Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

25Fisika Inti

Jilid sekolah menengah menceritakan garis besar kisahnya: atom memiliki inti; sebagian intinya runtuh, menurut jadwal dari mikrodetik sampai miliaran tahun; dan beberapa gram materi menyembunyikan megaton energi. Bab ini membuka kembali intinya dengan perkakas Tahun 3. Sebuah model tetesan berisi lima suku meramalkan ikatan ratusan nuklida sampai ketelitian persen; penerowongan kuantum — yakni masalah penghalang jilid Tahun 2, yang dinaikkan pangkatnya — menjelaskan bagaimana satu rumus membentang dua puluh lima orde besar dalam umur peluruhan $\alpha$ ; dan maksimum yang tenang pada kurva energi ikatnya di besi membagi seluruh teknologi inti menjadi dua kubu: membelah yang berat (reaktor) atau menggabungkan yang ringan (bintang, dan suatu hari nanti pembangkit listrik). Bab ini berakhir di samping kolam reaktor, yang berpijar biru Cherenkov.

25.1 Intinya: setetes yang jenuh

Definisi 25.1 (Nuklida, ukuran, dan kerapatan)

Sebuah nuklida $^{A}_{Z}\text{X}$ menahan $Z$ proton dan $N = A - Z$ neutron, yang terikat oleh interaksi kuat: sengit ( ${\sim}100\,\times$ Coulomb pada sentuhannya), berjangkauan pendek ( ${\sim}1\,\mathrm{fm}$ , hanya terasa oleh tetangga yang bersentuhan), dan buta terhadap muatan (ia mencengkeram proton dan neutron sama saja). Percobaan hamburan memberi tiap intinya resep yang sama: yakni jejari

R = r_0A^{1/3} , \qquad r_0 \approx 1.2\,\mathrm{fm} ,

sehingga volumenya tumbuh seperti $A$ dan kerapatannya menjadi semesta $\rho \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — setetes hujan darinya akan seberat armada kapal tangki, dan Bab 27 akan menemui bintang utuh pada kerapatan ini. Isotop berbagi $Z$ tetapi berbeda $N$ -nya: kimia yang sama, nasib inti yang berbeda.

Proposisi 25.2 (Cacat massa dan energi ikat)

Inti yang terikat berbobot lebih ringan daripada bagiannya; menurut Bab 5, massa yang hilang itu adalah energi ikatnya,

B = \big(Zm_{\text{p}} + Nm_{\text{n}} - m_{\text{inti}}\big)c^2 ,

biasanya ${\sim}8\,\mathrm{MeV}$ tiap nukleonnya — yakni sejuta kali kimia. Diplot tiap nukleonnya, $B/A$ memanjat curam menembus inti ringannya (karena gejala permukaannya memudar), memuncak pada $\approx8.8\,\mathrm{MeV}$ di dekat besi-56, lalu menghanyut turun ketika tolakan Coulomb, yang berjangkauan panjang dan tak menjenuh, memajaki kelas beratnya. Kedua lerengnya adalah tambang energi: fusi memanjat lereng kirinya (yakni usaha Matahari), fisi menggelinding menuruni lereng kanannya (yakni usaha reaktor) — dan besi, di puncaknya, adalah abu inti bagi keduanya.

Kurva energi ikat — boleh dibilang grafik paling berakibat dalam fisika. Inti ringan beruntung dengan melebur, yang berat dengan membelah; tiap kilogramnya, lereng kirinya membayar kira-kira empat kali lebih baik, dan Matahari duduk di atasnya.

Proposisi 25.3 (Rumus massa semiempiris)

Modelkanlah intinya sebagai setetes cairan bermuatan dan seluruh kurvanya menyusul dari lima suku:

B = a_{\text{V}}A - a_{\text{S}}A^{2/3} - a_{\text{C}}\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{\text{A}}\frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A) ,

dengan (dalam $\mathrm{MeV}$ ) $a_{\text{V}} = 15.8$ (tiap nukleonnya mengikat tetangganya: yakni volume), $a_{\text{S}} = 17.8$ (nukleon permukaannya mengikat lebih sedikit: yakni “tegangan permukaan” tetesannya), $a_{\text{C}} = 0.71$ (yakni Coulomb, sang penyabot berjangkauan panjang), $a_{\text{A}} = 23.7$ (ketaksetangkupan: menurut Bab 19, proton dan neutron mengisi dua tangga Fermi yang terpisah, dan termurah ketika sama penuhnya), dan $\delta$ sebagai bonus pemasangan kecil untuk bilangan genap (Bab 14). Meminimumkan pada $A$ tetap menjejak lembah kemantapan: $N \approx Z$ untuk inti ringan, lalu membengkok kaya neutron ( $N/Z \to 1.5$ ) ketika Coulomb menghukum protonnya — dan nuklida di luar lembahnya menggelinding kembali lewat peluruhan $\beta$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Lembah kemantapannya. Inti ringan menyetimbangkan kedua tangga Ferminya (N = Z); yang berat mengencerkan tagihan Coulombnya dengan neutron tambahan. Nuklida di luar dasar lembahnya meluruh secara kembali ke arahnya — dan pecahan fisinya, yang lahir jauh di atas garisnya, bersifat radioaktif dengan hebat persis karena alasan ini. — Lembah kemantapannya. Inti ringan menyetimbangkan kedua tangga Ferminya ( $N = Z$ ); yang berat mengencerkan tagihan Coulombnya dengan neutron tambahan. Nuklida di luar dasar lembahnya meluruh secara $\beta$ kembali ke arahnya — dan pecahan fisinya, yang lahir jauh di atas garisnya, bersifat radioaktif dengan hebat persis karena alasan ini.

25.2 Keradioaktifan, menurut jamnya

Teorema 25.4 (Hukum peluruhan)

Inti yang tak mantap tak punya ingatan dan tak menua: dalam tiap detik yang dijalaninya, ia meluruh dengan peluang $\lambda$ yang sama. Untuk $N$ inti, $\dd N = -\lambda N\,\dd t$ , sehingga

N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} = N_0\,2^{-t/T_{1/2}} , \qquad T_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda} ,

dan keaktifannya $\mathcal A = \lambda N$ (yakni peluruhan tiap detiknya, $\mathrm{Bq}$ ) memudar pada eksponensial yang sama. Umur paruhnya berjalan dari mikrodetik sampai miliaran tahun; statistika Bab 16 menjamin bahwa sementara satu intinya sama sekali tak dapat diramalkan, semol darinya menjaga waktu eksponensialnya lebih baik daripada jam mana pun — yakni fondasi penanggalan radiometri.

Bukti. Peluang tiap detiknya yang tetap berarti $N(t + \dd t) = N(t)(1 - \lambda\dd t)$ ; integralkanlah. Menetapkan $N/N_0 = \tfrac12$ memberikan $T_{1/2}$ . ∎

Peluruhan eksponensial: perorangan tanpa ingatan, populasi yang tepat waktu. Dua umur paruh menyisakan seperempat; sepuluh menyisakan seperseribu — yakni penggaris yang dengannya fisikawan menanggali arang, gletser, dan Bumi.

Catatan 25.5 (Tiga pintu keluar dari sebuah inti)

$\boldsymbol\alpha$ : inti berat memancarkan gugus $^4$ He. Secara klasik mustahil — penghalang Coulombnya mencapai $25\,\mathrm{MeV}$ sedangkan $\alpha$ -nya pergi dengan $5\,$ – $9\,\mathrm{MeV}$ — ia terjadi lewat penerowongan (yakni penghalang jilid Tahun 2, yang dilengkungkan): kepekaan eksponensial Gamow mengubah faktor dua dalam energi menjadi dua puluh orde besar dalam umurnya, persis pola Geiger–Nuttall (Latihan 25.8). $\boldsymbol\beta$ : sebutir neutron menjadi proton (atau sebaliknya), sambil memancarkan sebuah elektron (atau positron) dan sebuah neutrino — yakni interaksi lemah yang sedang bekerja, sang gaya pemulih lembahnya; kisah neutrinonya menunggu Bab 26. $\boldsymbol\gamma$ : inti yang tereksitasi melepaskan foton $\mathrm{MeV}$ , yakni padanan inti bagi garis spektrum Bab 11. Peluruhannya berantai sampai dasar lembahnya tercapai: tangga uranium berakhir, empat belas anak tangga kemudian, pada timbal yang mantap.

25.3 Menuruni lerengnya: fisi dan fusi

Proposisi 25.6 (Fisi dan reaksi berantai)

Neutron lambat yang diserap $^{235}$ U membuat tetesan yang bergoyang lalu membelah: dua pecahan bermassa menengah, dua sampai tiga neutron baru, dan $\approx200\,\mathrm{MeV}$ — yakni celah $B/A$ antara $7.6\,\mathrm{MeV}$ uranium dan $8.5\,\mathrm{MeV}$ pecahannya, dikalikan 235. Neutron yang terbebaskan dapat memfisikan inti berikutnya: dengan faktor penggandaan $k$ (yakni neutron tiap neutronnya, satu keturunan kemudian), populasinya tumbuh sebagai $k^n$ — di bawah genting ( $k < 1$ ) padam, genting ( $k = 1$ ) bertahan tunak, di atas genting meledak. Sebuah reaktor memperlambat neutronnya sampai laju rendah (yakni makanan kesukaan fisinya), bersandar pada 0.7 % neutronnya yang tiba beberapa detik terlambat dari peluruhan pecahannya — yakni jeda yang membuat $k \approx 1$ dapat disetel manusia — lalu membiarkan batang kendalinya memakan kelebihannya (Soal 25.1).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Fisi tetesan cairan: neutron lambat membuat 235U bergoyang; tolakan Coulomb tetesan yang berubah bentuknya mengalahkan tegangan permukaannya, lalu ia terkoyak menjadi pecahan yang kaya neutron ditambah neutron cadangan yang membuat rantainya mungkin. — Fisi tetesan cairan: neutron lambat membuat $^{235}$ U bergoyang; tolakan Coulomb tetesan yang berubah bentuknya mengalahkan tegangan permukaannya, lalu ia terkoyak menjadi pecahan yang kaya neutron ditambah neutron cadangan yang membuat rantainya mungkin.

Catatan 25.7 (Fusi: lereng yang lebih sukar dan lebih baik)

Menggabungkan inti ringan membayar $\sim4\times$ lebih banyak tiap kilogramnya daripada membelah yang berat, tanpa pecahan berumur panjang — tetapi pereaksinya, yang keduanya positif, harus menerowongi penghalang Coulomb bersamanya, yang menuntut suhu sebesar $10^7$ – $10^8\,\mathrm{K}$ (Latihan 25.11). Bintang melakukannya dengan menjadi raksasa (Bab 27: Matahari mengubah $600\,$ juta ton hidrogen menjadi helium tiap detiknya); laboratorium melakukannya dengan plasma yang dibotolkan secara magnetis dan, sejauh ini, dengan buku besar energi yang masih malu-malu terhadap cita-cita titik impasnya.

Marie Curie (foto oleh Henri Manuel, k. 1920, ranah publik): dua kali peraih Nobel karena membuka pokok bahasan bab ini — satu gram radium adalah miliknya. — Marie Curie (foto oleh Henri Manuel, k. 1920, ranah publik): dua kali peraih Nobel karena membuka pokok bahasan bab ini — satu gram radium Latihan 25.4 adalah miliknya.

25.4 Latihan

Latihan 25.1 ★

Pembukuan. (a) Berikanlah $Z$ , $N$ , $A$ untuk $^{12}$ C, $^{14}$ C, $^{235}$ U, $^{238}$ U. (b) Pasangan yang mana yang merupakan isotop? (c) Mengapa isotop berbagi kimia tetapi tidak kemantapan intinya? (d) $^{14}$ C dan $^{14}$ N berbagi $A = 14$ : nuklida semacam itu disebut apa, dan peluruhan apa yang menghubungkannya?

Solusi

Solusi Latihan 25.1.

(a) $^{12}$ C: $6, 6, 12$ ; $^{14}$ C: $6, 8, 14$ ; $^{235}$ U: $92, 143, 235$ ; $^{238}$ U: $92, 146, 238$ . (b) Karbonnya; dan uraniumnya. (c) Kimianya adalah awan elektronnya, yang ditetapkan $Z$ ; kemantapannya adalah keseimbangan $N$ – $Z$ di dalamnya. (d) Isobar — yang dihubungkan peluruhan $\beta^-$ : $^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N} + \text{e}^- + \bar\nu$ , yakni detak jam radiokarbonnya.

Latihan 25.2 ★

Kerapatan yang semesta. (a) Dari $R = r_0A^{1/3}$ , tunjukkanlah bahwa kerapatan intinya tak bergantung pada $A$ lalu hitunglah. (b) Hitunglah massa satu sendok teh ( $5\,\mathrm{mL}$ ) materi inti. (c) Berapa bagian volume sebuah atom yang diisi intinya (ambillah $R_{\text{atom}} = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ , $A = 60$ )? (d) Apa yang dikatakan hukum $A^{1/3}$ itu sendiri tentang jangkauan gaya kuatnya?

Solusi

Solusi Latihan 25.2.

(a) $\rho = Am_{\text{u}}/\tfrac43\pi r_0^3A = 3m_{\text{u}}/4\pi r_0^3 \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $A$ saling meniadakan. (b) $5\,\mathrm{mL} \to 1.2 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ — yakni semiliar ton dalam satu sendok teh. (c) $(R/R_{\text{atom}})^3 \approx (4.7\times10^{-5})^3 \approx 10^{-13}$ : atomnya adalah ruang kosong dengan sebutir bintik yang berat. (d) Volume $\propto A$ berarti tiap nukleonnya menuntut ruang yang tetap lalu hanya mengikat tetangga yang menyentuhnya: gayanya menjenuh pada jangkauan $\mathrm{fm}$ .

Latihan 25.3 ★

Menimbang lemnya. Massa intinya: $m_{\text{p}} = 1.007\,276\,\mathrm{u}$ , $m_{\text{n}} = 1.008\,665\,\mathrm{u}$ , $m(^4\text{He}) = 4.001\,506\,\mathrm{u}$ ; $1\,\mathrm{u}\,c^2 = 931.5\,\mathrm{MeV}$ . (a) Hitunglah cacat massa dan energi ikat $^4$ He. (b) Berikanlah $B/A$ . (c) Bandingkanlah $B$ dengan $13.6\,\mathrm{eV}$ Bab 11: berapa orde besar yang memisahkan lem inti dari lem atom? (d) Mengapa ikatan $^4$ He yang luar biasa (yakni paku pada gambarnya) menjadikannya mata uang peluruhan $\alpha$ ?

Solusi

Solusi Latihan 25.3.

(a) $\Delta m = 2(1.007276 + 1.008665) - 4.001506 = 0.030\,376\,\mathrm{u}$ : $B = 28.3\,\mathrm{MeV}$ . (b) $B/A = 7.07\,\mathrm{MeV}$ . (c) $28.3\,\text{MeV}/13.6\,\text{eV} \approx 2\times10^6$ : yakni enam orde besar — karena itulah bahan bakar inti mengalahkan bahan bakar kimia sejuta kali. (d) $\alpha$ -nya adalah bungkusan yang sudah terangkai dan luar biasa murah: memancarkannya mengekspor empat nukleon dengan potongan harga $28.3\,\mathrm{MeV}$ , yang tak dapat ditandingi satu nukleon mana pun.

Latihan 25.4 ★

Curie yang pertama. Radium-226: $T_{1/2} = 1600$ tahun, dengan massa molar $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Untuk satu gram: (a) cacahlah intinya; (b) hitunglah $\lambda$ ; (c) hitunglah keaktifannya lalu bandingkanlah dengan satuan bersejarah $1\,\text{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ (yang didefinisikan tepat sebagai gram ini); (d) berapa banyak gramnya yang selamat setelah 4800 tahun?

Solusi

Solusi Latihan 25.4.

(a) $N = N_{\text{A}}/226 = 2.66 \times 10^{21}\,$ . (b) $\lambda = \ln2/(1600\times3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (c) $\mathcal A = \lambda N = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ : yakni satu curie, menurut rancangannya — yaitu gram milik keluarga Curie sendiri. (d) Tiga umur paruh: $0.125\,\mathrm{g}$ radium (sisanya kini radon dan anak turunannya, yang berbaris menuju timbal).

Latihan 25.5 ★★

Rumusnya dalam kerja. Dengan $a_{\text{V}} = 15.75$ , $a_{\text{S}} = 17.8$ , $a_{\text{C}} = 0.711$ , $a_{\text{A}} = 23.7$ ( $\mathrm{MeV}$ ) dan pemasangan $+12/\sqrt A$ untuk inti genap–genap: (a) hitunglah keempat suku utama $B$ untuk $^{56}$ Fe ( $Z = 26$ ). (b) Jumlahkanlah (dengan pemasangannya) lalu bandingkanlah $B/A$ dengan nilai terukurnya $8.79\,\mathrm{MeV}$ . (c) Kedua suku mana yang bertarung paling keras, dan apa yang ditetapkan keseimbangannya? (d) Mengapa suku Coulombnya, sendirian, harus tumbuh lebih cepat daripada $A$ ?

Solusi

Solusi Latihan 25.5.

(a) Volumenya $+882$ ; permukaannya $-261$ ; Coulombnya $-0.711\times676/3.83 = -126$ ; ketaksetangkupannya $-23.7\times16/56 = -6.8$ ( $\mathrm{MeV}$ ). (b) Dengan pemasangan $+12/\sqrt{56} = +1.6$ : $B \approx 490\,\mathrm{MeV}$ , $B/A = 8.76$ berbanding nilai terukurnya $8.79$ — yakni tiga permil dari setetes cairan. (c) Volumenya melawan permukaan $+$ Coulombnya: yakni perpindahan laju tumbuhnya yang mengukir maksimumnya pada besi. (d) Coulombnya berjangkauan panjang: tiap protonnya menolak tiap proton lainnya, $\propto Z^2$ , sedangkan gaya kuat yang menjenuh hanya pernah membayar $\propto A$ — yakni kekalahan akhir kelas beratnya.

Latihan 25.6 ★★

Dasar lembahnya. (a) Dengan hanya mempertahankan suku yang bergantung $Z$ , minimumkanlah massanya pada $A$ tetap lalu turunkanlah $Z^* = \dfrac{A/2}{1 + a_{\text{C}}A^{2/3}/4a_{\text{A}}}$ . (b) Hitunglah untuk $A = 101$ lalu bandingkanlah dengan rutenium ( $Z = 44$ ). (c) Tunjukkanlah bahwa limit $A$ ringannya adalah $Z^* = A/2$ lalu tafsirkanlah dengan kedua tangga Ferminya. (d) Sebuah pecahan fisi memiliki $A = 95$ , $Z = 36$ : seberapa jauh ia dari lembahnya, dan urutan peluruhan apa yang menyusul?

Solusi

Solusi Latihan 25.6.

(a) $\partial/\partial Z$ suku Coulomb dan ketaksetangkupannya memberikan $2a_{\text{C}}Z/A^{1/3} = 4a_{\text{A}}(A - 2Z)/A$ ; selesaikanlah. (b) $Z^* = 50.5/1.163 = 43.4$ : pilihan alam pada $A = 101$ adalah rutenium, $Z = 44$ . (c) Tanpa Coulombnya, $Z^* = A/2$ : yakni dua tangga Fermi (Bab 19), yang termurah bila terisi sampai tinggi yang sama. (d) Tempat duduk lembah pecahannya adalah $Z^* \approx 41$ : yakni kekurangan lima proton — rentetan lima peluruhan $\beta^-$ memanjat kembali ke sana, masing-masing mengubah sebutir neutron sambil memancarkan sebutir elektron dan antineutrino.

Latihan 25.7 ★★

Radiokarbon. Materi hidup menjaga $^{14}$ C ( $T_{1/2} = 5730$ tahun) tetap terisi pada 1 atom tiap $10^{12}$ karbonnya; kematian menghentikan pengisiannya. (a) Sebuah cuplikan arang menunjukkan 30 % keaktifan hidupnya: berapa umur apinya? (b) Satu gram karbon hidup: hitunglah keaktifan $^{14}$ C-nya (diharapkan $\approx0.23\,\mathrm{Bq}$ ). (c) Mengapa metodenya tak berguna di balik $\sim50\,000\,$ tahun? (d) Dan mengapa ia tak berguna untuk menanggali batuan (jam mana yang mengambil alih)?

Solusi

Solusi Latihan 25.7.

(a) $t = T_{1/2}\ln(1/0.3)/\ln2 = 5730\times1.74 \approx 10^{4}\,$ tahun: yakni api di akhir zaman es. (b) $N_{^{14}\text{C}} = (N_{\text{A}}/12)\times10^{-12} = 5.0 \times 10^{10}\,$ ; $\lambda = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\mathcal A \approx 0.2\,\mathrm{Bq}$ — yakni selusin peluruhan tiap menit tiap gramnya, yaitu laju cacah kerja tiap laboratorium penanggalan. (c) Setelah sembilan umur paruh keaktifannya tenggelam di bawah latarnya: jamnya masih berjalan tetapi tak lagi dapat dibaca. (d) Batuan tak pernah menghirup karbon atmosfer; jamnya adalah jam purba — uranium–timbal, kalium–argon — dengan umur paruh miliaran tahun.

Latihan 25.8 ★★

Tebing Gamow. Polonium-212 memancarkan $\alpha$ ber- $8.78\,\mathrm{MeV}$ ; penghalangnya mencapai $\approx26\,\mathrm{MeV}$ . (a) Tunjukkanlah bahwa pelolosan klasiknya mustahil, dan masuknya secara klasik pun mustahil — namun ia meluruh dalam $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $\alpha$ uranium-238 membawa $4.2\,\mathrm{MeV}$ dan umur paruhnya adalah $4.5\times10^9$ tahun: hitunglah nisbah kedua tetapan peluruhannya. (c) Jelaskanlah, dengan eksponensial penerowongannya, bagaimana faktor dua dalam energi membeli $\sim10^{24}$ dalam lajunya. (d) Mengapa fisika yang sama menetapkan tuntutan suhu teras Matahari?

Solusi

Solusi Latihan 25.8.

(a) Nilai $8.78\,\mathrm{MeV}$ $\alpha$ -nya jauh di bawah bibir $26\,\mathrm{MeV}$ : secara klasik ia tak dapat pergi maupun pernah masuk — namun umur paruhnya $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $\lambda_1 = \ln2/3 \times 10^{-7}\,\mathrm{s} = 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\lambda_2 = \ln2/1.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 4.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ : nisbahnya $\approx 5\times10^{23}$ . (c) Laju penerowongannya adalah $\eu^{-2G}$ dengan eksponen Gamow $\propto Z/\sqrt E$ : membagi dua $E$ menaikkan $2G$ sebesar sekitar lima puluh lima satuan, dan $\eu^{55} \approx 10^{24}$ — yakni garis lurus Geiger–Nuttall yang keterlaluan, dari satu eksponensial. (d) Proton matahari juga menerowong: suhu terasnya harus tepat cukup tinggi agar ekor Maxwellnya dikalikan faktor Gamownya menopang pembakarannya — yakni tebing yang sama, yang dipanjat dari sisi lainnya.

Latihan 25.9 ★★

Dua ratus juta elektronvolt. (a) Benarkanlah $200\,\mathrm{MeV}$ tiap fisinya dari kurva $B/A$ . (b) Hitunglah energi dalam satu kilogram $^{235}$ U yang terfisi penuh, dalam joule dan dalam ton setara minyak ( $42\,\mathrm{GJ}/\mathrm{t}$ ). (c) Sebuah pembangkit $1\,\mathrm{GW}_{e}$ berkehematan 33 %: berapa kilogram $^{235}$ U tiap tahunnya? (d) Mengapa pecahannya, dan bukan neutronnya, yang mengangkut sebagian besar $200\,\mathrm{MeV}$ -nya, dan ke bentuk apa ia segera berubah?

Solusi

Solusi Latihan 25.9.

(a) Pembelahannya memindahkan ${\sim}235$ nukleon dari $7.6\,$ ke ikatan ${\sim}8.5\,\mathrm{MeV}$ : $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ . (b) $N = 2.56 \times 10^{24}\,$ inti: $E = 8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} \approx 2000$ ton minyak — tiap kilogramnya. (c) Nilai termal $3\,\mathrm{GW}$ selama setahun adalah $9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$ : yakni kira-kira $1.2\,\mathrm{t}$ $^{235}$ U. (d) Kedua pecahan positifnya melenting saling menjauh di bawah tolakan Coulombnya sendiri, sambil mengangkut ${\sim}170\,\mathrm{MeV}$ sebagai energi kinetik yang menjadi kalor dalam jarak mikrometer — sebuah reaktor adalah ketel yang nyala apinya adalah sentakan elektrostatik.

Latihan 25.10 ★★★

Menjinakkan $k$ . Dalam sebuah reaktor, neutron seketikanya berkembang biak dalam $\ell \approx 10^{-4}\,\mathrm{s}$ . (a) Dengan $k = 1.001$ pada neutron seketikanya saja, hitunglah penggandaan dayanya dalam satu detik — lalu berikanlah putusan tentang kendali mekanisnya. (b) Sebagian sebesar $\beta = 0.7\,\%$ neutronnya tertunda sebesar $\sim10\,\mathrm{s}$ : jelaskanlah mengapa, untuk $k - 1 < \beta$ , jam efektif rantainya menjadi hitungan detik. (c) Hitunglah penggandaan satu detik yang sama dengan waktu keturunan efektif $\sim0.1\,\mathrm{s}$ . (d) Nyatakanlah dalam satu kalimat apa yang hilang dari operator Chernobyl ketika reaktornya menjadi di atas genting secara seketika.

Solusi

Solusi Latihan 25.10.

(a) $10^4$ keturunan: $(1.001)^{10^4} = \eu^{10} \approx 22000$ — yakni dari megawatt menjadi puluhan gigawatt dalam satu detik; tak ada motor yang menggerakkan sebatang batang secepat itu. (b) Dengan $k - 1 < \beta$ rantainya tak dapat berkembang biak dari neutron seketikanya saja: tiap langkah tumbuhnya menunggu si lambat ${\sim}10\,\mathrm{s}$ , sehingga waktu keturunan efektifnya menjadi sepersekian detik atau lebih. (c) $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ : yakni setengah persen tiap detiknya — wilayah batang dan operator. (d) Mendorong $k - 1$ melewati $\beta$ menempatkan reaktornya pada jam seketika $10^{-4}\,\mathrm{s}$ : mereka kehilangan masa tenggang neutron tertunda yang membuat reaktor dapat disetir.

Latihan 25.11 ★★★

Hitungan Matahari. Secara keseluruhan, $4\,^1\text{H} \to {}^4\text{He}$ mengubah $0.71\,\%$ massanya menjadi energi ( $26.7\,\mathrm{MeV}$ , termasuk neutrinonya). (a) Dari $L_\odot = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ , hitunglah massa yang terubah tiap detiknya, dan hidrogen yang terpakai tiap detiknya. (b) Dengan $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ matahari, sepersepuluhnya berupa hidrogen teras yang dapat terbakar (ambillah bagian hidrogennya $\approx0.75$ ): perkirakanlah umurnya. (c) Dua proton pada $1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ : bandingkanlah $k_{\text{B}}T$ dengan penghalang Coulombnya pada $1\,\mathrm{fm}$ lalu simpulkanlah siapa yang melakukan penyeberangannya (Latihan 25.8). (d) Mengapa fusi, tak seperti fisi, pada dasarnya tak meninggalkan abu radioaktif?

Solusi

Solusi Latihan 25.11.

(a) $\dot m = L_\odot/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ massa murni; alir hidrogennya $\dot m/0.0071 \approx 6 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ — yakni enam ratus juta ton tiap detiknya. (b) Hidrogen yang dapat terbakar ${\sim}2\times10^{30}\times0.1\times0.75 = 1.5 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}$ : $t \approx 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 8$ miliar tahun — Matahari sedang berusia setengah baya. (c) Penghalangnya ${\sim}1.4\,\mathrm{MeV}$ berbanding $k_{\text{B}}T \approx 1.3\,\mathrm{keV}$ : yakni kekurangan seribu kali lipat — hanya proton tercepat pada ekor Maxwellnya, yang menerowong (Latihan 25.8), yang pernah berfusi; sehingga Matahari membakar selama gigatahun dan bukan meledak. (d) Abunya adalah $^4$ He — yang mantap dan puas karena ajaib ganda; tak ada pecahan kaya neutron yang harus meluruh secara $\beta$ selama berabad-abad.

Latihan 25.12 ★★★

Kedokteran nuklir. (a) Teknesium-99m ( $T_{1/2} = 6\,\mathrm{h}$ , dengan $\gamma$ sebesar $140\,\mathrm{keV}$ ) adalah kuda beban kedokteran: hitunglah cacah intinya, dan massanya, di balik suntikan $500\,\mathrm{MBq}$ . (b) Jelaskanlah mengapa umur paruh enam jam dan $\gamma$ yang murni masing-masing persis yang diinginkan sebuah diagnosis. (c) PET: sebutir positron dari $^{18}$ F saling memusnah dengan sebutir elektron — pakailah Bab 5 untuk memberikan energi dan geometri kedua fotonnya, dan karenanya asas pendeteksinya. (d) Radioterapi menyerahkan $2\,\mathrm{Gy}$ ( $\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ) kepada sebuah tumor: bandingkanlah energinya dengan seteguk air hangat, lalu serasikanlah ketakberbahayaan joulenya dengan kemematian pengionannya.

Solusi

Solusi Latihan 25.12.

(a) $\lambda = \ln2/21\,600\,\mathrm{s} = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $N = \mathcal A/\lambda = 1.6 \times 10^{13}\,$ inti — yakni $2.6\,\mathrm{ng}$ . Kedokteran dalam hitungan nanogram. (b) Enam jam melampaui umur pemindaiannya tetapi tidak akhir pekannya: dosisnya mematikan dirinya sendiri; sebuah $\gamma$ murni $140\,\mathrm{keV}$ meninggalkan tubuhnya menuju kameranya tanpa pungutan $\alpha$ / $\beta$ yang membakar jaringan. (c) Elektron dan positron yang diam saling memusnah menjadi dua foton $511\,\mathrm{keV}$ , saling membelakangi (menurut energi dan momentumnya, Bab 5): tiap pasangan yang berkebetulan mendefinisikan sebuah garis menembus tumornya, dan ribuan garisnya menriangulasinya — yakni tomografi lewat hukum kekekalan. (d) $2\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ menghangatkan jaringannya setengah milikelvin — yakni secara termal seteguk air suam; tetapi diserahkan sebagai ${\sim}10^{17}$ pengionan tiap kilogramnya, yang masing-masing menggunting ikatan kimia berskala $\mathrm{eV}$ , ia mematikan secara kimiawi bagi sel yang sedang membelah. Joule mengukur kalor; gray mengukur sabotase.

Kolam reaktor soal akhir pekannya: elektron pecahannya yang mendahului cahaya dalam air menyelimuti terasnya dengan biru Cherenkov — yakni perisainya, yang kasat mata sedang bekerja. — Kolam reaktor soal akhir pekannya: elektron $\beta$ pecahannya yang mendahului cahaya dalam air menyelimuti terasnya dengan biru Cherenkov — yakni perisainya, yang kasat mata sedang bekerja.

25.5 Soal: Hari terbuka di reaktor riset

Soal 25.1

Hari terbuka di reaktor riset. Laboratorium nasional membuka reaktor riset jenis kolamnya yang $20\,\mathrm{MW}$ bagi pengunjung, dan Anda telah berhasil membujuk untuk naik ke balkonnya: di bawah, menembus delapan meter air yang jernih, terasnya berpijar biru yang bukan dari dunia ini. Sang pemandu — seorang fisikawan reaktor yang akan pensiun — setuju membiarkan Anda melakukan hitungannya.

Bagian I — Buku besar energinya.

Tiap fisi $^{235}$ U melepaskan kira-kira $200\,\mathrm{MeV}$ . Ubahlah ke joule, lalu hitunglah cacah fisi tiap detiknya yang menopang $20\,\mathrm{MW}$ .
Ubahlah ke gram $^{235}$ U yang terpakai tiap harinya.
Nilai $20\,\mathrm{MW}$ yang sama dari batu bara ( $30\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ): berapa ton tiap harinya? Bentuklah nisbah massanya lalu kaitkanlah dengan skala $\mathrm{MeV}$ berbanding $\mathrm{eV}$ bab ini dan kimianya.
Pecahannya lahir pada ikatan $\sim8.5\,\mathrm{MeV}$ tiap nukleonnya, uraniumnya pada $7.6\,\mathrm{MeV}$ : periksalah bahwa $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ taat asas.
Pecahannya berhenti dalam jarak mikrometer dari tempat lahirnya. Menjadi apa $200\,\mathrm{MeV}$ -nya berubah, dan pada skala waktu apa ia mencapai air pendinginnya?
Mengapa pecahannya (misalnya $A = 95$ , $Z = 36$ ) pasti bersifat radioaktif? Pakailah lembah kemantapannya.

Bagian II — Menjaga $k = 1$ .

Definisikanlah faktor penggandaan $k$ lalu nyatakanlah apa arti $k = 0.999$ , $1.000$ , $1.001$ bagi populasi neutronnya.
Air kolamnya memperlambat. Jelaskanlah dalam dua kalimat mengapa memperlambat neutronnya sampai laju termal membantu fisi $^{235}$ U, dan mengapa hidrogen menjadi pemerlambat terbaik (ingatlah tumbukan lenting jilid Tahun 1).
Batang kendalinya terbuat dari baja boron. Apa yang dilakukan boron, dan bagaimana menaikkan atau menurunkan batangnya menyetir $k$ ?
Dengan neutron seketikanya saja ( $\ell = 10^{-4}\,\mathrm{s}$ ) dan $k = 1.0005$ , hitunglah pertumbuhan dayanya selama satu detik lalu simpulkanlah.
Neutron tertunda sebesar 0.7 % merentangkan waktu keturunan efektifnya menjadi $\sim0.1\,\mathrm{s}$ : hitunglah ulang, lalu nyatakanlah kaidah rancangan yang menjaga $k - 1$ tetap aman di bawah bagian tertundanya.
Airnya juga menjadi pendinginnya. Jelaskanlah ciri keselamatan hakikinya: apa yang terjadi pada perlambatannya — dan karenanya pada $k$ — jika airnya mendidih habis?
Mengapa reaktornya masih memerlukan pendinginan darurat setelah dimatikan? (Sebutkanlah sumber kalor yang tak dapat disentuh batang kendalinya.)

Bagian III — Cahaya birunya.

Pijarnya adalah radiasi Cherenkov: laju cahaya dalam air adalah $c/n$ dengan $n = 1.33$ . Apa yang harus dilakukan sebuah partikel bermuatan untuk memancarkannya?
Hitunglah laju ambangnya, dan dengan Bab 5 hitunglah energi kinetik ambang bagi sebuah elektron.
Partikel reaktor yang mana yang memenuhi syarat? Telusurilah rantainya dari pecahan fisi sampai ke elektron $\beta$ cepat dalam airnya.
Keamatan spektrumnya tumbuh menuju panjang gelombang pendek: mengapa kolamnya berpijar biru dan bukan merah?
Sang pemandu berkata: “pijarnya adalah perisai yang bekerja.” Jelaskanlah — apa yang dilakukan delapan meter air terhadap radiasi terasnya, dan kira-kira mengapa balkonnya aman?
Setelah dimatikan birunya meredup selama beberapa menit tetapi tak lenyap selama berhari-hari. Kaitkanlah dengan butir 6 Bagian I.

Bagian IV — Untuk apa reaktornya.

Pekerjaan harian reaktor ini adalah membuat molibdenum-99 ( $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ ), yakni induk teknesium-99m kedokteran. Mengapa rumah sakit di seluruh dunia harus dipasok ulang tiap pekan, dan mengapa tak ada gudang yang dapat menimbunnya?
Sebuah kiriman Mo-99 sebesar $100\,\mathrm{GBq}$ berangkat pada Senin; rumah sakitnya melarutkan Tc-99m pada Jumat (96 jam kemudian). Berapa keaktifan induknya yang tersisa?
Berkas neutron dari terasnya juga memberi makan instrumen difraksi Bab 23: mengapa neutron reaktor, begitu ditermalkan, lahir dengan panjang gelombang yang tepat?
Soal perpisahan sang pemandu: sebuah elemen bahan bakar menghabiskan lima tahun dalam kolamnya sebelum dikirim. Dengan memakai campuran umur paruh pecahannya, jelaskanlah penalarannya — apa yang dibeli lima tahun waktu kolam itu?
Perkirakanlah kalor peluruhannya satu jam setelah dimatikan ( $\approx1\,\%$ dari $20\,\mathrm{MW}$ ) lalu bandingkanlah dengan pemanas listrik sebuah rumah tangga: apakah pendinginan kolam secara pasif masuk akal?
Tutuplah buku besarnya dalam empat baris: $B/A$ membayar $200\,\mathrm{MeV}$ tiap belahannya; neutron tertundanya meminjamkan detik yang membuat $k$ dapat disetir; airnya memperlambat, mendinginkan, memerisai, dan berpijar; dan hasil sejati harinya pergi dalam vial obat, bukan dalam megawatt.

Solusi

Solusi Soal 25.1.

1. $200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ : $20\times10^6/3.2\times10^{-11} = 6.3 \times 10^{17}\,$ fisi tiap detiknya. 2. $5.4\times10^{22}$ fisi tiap harinya $\times 235/N_{\text{A}}$ : yakni kira-kira $21\,\mathrm{g}$ $^{235}$ U tiap harinya. 3. Batu bara: $1.7 \times 10^{12}\,\mathrm{J}/3 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} \approx 58$ ton tiap harinya — yakni nisbah massa sebesar $\sim3\times10^{6}$ , yang adalah nisbah $\mathrm{MeV}$ terhadap $\mathrm{eV}$ antara ikatan inti dan ikatan kimia. 4. $235\times(8.5 - 7.6) \approx 210\,\mathrm{MeV}$ : taat asas, dengan selisih kecilnya dibukukan neutron dan neutrinonya. 5. Energi kinetik pecahannya $\to$ pengionan $\to$ kalor, dalam jarak mikrometer dan waktu mikrodetik; hantarannya menyerahkannya ke airnya — reaktornya adalah ketel penghenti pecahan. 6. Mereka mewarisi $N/Z \approx 1.55$ uraniumnya, jauh di atas dasar lembahnya pada $A$ mereka: masing-masing harus menjalankan rantai peluruhan $\beta^-$ kembali ke bawah — yakni keradioaktifan bawaan, menurut geometri lembahnya. 7. $k$ = neutron yang diperanakkan tiap neutronnya, satu keturunan kemudian: $0.999$ padam, $1.000$ bertahan tunak (yakni reaktor yang beroperasi), $1.001$ tumbuh. 8. Neutron lambat berlama-lama di dekat intinya dan selera fisi $^{235}$ U tumbuh curam pada energi termalnya. Tumbukan lenting melepaskan energi tercepat kepada massa yang setara — dan hidrogen menyamai massa neutronnya: air adalah pemerlambat yang dibuat sesuai pesanan. 9. Boron-10 melahap neutron ( $\text{n} + {}^{10} \text{B} \to \alpha + {}^{7}\text{Li}$ ): batangnya masuk, neutronnya termakan, $k$ turun; batangnya keluar, $k$ naik — yakni pedal gasnya. 10. $(1.0005)^{10^4} = \eu^{5} \approx 150$ : yakni pangkat seratus lima puluh tiap detiknya — tak ada harapan bagi permesinannya. 11. Pada jam tertunda $0.1\,\mathrm{s}$ : $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ , yakni setengah persen tiap detiknya. Kaidahnya: jagalah $|k - 1|$ jauh di bawah $\beta = 0.007$ , sehingga neutron tertundanya selalu memegang suara penentu. 12. Pendidihannya menyingkirkan pemerlambatnya: neutronnya tetap cepat, fisinya kelaparan, $k$ turun — rancangan yang diperlambat air mencekik dirinya sendiri (yakni umpan balik negatif yang tak dimiliki sepupu grafitnya). 13. Kalor peluruhannya: keradioaktifan pecahannya — yakni butir 6 Bagian I — menaati umur paruh, bukan batang kendali, dan masih menghasilkan megawatt tepat setelah dimatikan. 14. Mendahului cahaya dalam airnya: $v > c/n$ . 15. $v > 0.752c$ : $\gamma = 1.51$ , sehingga $E_{\text{k}} > 0.51\times511\,\mathrm{keV} \approx 0.26\,\mathrm{MeV}$ . 16. Elektron $\beta$ dari peluruhan pecahannya mengangkut $\mathrm{MeV}$ , dan $\gamma$ terasnya menendang elektron secara Compton ke energi serupa: keduanya berlayar melewati $0.26\,\mathrm{MeV}$ — kolamnya penuh elektron yang memenuhi syarat. 17. Spektrum Cherenkovnya menguat menuju panjang gelombang pendek (dengan keamatan $\propto1/\lambda^2$ ): matanya disodori biru dan ungu — warnanya adalah kemiringan spektrumnya. 18. Air melemahkan $\gamma$ dan neutronnya secara eksponensial; delapan meter adalah berpuluh panjang pembagi dua, sehingga balkonnya duduk pada dosis latarnya. Pijarnya adalah airnya yang sedang menyerap energi radiasinya — yakni bukti kasat mata bahwa perisainya sedang memakannya. 19. Pecahan berumur pendeknya mati dalam hitungan menit (yakni peredupannya); ekor berumur panjangnya — yakni kalor peluruhan yang sama dari butir 13 — menjaga pijar samar dan beban kalor yang nyata selama berhari-hari. 20. Dengan $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ induknya kehilangan faktor ${\sim}6$ tiap pekannya: timbunannya meluruh habis dengan sendirinya, sehingga rumah sakit hidup dari “sapi teknesium” mingguan yang dikirim dari reaktor seperti yang satu ini. 21. $96/66 = 1.45$ umur paruh: $2^{-1.45} \approx 0.36$ — yakni kira-kira $36\,\mathrm{GBq}$ yang tersisa. 22. Setelah ditermalkan sampai suhu ruang, $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ (Latihan 23.5): yakni lahir sepadan dengan jarak kisinya. 23. Lima tahun membunuh tiap umur paruh sampai hitungan bulan: keaktifan dan kalor peluruhannya turun berorde-orde besar, sampai elemennya dapat menumpang dalam peti terperisai dan bukan dalam kolam renang. 24. ${\sim}200\,\mathrm{kW}$ — yakni seratus pemanas rumah tangga ke dalam kolam seratus ton: paling buruk puluhan kelvin tiap harinya, yang dengan nyaman disingkirkan konveksi alami — yakni keselamatan pasif lewat kapasitas kalor semata. 25. $B/A$ membayar $200\,\mathrm{MeV}$ tiap belahannya dan $21\,\mathrm{g}$ tiap harinya; neutron tertundanya meminjamkan detik yang membuat $k$ dapat disetir; airnya memperlambat, mendinginkan, memerisai — lalu berpijar biru justru karena ia sedang bekerja; dan hasil yang paling berarti pergi dalam vial untuk rumah sakit hari Senin.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Nuklida, ukuran, dan kerapatan

Lihat semua 431 istilah di glosarium