Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

9Osilator Harmonik Kuantum

Hampir tak ada apa pun di alam yang benar-benar osilator harmonik, dan hampir segala sesuatu merupakan osilator harmonik secara hampiran: sistem apa pun yang disenggol dari kesetimbangan mantapnya — ikatan sebuah molekul, sebuah atom dalam kristal, sebuah jembatan, sebuah ragam medan elektromagnetik — merasakan gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya, karena setiap potensial yang mulus berupa parabola di dasar sumurnya. Siapa pun yang menyelesaikan osilator kuantum sekali karena itu menyelesaikan getaran kecil seluruh dunia. Bab ini menyelesaikannya dalam gaya aljabar yang telah menjadi ciri khas mekanika kuantum: dua operator tangga memanjat dan menuruni tangga aras $\big(n + \tfrac12\big)\hbar\omega$ yang serba rata, dengan setengah anak tangga di dasarnya — yakni energi titik nol — yang merupakan sebuah teorema, bukan pilihan. Akibatnya membentang dari mengapa helium tak pernah membeku sampai bagaimana molekul karbon dioksida, yang berdenting pada $\hbar\omega$ -nya sendiri, mencegat kalor Bumi yang keluar.

9.1 Tangganya

Definisi 9.1 (Operator tangga)

Untuk $\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2$ , perkenalkanlah pasangan tak berdimensi yang tak Hermitian

\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x + \frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad \hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x - \frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .

Dari $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ :

[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad \hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad \hat N = \hat a^\dagger\hat a .

$\hat N$ bersifat Hermitian; nilai eigennya akan mencacah kuantum, dan $\hat a$ , $\hat a^\dagger$ — yakni operator pemusnah dan pencipta — akan membuang dan menambahkan satu.

Teorema 9.2 (Spektrumnya, hanya lewat aljabar)

Nilai eigen $\hat H$ tepat sama dengan

E_n = \Big(n + \tfrac12\Big)\hbar\omega , \qquad n = 0, 1, 2, \dots

— yakni tangga tak hingga beranak tangga sama $\hbar\omega$ di atas aras dasar yang bukan nol: yaitu energi titik nol $\tfrac12\hbar\omega$ . Keadaan eigen ternormalkan $\ket n$ terhubung oleh

\hat a\ket n = \sqrt n\,\ket{n - 1} , \qquad \hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n + 1}\,\ket{n + 1} , \qquad \ket n = \frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\,\ket0 .

Bukti. Dari komutatornya, $\hat N\hat a = \hat a(\hat N - 1)$ : jika $\ket\nu$ mempunyai nilai eigen $\hat N$ sebesar $\nu$ , maka $\hat a\ket\nu$ adalah vektor eigen dengan $\nu - 1$ (atau vektor nol). Tiap penurunan hanya diizinkan selama $\nu \ge 0$ , karena $\nu = \braket{\nu}{\hat N\nu} = \|\hat a\ket\nu\|^2 \ge 0$ ; penurunannya karena itu harus berhenti, dan ia hanya berhenti pada keadaan dengan $\hat a\ket{\nu_0} = 0$ , sehingga $\nu_0 = 0$ . Jadi $\nu$ menjangkau bilangan bulat tak negatif. Penormalannya menyusul dari $\|\hat a\ket n\|^2 = n$ dan $\|\hat a^\dagger\ket n\|^2 = n + 1$ . ∎

Tangga osilatornya: anak tangga yang sama besar , yang dipanjat a dan dituruni a, berdiri di atas lantai setengah anak tangga di atas energi diam klasiknya. — Tangga osilatornya: anak tangga yang sama besar $\hbar\omega$ , yang dipanjat $\hat a^\dagger$ dan dituruni $\hat a$ , berdiri di atas lantai setengah anak tangga di atas energi diam klasiknya.

Proposisi 9.3 (Keadaannya dalam ruang)

Keadaan dasarnya adalah fungsi Gauss

\varphi_0(x) = \Big(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Big)^{1/4} \eu^{-m\omega x^2/2\hbar} ,

yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan orde satu $\hat a\varphi_0 = 0$ ; ia menjenuhkan ketaksamaan Heisenberg, $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ , dengan $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$ . Mengenakan $\hat a^\dagger$ berulang kali membangkitkan $\varphi_n$ : sebuah polinomial berderajat $n$ (dengan $n$ simpul) dikalikan fungsi Gauss yang sama. Untuk $n$ besar, $|\varphi_n|^2$ berosilasi cepat di sekitar sebaran waktu tinggal klasiknya, dan terbesar di dekat titik baliknya — yakni asas korespondensi dalam sebuah gambar.

Bukti sebagian. $\hat a\varphi_0 = 0$ berbunyi $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x \varphi_0$ : yakni fungsi Gauss, yang ternormalkan. Penjenuhannya: fungsi Gauss adalah kasus kesamaan Teorema 8.10. Struktur polinomialnya menyusul karena $\hat a^\dagger$ berorde satu dalam $x$ dan $\dd/\dd x$ ; pernyataan untuk $n$ besarnya diperiksa dalam Latihan 9.12. ∎

Kiri: rapat peluang terendahnya (yang digeser tegak): sebuah fungsi Gauss tanpa simpul, lalu n simpul untuk _n. Kanan: pada n besar rapat kuantumnya berosilasi di sekitar sebaran klasiknya, yang menumpuk di titik baliknya, tempat massa yang berosilasi itu berlama-lama. — Kiri: rapat peluang terendahnya (yang digeser tegak): sebuah fungsi Gauss tanpa simpul, lalu $n$ simpul untuk $\varphi_n$ . Kanan: pada $n$ besar rapat kuantumnya berosilasi di sekitar sebaran klasiknya, yang menumpuk di titik baliknya, tempat massa yang berosilasi itu berlama-lama.

9.2 Energi titik nol itu nyata

Catatan 9.4 (Mengapa lantainya tak dapat lebih rendah)

Keadaan berenergi nol akan menuntut $\langle\hat p^2\rangle = \langle\hat x^2\rangle = 0$ : benar-benar diam dan benar-benar terpusat, yang dilarang $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ . Keadaan dasarnya adalah kompromi terbaik yang diizinkan ketaksamaan itu, dan $\tfrac12\hbar\omega$ adalah sewanya. Ia bukan tetapan pembukuan: gerak titik nol mengaburkan pola difraksi sinar-X pada nol mutlak; ia membuat isotop yang lebih ringan mempunyai ikatan efektif yang lebih lemah (H $_2$ dan D $_2$ terurai pada energi yang berbeda secara terukur dari sumur elektronik yang sama); dan pada helium ia begitu ganas — atomnya ringan, tarikannya lemah — sehingga zat cairnya tak pernah membeku di bawah tekanan uapnya sendiri: satu-satunya unsur yang masih cair pada nol mutlak, dan hanya memadat dengan bantuan tekanan 25 atmosfer.

Contoh 9.5 (Skala $\hbar\omega$ )

Ikatan karbon monoksida ( $\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ): $\hbar\omega = 0.27\,\mathrm{eV}$ , sepuluh kali $k_{\text{B}}T$ suhu ruang — getaran molekul membeku dalam udara sehari-hari, dan itulah sebabnya kapasitas kalor gas dwiatom membingungkan abad kesembilan belas. Sebuah bandul ( $\omega = 5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ): $\hbar\omega = 3 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}$ , sama sekali di luar jangkauan resolusi — yakni limit korespondensinya. Cermin LIGO seberat $40\,\mathrm{kg}$ , yang digantung agar berayun pada $100\,\mathrm{Hz}$ , mempunyai sebagai ragam osilatornya amplitudo titik nol $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega} \approx 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — dan observatoriumnya secara rutin memilah perpindahan tepat pada lantai kuantum ini: gerak titik nol benda seberat empat puluh kilogram kini menjadi kekangan rekayasa (Latihan 9.3).

9.3 Keadaan koheren: wajah klasik osilator kuantum

Definisi 9.6 (Keadaan koheren)

Yang disebut keadaan koheren $\ket\alpha$ adalah vektor eigen operator pemusnah, $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$ , dengan $\alpha$ sembarang bilangan kompleks. Dijabarkan pada tangganya,

\ket\alpha = \eu^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,\ket n :

cacah kuantumnya tersebar Poisson dengan rata-rata $\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2$ dan rentang $\Delta N = |\alpha|$ .

Proposisi 9.7 (Mengapa laser bersifat klasik)

Keadaan koheren adalah fungsi Gauss keadaan dasar yang tergeser dalam ruang fase; di bawah perkembangan osilatornya ia tetap koheren, $\alpha(t) = \alpha\,\eu^{-\iu\omega t}$ : pusatnya menjalankan tepat gerak klasiknya, $\langle\hat x\rangle(t) = x_0\cos\omega t + \cdots$ , sedangkan lebarnya tetap minimum $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ selamanya — yakni paket gelombang yang tak pernah melebar. Keadaan koheren adalah cara osilator kuantum menyamar sebagai osilator klasik; cahaya sebuah laser adalah keadaan koheren sebuah ragam medan, dengan cacah fotonnya Poisson (yaitu derau tembakan tiap fotodetektor), dan medannya berosilasi seperti kata Maxwell.

Bukti sebagian. Penjabarannya menyusul dengan menuliskan $\ket\alpha = \sum c_n\ket n$ dalam $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$ : $c_n = \alpha c_{n-1}/\sqrt n$ . Perkembangannya: tiap $\ket n$ memungut $\eu^{-\iu(n + 1/2)\omega t}$ , yang terjumlahkan kembali menjadi keadaan koheren $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (kecuali fase globalnya). $\langle\hat x\rangle \propto \operatorname{Re}\alpha(t)$ dari $\hat x \propto \hat a + \hat a^\dagger$ . Bahwa keadaannya adalah fungsi Gauss yang tergeser diterima tanpa bukti di sini. ∎

Potret ruang fase (bandingkanlah ): keadaan dasarnya adalah gumpalan ketaktentuan minimum di titik asal; keadaan koheren adalah gumpalan yang sama yang tergeser, beredar pada tanpa berubah bentuk — yakni tiruan terbaik mekanika kuantum atas osilasi klasik. — Potret ruang fase (bandingkanlah Bab 2): keadaan dasarnya adalah gumpalan ketaktentuan minimum di titik asal; keadaan koheren adalah gumpalan yang sama yang tergeser, beredar pada $\omega$ tanpa berubah bentuk — yakni tiruan terbaik mekanika kuantum atas osilasi klasik.

Metode 9.8 (Aljabar osilator)

(1) Nyatakanlah apa pun yang ditanyakan dalam $\hat a$ , $\hat a^\dagger$ : $\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$ , $\hat p = \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$ . (2) Geserlah $\hat a$ ke kanan dengan $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ ; pakailah $\hat a\ket0 = 0$ . (3) Unsur matriksnya: $\hat x$ hanya menghubungkan anak tangga bertetangga — yakni kaidah pemilihan $\Delta n = \pm1$ dalam spektroskopi getaran. (4) Sembarang Hamiltonian kuadratik (osilator terkopel, rangkaian, ragam medan) terdiagonalkan menjadi tangga yang saling bebas: carilah ragam normalnya lebih dahulu, lalu kuantumkan masing-masingnya. (5) Bilangan lebih dahulu: $\hbar\omega$ berbanding $k_{\text{B}}T$ memutuskan apakah sistemnya kuantum atau klasik sebelum aljabar apa pun dikerjakan.

9.4 Latihan

Latihan 9.1 ★

(a) Periksalah $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ dari $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ . (b) Periksalah $\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a + \tfrac12)$ lewat penjabaran langsung. (c) Baliklah untuk menyatakan $\hat x$ dan $\hat p$ . (d) Tunjukkanlah bahwa $\hat N$ Hermitian lalu jelaskanlah mengapa $\hat a$ sendiri tak dapat menjadi besaran teramati.

Solusi

Solusi Latihan 9.1.

(a) Setelah dijabarkan, suku $\hat x^2$ dan $\hat p^2$ saling meniadakan antara $\hat a\hat a^\dagger$ dan $\hat a^\dagger\hat a$ , sehingga tersisa $(m\omega/2\hbar)(-2\iu/m\omega)[\hat x, \hat p] = (-\iu/\hbar)(\iu\hbar) = 1$ . (b) $\hat a^\dagger\hat a = (m\omega\hat x^2/2\hbar) + (\hat p^2/2m\hbar\omega) - \tfrac12$ : kalikanlah dengan $\hbar\omega$ . (c) $\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$ , $\hat p = \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$ . (d) $\hat N^\dagger = \hat a^\dagger\hat a = \hat N$ ; $\hat a$ tidak Hermitian, dan “nilai eigen” $\alpha$ -nya kompleks — tak ada perkakas pengukuran yang mengembalikannya.

Latihan 9.2 ★

Pada keadaan eigen $\ket n$ : (a) tunjukkanlah $\langle\hat x\rangle = \langle\hat p\rangle = 0$ ; (b) hitunglah $\langle\hat x^2\rangle$ dan $\langle\hat p^2\rangle$ ; (c) simpulkanlah $\Delta x\,\Delta p = (n + \tfrac12)\hbar$ ; (d) periksalah nisbah virialnya $\langle E_k\rangle = \langle E_p\rangle$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.2.

(a) $\hat x$ dan $\hat p$ menggeser $n$ sebesar $\pm1$ : unsur diagonalnya lenyap. (b) $\langle\hat x^2\rangle = (\hbar/2m\omega)(2n + 1)$ , $\langle\hat p^2\rangle = (m\hbar\omega/2)(2n + 1)$ (yakni suku $\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a$ ). (c) $\Delta x\Delta p = (n + \tfrac12)\hbar$ : hanya keadaan dasarnya yang minimum. (d) Kedua rata-ratanya sama dengan $E_n/2$ : yakni ekipartisi osilator klasiknya, aras demi aras.

Latihan 9.3 ★

Amplitudo titik nol $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$ : hitunglah untuk (a) molekul CO ( $\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), dibandingkan dengan panjang ikatannya $0.11\,\mathrm{nm}$ ; (b) sebuah atom hidrogen dalam zat padat ( $m = 1.7 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $\hbar\omega = 0.1\,\mathrm{eV}$ ); (c) sebuah cermin LIGO ( $m = 40\,\mathrm{kg}$ , $f = 100\,\mathrm{Hz}$ ); (d) urutkanlah ketiganya sebagai bagian dari ukuran sistemnya lalu berilah ulasan tentang siapa yang “kuantum”.

Solusi

Solusi Latihan 9.3.

(a) $\Delta x = 3.4\,\mathrm{pm}$ : tiga persen panjang ikatannya — sebuah molekul adalah benda yang sedikit kabur bahkan pada suhu nol. (b) $14\,\mathrm{pm}$ , lebih dari sepersepuluh angstrom: hidrogen adalah atom paling kabur dalam kristal mana pun, dan hamburan neutron melihatnya langsung. (c) $4.6 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — dua puluh lima orde di bawah ukuran cerminnya, namun pembacaan LIGO menjangkaunya. (d) Secara pecahan: molekulnya $3\%$ , hidrogennya $\sim15\%$ , cerminnya $\sim10^{-19}$ : “kuantum” bukanlah soal menjadi kecil melainkan soal $\hbar\omega$ berbanding segala hal lainnya — namun dengan kehalusan yang cukup bahkan empat puluh kilogram pun menampakkan lantainya.

Latihan 9.4 ★

(a) Dengan memakai hubungan tangganya, hitunglah $\bra m\hat x\ket n$ lalu tunjukkanlah bahwa ia lenyap kecuali bila $m = n \pm 1$ . (b) Simpulkanlah kaidah pemilihan getarannya $\Delta n = \pm1$ bagi serapan cahaya (koplingnya $\propto\hat x$ ). (c) Mengapa molekul beratom tak sejenis (CO) menyerap cahaya inframerah sedangkan N $_2$ tidak? (d) Molekul sungguhan menunjukkan garis “nada atas” yang lemah pada $\approx 2\hbar\omega$ : apa yang disingkapkannya tentang potensialnya?

Solusi

Solusi Latihan 9.4.

(a) $\bra m\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\sqrt n\, \delta_{m,n-1} + \sqrt{n + 1}\,\delta_{m,n+1})$ . (b) Interaksi dengan cahaya yang $\propto\hat x$ hanya dapat melangkah satu anak tangga: $\Delta n = \pm1$ , yakni satu frekuensi inframerah tiap ragamnya. (c) Getaran CO memodulasi dipol yang tak nol; awan muatan setangkup N $_2$ tidak menghasilkan dipol pada uluran mana pun: ia tak aktif terhadap inframerah. (d) Nada atas hanya ada karena potensial yang sebenarnya tidak persis kuadratik: keanharmonikannya mencampur anak tangganya dan sedikit mengizinkan $\Delta n = 2$ — sekaligus menggeser anak tangga yang tinggi menjadi lebih rapat, sebagaimana ditunjukkan spektrum nyata.

Latihan 9.5 ★★

(a) Selesaikanlah $\hat a\varphi_0 = 0$ sebagai persamaan diferensial lalu normalkanlah. (b) Bangkitkanlah $\varphi_1$ dan $\varphi_2$ dengan mengenakan $\hat a^\dagger$ . (c) Periksalah $\varphi_1 \perp \varphi_0$ hanya lewat paritasnya. (d) Sketsalah ketiga rapatnya lalu periksalah cacah simpulnya.

Solusi

Solusi Latihan 9.5.

(a) $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x\varphi_0$ : yakni fungsi Gauss ternormalkan dalam teksnya. (b) $\varphi_1 \propto x\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}$ ; $\varphi_2 \propto (2m\omega x^2/\hbar - 1)\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}$ . (c) $\varphi_0$ genap, $\varphi_1$ ganjil: integran tumpang tindihnya ganjil. (d) Nol, satu, dua simpul — yakni teorema osilasi dalam bentuk mungil.

Latihan 9.6 ★★

Pratayang Boltzmann. Sekumpulan osilator yang serupa pada suhu $T$ menempati aras $n$ dengan peluang $\propto \eu^{-E_n/k_{\text{B}}T}$ (jilid Tahun 2, faktor Boltzmann). (a) Tunjukkanlah bahwa bilangan kuantum rata-ratanya $\langle n\rangle = 1/(\eu^{\hbar\omega/k_{\text{B}}T} - 1)$ . (b) Hitunglah untuk getaran CO pada $300\,\mathrm{K}$ dan pada $2000\,\mathrm{K}$ . (c) Tunjukkanlah bahwa energi rata-ratanya menuju $k_{\text{B}}T$ pada suhu tinggi (ekipartisi diperoleh kembali) dan menuju $\tfrac12\hbar\omega$ pada suhu rendah. (d) Pada suhu berapa getaran $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (lenturan karbon dioksida) mempunyai $\langle n\rangle = 0.1$ ?

Solusi

Solusi Latihan 9.6.

(a) Dengan $x = \hbar\omega/k_{\text{B}}T$ : $\langle n\rangle = \sum n\eu^{-nx}/\sum\eu^{-nx} = 1/(\eu^x - 1)$ . (b) CO pada $300\,\mathrm{K}$ : $x = 10.4$ , $\langle n\rangle \approx 3 \times 10^{-5}$ — membeku; pada $2000\,\mathrm{K}$ : $x = 1.57$ , $\langle n\rangle = 0.26$ — mulai terbangun. (c) $\langle E\rangle = \hbar\omega(\langle n\rangle + \tfrac12) \to k_{\text{B}}T$ untuk $x \ll 1$ ; $\to \tfrac12\hbar \omega$ untuk $x \gg 1$ . (d) $\eu^x = 11$ : $x = 2.4$ , $T = \hbar\omega/2.4k_{\text{B}} \approx 400\,\mathrm{K}$ — atmosfer Bumi membuat lenturan karbon dioksida tetap sedikit menyala.

Latihan 9.7 ★★

Statistik keadaan koheren. (a) Dari penjabaran $\ket\alpha$ , tunjukkanlah bahwa $\mathcal P(n)$ bersebaran Poisson dengan rata-rata $|\alpha|^2$ . (b) Tunjukkanlah $\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2$ dan $\Delta N = |\alpha|$ . (c) Sebuah laser $1\,\mathrm{mW}$ pada $633\,\mathrm{nm}$ : berapa foton tiap sekon, dan berapa fluktuasi nisbinya $\Delta N/\langle N\rangle$ dalam satu sekon? (d) Derau tembakan: tunjukkanlah bahwa nisbah derau terhadap isyarat arus fotonya turun sebagai $1/\sqrt{\langle N\rangle}$ — mengapa berkas yang terang tampak mulus.

Solusi

Solusi Latihan 9.7.

(a) $\mathcal P(n) = |c_n|^2 = \eu^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}/n!$ : yakni Poisson. (b) Rata-rata dan ragam sebaran Poisson keduanya $|\alpha|^2$ . (c) $3.2 \times 10^{15}$ foton tiap sekon; $\Delta N/\langle N\rangle = 1/\sqrt{\langle N\rangle} \approx 1.8 \times 10^{-8}$ . (d) Arus fotonya mewarisi rentang Poissonnya: derau dibagi isyarat $\propto 1/\sqrt N$ — yakni lantai derau tembakan, yang terdengar pada cahaya redup dan dapat diabaikan pada cahaya terang.

Latihan 9.8 ★★

Perkembangan keadaan koheren. (a) Kenakanlah fase perkembangannya pada penjabarannya lalu tunjukkanlah $\ket{\alpha(t)}$ dengan $\alpha(t) = \alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (kecuali fase globalnya). (b) Simpulkanlah $\langle\hat x\rangle(t)$ dan $\langle\hat p\rangle(t)$ lalu bandingkanlah dengan penyelesaian klasiknya. (c) Mengapa keadaan eigen energi, walaupun stasioner, tidak memerikan bandul yang berayun — ciri keadaan koheren yang manakah yang memerikannya? (d) Perkirakanlah $|\alpha|$ untuk bandul sungguhan ( $10\,\mathrm{g}$ , beramplitudo $10\,\mathrm{cm}$ , $1\,\mathrm{Hz}$ ) lalu berilah ulasan.

Solusi

Solusi Latihan 9.8.

(a) Tiap sukunya memperoleh $\eu^{-\iu n\omega t}$ (kecuali fase globalnya): jumlahnya koheren kembali dengan $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ . (b) $\langle\hat x\rangle = \sqrt{2\hbar/m\omega}\, \operatorname{Re}\,\alpha(t)$ : sebuah kosinus murni pada $\omega$ , dengan amplitudo dan fase yang ditetapkan $\alpha$ — tepat klasik. (c) Rapat sebuah keadaan eigen tak pernah bergerak; bandul yang kita lihat adalah superposisi koheren banyak anak tangga yang fasenya bersekongkol untuk berayun. (d) $E \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$ , $\hbar\omega \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}$ : $n \sim 3 \times 10^{30}$ , $|\alpha| \sim 2 \times 10^{15}$ — gerak makroskopis adalah keterpaduan dengan bilangan kuantum yang setara bilangan astronomi.

Latihan 9.9 ★★

Rangkaian LC kuantum. Sebuah lingkar adiwarsa dengan $L = 10\,\mathrm{nH}$ dan $C = 0.4\,\mathrm{pF}$ mengosilasikan muatan dan fluks seperti $x$ dan $p$ . (a) Berapa frekuensi resonansinya (jilid Tahun 1) dan berapa kuantum $\hbar\omega$ -nya dalam $\text{µ}\mathrm{eV}$ ? (b) Di bawah suhu berapa $k_{\text{B}}T \ll \hbar\omega$ , sehingga rangkaiannya berada dalam keadaan dasarnya? (c) Mengapa kubit adiwarsa dijalankan dalam lemari pendingin pengenceran pada $20\,\mathrm{mK}$ ? (d) Fluktuasi tegangan titik nolnya $\Delta V = \Delta q/C$ dengan $\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2}$ : hitunglah.

Solusi

Solusi Latihan 9.9.

(a) $\omega = 1/\sqrt{LC} = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f = 2.5\,\mathrm{GHz}$ ); $\hbar\omega = 10\,\text{µ}\mathrm{eV}$ . (b) $\hbar\omega/k_{\text{B}} = 0.12\,\mathrm{K}$ : jauh di bawah sekitar $100\,\mathrm{mK}$ . (c) Pada $20\,\mathrm{mK}$ , eksitasi termalnya $\eu^{-6} \sim 2 \times 10^{-3}$ : rangkaiannya duduk dalam $\ket0$ , siap menjadi kubit — suhu ruang akan mengubur kuantumnya dalam $10^3$ kuantum termal. (d) $\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2} = 5.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (beberapa muatan elektron); $\Delta V = \Delta q/C \approx 1.4\,\text{µ}\mathrm{V}$ dengung yang tak terhapuskan.

Latihan 9.10 ★★★

Van der Waals dari gerak titik nol. Modelkanlah dua atom netral berjarak $R$ sebagai dua osilator dipol yang serupa (bermuatan $e$ , bermassa $m$ , berfrekuensi $\omega_0$ ) yang simpangannya terkopel oleh energi dipol $\lambda\,x_1x_2$ dengan $\lambda = e^2/2\pi\varepsilon_0R^3$ . (a) Tunjukkanlah bahwa koordinat normalnya $(x_1 \pm x_2)/\sqrt2$ berosilasi pada $\omega_\pm = \omega_0\sqrt{1 \pm \lambda/m\omega_0^2}$ . (b) Energi dasarnya adalah $\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_-)$ : jabarkanlah sampai orde kedua dalam $\lambda$ lalu tunjukkanlah bahwa energi interaksinya adalah

\Delta E = -\frac{\hbar\lambda^2}{8m^2\omega_0^3} \ \propto\ -\frac{1}{R^6} .

(c) Mengapa tarikan ini bersifat semesta — hadir bahkan antara atom yang sama sekali tak berdipol tetap? (d) Hukum $1/R^6$ adalah gaya van der Waals dalam koreksi gas nyata jilid Tahun 1: apa, secara mikroskopis, yang “berfluktuasi” — dan apa yang akan terjadi pada gaya ini dalam dunia dengan $\hbar = 0$ ?

Solusi

Solusi Latihan 9.10.

(a) Dalam koordinat normalnya Hamiltoniannya terbelah menjadi dua osilator dengan $m\omega_\pm^2 = m\omega_0^2 \pm \lambda$ . (b) $\sqrt{1 + u} + \sqrt{1 - u} \approx 2 - u^2/4$ : $\Delta E = \tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_- - 2\omega_0) = -\hbar\omega_0\lambda^2/8m^2\omega_0^4 = -\hbar\lambda^2/8m^2\omega_0^3$ , dan $\lambda \propto 1/R^3$ memberikan $1/R^6$ . (c) Ia tidak memerlukan dipol tetap — hanya fluktuasi titik nol awan muatan tiap atomnya, yang dikorelasikan koplingnya sehingga tarikannya mengalahkan tolakannya. (d) Besaran yang berfluktuasi adalah dipol seketika keadaan dasarnya; dengan $\hbar = 0$ keadaan dasarnya akan diam tanpa gerak dan tanpa dipol, dan perekat van der Waals — tokek, gas yang mencair, sebagian besar materi lunak — akan lenyap.

Latihan 9.11 ★★★

Pita samping sebuah ion terperangkap. Sebuah ion dalam perangkap harmonik ( $f = 1\,\mathrm{MHz}$ ) menyerap cahaya laser. Karena ionnya bergerak, spektrum serapannya menunjukkan garis elektroniknya pada $\nu_0$ yang diapit garis pada $\nu_0 \pm f$ : yakni transisi yang mengubah bilangan kuantum geraknya sebesar $\mp1$ bersama transisi elektroniknya. (a) Berapa $\hbar\omega_{\text{perangkap}}$ dalam $\mathrm{neV}$ , dan mengapa memilah pita sampingnya menuntut garis yang sangat sempit? (b) Menggerakkan garis $\nu_0 - f$ membuang satu kuantum gerak tiap daur: jelaskanlah pendinginan pita samping menuju keadaan dasarnya. (c) Setelah $\langle n\rangle \approx 0$ , pita samping bawahnya lenyap sama sekali — mengapa ketaksetangkupan itu merupakan bukti tercapainya keadaan dasar kuantum? (d) Beginilah keadaan dasar gerak sebuah atom tunggal — dan cermin LIGO berskala kilogram, dengan cara lain — disahkan: nyatakanlah “suhu” berapa yang telah dicapai ionnya untuk $f = 1\,\mathrm{MHz}$ dan $\langle n\rangle = 0.05$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.11.

(a) $hf = 4.1\,\mathrm{neV}$ : garis optisnya harus lebih sempit daripada satu megahertz — hanya transisi “jam” yang berumur panjang yang memenuhi syarat. (b) Sebuah foton pita samping merah menaikkan ionnya secara elektronik sambil membuang satu kuantum gerak; peluruhan berikutnya mengembalikan energi elektroniknya pada frekuensi pembawanya secara rata-rata: tiap daur menarik keluar $\hbar\omega_{\text{perangkap}}$ gerak. (c) Dari $n = 0$ tak ada lagi yang dapat dibuang: lenyapnya pita samping merahnya merupakan sertifikat bebas latar bagi keadaan dasarnya. (d) $\langle n\rangle = 0.05$ : $T = \hbar\omega/k_{\text{B}}\ln21 \approx 16\,\text{µ}\mathrm{K}$ .

Latihan 9.12 ★★★

Limit klasiknya, secara kuantitatif. Osilator klasik beramplitudo $A$ menghabiskan dalam $[x, x + \dd x]$ bagian sebesar $\dd t/T = \dd x/\pi\sqrt{A^2 - x^2}$ . (a) Turunkanlah sebaran waktu tinggal ini. (b) Untuk keadaan kuantum $n$ , ambillah $A_n$ dari $E_n = \tfrac12 m\omega^2A_n^2$ lalu bandingkanlah sebaran klasiknya dengan $|\varphi_n|^2$ yang dirata-ratakan secara setempat (yang diberikan): di mana keduanya sesuai dan di mana keduanya harus berbeda? (c) Tunjukkanlah bahwa jarak pecahan antara aras berdekatan, $\Delta E/E$ , lenyap sebagai $1/n$ : energinya menjadi sinambung secara efektif. (d) Untuk bandul pada Latihan 9.8(d), perkirakanlah $n$ dan $\Delta E/E$ , lalu simpulkanlah argumen korespondensinya dalam satu kalimat.

Solusi

Solusi Latihan 9.12.

(a) $\dd t = \dd x/|v|$ dengan $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$ , sepanjang setengah periodenya $T/2 = \pi/\omega$ . (b) Keduanya sesuai pada rata-rata setempat di daerah yang diizinkan secara klasik; keduanya harus berbeda di titik baliknya (klasiknya membesar tanpa batas, kuantumnya berpuncak berhingga) dan di luarnya (ekor kuantum di daerah terlarangnya). (c) $\Delta E/E = 1/(n + \tfrac12)$ . (d) $n \sim 3 \times 10^{30}$ : jaraknya satu per $10^{30}$ — tak ada pengukuran terbayangkan yang memilah tangganya, dan mekanikanya tampak sinambung.

9.5 Soal: Molekul yang menghangatkan Bumi

Soal 9.1

Soal akhir pekan — tangga kuantum karbon dioksida dan efek rumah kaca

Molekul karbon dioksida adalah rantai lurus O=C=O: beberapa osilator terkuantumkan. Bahwa $\hbar\omega$ ragam lenturannya kebetulan berada di tengah-tengah pijar termal Bumi yang keluar itulah sebabnya gas surih ini — empat molekul tiap sepuluh ribu — mengemudikan iklim planet. Data: bilangan gelombang lenturannya $\tilde\nu_2 = 667\,\mathrm{cm}^{-1}$ (satuan para spektroskopis: $E = hc\tilde\nu$ , $1\,\mathrm{cm}^{-1} = 1.24 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ ); uluran taksetangkupnya $\tilde\nu_3 = 2349\,\mathrm{cm}^{-1}$ ; uluran setangkupnya $\tilde\nu_1 = 1388\,\mathrm{cm}^{-1}$ ; $k_{\text{B}}T$ pada $288\,\mathrm{K}$ adalah $24.8\,\mathrm{meV}$ ; hukum Wien (jilid Tahun 2): $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ .

Bagian I — Ragam sebuah molekul lurus.

Tiga atom mempunyai sembilan derajat kebebasan: berapa yang merupakan translasi seluruh molekulnya, berapa rotasinya (molekulnya lurus), dan berapa getaran yang tersisa?
Perikanlah keempat getarannya: uluran setangkup, uluran taksetangkup, dan lenturan yang berdegenerasi ganda — mengapa lenturannya muncul dua kali?
Cahaya terkopel dengan dipol listrik yang bergetar (Latihan 9.4). Ragam O=C=O yang manakah yang memodulasi momen dipolnya, dan yang mana yang bisu terhadap inframerah?
Ubahlah ketiga bilangan gelombangnya menjadi panjang gelombang foton, lalu tempatkanlah: yang mana yang berada dalam inframerah termal?
Mengapa kedua gas udara utama, N $_2$ dan O $_2$ , praktis tidak menyerap inframerah sama sekali — dan apa akibatnya bagi ketembusan atmosfernya?
Uap air, yang bengkok dan berdipol, menyerap pada sebagian besar inframerah: pada “jendela” spektrum yang manakah lenturan karbon dioksida bekerja nyaris sendirian (bandingkanlah $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ dengan pita kuat air di bawah $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan di atas $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )?

Bagian II — Tangga kuantum lenturannya.

Hitunglah $\hbar\omega_2$ dalam meV, beserta tangganya $E_n$ .
Berapa bagian molekul yang menempati $n = 1$ pada $288\,\mathrm{K}$ (terhadap $n = 0$ , faktor Boltzmann)? Dan $n = 2$ ?
Panjang gelombang foton yang manakah yang menggerakkan $n = 0 \to 1$ ? Mengapa panjang gelombang yang sama menguasai pancarannya?
Berilah alasan dari tangga harmoniknya bahwa satu panjang gelombang melayani seluruh tangganya ( $n \to n + 1$ untuk tiap $n$ ): sifat jarak aras yang manakah yang bekerja?
Molekulnya juga berputar, sehingga menambahkan struktur halus: ciri $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ -nya sesungguhnya sebuah pita selebar sekitar $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Mengapa lebar pitanya berperan bagi gas rumah kaca (pikirkanlah apa yang terjadi setelah pusat pitanya menjadi legap)?
CO $_2$ yang tereksitasi secara getaran di udara jauh lebih mungkin kehilangan kuantumnya lewat tumbukan daripada lewat pemancaran (umur radiatifnya $\sim1\,\mathrm{s}$ , waktu tumbukannya $\sim10^{-9}\,\mathrm{s}$ ): ke manakah energi radiasi yang terserap itu sesungguhnya pergi?
Sebaliknya, udara pada $288\,\mathrm{K}$ mempertahankan populasi termal pada $n = 1$ (pertanyaan 8): apa yang dilakukan populasi itu yang berarti bagi neraca energinya?

Bagian III — Pembukuan radiasi planetnya.

Matahari memancar sebagai benda $5800\,\mathrm{K}$ : hitunglah puncak Wiennya. Apakah lenturan CO $_2$ mencegat banyak sinar matahari?
Tanahnya memancar sebagai benda $288\,\mathrm{K}$ : hitunglah puncak Wiennya, lalu tempatkanlah $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada kurva termal itu.
Jelaskanlah mekanisme rumah kacanya dalam empat kalimat: sinar matahari masuk, inframerah termal keluar, pencegatan pada $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dan pemancaran ulang ke atas maupun ke bawah.
Pemancaran ulang yang lolos ke angkasa berasal dari lapisan yang tinggi dan dingin ( $\sim220\,\mathrm{K}$ ): mengapa memancar dari lapisan yang lebih dingin mengurangi daya keluar planetnya pada panjang gelombang itu (ingatlah bahwa pancaran termal tumbuh bersama $T$ )?
Lebih banyak CO $_2$ mendorong lapisan pemancarnya makin tinggi dan makin dingin: nyatakanlah dalam satu kalimat mengapa permukaannya lalu harus menghangat agar pembukuannya seimbang kembali.
Pusat pitanya sudah legap; pengaruh CO $_2$ tambahan bekerja di sayap pitanya, sehingga pemaksaannya tumbuh secara logaritmik terhadap kepekatannya: kaitkanlah hal ini dengan pertanyaan 11.

Bagian IV — Isotop: sidik jari kuantumnya.

Frekuensi sebuah osilator berskala sebagai $\sqrt{k/\mu}$ : untuk uluran taksetangkupnya, mengganti $^{12}$ C dengan $^{13}$ C mengubah massa efektifnya; garis teramatinya bergeser dari $2349\,\mathrm{cm}^{-1}$ menjadi sekitar $2283\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Periksalah orde besar pergeseran $\approx 3\%$ ini dari massanya.
Laser yang ditala pada kedua garis itu mencacah $^{13}$ CO $_2$ dan $^{12}$ CO $_2$ secara terpisah dalam cuplikan gas: jelaskanlah mengapa tangga terkuantumkannya membuat deteksi terpilah isotop semacam itu mungkin sama sekali.
Tumbuhan lebih menyukai isotop yang ringan, sehingga karbon fosil miskin $^{13}$ C: apa yang telah dilakukan nisbah isotop terukur CO $_2$ atmosfer ketika kepekatannya naik — dan apa yang dibuktikannya tentang sumber gas tambahannya?
Fisika $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ yang sama bekerja di Venus ( $96\%$ CO $_2$ , $90\,\mathrm{bar}$ ): apa yang digambarkan permukaannya yang $737\,\mathrm{K}$ ?
Mars juga bernapas CO $_2$ yang nyaris murni, tetapi pada $6\,\mathrm{mbar}$ , dan ia sangat dingin: apa yang diperagakan trio Venus–Bumi–Mars tentang variabel mana yang mengendalikan kekuatan efeknya?
Ringkaslah hasil bernama itu: satu kuantum sebesar $83\,\mathrm{meV}$ — yakni $\hbar\omega$ sebuah molekul triatom yang melentur — yang terparkir pada $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ dalam spektrum termal planet $288\,\mathrm{K}$ , yang terserap, tertermalkan dalam hitungan nanosekon lalu dipancarkan ulang dari ketinggian yang dingin, adalah mekanisme yang membuat $0.04\%$ udara menetapkan suhu Bumi.

Solusi

Solusi Soal 9.1.

1. Tiga translasi; dua rotasi (berputar terhadap sumbu molekulnya tidak menggerakkan apa pun); $9 - 5 = 4$ getaran. 2. Ragam uluran sepanjang sumbunya (setangkup: kedua O keluar bersama; taksetangkup: C berulang-alik di antara keduanya); lenturannya dapat terjadi pada salah satu dari dua bidang yang saling tegak lurus — frekuensinya sama, degenerasinya ganda. 3. Uluran taksetangkup dan lenturannya memindahkan pusat muatannya: dipol berosilasi, jadi aktif terhadap inframerah. Uluran setangkupnya menjaga dipol molekulnya tetap nol sepanjang gerakannya: bisu terhadap inframerah. 4. $15.0$ , $4.26$ dan $7.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : semuanya inframerah; $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ berada jauh di dalam inframerah termal pada suhu bumi. 5. Molekul beratom sejenis tak pernah memperoleh dipol ketika bergetar: atmosfer ruahnya tembus inframerah, dan seluruh rumah kacanya bersandar pada gas poliatom surih. 6. Di antara pita air terdapat jendela $8$ – $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; pita $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ karbon dioksida bekerja di tepinya, tempat air hanya bersaing lemah — gas itu menjaga gerbang yang dibiarkan air setengah terbuka. 7. $\hbar\omega_2 = 667 \times 1.24 \times 10^{-4} = 82.7\,\mathrm{meV}$ ; $E_n = (n + \tfrac12) \times 82.7\,\mathrm{meV}$ . 8. $\eu^{-82.7/24.8} = \eu^{-3.33} \approx 3.6\%$ pada $n = 1$ ; $0.13\%$ pada $n = 2$ : tangganya menyala tipis namun tetap. 9. $\lambda = hc/\hbar\omega \to 15.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; jarak aras yang sama yang menyerap adalah jarak yang memancarkan — satu panjang gelombang untuk kedua arah. 10. Jaraknya sama: tiap langkah $n \to n + 1$ berharga foton yang sama, sehingga satu garis melayani seluruh populasi termalnya. 11. Tiap garis getarannya terbelah menjadi banyak garis rotasi-getaran yang tersebar sepanjang $\sim1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : setelah pusat pitanya legap sepenuhnya, hanya lebar inilah yang menawarkan serapan baru — sayap pitanyalah tempat gas tambahan masih berbuat sesuatu. 12. Tumbukannya menang sembilan orde besar: energi fotonnya dibagi dengan N $_2$ dan O $_2$ dalam hitungan nanosekon — radiasi yang terserap menjadi kalor udara. 13. Lewat tumbukan yang sama namun berjalan mundur, udara terus memasok molekul ke $n = 1$ , yang memancarkan $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ke segala arah — termasuk ke bawah: langit itu sendiri berpijar inframerah ke arah tanah. 14. $2898/5800 = 0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : sinar matahari memuncak pada daerah tampak, jauh dari $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — karbon dioksida mempersilakan Matahari masuk. 15. $2898/288 = 10.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : pijar Bumi memuncak pada sepuluh mikron, dan $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ terletak pada bahunya yang lebar, sambil membawa bagian yang cukup besar dari daya keluarnya. 16. Sinar matahari masuk nyaris tanpa hambatan lalu menghangatkan tanahnya. Tanahnya memancarkan kembali pada inframerah termal. Pada $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ radiasi itu terserap dalam hitungan meter lalu tertermalkan. Udara yang terpanaskan memancarkannya kembali ke atas maupun ke bawah, dan separuh yang ke bawah menjadi pemasukan tambahan bagi permukaannya: permukaannya harus menghangat sampai pengeluarannya sepadan dengan pemasukannya. 17. Pancarannya tumbuh curam terhadap suhunya: radiasi yang lolos dari ketinggian $220\,\mathrm{K}$ membawa daya jauh lebih kecil daripada yang akan dikirim permukaannya secara langsung — pitanya menjadi bercak yang lebih redup dalam spektrum keluar planetnya. 18. Dengan daya keluar yang berkurang pada sinar matahari yang tetap, seluruh kolomnya — termasuk permukaannya — harus menghangat sampai pembukuannya seimbang kembali. 19. Pusatnya jenuh, sayapnya aktif: tiap pelipatduaan gasnya melebarkan daerah legapnya sebesar tambahan yang serupa, sehingga pemaksaannya kira-kira logaritmik — sayap pada pertanyaan 11 yang melakukan pekerjaannya. 20. Kuadrat frekuensi uluran taksetangkupnya sebanding dengan $(1/m_{ \text{O}} + 2/m_{\text{C}})$ : nisbah $^{13}$ C terhadap $^{12}$ C adalah $\sqrt{0.2163/0.2292} = 0.971$ — turun $2.9\%$ , cocok dengan $2283/2349$ . 21. Kuantisasinya memberi tiap isotopolog sisir garisnya sendiri yang tajam; sebuah laser yang diparkir pada satu sisir mencacah satu isotop saja — mustahil seandainya serapannya berupa kontinum klasik. 22. Ketika CO $_2$ naik, bagian $^{13}$ C-nya justru turun (efek Suess): karbon tambahannya ringan secara isotop — buatan tumbuhan, lama terkubur, yakni fosil. Atmosfernya membawa tanda tangan sumbernya. 23. Venus: kuantum $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ yang sama, yang diterapkan pada kolom $200000$ kali lipat, menahan permukaan yang lebih panas daripada oven — mekanismenya tidak mempunyai langit-langit bawaan. 24. Mars, yang nyaris murni CO $_2$ namun membeku, menunjukkan bahwa jumlah kolom dan tekanannya (yang melebarkan garisnya), bukan bagian gasnya, yang menetapkan kekuatannya. 25. Sebuah kuantum $83\,\mathrm{meV}$ pada $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ , yang terserap pada bahu termal planet $288\,\mathrm{K}$ , tertermalkan dalam hitungan nanosekon, lalu dipancarkan ulang dari ketinggian yang dingin: tangga osilator harmonik, yang ditimbang terhadap hukum Wien, adalah perangkat yang membuat empat molekul tiap sepuluh ribu memerintah sebuah iklim.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium