Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

10Momentum Sudut Kuantum

Arahkanlah teleskop radio ke sepetak langit yang gelap lalu talalah pada $115\,\mathrm{GHz}$ : muncul sebuah garis terang setajam jarum — yakni molekul karbon monoksida, sepuluh kelvin di atas nol mutlak, yang menuruni satu anak tangga dari tangga keadaan rotasi. Jungkir baliknya, seperti segala sesuatu yang berputar dalam mekanika kuantum, terkuantumkan dua kali: besar momentum sudutnya hanya boleh $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$ , dan komponennya sepanjang sumbu mana pun yang dipilih hanya boleh $m\hbar$ . Bab ini menurunkan kuantisasi ganda itu — sekali secara aljabar, dari komutator yang diwarisi dari kurung Poisson pada Bab 2, dan sekali secara nyata, sebagai harmonik bola yang membentuk tiap orbital atom. Aljabarnya akan menyerahkan lebih daripada yang kita minta: ia mengizinkan nilai setengah bulat yang tak dapat diwujudkan gerak orbital mana pun, sebuah kekosongan yang diisi alam dua bab dari sini dengan spin. Di perjalanannya kita bertemu tangga rotasi molekul — garis gelombang milimeter yang dipakai para astronom untuk menimbang gas dingin galaksi — dan momen magnetik yang lewatnya momentum sudut pertama kali menampakkan diri dalam keadaan terbelah.

10.1 Aljabar rotasi

Definisi 10.1 (Operator momentum sudut)

Momentum sudut orbital adalah operator $\hat{\vect L} = \hat{\vect r}\wedge\hat{\vect p}$ , dengan komponen $\hat L_z = \hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x$ beserta pasangan sikliknya. Dari $[\hat x, \hat p_x] = \iu\hbar$ :

[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\,\hat L_z \quad\text{(dan siklik)} , \qquad [\hat L^2, \hat L_z] = 0 :

komponennya saling tak serasi — tak ada keadaan yang mempunyai dua di antaranya tajam — tetapi kuadrat totalnya serasi dengan salah satu di antaranya: pasangan $(\hat L^2, \hat L_z)$ adalah pilihan baku bagi labelnya. Komutator ini tepat $\iu\hbar$ kali kurung Poisson yang dihitung dalam Contoh 2.12: yakni kamus Dirac yang sedang bekerja.

Teorema 10.2 (Spektrumnya, hanya dari aljabarnya)

Misalkan $\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z$ adalah tiga operator Hermitian sembarang yang memenuhi hubungan komutasi di atas. Maka nilai eigen bersama $(\hat J^2, \hat J_z)$ adalah

\hat J^2:\ j(j+1)\hbar^2 , \qquad \hat J_z:\ m\hbar , \quad m = -j, -j+1, \dots, +j ,

dengan $j$ adalah bilangan bulat atau setengah bulat yang tak negatif: ada $2j + 1$ nilai $m$ untuk tiap $j$ . Operator tangga $\hat J_\pm = \hat J_x \pm \iu\hat J_y$ melangkahkan $m$ sebesar $\pm1$ pada $j$ tetap:

\hat J_\pm\ket{j,m} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\,\ket{j,m\pm1} .

Bukti sebagian. $[\hat J_z, \hat J_\pm] = \pm\hbar\hat J_\pm$ : mengenakan $\hat J_\pm$ menggeser nilai eigen $\hat J_z$ sebesar $\pm\hbar$ , pada $\hat J^2$ tetap (yang berkomutasi dengan segala yang dibangun dari $\hat J_i$ ). Normanya $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$ (yang dihitung dari $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ ) harus tetap tak negatif: tangganya karena itu harus berhenti di atas pada suatu $m_{\max}$ dengan $m_{\max}(m_{\max}+1) = j(j+1)$ , yakni $m_{\max} = j$ , dan di bawah pada $m_{\min} = -j$ . Memanjat dari $-j$ ke $+j$ dalam langkah satuan memaksa $2j$ menjadi bilangan bulat tak negatif. Penulisan nilai eigennya $j(j+1)\hbar^2$ dengan demikian dibenarkan setelah kejadiannya. ∎

Catatan 10.3 (Sebuah kekosongan dalam katalognya)

Aljabarnya mengizinkan $j = \tfrac12, \tfrac32, \dots$ — yakni tangga dengan anak tangga berjumlah genap. Gerak orbital, seperti akan kita tunjukkan berikut ini, hanya memakai bilangan bulat. Namun alam tak membuang apa pun: elektron itu sendiri membawa $j = \tfrac12$ , tanpa orbit di belakangnya (Bab 12); aljabar yang diturunkan di sini, tanpa perubahan, akan menjalankan kemagnetan atom, spin inti dan kubit.

10.2 Momentum sudut orbital: harmonik bola

Proposisi 10.4 (Harmonik bola)

Dalam koordinat bola $\hat L_z = -\iu\hbar\,\partial_\varphi$ , dan fungsi eigen bersama $(\hat L^2, \hat L_z)$ pada bolanya adalah harmonik bola $Y_l^m(\theta, \varphi)$ :

\hat L^2\,Y_l^m = l(l+1)\hbar^2\,Y_l^m , \qquad \hat L_z\,Y_l^m = m\hbar\,Y_l^m ,

dengan $l = 0, 1, 2, \dots$ bilangan bulat — ketunggalan nilai $\eu^{\iu m\varphi}$ memaksa $m$ bulat, sehingga $l$ pun bulat. Beberapa yang pertama, kecuali penormalannya: $Y_0^0 = \text{const}$ (bentuk $s$ , sebuah bola); $Y_1^0 \propto \cos\theta$ dan $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\,\eu^{\pm\iu\varphi}$ (bentuk $p$ , dua cuping); $Y_2^0 \propto 3\cos^2\theta - 1$ beserta pasangannya (keluarga $d$ ). Paritasnya: $Y_l^m(-\vect r$ arah $) = (-1)^l\,Y_l^m$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Diagram polar |Y_lm( )| (penampang pada bidang yang memuat sumbu z; bentuk lengkapnya adalah benda putarnya). Kerangka sudut ini, yang tak bergantung pada potensial apa pun, akan mendandani tiap atom dalam . — Diagram polar $|Y_l^m(\theta)|$ (penampang pada bidang yang memuat sumbu $z$ ; bentuk lengkapnya adalah benda putarnya). Kerangka sudut ini, yang tak bergantung pada potensial apa pun, akan mendandani tiap atom dalam Bab 11.

Contoh 10.5 (Rotor tegar dan tangganya)

Molekul dwiatom yang berjungkir balik dengan momen kelembaman $I$ mempunyai $\hat H = \hat L^2/2I$ : energinya

E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1) = B\,J(J+1) , \qquad J = 0, 1, 2, \dots

masing-masing berdegenerasi $(2J+1)$ kali. Serapan fotonnya memenuhi $\Delta J = \pm1$ , sehingga frekuensi serapannya $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ : sebuah sisir garis yang berjarak sama — yakni ciri yang membuat spektrum rotasi dikenali dengan sekali pandang. Untuk karbon monoksida, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ : garis dasarnya jatuh pada $115\,\mathrm{GHz}$ ( $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$ ), yakni garis andalan astronomi radio milimeter (Soal 10.1).

10.3 Potensial sentral, dilengkapi

Teorema 10.6 (Pemisahan dalam potensial sentral apa pun)

Untuk $V(r)$ , keadaan stasionernya dapat diambil sebagai

\psi(\vect r) = \frac{u(r)}{r}\,Y_l^m(\theta, \varphi) ,

dengan $u$ menyelesaikan persamaan radial satu dimensi

-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + \Big[V(r) + \frac{\hbar^2\,l(l+1)}{2mr^2}\Big]u = E\,u , \qquad u(0) = 0 .

Soal sudutnya diselesaikan sekali untuk selamanya oleh $Y_l^m$ ; tiap $l$ menambahkan penghalang sentrifugal yang menolak $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ — yakni versi kuantum potensial efektif pada Contoh 1.12 — dan tiap aras dengan $l$ tertentu berdegenerasi $(2l+1)$ kali, karena tak ada gaya sentral yang peduli pada arah sumbu $z$ . Muslihat gelombang $s$ pada Proposisi 7.8 adalah baris $l = 0$ teorema ini.

Bukti sebagian. Laplaciannya terbelah sebagai $\Delta = \tfrac1r\partial_r^2(r\,\cdot) - \hat L^2/\hbar^2r^2$ (diterima tanpa bukti; itulah pernyataan bahwa $\hat L^2$ merupakan bagian sudut $-\hbar^2\Delta$ ). Masukkanlah $\psi = (u/r)Y_l^m$ lalu pakailah nilai eigen $\hat L^2$ : diperolehlah persamaan yang dinyatakan itu. Degenerasinya menyusul karena $\hat H$ berkomutasi dengan ketiga $\hat L_i$ , yang operator tangganya menggeser $m$ tanpa mengubah energinya. ∎

Potensial radial efektif soal Coulomb: penghalang sentrifugal 2l(l+1)/2mr2 menembok titik asalnya untuk l 1. Hanya keadaan s yang menyentuh intinya — dengan akibat mulai dari spektrum atom sampai penangkapan elektron radioaktif. — Potensial radial efektif soal Coulomb: penghalang sentrifugal $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ menembok titik asalnya untuk $l \ge 1$ . Hanya keadaan $s$ yang menyentuh intinya — dengan akibat mulai dari spektrum atom sampai penangkapan elektron radioaktif.

10.4 Momen magnetik: momentum sudut yang menjadi kasat mata

Proposisi 10.7 (Momen magnetik orbital dan efek Zeeman)

Sebuah partikel bermuatan $q$ dan bermassa $m$ dengan momentum sudut orbital $\hat{\vect L}$ membawa momen magnetik

\hat{\vect\mu} = \frac{q}{2m}\,\hat{\vect L} ;

untuk elektron, satuan wajarnya adalah magneton Bohr $\mu_{\text{B}} = e\hbar/2m_{\text{e}} = 5.79 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ (bandingkanlah Latihan 7.5). Dalam medan $B\vect e_z$ energi $-\hat{\vect\mu}\cdot\vect B$ menggeser tiap arasnya sebesar $+m\,\mu_{\text{B}}B$ (muatan elektronnya negatif): sebuah aras dengan $l$ tertentu terbelah menjadi $2l + 1$ komponennya — yakni efek Zeeman, peragaan langsung pertama kuantisasi $m$ , sekaligus alasan $m$ disebut bilangan kuantum magnetik. Pada $B = 1\,\mathrm{T}$ pembelahannya $58\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : kecil dibandingkan energi optis, namun mudah dipilah sebagai pergeseran garis spektrum — dan, dibaca terbalik, ia sebuah magnetometer: pembelahan Zeeman garis sinar matahari memetakan medan magnet bintik matahari.

Bukti sebagian. Secara klasik, orbit sebuah muatan adalah lingkar arus: $\mu = IA = (qv/2\pi r)(\pi r^2) = qL/2m$ ; pernyataan operatornya mewarisinya (dan menyusul dari kopling $\hat{\vect A}$ pada Proposisi 1.16). Pergeseran energinya adalah teori gangguan orde pertama, yang dipratayangkan di sini dan dibenarkan dalam Bab 13. ∎

“Kuantisasi ruang” untuk l = 2: vektor momentum sudutnya berpanjang √l(l+1)\, = √6\, tetapi hanya dapat menawarkan kepada sumbu z kelima proyeksi m — tak pernah panjang penuhnya: karena komponennya tak serasi, L tak pernah dapat terletak tepat sepanjang sumbu mana pun. — “Kuantisasi ruang” untuk $l = 2$ : vektor momentum sudutnya berpanjang $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt6\,\hbar$ tetapi hanya dapat menawarkan kepada sumbu $z$ kelima proyeksi $m\hbar$ — tak pernah panjang penuhnya: karena komponennya tak serasi, $\vect L$ tak pernah dapat terletak tepat sepanjang sumbu mana pun.

Metode 10.8 (Momentum sudut dalam praktik)

(1) Labelilah keadaannya dengan $(l, m)$ — atau $(j, m)$ untuk aljabar abstraknya — dan jangan pernah menanyakan dua komponennya sekaligus. (2) Unsur matriksnya: pakailah rumus tangganya; $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ . (3) Potensial sentral: kutiplah $Y_l^m$ , lalu selesaikanlah hanya persamaan radialnya beserta penghalang sentrifugalnya. (4) Energi rotasinya: $BJ(J+1)$ , dengan garis pada $2B(J+1)$ — tariklah $B$ , sehingga diperoleh panjang ikatannya, dari jaraknya yang sama. (5) Pertanyaan magnetik: ubahlah momentum sudutnya menjadi momen sebesar $\mu_{\text{B}}$ tiap $\hbar$ , dan energinya sebesar $\mu_{\text{B}}B$ tiap satuan $m$ .

10.5 Latihan

Latihan 10.1 ★

(a) Turunkanlah $[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\hat L_z$ dari komutator kanoniknya. (b) Tunjukkanlah $[\hat L^2, \hat L_z] = 0$ . (c) Tunjukkanlah $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$ : apa yang dibangkitkan $\hat L_z$ ? (d) Mengapa ketiga komponennya tidak mempunyai basis eigen bersama — kecuali untuk satu keadaan tertentu (yang mana)?

Solusi

Solusi Latihan 10.1.

(a) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat p_z]$ : hanya suku yang berbagi pasangan $\hat z, \hat p_z$ yang bertahan, sehingga memberikan $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$ . (b) $[\hat L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x, \hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$ : keempat sukunya saling meniadakan berpasangan. (c) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$ : $\hat L_z$ membangkitkan rotasi terhadap $z$ — baik pada operatornya maupun pada keadaannya. (d) Ketajaman bersama dua komponennya memaksa (lewat komutatornya) ketajaman komponen ketiganya dengan nilai nol bagi ketiganya: hanya $l = 0$ yang mencapainya.

Latihan 10.2 ★

Untuk $l = 1$ , dalam basis $\{\ket{1,1}, \ket{1,0}, \ket{1,-1}\}$ : (a) tuliskanlah matriks $\hat L_z$ ; (b) pakailah rumus tangganya untuk menuliskan $\hat L_+$ dan $\hat L_-$ ; (c) susunlah $\hat L_x$ lalu periksalah bahwa nilai eigennya $\hbar, 0, -\hbar$ ; (d) keadaan dengan $L_x = +\hbar$ diukur sepanjang $z$ : berikanlah peluang ketiga hasilnya.

Solusi

Solusi Latihan 10.2.

(a) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$ . (b) $\hat L_+ = \hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$ , dan $\hat L_-$ adalah transposnya. (c) $\hat L_x = \dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0 \end{pmatrix}$ : polinomial cirinya $\lambda(\lambda^2 - \hbar^2)$ . (d) Vektor eigen $L_x = +\hbar$ adalah $\tfrac12(1, \sqrt2, 1)$ : peluangnya $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$ untuk $m = +1, 0, -1$ .

Latihan 10.3 ★

Karbon monoksida: panjang ikatannya $0.113\,\mathrm{nm}$ , massa tereduksinya $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . (a) Hitunglah $I$ dan $B = \hbar^2/2I$ dalam meV. (b) Berapa frekuensi dan panjang gelombang garis $J = 1 \leftarrow 0$ ? (c) Berapa dua garis berikutnya? (d) Seorang astronom mengukur jarak sisirnya sampai lima angka: besaran molekul apa yang diperolehnya, dan sampai ketelitian berapa?

Solusi

Solusi Latihan 10.3.

(a) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$ . (b) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$ . (c) $231\,\mathrm{GHz}$ dan $346\,\mathrm{GHz}$ . (d) Jaraknya memberikan $B$ , sehingga $I = \mu r_0^2$ : yakni panjang ikatan sebuah molekul bertahun-tahun cahaya jauhnya, sampai kira-kira separuh ketelitian nisbi jaraknya.

Latihan 10.4 ★

Sebuah partikel berada dalam keadaan $l = 2$ . (a) Daftarkanlah hasil yang mungkin dari pengukuran $L_z$ . (b) Berapa sudut terkecil antara $\vect L$ dan sumbu $z$ , dengan memakai $\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$ ? (c) Mengapa sudutnya tak pernah dapat nol? (d) Tunjukkanlah bahwa sudut minimumnya menuju nol ketika $l \to \infty$ : vektor klasiknya diperoleh kembali.

Solusi

Solusi Latihan 10.4.

(a) $m\hbar$ dengan $m = -2 \dots 2$ . (b) $\cos\theta = 2/\sqrt6$ : $\theta = 35.3^\circ$ . (c) Kesejajaran sempurna akan membuat $L_x = L_y = 0$ tajam bersama $L_z$ — yang dilarang komutatornya kecuali dalam kasus sepele $l = 0$ . (d) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$ : untuk $l$ besar kerucutnya menutup ke sumbunya dan anak panah klasiknya kembali.

Latihan 10.5 ★★

Bagian sudut $-\hbar^2\Delta$ adalah $\hat L^2$ , dengan

\hat L^2 = -\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\theta (\sin\theta\,\partial_\theta) + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\partial_\varphi^2\Big] .

(a) Periksalah bahwa $Y_1^0 \propto \cos\theta$ mempunyai nilai eigen $\hat L^2$ sebesar $2\hbar^2$ . (b) Periksalah $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\, \eu^{\pm\iu\varphi}$ demikian pula, beserta nilai eigen $\hat L_z$ -nya. (c) Periksalah paritasnya. (d) Mengapa $\braket{Y_1^0}{Y_1^1} = 0$ tanpa menghitung integral apa pun?

Solusi

Solusi Latihan 10.5.

(a) Tanpa kebergantungan pada $\varphi$ , operatornya memberikan $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta)) = 2\hbar^2\cos\theta$ . (b) Perhitungan yang sama dengan faktor $\eu^{\pm\iu\varphi}$ : nilai eigennya $2\hbar^2$ ; $\hat L_z$ memberikan $\pm\hbar$ . (c) $\cos\theta$ dan $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu \varphi}$ berganti tanda di bawah $\vect r \to -\vect r$ ( $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ ): paritasnya $-1 = (-1)^1$ . (d) Keduanya vektor eigen $\hat L_z$ yang Hermitian dengan nilai eigen yang berbeda.

Latihan 10.6 ★★

Garis rotasi manakah yang paling terang? Populasi aras $J$ adalah $\propto (2J+1)\,\eu^{-BJ(J+1)/k_{\text{B}}T}$ . (a) Jelaskanlah kedua faktornya. (b) Tunjukkanlah bahwa maksimumnya terletak di dekat $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ . (c) Untuk CO pada $10\,\mathrm{K}$ (awan gelap) dan pada $300\,\mathrm{K}$ : garis mana yang menguasainya? (d) Sebaliknya: tangga CO teramati yang memuncak pada $J = 7$ membocorkan suhu berapa?

Solusi

Solusi Latihan 10.6.

(a) Sebanyak $2J + 1$ keadaan berbagi arasnya (degenerasinya); faktor Boltzmannnya memajaki energinya. (b) Maksimumkanlah hasil kalinya: $\dd/\dd J = 0$ memberikan $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$ , yakni $J_{\max}$ yang dinyatakan itu. (c) Pada $10\,\mathrm{K}$ : $J_{\max} \approx 0.8$ , sehingga $J = 1$ menguasainya dan garis $115\,\mathrm{GHz}$ serta $230\,\mathrm{GHz}$ bersinar; pada $300\,\mathrm{K}$ : $J_{\max} \approx 7$ . (d) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/ k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — sebuah termometer rotasi.

Latihan 10.7 ★★

Efek Zeeman normal. Sebuah garis spektrum pada $500\,\mathrm{nm}$ berasal dari transisi $l = 2 \to l = 1$ dalam medan $B = 2\,\mathrm{T}$ ; abaikanlah spinnya (berlaku untuk keadaan “singlet” khusus). (a) Sketsalah aras yang terbelah itu. (b) Dengan kaidah pemilihan $\Delta m = 0, \pm1$ , tunjukkanlah bahwa hanya tiga kedudukan garis yang muncul, pada $0, \pm\mu_{\text{B}}B/h$ . (c) Hitunglah pembelahannya dalam GHz dan dalam pikometer panjang gelombang. (d) Sebagian besar garis nyata terbelah menjadi lebih dari tiga komponen (Zeeman “anomali”): bahan yang hilang apa, yang dibawa elektron itu sendiri, yang secara historis dibuktikannya?

Solusi

Solusi Latihan 10.7.

(a) Aras atasnya terbelah menjadi lima, aras bawahnya menjadi tiga, semuanya dengan jarak yang sama $\mu_{\text{B}}B$ . (b) Dengan jarak yang sama, $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ dan $\Delta m \in \{0, \pm1\}$ : hanya tiga kedudukan. (c) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ , sehingga pada $B = 2\,\mathrm{T}$ pembelahannya $28\,\mathrm{GHz}$ , yakni $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — dapat dipilah sejak kisi difraksi Zeeman pada 1896. (d) Spin elektron itu sendiri, dengan faktor anomalinya $g \approx 2$ : pola “anomali” itu adalah sidik jari spin sebelum spin diberi nama (Bab 12).

Latihan 10.8 ★★

Dinding sentrifugal. Untuk hidrogen ( $V = -e^2/4\pi\varepsilon_0r$ ), tuliskanlah $U_{\text{eff}}$ untuk $l = 1$ dalam satuan $E_{\text{I}}$ dan $a_0$ . (a) Tentukanlah minimumnya beserta nilainya. (b) Tunjukkanlah $U_{\text{eff}} > 0$ untuk $r < \dots$ — carilah jejari yang di dalamnya penghalangnya menguasai. (c) Bandingkanlah $|\psi|^2$ di dekat $r = 0$ untuk keadaan $s$ dan $p$ ( $u \sim r^{l+1}$ , diterima tanpa bukti): keadaan mana yang “menyentuh” intinya? (d) Penangkapan elektron — sebuah inti yang menelan salah satu elektron atomnya — berlangsung nyaris seluruhnya dari kulit $s$ : jelaskanlah dalam satu kalimat.

Solusi

Solusi Latihan 10.8.

Dalam satuan yang dinyatakan itu $U_{\text{eff}} = -2/x + l(l+1)/x^2$ . (a) Untuk $l = 1$ : minimumnya pada $x = 2$ ( $r = 2a_0$ ), dengan kedalaman $-E_{\text{I}}/2$ . (b) $U_{\text{eff}} > 0$ untuk $x < 1$ : di dalam satu jejari Bohr dindingnya menang. (c) $\psi \sim r^l$ di dekat titik asalnya: hanya keadaan $l = 0$ yang berkerapatan tak nol pada $r = 0$ . (d) Menangkap sebuah elektron menuntut kerapatan elektron tepat pada intinya: elektron $s$ -lah, yang sendirian tak terhalang dinding sentrifugalnya, yang tertelan.

Latihan 10.9 ★★

Pada $\ket{l, m}$ : (a) tunjukkanlah $\langle\hat L_x\rangle = \langle\hat L_y\rangle = 0$ ; (b) tunjukkanlah $\langle\hat L_x^2\rangle = \langle\hat L_y^2\rangle = \tfrac12[l(l+1) - m^2]\hbar^2$ ; (c) periksalah hubungan ketaktentuan $\Delta L_x\,\Delta L_y \ge \tfrac\hbar2 |\langle\hat L_z\rangle|$ pada keadaan teregang $m = l$ ; (d) tafsirkanlah gambaran “kerucut” pada gambarnya dalam terang (a) dan (b).

Solusi

Solusi Latihan 10.9.

(a) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ mengubah $m$ : unsur diagonalnya lenyap. (b) Menurut simetrinya kedua kuadrat melintangnya sama, dan jumlahnya adalah $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$ . (c) Pada $m = l$ : $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2 \,l\hbar$ : kesamaannya tercapai — keadaan teregangnya sesejajar yang diizinkan aljabarnya. (d) Kerucutnya: $L_z$ tajam, rata-rata melintangnya lenyap, rentang melintangnya sama — yakni vektor berpanjang dan berproyeksi tertentu, yang terkabur merata pada azimutnya.

Latihan 10.10 ★★★

Pita getaran–rotasi. Sebuah transisi getaran inframerah ( $\hbar\omega_0$ ) sebuah molekul dwiatom mengubah $J$ sebesar $\pm1$ secara serentak. (a) Tunjukkanlah bahwa garis serapannya jatuh pada $h\nu = \hbar\omega_0 + 2B(J+1)$ (cabang $R$ , dari $J \to J+1$ ) dan $h\nu = \hbar\omega_0 - 2BJ$ (cabang $P$ , $J \to J-1$ ), $J \ge 1$ . (b) Mengapa ada celah tepat pada $\hbar\omega_0$ ? (c) Sketsalah pitanya: dua sisir yang mengapit satu garis pusat yang hilang, dengan kekuatan tiap garisnya mengikuti Latihan 10.6. (d) Pita $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada Soal 9.1 mempunyai anatomi persis seperti ini: apa yang menetapkan lebar keseluruhannya, dan karenanya “sayap” yang membuat karbon dioksida tambahan berdaya guna?

Solusi

Solusi Latihan 10.10.

(a) Pembukuan energi dengan $E_J = BJ(J+1)$ : $J \to J + 1$ menambahkan $2B(J+1)$ ; $J \to J - 1$ mengurangi $2BJ$ . (b) $\Delta J = 0$ terlarang, dan kedua cabangnya bermula pada $\pm 2B$ : tak ada yang jatuh pada frekuensi getaran murninya. (c) Dua sisir berjarak $2B$ yang mengapit sebuah celah, dengan keterangannya naik sampai $J_{\max}$ lalu turun. (d) Lebar pitanya adalah rentang sisirnya yang terisi, yang tumbuh sebagai $\sqrt{T}$ : sayap yang terisi secara termal itulah tempat pita rumah kaca yang jenuh tetap menyerap.

Latihan 10.11 ★★★

Menuntaskan aljabarnya. (a) Dari $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ , hitunglah $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2$ beserta koefisien tangganya. (b) Tunjukkanlah bahwa jika tangganya gagal berhenti, suatu norma akan menjadi negatif: tunjukkanlah keadaan yang melanggarnya. (c) Simpulkanlah bahwa $m_{\max} - m_{\min} = 2j$ haruslah bilangan bulat tak negatif lalu daftarkanlah $j$ yang diizinkan. (d) Di manakah tepatnya argumen itu gagal menyingkirkan nilai setengah bulat — dan syarat tambahan yang mana (ketunggalan nilai pada bolanya) yang menyingkirkannya hanya bagi gerak orbital?

Solusi

Solusi Latihan 10.11.

(a) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm \ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$ . (b) Memanjat melewati $m = j$ akan memberikan $j(j+1) - j(j+1) = 0$ lalu norma negatif satu langkah berikutnya: rantainya harus memuat keadaan puncak yang termusnahkan. (c) Puncak dan dasarnya berbeda sebanyak bilangan bulat langkah satuan: $2j \in \mathbb N$ : $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (d) Aljabarnya sama sekali tidak memakai fungsi gelombang; hanya tuntutan agar $\eu^{\iu m\varphi}$ bernilai tunggal pada lingkarannya yang memaksa $m$ bulat — yakni syarat yang mengikat gerak orbital sambil membiarkan momentum sudut hakiki (spin) bebas menjadi setengah bulat.

Latihan 10.12 ★★★

Einstein–de Haas: momentum sudut itu mekanis. Sebuah silinder besi (jejari $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , massa jenis $\rho = 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{atom}/\mathrm{m}^{3}$ ) tergantung pada serat puntir; membalikkan kemagnetannya membalikkan sekitar satu $\hbar$ momentum sudut tiap atomnya. (a) Menurut kekekalannya, batangnya harus terhentak: hitunglah momentum sudut tiap satuan volume yang dipindahkan. (b) Dengan momen kelembaman batangnya $\tfrac12 M a^2$ , tunjukkanlah bahwa batangnya memperoleh $\omega = 2n\hbar/\rho a^2$ lalu hitunglah. (c) Percobaan 1915 menggerakkan pembalikannya pada resonansi seratnya agar hentakan mungilnya menumpuk: perkirakanlah amplitudo osilasinya setelah $Q \sim 100$ pembalikan resonan, dengan memakai $\omega$ tiap hentakan yang Anda peroleh. (d) Nisbah terukur momen terhadap momentum sudutnya ternyata dua kali ramalan orbitalnya $e/2m_{\text{e}}$ : faktor dua itu mengumumkan apa?

Solusi

Solusi Latihan 10.12.

(a) $n\hbar$ tiap satuan volume. (b) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2) = 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/ (7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — tak terlihat dalam sekali jepret. (c) Membalikkannya seirama dengan resonansi seratnya menumpuk $\sim Q$ hentakan: $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , yakni ayunan berskala miliradian dengan periode beberapa sekon — terlihat dengan sebuah cermin dan seberkas cahaya, sebagaimana dilihat Einstein dan de Haas. (d) Nisbah giromagnetik terukurnya adalah $e/m_{\text{e}}$ , dua kali nilai orbitalnya $e/2m_{\text{e}}$ : kemagnetan besi bukanlah arus orbital melainkan spin elektron, yang $g \approx 2$ -nya dijelaskan bab berikutnya.

10.6 Soal: Menimbang galaksi pada 2,6 milimeter

Soal 10.1

Soal akhir pekan — karbon monoksida, astronomi radio dan semesta yang dingin

Sebagian besar materi pembuat bintang sebuah galaksi adalah hidrogen molekul yang dingin — dan ia tak terlihat: H $_2$ yang setangkup tidak mempunyai dipol dan tidak mempunyai garis rotasi pada suhu awan yang dingin. Penyelesaian astronomi adalah pendampingnya yang setia. Satu molekul CO tiap $10^{4}$ H $_2$ , dengan tangga $115\,\mathrm{GHz}$ -nya, menyalakan setiap awan molekul di langit. Data: untuk CO, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ ( $B = 0.238\,\mathrm{meV}$ ); panjang ikatannya $r_0 = 0.113\,\mathrm{nm}$ ; massa tereduksinya $\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ; $k_{\text{B}}T$ pada $10\,\mathrm{K}$ adalah $0.862\,\mathrm{meV}$ .

Bagian I — Rotor kuantumnya.

Dari $\hat H = \hat L^2/2I$ , berikanlah energinya $E_J$ beserta degenerasinya.
Periksalah $B = \hbar^2/2I$ untuk CO dari $r_0$ dan $\mu$ .
Dengan kaidah pemilihan $\Delta J = \pm1$ , turunkanlah frekuensi serapannya $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ lalu daftarkanlah tiga yang pertama.
Mengapa garisnya berjarak sama — dan apa yang diserahkan jarak terukurnya kepada astronom (lewat $I$ )?
Hitunglah panjang gelombang garis dasarnya, lalu jelaskanlah mengapa mengamatinya memerlukan tempat yang tinggi dan kering (apa yang menyerap gelombang milimeter di atmosfer kita sendiri — ingatlah tetangga molekul pada Soal 9.1, yaitu air)?
Foton garis $1 \to 0$ membawa $\hbar$ momentum sudut: mengapa $\Delta J = \pm1$ bukan sekadar patokan kasar melainkan sebuah hukum kekekalan?

Bagian II — Mengapa CO dan bukan H $_2$ .

H $_2$ beratom sejenis: nyatakanlah mengapa ia sama sekali tidak memancarkan radiasi dipol rotasi.
H $_2$ juga ringan: hitunglah tetapan rotasi H $_2$ ( $\mu = m_{\text{p}}/2$ , $r_0 = 0.074\,\mathrm{nm}$ ) beserta energi transisi terjangkau pertamanya; bandingkanlah dengan $k_{\text{B}}T$ pada $10\,\mathrm{K}$ : bahkan lewat pintu belakang kuadrupol, dapatkah H $_2$ yang dingin memancar?
Anak tangga pertama CO berharga $2B = 0.48\,\mathrm{meV}$ berbanding $k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : apakah tangganya hidup pada $10\,\mathrm{K}$ ?
Hitunglah nisbah populasinya $n_1/n_0$ pada $10\,\mathrm{K}$ (termasuk degenerasinya).
Di dekat $J$ berapa populasinya memuncak pada $10\,\mathrm{K}$ (pakailah $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ )?
Ringkaslah dalam satu kalimat perjanjian dagangnya: apa yang disediakan CO, dan apa yang harus dianggap tentang nisbah CO terhadap H $_2$ .

Bagian III — Membaca langitnya.

Garis sebuah awan tiba pada $115.156\,\mathrm{GHz}$ alih-alih $115.271\,\mathrm{GHz}$ di laboratorium: hitunglah kecepatan awannya sepanjang garis pandang, beserta arahnya.
Garisnya melebar secara Doppler oleh gerak internalnya sebesar $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : hitunglah lebar garisnya dalam MHz, lalu bandingkanlah dengan lebar termal yang diharapkan pada $10\,\mathrm{K}$ ( $v_{\text{th}} \sim \sqrt{k_{\text{B}}T/m_{\text{CO}}} \approx 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): apa yang menguasai pelebarannya?
Memetakan pergeseran Doppler CO melintasi cakram sebuah galaksi spiral menghasilkan kurva rotasinya $v(r)$ . Kurvanya tetap datar jauh melampaui cakram tampaknya: ingatlah (jilid Tahun 1, gravitasi) apa yang seharusnya dilakukan $v(r)$ di sekitar massa yang terpusat, lalu nyatakanlah apa yang disiratkan kedatarannya.
Nisbah keterangan garis $2\to1$ terhadap garis $1\to0$ mengukur populasi arasnya: besaran fisis tunggal apa dari awan itu yang diserahkannya?
ALMA memilah CO dalam galaksi yang cahayanya berangkat ketika semesta masih muda; frekuensi teramati garis $1 \to 0$ dari sebuah galaksi pada “pergeseran merah $z = 1$ ” tiba pada separuh nilai diamnya — pada frekuensi berapa, dan (dengan mengingat Contoh 4.13) apa yang meregangkannya?
Dari luminositas garis CO yang terukur, para astronom menyebutkan massa awan dalam satuan massa matahari: daftarkanlah rantai konversinya (foton garis $\to$ cacah CO $\to$ massa H $_2$ ) beserta mata rantainya yang terlemah.

Bagian IV — Ruang bayi yang dingin.

Teras pembentuk bintang berada pada $10\,\mathrm{K}$ : menurut hukum Wien pijar termalnya memuncak di dekat $290\,\text{µ}\mathrm{m}$ — tak terlihat oleh teleskop optis mana pun. Dalam satu kalimat: mengapa tangga rotasinya merupakan satu-satunya termometer dan penggaris yang ditawarkan teras semacam itu?
Aras $J = 1$ terletak $5.5\,\mathrm{K}$ (dalam satuan suhu) di atas keadaan dasarnya: mengapa hal itu menjadikan garis $1\to0$ termometer yang sangat halus justru pada rezim $10\,\mathrm{K}$ (alih-alih, misalnya, sebuah garis optis pada $2\,\mathrm{eV}$ $\sim 23\,000\,\mathrm{K}$ )?
Mengapa teras yang meruntuh akhirnya tidak lagi terlihat dalam CO ( $1\to0$ ) — tinjaulah apa yang dilakukan kerapatan tinggi dan debu terhadap garisnya dan terhadap lolosnya.
Awan molekul juga menunjukkan garis NH $_3$ , HCN, dan berpuluh lainnya, masing-masing dengan $B$ dan dipolnya sendiri: apa yang dapat diurai para astronom berkat kekayaan “pemutar gelombang radio kimia” ini?
Seluruh langit berpijar pada $2.7\,\mathrm{K}$ (latar gelombang mikro kosmik): apa yang terjadi pada ketegasan garis CO sebuah awan ketika suhu awannya sendiri mendekati $2.7\,\mathrm{K}$ , dan mengapa hal itu merupakan lantai yang keras bagi termometer ini?
Cakram milimeter harus mempertahankan bentuknya sampai sekitar $\lambda/20$ : hitunglah kelonggaran itu pada $115\,\mathrm{GHz}$ , lalu bandingkanlah dengan kelonggaran yang harus dipenuhi cermin optis ( $500\,\mathrm{nm}$ ) — mengapa cakram dua belas meter milik ALMA dapat dibangun di ruang terbuka?
Ringkaslah hasil bernama itu: sebuah tangga $BJ(J+1)$ dengan $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ , yang terisi pada sepuluh kelvin dan dibaca pada $2.6\,\mathrm{mm}$ , adalah cara massa, suhu, kecepatan dan rotasi semesta yang dingin — beserta bukti adanya materi gelap di sekitar galaksi spiral — diukur.

Solusi

Solusi Soal 10.1.

1. $E_J = BJ(J+1)$ , dengan degenerasi $2J + 1$ . 2. $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ : $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ , yakni $B/h = 57.7\,\mathrm{GHz}$ — tepat tetapan yang terukur. 3. $115$ , $231$ , $346\,\mathrm{GHz}$ . 4. $E_{J+1} - E_J = 2B(J+1)$ tumbuh secara linear: garis berurutan berbeda sebesar tetapan $2B$ . Jaraknya memberikan $I$ , sehingga diperoleh panjang ikatannya — kimia struktur lewat radio. 5. $\lambda = c/\nu = 2.6\,\mathrm{mm}$ . Uap air atmosfer menyerap gelombang milimeter dengan rakus; karena itulah Atacama, Mauna Kea, Kutub Selatan — tinggi, dingin, kering. 6. Fotonnya partikel berspin $1$ yang membawa $\hbar$ : kekekalan momentum sudut total mewajibkan $J$ molekulnya berubah satu satuan. 7. Sebaran muatannya setangkup pada tiap sudut putarnya: tanpa dipol berosilasi, tanpa garis dipol — penyamaran yang sempurna. 8. $B_{\text{H}_2} = \hbar^2/2\mu r_0^2 \approx 7.6\,\mathrm{meV}$ ; transisi kuadrupol lemah molekul setangkupnya menuntut $\Delta J = 2$ , yang berharga $6B \approx 46\,\mathrm{meV}$ — lima puluh kali $k_{\text{B}}T$ pada $10\,\mathrm{K}$ : hidrogen yang dingin sama sekali tidak dapat memancar. 9. $2B = 0.48\,\mathrm{meV} < k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : tumbukan menjaga anak tangga pertamanya tetap terisi — tangganya bekerja tepat di tempat awannya hidup. 10. $n_1/n_0 = 3\,\eu^{-0.478/0.862} = 1.7$ : aras pemancarnya terisi dengan baik. 11. $J_{\max} \approx \sqrt{0.86/0.48} - 0.5 \approx 0.8$ : populasinya memuncak pada $J = 1$ . 12. CO menyerahkan fotonnya; mengubahnya menjadi massa gas total bersandar pada kelimpahan CO terhadap H $_2$ yang dianggap — pembawa pesan yang bercahaya, dengan tebusan yang harus dikalibrasi. 13. $\Delta\nu = 115\,\mathrm{MHz}$ : $v = c\,\Delta\nu/\nu \approx 300\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , menjauh (frekuensinya turun) — yakni laju orbit galaksi. 14. $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ membentang $1.5\,\mathrm{MHz}$ ; gerak termalnya pada $10\,\mathrm{K}$ hanya memberikan $\sim40\,\mathrm{kHz}$ : lebarnya adalah turbulensi, bukan suhu — lebar garisnya memetakan cuaca internal sebuah awan. 15. Di sekitar massa yang terpusat $v \propto 1/\sqrt r$ seharusnya turun (Kepler); kedataran yang terukur berarti massa yang terlingkupinya terus tumbuh seiring jejarinya — yaitu materi tak terlihat yang menyelubungi cakram bercahayanya: yakni materi gelap. 16. Nisbah populasinya, yakni suhu eksitasi gasnya. 17. Pada $57.6\,\mathrm{GHz}$ : pengembangan kosmis telah melipatduakan tiap panjang gelombang selama perjalanannya — yakni pergeseran merah kosmologis yang dibahas kembali pada bab terakhir buku ini. 18. Fluks foton $\to$ luminositas CO (memerlukan jaraknya) $\to$ cacah CO (memerlukan model eksitasi) $\to$ massa H $_2$ (yakni “faktor X” CO terhadap H $_2$ : mata rantai terlemahnya, yang dikalibrasi secara setempat lalu diekspor dengan hati-hati). 19. Teras $10\,\mathrm{K}$ tidak memancarkan apa pun yang dapat dilihat teleskop optis; garis rotasinya sekaligus menjadi satu-satunya termometer, pengukur laju dan penggarisnya. 20. Sebuah termometer peka di tempat jarak arasnya $\sim k_{\text{B}}T$ : jarak $5.5\,\mathrm{K}$ menanggapi dengan kuat sepanjang $5$ – $50$ K, sedangkan aras optis $2\,\mathrm{eV}$ sama sekali tidak akan terisi. 21. Garisnya menjenuh (tebal secara optis) dan, lebih buruk lagi, CO membeku ke butiran debu dalam gas yang paling rapat dan paling dingin: para astronom lalu beralih ke isotopolog yang lebih langka ( $^{13}$ CO, C $^{18}$ O) dan ke molekul lainnya. 22. Tiap jenisnya memerlukan kerapatan dan suhunya sendiri agar bersinar: bersama-sama mereka mentomografi awannya — selubung luarnya lewat CO, teras rapatnya lewat NH $_3$ dan HCN. 23. Sebuah garis terlihat karena tegas terhadap latar kosmisnya; ketika suhu gasnya mendekati $2.7\,\mathrm{K}$ , eksitasinya menyetimbangkan diri dengan latarnya dan ketegasannya lenyap: awan yang lebih dingin tak dapat dibaca dengan cara ini. 24. $\lambda/20 = 130\,\text{µ}\mathrm{m}$ berbanding $25\,\mathrm{nm}$ untuk kerja optis: lima ribu kali lebih pemaaf — itulah sebabnya cakram milimeter dua belas meter berdiri di gurun terbuka sedangkan cermin optis tinggal di dalam kubah. 25. Sebuah tangga $BJ(J+1)$ dengan $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ , yang hidup pada sepuluh kelvin dan dibaca pada $2.6\,\mathrm{mm}$ , mengukur massa, suhu, turbulensi dan rotasi semesta yang dingin — dan kurva rotasinya yang datar adalah pameran tetap bagi materi gelap.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Operator momentum sudut

Lihat semua 431 istilah di glosarium