Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

7Persamaan Schrödinger dalam Tiga Dimensi

Layar televisi modern bersinar berkat kristal yang begitu kecil sehingga ukurannyalah yang menetapkan warnanya: sebutir kadmium-selenida selebar empat nanometer bersinar merah, sedangkan zat yang sama pada dua nanometer bersinar biru kehijauan. Tak ada yang berbeda dalam kimianya — hanya ukuran kotak yang mengurung elektronnya. Jilid Tahun 2 berakhir dengan mekanika kuantum dalam satu dimensi: fungsi gelombang pada sebuah garis, sumur, penghalang dan penerowongan. Tetapi elektron hidup dalam tiga dimensi, dan langkah dari garis ke ruang membawa fisika yang sungguh baru: peluang mengalir sebagai arus melalui ruang, energi sebuah kotak menumpuk dengan degenerasi yang membocorkan simetrinya, keadaan harus dicacah — pencacahan yang kelak menjalankan seluruh fisika statistik — dan soal berbentuk bola tereduksi, pada bentuk paling sederhananya, menjadi persamaan satu dimensi yang menyamar pada jejarinya. Bab ini mengambil langkah tersebut, dengan titik pusatnya adalah titik kuantum sebuah televisi dan inti teringan di alam.

7.1 Fungsi gelombang dalam ruang

Definisi 7.1 (Fungsi gelombang dan peluang dalam tiga dimensi)

Keadaan sebuah partikel adalah medan kompleks $\psi(\vect r, t)$ dengan kaidah Born

\dd\mathcal P = |\psi(\vect r, t)|^2\,\dd^3r , \qquad \int|\psi|^2\,\dd^3r = 1 ,

dan perkembangannya adalah persamaan Schrödinger dengan Laplacian menggantikan turunan keduanya:

\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi + V(\vect r)\,\psi , \qquad \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} .

Segala sesuatu yang ditegakkan jilid Tahun 2 bertahan kata demi kata: kelinearan dan superposisi, keadaan stasioner $\varphi(\vect r)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}$ dengan $-\tfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\varphi + V\varphi = E\varphi$ , dan operator momentum, yang kini menjadi gradien $\hat{\vect p} = -\iu\hbar\vect\nabla$ .

Proposisi 7.2 (Peluang mengalir: arusnya)

Kerapatan $\rho = |\psi|^2$ memenuhi persamaan kesinambungan,

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\jmath = 0 , \qquad \vect\jmath = \frac{\hbar}{m}\, \operatorname{Im}\big(\psi^*\vect\nabla\psi\big) :

peluangnya kekal secara setempat, diangkut oleh arus $\vect\jmath$ — untuk gelombang bidang $A\eu^{\iu\vect k\cdot\vect r}$ , $\vect\jmath = |A|^2\hbar\vect k/m = \rho\vect v$ , yakni aliran seragam; untuk $\varphi$ bernilai real mana pun, $\vect\jmath = \vect 0$ : keadaan stasioner terikat tidak membawa aliran neto.

Bukti. Seperti dalam satu dimensi: $\partial_t(\psi^*\psi)$ dari persamaannya dan konjugatnya; suku potensialnya saling meniadakan, dan $(\iu\hbar/2m) (\psi^*\Delta\psi - \psi\Delta\psi^*) = -\operatorname{div}\big[(\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\vect\nabla \psi)\big]$ menurut aturan hasil kali untuk divergensinya. ∎

Arus peluang: gelombang berjalan mengangkut kerapatannya bagaikan fluida; fungsi gelombang yang real (terikat, stasioner) diam di tempat — awan elektron atom tidak beredar kecuali keadaannya kompleks.

7.2 Kotak, degenerasi, dan pencacahan keadaan

Teorema 7.3 (Pemisahan variabel)

Jika potensialnya terpisah sebagai $V = V_1(x) + V_2(y) + V_3(z)$ , keadaan stasionernya dapat diambil sebagai hasil kali $\varphi(\vect r) = \varphi_1(x)\,\varphi_2(y)\,\varphi_3(z)$ , dengan tiap faktornya menyelesaikan soal satu dimensinya sendiri, dan energinya dijumlahkan: $E = E_1 + E_2 + E_3$ . Dalam kasus semacam itu, tiga dimensi adalah satu dimensi sebanyak tiga kali.

Bukti. Masukkanlah hasil kalinya ke persamaan stasionernya lalu bagilah dengan $\varphi$ : jumlah tiga bentuk bervariabel tunggal sama dengan tetapan $E$ , sehingga masing-masingnya tetap secara terpisah. Bahwa setiap keadaan merupakan superposisi hasil kali semacam itu adalah kelengkapan penyelesaian 1D-nya, yang diterima tanpa bukti. ∎

Proposisi 7.4 (Kotak kubus dan degenerasinya)

Dalam kotak bersisi $a$ berdinding tak tertembus, keadaannya diindeks oleh tiga bilangan bulat positif,

\varphi_{n_1n_2n_3} \propto \sin\frac{n_1\pi x}{a}\sin\frac{n_2\pi y}{a}\sin\frac{n_3\pi z}{a} , \qquad E = \frac{h^2}{8ma^2}\,(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2) .

Keadaan yang berbeda kini berbagi energi: aras $(2,1,1)$ hadir dalam tiga salinan, karena $(1,2,1)$ dan $(1,1,2)$ merupakan keadaan yang berbeda secara fisis dengan $E$ yang sama. Degenerasi semacam itu adalah tanda adanya simetri — di sini, dapat dipertukarkannya ketiga sumbu kotaknya; gepengkanlah kotaknya sedikit dan tripletnya terbelah.

Bukti. Pemisahan dengan tiga sumur tak hingga jilid Tahun 2; energinya dijumlahkan. ∎

Aras terendah kotak kubus: energinya dalam satuan h2/8ma2 beserta bilangan kuantumnya. Permutasi n_i yang tidak sama memberikan triplet dan sekstet berdegenerasi — yakni sidik jari simetri kubus. — Aras terendah kotak kubus: energinya dalam satuan $h^2/8ma^2$ beserta bilangan kuantumnya. Permutasi $n_i$ yang tidak sama memberikan triplet dan sekstet berdegenerasi — yakni sidik jari simetri kubus.

Proposisi 7.5 (Mencacah keadaan)

Banyaknya keadaan kotak berenergi di bawah $E$ adalah, untuk $E$ besar,

N(E) \approx \frac{V}{6\pi^2}\Big(\frac{2mE}{\hbar^2}\Big)^{3/2} , \qquad V = a^3 :

sebanding dengan volumenya dan dengan $E^{3/2}$ . Setara dengan itu, ruang fase memuat satu keadaan kuantum tiap volume $h^3$ — yakni sel Bohr–Sommerfeld pada Bab 2, yang kini diturunkan. Satu pencacahan inilah bahan mentah fisika statistik dan fisika zat padat di bagian selanjutnya jilid ini: elektron dalam logam, foton dalam rongga, dan pijar benda panas semuanya bermula di sini.

Bukti. Keadaannya adalah titik kisi $(n_1, n_2, n_3)$ dalam oktan positif; $E \le E_{\max}$ mempertahankan yang berada di dalam bola berjejari $R = \sqrt{8ma^2E/h^2}$ . Untuk $R$ besar, cacahnya sama dengan volume oktannya $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi R^3$ ; sulihkanlah. (Versi ruang fasenya: $N = \tfrac{V\cdot\frac43\pi p^3}{h^3}$ dengan $p = \sqrt{2mE}$ — bilangan yang sama.) ∎

Contoh 7.6 (Sebuah logam, taksiran pertama)

Tembaga menyediakan kira-kira satu elektron bergerak tiap atom, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ . Mengisi keadaan kotaknya dua elektron masing-masing (spin, Bab 12) sampai energi yang memuat semuanya memberikan, dengan membalik pencacahannya, $E_{\text{F}} \approx 7\,\mathrm{eV}$ — energi yang luar biasa besar dibandingkan dengan kegelisahan termalnya ( $k_{\text{B}}T \approx 25\,\mathrm{meV}$ ): bahkan pada suhu ruang elektron sebuah logam merupakan kerumunan yang sangat kuantum. Kisah lengkapnya ada pada Bab 24.

Contoh 7.7 (Osilator isotropik)

Untuk $V = \tfrac12 m\omega^2r^2 = \tfrac12 m\omega^2(x^2 + y^2 + z^2)$ , pemisahannya memberikan $E = (n_x + n_y + n_z + \tfrac32)\hbar\omega$ : aras $\tfrac32, \tfrac52, \tfrac72\hbar\omega\ldots$ dengan degenerasi $1, 3, 6, 10, \dots$ — yang tumbuh, tidak seperti pola tak beraturan kotaknya, dengan keteraturan sempurna. Degenerasi tambahan di luar yang dijelaskan permutasi sumbu menandakan simetri tersembunyi yang lebih besar; atom hidrogen kelak mengulangi muslihat itu secara mengagumkan. Diisi dengan partikel berpasangan spin, kulit osilator ini memuat $2, 8, 20, \dots$ — hampiran pertama bagi “bilangan sakti” fisika inti (Bab 25).

7.3 Soal berbentuk bola: muslihat gelombang s

Proposisi 7.8 (Keadaan bersimetri bola)

Untuk potensial sentral $V(r)$ , carilah keadaan yang hanya bergantung pada $r$ (yakni keadaan s; kasus umumnya, dengan struktur sudutnya, menunggu Bab 10). Dengan menuliskan $\varphi(r) = u(r)/r$ , fungsi $u$ memenuhi

-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + V(r)\,u = E\,u , \qquad u(0) = 0 :

yakni tepat persamaan Schrödinger satu dimensi pada setengah garis, dengan dinding di titik asalnya. Setiap perkakas 1D jilid Tahun 2 — sumur, penyesuaian, penerowongan — berlaku kata demi kata bagi soal berbentuk bola, dengan harga satu penyulihan.

Bukti. Untuk $\varphi(r)$ , Laplaciannya menyusut menjadi $\Delta\varphi = \tfrac1r(r\varphi)'' = u''/r$ ; masukkanlah lalu kalikan dengan $r$ . Syarat $u(0) = 0$ menjaga $\varphi = u/r$ tetap berhingga di titik asalnya; penormalannya adalah $\int_0^\infty|u|^2\dd r$ kali $4\pi$ — jadi $u$ adalah fungsi gelombang 1D yang sejati. ∎

Contoh 7.9 (Deuteron: nyaris bukan inti)

Deuteron — satu proton, satu neutron — adalah inti yang paling sederhana: energi ikatnya $B = 2.2\,\mathrm{MeV}$ , mungil dibandingkan skala inti. Sebagai model, tempatkanlah gerak nisbinya (massa tereduksi $m_{\text{p}}/2$ ) dalam sumur bola berjangkauan $R = 2.1\,\mathrm{fm}$ dan berkedalaman $V_0$ : persamaan $u$ -nya adalah sumur 1D berhingga. Menyesuaikan penyelesaian di dalam dan di luarnya menuntut kedalaman minimum $V_0 > \pi^2\hbar^2/8\mu R^2 \approx 23\,\mathrm{MeV}$ agar ada keadaan terikat sama sekali, dan menghasilkan kembali $B = 2.2\,\mathrm{MeV}$ menuntut $V_0 \approx 35\,\mathrm{MeV}$ (Latihan 7.10): gaya kuat mengikat deuteron hanya dengan kelonggaran sepuluh persen. Fungsi gelombangnya merembes jauh ke luar sumurnya — pasangan nukleonnya menghabiskan sebagian besar waktunya di luar jangkauan gayanya — dan tidak ada keadaan terikat kedua: inti tersederhana kedua di alam, yaitu helium, memerlukan nukleon ketiga.

Fungsi gelombang radial deuteron u(r) dalam model sumur bola: nyaris hanya seperempat osilasi yang muat di dalam sumurnya, dan keadaannya bertahan berkat ekor yang menjangkau jauh melampaui jangkauan gayanya — sebuah inti yang terikat sebesar 2.2\, MeV dalam sumur sedalam 35\, MeV. — Fungsi gelombang radial deuteron $u(r)$ dalam model sumur bola: nyaris hanya seperempat osilasi yang muat di dalam sumurnya, dan keadaannya bertahan berkat ekor yang menjangkau jauh melampaui jangkauan gayanya — sebuah inti yang terikat sebesar $2.2\,\mathrm{MeV}$ dalam sumur sedalam $35\,\mathrm{MeV}$ .

Metode 7.10 (Soal tiga dimensi)

(1) Potensialnya aditif ( $V_1 + V_2 + V_3$ )? Pisahkanlah; energinya dijumlahkan; himpunlah degenerasinya menurut simetrinya. (2) Potensial sentral, keadaan berbentuk bola? Sulihkanlah $\varphi = u/r$ lalu pakailah kembali setiap hasil 1D dengan $u(0) = 0$ . (3) Untuk mencacah keadaan, berpikirlah dalam ruang $\vect n$ atau dalam ruang fase dengan satu keadaan tiap $h^3$ (tiap keadaan spin). (4) Arus: hitunglah $\vect\jmath$ ketika aliran atau fluks berperan; ingatlah: fungsi gelombang real $=$ tanpa arus. (5) Taksiran lebih dahulu: energi pengurungan $\sim h^2/8mL^2$ tiap arah menetapkan skalanya, dari titik kuantum sampai inti, sebelum satu persamaan pun diselesaikan.

Titik kuantum di bawah cahaya ultraungu: semikonduktor yang sama, dalam kristal yang makin kecil, bersinar dari merah sampai biru. Warnanya ditetapkan oleh energi partikel-dalam-kotak pada bab ini — pengurungan yang dapat Anda lihat.

7.4 Latihan

Latihan 7.1 ★

Keadaan Gauss $\psi(\vect r) = A\,\eu^{-r^2/4\sigma^2}$ . (a) Normalkanlah ( $\int_0^\infty x^2\eu^{-x^2}\dd x = \sqrt\pi/4$ ). (b) Hitunglah $\langle r^2\rangle$ dan $\Delta x$ (keisotropannya membantu). (c) Berapa $\vect\jmath$ untuk keadaan ini, dan mengapa? (d) Kalikanlah dengan $\eu^{\iu\vect k_0\cdot\vect r}$ : berapa kini $\langle\vect p\rangle$ dan $\vect\jmath$ ?

Solusi

Solusi Latihan 7.1.

(a) $\int|\psi|^2\dd^3r = |A|^2\,4\pi\int_0^\infty r^2\eu^{-r^2/2 \sigma^2}\dd r = |A|^2(2\pi\sigma^2)^{3/2}$ : $A = (2\pi\sigma^2)^{ -3/4}$ . (b) Menurut keisotropannya $\langle r^2\rangle = 3\langle x^2\rangle = 3\sigma^2$ , sehingga $\Delta x = \sigma$ . (c) $\vect\jmath = \vect 0$ : fungsi gelombangnya real. (d) $\langle\vect p\rangle = \hbar\vect k_0$ dan $\vect\jmath = \rho\,\hbar\vect k_0/m$ : awan yang sama, yang kini menghanyut.

Latihan 7.2 ★

Untuk kotak kubus, daftarkanlah semua aras sampai $E = 15$ (dalam satuan $h^2/8ma^2$ ) beserta degenerasinya. Lalu tunjukkanlah bahwa aras $27$ berdegenerasi melampaui permutasinya: carilah kedua keluarga bilangan kuantumnya, lalu katakanlah mengapa degenerasi “kebetulan” semacam itu tidak menyusul dari simetri kubusnya.

Solusi

Solusi Latihan 7.2.

$3\,(1)$ , $6\,(3)$ , $9\,(3)$ , $11\,(3)$ , $12\,(1)$ , $14\,(6)$ — lalu tak ada apa pun sampai $17$ . Aras $27$ : $(3,3,3)$ beserta permutasi $(5,1,1)$ — empat keadaan, karena $27 = 9+9+9 = 25+1+1$ . Simetri kubusnya hanya mempermutasikan sumbunya, dan tak ada permutasi yang menghubungkan $(3,3,3)$ dengan $(5,1,1)$ : kebetulannya bersifat aritmetik (dua penyajian sebagai jumlah tiga kuadrat), bukan geometrik.

Latihan 7.3 ★

Hitunglah arus $\vect\jmath$ untuk: (a) gelombang bidang $A\eu^{\iu kx}$ ; (b) gelombang berdiri $A\sin kx$ ; (c) superposisi $A(\eu^{\iu kx} + r\,\eu^{-\iu kx})$ dengan $r$ real — tafsirkanlah hasilnya sebagai fluks datang dikurangi fluks pantul; (d) keadaan $A\,\eu^{\iu m\varphi}$ pada cincin berjejari $b$ (pakailah $|\vect\nabla| = (1/b)\partial_\varphi$ di sana): sebuah arus yang beredar selamanya.

Solusi

Solusi Latihan 7.3.

(a) $\vect\jmath = |A|^2\hbar k/m\,\vect e_x$ . (b) Nol: fungsinya real. (c) $j = (|A|^2\hbar k/m)(1 - r^2)$ : fluks datang dikurangi fluks pantulnya — suku silangnya saling meniadakan. (d) $j = \rho\,\hbar m/Mb$ dengan $\rho = 1/2\pi$ (tiap satuan sudut): sebuah peredaran tetap, yakni leluhur mikroskopis arus abadi.

Latihan 7.4 ★

Sebutir kristal titik kuantum mengurung pasangan elektron–lubang bermassa efektif $\mu = 0.10\,m_{\text{e}}$ ; energi foton yang dipancarkannya adalah celah ruahnya $E_{\text{g}} = 1.74\,\mathrm{eV}$ ditambah energi pengurungan kotak bola, $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ . (a) Hitunglah energi pengurungannya pada $R = 3\,\mathrm{nm}$ . (b) Berapa panjang gelombang yang dipancarkannya? (c) Ke arah mana warnanya bergerak ketika titiknya mengecil? (d) Mengapa kadmium selenida ruah ( $R$ besar) menunjukkan satu warna tetap saja?

Solusi

Solusi Latihan 7.4.

Koefisiennya adalah $\pi^2(\hbar c)^2/2\mu c^2 = 3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}$ . (a) Pada $R = 3\,\mathrm{nm}$ : $0.42\,\mathrm{eV}$ . (b) $E = 2.16\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 1240/2.16 = 575\,\mathrm{nm}$ , kuning kehijauan. (c) $R$ makin kecil, $E$ makin besar: menuju biru. (d) Dalam ruahnya suku pengurungannya lenyap: celahnya tetap $1.74\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 713\,\mathrm{nm}$ , yakni merah tua yang sama apa pun cuplikannya.

Latihan 7.5 ★★

Partikel pada cincin (jejari $b$ , koordinat $\varphi$ ): keadaan stasionernya adalah $\psi_m = \eu^{\iu m\varphi}/\sqrt{2\pi}$ . (a) Mengapa $m$ harus bilangan bulat? (b) Tunjukkanlah $E_m = \hbar^2m^2/2mb^2$ — hati-hati dengan kedua $m$ -nya: tuliskanlah $E_m = \hbar^2 m^2/2Mb^2$ untuk massa $M$ — lalu perhatikanlah bahwa tiap aras dengan $m \neq 0$ berdegenerasi ganda: simetri apa yang memasangkan $+m$ dengan $-m$ ? (c) Hitunglah arus $\psi_m$ beserta momen magnetik “orbital” yang menyertainya jika partikelnya bermuatan $q$ . (d) Keenam elektron bergerak benzena hidup pada cincin berjejari $b \approx 1.4\,\text{Å}$ : perkirakanlah energi foton eksitasi terizinkan pertamanya ( $m = \pm1 \to \pm2$ ) lalu bandingkanlah dengan serapan ultraungu benzena di dekat $180\,\mathrm{nm}$ — satu cincin, tanpa kimia.

Solusi

Solusi Latihan 7.5.

(a) Bernilai tunggal: $\psi(\varphi + 2\pi) = \psi(\varphi)$ memaksa $\eu^{2\pi\iu m} = 1$ . (b) $E_m = \hbar^2m^2/2Mb^2$ ; keadaan $\pm m$ beredar berlawanan arah dan dipertukarkan oleh pencerminan (atau pembalikan waktu) — yakni simetri cincinnya, sehingga muncul degenerasinya. (c) Lingkar arus $I = q\hbar m/2\pi Mb^2$ membawa momen magnetik $\mu = I\pi b^2 = m\,q\hbar/2M$ — terkuantumkan dalam langkah $q\hbar/2M$ , yakni pola magneton Bohr pada Bab 10. (d) $\hbar^2/2m_{\text{e}}b^2 = 1.9\,\mathrm{eV}$ ; keenam elektronnya mengisi $m = 0, \pm1$ , dan eksitasi pertamanya $\pm1 \to \pm2$ berharga $(4-1) \times 1.9 \approx 5.8\,\mathrm{eV}$ , yakni $\lambda \approx 210\,\mathrm{nm}$ — lingkungan ultraungu yang tepat, hanya dari sebuah cincin dan tak lebih.

Latihan 7.6 ★★

Degenerasi osilator isotropik. (a) Tunjukkanlah bahwa banyaknya rangkap tiga dengan $n_x + n_y + n_z = n$ adalah $(n+1)(n+2)/2$ . (b) Daftarkanlah pengisian kulitnya untuk $n = 0$ sampai $3$ , dilipatduakan karena spinnya. (c) Tunjukkanlah bahwa pengisian kumulatifnya $2, 8, 20, 40, \dots$ : ketiga yang pertama cocok dengan bilangan nukleon “sakti” yang bertambah mantap dalam fisika inti — apa yang disarankan kegagalannya pada $40$ (yang sakti sesungguhnya: $28$ , $50$ ) tentang potensial intinya? (d) Mengapa pola aras kotaknya yang tak beraturan, tidak seperti pola osilatornya, tidak menghasilkan struktur kulit yang kuat?

Solusi

Solusi Latihan 7.6.

(a) Pilihlah $n_x = 0..n$ dan $n_y = 0..n - n_x$ : $\sum_{n_x}(n - n_x + 1) = (n+1)(n+2)/2$ . (b) Dengan spinnya: $2, 6, 12, 20$ ; kumulatifnya $2, 8, 20, 40$ . (c) $2$ , $8$ , $20$ bersifat sakti; kegagalannya di atas itu mengatakan bahwa sumur intinya tidak harmonik — dasarnya lebih datar, dan yang terpenting ia mempunyai kopling spin–orbit kuat yang menyusun ulang kulitnya menjadi $28, 50, 82$ . (d) Struktur kulit menuntut aras yang bergerombol dan terpisah oleh celah; aras kotaknya menyebar tak beraturan tanpa celah besar, sehingga tak ada pola kemantapan mirip inti yang muncul.

Latihan 7.7 ★★

Sumur bola tak hingga (jejari $R$ ): dengan memakai muslihat gelombang $s$ , (a) carilah aras $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2MR^2$ beserta fungsi gelombangnya $u_n$ ; (b) hitunglah $E_1$ untuk sebuah nukleon ( $Mc^2 = 939\,\mathrm{MeV}$ ) dalam $R = 5\,\mathrm{fm}$ (pakailah $\hbar c = 197.3\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ ); (c) bandingkanlah dengan jarak antararas nukleon terukur yang beberapa MeV pada inti sedang; (d) di manakah partikelnya paling mungkin ditemukan dalam keadaan dasarnya — hitunglah maksimum $|u_1|^2$ , lalu pertentangkanlah dengan jawaban kotak 1D untuk $|\varphi|^2$ .

Solusi

Solusi Latihan 7.7.

(a) $u_n = \sqrt{2/R}\sin(n\pi r/R)$ , $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2MR^2$ . (b) $E_1 = \pi^2(\hbar c)^2/2Mc^2R^2 = 384210/(2 \times 939 \times 25) = 8.2\,\mathrm{MeV}$ . (c) Skalanya tepat: nukleon dalam inti adalah keadaan kuantum berjarak MeV, sebagaimana ditunjukkan spektrumnya. (d) $|u_1|^2$ memuncak pada $r = R/2$ : peluang radialnya terbesar di setengah jalan ke luar (faktor $r^2$ unsur volumenya, yang tersembunyi dalam $u = r\varphi$ , mendorong maksimumnya menjauhi pusat), sedangkan $|\varphi|^2$ kotak 1D memuncak di pusatnya.

Latihan 7.8 ★★

Mencacah elektron dalam logam. (a) Dari Proposisi 7.5 dengan dua keadaan spin, tunjukkanlah bahwa mengisi $N$ elektron dalam volume $V$ mencapai energi Fermi

E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}\,(3\pi^2n)^{2/3} , \qquad n = N/V .

(b) Hitunglah untuk tembaga. (c) Hitunglah laju Fermi dan suhu Fermi $E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ yang bersesuaian. (d) Dalam satu kalimat: mengapa elektronnya tidak semuanya duduk di keadaan dasar, dan asas mana (yang dipratayangkan di sini, dibuktikan dalam Bab 14) yang melarangnya?

Solusi

Solusi Latihan 7.8.

(a) Ambillah $N = 2N_{\text{keadaan}}(E_{\text{F}})$ lalu baliklah pencacahannya. (b) Tembaga: $E_{\text{F}} = 7.1\,\mathrm{eV}$ . (c) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (d) Elektron adalah fermion yang identik: asas larangan Pauli (Bab 14) mengizinkan paling banyak dua tiap keadaan orbital, sehingga kerumunannya harus menumpuk sampai energi berorde elektronvolt.

Latihan 7.9 ★★

Kedalaman minimum sumur bola. Untuk sumur berhingga ( $-V_0$ untuk $r < R$ ), keadaan dasar gelombang $s$ -nya mempunyai $u = \sin kr$ di dalam dan $\eu^{-\kappa r}$ di luarnya. (a) Tuliskanlah $k$ dan $\kappa$ beserta syarat penyesuaiannya $k\cot kR = -\kappa$ . (b) Tunjukkanlah bahwa keadaan terikat pertama kali muncul ketika $kR = \pi/2$ tepat pada $E = 0$ , sehingga $V_{0,\min} = \pi^2\hbar^2/8MR^2$ . (c) Hitunglah untuk deuteronnya ( $M \to \mu = m_{\text{p}}/2$ , $R = 2.1\,\mathrm{fm}$ ). (d) Pertentangkanlah dengan satu dimensi, tempat sumur sedangkal apa pun mengikat: apa yang diubah dinding $u(0) = 0$ itu secara fisis?

Solusi

Solusi Latihan 7.9.

(a) $k = \sqrt{2M(V_0 - |E|)}/\hbar$ , $\kappa = \sqrt{2M|E|}/\hbar$ ; kesinambungan $u'/u$ pada $R$ memberikan $k\cot kR = -\kappa$ . (b) Ketika $|E| \to 0$ , $\kappa \to 0$ : $\cot kR = 0$ , $kR = \pi/2$ , lalu $V_0 = \hbar^2k^2/2M = \pi^2\hbar^2/8MR^2$ . (c) Dengan $\mu c^2 = 469\,\mathrm{MeV}$ , $R = 2.1\,\mathrm{fm}$ : $V_{0,\min} = 23\,\mathrm{MeV}$ . (d) Dinding $u(0) = 0$ menjadikan keadaan $s$ 3D-nya padanan keadaan 1D yang ganjil, yang harus memuat seperempat gelombang di dalam sumurnya: sumur yang dangkal tidak dapat, sedangkan dalam 1D keadaan genap tanpa simpul selalu mengikat.

Latihan 7.10 ★★★

Deuteron, diselesaikan. Dengan $\mu c^2 = 469\,\mathrm{MeV}$ , $R = 2.1\,\mathrm{fm}$ , $B = 2.22\,\mathrm{MeV}$ : (a) hitunglah $\kappa$ dari $B$ beserta panjang ekornya $1/\kappa$ ; (b) tuliskanlah syarat penyesuaiannya lalu tunjukkanlah bahwa ia menjadi $\cot kR = -\kappa/k$ dengan $k$ ditetapkan oleh $V_0 - B$ ; (c) selesaikanlah untuk $V_0$ (dengan lelaran: mulailah dari $kR \approx 0.6\pi$ ) lalu berikanlah $V_0$ sampai MeV terdekat; (d) hitunglah peluang bahwa kedua nukleonnya berjarak lebih dari $R$ (integralkanlah ekornya), lalu berilah ulasan tentang “sebuah inti yang hidup sebagian besar di luar gayanya sendiri”.

Solusi

Solusi Latihan 7.10.

(a) $\kappa = \sqrt{2\mu c^2B}/\hbar c = \sqrt{2 \times 469 \times 2.22}/197.3 = 0.231\,\mathrm{fm}^{-1}$ : panjang ekornya $1/\kappa = 4.3\,\mathrm{fm}$ , dua kali jangkauan gayanya. (b) $k = \sqrt{2\mu(V_0 - B)}/\hbar$ dan $\cot kR = -\kappa/k$ . (c) Dengan lelaran: $kR = 1.83$ , $k = 0.87\,\mathrm{fm}^{-1}$ , $V_0 - B = (\hbar ck)^2/\mu c^2\cdot\tfrac12 \approx 31\,\mathrm{MeV}$ : $V_0 \approx 34\,\mathrm{MeV}$ . (d) Di dalam: $\int_0^R\sin^2kr\,\dd r \approx 1.19\,\mathrm{fm}$ ; di luar: $\sin^2(kR)/2\kappa \approx 2.0\,\mathrm{fm}$ : sekitar $63\%$ peluangnya terletak di luar sumurnya — deuteronnya sebagian besar mendiami daerah yang gaya pengikatnya sudah habis, yakni sebuah lingkaran cahaya kuantum murni.

Latihan 7.11 ★★★

Ehrenfest dan kesinambungan dalam tiga dimensi. (a) Buktikanlah $\dd\langle\vect r\rangle/\dd t = \langle\vect p\rangle/m$ dari persamaan kesinambungannya (integralkanlah $\vect r\,\partial_t\rho$ secara parsial). (b) Buktikanlah $\dd\langle\vect p\rangle/\dd t = -\langle\vect\nabla V\rangle$ . (c) Pada syarat apa atas $V$ maka $\langle\vect r\rangle$ mengikuti lintasan klasiknya secara tepat? (d) Berikanlah satu kasus nyata yang tidak demikian (misalnya paket yang terbelah oleh potensial celah ganda) lalu jelaskanlah apa yang kemudian diperikan rata-ratanya.

Solusi

Solusi Latihan 7.11.

(a) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\,\partial_t\rho\,\dd^3r = -\int x\operatorname{div}\vect\jmath\,\dd^3r = \int j_x\,\dd^3r = \langle p_x\rangle/m$ (secara parsial, dengan suku batasnya lenyap). (b) Turunkanlah $\langle\vect p\rangle = -\iu\hbar\int\psi^*\vect\nabla \psi$ , lalu pakailah persamaannya dua kali; suku kinetiknya saling meniadakan secara parsial, sehingga tersisa $-\int|\psi|^2\vect\nabla V$ . (c) $V$ paling tinggi kuadratik: barulah $\langle\vect\nabla V(\vect r)\rangle = \vect\nabla V(\langle \vect r\rangle)$ secara tepat. (d) Di balik celah ganda, paketnya berupa dua cuping; $\langle\vect r\rangle$ meluncur menuruni sumbu simetrinya, tempat partikelnya praktis tak pernah mendarat: rata-ratanya memerikan pusat massa ensembelnya, bukan lintasan siapa pun.

Latihan 7.12 ★★★

Mengapa atom tidak runtuh. Modelkanlah keadaan dasar hidrogen dengan fungsi coba $\psi \propto \eu^{-r/a}$ dengan $a$ yang dapat diatur. (a) Dengan menerima $\langle E_k\rangle = \hbar^2/2m_{\text{e}}a^2$ dan $\langle E_p\rangle = -e^2/4\pi\varepsilon_0a$ , jelaskanlah asal usul tiap penyekalaannya. (b) Minimumkanlah $E(a)$ lalu tunjukkanlah bahwa optimumnya adalah jejari Bohr, dengan $E = -13.6\,\mathrm{eV}$ . (c) Mengapa memperkecil $a$ di bawah optimumnya justru menaikkan energinya, padahal potensialnya makin dalam? (d) Argumen yang sama dengan $1/r$ digantikan tarikan gravitasi antara elektron dan proton: carilah “jejari Bohr gravitasi”nya lalu simpulkanlah mengapa gravitasi tidak membangun atom.

Solusi

Solusi Latihan 7.12.

(a) Kinetik: gradien berskala $1/a$ memberikan $\hbar^2/2m_{\text{e}} a^2$ ; potensial: awannya berada pada jarak $\sim a$ , sehingga memberikan $-ke^2/a$ (koefisien eksaknya kebetulan $1$ ). (b) $\dd E/\dd a = 0$ pada $a = \hbar^2/m_{\text{e}}ke^2 = a_0$ ; $E(a_0) = -ke^2/2a_0 = -13.6\,\mathrm{eV}$ . (c) Di bawah $a_0$ ongkos kinetiknya tumbuh sebagai $1/a^2$ , lebih cepat daripada perolehan $-1/a$ -nya: pelokalannya dipajaki oleh asas ketaktentuan, dan atomnya mengambang pada ukuran titik impasnya. (d) Gantilah $ke^2$ dengan $Gm_{\text{e}}m_{\text{p}} = 1.0 \times 10^{-67}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ : $a_{\text{grav}} = \hbar^2/m_{\text{e}}G m_{\text{e}}m_{\text{p}} \approx 1.2 \times 10^{29}\,\mathrm{m}$ — lebih besar daripada semesta teramati: gravitasi terlalu lemah untuk menutup orbit kuantum, dan justru membangun bintang alih-alih atom.

7.5 Soal: Warna sebuah titik kuantum

Soal 7.1

Soal akhir pekan — merekayasa cahaya dengan menghitung nanometer

Hadiah Nobel Kimia 2023 diberikan bagi penemuan dan sintesis titik kuantum: kristal yang begitu kecil sehingga energi partikel-dalam-kotak pada bab ini menetapkan warnanya, yang kini bersinar di layar televisi dan menandai molekul dalam sel hidup. Soal ini merancang layar titik kuantum dari persamaan Schrödinger. Model: pasangan elektron–lubang yang aktif secara optis, bermassa efektif $\mu = 0.10\,m_{\text{e}}$ ( $m_{\text{e}}c^2 = 511\,\mathrm{keV}$ ), terkurung dalam bola berjejari $R$ ; energi foton yang dipancarkannya

E(R) = E_{\text{g}} + \frac{\pi^2\hbar^2}{2\mu R^2} ,

dengan celah pita ruahnya $E_{\text{g}} = 1.74\,\mathrm{eV}$ (kadmium selenida). Pakailah $\hbar c = 197.3\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ , $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ .

Bagian I — Fisika di balik rumusnya.

Dari mana suku $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ berasal? Turunkanlah ia sebagai aras dasar sumur bola tak hingga lewat penyulihan gelombang $s$ .
Mengapa pengurungan selalu menaikkan energi yang dipancarkan, tak pernah menurunkannya?
Hitunglah energi pengurungannya untuk $R = 10$ , $4$ , $2$ dan $1\,\mathrm{nm}$ , lalu kenalilah ukuran yang membuatnya berhenti menjadi koreksi kecil terhadap $E_{\text{g}}$ .
Modelnya mengabaikan tarikan elektron–lubang. Ke arah mana penyertaannya akan menggeser pancarannya, dan mengapa pengabaiannya lebih baik untuk titik yang kecil (bandingkanlah penyekalaan $1/R^2$ dan $1/R$ )?
Kadmium selenida ruah memancar pada panjang gelombang berapa? Pada bagian spektrum manakah ia terletak?
Mengapa segelas larutan titik kuantum bersinar dalam satu warna murni walaupun ia memuat $10^{15}$ titik? Sifat sintesis apa yang sedang disahkan?

Bagian II — Merancang paletnya. Sebuah layar memerlukan merah $630\,\mathrm{nm}$ , hijau $530\,\mathrm{nm}$ , biru $460\,\mathrm{nm}$ .

Ubahlah tiap panjang gelombangnya menjadi energi foton.
Untuk tiap warnanya, hitunglah energi pengurungan yang diperlukan beserta jejari titiknya.
Buatlah tabelnya: kira-kira berapa atom lebarnya tiap titik itu (jarak kisinya $\approx 0.6\,\mathrm{nm}$ )?
Biru terbukti paling sulit bagi titik kadmium selenida: dari jejari Anda, jelaskanlah mengapa (apa yang terjadi pada kelonggarannya ketika $R$ mengecil?).
Tunjukkanlah bahwa kepekaan energi yang dipancarkan terhadap ukurannya adalah

$\frac{\dd E}{\dd R} = -\frac{\pi^2\hbar^2}{\mu R^3} ,$

lalu hitunglah nilainya, dalam $\mathrm{meV}$ tiap nanometer, pada jejari titik hijaunya.
Satu kumpulan produksi bervariasi $\pm5\%$ dalam jejarinya: hitunglah rentang panjang gelombang pancaran hijaunya, lalu bandingkanlah dengan lebar garis $\sim25\,\mathrm{nm}$ yang ditoleransi layar yang baik.
Mengapa layar titik kuantum harus menunggu kimia yang mampu mengendalikan ukuran pada skala atom — dan mengapa itu merupakan pencapaian bermutu Nobel?

Bagian III — Lebih terang, lebih murni, lebih aneh.

Perangkat modern memakai titik kuantum sebagai pengubah warna: sebuah LED biru menyinari titik merah dan hijau. Mengapa energi foton pemompanya harus melebihi energi pancaran titiknya, dan ke mana selisihnya pergi?
Hitunglah bagian energi foton pemompa $460\,\mathrm{nm}$ yang hilang sebagai kalor ketika sebuah foton merah $630\,\mathrm{nm}$ dipancarkan.
Sebuah titik dapat pula menyerap pada banyak panjang gelombang tetapi memancar pada satu panjang gelombang: jelaskanlah, dari struktur arasnya, mengapa serapannya berpita lebar sedangkan pancarannya sempit.
Ahli biologi menandai protein dengan titik berbagai ukuran yang dieksitasi satu lampu ultraungu: sifat titik yang manakah yang membuat satu lampu memadai, padahal pewarna organik memerlukan satu laser tiap warna?
Perkirakanlah banyaknya atom dalam titik merahnya ( $4/3\pi R^3$ , dengan volume atomnya $\sim(0.3\,\mathrm{nm})^3$ ): apakah “atom buatan” nama yang adil bagi benda seukuran itu dengan aras yang diskret?
Dalam satu kalimat: apa yang berperan sebagai “inti” dalam atom buatan ini — apa yang menahan elektronnya?

Bagian IV — Pengurungan lintas fisika.

Taksiran yang sama $E_1 \sim \pi^2\hbar^2/2MR^2$ yang diterapkan pada nukleon dalam $R = 3\,\mathrm{fm}$ memberikan skala energi berapa? (Itulah sebabnya fisika inti berbicara dalam MeV.)
Diterapkan pada elektron yang terkurung seukuran inti, ia memberikan energi yang memalukan sebesar berapa — dan apa yang dikemukakannya tentang elektron “di dalam” inti (sebuah argumen yang pernah membunuh sebuah teori peluruhan beta)?
Diterapkan pada Anda ( $70\,\mathrm{kg}$ ) dalam kamar $2\,\mathrm{m}$ : hitunglah energi pengurungannya lalu simpulkanlah.
Baliklah rumusnya: pada ukuran pengurungan berapa energi pengurungan sebuah elektron mencapai energi diamnya $m_{\text{e}}c^2$ — dan fisika baru apa (penciptaan pasangan partikel, Bab 5) yang memperingatkan bahwa persamaan Schrödinger satu partikel lalu berada di luar kedalamannya?
Nyatakanlah hukum penyekalaan umumnya: energi pengurungan terhadap massa dan terhadap ukuran.
Ringkaslah hasil bernama itu: satu rumus, $E_{\text{g}} + \pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ , mengubah jejari $4.0$ , $2.5$ dan $2.0\,\mathrm{nm}$ menjadi merah, hijau dan biru — warna yang direkayasa dengan menghitung nanometer, dan dijual di toko elektronik mana pun.

Solusi

Solusi Soal 7.1.

1. Gelombang $s$ : $u = rR$ memenuhi persamaan 1D bebas di dalam bolanya dengan $u(0) = u(R) = 0$ : $u \propto \sin(\pi r/R)$ , dengan energi $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ . 2. Energi dasar sebuah kotak bernilai positif dan tumbuh ketika kotaknya mengecil — pelokalan selalu berongkos energi kinetik (asas ketaktentuan); ia hanya dapat menambah celahnya. 3. Dengan $\pi^2(\hbar c)^2/2\mu c^2 = 3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}$ : $0.04$ , $0.24$ , $0.94$ , $3.8\,\mathrm{eV}$ — pada $R \approx 2\,\mathrm{nm}$ koreksinya menyaingi celahnya sendiri. 4. Tarikannya menurunkan energi pasangannya: pancarannya bergeser merah. Ia berskala sebagai $1/R$ berbanding $1/R^2$ milik pengurungannya: untuk titik yang kecil suku kotaknya menang dan pengabaiannya membaik. 5. $1240/1.74 = 713\,\mathrm{nm}$ : di tepi merah penglihatan. 6. Satu warna dari $10^{15}$ pemancar mengesahkan bahwa sintesisnya membuat semuanya berukuran sama — yakni kesetunggalan ukuran, prestasi kimia di balik fisikanya. 7. $1.97$ , $2.34$ , $2.70\,\mathrm{eV}$ . 8. Pengurungannya $0.23$ , $0.60$ , $0.96\,\mathrm{eV}$ : $R = \sqrt{3.76/\Delta E}$ memberikan $4.0$ , $2.5$ , $2.0\,\mathrm{nm}$ . 9. Garis tengahnya $8.1$ , $5.0$ , $4.0\,\mathrm{nm}$ : kira-kira $13$ , $8$ dan $7$ jarak kisi lebarnya. 10. Titik birunya paling kecil, dan di sanalah $E$ paling curam bergantung pada $R$ : galat satu bidang kisi menggeser warnanya paling banyak — titik yang kecil paling tidak pemaaf. 11. Turunkanlah: $\dd E/\dd R = -2\Delta E_{\text{conf}}/R = -\pi^2\hbar^2/\mu R^3$ ; pada $R = 2.5\,\mathrm{nm}$ : $2 \times 0.60/2.5 = 0.48\,\mathrm{eV}/\mathrm{nm} = 480\,\mathrm{meV}/\mathrm{nm}$ . 12. $\pm 5\% = \pm0.125\,\mathrm{nm}$ : $\Delta E = \pm 60\,\mathrm{meV}$ , yakni $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta E/hc \approx \pm14\,\mathrm{nm}$ — rentang $\sim28\,\mathrm{nm}$ , tepat pada batas toleransi layarnya: lima persen adalah ambang kimia yang masih dapat diterima. 13. Karena kemurnian warnanya menuntut kendali ukuran pada tingkat satu bidang kisi pada $10^{15}$ butir — yakni pertumbuhan terkendali yang dicapai Ekimov, Brus dan Bawendi, dan yang dikutip panitia Nobel 2023. 14. Sebuah titik hanya dapat memancar pada celahnya sendiri (yang terendah); menyerap menuntut sedikitnya energi itu, sehingga pemompanya harus lebih biru. Kelebihannya mengendur menjadi getaran kisi: kalor. 15. $1 - 460/630 = 27\%$ energi tiap foton pemompanya memanaskan layarnya. 16. Di atas aras pemancarnya spektrum titiknya rapat (banyak keadaan kotak): serapannya berhasil pada pita yang lebar; eksitasinya lalu jatuh ke keadaan tereksitasi terendah, dan pancarannya terjadi dari satu aras itu saja: sempit. 17. Semua titiknya menyerap ultraungu yang sama dengan senang (berpita lebar), sedangkan tiap ukuran memancarkan warnanya sendiri: satu lampu, banyak penanda — kebalikan kimia pewarna. 18. $\tfrac43\pi(4.0)^3/(0.3)^3 \approx 10^{4}$ atom: sepuluh ribu atom berbagi satu perangkat aras diskret mirip hidrogen — sebutan “atom buatan” pantas disandangnya. 19. Batas kristalnya: dinding pengurung butir semikonduktornya menggantikan tarikan inti sebagai pelaku yang menahan dan mengkuantumkan elektronnya. 20. $\pi^2(\hbar c)^2/2Mc^2R^2 = 384210/(2 \times 939 \times 9) \approx 23\,\mathrm{MeV}$ : fisika inti berbicara dalam MeV karena kotak seukuran femtometer memang begitu. 21. Untuk elektron taksiran kotaknya menjadi relativistik; secara jujur, $E \sim \pi\hbar c/R \approx 200\,\mathrm{MeV}$ — padahal elektron beta muncul dengan beberapa MeV: elektron tidak dapat menjadi penyusun inti, dan argumen itulah yang mengubur model inti-elektron lama dan menyiapkan penemuan neutrino. 22. $\pi^2\hbar^2/2ML^2 \approx 2 \times 10^{-70}\,\mathrm{J}$ : tiga puluh sembilan orde di bawah derau termal — manusia tidak terkurung secara kuantum. 23. $\pi^2\hbar^2/2m_{\text{e}}R^2 = m_{\text{e}}c^2$ pada $R = \pi\hbar/\sqrt2\,m_{\text{e}}c \approx 0.9\,\mathrm{pm}$ , yakni skala Compton: di sana energi pengurungannya cukup untuk menciptakan pasangan elektron–positron dan persamaan satu partikelnya menyerah kepada teori medan kuantum. 24. $E_{\text{conf}} \propto 1/MR^2$ : partikel yang lebih ringan dan kotak yang lebih kecil lebih bersifat kuantum, dalam satu rumus. 25. $E_{\text{g}} + \pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ memetakan $4.0 \to$ merah, $2.5 \to$ hijau, $2.0\,\mathrm{nm} \to$ biru: partikel dalam kotak, yang ditala para kimiawan sampai ke nanometer, menyalakan etalase toko — kuantisasi pengurungan sebagai elektronik konsumen.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Fungsi gelombang dan peluang dalam tiga dimensi

Lihat semua 431 istilah di glosarium