Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

27Astrofisika

Tiap bab buku ini telah berlatih untuk bab yang satu ini. Bintang adalah bola gas yang menggravitasi diri, yang dijalankan hidrostatika jilid Tahun 1, disulut penerowongan Bab 25, dan bersinar menurut hukum Planck Bab 20; bintang mati adalah gas Fermi yang merosot Bab 19 seukuran kota; dan alam semesta sendiri adalah sistem termal yang mendingin yang foto bayinya — yakni latar gelombang mikronya — adalah benda hitam paling sempurna yang pernah terukur. Bab penutup ini merangkai seluruh jilidnya menjadi laboratorium terbesar yang mungkin: bagaimana bintang hidup, bagaimana mereka mati, apa yang mereka tinggalkan, dan bagaimana alam semesta yang memuai yang memuat mereka bermula sebagai fisika yang sudah kita kerjakan.

27.1 Sebuah bintang adalah sebuah keseimbangan

Proposisi 27.1 (Kesetimbangan hidrostatik)

Sebuah bintang tak runtuh dan tak pula terberai: pada tiap jejarinya, gradien tekanannya mengangkut berat gas di atasnya. Untuk massa $m(r)$ di dalam jejari $r$ ,

\frac{\dd P}{\dd r} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} .

Diperkirakan atas seluruh Matahari, $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \sim 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ dan, lewat hukum gas idealnya, $T_{\text{c}} \sim 10^7\,\mathrm{K}$ (Latihan 27.1) — yakni persis suhu saat proton Latihan 25.11 mulai menerowong. Itu bukan kebetulan melainkan sebuah termostat: sebuah bintang harus mengerut dan memanas sampai terasnya menyala, dan fusinya lalu menahan keseimbangannya selama jutaan sampai miliaran tahun. Bintang memiliki kapasitas kalor negatif — kehilangan energi, mengerut, lalu menjadi lebih panas (Latihan 27.5) — dan karena itulah gravitasi selalu menang pada akhirnya.

Bukti. Sebuah kulit $[r, r + \dd r]$ berluas $A$ merasakan tekanan $P(r)A$ dari bawah, $P(r + \dd r)A$ dari atas, dan berat $g\rho A\,\dd r$ dengan $g = Gm(r)/r^2$ (hanya massa dalamnya yang menarik, menurut teorema Gauss bagi gravitasi). Kesetimbangan ketiganya memberikan persamaan yang dinyatakan itu. ∎

Sebuah bintang, digambar sebagai diagram benda bebasnya sendiri. Fusinya menenagai tekanan yang mengangkut berat bintangnya sendiri; kedua gayanya berunding selama sepuluh miliar tahun — dan tiap nasib bintang dalam bab ini adalah apa yang terjadi ketika salah satunya kehabisan alasan.

27.2 Kehidupan bintang

Definisi 27.2 (Diagram Hertzsprung–Russell)

Plotlah bintang menurut suhu permukaannya (yang panas di kiri, menurut kelaziman) terhadap kecerlangannya, keduanya dari hukum benda hitam Bab 20, dan mereka menolak berserak: sembilan puluh persennya berjejal pada deret utama, yakni pita serong para pembakar hidrogen, yang tertata murni menurut massanya — lebih berat berarti lebih panas sekaligus lebih cerlang secara tak sebanding ( $L \propto M^{3.5}$ ), sehingga berumur lebih pendek ( $t \propto M/L \propto M^{-2.5}$ : Latihan 27.4). Di luar pitanya tinggallah pengecualian dan akhir plotnya: raksasa yang dingin tetapi besar (kanan atas), dan katai putih yang panas tetapi mungil (kiri bawah) — karena pada suhu tetap, menurut $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , kecerlangan adalah ukuran besarnya. Diagram HR bukanlah peta jenis melainkan peta umur: titik sebuah bintang menghanyut melintasinya ketika bahan bakarnya menipis.

Diagram Hertzsprung–Russell. Deret utamanya adalah pita pembakar hidrogen, yakni tangga massa yang dibaca dari kiri atas (biru, boros, mati dalam megatahun) sampai kanan bawah (merah, hemat, melampaui umur alam semesta sejauh ini). Raksasa dan katai putih bukanlah kejanggalan melainkan bab: bintang yang sama menyinggahi ketiga daerahnya.

Catatan 27.3 (Bagaimana bintang menua, dan apa yang ditinggalkannya)

Ketika hidrogen terasnya habis, penalaran termostatnya terulang: terasnya mengerut dan memanas, heliumnya menyala (berfusi menjadi karbon dan oksigen), selubungnya menggembung seratus kali lipat — yakni raksasa merah. Bintang serupa Matahari berhenti di situ: ia melepaskan selubungnya lalu pensiun sebagai katai putih. Bintang di atas $\approx8M_\odot$ terus menyalakan bahan bakar baru dalam kulit bawang sampai terasnya menjadi besi — yakni puncak Proposisi 25.2, yang darinya tak ada fusi yang mengembalikan energi. Teras matinya runtuh dalam satu detik; pantulannya dan banjir neutrinonya meniup bintangnya berkeping-keping: yakni sebuah supernova, yang sejenak melebihi kecerlangan galaksinya, menempa unsur di balik besi lewat penangkapan neutron lalu menyiarkan seluruhnya ke dalam awan yang membangun keturunan bintang dan planet berikutnya. Kalsium dalam tulang Anda dan besi dalam darah Anda menempuh rute ini (Soal 27.1): kimia adalah astrofisika yang didaur ulang.

27.3 Jenazahnya: materi pada batasnya

Proposisi 27.4 (Katai putih dan bintang neutron)

Apa yang menahan bintang yang tak lagi membakar? Mekanika kuantum. Sebuah katai putih adalah satu massa matahari karbon dan oksigen yang ditopang oleh tekanan kemerosotan elektron-nya — yakni tekanan Fermi pada $T = 0$ Bab 19 — pada ukuran Bumi dan satu ton tiap sendok tehnya. Topangan Pauli punya langit-langit: di atas massa Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ , elektronnya menjadi relativistik dan tekanannya kalah dalam perlombaannya (yakni hasil yang kita nyatakan, bukan turunkan). Di baliknya, elektronnya diremukkan ke dalam protonnya dan terbentuklah sebuah bintang neutron: yakni kemerosotan neutron ditambah tolakan intinya yang menahan $\sim1.4\,M_\odot$ dalam belasan kilometer pada kerapatan inti Definisi 25.1 — yakni sebuah inti seukuran kota, yang berputar sampai hitungan milidetik lalu memancarkan berkas seperti mercusuar (yakni sebuah pulsar). Dan di balik kira-kira $3\,M_\odot$ tak ada yang dikenal yang melawan: bintangnya jatuh ke dalam jejari yang pelolosannya menuntut laju cahaya,

R_{\text{s}} = \frac{2GM}{c^2} \qquad (3\,\mathrm{km}\text{ tiap massa matahari}) ,

yakni sebuah lubang hitam — kata terakhir gravitasi, dan ambang pintu kenisbian umum, satu jilid di balik jilid ini.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Satu massa matahari, empat ukuran. Tekanan termal menahan Mataharinya; kemerosotan elektron menahan katai putihnya; kemerosotan neutron menahan bintang neutronnya; tak ada yang menahan lubang hitamnya. Tiap langkahnya mengalikan gravitasi permukaannya sekitar sepuluh ribu — beserta fisika yang diperlukan untuk berdiri di atasnya.

27.4 Alam semesta yang memuai

Definisi 27.5 (Hukum Hubble dan permulaan yang panas)

Tiap galaksi yang jauh menjauh, pada laju yang sebanding dengan jaraknya:

v = H_0d , \qquad H_0 \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \text{ tiap megaparsek} .

Ini bukan ledakan ke dalam ruang melainkan pemuaian atas ruang — jalankanlah mundur dan segalanya dahulu rapat dan panas: $1/H_0 \approx 14$ miliar tahun lalu (Latihan 27.9). Alam semesta dini adalah buku ini yang diputar ulang dengan cepat. Pada satu detik ia adalah sup partikel $\mathrm{MeV}$ (Bab 26); pada menit pertamanya, Bab 25 mengamuk lalu membekukan seperempat helium menurut massanya — yang diramalkan sebuah faktor Boltzmann, dan teramati di mana-mana (Latihan 27.11). Pada 380.000 tahun dan $3000\,\mathrm{K}$ , persamaan Saha (Proposisi 18.5) akhirnya membiarkan elektronnya menetap pada protonnya; kabutnya sirna, dan cahaya yang terhambur terakhir itu — yang terentang seribu kali oleh pemuaiannya — tiba hari ini sebagai latar gelombang mikro kosmik: yakni spektrum Planck $2.725\,\mathrm{K}$ (Bab 20), yaitu foto tertua yang ada. Apa lagi yang ditunjukkan fotonya: galaksi berputar dan bergerombol seolah disetir materi gelap yang belum ditangkap pendeteksi mana pun, dan pemuaiannya memecut di bawah energi gelap yang belum dijelaskan siapa pun — yakni sembilan puluh lima persen anggaran yang belum dapat ditulis buku ini.

Hukum Hubble: laju menjauh terhadap jaraknya, tiap titiknya sebuah galaksi (lajunya dari geseran Doppler, ; jaraknya dari lilin baku). Kemiringannya adalah H_0; kebalikannya adalah, kira-kira, umur alam semesta. — Hukum Hubble: laju menjauh terhadap jaraknya, tiap titiknya sebuah galaksi (lajunya dari geseran Doppler, Bab 4; jaraknya dari lilin baku). Kemiringannya adalah $H_0$ ; kebalikannya adalah, kira-kira, umur alam semesta.

Sebuah gugus terbuka: si boros biru putih dan katai jingga yang hemat, yang lahir bersama, lalu menua pada laju yang sangat berbeda — yakni diagram Hertzsprung–Russell, yang terpotret.

27.5 Latihan

Latihan 27.1 ★

Matahari, yang diperkirakan. $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ , $R = 7 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . (a) Perkirakanlah $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4$ . (b) Dengan kerapatan rata-ratanya dan hukum gas idealnya ( $P = \rho k_{\text{B}}T/ m_{\text{p}}$ ), perkirakanlah $T_{\text{c}}$ . (c) Bandingkanlah dengan ambang penyalaan $10^7\,\mathrm{K}$ Latihan 25.11. (d) Mengapa kesesuaian ini merupakan sebuah termostat dan bukan kebetulan?

Solusi

Solusi Latihan 27.1.

(a) $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \approx 1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ — yakni sepuluh miliar atmosfer. (b) $\bar\rho \approx 1400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $T \sim P m_{\text{p}}/\rho k_{\text{B}} \approx 10^{8}\,\mathrm{K}$ — kasar, satu orde di atas nilai sejatinya $1.6 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ , tetapi skalanya tepat. (c) Persis pada ambang penerowongannya. (d) Sebuah protobintang mengerut dan memanas sampai terasnya menyala, lalu berhenti mengerut: bola gas mana pun yang cukup masif pasti tiba pada penyalaannya — bintangnya menyetel dirinya pada termostat intinya.

Latihan 27.2 ★

Menimbang cahaya. (a) Dari tetapan surya $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ pada $d = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , hitunglah $L_\odot$ . (b) Dari $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , hitunglah suhu permukaannya. (c) Periksalah puncak Wien terhadap warna kuning kehijauan Matahari. (d) Hukum bab yang mana yang dipakai tiap langkahnya?

Solusi

Solusi Latihan 27.2.

(a) $L = 4\pi d^2\times1360 \approx 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . (b) $T = (L/4\pi R^2\sigma)^{1/4} \approx 5800\,\mathrm{K}$ . (c) Wien: $\lambda_{\text{puncak}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ — matanya berevolusi tepat pada puncak Matahari. (d) Fluks kuadrat terbaliknya (Tahun 1); Stefan–Boltzmann dan Wien: yakni benda hitam Bab 20, yang diturunkan dari statistika foton.

Latihan 27.3 ★

Membaca diagramnya. Sirius B: $T \approx 25\,000\,\mathrm{K}$ , $L \approx 0.026\,L_\odot$ ; Betelgeuse: $T \approx 3500\,\mathrm{K}$ , $L \approx 10^5\,L_\odot$ . (a) Tempatkanlah keduanya pada diagram HR. (b) Dari $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , hitunglah tiap jejarinya dalam satuan matahari. (c) Betelgeuse dalam Tata Surya: planet mana saja yang berada di dalamnya? (d) Apa yang pasti menahan Sirius B?

Solusi

Solusi Latihan 27.3.

(a) Sirius B: jauh di kiri, jauh di bawah; Betelgeuse: jauh di kanan, jauh di atas. (b) $R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2$ : Sirius B $\approx 0.009\,R_\odot \approx$ satu jejari Bumi; Betelgeuse $\approx 860\,R_\odot \approx 4\,\mathrm{au}$ . (c) Merkurius, Venus, Bumi dan Mars akan mengorbit di dalamnya. (d) Seukuran Bumi namun bermassa matahari: hanya tekanan kemerosotan elektron (Bab 19) — Sirius B adalah katai putih yang klasik.

Latihan 27.4 ★

Hidup cepat, mati muda. Dengan $L \propto M^{3.5}$ dan umur $t \propto M/L$ , serta sepuluh miliar tahun Matahari: (a) carilah umur bintang $10\,M_\odot$ ; (b) umur katai merah $0.5\,M_\odot$ — bandingkanlah dengan umur alam semesta; (c) mengapa bintang yang lebih berat, dengan bahan bakar lebih banyak, mati lebih cepat? (d) Apa yang diisyaratkan pendeknya kehidupan bintang masif tentang di mana (dalam sebuah galaksi) supernova terjadi?

Solusi

Solusi Latihan 27.4.

(a) $10\,\text{Gyr}\times10^{-2.5} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (b) $0.5^{-2.5} \approx 5.7$ : yakni kira-kira 57 miliar tahun — tiap katai merah yang pernah lahir masih membakar. (c) Kecerlangannya tumbuh sebagai $M^{3.5}$ tetapi tangkinya hanya sebagai $M$ : si kaya membakar hartanya lebih cepat daripada menabungnya. (d) Bintang masif mati dalam beberapa juta tahun sejak kelahirannya — sebelum menghanyut ke mana pun: supernova meledak di dalam lengan spiral pembentuk bintang yang membuatnya.

Latihan 27.5 ★★

Termodinamika gravitasi yang aneh. Untuk sebuah bola gas yang menggravitasi diri, teorema virial (Bab 1) memberikan energi total $E = -K$ (yakni minus energi kinetik atau termalnya). (a) Simpulkanlah: memancarkan energi keluar membuat bintangnya lebih panas — yakni kapasitas kalor yang negatif. (b) Perkirakanlah energi gravitasi $GM^2/R$ Matahari. (c) Pada $L_\odot$ hari ini, berapa lama pengerutannya sendiri dapat menenagainya (yakni waktu Kelvin–Helmholtz)? (d) Geologi menanggali Bumi pada 4,5 miliar tahun: nyatakanlah paradoks abad kesembilan belasnya beserta penyelesaian intinya.

Solusi

Solusi Latihan 27.5.

(a) $E = -K$ : memancarkan membuat $E$ makin negatif, sehingga $K$ — yakni suhunya — menaik: yakni tanda tangan termodinamika gravitasi. (b) $GM^2/R \approx 3.8 \times 10^{41}\,\mathrm{J}$ . (c) $E/L_\odot \approx 10^{15}\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (d) Matahari Kelvin tak mungkin lebih tua daripada puluhan megatahun, sedangkan cacing Darwin dan batuan Lyell menuntut miliaran: yakni penyelesaiannya adalah bahan bakar yang tak dikenal siapa pun — Bab 25, tujuh puluh tahun terlalu awal.

Latihan 27.6 ★★

Anatomi sebuah katai putih. Ambillah $M = 1\,M_\odot$ pada $R = R_{\text{Bumi}} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . (a) Hitunglah kerapatan rata-ratanya, dan massa satu sendok teh ( $5\,\mathrm{mL}$ ). (b) Hitunglah gravitasi permukaannya. (c) Tekanan kemerosotan Bab 19 berskala sebagai $n^{5/3}$ , sedangkan tuntutan gravitasinya sebagai $M^2/R^4 \propto n^{4/3}M^{2/3}$ : tunjukkanlah bahwa ini mengisyaratkan keanehan $R \propto M^{-1/3}$ — katai yang lebih berat justru lebih kecil. (d) Jelaskanlah secara fisis mengapa menumpuk massa menyusutkan bintangnya, dan apa yang dipertandakannya pada massa Chandrasekhar.

Solusi

Solusi Latihan 27.6.

(a) $\bar\rho \approx 1.8 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : yakni sendok teh sembilan ton. (b) $g = GM/R^2 \approx 3.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — yakni tiga ratus ribu gravitasi Bumi. (c) $n \propto M/R^3$ : kemerosotannya memasok $P \propto M^{5/3}/R^5$ , gravitasinya menuntut $P \propto M^2/R^4$ ; menyamakannya, $R \propto M^{-1/3}$ . (d) Berat yang lebih besar memerlukan tekanan Fermi yang lebih besar, yang hanya disediakan pemampatannya — sehingga massa justru menyusutkan bintangnya; pusarannya punya dinding: begitu elektronnya menjadi relativistik hukum tekanannya melunak menjadi $n^{4/3}$ , keseimbangannya gagal pada jejari berapa pun, dan $M_{\text{Ch}} = 1.4\,M_\odot$ adalah tepi tebingnya.

Latihan 27.7 ★★

Anatomi sebuah bintang neutron. (a) Pada kerapatan inti $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , hitunglah jejari yang menahan $1.4\,M_\odot$ . (b) Teras sebelum runtuhnya berputar sekali tiap 25 hari pada $R \sim 10^5\,\mathrm{km}$ : pakailah kekekalan momentum sudut untuk memperkirakan kala putar akhirnya. (c) Hitunglah gravitasi permukaannya. (d) Pembekuan fluks menguatkan medan magnetnya sebagai $B \propto 1/R^2$ (Bab 22): dari $10^{-2}\,\mathrm{T}$ bintangnya, medan permukaan berapa yang dihasilkan, dan mengapa pulsar memancarkan berkas?

Solusi

Solusi Latihan 27.7.

(a) $V = M/\rho_{\text{inti}} \approx 1.2 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$ : $R \approx 14\,\mathrm{km}$ — yakni sebuah inti bercakrawala kota. (b) $\omega \propto 1/R^2$ : percepatan putarnya $(10^8/1.4\times10^4)^2 \approx 5\times10^{7}$ , sehingga 25 hari menyusut menjadi ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ : yakni wilayah pulsar. (c) $g \approx 10^{12}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : sebuah gunung di sini akan setinggi milimeter di sana. (d) $B \approx 10^{-2}\times5\times10^{7} \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — dan sumbu magnetnya, yang tak sejajar dengan sumbu putarnya, menyalurkan pancaran radio sepanjang kutubnya: berkasnya menyapu seperti mercusuar, dan kilatannya kita sebut sebuah pulsar.

Latihan 27.8 ★★

Titik tanpa jalan kembali. (a) Turunkanlah $R_{\text{s}} = 2GM/c^2$ dari syarat laju lepas Newton $v_{\text{esc}} = c$ (penurunan yang jujur memerlukan kenisbian umum; jawabannya, secara termasyhur, bersesuaian). (b) Hitunglah untuk Matahari dan untuk Bumi. (c) Lubang hitam pusat Galaksinya: $M = 4\times10^6\,M_\odot$ — hitunglah $R_{\text{s}}$ lalu bandingkanlah dengan jarak Matahari–Merkurius ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). (d) Tunjukkanlah bahwa kerapatan rata-rata di dalam $R_{\text{s}}$ turun sebagai $1/M^2$ — lubang hitam yang cukup besar kurang rapat daripada air: apa yang dikatakannya tentang naluri “meremukkan” kita?

Solusi

Solusi Latihan 27.8.

(a) $\tfrac12mc^2 = GMm/R$ memberikan $R = 2GM/c^2$ . (b) Matahari: $3.0\,\mathrm{km}$ ; Bumi: $8.9\,\mathrm{mm}$ — mampatkanlah salah satunya ke dalam jejari itu dan cahaya tak dapat pergi. (c) $R_{\text{s}} \approx 1.2 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ : yakni seperlima orbit Merkurius — dan bintang teramati berputar kencang mengelilinginya. (d) $\bar\rho \propto M/R_{\text{s}}^3 \propto 1/M^2$ : lubang bermassa $10^8\,M_\odot$ kurang rapat daripada air. Tak ada yang perlu “diremukkan” pada cakrawalanya — ia adalah titik tanpa jalan kembali, bukan permukaan batu.

Latihan 27.9 ★★★

Hitungan Hubble. $H_0 = 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tiap Mpc; $1\, \text{Mpc} = 3.09 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$ . (a) Ubahlah $H_0$ ke SI. (b) Hitunglah $1/H_0$ dalam tahun. (c) Sebuah galaksi pada $200\,\mathrm{Mpc}$ : carilah laju menjauhnya, dan faktor perentangan panjang gelombang cahayanya (dengan Doppler ber- $z$ kecil, Bab 4). (d) Mengapa $1/H_0$ hanya kira-kira umur alam semesta — apa yang sedang dilakukan laju pemuaiannya sementara itu?

Solusi

Solusi Latihan 27.9.

(a) $H_0 = 7\times10^4/3.09\times10^{22} \approx 2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (b) $1/H_0 \approx 4.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 14$ miliar tahun. (c) $v = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $z \approx v/c \approx 0.047$ : panjang gelombangnya tiba terentang 5 %. (d) Lajunya tak pernah tetap — diperlambat oleh materi pada awalnya, lalu dipercepat oleh energi gelap sejak itu: bahwa $1/H_0$ toh mendarat dalam satu gigatahun dari nilai sejatinya 13,8 adalah kebetulan kosmik yang kecil.

Latihan 27.10 ★★★

Cahaya tertua. CMB adalah benda hitam $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) Hitunglah panjang gelombang puncaknya (Bab 20) lalu benarkanlah sebutan “gelombang mikro”. (b) Ia dipancarkan sebagai cahaya $3000\,\mathrm{K}$ : faktor pemuaian berapa yang telah merentangkannya, dan mengapa $3000\,\mathrm{K}$ (ingatlah Saha, Proposisi 18.5)? (c) Kerapatan fotonnya adalah $\sim4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3}$ : bandingkanlah dengan kerapatan barionnya, $\sim0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ , lalu nyatakanlah nisbah foton terhadap barionnya. (d) Sebuah pemeriksaan meja yang klasik: beberapa persen semut televisi analog yang tak tersetel adalah CMB — mengapa sebuah antena, yang diarahkan ke mana pun, menerimanya?

Solusi

Solusi Latihan 27.10.

(a) $\lambda_{\text{puncak}} = b/T \approx 1.1\,\mathrm{mm}$ : yakni gelombang mikro, sesuai iklannya. (b) Terentang sebesar $3000/2.725 \approx 1100$ — alam semesta seribu seratus kali lebih besar pada tiap arahnya sejak itu. Penggabungan kembalinya menunggu pada $3000\,\mathrm{K}$ , jauh di bawah $13.6\,\mathrm{eV}/k_{\text{B}}$ , karena keseimbangan Saha (Proposisi 18.5) dimiringkan oleh dua miliar foton tiap barionnya: ekor pengionnya menjaga hidrogennya tetap terurai lama setelah energetika naifnya berkata sebaliknya. (c) Kira-kira $1.6\times10^{9}$ foton tiap barionnya — alam semesta, menurut cacahnya, nyaris seluruhnya cahaya. (d) CMB bukanlah sebuah tempat melainkan seluruh langit: tiap garis pandangnya berakhir pada kabut hamburan terakhirnya, sehingga tiap antena, yang diarahkan ke mana pun, menerimanya.

Latihan 27.11 ★★★

Seperempat helium, dari sebuah faktor Boltzmann. Di sekitar $t \sim 1\,\mathrm{s}$ , $T \sim 10^{10}\,\mathrm{K}$ ( $k_{\text{B}}T \approx 0.8\,\mathrm{MeV}$ ), reaksi lemah yang membeku meninggalkan nisbah neutron terhadap protonnya pada nilai Boltzmannnya (Bab 17). (a) Dengan $\Delta mc^2 = 1.29\,\mathrm{MeV}$ , hitunglah $n/p$ pada pembekuannya. (b) Peluruhan neutron selama menit pertamanya memangkasnya menjadi $\approx1/7$ : tunjukkanlah bahwa mengikat tiap yang selamat menjadi $^4$ He memberikan bagian massa helium sebesar $2(n/p)/(1 + n/p) = 25\,\%$ . (c) Nyatakanlah mengapa bilangan ini, yang terukur pada bintang di mana-mana, menjadi bukti kuat bagi permulaan yang panas. (d) Mengapa masakan purbanya berhenti pada helium (dengan jejak litium), lalu menyisakan karbon dan segala sisanya bagi Catatan 27.3?

Solusi

Solusi Latihan 27.11.

(a) $n/p = \eu^{-1.29/0.8} \approx 0.20$ . (b) Dengan $n/p = 1/7$ : 14 proton tiap 2 neutronnya; kedua neutronnya menyambar 2 proton ke dalam satu $^4$ He (bermassa 4) lalu menyisakan 12 proton sendirian: $4/16 = 25\,\%$ menurut massanya. (c) Tak ada bintang yang punya waktu untuk menjadikan seperempat segalanya helium; menemukan lantai itu pada gas tertua yang paling miskin logam adalah alam semesta dini yang panas yang tertangkap basah — yakni sebuah faktor Boltzmann yang tertulis melintasi langit. (d) Tak ada inti yang mantap pada $A = 5$ atau $8$ , dan kerapatan serta suhunya sedang turun dalam hitungan menit: jembatan menuju karbonnya (yakni tiga helium sekaligus) hanya terbuka dalam teras raksasa merah yang rapat dan sabar.

Latihan 27.12 ★★★

Materi yang hilang. Laju putar sebuah galaksi spiral tetap datar pada $v = 220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ sampai $r = 50\,\mathrm{kpc}$ ( $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ ), jauh di balik tepi kasat matanya. (a) Untuk sebuah orbit lingkaran, tunjukkanlah $M(r) = v^2r/G$ . (b) Hitunglah pada $50\,\mathrm{kpc}$ , dalam massa matahari. (c) Bintang dan gas yang kasat mata seluruhnya $\sim5\times10^{10}\,M_\odot$ : berapa bagian yang terjelaskan? (d) Harapan Keplernya di balik tepi kasat matanya adalah $v \propto r^{-1/2}$ (yakni pola Tata Surya): apa yang diisyaratkan kedatarannya tentang bagaimana massa yang tak terlihat itu tersebar?

Solusi

Solusi Latihan 27.12.

(a) $mv^2/r = GM(r)m/r^2$ . (b) $M = v^2r/G \approx 1.1 \times 10^{42}\,\mathrm{kg} \approx 5\times10^{11}\,M_\odot$ . (c) Kira-kira sepersepuluh: sembilan puluh persen galaksinya tak bersinar dan tak pula menyerap. (d) $v$ yang datar berarti $M(r) \propto r$ — massa yang tak terlihat itu terus menumpuk jauh di balik cakram kasat matanya, yakni sebuah lingkung gelap yang meluas (dengan kerapatan $\sim1/r^2$ ) yang di dalamnya galaksi yang bercahaya hanyalah teras yang menyala.

Sebuah cakram gelombang milimeter di bawah Bima Sakti: galaksi yang didengarkannya, tergantung di atasnya. Astronomi radio menemukan latar gelombang mikro kosmik — yakni desis 2.7\, K yang ternyata adalah permulaannya. — Sebuah cakram gelombang milimeter di bawah Bima Sakti: galaksi yang didengarkannya, tergantung di atasnya. Astronomi radio menemukan latar gelombang mikro kosmik — yakni desis $2.7\,\mathrm{K}$ yang ternyata adalah permulaannya.

Nebula Kepiting (NASA, ESA, J. Hester dan A. Loll, ranah publik): yakni puing supernova tahun 1054, yang masih memuai, dengan mercusuar milidetik sebuah bintang neutron di jantungnya — yakni soal akhir pekannya, yang terpotret sembilan abad kemudian.

27.6 Soal: Malam ketika bintangnya mati

Soal 27.1

Malam ketika bintangnya mati. Pada 23 Februari 1987, sebuah maharaksasa biru dalam Awan Magellan Besar — $d \approx 50\,\mathrm{kpc} \approx 1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ — menjadi SN 1987A, yakni supernova terdekat dalam empat abad. Beberapa jam sebelum teleskop mana pun melihatnya memijar, tiga pendeteksi bawah tanah mencacah dua lusin neutrino. Anda sedang menyusun ulang malam itu dari asasnya.

Bagian I — Bintang yang dahulu ada.

Pendahulunya berbobot ${\sim}20\,M_\odot$ . Dengan memakai penskalaan Latihan 27.4, perkirakanlah umurnya lalu bandingkanlah dengan umur Matahari.
Pada hari terakhirnya bintangnya menjadi sebuah bawang: kulit H, He, C, O, Si mengelilingi teras besi. Mengapa tiap bahan bakar berikutnya menuntut teras yang lebih panas?
Mengapa urutannya berhenti, untuk selamanya, pada besi? (Proposisi 25.2.)
Teras besinya yang lembam tumbuh menuju $1.4\,M_\odot$ . Apa yang istimewa tentang bilangan itu, dan tekanan apa yang gagal di sana?
Pembakaran silikonnya menopang bintangnya selama kira-kira satu hari: apa yang dikatakannya tentang bagaimana jam sebuah bintang memecut menuju akhirnya?
Begitu topangan tekanannya gagal, kira-kira berapa lama jatuh bebasnya berlangsung, untuk teras berkerapatan $\sim10^{12}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ( $t \sim 1/\sqrt{G\rho}$ )?

Bagian II — Kilatan neutrinonya.

Terasnya ( $M \approx 1.4\,M_\odot = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) runtuh menjadi $R \approx 12\,\mathrm{km}$ : hitunglah energi gravitasi yang terlepas, $E \sim GM^2/R$ .
Bandingkanlah dengan cahaya semiliar matahari yang bersinar selama sebulan ( $L \sim 10^{9}L_\odot$ selama $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ ): tunjukkanlah bahwa fotonnya hanyalah pembulatan — ke mana 99 %-nya pergi, dan mengapa hanya neutrino yang dapat lolos dari teras yang runtuh dengan segera?
Sebarkanlah $E \approx 3 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ atas sebuah bola berjejari $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ : hitunglah aliran energinya di Bumi.
Dengan $\sim15\,\mathrm{MeV}$ tiap neutrinonya, hitunglah aliran cacahnya (yakni neutrino tiap $\mathrm{m}^{2}$ ).
Sebuah pendeteksi menahan $2000\,\mathrm{t}$ air: yakni ${\sim}1.5\times10^{32}$ proton bebas. Dengan peluang interaksi tiap protonnya sebesar $\sigma \approx 1 \times 10^{-46}\,\mathrm{m}^{2}$ tiap antineutrinonya (diberikan), perkirakanlah cacah yang diharapkan — lalu bandingkanlah dengan sebelas yang tercatat satu pendeteksinya.
Neutrinonya mengalahkan cahayanya beberapa jam. Jelaskanlah kedua jamnya: apa yang menunda fotonnya (di mana pemijarannya sebenarnya lahir?), dan apa yang dikatakan kesehampiranserempakannya tentang massa dan laju neutrinonya?
Dua puluh lima neutrino yang tercacah: nyatakanlah, masing-masing dalam satu kalimat, dua hal yang dibenarkannya tentang teori supernova.

Bagian III — Apa yang tersisa.

Hitunglah kerapatan rata-rata sisa $12\,\mathrm{km}$ yang bermassa $1.4\,M_\odot$ itu lalu bandingkanlah dengan kerapatan inti Definisi 25.1.
Teras pendahulunya berputar sekali tiap 30 hari pada $R \sim 10^{5}\,\mathrm{km}$ : perkirakanlah kala putar sisanya.
Medan magnetnya, yang terbekukan fluks, dikuatkan sebesar $(R_0/R)^2$ : dari $10^{-2}\,\mathrm{T}$ , hitunglah medan permukaannya.
Jelaskanlah mercusuarnya: apa yang menyapu, apa yang memancarkan berkas, dan mengapa pulsar Kepiting (yang lahir 1054, tercatat sebagai “bintang tamu” siang hari) masih berkelip tiga puluh kali tiap detiknya.
Seandainya sisanya melampaui ${\sim}3\,M_\odot$ : hitunglah $R_{\text{s}}$ untuk $3\,M_\odot$ lalu nyatakanlah nasibnya.
Ketepatan waktu pulsar mantap sampai $10^{-15}$ : sebutkanlah satu kegunaan fisis sebuah jam sebaik itu, yang berputar di langit.

Bagian IV — Apa artinya.

Oksigen yang Anda hirup dan besi dalam darah Anda: telusurilah riwayat tiap atomnya dalam dua kalimat, dari hidrogen dentuman besar sampai ke aliran darah Anda.
Supernova jenis Ia (yakni katai putih yang didorong melewati $M_{\text{Ch}}$ ) semuanya meledak pada massa yang sama, sehingga nyaris sama kecerlangannya. Jelaskanlah mengapa hal itu menjadikannya lilin baku, dan bagaimana diagram Definisi 27.5 dibangun darinya.
Pada 1998, supernova Ia yang jauh ternyata lebih redup daripada yang diramalkan garis lurus Hubble: nyatakanlah kesimpulan yang meraih Hadiah Nobel 2011.
Perkirakanlah seberapa jauh cahaya SN 1987A telah menempuh ketika ia tiba, dalam tahun — lalu catatlah apa yang sedang terjadi di Bumi ketika ia berangkat.
Neutrino Awan Magellan itu juga menembus Anda (dan tiap orang yang hidup hari itu). Kira-kira berapa banyak yang menyeberangi tiap manusia ( ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ )? Adakah yang merasakannya (Latihan 26.10)?
Tutuplah buku besar bukunya dalam empat baris: sebuah bintang yang seimbang selama sepuluh juta tahun oleh penerowongan; sebuah keruntuhan yang dibayarkan dalam neutrino; sebuah jenazah yang ditopang Pauli; dan puingnya — termasuk sang pembaca — yang masih menunggangi pemuaian Hubble.

Solusi

Solusi Soal 27.1.

1. $t \sim 10\,\text{Gyr}\times20^{-2.5} \approx 6\,\mathrm{Myr}$ : Matahari akan hidup dua ribu kali umur itu. 2. Inti yang lebih berat membawa muatan lebih besar: penghalang Coulomb yang lebih tinggi memerlukan teras yang lebih panas agar peluang penerowongannya (Latihan 25.8) tetap mengimbangi. 3. Besi duduk di puncak kurva $B/A$ : memfusikannya justru berongkos energi — tangga bahan bakar tanurnya berakhir pada abu. 4. Yakni massa Chandrasekhar: yaitu paling banyak yang dapat diangkut tekanan kemerosotan elektron; terasnya adalah katai putih yang tumbuh di dalam bintang yang hidup, dan pada $1.4\,M_\odot$ topangannya gagal. 5. Hidrogen: megatahun; helium: ratusan milenium; silikon: satu hari — tiap tahapnya membayar lebih sedikit tiap kilogramnya sementara bintangnya, yang kian panas, membelanjakannya (sebagian besar ke neutrino) kian cepat: jamnya berlari gila secara logaritmik. 6. $t \sim 1/\sqrt{G\rho} = 1/\sqrt{6.7\times10^{-11}\times10^{12}} \approx 0.1\,\mathrm{s}$ : terasnya jatuh dari bawah bintangnya dalam sepersepuluh detik. 7. $E \sim GM^2/R \approx 4 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ . 8. Pertunjukan fotonnya adalah $10^9\times3.8\times10^{26} \times2.6\times10^{6} \approx 10^{42}\,\mathrm{J}$ — yakni satu bagian dalam sepuluh ribu. Sisanya pergi sebagai neutrino: materi inti yang runtuh bersifat kedap terhadap segala hal lainnya, tetapi (Bab 26) nyaris tembus terhadap partikel gaya lemahnya sendiri, yang menguras energinya dalam hitungan detik. 9. $E/4\pi d^2 = 4\times10^{46}/2.8\times10^{43} \approx 1.4 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ . 10. Pada $15\,\mathrm{MeV} = 2.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ masing-masing: ${\sim}6\times10^{14}$ neutrino tiap meter persegi — menembus tiap meter persegi Bumi. 11. $6\times10^{14}\times10^{-46}\times1.5\times 10^{32} \approx 9$ : pendeteksinya mencatat sebelas — yakni sasaran tepat berorde besar bagi bintang yang mati 160.000 tahun lalu. 12. Neutrinonya meninggalkan terasnya pada keruntuhannya; cahayanya baru lahir ketika kejutnya menembus selubung bintangnya beberapa jam kemudian. Bahwa keduanya tiba pada malam yang sama setelah 160 milenium dalam penerbangan membatasi neutrinonya pada laju cahaya dalam beberapa bagian dari $10^{9}$ — dan massanya menjadi nyaris tak ada. 13. Anggaran energinya ( $\sim10^{46}\,\mathrm{J}$ , dengan 99 % dalam neutrino) dan lama letusannya ${\sim}10$ detik — keduanya cocok dengan teras runtuh teorinya, sehingga menaikkan mekanisme supernovanya dari papan tulis menjadi pengamatan. 14. $\bar\rho = 2.8\times10^{30}/(\tfrac43\pi (1.2\times10^4)^3) \approx 4 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : yakni kerapatan inti — yaitu sendok teh Definisi 25.1, yang kini seukuran kota. 15. Percepatan putarnya $(10^8/1.2\times10^4)^2 \approx 7\times10^{7}$ : 30 hari $\to$ ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ . 16. $B \approx 10^{-2}\times7\times10^{7} \approx 7 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — yakni seratus juta tesla-meter fluks, yang dikekalkan ke dalam sebuah perangko. 17. Sumbu magnetnya, yang miring dari sumbu putarnya, memancarkan berkas radio sepanjang kutubnya; berkasnya menyapu langit seperti mercusuar. Sisa Kepitingnya — yakni bintang tamu tahun 1054 — masih berputar tiga puluh kali tiap detiknya, dengan perlambatan putar semilenium yang baru saja bermula. 18. $R_{\text{s}} = 3\times3\,\mathrm{km} \approx 9\,\mathrm{km}$ — yakni seorde dengan bintangnya sendiri: tanpa tekanan tersisa untuk berdebat, keruntuhannya berlanjut menembus cakrawalanya dan sisanya menjadi sebuah lubang hitam. 19. Larik jam semacam itu adalah pendeteksi gelombang gravitasi berbukaan galaksi (sekaligus laboratorium terbaik kenisbian: orbit pulsar ganda meluruh persis seperti yang diramalkan radiasi gravitasi). 20. Oksigennya difusikan dalam kulit sebuah bintang masif lalu dilemparkan keluar oleh sebuah supernova; besinya ditempa dalam akhir yang meledak itu sendiri; keduanya menghanyut dalam awan antarbintang, bergabung dengan nebula suryanya, Bumi, lautnya, rantai makanannya — dan sang pembaca. Hidrogen dentuman besarnya, sebaliknya: itu sudah menjadi milik Anda sejak dahulu. 21. Massa peledakan yang sama $\to$ kecerlangan hakiki yang sama $\to$ kecerlangan tampaknya membaca jaraknya: yakni sebuah lilin berdaya yang diketahui yang kasat mata sepanjang miliaran tahun cahaya — yaitu penggaris yang menggambar ujung jauh diagram Hubble. 22. Pemuaiannya memecut: sesuatu yang disebut “energi gelap” mendorong alam semesta berpisah — yakni Nobel 2011, dan tagihan terbuka terbesar fisika. 23. $50\,\mathrm{kpc} \approx 163000$ tahun cahaya: yakni cahayanya berangkat ketika Homo sapiens baru meninggalkan Afrika. 24. $6\times10^{14}\times0.03 \approx 2\times10^{13}$ menembus tiap manusia yang hidup — dan, menurut peluang Latihan 26.10, tak satu pun dari sejuta orang berinteraksi bahkan dengan satu neutrino: kilatan yang melebihi kecerlangan sebuah galaksi melintasi umat manusia tanpa terasa. 25. Sebuah bintang yang seimbang sepuluh juta tahun di atas proton yang menerowong; sebuah keruntuhan sepersepuluh detik yang membayarkan $10^{46}$ joule dalam neutrino; asas Pauli yang menahan jenazahnya pada kerapatan inti; dan puing yang terserak — oksigen, besi, sang pembaca — masih menunggangi pemuaian Hubble, dalam alam semesta yang foto bayinya adalah sebuah kurva Planck. Fisika, lengkap untuk saat ini: jilidnya ditutup.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium