Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

21Peralihan Fase

Panaskanlah air satu derajat, dan tak banyak yang terjadi — sampai, pada satu suhu yang tertakrif tajam, cairannya mencabik dirinya menjadi uap. Dinginkanlah besi menembus $1043\,\mathrm{K}$ dan, tanpa perubahan susunan apa pun, ia memagnet secara spontan. Tak ada apa pun dalam satu molekul atau satu spin yang mengumumkan revolusi ini: semuanya bersifat kolektif — $10^{23}$ pelaku, masing-masing berinteraksi dengan beberapa tetangga, bersekongkol mengubah fase masyarakatnya sekaligus. Jilid Tahun 1 mengkatalogkan peralihannya; bab ini menjelaskan mekanismenya dengan perkakas lima bab terakhir: persaingan energi bebas, parameter keteraturan, pematahan kesetangkupan, dan penemuan menakjubkan bahwa di dekat titik genting rincian mikroskopisnya berhenti berarti — sebuah magnet dan sebuah fluida yang mendidih berbagi eksponen genting yang sama. Gagasan bab ini kini berjalan dari panci presto sampai ke adikonduktor sampai ke medan Higgs Bab 26.

21.1 Parameter keteraturan dan persaingan energi bebas

Definisi 21.1 (Fase dan parameter keteraturan)

Sebuah peralihan fase adalah perubahan tak mulus pada keadaan kesetimbangan sebuah sistem ketika parameter kendalinya ( $T$ , $P$ , $B$ ) melintasi sebuah batas. Pembukunya adalah parameter keteraturan: yakni besaran yang nol dalam fase yang tak teratur dan tak nol dalam fase yang teratur — yaitu magnetisasi $m$ sebuah feromagnet, selisih kerapatan $\rho_{\text{cair}} - \rho_{\text{gas}}$ sebuah fluida, bagian kondensat Bab 19. Peralihan datang dalam dua jenis: orde pertama (parameter keteraturannya melompat; ada kalor laten; fasenya berada bersama — pendidihan, peleburan) dan sinambung (parameter keteraturannya tumbuh dari nol; tanpa kalor laten; dengan fluktuasi yang liar — titik Curie, titik genting, helium adiluncur). Ketika keadaan yang teratur harus memilih di antara pilihan yang setara — kutub utara sebuah magnet harus menunjuk ke suatu arah — peralihannya mematahkan sebuah kesetangkupan yang dihormati hukum yang mendasarinya: yakni tema yang akan kembali, dengan taruhan tertinggi, bersama mekanisme Higgs. Mesin di balik tiap perkaranya adalah energi bebas $F = E - TS$ (Proposisi 17.2): energi menyukai keteraturan, entropi menyukai ketakteraturan, dan $T$ menetapkan nilai tukarnya — batas fase adalah tempat buku besarnya seri.

21.2 Peralihan cair–gas: van der Waals

Proposisi 21.2 (Isoterm van der Waals)

Persamaan gas nyata jilid Tahun 1,

\Big(P + \frac{aN^2}{V^2}\Big)(V - Nb) = Nk_{\text{B}}T ,

menyandikan tarikan ( $a$ ) dan teras kerasnya ( $b$ ). Di atas suhu genting $T_{\text{c}} = 8a/27bk_{\text{B}}$ isotermnya bersifat monoton: yakni satu fase fluida. Di bawahnya isotermnya menumbuhkan gelung yang memuat rentang yang tak mantap secara mekanis ( $\partial P/\partial V > 0$ ): fluidanya di sana membelah menjadi cairan dan gas yang berada bersama, pada tekanan yang ditetapkan oleh kesamaan potensial kimianya (yakni aturan luas sama Maxwell). Daerah kebersamaannya menutup pada titik gentingnya ( $P_{\text{c}}, V_{\text{c}}, T_{\text{c}}$ ), tempat cairan dan gasnya menjadi tak terbedakan: ketika didekati, selisih kerapatannya lenyap, kemampatannya menyebar, dan fluktuasi kerapatannya tumbuh sampai berukuran optik — yakni keopalan genting Soal 13.1.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Isoterm van der Waals dalam satuan tereduksi. Di atas T_ c: satu fluida. Di bawahnya: bagian tengah gelungnya yang tak mantap digantikan oleh kebersamaan dua fase yang datar di dalam kubah putus-putusnya. Pada puncak kubahnya, cairan dan gasnya melebur — yakni titik genting, tempat fluktuasinya membuat fluidanya seperti susu. — Isoterm van der Waals dalam satuan tereduksi. Di atas $T_{\text{c}}$ : satu fluida. Di bawahnya: bagian tengah gelungnya yang tak mantap digantikan oleh kebersamaan dua fase yang datar di dalam kubah putus-putusnya. Pada puncak kubahnya, cairan dan gasnya melebur — yakni titik genting, tempat fluktuasinya membuat fluidanya seperti susu.

Proposisi 21.3 (Clausius–Clapeyron)

Sepanjang garis kebersamaan orde pertama mana pun, kesamaan potensial kimia pada kedua sisinya (Definisi 18.2) memaksa kemiringan garisnya menjadi

\frac{\dd P}{\dd T} = \frac{L}{T\,\Delta v} ,

dengan $L$ sebagai kalor latennya dan $\Delta v$ sebagai perubahan volume tiap partikelnya (atau tiap kilogramnya, secara taat asas). Segalanya tentang garis kebersamaan termuat dalam satu rumus ini: garis pendidihan air memanjat pada $\approx3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ di dekat $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (yakni panci presto, memasak di ketinggian — Soal 21.1); dan garis peleburan air memiring ke belakang ( $\Delta v < 0$ : es mengapung), sehingga tekanan melelehkan es — yakni kelangkaan di antara zat, dengan akibat dari gletser sampai ke gelanggang seluncur.

Bukti. Pada garisnya, $\mu_1(T, P) = \mu_2(T, P)$ ; bergeraklah sepanjangnya: $-s_1\dd T + v_1\dd P = -s_2\dd T + v_2\dd P$ (tiap partikelnya, dengan memakai $\dd\mu = -s\,\dd T + v\,\dd P$ ). Selesaikanlah untuk $\dd P/\dd T$ lalu pakailah $L = T(s_2 - s_1)$ . ∎

21.3 Feromagnetnya: teori medan rata-rata

Teorema 21.4 (Peralihan Ising medan rata-rata)

Modelkanlah sebuah magnet sebagai spin $s_i = \pm1$ pada sebuah kisi, dengan tetangganya digandeng oleh energi pertukaran $-J\,s_is_j$ (Latihan 14.12), tiap spinnya bertetangga sebanyak $q$ . Gantikanlah tetangga tiap spinnya dengan rata-ratanya $m = \langle s\rangle$ (yakni hampiran medan rata-rata): sebuah spin lalu duduk dalam medan efektif $qJm$ , dan Latihan 17.11 memberikan syarat ketaatasasan dirinya

m = \tanh\!\Big(\frac{T_{\text{c}}}{T}\,m\Big) , \qquad k_{\text{B}}T_{\text{c}} = qJ .

Di atas $T_{\text{c}}$ satu-satunya penyelesaiannya adalah $m = 0$ ; di bawahnya dua penyelesaian setangkup $\pm m(T)$ muncul dan menjadi yang mantap: magnetnya harus memagnet, dengan memilih arah secara acak — yakni pematahan kesetangkupan spontan. Di dekat $T_{\text{c}}$ , $m \propto (T_{\text{c}} - T)^{1/2}$ , dan di atasnya kerentanannya menaati hukum Curie–Weiss $\chi \propto 1/(T - T_{\text{c}})$ : yang menyebar pada peralihannya — yakni magnet yang tak terhingga baik hati.

Bukti sebagian. Sebuah spin dalam medan $B_{\text{eff}} = qJm/\mu$ memiliki $\langle s\rangle = \tanh(\beta qJm)$ ; menuntut $\langle s\rangle = m$ memberikan persamaan yang dinyatakan itu. Secara grafis: garis $y = m$ memotong kurva $y = \tanh(T_{\text{c}}m/T)$ hanya pada titik asalnya ketika kemiringan awal kurvanya $T_{\text{c}}/T < 1$ , dan juga pada $\pm m^* \neq 0$ ketika $T < T_{\text{c}}$ . Menjabarkan $\tanh$ untuk $m$ yang kecil memberikan $m^2 = 3(1 - T/T_{\text{c}})$ , yakni pertumbuhan akar kuadratnya; menambahkan medan terapan yang kecil lalu menjabarkannya serupa memberikan Curie–Weiss (Latihan 21.6). ∎

Kiri: ketaatasasan dirinya m = (T_ cm/T) — di bawah T_ c kemiringan awal kurvanya melampaui satu sehingga perpotongan m* yang tak nol ada. Kanan: magnetisasi spontan yang dihasilkannya, yang menaik sebagai akar kuadrat di bawah titik Curie dan tepat nol di atasnya. — Kiri: ketaatasasan dirinya $m = \tanh(T_{\text{c}}m/T)$ — di bawah $T_{\text{c}}$ kemiringan awal kurvanya melampaui satu sehingga perpotongan $m^*$ yang tak nol ada. Kanan: magnetisasi spontan yang dihasilkannya, yang menaik sebagai akar kuadrat di bawah titik Curie dan tepat nol di atasnya.

21.4 Sudut pandang Landau dan kesemestaan

Proposisi 21.5 (Teori Landau)

Di dekat peralihan yang sinambung, jabarkanlah energi bebasnya dalam parameter keteraturan yang kecil, dengan hanya mempertahankan apa yang diizinkan kesetangkupannya ( $m \to -m$ di sini):

F(m) = a\,(T - T_{\text{c}})\,m^2 + b\,m^4 , \qquad a, b > 0 .

Di atas $T_{\text{c}}$ : satu sumur tunggal pada $m = 0$ . Di bawahnya titik asalnya menjadi puncak dan dua sumur setangkup muncul pada $m = \pm \sqrt{a(T_{\text{c}} - T)/2b}$ — yakni akar kuadrat yang sama seperti medan rata-ratanya, kini dari kesetangkupannya semata. Karena itulah sistem yang sangat berbeda berperilaku sama di dekat titik gentingnya: yakni kesemestaan. Eksponen terukurnya (misalnya $m \propto |T - T_{\text{c}}|^\beta$ dengan $\beta \approx 0.33$ untuk fluida maupun magnet sesumbu) berbeda dari nilai medan rata-ratanya $1/2$ karena di dekat $T_{\text{c}}$ fluktuasinya mengamuk pada segala skala — penjinakannya, yakni grup renormalisasi (Wilson, Nobel 1982), menunjukkan bahwa hanya dimensi dan kesetangkupannya, tak pernah rincian mikroskopisnya, yang menentukan eksponennya. Gambaran sumur gandanya sendiri berkarier melampaui magnet: berikanlah kepada parameter keteraturannya peran sebuah medan yang mengisi ruang, dan sumur pematah kesetangkupannya adalah mekanisme Higgs (Bab 26).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Energi bebas Landau: mendinginkan menembus T_ c mengubah satu sumur menjadi dua. Sistemnya harus menggelinding ke salah satunya — setara menurut kesetangkupannya, terbedakan pada kenyataannya: yakni pematahan kesetangkupan spontan, dari magnet sampai ke medan Higgs. — Energi bebas Landau: mendinginkan menembus $T_{\text{c}}$ mengubah satu sumur menjadi dua. Sistemnya harus menggelinding ke salah satunya — setara menurut kesetangkupannya, terbedakan pada kenyataannya: yakni pematahan kesetangkupan spontan, dari magnet sampai ke medan Higgs.

Metode 21.6 (Membaca sebuah peralihan)

(1) Kenalilah parameter keteraturannya dan apakah ia melompat (orde pertama: kalor laten, kebersamaan, histeresis, pengintian) atau tumbuh secara sinambung (titik genting: penyebaran, keopalan, kesemestaan). (2) Garis orde pertama: Clausius–Clapeyron untuk kemiringannya; kesamaan $\mu$ untuk kebersamaannya. (3) Yang sinambung: medan rata-rata lebih dahulu ( $\tanh$ atau Landau) untuk bentuk diagram fasenya; percayailah topologinya, bukan eksponennya. (4) Di bawah $T_{\text{c}}$ , ingatlah pilihannya: kesetangkupan yang patah berarti ranah, cacat dan kebergantungan pada riwayat. (5) Perkiraan: $k_{\text{B}}T_{\text{c}} \sim$ (gandengan tiap tetangganya) $\times$ (cacah tetangganya).

Sebuah kristal cair di antara pengutub bersilang: yakni sebuah parameter keteraturan (yaitu sumbu molekulnya) yang berpusar menembus cacat tempat sapuannya bertemu. Fase materi di antara cairan dan zat padat — sekaligus zat kerja sebagian besar layar.

21.5 Latihan

Latihan 21.1 ★

Golongkanlah (orde pertama atau sinambung), sambil menyebutkan parameter keteraturannya dan kesetangkupan yang patah bila ada: (a) pendidihan pada $1\,\mathrm{atm}$ ; (b) titik Curie; (c) titik $\lambda$ adiluncurnya; (d) pendidihan persis pada titik gentingnya.

Solusi

Solusi Latihan 21.1.

(a) Orde pertama: kerapatannya melompat, kalor latennya mengalir; tak ada kesetangkupan yang berbeda antara cairan dan gasnya — karena itulah garisnya dapat berakhir. (b) Sinambung; parameter keteraturannya $m$ ; kesetangkupan atas–bawah (dan putarnya) patah. (c) Sinambung; fungsi gelombang makroskopis kondensatnya (yakni sebuah sudut fase yang patah). (d) Sinambung: pada titik gentingnya lompatannya sudah menyusut menjadi nol — yakni satu-satunya pendidihan tanpa kalor laten.

Latihan 21.2 ★

Kalor laten sebagai entropi. (a) Air: $L_{\text{vap}} = 2.26 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ pada $373\,\mathrm{K}$ : hitunglah $\Delta S$ tiap molekulnya dalam satuan $k_{\text{B}}$ . (b) Hal yang sama untuk peleburan ( $L_{\text{fus}} = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ pada $273\,\mathrm{K}$ ). (c) Sebagian besar cairan menguap dengan $\Delta S \approx 10$ – $11\,k_{\text{B}}$ (yakni aturan Trouton): apa yang kira-kira dicacah bilangan itu (yakni $\ln$ nisbah volume yang mana)? (d) Mengapa lompatan entropi peleburannya jauh lebih kecil daripada lompatan pendidihannya?

Solusi

Solusi Latihan 21.2.

(a) $Lm_{\text{w}}/Tk_{\text{B}} = 13\,k_{\text{B}}$ tiap molekulnya. (b) $2.7\,k_{\text{B}}$ . (c) Kira-kira $k_{\text{B}}\ln$ perolehan volume seribu kali lipat tiap molekulnya ( $\ln1000 \approx 7$ ) ditambah arah yang dibebaskan: yakni angka sepuluhan Trouton yang nyaris semesta. (d) Peleburan hanya sedikit membebaskan arah dan kedudukannya — molekulnya tetap terkemas rapat; pembelian entropi yang besar adalah volume uapnya.

Latihan 21.3 ★

Tetapan genting van der Waals ( $V_{\text{c}} = 3Nb$ , $k_{\text{B}}T_{\text{c}} = 8a/27b$ , $P_{\text{c}} = a/27b^2$ — terimalah). (a) Tunjukkanlah $P_{\text{c}}V_{\text{c}}/Nk_{\text{B}}T_{\text{ c}} = 3/8$ , yakni bilangan semesta bagi modelnya; nilai terukurnya bergerombol di dekat $0.29$ — berilah ulasan. (b) Untuk CO $_2$ ( $T_{\text{c}} = 304\,\mathrm{K}$ , $P_{\text{c}} = 73.8\,\mathrm{bar}$ ): tariklah $a$ dan $b$ . (c) Dari $b$ , perkirakanlah garis tengah molekulnya. (d) Mengapa CO $_2$ bersuhu ruang mencair di bawah tekanan sedangkan N $_2$ bersuhu ruang ( $T_{\text{c}} = 126\,\mathrm{K}$ ) tak pernah?

Solusi

Solusi Latihan 21.3.

(a) $3/8$ tanpa peduli zatnya — yakni hukum keadaan bersesuaian modelnya; nilai $0.29$ fluida nyata menunjukkan bahwa van der Waals adalah karikatur di dekat titik gentingnya, tempat korelasinya berkuasa. (b) $b = k_{\text{B}}T_{\text{c}}/8P_{\text{c}} = 7.1 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ ; $a = 27b^2P_{\text{c}} = 1.0 \times 10^{-48}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{3}$ . (c) $b^{1/3} \approx 0.41\,\mathrm{nm}$ — yakni ukuran molekulnya, yang ditarik dari sebuah tabel uap. (d) Pencairan oleh tekanan semata menuntut $T < T_{\text{c}}$ : benar untuk CO $_2$ pada suhu ruang, salah untuk N $_2$ — sehingga tabung CO $_2$ menahan cairan sedangkan tabung nitrogen hanya menahan gas termampat.

Latihan 21.4 ★

Parameter keteraturan, secara cepat: berikanlah satu untuk (a) sebuah feromagnet; (b) peralihan cair–gas; (c) kondensasi Bose–Einstein; (d) sebuah antiferomagnet (dua subkisi — besaran apa yang teratur sementara magnetisasi totalnya tetap nol?).

Solusi

Solusi Latihan 21.4.

(a) $m$ . (b) $\rho_{\text{cair}} - \rho_{\text{gas}}$ . (c) Amplitudo kondensatnya $\psi_0$ (beserta fasenya). (d) Yakni magnetisasi berselang-seling — yaitu selisih momen kedua subkisinya.

Latihan 21.5 ★★

Medan rata-rata dengan tangan. (a) Turunkanlah $m = \tanh(\beta qJm)$ dari sebuah spin dalam medan rata-rata $q$ tetangganya. (b) Tunjukkanlah bahwa penyelesaian tak nol ada persis ketika $T < qJ/k_{\text{B}}$ . (c) Jabarkanlah sampai orde ketiga lalu turunkanlah $m(T) \approx \sqrt{3(1 - T/T_{\text{c}})}$ . (d) Besi: $T_{\text{c}} = 1043\,\mathrm{K}$ , $q = 8$ : tariklah $J$ dalam eV lalu periksalah skala pertukaran Latihan 14.12.

Solusi

Solusi Latihan 21.5.

(a) Satu spin dalam $B_{\text{eff}} \propto qJm$ : $\langle s\rangle = \tanh(\beta qJm)$ ; ketaatasasan dirinya menutup gelungnya. (b) Perpotongan tak nolnya ada jika dan hanya jika kemiringan awalnya $\beta qJ > 1$ . (c) $m = \beta qJm - \tfrac13(\beta qJm)^3$ memberikan $m^2 = 3(1 - T/T_{\text{c}})$ di dekat $T_{\text{c}}$ . (d) $J = k_{\text{B}}T_{\text{c}}/q \approx 11\,\mathrm{meV}$ tiap ikatannya — yakni pertukaran berkelas elektronvolt Latihan 14.12, yang dibagi atas delapan tetangganya: elektrostatika, bukan kemagnetan, yang memanaskan titik Curie besi sampai seribu kelvin.

Latihan 21.6 ★★

Curie–Weiss. Tambahkanlah medan yang kecil: $m = \tanh[\beta(qJm + \mu B)]$ . (a) Lelurusanlah di atas $T_{\text{c}}$ lalu turunkanlah $\chi = \partial m/\partial B \propto 1/(T - T_{\text{c}})$ . (b) Bandingkanlah dengan hukum Curie spin bebasnya: apa yang diberikan pemplotan $1/\chi$ terhadap $T$ pada tiap perkaranya, dan bagaimana titik potongnya mendiagnosis gandengan feromagnetik? (c) Garis $1/\chi$ nikel mengenai nol pada $631\,\mathrm{K}$ : tafsirkanlah. (d) Untuk sebuah antiferomagnet titik potongnya bernilai negatif: tanda $J$ yang mana yang dikhianatinya?

Solusi

Solusi Latihan 21.6.

(a) Setelah dilelurusankan, $m = \beta(qJm + \mu B)$ : $\chi = \mu\beta/(1 - T_{\text{c}}/T) \propto 1/(T - T_{\text{c}})$ . (b) Keduanya memberikan garis $1/\chi$ yang lurus; garis spin bebasnya melewati titik asalnya, sedangkan garis feromagnetnya memotong sumbunya pada $+T_{\text{c}}$ : titik potongnya adalah diagnosis gandengannya. (c) Nikel menjadi teratur pada $631\,\mathrm{K}$ : kerentanan suhu tingginya sudah mengumumkan titik Curie yang akan dicapainya. (d) Titik potong yang negatif berarti $J < 0$ : tetangganya lebih menyukai penyearahan berlawanan — yakni antiferomagnet yang menanti.

Latihan 21.7 ★★

Clausius–Clapeyron dalam kerja. (a) Air pada $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\Delta v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ): hitunglah $\dd P/\dd T$ . (b) Pakailah $\dd\ln P/\dd T = Lm_{\text{w}}/k_{\text{B}}T^2$ untuk memperkirakan suhu didihnya pada $P = 0.7\,\mathrm{atm}$ (yakni puncak $3000\,\mathrm{m}$ ). (c) Peleburan: dengan $\Delta v = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ dan $L = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , hitunglah $\dd T/\dd P$ beserta tekanan untuk menurunkan titik lebur es sebesar $5\,\mathrm{K}$ . (d) Seorang peluncur $70\,\mathrm{kg}$ di atas $30\,\mathrm{mm}^{2}$ bilahnya: hitunglah tekanannya dan geseran titik leburnya — apakah peleburan oleh tekanan menjelaskan seluncur? (Apa yang menjelaskannya: gesekan dan pralelehan permukaan.)

Solusi

Solusi Latihan 21.7.

(a) $\dd P/\dd T = L/T\Delta v = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ . (b) $\ln(0.7) = -4900(1/T - 1/373)$ : $T \approx 363\,\mathrm{K} = 90\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (c) $\dd T/\dd P = T\Delta v/L = -7.4 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa}$ : lima kelvin memerlukan $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ — hampir tujuh ratus atmosfer. (d) Tekanan peluncurnya yang $\sim2 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ hanya membeli $-1.7$ K: peleburan oleh tekanan gagal pada gelanggang yang dingin; selaput pelumasnya dibuat oleh pemanasan gesekan dan oleh lapisan permukaan es yang memang sudah pralebur.

Latihan 21.8 ★★

Perhitungan Landau. (a) Minimumkanlah $F = a(T - T_{\text{c}})m^2 + bm^4$ di bawah $T_{\text{c}}$ . (b) Hitunglah $F$ pada minimumnya lalu tunjukkanlah bahwa kapasitas kalornya memiliki lompatan berhingga $\Delta C = a^2T_{\text{c}}/2b$ pada peralihannya. (c) Sketsalah $C(T)$ : anak tangga medan rata-ratanya berbanding puncak nyaris logaritmik yang terukur pada titik $\lambda$ helium — apa yang ditambahkan fluktuasi yang sebenarnya? (d) Tambahkanlah suku medan $-hm$ : tunjukkanlah bahwa peralihannya membulat — kesetangkupannya harus eksak agar ia dapat patah.

Solusi

Solusi Latihan 21.8.

(a) $m^2 = a(T_{\text{c}} - T)/2b$ . (b) $F_{\min} = -a^2(T_{\text{c}} - T)^2/4b$ : $C = -T\partial^2F/\partial T^2$ melompat sebesar $a^2T_{\text{c}}/2b$ pada peralihannya. (c) Medan rata-rata: satu anak tangga yang bersih; puncak helium yang terukur berbentuk $\lambda$ dan nyaris logaritmik adalah fluktuasi yang diabaikan Landau — justru bentuk itulah yang memberi nama peralihannya. (d) Dengan $-hm$ kesetangkupannya sudah patah sejak awal: $m$ tak pernah tepat nol dan tiap kesingularannya membulat — pematahan spontan memerlukan pilihan yang tak berat sebelah.

Latihan 21.9 ★★

Pengintian. Sebuah tetesan berjejari $r$ dalam uap yang lewat jenuh memperoleh energi bebas limbak $-\tfrac43\pi r^3\,n\,\delta\mu$ tetapi membayar tegangan permukaan $4\pi r^2\sigma$ . (a) Tunjukkanlah bahwa penghalangnya memuncak pada $r^* = 2\sigma/n\,\delta\mu$ . (b) Jelaskanlah: mengapa uap lewat jenuh dan cairan lewat panas yang bersih bertahan (kelengaian), dan apa yang disediakan debu, ion dan goresan? (c) Bilik awan (yakni pendeteksi leluhur Bab 26) dan bilik gelembung berjalan atas fisika ini: peran mana yang dimainkan jejak ion partikel yang lewat? (d) Mengapa “kerikil pendidih” dimasukkan ke dalam labu laboratorium?

Solusi

Solusi Latihan 21.9.

(a) $\dd/\dd r$ dari $4\pi r^2\sigma - \tfrac43\pi r^3n\delta\mu = 0$ pada $r^* = 2\sigma/n\delta\mu$ . (b) Janin yang kecil menyusut (permukaannya menang): fase yang bersih dapat menunggu, dalam keadaan lengai, sampai sebuah fluktuasi melintasi penghalangnya; debu, ion dan goresan menawarkan permukaan siap pakai yang memangkasnya. (c) Jejak ionnya menyemai tetesan (bilik awan) atau gelembung (bilik gelembung) sepanjang lintasan partikelnya: jejaknya adalah sebuah garis pengintian yang terkatalisis. (d) Liang-liangnya menyemai gelembung terlebih dahulu, sehingga mencegah pemanasan berlebih dan “hentakan” hebat sebuah labu yang tak tersemai.

Latihan 21.10 ★★★

Tanpa peralihan dalam satu dimensi. Tinjaulah rantai Ising satu dimensi berisi $N$ spin, semuanya ke atas, lalu sisipkanlah satu “dinding ranah” (yakni semua spin di balik suatu ikatan dibalik). (a) Ongkos energi dindingnya: $2J$ , tak bergantung kedudukannya. (b) Perolehan entropinya: dindingnya dapat duduk pada salah satu dari $\sim N$ ikatannya — $\Delta S = k_{\text{B}}\ln N$ . (c) Tunjukkanlah $\Delta F = 2J - k_{\text{B}}T\ln N < 0$ untuk $T > 0$ mana pun pada $N$ yang besar: dindingnya selalu berkembang biak, dan keteraturan jangkauan panjangnya mustahil — model Ising satu dimensi memiliki $T_{\text{c}} = 0$ . (d) Dalam dua dimensi, sebuah dinding adalah garis sepanjang $\ell$ yang berongkos $2J\ell$ tetapi dengan $\sim3^\ell$ bentuk: kerjakanlah ulang perkiraannya lalu tunjukkanlah bahwa keteraturannya selamat di bawah $T_{\text{c}}$ yang berhingga — yakni penalaran Peierls di balik nilai eksak Onsager $2.269\,J/k_{\text{B}}$ .

Solusi

Solusi Latihan 21.10.

(a) Hanya satu ikatan yang patah: $2J$ , di mana pun ia duduk. (b) $k_{\text{B}}\ln N$ penempatan. (c) $\Delta F = 2J - k_{\text{B}}T\ln N \to -\infty$ : pada suhu positif berapa pun dindingnya menyerbu dan keteraturannya mati — $T_{\text{c}}(1\text{D}) = 0$ . (d) Dinding sepanjang $\ell$ berongkos $2J\ell$ melawan entropi $\sim k_{\text{B}}\ell\ln3$ : untuk $T < 2J/k_{\text{B}}\ln3 \approx 1.8\,J/k_{\text{B}}$ dinding yang panjang tertekan dan keteraturannya selamat — yakni orde besar yang tepat di samping nilai eksak Onsager $2.27\,J/k_{\text{B}}$ .

Latihan 21.11 ★★★

Kesemestaan yang diaudit. Medan rata-rata meramalkan $\beta = 1/2$ , $\gamma = 1$ ( $\chi \sim |t|^{-\gamma}$ ), $\delta = 3$ ( $m \sim h^{1/3}$ pada $T_{\text{c}}$ ). Terukur, untuk titik genting cair–gas maupun magnet sesumbu berdimensi tiga: $\beta \approx 0.326$ , $\gamma \approx 1.237$ , $\delta \approx 4.79$ . (a) Apa yang membenarkan membandingkan sebuah fluida dengan sebuah magnet sama sekali (apa yang dibagi bersama parameter keteraturannya — yakni satu pilihan tanda)? (b) Mengapa medan rata-ratanya gagal di dekat $T_{\text{c}}$ (apa yang menyebar, sehingga membatalkan pengabaian fluktuasinya)? (c) Mengapa ia gagal lebih sedikit dalam dimensi yang lebih tinggi (cacah tetangganya berbanding jangkauan fluktuasinya; medan rata-ratanya menjadi eksak di atas empat dimensi)? (d) Nyatakanlah pelajaran grup renormalisasinya dalam dua kalimat: apa yang dirata-ratakan skala demi skala, dan mengapa hanya kesetangkupan dan dimensi yang selamat dari perata-rataan itu.

Solusi

Solusi Latihan 21.11.

(a) Kedua parameter keteraturannya adalah satu bilangan nyata yang memilih sebuah tanda (atas atau bawah; cairan atau gas terhadap kerapatan gentingnya): yakni kelas kesetangkupan yang sama. (b) Panjang korelasinya menyebar: “medan rata-rata” tiap spinnya berfluktuasi persis sebanyak spinnya sendiri, sehingga menggantikan tetangganya dengan rata-rata menjadi tak tertahankan. (c) Tetangga yang lebih banyak merata-ratakan lebih baik; di atas empat dimensi jangkauan fluktuasinya tumbuh lebih lambat daripada perbaikan perata-rataannya, sehingga medan rata-ratanya menjadi eksak. (d) Grup renormalisasi merata-ratakan skala terpendeknya berulang kali, lalu mengalirkan tiap model mikroskopis yang berkesetangkupan dan berdimensi sama menuju satu titik tetap; eksponennya adalah sifat titik tetap itu — karena itulah uap dan magnet berbagi desimal.

Latihan 21.12 ★★★

Dari magnet ke Higgs. Naikkanlah parameter keteraturannya menjadi sebuah medan $\phi(\vect r)$ berkerapatan energi Landau $\alpha(T - T_{\text{c}})\phi^2 + b\phi^4$ ditambah suku gradien. (a) Di bawah $T_{\text{c}}$ medannya duduk pada $\pm\phi_0$ : getaran kecil sepanjang sumurnya memiliki kelengkungan pemulih — hitunglah $F''(\phi_0)$ lalu tafsirkanlah, dalam bahasa medan, sebagai sebuah massa. (b) Untuk parameter keteraturan yang kompleks (yakni lingkaran minimum — “topi Meksiko”), getaran mengelilingi tepinya tak berongkos energi potensial: yakni ragam tak bermassa — sebutkanlah padanan benda rapatnya (gelombang spin, fonon adiluncur). (c) Dalam teori elektrolemah, vakumnya sendiri duduk dalam sumur pematah kesetangkupan semacam itu; partikel memperoleh massa dari nilai tak nol medannya, dan getaran radialnya adalah boson Higgs: petakanlah tiap unsurnya ke (a)–(b). (d) Dalam satu kalimat: apa yang diajarkan fisika benda rapat kepada fisika partikel di sini (yakni ekspor pematahan kesetangkupan lewat Anderson)?

Solusi

Solusi Latihan 21.12.

(a) Dengan $\phi_0^2 = \alpha(T_{\text{c}} - T)/2b$ : $F''(\phi_0) = 4\alpha(T_{\text{c}} - T) > 0$ — getaran sepanjang arah radialnya memiliki kekakuan, yakni (dalam bahasa medan) sebuah massa yang tumbuh ketika sumurnya mendalam. (b) Mengelilingi tepi yang berbentuk lingkaran, potensialnya datar: yakni ragam tanpa kekakuan dan tanpa massa — yaitu ragam Goldstone yang terwujud sebagai gelombang spin dalam magnet dan fonon dalam adiluncur. (c) Nilai $\phi_0 \neq 0$ vakumnya adalah kondensatnya; massa partikelnya adalah gandengan pada $\phi_0$ ; getaran radialnya adalah boson Higgs, yang ditemukan pada $125\,\mathrm{GeV}$ . (d) Bahwa kesetangkupan yang patah, kondensat serta ragam bermassa dan tak bermassa lebih dahulu menjadi hal biasa di laboratorium: fisika partikel mengimpor gagasan zat padat.

Sebuah panci presto yang membuang uap: dua atmosfer di dalamnya memindahkan garis kebersamaan cair–uap ke 121\, C — yakni Clausius dan Clapeyron, yang memasak makan malam lebih cepat. — Sebuah panci presto yang membuang uap: dua atmosfer di dalamnya memindahkan garis kebersamaan cair–uap ke $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — yakni Clausius dan Clapeyron, yang memasak makan malam lebih cepat.

21.6 Soal: Diagram fase dapur

Soal 21.1

Soal akhir pekan — panci presto, teh gunung, dan akhir pendidihan

Diagram fase air tergantung, tanpa disadari, di atas tiap kompor. Soal ini menyusuri ketiga garisnya dengan Clausius–Clapeyron di tangan — dari mengapa panci presto memangkas separuh waktu memasak, lewat mengapa teh mengecewakan di ketinggian, sampai ke dunia aneh di balik titik gentingnya tempat pendidihan sendiri berhenti ada. Data: $L_{\text{vap}} = 2.26 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , $L_{\text{fus}} = 3.34 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ; uap air pada $373\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{atm}$ : $\Delta v_{\text{vap}} = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; peleburan: $\Delta v = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; massa molekulnya $m_{\text{w}} = 3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ; titik genting: $T_{\text{c}} = 647\,\mathrm{K}$ , $P_{\text{c}} = 221\,\mathrm{bar}$ .

Bagian I — Garis pendidihannya.

Apa yang mendefinisikan “pendidihan” pada tekanan tertentu (dua potensial kimia yang mana yang seri)?
Hitunglah kemiringan $\dd P/\dd T$ garis penguapannya pada $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
Sebuah panci presto menahan $2\,\mathrm{atm}$ : integralkanlah kemiringannya (atau pakailah bentuk eksponensialnya dengan $Lm_{\text{w}}/ k_{\text{B}} \approx 4900\,\mathrm{K}$ ) untuk mencari suhu didihnya.
Dengan aturan dapur Arrhenius Latihan 17.9 (lajunya berlipat dua tiap $10\,\mathrm{K}$ ), perkirakanlah percepatannya terhadap memasak dengan panci terbuka.
Di La Paz ( $3600\,\mathrm{m}$ , $P \approx 0.65\,\mathrm{atm}$ ): carilah suhu didihnya, dan mengapa tehnya menyeduh dengan buruk.
Mengapa menambahkan garam menaikkan titik didihnya ( $\mu$ siapa yang diturunkan zat terlarutnya — ingatlah kembali Latihan 18.8)?

Bagian II — Garis peleburannya.

Hitunglah $\dd T/\dd P$ untuk peleburannya lalu perhatikanlah tandanya.
Pengamatan sehari-hari yang mana yang menyandikan $\Delta v < 0$ (apa yang dilakukan es dalam gelas Anda), dan mengapa kejanggalan itu langka di antara zat?
Sebuah gletser setebal $300\,\mathrm{m}$ : carilah tekanan pada dasarnya beserta penurunan titik leburnya — apakah peleburan oleh tekanan di dasarnya berarti bagi aliran gletsernya?
Tinjaulah kembali peluncur Latihan 21.7(d): apa yang sebenarnya melumasi bilahnya?
Seandainya es tenggelam (dengan kemiringan positif, seperti hampir tiap zat padat lainnya), apa yang akan dilakukan musim dingin terhadap danau dan ikannya — telusurilah rantai akibatnya.
Kemiringan negatifnya berakhir pada tekanan tinggi tempat bentuk kristal es yang lain mengambil alih (es III, V, VI): apa yang dikatakan keberadaan selusin es tentang lanskap energi bebas satu molekul yang sederhana?

Bagian III — Ujung garisnya.

Garis pendidihannya berakhir pada ( $T_{\text{c}}, P_{\text{c}}$ ): apa yang terjadi pada kalor laten dan selisih kerapatannya ketika ujungnya didekati?
Di balik titik gentingnya orang dapat membawa air dari “bergaya cairan” ke “bergaya gas” tanpa peralihan sama sekali: lukiskanlah lintasannya dalam bidang $(P, T)$ .
Ketika titik gentingnya didekati, fluidanya menjadi seperti susu: kaitkanlah keopalan ini dengan Latihan 16.12 dan Soal 13.1.
CO $_2$ superkritis ( $T_{\text{c}} = 304\,\mathrm{K}$ , $P_{\text{c}} = 74\,\mathrm{bar}$ ) melarutkan seperti cairan dan menembus seperti gas: sebutkanlah kegunaan industri yang menghilangkan kafeina dari kopi, dan mengapa pelarutnya tak meninggalkan sisa.
Air superkritis (dalam ketel pembangkit listrik di atas $221\,\mathrm{bar}$ ): mengapa melenyapkan pendidihan — gelembung, selaput, kehangusan — menarik bagi para insinyur ketel?
Lubang hidrotermal laut dalam memancarkan air bersuhu $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ yang tidak mendidih: periksalah terhadap tekanan setempatnya ( $\sim300\,\mathrm{bar}$ pada $3\,\mathrm{km}$ ) dan diagram fasenya.

Bagian IV — Membaca seluruh petanya.

Sketsalah (dengan kata-kata) diagram $(P, T)$ air: ketiga garisnya, titik tripelnya ( $0.01\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $611\,\mathrm{Pa}$ ), dan titik gentingnya.
Di bawah $611\,\mathrm{Pa}$ , es menyublim tanpa melebur: perkakas yang mana (pengeringan beku) dan tudung kutub planet yang mana (Mars, CO $_2$ dan H $_2$ O) yang hidup dari kenyataan ini?
Mengapa titik tripel air — yang tepat $273.16\,\mathrm{K}$ menurut definisi sampai 2019 — menjadi baku suhu yang begitu baik (berapa fase yang berada bersama memancang berapa derajat kebebasan)?
Tiap garis petanya adalah peralihan orde pertama; hanya titik ujungnya yang genting: nyatakanlah kembali pembedaannya dengan parameter keteraturan dan kalor laten.
Garis embun udara lembap adalah fisika yang sama yang dijalankan terbalik: jelaskanlah embun, kabut dan uap pagi pada jendela yang dingin dengan satu kalimat pelintasan $\mu$ .
Tiap tutup panci adalah sebuah percobaan: tetesan mengembun padanya lalu turun kembali sebagai hujan — kenalilah kedua peralihan fase daur air mini itu beserta ulang-alik kalor laten yang membuat panci bertutup mendidih lebih cepat.
Ringkaslah hasil bernama itu: satu rumus kemiringan, $\dd P/ \dd T = L/T\Delta v$ , menjelaskan $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ panci prestonya, teh $88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pegunungannya, es yang mengapung mundur menaiki garis leburnya, dan ketel superkritis tempat pendidihan berakhir pada $647\,\mathrm{K}, 221\,\mathrm{bar}$ .

Solusi

Solusi Soal 21.1.

1. $\mu_{\text{cair}}(T, P) = \mu_{\text{uap}}(T, P)$ : pendidihan adalah kebersamaan, tekanan demi tekanan. 2. $3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ . 3. $\ln2 = 4900(1/373 - 1/T)$ : $T \approx 394\,\mathrm{K} = 121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . 4. Dua puluh satu derajat pada aturan “berlipat dua tiap sepuluh”: kira-kira empat kali lebih cepat — yakni seluruh alasan bisnis panci presto. 5. $\ln0.65$ : $T \approx 361\,\mathrm{K} = 88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — tanin tehnya terekstraksi dengan buruk pada kekurangan dua belas derajat. 6. Zat terlarutnya menurunkan $\mu$ cairannya (Latihan 18.8); mencocokkan uapnya lalu memerlukan suhu yang lebih tinggi: yakni kenaikan titik didih. 7. $\dd T/\dd P = -7.4 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa}$ : negatif — tekanan melelehkan es. 8. Es mengapung: zat padatnya adalah fase yang kurang rapat, yakni kejanggalan ( $\Delta v < 0$ ) yang memiringkan garisnya ke belakang — langka karena sebagian besar zat padat terkemas lebih rapat daripada lelehannya. 9. $P = \rho gh \approx 2.7\,\mathrm{MPa}$ : hanya $-0.2$ K — namun bersama kalor bumi ia mempertahankan air lelehan di dasarnya, yakni pelumas lonjakan gletser. 10. Pemanasan gesekan dan selaput permukaan yang pralebur; mitos tekanannya bertahan karena tanda kemiringannya memang nyata — hanya besarnya yang terlalu kecil. 11. Es akan tenggelam dan danaunya membeku dari dasar ke atas menjadi bongkahan padat; tanpa tutup penyekat, tanpa perlindungan cair, tanpa kehidupan air tawar yang melewati musim dingin. 12. Selusin es kristal berarti sebuah lanskap energi bebas dengan banyak kemasan yang nyaris seri: satu molekul yang bengkok, banyak kompromi — yakni kepelbagaian bentuk sebagai aturan. 13. Keduanya menyusut secara sinambung menjadi nol: pada titik ujungnya kedua fasenya melebur dan garis orde pertamanya mati sebagai sebuah titik yang sinambung. 14. Panaskanlah pada $P > P_{\text{c}}$ sampai $T > T_{\text{c}}$ , lalu turunkanlah tekanannya: dari cairan ke gas tanpa satu pun permukaan batas — yakni memutari gunungnya dan bukan melintasinya. 15. Kemampatannya menyebar, sehingga fluktuasi kerapatan $\sqrt N$ tumbuh sampai skala optik lalu menghamburkan cahaya dengan kuat: fluidanya menjadi awannya sendiri. 16. CO $_2$ superkritis menarik kafeina dari bijinya; pembuangannya menjatuhkannya di bawah $T_{\text{c}}$ – $P_{\text{c}}$ dan “pelarutnya” sekadar menguap habis seluruhnya. 17. Di atas $221\,\mathrm{bar}$ tak ada permukaan batas cair–uap: tanpa gelembung, tanpa pendidihan berselaput, tanpa krisis kehangusan — kalornya mengalir ke dalam satu fluida yang mulus. 18. $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ melampaui $T_{\text{c}} = 374\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : pada $300\,\mathrm{bar}$ air lubangnya bersifat superkritis — pendidihannya bukan ditekan, melainkan tak terdefinisi. 19. Tiga garis yang bertemu pada titik tripelnya ( $0.01\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $611\,\mathrm{Pa}$ ); garis penguapannya memanjat sampai ujungnya pada ( $647\,\mathrm{K}$ , $221\,\mathrm{bar}$ ); garis peleburannya condong ke kiri; penyubliman di bawah titik tripelnya. 20. Pengeringan beku bekerja di bawah $611\,\mathrm{Pa}$ , tempat es menyublim; tudung kutub Mars menyublim secara musiman karena alasan yang sama. 21. Tiga fase yang berada bersama menyisakan nol kebebasan (Gibbs): keadaannya adalah satu titik tunggal — yakni impian termometri, sehingga ia lama bertugas mendefinisikan kelvin. 22. Pada sebuah garis, parameter keteraturannya (kerapatan) melompat dan kalor latennya mengalir; pada titik ujungnya lompatannya sudah menyusut menjadi nol dan fluktuasinya menggantikannya. 23. Ketika permukaan yang mendingin menyeret $\mu$ uap setempatnya ke atas milik cairannya, airnya harus mengembun: embun, kabut dan jendela berkabut adalah pelintasan $\mu$ yang dibuat kasat mata. 24. Penguapan (cairan $\to$ uap) di permukaannya, pengembunan (uap $\to$ cairan) pada tutupnya: kalor laten yang terangkut naik dibayarkan kembali ke dalam pancinya dan bukan ke dapurnya — tutupnya menutup gelung kalornya. 25. $\dd P/\dd T = L/T\Delta v$ : $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di bawah dua atmosfer, $88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di La Paz, sebuah garis peleburan yang berjalan mundur, dan pendidihan sendiri yang kedaluwarsa pada ( $647\,\mathrm{K}$ , $221\,\mathrm{bar}$ ) — yakni dapur, yang terpetakan.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Fase dan parameter keteraturan

Lihat semua 431 istilah di glosarium