Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

3Mekanika Kontinum dan Elastisitas

Tempelkanlah telinga Anda pada rel baja yang panjang sementara seorang pekerja jauh memukulnya: terdengar dua dentang — satu lewat bajanya, satu lewat udara, terpisah satu sekon atau lebih. Batu, baja, tulang dan karet semuanya membawa gaya dan gelombang sebagaimana fluida membawa tekanan, tetapi dengan sesuatu yang tak dimiliki fluida mana pun: semuanya melawan perubahan bentuk, bukan hanya perubahan volume. Jilid Tahun 2 membangun mekanika fluida di atas dua gagasan, yaitu partikel bahan dan medan tekanan; bab ini memperluas keduanya ke zat padat. Perpindahan tiap partikel menjadi sebuah medan, distorsi setempatnya menjadi regangan, gaya dalamnya menjadi tegangan, dan di antara keduanya berdiri kartu tanda pengenal zat padat itu, yakni hukum Hooke dengan dua tetapan elastiknya. Hasilnya membentang dari hal sehari-hari — mengapa kabel memulur, mengapa botol meletus, bagaimana papan loncat melentur — sampai ke hal planet: gempa bumi mengirimkan lewat Bumi tepat dua jenis gelombang elastik yang diramalkan bab ini, dan waktu tibanya adalah bunyi pertama yang pernah direkam dari perut planet kita.

3.1 Regangan: memerikan deformasi

Definisi 3.1 (Medan perpindahan dan tensor regangan)

Ketika sebuah zat padat berdeformasi, partikel yang mula-mula di $\vect r$ berpindah ke $\vect r + \vect u(\vect r)$ : $\vect u$ adalah medan perpindahan. Untuk deformasi kecil, distorsi setempatnya diukur oleh tensor regangan, yaitu susunan setangkup

\varepsilon_{ij} = \frac12\Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .

Komponen diagonal $\varepsilon_{xx}$ adalah pemuluran nisbi bahannya sepanjang $x$ (tak berdimensi, misalnya $10^{-3}$ untuk kabel baja yang sedang dipakai); komponen taksdiagonal $\varepsilon_{xy}$ adalah setengah dari mengecilnya sudut antara arah bahan $x$ dan $y$ — yakni sebuah geseran. Teras tensornya adalah perubahan volume nisbi, yaitu dilatasi:

\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .

Contoh 3.2 (Tiga deformasi dasar)

Dilatasi seragam $\vect u = \alpha\vect r$ : $\varepsilon_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}$ , perubahan volumenya $3\alpha$ , tanpa geseran. Geseran sederhana $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ , seluruh komponen diagonalnya nol — bentuknya berubah, volumenya tidak. Rotasi tegar $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : $\varepsilon_{ij} = 0$ secara identik — bagian antisetangkup $\partial u_i/\partial x_j$ , yang dibuang oleh penyetangkupannya, justru merupakan bagian yang memutar tanpa mendeformasi. Regangan hanya mengukur deformasi.

Tensor regangan hanya melihat deformasi yang sebenarnya: pemuluran (komponen diagonal), geseran (komponen taksdiagonal) — dan rotasi tegar sama sekali tidak.

3.2 Tegangan: memerikan gaya dalam

Definisi 3.3 (Traksi dan tensor tegangan)

Irislah zat padat itu, dalam pikiran, sepanjang permukaan kecil $\dd S$ bernormal $\vect n$ : bahan di sisi $+\vect n$ menarik sisi yang lain dengan gaya $\dd\vect F = \boldsymbol\sigma(\vect n)\,\dd S$ — itulah traksi. Gaya ini bergantung secara linear pada $\vect n$ (Cauchy), sehingga ia terkodekan oleh tensor tegangan $\sigma_{ij}$ :

\dd F_i = \sum_j \sigma_{ij}\,n_j\,\dd S ,

dalam pascal. $\sigma_{xx}$ adalah tarikan ( $> 0$ : tegangan tarik) atau dorongan ( $< 0$ : mampatan) melintasi muka yang bernormal $x$ ; $\sigma_{xy}$ adalah gaya sepanjang $x$ yang dipikul muka bernormal $y$ — yakni tegangan geser. Fluida diam adalah kasus khusus $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$ : tekanan mendorong sama besar pada tiap muka dan tidak menggeser satu pun, dan itulah sebabnya fluida mengalir — ia tidak dapat memikul geseran statis.

Proposisi 3.4 (Kesetimbangan dan kesetangkupan)

Dalam zat padat yang setimbang di bawah gaya ruah $\vect f$ per satuan volume (misalnya $\rho\vect g$ ),

\sum_j\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0

di setiap titik dalamnya; dan tensor tegangannya setangkup, $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ .

Bukti sebagian. Setimbangkanlah gaya pada kubus kecil bersisi $a$ : traksi pada kedua muka yang bernormal $x$ berbeda sebesar $a\,\partial_x\sigma_{ix}$ per satuan luas, begitu pula untuk pasangan lainnya; gaya permukaan neto per satuan volume adalah $\sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ , yang harus meniadakan $f_i$ — pembukuan yang sama seperti yang memberikan $-\vect\nabla p + \rho\vect g = \vect 0$ pada statika fluida jilid Tahun 1. Kesetangkupannya: momen gaya tegangan geser terhadap pusat kubusnya adalah $(\sigma_{xy} - \sigma_{yx})a^3$ pada orde terdepan, sedangkan momen kelembamannya berskala sebagai $a^5$ ; tegangan yang tak setangkup akan memutar kubus kecil dengan laju tak hingga. Argumen kontinum lengkapnya diterima tanpa bukti. ∎

Ketiga komponen traksi pada satu muka kubus bahan: satu normal (tarik atau tekan), dua tangensial (geser). Kesembilan komponen pada ketiga mukanya membentuk tensor tegangan.

3.3 Hukum Hooke dan tetapan elastik

Teorema 3.5 (Elastisitas isotropik linear)

Untuk regangan kecil, zat padat isotropik menanggapi secara linear: tegangannya sebanding dengan regangannya,

\sigma_{ij} = \lambda\,(\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz})\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij} ,

dengan dua tetapan bahan, yaitu koefisien Lamé $\lambda$ dan $\mu$ ( $\mu$ juga ditulis $G$ , yakni modulus geser). Dalam uji tarik sederhana — sebatang benda ditarik sepanjang $x$ , sisinya bebas — hukum yang sama mengambil bentuk yang dipakai insinyur

\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} , \qquad \varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz} = -\nu\,\varepsilon_{xx} ,

yang mendefinisikan modulus Young $E$ (kekakuan terhadap pemuluran) dan nisbah Poisson $\nu$ (penciutan menyamping), dengan

\mu = \frac{E}{2(1 + \nu)} , \qquad \lambda = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} .

Inilah “sebagaimana pemulurannya, demikian pula gayanya” dari Hooke (1678), yang diangkat menjadi tensor. Hukum ini berlaku sampai batas elastik yang bergantung bahan.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 3.6 (Orde besar)

$E \approx 200\,\mathrm{GPa}$ untuk baja, $70\,\mathrm{GPa}$ untuk aluminium dan kaca jendela, $50\,\mathrm{GPa}$ untuk granit, $15\,\mathrm{GPa}$ untuk tulang dan beton, $10\,\mathrm{GPa}$ untuk kayu searah serat, dan hanya beberapa MPa untuk karet — lima orde besar, yakni rentang antara sebuah jembatan dan sehelai karet gelang. $\nu$ terletak antara $0$ (gabus, hampir) dan $1/2$ (karet): $\nu = 1/2$ berarti deformasi yang mempertahankan volume, dan $\nu \approx 0.3$ lazim bagi logam. Regangan sebesar $10^{-3}$ pada baja sudah berarti $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$ , dekat dengan tegangan luluh mutu biasa: elastisitas sehari-hari hidup di bawah satu per seribu.

Contoh 3.7 (Kabel lift)

Kabel baja sepanjang $60\,\mathrm{m}$ berpenampang $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ memikul kereta $1000\,\mathrm{kg}$ : $\sigma = mg/S = 49\,\mathrm{MPa}$ , $\varepsilon = \sigma/E = 2.5 \times 10^{-4}$ , pemulurannya $\varepsilon L = 15\,\mathrm{mm}$ — dan kabelnya berperilaku sebagai pegas berkekakuan $k = ES/L = 6.7 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : rumus $k = ES/L$ itulah cara sebuah kontinum mengembalikan pegas jilid Tahun 1.

Proposisi 3.8 (Energi elastik)

Zat padat yang teregang menyimpan, per satuan volume, kerapatan energi

w = \frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\,\varepsilon_{ij} \qquad\text{(tarik sederhana: } w = \tfrac12 E\varepsilon^2 = \sigma^2/2E\text{)} ,

yakni $\tfrac12 kx^2$ dalam tiga dimensi.

Bukti sebagian. Pada tarik sederhana, membawa tegangannya dari $0$ ke $\sigma$ melakukan usaha per satuan volume $\int_0^\varepsilon\sigma'\,\dd\varepsilon' = \int_0^\varepsilon E\varepsilon'\,\dd\varepsilon' = \tfrac12 E\varepsilon^2$ — yaitu luas di bawah garis tegangan–regangannya, persis seperti pada pegas. Bentuk kuadratik umumnya menyusul dengan menyuperposisikan komponennya; diterima tanpa bukti. ∎

Kiri: uji tarik mendefinisikan E (pemuluran nisbi) dan (penipisan menyamping, dilebih-lebihkan). Kanan: kurva tegangan–regangan sebuah logam — elastisitas linear sampai batas elastiknya, lalu aliran plastis yang tak berbalik, lalu patahan. Bab ini hidup pada bagian yang lurus. — Kiri: uji tarik mendefinisikan $E$ (pemuluran nisbi) dan $\nu$ (penipisan menyamping, dilebih-lebihkan). Kanan: kurva tegangan–regangan sebuah logam — elastisitas linear sampai batas elastiknya, lalu aliran plastis yang tak berbalik, lalu patahan. Bab ini hidup pada bagian yang lurus.

Metode 3.9 (Menyelesaikan soal elastisitas kecil)

(1) Kenalilah geometri dan pembebanannya; terkalah komponen tegangan mana yang tidak nol (batang yang ditarik: hanya $\sigma_{xx}$ ; kawat yang dipuntir: geseran; selongsong bertekanan: tegangan tangensial). (2) Tuliskanlah kesetimbangan gaya pada potongan yang dipilih baik — separuh silinder, sebuah irisan, sebuah kubus. (3) Ubahlah tegangan menjadi regangan lewat hukum Hooke, lalu regangan menjadi perpindahan dengan mengintegralkan. (4) Energinya lewat $w = \sigma^2/2E$ (atau $\sigma^2/2G$ pada geseran). (5) Periksalah selalu bahwa regangannya tetap kecil dan tegangannya di bawah batas elastik — kalau tidak, jawabannya memerikan zat padat yang sudah tidak ada lagi.

3.4 Gelombang elastik

Proposisi 3.10 (Dua bunyi sebuah zat padat)

Dalam zat padat elastik tak berbatas bermassa jenis $\rho$ , gangguan kecil merambat sebagai dua jenis gelombang yang saling bebas: gelombang longitudinal (P), yang bahannya berosilasi sepanjang arah rambat lewat pemampatan dan pemuaian, dengan laju

c_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} ,

dan gelombang transversal (S), yang bahannya bergeser menyamping, dengan laju

c_{\text{S}} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} < c_{\text{P}} .

Fluida mempunyai $\mu = 0$ : tak ada gelombang S — geseran tak dapat diteruskan — dan laju P-nya menyusut menjadi laju bunyi jilid Tahun 2. Untuk $\nu = 1/4$ (lazim pada batuan), $\lambda = \mu$ dan $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .

Bukti sebagian. Ambillah gangguan bidang $\vect u = \vect u(x, t)$ . Hukum Newton per satuan volume berbunyi $\rho\,\partial_t^2u_i = \sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ (persamaan kesetimbangan dengan kelembamannya dipulihkan). Untuk komponen longitudinalnya, hukum Hooke memberikan $\sigma_{xx} = (\lambda + 2\mu)\,\partial_xu_x$ (regangan menyampingnya lenyap pada gelombang bidang, karena bahan di sekitarnya melarang pelepasan menyamping), sehingga $\rho\,\partial_t^2u_x = (\lambda + 2\mu)\,\partial_x^2u_x$ : d’Alembert dengan laju $c_{\text{P}}$ . Untuk komponen transversalnya, $\sigma_{yx} = 2\mu\varepsilon_{yx} = \mu\,\partial_xu_y$ , sehingga $\rho\,\partial_t^2u_y = \mu\,\partial_x^2u_y$ : berlaju $c_{\text{S}}$ . Bahwa gangguan umum terbelah menjadi kedua keluarga ini diterima tanpa bukti. ∎

Kedua gelombang elastik. P: bidang bahan merapat dan merenggang sepanjang arah tempuhnya (gelombang mampatan — ada dalam zat padat, zat cair dan gas). S: bahannya bergeser menyamping (hanya ada di tempat geseran dilawan: zat padat).

Contoh 3.11 (Rel dan gempa bumi)

Baja: $c_{\text{P}} \approx 5.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — pukulan pada rel sejauh $2\,\mathrm{km}$ tiba lewat bajanya dalam $0.34\,\mathrm{s}$ dan lewat udara ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dalam $5.9\,\mathrm{s}$ : dua dentang. Granit ( $E = 75\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 1/4$ , $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $c_{\text{P}} \approx 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $c_{\text{S}} \approx 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Gempa bumi karena itu mengumumkan dirinya dua kali: sentakan P yang tajam, lalu, beberapa sekon kemudian, guncangan S yang lebih lambat dan lebih kuat — dan selangnya mengukur jaraknya (Soal 3.1). Sistem peringatan dini gempa hidup di dalam selang itu: gelombang P, beserta pesan radio yang dipicunya, mendahului gelombang S yang menimbulkan kerusakan.

Catatan 3.12 (Tali, batang dan bunyi diperoleh kembali)

Semua gelombang jilid Tahun 2 merupakan limit bab ini. Batang tipis yang bebas menipis menyamping membawa gelombang mampatan berlaju $\sqrt{E/\rho}$ (lebih lambat daripada $c_{\text{P}}$ : pelepasan menyampingnya melunakkan tanggapannya); tali yang teregang membawa gelombang transversal berlaju $\sqrt{T/\rho_\ell}$ , dengan tegangan talinya menggantikan kekakuan; fluida hanya menyimpan $\lambda$ — yakni modulus ruahnya — beserta satu laju bunyi $\sqrt{\lambda/\rho}$ .

Papan loncat yang terbebani: tegangan dan regangan tersebar pada sebuah kontinum, terlentur menjadi profil lenturan kubik sebuah kantilever — dan sebuah pegas yang segera mengembalikan energi elastiknya.

3.5 Latihan

Latihan 3.1 ★

(a) Periksalah satuannya: apakah pascal itu dalam kg, m, s, dan apakah satuan regangan? (b) Kabel baja bekerja pada $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$ : hitunglah regangannya. (c) Karet gelang ( $E \approx 2\,\mathrm{MPa}$ ) diregangkan sampai dua kali panjangnya: “regangan” sebesar apakah itu, dan mengapa kerangka bab ini tidak sungguh-sungguh berlaku? (d) Urutkanlah menurut kerapatan energi elastik yang tersimpan pada tegangan kerjanya: baja pada $200\,\mathrm{MPa}$ , karet pada $1\,\mathrm{MPa}$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.1.

(a) $\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; regangan adalah bilangan murni. (b) $\varepsilon = \sigma/E = 10^{-3}$ . (c) Melipatduakan panjangnya berarti $\varepsilon = 1$ : seribu kali di luar “kecil”, dan tanggapan karet di sana sangat taklinear (dan berasal dari sebab lain, yakni entropi) — hukum Hooke hanya membuka kurvanya. (d) $w = \sigma^2/2E$ : baja $(2 \times 10^{8})^2/2(2 \times 10^{11}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; karet $(10^{6})^2/2(2 \times 10^{6}) = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ — bahan yang lunak menyimpan lebih banyak per satuan volume pada tegangan kerjanya, dan itulah sebabnya ketapel dibuat dari karet, bukan dari baja.

Latihan 3.2 ★

Hitunglah tensor regangan tiap medan perpindahan berikut lalu perikanlah deformasinya: (a) $\vect u = \alpha(x, y, z)$ ; (b) $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ ; (c) $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ ; (d) $\vect u = (\varepsilon x, -\nu\varepsilon y, -\nu\varepsilon z)$ — percobaan apa yang mewujudkannya?

Solusi

Solusi Latihan 3.2.

(a) $\varepsilon_{ij} = \alpha\delta_{ij}$ : dilatasi isotropik, $\delta V/V = 3\alpha$ . (b) $\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} = \gamma/2$ , sisanya nol: geseran murni, volumenya tak berubah. (c) $\varepsilon_{ij} = 0$ : rotasi tegar, tanpa deformasi. (d) $\operatorname{diag}(\varepsilon, -\nu\varepsilon, -\nu\varepsilon)$ : uji tarik — pemuluran sepanjang $x$ , penciutan Poisson melintangnya.

Latihan 3.3 ★

Dasar sebuah tiang granit setinggi $h$ memikul tegangan $\sigma = \rho gh$ . (a) Turunkanlah hal ini dari persamaan kesetimbangan dengan gravitasi. (b) Granit hancur pada sekitar $200\,\mathrm{MPa}$ : berapakah tiang yang tertinggi? (c) Everest setinggi $8.8\,\mathrm{km}$ : berilah ulasan. (d) Mengapa sebuah gunung dapat sedikit lebih tinggi daripada tiang yang terbuat dari batuannya sendiri (pikirkanlah bentuknya)?

Solusi

Solusi Latihan 3.3.

(a) Dengan hanya $\sigma_{zz}(z)$ dan beratnya: $\partial_z\sigma_{zz} = \rho g$ (dengan mampatan diambil positif ke bawah), $\sigma_{zz} = \rho gh$ di dasarnya. (b) $h_{\max} = \sigma_{\text{c}}/\rho g = 2 \times 10^{8}/(2700 \times 9.81) \approx 7.6\,\mathrm{km}$ . (c) Everest berada tepat pada batas hancur dasarnya sendiri — gunung di Bumi setinggi yang diizinkan kekuatan batuan, dan tak lebih tinggi. (d) Kerucut setinggi $h$ membebani dasarnya hanya dengan $\rho gh/3$ (sepertiga tiangnya: massanya tumbuh bersama penampangnya), sehingga timbunan berbentuk gunung dapat berdiri kira-kira tiga kali lebih tinggi daripada sebuah tiang.

Latihan 3.4 ★

Sebatang baja ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 0.30$ ) diregangkan sebesar $\varepsilon = 10^{-3}$ . (a) Berapa regangan menyampingnya? (b) Berapa perubahan volume nisbinya? (c) Untuk $\nu$ berapakah volumenya tidak berubah sama sekali, dan bahan lazim apa yang mendekatinya? (d) Mengapa $\nu > 1/2$ mustahil (tinjaulah mampatan hidrostatik)?

Solusi

Solusi Latihan 3.4.

(a) $-\nu\varepsilon = -3 \times 10^{-4}$ . (b) $\delta V/V = (1 - 2\nu)\varepsilon = 4 \times 10^{-4}$ . (c) $\nu = 1/2$ : deformasi tak termampatkan — karet. (d) Untuk $\nu > 1/2$ modulus ruahnya $K = E/3(1 - 2\nu)$ akan negatif: menekan dari segala sisi justru akan menumbuhkan volumenya, dan bahannya akan melepaskan energi dengan meruntuh — tak ada zat padat mantap yang dapat melakukannya.

Latihan 3.5 ★★

Tegangan lingkar. Sebuah silinder berdinding tipis (jejari $R$ , tebal dinding $t \ll R$ ) menahan tekanan $p$ . (a) Dengan menyetimbangkan gaya pada separuh silinder sepanjang satu satuan, tunjukkanlah bahwa dindingnya memikul tegangan tangensial $\sigma_\theta = pR/t$ . (b) Tunjukkanlah bahwa tegangan longitudinalnya (kesetimbangan pada sebuah penampang) adalah $pR/2t$ : sebuah silinder tertegang dua kali lebih kuat melingkar daripada memanjang — ke arah manakah sosis pecah? (c) Tabung selam: $p = 200\,\mathrm{bar}$ , $R = 9\,\mathrm{cm}$ , $t = 5\,\mathrm{mm}$ : hitunglah $\sigma_\theta$ lalu bandingkanlah dengan tegangan luluh baja $700\,\mathrm{MPa}$ . (d) Mengapa tangki bertekanan tinggi berujung setengah bola?

Solusi

Solusi Latihan 3.5.

(a) Pada separuh silinder sepanjang satu satuan, tekanannya mendorong dengan $p \times 2R$ (luas proyeksinya) dan kedua dinding irisnya menarik balik dengan $2\sigma_\theta t$ : $\sigma_\theta = pR/t$ . (b) Pada sebuah penampang, $p\pi R^2 = \sigma_z\,2\pi Rt$ : $\sigma_z = pR/2t$ — separuhnya. Sosis pecah memanjang: tegangan lingkarnya yang lebih besar merobek kulitnya sepanjang sumbu. (c) $\sigma_\theta = 2 \times 10^{7} \times 0.09/0.005 = 360\,\mathrm{MPa}$ : sebesar faktor $2$ di bawah luluhnya — dan itulah sebabnya tabung diuji tekan dan diperiksa berkala. (d) Bola memikul $pR/2t$ ke segala arah: ujung setengah bola menyeparuhkan tegangannya dan menghindari sudut, tempat ujung datar akan memusatkannya.

Latihan 3.6 ★★

Sebuah balok karet ( $E = 3.0\,\mathrm{MPa}$ , $\nu \approx 0.5$ ), beralas $10 \times 10\,\mathrm{cm}$ , setinggi $2\,\mathrm{cm}$ , dilekatkan di antara dua pelat; pelat atasnya didorong menyamping dengan $150\,\mathrm{N}$ . (a) Hitunglah $G$ . (b) Berapa tegangan geser dan sudut geser $\gamma = \sigma_{xy}/G$ ; berapa perpindahan menyamping pelat atasnya? (c) Mengapa $\nu \approx 1/2$ bagi karet (apa yang sukar dan apa yang mudah bagi seikat rantai polimer)? (d) Balok karet semacam itu memikul seluruh gedung di daerah gempa: sifat mana dari tumpuan ini yang melindungi gedungnya, kekakuan terhadap mampatan atau kelunakan terhadap geseran?

Solusi

Solusi Latihan 3.6.

(a) $G = E/2(1 + \nu) = 1.0\,\mathrm{MPa}$ . (b) $\sigma_{xy} = F/S = 150/10^{-2} = 15\,\mathrm{kPa}$ ; $\gamma = \sigma_{xy}/G = 0.015$ ; perpindahannya $\gamma h = 0.3\,\mathrm{mm}$ . (c) Jaringan karet mengubah bentuk hanya dengan mengatur ulang arah rantainya (mudah), tetapi mengubah volume berarti memampatkan rantainya lebih rapat, sesukar memampatkan zat cair: $G \ll K$ , sehingga $\nu \to 1/2$ . (d) Kelunakan terhadap geseran: tumpuannya membiarkan tanah berguncang mendatar di bawahnya sambil meneruskan sedikit saja gaya, namun tetap cukup kaku terhadap mampatan untuk memikul berat gedungnya.

Latihan 3.7 ★★

Tali panjat, panjang $L = 20\,\mathrm{m}$ , penampang $S = 80\,\mathrm{mm}^{2}$ , modulus efektif $E = 1.2\,\mathrm{GPa}$ . (a) Berapa kekakuannya $k = ES/L$ ? (b) Pemanjat $80\,\mathrm{kg}$ jatuh bebas $4\,\mathrm{m}$ sebelum talinya bekerja: dengan menyamakan energinya, carilah pemuluran tali maksimumnya (selesaikanlah persamaan kuadratnya; abaikanlah lanjutan jatuhnya selama pengereman pada langkah pertama). (c) Simpulkanlah gaya puncaknya dan perlambatan puncaknya dalam $g$ . (d) Mengapa tali yang pernah menahan jatuh berat harus dipensiunkan (ke mana energinya pergi, dan apa kata kurva tegangan–regangannya)?

Solusi

Solusi Latihan 3.7.

(a) $k = ES/L = 1.2 \times 10^{9} \times 8 \times 10^{-5}/20 = 4.8\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ . (b) $mg(h + x) = \tfrac12 kx^2$ : $2400x^2 - 785x - 3140 = 0$ , $x = 1.3\,\mathrm{m}$ . (c) $F = kx \approx 6.3\,\mathrm{kN}$ ; perlambatannya $F/m \approx 79\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 8g$ — itulah sebabnya tali panjat sengaja dibuat mulur. (d) Sebagian energi yang terserap masuk ke pemutusan serat dan penataan ulang plastis: talinya kini berada pada kurva tegangan–regangan yang merosot, lebih kaku dan lebih lemah, dan jatuh berikutnya akan lebih keras dalam kedua arti itu.

Latihan 3.8 ★★

Puntiran. Sebuah kawat berjejari $a$ , panjang $L$ , bermodulus geser $G$ dipuntir sebesar sudut $\theta$ . (a) Tunjukkanlah bahwa tabung berjejari $r$ di dalamnya mengalami sudut geser $\gamma(r) = r\theta/L$ . (b) Tegangan gesernya $G\gamma$ : integralkanlah $r \times$ tegangan pada penampangnya untuk memperoleh momen gaya pemulih $\Gamma = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ . (c) Perhatikan $a^4$ : separuhkanlah jejarinya, dan sebesar faktor berapakah kekakuan puntirnya turun? (d) Kelunakan ekstrem inilah sebabnya Cavendish (1798) menggantung neracanya pada kawat halus: untuk $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $L = 1\,\mathrm{m}$ , $G = 40\,\mathrm{GPa}$ , hitunglah $C = \pi Ga^4/2L$ dan periodenya dengan batang bermomen kelembaman $I = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.8.

(a) Puncak tabung berjejari $r$ berputar sebesar busur $r\theta$ sepanjang $L$ : $\gamma = r\theta/L$ . (b) $\Gamma = \int_0^a r\,(G r\theta/L)\, 2\pi r\,\dd r = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ . (c) Sebesar $2^4 = 16$ . (d) $C = \pi \times 4 \times 10^{10} \times (2.5 \times 10^{-5})^4/2 = 2.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ ; $T = 2\pi\sqrt{I/C} = 2\pi\sqrt{5 \times 10^{-4}/ 2.5 \times 10^{-8}} \approx 900\,\mathrm{s}$ — seperempat jam per ayunan: kepekaan yang cukup untuk merasakan gravitasi bola timbal.

Latihan 3.9 ★★

(a) Dari penurunan gelombang bidang pada Proposisi 3.10, hitunglah $c_{\text{P}}$ dan $c_{\text{S}}$ untuk baja ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 0.29$ , $\rho = 7.85 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (b) Bandingkanlah $c_{\text{P}}$ dengan laju batang tipis $\sqrt{E/\rho}$ lalu jelaskanlah selisihnya dalam satu kalimat. (c) Untuk air ( $\mu = 0$ , modulus ruah $2.2\,\mathrm{GPa}$ ): berapa laju S dan laju P-nya? (d) Pada sudut berapakah gerak bahan gelombang P berbeda dari gerak bahan gelombang S, dan bagaimana seismometer berkomponen tiga membedakan keduanya?

Solusi

Solusi Latihan 3.9.

(a) $\mu = E/2(1+\nu) = 78\,\mathrm{GPa}$ , $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 107\,\mathrm{GPa}$ : $c_{\text{P}} = \sqrt{262\times10^9/7850} = 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $c_{\text{S}} = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (b) Batang tipis memberikan $\sqrt{E/\rho} = 5.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : pada batangnya sisi-sisinya bebas menggembung (pelepasan Poisson), yang melunakkan tanggapannya; dalam ruahnya bahan di sekitarnya melarangnya. (c) $c_{\text{S}} = 0$ ; $c_{\text{P}} = \sqrt{2.2 \times 10^{9}/1000} = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — yakni laju bunyi dalam air. (d) P menggerakkan tanah sepanjang sinarnya (hampir tegak untuk sumber dalam), S melintanginya: ketiga komponen seismometer memisahkan polarisasinya, dan selang P/S lalu menetapkan jaraknya.

Latihan 3.10 ★★★

Pelenturan. Sebuah balok dilentur sampai jejari kelengkungan $R$ ; serat dalamnya memendek, serat luarnya memulur, dan sebuah permukaan netral di antaranya tetap panjangnya. (a) Tunjukkanlah bahwa serat berjarak $y$ dari permukaan netral mempunyai regangan $\varepsilon = y/R$ , sehingga tegangannya $Ey/R$ . (b) Dengan menjumlahkan momen pada penampangnya, tunjukkanlah bahwa momen lenturnya adalah $M = EI/R$ dengan $I = \int y^2\,\dd S$ (yakni momen kedua); hitunglah $I$ untuk persegi panjang selebar $b$ dan setinggi $h$ . (c) Perhatikan $h^3$ : mengapa papan yang dilentur pada sisi lebarnya melendut kelihatan sedangkan papan yang sama pada sisi tegaknya terasa kaku? Hitunglah nisbahnya untuk $b/h = 5$ . (d) Untuk kantilever sepanjang $L$ yang dibebani $F$ di ujungnya, lendutan ujungnya adalah $\delta = FL^3/3EI$ (diterima tanpa bukti): perkirakanlah $\delta$ untuk papan loncat ( $L = 1.8\,\mathrm{m}$ , $b = 50\,\mathrm{cm}$ , $h = 3.5\,\mathrm{cm}$ , kayu $E = 12\,\mathrm{GPa}$ ) di bawah peloncat $75\,\mathrm{kg}$ , lalu berilah ulasan.

Solusi

Solusi Latihan 3.10.

(a) Busur pada jejari $R + y$ berpanjang $(R + y)\alpha$ berbanding $R\alpha$ pada permukaan netralnya: $\varepsilon = y/R$ , $\sigma = Ey/R$ . (b) $M = \int y\sigma\,\dd S = (E/R)\int y^2\,\dd S = EI/R$ ; untuk persegi panjang $I = bh^3/12$ . (c) Rebah: $I = bh^3/12$ ; tegak: $hb^3/12$ — nisbahnya $(b/h)^2 = 25$ untuk $b/h = 5$ : kayu yang sama, dua puluh lima kali lebih kaku, semata-mata karena geometrinya. (d) $I = 0.50 \times 0.035^3/12 = 1.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{4}$ , $EI = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\delta = FL^3/3EI = 736 \times 1.8^3/(3 \times 2.1 \times 10^{4}) \approx 7\,\mathrm{cm}$ : persis kelenturan papan loncat yang nyaman itu.

Latihan 3.11 ★★★

Tekuk. Sebuah tiang langsing (panjang $L$ , kekakuan lentur $EI$ ), yang disendikan di kedua ujungnya, memikul beban aksial $P$ . Andaikanlah ia melengkung menyamping sebesar $y(x)$ . (a) Tunjukkanlah bahwa bebannya kemudian mengerahkan momen lentur $M(x) = -Py(x)$ terhadap sumbu yang tergeser, sehingga $EI\,y'' = -Py$ . (b) Dengan $y(0) = y(L) = 0$ , tunjukkanlah bahwa lengkungan tak nol mula-mula menjadi mungkin pada beban kritis Euler $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$ . (c) Hitunglah $P_{\text{c}}$ untuk penggaris satu meter ( $b = 3\,\mathrm{cm}$ , $h = 1.5\,\mathrm{mm}$ , $E = 12\,\mathrm{GPa}$ ) lalu bandingkanlah dengan dorongan tangan Anda. (d) Jelaskanlah dari $I$ mengapa tulang, bambu dan kerangka sepeda berbentuk tabung.

Solusi

Solusi Latihan 3.11.

(a) Dalam keadaan melengkung, beban aksial $P$ bekerja dengan lengan gaya $y(x)$ terhadap penampang di $x$ : $M = -Py$ , dan $M = EIy''$ memberikan $EIy'' = -Py$ . (b) $y = A\sin(x\sqrt{P/EI})$ dengan $y(L) = 0$ : $A$ tak nol pertama kali muncul pada $\sqrt{P/EI}\,L = \pi$ , yakni $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$ ; di bawahnya tiang lurus adalah satu-satunya penyelesaian, di atasnya melengkung tidak menuntut gaya sama sekali. (c) $I = 0.03 \times 0.0015^3/12 = 8.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{4}$ : $P_{\text{c}} = \pi^2 \times 12\times10^9 \times 8.4 \times 10^{-12}/1^2 \approx 1\,\mathrm{N}$ — seberat sebuah apel: penggaris satu meter tertekuk oleh satu jari. (d) $I$ tumbuh ketika bahannya bergerak menjauhi sumbunya: sebuah tabung menempatkan seluruh penampangnya pada $y$ besar, sehingga $I$ (dan karenanya $P_{\text{c}}$ ) maksimum untuk berat bahan tertentu — itulah rancangan tulang, bambu dan kerangka sepeda.

Latihan 3.12 ★★★

Laju bunyi dalam zat padat, dari atomnya. Modelkanlah zat padat sebagai rantai atom berjarak $a$ , yang dihubungkan “pegas” berkekakuan $\kappa$ ; massa atomnya $m$ . (a) Tunjukkanlah bahwa meregangkan rantainya bersesuaian dengan tarik kontinum dengan $E = \kappa/a$ (hitunglah pegas per satuan luas, dan pemuluran per pegas). (b) Tunjukkanlah $\rho = m/a^3$ lalu simpulkanlah $c = \sqrt{E/\rho} = a\sqrt{\kappa/m}$ . (c) Perkirakanlah $\kappa$ dari kedalaman sebuah ikatan antaratom ( $\sim3\,\mathrm{eV}$ pada rentang $\sim 0.1\,\mathrm{nm}$ ): $\kappa \sim 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; dengan $a = 2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ dan $m = 1 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ , perkirakanlah $c$ . (d) Bandingkanlah dengan laju bunyi logam yang terukur, lalu simpulkanlah terbuat dari apa elastisitas sehari-hari itu.

Solusi

Solusi Latihan 3.12.

(a) Satu rantai per luas $a^2$ ; meregangkannya sebesar regangan $\varepsilon$ meregangkan tiap pegasnya sebesar $\delta = \varepsilon a$ , dengan gaya $\kappa \varepsilon a$ per rantai dan tegangan $\kappa\varepsilon/a$ : $E = \kappa/a$ . (b) $\rho = m/a^3$ , sehingga $E/\rho = \kappa a^2/m$ dan $c = a\sqrt{\kappa/m}$ . (c) $c = 2.5 \times 10^{-10}\sqrt{50/10^{-25}} \approx 5.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (d) Tepat pada beberapa km/s yang terukur untuk logam: kekakuan segala sesuatu yang padat — dan laju setiap gelombang gempa — adalah kekakuan ikatan kimianya.

3.6 Soal: Mendengarkan Bumi

Soal 3.1

Soal akhir pekan — bagaimana gempa bumi menyingkapkan inti cair

Satu gempa bumi mendentingkan seluruh planet, dan kedua gelombang elastik bab ini, ketika melintasinya, menyinari-X planet itu. Soal ini mengikuti fisikanya dari hukum Hooke dalam granit sampai penemuan Oldham pada 1906 bahwa Bumi mempunyai inti — lengkap dengan taksiran ukurannya lewat sinar lurus. Ambillah untuk batuan kerak dan mantel $E = 75\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 1/4$ , $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; jejari Bumi $R_{\text{E}} = 6371\,\mathrm{km}$ .

Bagian I — Batuan sebagai zat padat elastik.

Hitunglah koefisien Lamé $\mu$ dan $\lambda$ batuan ini, lalu amatilah bahwa $\nu = 1/4$ membuat keduanya sama.
Hitunglah $c_{\text{P}}$ dan $c_{\text{S}}$ , lalu periksalah $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .
Gempa bumi menggeser dua muka batuan sejauh beberapa meter dalam beberapa sekon: perkirakanlah regangan yang dilepaskan jika geseran $2\,\mathrm{m}$ melepaskan batuan pada skala $50\,\mathrm{km}$ , beserta tegangan yang telah menumpuk.
Dari kerapatan energi $w = \tfrac12 E\varepsilon^2$ , perkirakanlah energi elastik per meter kubik, lalu energinya dalam volume $50 \times 50 \times 20\,\mathrm{km}^{3}$ ; bandingkanlah dengan satu megaton ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
Mengapa gelombang S biasanya mengguncang gedung lebih keras daripada gelombang P (pikirkanlah arah gerak tanah bagi gelombang yang tiba dari bawah)?
Pada gelombang yang manakah dari keduanya volume tanahnya berubah?

Bagian II — Dua kedatangan pada seismometer.

Sebuah stasiun merekam kedatangan P, lalu kedatangan S $\Delta t$ kemudian. Untuk sumber berjarak $d$ (cukup pendek sehingga sinarnya lurus), tunjukkanlah

$d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{c_{\text{S}}} - \dfrac{1}{c_{\text{P}}}} .$
Hitunglah koefisiennya: berapa kilometer per sekon selang S–P itu?
Sebuah stasiun mengukur $\Delta t = 28\,\mathrm{s}$ : seberapa jauh gempanya?
Satu stasiun memberi jarak, bukan tempat: berapa stasiun yang menentukan episentrumnya, dan bagaimana caranya secara geometris?
Sirene peringatan dini Jepang berbunyi beberapa sekon sebelum guncangan kuat: untuk gempa $80\,\mathrm{km}$ di bawah sebuah kota, berapa lama peringatan yang diberikan selang P–S itu sendiri?
Peringatan modern menambahkan laju cahaya: gelombang P yang terdeteksi dekat sumbernya diradiokan mendahului kedua gelombangnya. Untuk kota berjarak $200\,\mathrm{km}$ dari episentrum, berapa lama sesudah retakannya gelombang S tiba, dan peringatan apa yang dapat diberikan pesan radio yang dikirim pada kedatangan pertama P $20\,\mathrm{km}$ dari sumbernya?

Bagian III — Gelombang yang melintasi planet.

Pada tekanan mantel dalam, modulusnya membesar: laju P mencapai $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ di dasar mantelnya. Dengan mengambil rata-rata kasar $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , berapa lama gelombang P memerlukan waktu untuk melintasi Bumi secara diametral?
Stasiun mencatat gempa dari sisi bola bumi yang berseberangan: apa yang dikatakan keberadaan kedatangan ini saja tentang Bumi dalam (apakah ia elastik? apakah ia lebur seluruhnya?)?
Definisikanlah sudut episentral $\Delta$ (sudut di pusat Bumi antara sumber dan stasiun). Untuk sinar lurus, tunjukkanlah bahwa panjang talinya adalah $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ .
Hitunglah tali busurnya dan waktu tempuh sinar lurusnya untuk $\Delta = 60^\circ$ pada rata-rata $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
Sekitar 1900, Oldham memperhatikan bahwa gelombang S terekam sampai $\Delta \approx 103^\circ$ lalu lenyap: tak ada S langsung di luar itu. Sifat apa dari suatu daerah jauh di dalam Bumi yang mematikan gelombang S, dan wujud zat apa yang mempunyai sifat itu?
Gelombang P di luar $103^\circ$ tidak lenyap melainkan melemah, tertunda dan tergeser (sebuah “zona bayangan” sampai $\approx 142^\circ$ ): mengapa daerah cair menunda dan membiaskan gelombang P tetapi tidak menghentikannya?
Simpulkanlah dalam satu kalimat apa yang berada di pusat Bumi.

Bagian IV — Menimbang inti dengan penggaris.

Sinar S lurus yang meninggalkan sumbernya menyerempet intinya jika jarak terdekatnya ke pusat sama dengan jejari inti $R_{\text{c}}$ . Tunjukkanlah bahwa sinar serempet ini mencapai permukaannya pada sudut episentral $\Delta^* = 2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ .
Dari $\Delta^* = 103^\circ$ , hitunglah $R_{\text{c}}$ .
Nilai modernnya $3480\,\mathrm{km}$ : hitunglah galat Anda, lalu jelaskanlah tandanya: sinar yang sebenarnya melengkung kembali ke arah permukaan ketika lajunya bertambah seiring kedalaman — kemukakanlah apakah sinar lurus menaksir intinya terlalu besar atau terlalu kecil.
Pada 1936 Inge Lehmann menemukan kedatangan P yang lemah di dalam zona bayangannya: apa yang disimpulkannya berada di dalam inti cair itu?
Jejari inti dalamnya $1220\,\mathrm{km}$ dan ia padat: usulkanlah pengamatan gelombang yang dapat memastikan kepadatannya (gelombang mana yang ada di sana yang dilarang inti luarnya?).
Ringkaslah hasil bernama itu: dua laju gelombang elastik dalam batuan ( $5.8$ dan $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), satu gelombang yang hilang di luar $103^\circ$ , dan sebuah penggaris memberikan inti cair berjejari $\approx 4000\,\mathrm{km}$ — dalam selisih $15\%$ dari nilai modern $3480\,\mathrm{km}$ , yang terukur menembus $6000\,\mathrm{km}$ batuan padat.

Solusi

Solusi Soal 3.1.

1. $\mu = E/2(1+\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ ; $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ : untuk $\nu = 1/4$ , $\lambda = \mu$ . 2. $c_{\text{P}} = \sqrt{3\mu/\rho} = \sqrt{9 \times 10^{10}/2700} = 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $c_{\text{S}} = \sqrt{\mu/\rho} = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; nisbahnya $\sqrt3$ . 3. $\varepsilon \sim 2/5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{-5}$ ; $\sigma = E\varepsilon \approx 3\,\mathrm{MPa}$ — “penurunan tegangan” yang terukur pada gempa nyata memang beberapa MPa. 4. $w = \tfrac12 E\varepsilon^2 \approx 60\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; pada $5 \times 10^{13}{}\,\mathrm{m}^{3}$ : $\sim3 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ , sekitar tiga perempat megaton — gempa yang besar. 5. Dari bawah, P menggerakkan tanah secara tegak — gedung dibangun untuk memikul beban tegak; S menggerakkannya secara mendatar, yakni arah gedung paling lemah. 6. Hanya gelombang P: ia gelombang mampatan; gelombang S adalah geseran murni, pada volume tetap. 7. $t_{\text{P}} = d/c_{\text{P}}$ , $t_{\text{S}} = d/c_{\text{S}}$ : $\Delta t = d(1/c_{\text{S}} - 1/c_{\text{P}})$ , yang dibalik seperti dinyatakan. 8. $1/(1/3.33 - 1/5.77)\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \approx 7.9\,\mathrm{km}$ per sekon selangnya — “delapan kilometer per sekon” yang dipakai ahli gempa di lapangan. 9. $d \approx 7.9 \times 28 \approx 220\,\mathrm{km}$ . 10. Tiga (pada umumnya): tiap stasiun mengenal satu lingkaran episentrum yang mungkin; dua lingkaran berpotongan di dua titik, dan yang ketiga memutuskan. 11. $t_{\text{P}} = 80/5.8 = 14\,\mathrm{s}$ , $t_{\text{S}} = 80/3.3 = 24\,\mathrm{s}$ : sekitar $10\,\mathrm{s}$ peringatan antara sentakannya dan guncangan yang merusak. 12. S tiba pada $200/3.3 = 60\,\mathrm{s}$ . P mencapai $20\,\mathrm{km}$ pada $3.5\,\mathrm{s}$ ; pesan radio praktis seketika, sehingga kotanya dapat memperoleh hampir satu menit peringatan — sistem sekarang mencapai puluhan sekon. 13. $2R_{\text{E}}/c \approx 12742/10 \approx 1270\,\mathrm{s}$ , sekitar dua puluh menit. 14. Bahwa gelombang elastik melintasinya sama sekali: Bumi dalam tidak lebur seluruhnya — ia meneruskan gelombang, dan (untuk gelombang S yang melintasi mantel) bahkan tergeser, seperti zat padat. 15. Dua jejari dan sudut $\Delta$ di antaranya: tali busurnya adalah $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ . 16. $2 \times 6371 \times \sin30^\circ = 6371\,\mathrm{km}$ ; $t \approx 640\,\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{min}$ . 17. Di luar $103^\circ$ setiap sinar harus melewati sebuah daerah pusat yang dalam; jika daerah itu fluida ( $\mu = 0$ ), ia tidak memikul gelombang geser: gelombang S mati di sana. Fluida adalah wujud zat yang tidak dapat melawan geseran. 18. Fluida tetap memikul mampatan: gelombang P melintasi intinya, tetapi lebih lambat — sehingga membias tajam di batasnya, dan sinar yang membelok itu meninggalkan bayangan berbentuk cincin, bukan potongan yang bersih. 19. Sebuah inti cair berada di pusat Bumi. 20. Jarak terdekat tali busurnya ke pusat adalah $R_{\text{E}}\cos(\Delta/2)$ ; menyerempet berarti $R_{\text{E}}\cos(\Delta^*/2) = R_{\text{c}}$ , yakni $\Delta^* = 2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ . 21. $R_{\text{c}} = 6371\cos(51.5^\circ) \approx 3970\,\mathrm{km}$ . 22. Terlalu besar $+14\%$ . Lajunya tumbuh seiring kedalaman, sehingga sinar yang sebenarnya melengkung kembali ke arah permukaan: sinar yang titik terdalamnya baru menyentuh intinya muncul pada sudut yang lebih kecil daripada tali busur lurus yang menembus kedalaman yang sama — jadi dari $103^\circ$ yang teramati, pembalikan sinar lurus menempatkan titik singgungnya terlalu dangkal, sehingga menaksir intinya terlalu besar. 23. Energi P yang lemah di dalam bayangannya berarti ada sesuatu di dalam inti cair yang membelokkan sinarnya keluar kembali: yakni sebuah inti dalam tersendiri (Lehmann, 1936). 24. Gelombang geser hanya ada dalam zat padat: gelombang P yang berubah menjadi gelombang geser di dalam inti dalamnya lalu kembali (fase yang disebut PKJKP) akan membuktikan bahwa ia padat — deteksinya, yang lama dicari, adalah bukti yang diterima. 25. Dua laju dalam batuan ( $5.8$ dan $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), satu gelombang yang hilang di luar $103^\circ$ , dan geometri tali busur menghasilkan inti cair sebesar $\approx4000\,\mathrm{km}$ — dalam selisih $15\%$ dari nilai modern $3480\,\mathrm{km}$ : hukum Hooke, yang dibaca pada skala planet.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium