal sepuluh ribu atom. Sebuah bintang mati bermassa Matahari dan berukuran Bumi menolak menyusut lebih jauh, yang ditahan oleh tak lain daripada asas pengecualian. Ketiganya adalah bab fisika yang sama: apa yang terjadi pada sebuah gas ketika $n\lambda_T^3 \sim 1$ dan rumus keterisian Bab 18 berpisah dari Boltzmann. Fermion membangun lautan — dingin, kaku, bertekanan; boson membangun kondensat — suka berkumpul, koheren, adiluncur. Di antara mayoritas diam laut Fermi dan gempuran kondensatnya terbentang sebagian besar fisika benda rapat dan suhu rendah masa kini, beserta nasib bintang.

19.1 Gas keterisian

Proposisi 19.1 (Permesinan gas kuantum)

Untuk partikel yang tak berinteraksi dalam sebuah kotak, jumlahan atas arasnya menjadi integral atas kerapatan keadaan Proposisi 7.5 (tiap keadaan spinnya, $g(\epsilon) = (V/4\pi^2)(2m/\hbar^2)^{3/2}\sqrt\epsilon$ ):

N = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\dd\epsilon , \qquad E = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\epsilon\, \dd\epsilon ,

dengan $\bar n$ sebagai keterisian Fermi–Dirac atau Bose–Einstein. Persamaan pertamanya menetapkan $\mu(T, n)$ ; yang kedua menyerahkan termodinamikanya. Dalam limit encer $n\lambda_T^3 \ll 1$ kedua statistikanya runtuh menjadi Boltzmann dan gas klasiknya kembali; rezim kuantumnya mulai ketika paket gelombangnya bersentuhan.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

19.2 Laut Fermi

Teorema 19.2 (Gas Fermi yang merosot)

Pada $T = 0$ , fermion mengisi tiap arasnya sampai ke energi Fermi

E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2n)^{2/3} \qquad (\text{spin } \tfrac12) ,

dengan energi rata-rata $\tfrac35 E_{\text{F}}$ tiap partikelnya dan tekanan kemerosotan

P = \frac25\,n\,E_{\text{F}} \;\propto\; n^{5/3} :

yakni sebuah tekanan pada nol mutlak, yang murni berasal kuantum — kekakuan gas elektron tiap logam dan penopang bintang mati. Pada $0 < T \ll T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ , hanya elektron dalam jarak $\sim k_{\text{B}}T$ dari permukaan laut Fermi ini yang dapat menanggapi apa pun: bagian $\sim T/T_{\text{F}}$ adalah kunci induk perilaku logam.

Bukti sebagian. Isilah $g(\epsilon)$ sampai ke $E_{\text{F}}$ : membalikkan $N = \int_0^{ E_{\text{F}}}g\,\dd\epsilon$ memberikan $E_{\text{F}}$ yang dinyatakan itu (Latihan 7.8); $\langle\epsilon \rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ lewat satu integral lagi. Tekanannya: memampatkan kotaknya menaikkan tiap arasnya sebagai $V^{-2/3}$ , sehingga $E \propto V^{-2/3}$ dan $P = -\partial E/\partial V = \tfrac23 E/V$ — dengan $E = \tfrac35 NE_{\text{F}}$ , diperoleh hukum yang dinyatakan itu. ∎

Laut Fermi pada T T_ F: keterisiannya adalah anak tangga yang sedikit dikaburkan. Elektron yang dalam tak dapat menghambur, menyerap atau menanggapi — tiap keadaan terjangkaunya sudah terambil; seluruh fisika logam terjadi dalam kulit termal yang tipis di permukaannya. — Laut Fermi pada $T \ll T_{\text{F}}$ : keterisiannya adalah anak tangga yang sedikit dikaburkan. Elektron yang dalam tak dapat menghambur, menyerap atau menanggapi — tiap keadaan terjangkaunya sudah terambil; seluruh fisika logam terjadi dalam kulit termal yang tipis di permukaannya.

Contoh 19.3 (Skandal kapasitas kalor, terselesaikan)

Secara klasik, satu elektron bebas tiap atom tembaga seharusnya menambahkan $\tfrac32 k_{\text{B}}$ pada kapasitas kalornya — yakni $50\%$ di atas Dulong–Petit. Terukur: kira-kira $1\%$ pada suhu ruang. Lautnya menjelaskan: dengan $T_{\text{F}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , hanya bagian $\sim T/T_{\text{F}} \approx 0.4\%$ elektronnya yang dapat tereksitasi secara termal, masing-masing sebesar $\sim k_{\text{B}}T$ :

C_{\text{el}} \approx \frac{\pi^2}{2}\, Nk_{\text{B}}\,\frac{T}{T_{\text{F}}}

(yakni koefisien Sommerfeld yang eksak; Latihan 19.12). Karena lurus dalam $T$ , ia terkubur di bawah $T^3$ kisinya pada suhu biasa tetapi menguasai di bawah beberapa kelvin — persis seperti yang ditemukan kalorimeter, sehingga terselesaikanlah dalam satu tebasan teka-teki elektron yang mengangkut arus tetapi bukan kapasitas kalor.

Contoh 19.4 (Bintang yang ditopang pengecualian)

Sebuah katai putih (Latihan 14.11) menyetimbangkan gravitasi terhadap tekanan kemerosotan elektron. Karena $P \propto n^{5/3}$ mengaku lebih cepat daripada tuntutan gravitasi ketika bintangnya menyusut, jejari kesetimbangan ada pada tiap massa yang sederhana — dengan penskalaan yang mengerikan $R \propto M^{-1/3}$ : katai yang lebih berat justru lebih kecil. Bila diperas lebih keras, elektronnya menjadi relativistik, hukum tekanannya melunak menjadi $n^{4/3}$ , dan kesetimbangannya gagal pada satu massa tunggal, yakni batas Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ (Soal 19.1) — di luar itu, keruntuhan menjadi bintang neutron: yakni laut Fermi neutron pada kerapatan inti, fisika yang sama pada kerapatan $10^{14}$ kali lipat.

19.3 Gempuran Bose

Teorema 19.5 (Kondensasi Bose–Einstein)

Untuk gas berisi $N$ boson yang kekal, keadaan tereksitasinya dapat menampung paling banyak $N_{\max}(T) = 2.612\,V/\lambda_T^3$ partikel (yakni integral $g\bar n_{\text{Bose}}$ pada langit-langitnya $\mu \to 0$ ). Di bawah suhu gentingnya

k_{\text{B}}T_{\text{c}} = \frac{2\pi\hbar^2}{m} \Big(\frac{n}{2.612}\Big)^{2/3} \quad\text{(setara dengan } n\lambda_{T_{\text{c}}}^3 = 2.612 \text{)} ,

kelebihannya tak punya tempat lain selain keadaan dasar tunggalnya: yakni populasi makroskopis

\frac{N_0}{N} = 1 - \Big(\frac{T}{T_{\text{c}}}\Big)^{3/2}

memampat menjadi satu keadaan kuantum — yakni materi yang berperilaku sebagai satu fungsi gelombang raksasa. Diramalkan Einstein pada 1925 dari statistika foton Bose; diwujudkan dalam rubidium encer pada 1995 pada $T_{\text{c}} \approx 100\,\mathrm{nK}$ (Nobel 2001), yang diumumkan oleh sebaran kecepatan dwipuncak yang khas: yakni awan termal dengan jarum kondensat berkecepatan nol yang menyembul dari pusatnya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Kiri: di bawah T_ c populasi keadaan dasarnya menjadi makroskopis. Kanan: tanda tangan tahun 1995 — setelah dilepaskan dan dicitrakan, awannya menunjukkan sebaran termal yang lebar dengan paku sempit berkecepatan nol: satu keadaan kuantum, kasat mata bagi sebuah kamera. — Kiri: di bawah $T_{\text{c}}$ populasi keadaan dasarnya menjadi makroskopis. Kanan: tanda tangan tahun 1995 — setelah dilepaskan dan dicitrakan, awannya menunjukkan sebaran termal yang lebar dengan paku sempit berkecepatan nol: satu keadaan kuantum, kasat mata bagi sebuah kamera.

Contoh 19.6 (Helium, sang adiluncur veteran)

Helium $^4$ He cair (bersifat boson) berubah pada $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ menjadi adiluncur: tanpa kekentalan menembus pipa kapiler terhalus, aliran selaput menaiki dinding wadahnya, gejala pancuran, dan peredaran yang terkuantumkan dalam satuan $h/m$ — yakni fase makroskopis sebuah kondensat yang sedang bekerja, yang tergeser dari ramalan gas idealnya ( $3.1\,\mathrm{K}$ untuk kerapatan helium) oleh interaksi tetapi tak salah lagi merupakan gejala yang sama. Helium $^3$ He yang bersifat fermion tak dapat memampat sendirian: atomnya harus berpasangan terlebih dahulu (seperti elektron sebuah adikonduktor, Bab 24) menjadi boson gabungan — dan keadiluncurannya pun tiba, tetapi pada $2.6\,\mathrm{mK}$ , seribu kali lebih dingin: dua isotop, satu pelajaran — statistika adalah takdir.

Metode 19.7 (Statistika mana, rezim mana)

(1) Hitunglah $n\lambda_T^3$ lebih dahulu: $\ll1$ berarti Boltzmann dan bab 17 sudah memadai. (2) Fermion yang merosot: berpikirlah dalam $E_{\text{F}}$ dan $T/T_{\text{F}}$ ; tanggapannya (kapasitas kalor, kerentanan, hamburan) membawa faktor $T/T_{\text{F}}$ atau hanya mencuplik permukaan Ferminya. (3) Boson yang merosot: bandingkanlah $T$ dengan $T_{\text{c}}$ ; di bawahnya, belahlah gasnya menjadi kondensat ditambah awan termal. (4) Tekanan: kekakuan fermionik $n^{5/3}$ (atau $n^{4/3}$ relativistik) melawan apa pun yang memerasnya. (5) Partikel gabungan: cacahlah fermion penyusunnya untuk memilih statistikanya — dan ingatlah bahwa pemasangan dapat mengubah statistika yang satu menjadi yang lain.

Sebuah adikonduktor yang menahan garis medan sebuah magnet: di bawah suhu genting, fluida elektronnya memampat menjadi satu keadaan kuantum makroskopis — yakni fisika kemerosotan, yang menahan sebuah cakram di udara.

19.4 Latihan

Latihan 19.1 ★

Hitunglah $E_{\text{F}}$ dan $T_{\text{F}}$ untuk (a) tembaga ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (b) natrium ( $2.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (c) $^3$ He cair ( $1.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 3u$ ); (d) urutkanlah terhadap suhu ruang lalu berilah ulasan tentang siapa merosot kapan.

Solusi

Solusi Latihan 19.1.

(a) $7.1\,\mathrm{eV}$ , $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (b) $3.2\,\mathrm{eV}$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (c) Dengan $m = 3u$ : $E_{\text{F}} \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ , $T_{\text{F}} \approx 5\,\mathrm{K}$ (yakni nilai gas idealnya; interaksinya menurunkannya). (d) Elektron logam: merosot pada tiap suhu di Bumi; $^3$ He: hanya di bawah beberapa kelvin; $T = 300\,\mathrm{K}$ tak pernah menyentuh skala Fermi sebuah logam.

Latihan 19.2 ★

(a) Tunjukkanlah $\langle\epsilon\rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ pada $T = 0$ . (b) Hitunglah laju akar rata-rata kuadrat elektron dalam tembaga. (c) Laju itu secara klasik bersesuaian dengan suhu berapa? (d) Mengapa logam yang dingin memuat elektron yang bergerak seperseratus laju cahaya tanpa memancarkan energi itu keluar?

Solusi

Solusi Latihan 19.2.

(a) $\int_0^{E_{\text{F}}}\epsilon\,g\,\dd\epsilon/\int g\,\dd \epsilon = \tfrac35 E_{\text{F}}$ dari $g \propto \sqrt\epsilon$ . (b) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; akar rata-rata kuadratnya $\sqrt{3/5}\,v_{\text{F}} \approx 1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\tfrac32 k_{\text{B}}T = \tfrac35 E_{\text{F}}$ : $T \approx 3.3 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (d) Tak ada tempat untuk pergi: tiap keadaan yang lebih rendah sudah terisi, sehingga tak ada foton yang dapat dipancarkan dan tak ada tumbukan yang dapat memperlambatnya — laju tanpa kalor, berkat pengecualian.

Latihan 19.3 ★

Tekanan kemerosotan elektron tembaga: (a) hitunglah $P = \tfrac25 nE_{\text{F}}$ dalam pascal dan atmosfer. (b) Mengapa logamnya tidak meledak (apa yang menarik balik)? (c) Tekanan ini melawan pemampatan: kaitkanlah dengan rendahnya kemampatan logam. (d) Perkirakanlah modulus limbaknya $K \sim \tfrac53 P$ lalu bandingkanlah dengan nilai terukur tembaga $140\,\mathrm{GPa}$ .

Solusi

Solusi Latihan 19.3.

(a) $P = 0.4 \times 8.5 \times 10^{28} \times 7.1\,\mathrm{eV} = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa} \approx 4 \times 10^{5}$ atmosfer. (b) Tarikan Coulomb kisi ionnya: logamnya adalah gencatan senjata antara keduanya (Latihan 19.11). (c) Pemampatan menaikkan $E_{\text{F}}$ secara curam ( $n^{2/3}$ ): logam melawan. (d) $K \sim \tfrac53 P \approx 65\,\mathrm{GPa}$ berbanding nilai terukurnya $140\,\mathrm{GPa}$ : separuh kekakuan tembaga adalah pengecualian murni.

Latihan 19.4 ★

Ambang BEC. (a) Hitunglah $T_{\text{c}}$ untuk rubidium-87 ( $m = 1.44 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ) pada $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (b) Untuk $n$ yang sama, $T_{\text{c}}$ berapa yang akan dimiliki atom hidrogen? (c) Mengapa percobaan memakai gas encer pada nanokelvin dan bukan gas rapat pada milikelvin (apa yang terjadi secara kimiawi pada kerapatan tinggi dan suhu rendah)? (d) Periksalah aturan ketaatasasan $n\lambda_{T_c}^3 = 2.612$ pada bilangan rubidium Anda.

Solusi

Solusi Latihan 19.4.

(a) $T_{\text{c}} \approx 0.4\,\text{µ}\mathrm{K}$ — kondensat JILA muncul pada $170\,\mathrm{nK}$ : fisika yang sama, dengan kerapatan puncak yang sedikit lebih rendah. (b) $T_{\text{c}} \propto 1/m$ : $\times87 \approx 35\,\text{µ}\mathrm{K}$ . (c) Pada kerapatan tinggi dan dingin sedemikian, tiap gas kecuali hidrogen yang terkutub spinnya memadat; tumbukan tiga benda membuat molekul. Kiatnya adalah gas encer yang lengai dan cukup dingin sehingga $\lambda_T$ mengimbangi keencerannya. (d) $\lambda_{T_{\text{c}}} = h/\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T_{\text{c}}} \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $n\lambda^3 = 10^{20} \times 2.7 \times 10^{-20} \approx 2.7$ , sebagaimana dituntut aturannya.

Latihan 19.5 ★★

Dua kapasitas kalor. Dalam sebuah logam, $C = \gamma T + \beta T^3$ (elektronnya; kisinya). (a) Dengan memakai Contoh 19.3 dan suku kisi bergaya Debye $\beta T^3 = 234\,Nk_{\text{B}}(T/\theta_{\text{D}})^3$ , perkirakanlah suhu perpindahannya untuk tembaga ( $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ , $T_{\text{F}} = 8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (b) Pada $300\,\mathrm{K}$ , berapa bagian elektronnya dalam persen. (c) Pada $0.1\,\mathrm{K}$ ? (d) Mengapa para pelaku percobaan memplot $C/T$ terhadap $T^2$ , dan apa yang diserahkan oleh titik potong serta kemiringan garis lurus itu?

Solusi

Solusi Latihan 19.5.

(a) $\gamma T = \beta T^3$ pada $T^2 = \gamma/\beta$ : untuk tembaga $T \approx 3\,\mathrm{K}$ . (b) $C_{\text{el}}/C \approx (\pi^2/2)(300/8.2 \times 10^{4})/3 \approx 0.6\%$ . (c) Pada $0.1\,\mathrm{K}$ suku kisinya sudah runtuh sebagai $T^3$ : elektronnya mengangkut $\sim10^3$ kali lebih banyak — kalorimetri menjadi spektroskopi elektron. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ adalah garis lurus dalam $T^2$ : titik potong $\gamma$ mengukur kerapatan keadaan pada aras Ferminya, kemiringan $\beta$ mengukur suhu Debyenya — dua bilangan tiap logamnya dari satu plot.

Latihan 19.6 ★★

Sebuah katai putih bermassa satu matahari ( $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) dan berjejari Bumi ( $R = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ), dengan satu elektron tiap dua nukleonnya. (a) Hitunglah $n_{\text{e}}$ dan $E_{\text{F}}$ (dengan rumus taknisbian). (b) Bandingkanlah $E_{\text{F}}$ dengan $m_{\text{e}}c^2$ dan dengan $k_{\text{B}}T$ pada $10^{7}\,\mathrm{K}$ bagian dalamnya: benarkanlah sebutan “dingin” dan “nyaris relativistik” sekaligus. (c) Bandingkanlah tekanan kemerosotannya $\tfrac25 nE_{\text{F}}$ dengan perkiraan tekanan gravitasinya $\sim GM^2/R^4$ : seorde? (d) Apa yang terjadi secara kualitatif pada tiap sisi kesetimbangannya jika $M$ tumbuh?

Solusi

Solusi Latihan 19.6.

(a) $N_{\text{e}} = M/2m_{\text{n}} = 6 \times 10^{56}$ ; $n = 5.5 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $E_{\text{F}} \approx 0.24\,\mathrm{MeV}$ . (b) Separuh energi diam elektronnya (yakni tepi rezim relativistiknya), namun tiga ratus kali $k_{\text{B}}T$ ( $0.9\,\mathrm{keV}$ ): membara putih dan dingin secara kuantum sekaligus. (c) $P_{\text{deg}} \approx 9 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}$ berbanding $GM^2/R^4 \sim 10^{22}\,\mathrm{Pa}$ : seorde — bintangnya persis kesetimbangan ini. (d) Massa yang lebih besar: sisi gravitasinya tumbuh sebagai $M^2$ , dan bintangnya harus menyusut ( $R \propto M^{-1/3}$ ), lalu menyeret $E_{\text{F}}$ menuju pelunakan relativistiknya.

Latihan 19.7 ★★

Materi neutron. Sebuah bintang neutron memampatkan $M = 1.4\,M_\odot$ ke dalam $R \approx 11\,\mathrm{km}$ . (a) Hitunglah kerapatan neutronnya lalu bandingkanlah dengan kerapatan inti ( $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (b) Hitunglah $E_{\text{F}}$ untuk neutronnya (secara taknisbian; $m_{\text{n}}c^2 = 939\,\mathrm{MeV}$ ) lalu periksalah seberapa relativistik mereka. (c) Mengapa elektron bintangnya lenyap (peluruhan beta terbalik: $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ — apa yang membuat $E_{\text{F}}$ elektronnya membayarnya)? (d) Satu sendok teh materi ini seberat apa?

Solusi

Solusi Latihan 19.7.

(a) $\rho \approx 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : kira-kira dua kali kerapatan inti — yakni sebuah inti seukuran kota. (b) $n_{\text{n}} \approx 3 \times 10^{44}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $E_{\text{F}} \approx 90\,\mathrm{MeV}$ , yakni sepersepuluh $m_{\text{n}}c^2$ : kenisbian sedang mengetuk. (c) Energi Fermi elektronnya menaik melewati ongkos $0.78\,\mathrm{MeV}$ bagi $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ : penangkapannya menjadi menguntungkan, lalu bintangnya menukarkan elektron dan protonnya dengan neutron. (d) $5\,\mathrm{cm}^{3} \times 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ : satu sendok teh yang lebih berat daripada pegunungan.

Latihan 19.8 ★★

Boson tanpa cacah. (a) Foton selalu memiliki $\mu = 0$ : mengapa mereka tak dapat mengalami pemampatan Teorema 19.5 (apa yang dilakukan gasnya sebagai gantinya ketika didinginkan)? (b) Hukum kekekalan mana yang dimiliki atom rubidium tetapi tak dimiliki foton? (c) Pada 2010 sebuah BEC foton berhasil dibuat, dalam rongga berisi zat warna tempat fotonnya menermalkan diri dan cacahnya praktis tetap: bahan mana yang dipulihkan oleh rongga zat warna itu? (d) Fonon dalam sebuah kristal: memampat atau tidak, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 19.8.

(a) Mendinginkan sebuah rongga sekadar menyingkirkan fotonnya (dindingnya menyerapnya): tanpa cacah yang harus kekal, $\mu$ tetap terpancang pada nol dan tak pernah ada kelebihan yang menumpuk ke dalam ragam dasarnya — gasnya meredup dan bukan memampat. (b) Cacah atomnya kekal pada tiap skala waktu laboratorium. (c) Zat warnanya berulang kali menyerap lalu memancarkan kembali fotonnya tanpa kehilangan fotonnya pada skala waktu penermalannya: yakni cacah foton yang praktis kekal (dan massa efektif dari rongganya) — lalu pemampatannya pun muncul. (d) Fonon: tercipta dan termusnah dengan bebas, $\mu = 0$ : tanpa pemampatan — “gas fonon” sebuah kristal sekadar membeku.

Latihan 19.9 ★★

Dua isotop helium. (a) Hitunglah $T_{\text{c}}$ gas idealnya untuk $^4$ He cair ( $n = 2.2 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 4u$ ) lalu bandingkanlah dengan $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (b) Mengapa kesesuaiannya hanya kasar (apa yang diabaikan “ideal” dalam sebuah cairan)? (c) $^3$ He pada kerapatan yang nyaris sama tetap normal sampai ke milikelvin: nyatakanlah rintangannya beserta jalan keluar yang ditemukan alam. (d) Pemeriksaan penalaran gabungan: sebuah pasangan $^3$ He memuat cacah fermion yang genap — boson; $^6$ Li menahan $3\text{p} + 3\text{n} + 3\text{e} = 9$ fermion: golongkanlah ia, lalu sebutkanlah percobaan gas dingin termasyhur yang memanfaatkan persis pertentangan Li–Li ini.

Solusi

Solusi Latihan 19.9.

(a) $T_{\text{c}}^{\text{ideal}} \approx 3.1\,\mathrm{K}$ berbanding nilai terukurnya $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (b) Helium cair itu rapat dan berinteraksi kuat: “ideal” membuang interaksi yang menggeser (dan membentuk ulang) peralihannya. (c) Atom $^3$ He bersifat fermion: tanpa pemampatan tanpa pemasangan; interaksi yang menarik mengikat pasangan bergaya Cooper hanya di bawah $2.6\,\mathrm{mK}$ , lalu cairan berpasangan itu mengalir adiluncur. (d) Sembilan fermion: $^6$ Li adalah fermion (sedangkan $^7$ Li adalah boson) — pasangan isotop litium ini memungkinkan satu laboratorium mempelajari laut Fermi dan sebuah kondensat dalam satu oven.

Latihan 19.10 ★★★

$T_{\text{c}}$ secara jujur. (a) Tuliskanlah $N_{\text{exc}} = \int_0^\infty g(\epsilon)\dd\epsilon/(\eu^{\beta\epsilon} - 1)$ pada $\mu = 0$ lalu susutkanlah, dengan $x = \beta\epsilon$ , menjadi $N_{\text{exc}} = (V/\lambda_T^3)\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x\,\dd x}{\eu^x - 1}$ . (b) Dengan diberikan $\int_0^\infty\sqrt x\,\dd x/( \eu^x - 1) = 2.612\,\sqrt\pi/2$ , perolehlah langit-langitnya dan $T_{\text{c}}$ . (c) Turunkanlah bagian kondensatnya $1 - (T/T_{\text{c}})^{3/2}$ . (d) Mengapa penalaran yang sama menghasilkan tanpa pemampatan dalam kotak berdimensi dua (bagaimana $g( \epsilon)$ berubah, dan apa yang terjadi pada penyatuan integralnya)?

Solusi

Solusi Latihan 19.10.

(a) Gantikanlah $g \propto \sqrt\epsilon$ lalu keluarkanlah $\beta$ lewat penskalaan. (b) Nilai integralnya memberikan $N_{\text{exc}} = 2.612\,V/\lambda_T^3$ ; menetapkan $N_{\text{exc}} = N$ mendefinisikan $T_{\text{c}}$ . (c) Di bawah $T_{\text{c}}$ , $N_{\text{exc}}(T) = N(T/T_{\text{c}})^{3/2}$ ; sisanya adalah $N_0$ . (d) Dalam dua dimensi $g(\epsilon)$ bersifat tetap dan $\int\dd\epsilon/(\eu^{ \beta\epsilon} - 1)$ menyebar di dasarnya: keadaan tereksitasinya selalu dapat menyerap semuanya — tanpa populasi keadaan dasar yang makroskopis pada $T > 0$ mana pun.

Latihan 19.11 ★★★

Mengapa logam bertahan bersama. Modelkanlah sebuah logam sebagai elektron berkerapatan $n$ (dengan ongkos energi Fermi $\propto n^{2/3}$ tiap elektronnya) yang tertarik ke latar ion penetral (dengan perolehan Coulomb tiap elektronnya $\sim -e^2n^{1/3}/4\pi\varepsilon_0$ ). (a) Tuliskanlah energi tiap elektronnya $\epsilon(n) = An^{2/3} - Bn^{1/3}$ lalu tunjukkanlah bahwa ia memiliki minimum. (b) Tunjukkanlah bahwa jarak elektron kesetimbangannya berorde $a_0$ — kerapatan logam bukanlah kebetulan. (c) Perkirakanlah skala energi kelekatannya pada minimumnya, dalam eV. (d) Peran apa yang dimainkan tekanan kemerosotan dalam keadaan terikat ini (apa yang menghentikan keruntuhan Coulombnya)?

Solusi

Solusi Latihan 19.11.

(a) $\dd\epsilon/\dd n = \tfrac23 An^{-1/3} - \tfrac13 Bn^{-2/3} = 0$ pada $n^{1/3} = B/2A$ : yakni minimum yang sejati. (b) Dengan $A \sim \hbar^2/m_{\text{e}}$ dan $B \sim e^2/4\pi\varepsilon_0$ , jarak kesetimbangannya $n^{-1/3} \sim \hbar^2 4\pi\varepsilon_0/ m_{\text{e}}e^2 = a_0$ : logam bersifat rapat karena jejari Bohr mengatakannya demikian. (c) $\epsilon_{\min} \sim -B^2/A \sim -E_{\text{I}}$ — yakni kelekatan berorde elektronvolt, sebagaimana terukur. (d) Tekanan kemerosotan adalah separuh penolak dalam gencatan senjata itu: tanpanya suku Coulombnya akan meremukkan kisinya menjadi satu titik — limbak materi adalah milik Pauli.

Latihan 19.12 ★★★

Kulit Sommerfeld, secara kuantitatif. (a) Berargumenlah: dari $N$ elektron, hanya $\sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ yang duduk dalam kulit aktifnya, masing-masing menahan energi tambahan $\sim k_{\text{B}}T$ : turunkanlah $C_{\text{el}} \sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}^2T$ sampai sebuah tetapan. (b) Dengan $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ , perolehlah kembali $C_{\text{el}} \sim Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ (tetapan eksaknya adalah $\pi^2/2$ ). (c) Penalaran kulit yang sama memberikan kerentanan spin Pauli yang tak bergantung suhu: hanya elektron kulitnya yang dapat berbalik — tetapi kulitnya tumbuh sebagai $T$ sedangkan tiap sumbangannya turun sebagai $1/T$ : tunjukkanlah peniadaannya. (d) Nyatakanlah pelajaran umumnya bagi fermion yang merosot: tiap tanggapannya adalah tanggapan klasiknya dikalikan $\sim T/T_{\text{F}}$ atau padanan hanya-permukaannya.

Solusi

Solusi Latihan 19.12.

(a) Elektron aktifnya: $g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ; energi masing-masing: $\sim k_{\text{B}}T$ ; lalu turunkanlah $E_{\text{tambahan}} \sim g k_{\text{B}}^2T^2$ . (b) $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ memberikan $C \sim 3Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ — nilai eksaknya $\pi^2/2$ menggantikan 3. (c) Spin yang dapat berbalik $\propto T$ ; tiap spinnya menyumbang penyearahan $\propto \mu^2B/k_{\text{B}}T$ : $T$ -nya saling meniadakan — kerentanan Pauli bersifat datar sedangkan kerentanan Curie (Latihan 17.11) turun sebagai $1/T$ : yakni tanda pengenal kemerosotan. (d) Fermion yang merosot hanya menanggapi di permukaannya: kalikanlah jawaban klasik mana pun dengan $\sim T/T_{\text{F}}$ , atau batasilah ia pada kulit Ferminya.

Kondensat Bose–Einstein yang pertama (NIST/JILA, 1995, ranah publik): sebaran kecepatan atom rubidium ketika gasnya mendingin dari kiri ke kanan — bukit termalnya runtuh menjadi paku kondensat, tujuh puluh tahun setelah ramalannya.

19.5 Soal: Katai putih terberat yang mungkin

Soal 19.1

Soal akhir pekan — batas Chandrasekhar, dan lilin yang dinyalakannya

Pada 1930, dalam usia sembilan belas tahun, Subrahmanyan Chandrasekhar menghitung di atas kapal menuju Inggris bahwa kemerosotan elektron hanya dapat menopang bintang mati sampai suatu massa tertentu. Hasilnya — yang ditolak keras oleh Eddington — mendasari bintang neutron, lubang hitam dan “lilin baku” supernova yang menyingkapkan alam semesta yang memecut. Soal ini membangunnya lewat penskalaan. Data: $M_\odot = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; satu elektron tiap $\mu_e = 2$ nukleon; $m_{\text{ n}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ; $\hbar c = 3.16 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ ; $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ .

Bagian I — Kesetimbangan dua energi. Untuk bintang bermassa $M$ dan berjejari $R$ , tanganilah energi tiap satuan massanya lewat penskalaan.

Energi gravitasinya: $E_{\text{g}} \sim -GM^2/R$ — ingatlah kembali asal-usulnya.
Cacah elektronnya $N_{\text{e}} = M/\mu_e m_{\text{n}}$ dan kerapatannya $n \sim N_{\text{e}}/R^3$ : tuliskanlah skala energi Fermi taknisbiannya sebagai fungsi $M$ dan $R$ .
Tunjukkanlah bahwa energi kinetik (kemerosotan) totalnya berskala sebagai $E_{\text{k}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}} R^2$ .
Minimumkanlah $E_{\text{k}} + E_{\text{g}}$ terhadap $R$ lalu tunjukkanlah bahwa jejari kesetimbangannya adalah $R \sim \hbar^2 N_{\text{e}}^{-1/3}/(G\,m_{\text{e}}\, m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ .
Bacalah penskalaannya $R \propto M^{-1/3}$ : katai yang lebih berat justru lebih kecil. Mengapa hal itu sudah berbau masalah?
Hitunglah $R$ untuk $M = 1\,M_\odot$ lalu bandingkanlah dengan nilai terukur Sirius B $\approx5800\,\mathrm{km}$ .

Bagian II — Kenisbian menarik lantainya pergi.

Ketika $R$ menyusut, $E_{\text{F}}$ tumbuh: perkirakanlah kerapatan tempat $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ , beserta daerah massa katai yang bersesuaian.
Dalam rezim ultrarelativistiknya, energi tiap elektronnya adalah $\sim\hbar c\,n^{1/3}$ : tunjukkanlah bahwa energi kinetiknya menjadi $E_{\text{k}} \sim \hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3}/R$ .
Kedua energinya kini berskala sebagai $1/R$ : simpulkanlah bahwa kesetimbangannya tak lagi memilih sebuah jejari — bandingkanlah kedua koefisiennya sebagai gantinya.
Dengan menetapkan $\hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3} \sim GM^2 = G(\mu_em_{\text{n}}N_{\text{e}})^2$ , turunkanlah cacah elektron gentingnya beserta massanya

$M_{\text{Ch}} \sim \Big(\frac{\hbar c}{G\,m_{\text{n}}^2}\Big)^{3/2} \frac{m_{\text{n}}}{\mu_e^2} .$
Hitunglah nisbah tak berdimensi $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2$ — salah satu bilangan murni terbesar dalam fisika — lalu $M_{\text{Ch}}$ dalam massa matahari (penanganan eksaknya memberikan $1.4\,M_\odot$ ).
Tafsirkanlah rumusnya: tiga tetapan mana yang bersekongkol, dan mengapa sebuah batas kuantum pada sebuah bintang membawa $\hbar$ ?

Bagian III — Melampaui batasnya.

Sebuah katai yang didorong melewati $M_{\text{Ch}}$ (lewat pengumpulan massa dari pasangannya): apa yang menopangnya kemudian, dan pada skala jejari berapa (gantilah $m_{\text{e}}$ dengan $m_{\text{n}}$ dan $\mu_e$ dengan 1 dalam jejari Bagian I)?
Tunjukkanlah bahwa batas relativistik bintang neutronnya sendiri seorde dengan $M_{\text{Ch}}$ — alam hanya mengizinkan keringanan sebesar dua kali lipat (maksimum teramati $\approx 2.2\,M_\odot$ ). Apa yang menanti di baliknya?
Selama keruntuhan menjadi bintang neutron, energi gravitasi sebesar $\sim GM^2/R_{ \text{ns}}$ terlepas: hitunglah untuk $M = 1.4\,M_\odot$ , $R = 11\,\mathrm{km}$ , lalu bandingkanlah dengan seluruh keluaran Matahari selama $10\,\mathrm{Gyr}$ ( $\sim1.2 \times 10^{44}\,\mathrm{J}$ ).
Hampir seluruhnya pergi sebagai neutrino dalam hitungan detik: pengamatan tahun 1987 mana yang membenarkan gambaran ini secara menakjubkan?
Pantulan teras yang runtuh beserta dorongan neutrinonya meniup pergi selubungnya: yakni supernova keruntuhan teras. Bedakanlah ia, masing-masing dalam satu kalimat, dari supernova termonuklir (jenis Ia) sebuah katai putih yang menyala pada ambang Chandrasekhar.
Mengapa peledakan pada satu massa yang semesta membuat supernova jenis Ia nyaris seragam — sehingga dapat dipakai sebagai lilin baku?

Bagian IV — Lilin dan kosmosnya.

Kecerlangan tampak sebuah lilin baku memberikan jaraknya: nyatakanlah penalaran kuadrat terbaliknya dan mengapa baku adalah kata kuncinya.
Pada 1998 dua tim menemukan supernova jenis Ia yang jauh lebih redup daripada yang diharapkan: nyatakanlah simpulannya (pemuaian yang memecut — energi gelap) dan mengapa keterandalan lilinnya menjadi pokok perkaranya.
Daftarkanlah rantai soal ini dalam satu baris: Pauli $\to$ tekanan kemerosotan $\to$ $M_{\text{Ch}}$ $\to$ ledakan yang seragam $\to$ pemecutan kosmik.
Eddington mengejek hasilnya (“sebuah bintang yang melakukan kemustahilan”); Chandrasekhar menerima Hadiah Nobel lima puluh tiga tahun kemudian: apa yang diajarkan babak itu tentang mengikuti persamaan melewati kesimpulan yang nyaman?
Spektrum Sirius B pada 1915 mengisyaratkan satu ton tiap sentimeter kubik — “omong kosong” sampai Fowler, dalam hitungan bulan setelah statistika Fermi tahun 1926, menjelaskan bintangnya sebagai gas yang merosot: nyatakanlah mengapa teka-tekinya tak terpecahkan pada satu tahun lalu menjadi biasa pada tahun berikutnya.
Survei atas ribuan katai putih menemukan massa yang bergerombol di dekat $0.6\,M_\odot$ tanpa satu pun di atas $\approx1.4\,M_\odot$ : dua ramalan soal ini yang mana yang dibenarkan oleh satu histogram itu?
Ringkaslah hasil bernama itu: $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{ 3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ — yakni tiga tetapan alam yang menetapkan katai putih terberat yang mungkin, yaitu massa pemicu ledakan alam semesta yang terkalibrasi.

Solusi

Solusi Soal 19.1.

1. Energi yang terlepas ketika bintangnya dirakit dari materi yang tersebar — bernilai negatif, dan makin dalam untuk yang makin ringkas. 2. $E_{\text{F}} \sim (\hbar^2/m_{\text{e}}) (N_{\text{e}}/R^3)^{2/3}$ . 3. $E_{\text{k}} \sim N_{\text{e}}E_{\text{F}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}}R^2$ . 4. Meminimumkan $A/R^2 - B/R$ memberikan $R = 2A/B$ : $R \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{-1/3}/(Gm_{\text{e}}m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ . 5. $N_{\text{e}} \propto M$ : $R \propto M^{-1/3}$ — menambahkan massa justru menyusutkan bintangnya, sehingga kerapatan dan $E_{\text{F}}$ tumbuh tanpa batas: penopang taknisbiannya hidup dari utang. 6. $N_{\text{e}} = 6 \times 10^{56}$ : $R \sim 2000\,\mathrm{km}$ — orde yang tepat di samping $5800\,\mathrm{km}$ Sirius B (penskalaan kami membuang faktor berorde beberapa satuan). 7. $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ pada $n \sim (m_{\text{e}}c/\hbar)^3 \approx 2 \times 10^{37}\,\mathrm{m}^{-3}$ , yakni $\rho \sim 10^{10}$ – $10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : yakni rezim katai terberat. 8. Tiap elektronnya: $\epsilon \sim \hbar c\,n^{1/3}$ ; seluruhnya: $\hbar cN_{\text{e}}^{4/3}/R$ . 9. Dengan kedua sukunya $\propto 1/R$ , jejarinya lenyap: kemantapannya ditentukan oleh apakah koefisien kinetiknya melampaui koefisien gravitasinya — yakni kriteria massa yang murni. 10. Samakanlah: $N_{\text{e,c}} \sim (\hbar c/ Gm_{\text{n}}^2\mu_e^2)^{3/2}$ , dan $M_{\text{Ch}} = \mu_em_{\text{n}}N_{\text{e,c}}$ : diperoleh rumus yang dinyatakan itu. 11. $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2 = 1.7 \times 10^{38}$ ; $M_{\text{Ch}} \sim (1.7 \times 10^{38})^{3/2}m_{\text{n}}/4 \approx 9 \times 10^{29}\,\mathrm{kg} \approx 0.5\,M_\odot$ — perhitungan eksaknya menajamkan orde besarnya menjadi $1.4\,M_\odot$ . 12. $\hbar$ (tekanannya bersifat kuantum), $c$ (yakni pelunakan relativistiknya), $G$ (yakni lawannya): sebuah bilangan seukuran bintang yang dibangun dari tiga tetapan mikroskopis — yakni mekanika kuantum yang membuat undang-undang bagi benda berisi $10^{57}$ partikel. 13. Kemerosotan neutron, pada jejari yang lebih kecil sebesar $\sim m_{\text{e}}/m_{\text{n}}$ (dikalikan pembukuan $\mu_e$ -nya): yakni kilometer — inilah bintang neutron. 14. Ketiga tetapan yang sama dengan $m_{\text{n}}$ di mana-mana memberikan skala massa yang sama: bintang neutron berhenti di dekat $2\,M_\odot$ ; di baliknya, tak ada hukum tekanan yang menang — yakni lubang hitam. 15. $GM^2/R \approx 5 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ : beberapa ratus kali seluruh keluaran Matahari selama sepuluh miliar tahun, yang terlepas dalam hitungan detik. 16. Supernova 1987A: dua lusin neutrino, yang tiba beberapa jam sebelum cahayanya memijar, membawa persis energi yang diramalkan — yakni keruntuhan yang terdengar langsung. 17. Keruntuhan teras: teras besi sebuah bintang masif meledak ke dalam melewati tiap lantai tekanannya; selubungnya tertiup pergi. Jenis Ia: sebuah katai putih yang disuapi sampai ambangnya menyalakan karbonnya dalam kilatan termonuklir yang melepas ikatan seluruh bintangnya. 18. Massa pemicu yang sama, bahan bakar yang sama, pelepasan energi yang sama: kurva cahaya yang nyaris seragam — yakni bom yang terkalibrasi. 19. Dengan mengetahui kecerlangan mutlaknya, kecerlangan teramatinya memberikan jaraknya lewat kuadrat terbalik; tanpa sifat “baku” tangganya runtuh. 20. Terlalu redup berarti terlalu jauh: pemuaiannya ternyata sedang memecut — yakni energi gelap, yang buktinya bersandar pada keseragaman lilinnya (karena itulah fisikanya diurus dengan hati-hati). 21. Asas pengecualian $\to$ tekanan kemerosotan $\to$ sebuah massa batas yang semesta $\to$ ledakan yang dibakukan $\to$ pemecutan alam semesta yang terukur. 22. Ikutilah matematikanya ke mana pun ia menuju: perilaku “mustahil” bintang di balik batasnya ternyata adalah bintang neutron dan lubang hitam — keduanya kini terkatalog ribuan. 23. Pada 1915 tak ada fisika yang dikenal mengizinkan materi satu ton tiap sentimeter kubik; pada 1926 statistika Fermi–Dirac menjadikannya keadaan baku tiap gas yang dingin dan rapat: pengamatannya menunggu statistikanya, bukan sebaliknya. 24. Bahwa katai berada secara mantap sepanjang suatu rentang massa (yakni cabang $R(M)$ -nya), dan bahwa cabang itu berakhir pada $1.4\,M_\odot$ : keduanya tergambar dalam histogram itu. 25. $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ : tiga tetapan menetapkan katai putih terberat — sehingga menetapkan pula massa pemicu lilin baku yang menimbang nasib alam semesta.