Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

18Ensembel Kanonik Besar

Setetes air dalam udara lembap tidak tumbuh dan tidak pula menyusut; oksigen terikat pada hemoglobin di paru-paru lalu terlepas di otot; sebuah baterai menggiring elektron menembus telepon karena elektronnya “lebih mahal” di satu elektroda daripada di elektroda lainnya. Dalam tiap perkara itu, mata uang yang disetimbangkan bukanlah suhu melainkan potensial kimia $\mu$ : yakni ongkos energi bebas untuk satu partikel tambahan. Bab ini membuka katup tandon yang kedua — partikel di samping energi — lalu membangun ensembel kanonik besar, yang imbalannya adalah kehematan yang menakjubkan: keterisian satu aras kuantum tunggal, fermion maupun boson, menyusul dalam dua baris, demikian pula rumus induk bab berikutnya. Penerapannya terbentang dari isoterm penjerapan pada masker gas dan pengubah katalitik sampai ke persamaan Saha, yang dengannya seorang mahasiswa doktoral Harvard pada 1925 membaca suhu bintang lalu menemukan, di luar segala dugaan, bahwa alam semesta terbuat dari hidrogen.

18.1 Partikel ikut berunding

Teorema 18.1 (Sebaran kanonik besar)

Sistem yang bertukar energi dan partikel dengan tandon bersuhu $T$ dan berpotensial kimia $\mu$ menempati keadaannya $s$ (berenergi $E_s$ , bercacah partikel $N_s$ ) dengan peluang

\mathcal P_s = \frac{\eu^{-\beta(E_s - \mu N_s)}}{\Xi} , \qquad \Xi = \sum_s\eu^{-\beta(E_s - \mu N_s)} ,

yakni fungsi partisi besarnya. Dari $\Xi$ : $\langle N\rangle = k_{\text{B}}T\,\partial\ln\Xi/\partial\mu$ , dan potensial besarnya $\Phi = -k_{\text{B}}T\ln\Xi$ menaati $\Phi = -PV$ .

Bukti sebagian. Seperti dalam Teorema 17.1, jabarkanlah entropi tandonnya terhadap kedua penarikannya: $S_{\text{res}}(E - E_s, N - N_s) \approx S_{\text{res}} - E_s/T + \mu N_s/T$ , dengan memakai $\partial S/\partial N = -\mu/T$ (Teorema 16.6). Nilai rata-ratanya menyusul lewat penurunan; $\Phi = -PV$ diterima tanpa bukti (ia menyusul dari keekstensifannya). ∎

Definisi 18.2 (Apa arti $\mu$ )

$\mu$ adalah ongkos, dalam energi bebas, untuk menambahkan satu partikel pada $T$ dan $V$ tetap. Partikel mengalir secara spontan dari $\mu$ tinggi ke $\mu$ rendah — difusi, osmosis, penguapan, reaksi kimia dan arus listrik semuanya merupakan gradien $\mu$ yang mengendur. Pada kesetimbangan antara dua fase atau dua tempat mana pun, $\mu$ sama pada kedua sisinya — yakni kesamaan ketiga (di samping $T$ dan $P$ ) yang memerintah kebersamaan fase. Untuk gas ideal klasik,

\mu = k_{\text{B}}T\,\ln\!\big(n\lambda_T^3\big) < 0 \quad\text{(gas encer)} :

menambahkan sebutir partikel pada gas encer menurunkan energi bebasnya, karena perolehan entropinya mengalahkan ongkos energi apa pun — yakni tanda yang menggerakkan penguapan ke dalam udara kering. Dan sebuah baterai adalah mesin $\mu$ : tegangannya adalah jatuhnya potensial kimia tiap elektron di antara kedua elektrodanya, $U = \Delta\mu/e$ — volt adalah nilai tukar kimia elektron, dan karena itulah sel baterai memberikan tegangan berangka satuan.

18.2 Satu aras pada satu waktu: kiat induknya

Teorema 18.3 (Keterisian satu aras kuantum)

Ambillah sebagai “sistemnya” satu aras satu partikel berenergi $\epsilon$ , dalam sentuhan besar dengan gas semua aras lainnya. Fermion (keterisian $0$ atau $1$ ):

\Xi = 1 + \eu^{-\beta(\epsilon - \mu)} \;\Longrightarrow\; \bar n_{\text{Fermi}} = \frac{1}{\eu^{\beta(\epsilon - \mu)} + 1} .

Boson (keterisian $0, 1, 2, \dots$ ):

\Xi = \frac{1}{1 - \eu^{-\beta(\epsilon - \mu)}} \;\Longrightarrow\; \bar n_{\text{Bose}} = \frac{1}{\eu^{\beta(\epsilon - \mu)} - 1} ,

yang menuntut $\mu < \epsilon_{\min}$ . Keduanya menyusut menjadi faktor Boltzmann $\eu^{-\beta(\epsilon - \mu)}$ ketika keterisiannya jarang. Kedua rumus itu, yang masing-masing diperoleh dalam dua baris, adalah seluruh masukan statistika kuantum: bab berikutnya adalah panennya.

Bukti. Fermion: dua suku. Boson: sebuah deret geometri, yang hanya menyatu untuk $\mu < \epsilon$ . Pada kedua perkaranya $\bar n = k_{\text{B}}T\, \partial\ln\Xi/\partial\mu$ memberikan bentuk yang dinyatakan itu. ∎

Ketiga hukum keterisian terhadap ( - )/k_ BT: fermion menjenuh pada satu tiap keadaannya (yakni anak tangga yang dilicinkan pada =), boson menumpuk tanpa batas ketika , dan keduanya bergabung dengan ekor Boltzmann yang encer di sebelah kanan — rezim klasik adalah tempat sebuah keadaan nyaris tak pernah disinggahi. — Ketiga hukum keterisian terhadap $(\epsilon - \mu)/k_{\text{B}}T$ : fermion menjenuh pada satu tiap keadaannya (yakni anak tangga yang dilicinkan pada $\epsilon = \mu$ ), boson menumpuk tanpa batas ketika $\epsilon \to \mu$ , dan keduanya bergabung dengan ekor Boltzmann yang encer di sebelah kanan — rezim klasik adalah tempat sebuah keadaan nyaris tak pernah disinggahi.

18.3 Penjerapan: tapak yang disewakan

Proposisi 18.4 (Isoterm Langmuir)

Sebuah permukaan menawarkan tapak yang saling bebas, masing-masing kosong atau menampung satu molekul gas berenergi ikat $-\epsilon_0$ ; gas di atasnya, pada tekanan $P$ , adalah tandonnya. Tiap tapaknya merupakan sistem besar dua keadaan, dan keterisiannya adalah

\theta = \frac{1}{\eu^{\beta(-\epsilon_0 - \mu)} + 1} = \frac{P}{P + P_0(T)} , \qquad P_0(T) = \frac{k_{\text{B}}T}{\lambda_T^3}\, \eu^{-\epsilon_0/k_{\text{B}}T} ,

dengan memakai $\mu$ gas idealnya. Liputannya menaik secara lurus pada tekanan rendah lalu menjenuh pada satu lapis tunggal — yakni isoterm Langmuir, kurva kerja pengubah katalitik, arang aktif, masker gas dan pengikatan oksigen oleh darah (Latihan 18.6). Tekanan perpindahannya $P_0$ turun secara eksponensial bersama energi ikatnya lalu menaik curam bersama suhunya: memanaskan sebuah permukaan mengguncang lepas para tamunya — karena itulah memanggang kaca laboratorium dalam hampa adalah cara membersihkannya yang sesungguhnya.

Bukti. Keterisian tapaknya adalah Teorema 18.3 (bentuk fermioniknya: sebuah tapak menampung paling banyak satu) dengan $\epsilon = -\epsilon_0$ ; gantikanlah $\eu^{\beta\mu} = n\lambda_T^3 = P\lambda_T^3/k_{\text{B}}T$ . ∎

Isoterm Langmuir: liputan terhadap tekanan, yang menjenuh pada satu lapis tunggal. Panaskanlah permukaannya, dan liputan yang sama menuntut tekanan jauh lebih besar — penjerapan adalah perundingan yang terus dikalahkan oleh permukaan yang panas. — Isoterm Langmuir: liputan terhadap tekanan, yang menjenuh pada satu lapis tunggal. Panaskanlah permukaannya, dan liputan yang sama menuntut tekanan jauh lebih besar — penjerapan adalah perundingan $\mu$ yang terus dikalahkan oleh permukaan yang panas.

18.4 Kesetimbangan pengionan: persamaan Saha

Proposisi 18.5 (Persamaan Saha)

Dalam gas yang panas, reaksi $\text{H} \rightleftharpoons \text{p} + \text{e}$ menyetimbang ketika $\mu_{\text{H}} = \mu_{\text{p}} + \mu_{\text{e}}$ . Menuliskan tiap $\mu$ dengan bentuk gas idealnya (dengan atomnya dikreditkan energi ikatnya $-E_{\text{I}}$ ) memberikan

\frac{n_{\text{e}}\,n_{\text{p}}}{n_{\text{H}}} = \frac{1}{\lambda_{T,\text{e}}^3}\, \eu^{-E_{\text{I}}/k_{\text{B}}T} \qquad\Big(\lambda_{T,\text{e}} = h/\sqrt{2\pi m_{\text{e}}k_{\text{B}}T}\Big)

(sampai faktor degenerasi spin berorde satu). Sekali lagi dua mata uang yang bersaing: faktor Boltzmann mengenakan pajak atas pengionannya sebesar $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ , sedangkan pemfaktor di depannya — yakni entropi elektron yang dibebaskan, dengan $\lambda_T^{-3}$ keadaan terjangkau yang dimilikinya — menyubsidinya. Subsidinya begitu besar pada kerapatan bintang sehingga hidrogen sudah terion secara berarti di dekat $10\,000\,\mathrm{K}$ , tempat $k_{\text{B}}T$ baru sebesar $0.9\,\mathrm{eV}$ : kesetimbangan diperebutkan atas energi bebas, bukan energi — dan spektrum bintang adalah buku besarnya (Soal 18.1).

Bukti sebagian. Tetapkanlah $\mu_{\text{H}} = \mu_{\text{p}} + \mu_{\text{e}}$ dengan $\mu_i = k_{\text{B}}T\ln(n_i\lambda_{T,i}^3) + \varepsilon_i$ ( $\varepsilon_{\text{H}} = -E_{\text{I}}$ , yang lainnya nol); lalu eksponensialkanlah. Panjang gelombang termal proton dan atomnya nyaris saling meniadakan (massanya sama); faktor degenerasinya diterima tanpa bukti. ∎

Pengionan Saha pada hidrogen dengan kerapatan fotosfer (bagan): sebuah peralihan tajam di dekat 10\,000\, K, jauh di bawah nilai naifnya E_ I/k_ B 160\,000\, K — entropi elektron yang dibebaskan membayar sebagian besar tagihannya. — Pengionan Saha pada hidrogen dengan kerapatan fotosfer (bagan): sebuah peralihan tajam di dekat $10\,000\,\mathrm{K}$ , jauh di bawah nilai naifnya $E_{\text{I}}/k_{\text{B}} \approx 160\,000\,\mathrm{K}$ — entropi elektron yang dibebaskan membayar sebagian besar tagihannya.

Metode 18.6 (Keterampilan kanonik besar)

(1) Apa pun yang bertukar partikel dengan mitra yang besar: berikanlah $\mu$ kepada mitranya lalu bobotkanlah keadaannya dengan $\eu^{-\beta(E - \mu N)}$ . (2) Tapak atau aras yang saling bebas terfaktorkan: selesaikanlah satu, lalu kalikanlah. (3) Untuk tandon gas klasik, $\eu^{\beta\mu} = n\lambda_T^3$ mengubah $\mu$ menjadi tekanan yang terukur. (4) Reaksi dan perubahan fase: setimbangkanlah $\mu$ -nya, satu tiap jenisnya, lengkap dengan energi ikatnya — harapkanlah pemfaktor entropi menggeser kesetimbangannya jauh dari terkaan Boltzmann yang naif. (5) Elektron dalam zat padat: $\mu$ -nya adalah aras Fermi, dan selisih $\mu$ adalah tegangan — yakni jembatan menuju Bab 24.

18.5 Latihan

Latihan 18.1 ★

(a) Dua kotak berisi gas yang sama pada $T$ yang sama tetapi berbeda kerapatannya dihubungkan: ke arah mana partikelnya mengalir, dalam bahasa $\mu$ ? (b) Tunjukkanlah dari $\mu$ gas idealnya bahwa alirannya berhenti pada kerapatan yang sama. (c) Air berada di bawah udara lembap: nyatakanlah syarat kesetimbangannya dalam $\mu$ . (d) Mengapa cucian mengering bahkan di bawah $100\,^\circ$ C ketika udaranya kering (bandingkanlah $\mu$ -nya, bukan suhunya)?

Solusi

Solusi Latihan 18.1.

(a) Dari kotak yang lebih rapat ke yang lebih encer: dari $\mu = k_{\text{B}}T\ln(n\lambda_T^3)$ tinggi ke rendah. (b) $T$ yang sama membuat $\lambda_T$ sama pula: $\mu$ yang sama berarti $n$ yang sama. (c) $\mu_{\text{cair}} = \mu_{\text{uap}}$ — yakni definisi kelembapan jenuh. (d) Dalam udara kering, $\mu$ uapnya (dengan $n$ rendah) duduk di bawah milik cairannya: air menguap menuruni bukit $\mu$ tanpa peduli bahwa ia tak pernah mendidih.

Latihan 18.2 ★

Potensial kimia udara. (a) Hitunglah $\lambda_T$ untuk N $_2$ pada $300\,\mathrm{K}$ . (b) Hitunglah $n\lambda_T^3$ pada $1\,\mathrm{bar}$ dan $\mu$ yang dihasilkannya dalam eV. (c) Mengapa $\mu < 0$ bukanlah paradoks (suku mana dari $F = E - TS$ yang menguasai ketika sebuah molekul ditambahkan)? (d) Pada kerapatan berapa $\mu$ akan mencapai nol, dan apa yang dipertandakan oleh $n\lambda_T^3 \sim 1$ (Latihan 18.11)?

Solusi

Solusi Latihan 18.2.

(a) $\lambda_T = 1.9 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ . (b) $n\lambda_T^3 = 1.7 \times 10^{-7}$ : $\mu = k_{\text{B}}T\ln(1.7 \times 10^{-7}) = -0.40\,\mathrm{eV}$ . (c) Suku entropinya: sebuah molekul baru membuka $\sim1/n\lambda_T^3$ keadaan, dan $-TS$ mengalahkan ongkos kinetik apa pun. (d) $n = \lambda_T^{-3} \approx 1.5 \times 10^{32}\,\mathrm{m}^{-3}$ — ribuan kali kerapatan cairan untuk udara; $n\lambda_T^3 \sim 1$ adalah perbatasan kemerosotan kuantumnya (Latihan 18.11).

Latihan 18.3 ★

Turunkanlah keterisian Fermi–Dirac dari $\Xi$ dua sukunya, langkah demi langkah; periksalah limitnya $\epsilon \ll \mu$ , $\epsilon \gg \mu$ , dan nilainya pada $\epsilon = \mu$ . Di manakah fungsi ini sudah pernah muncul dalam buku ini (Latihan 16.8)?

Solusi

Solusi Latihan 18.3.

$\Xi = 1 + \eu^{-\beta(\epsilon-\mu)}$ ; $\bar n = k_{\text{B}}T\, \partial_\mu\ln\Xi = \eu^{-\beta(\epsilon-\mu)}/(1 + \eu^{-\beta(\epsilon-\mu)})$ , yakni bentuk yang dinyatakan itu. Limitnya: $1$ jauh di bawah $\mu$ , ekor Boltzmann jauh di atasnya, persis $\tfrac12$ pada $\epsilon = \mu$ . Inilah keterisian termal dua aras pada zat padat Schottky — kurva yang sama, dengan label baru.

Latihan 18.4 ★

Volt adalah kimia. (a) Sebuah sel litium menahan $3.0\,\mathrm{V}$ : nyatakanlah selisih potensial kimia tiap elektronnya dalam eV dan tiap molnya dalam kJ. (b) Mengapa semua baterai sehari-hari bertegangan berangka satuan (apa yang menetapkan skala selisih $\mu$ kimia)? (c) Sebuah aki mobil timbal–asam menyusun enam sel: mengapa menyusun dan bukan mencari reaksi ber- $12\,\mathrm{eV}$ ? (d) Dalam bahasa $\mu$ , apa yang sedang dilakukan sebuah baterai ketika ia “habis”?

Solusi

Solusi Latihan 18.4.

(a) $3.0\,\mathrm{eV}$ tiap elektronnya; $\times N_{\text{A}}e$ : $\approx290\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ . (b) Potensial kimia berselisih sebesar energi ikatnya — dalam elektronvolt: baterai mewarisi skala energi kimia. (c) Tak ada pasangan kimia yang menawarkan anak tangga $12\,\mathrm{eV}$ (ia akan mencabik elektrolitnya); penyusunan seri menambahkan jatuhnya $\mu$ dengan aman. (d) Potensial kimia elektron kedua elektrodanya telah menyama: tanpa gradien, tanpa dorongan, sebanyak apa pun materi yang tersisa.

Latihan 18.5 ★★

Boson pada sebuah aras. (a) Jumlahkanlah deret geometrinya untuk $\Xi$ lalu turunkanlah $\bar n_{\text{Bose}}$ . (b) Mengapa $\mu$ harus tetap di bawah aras terendahnya — apa yang menyebar jika tidak, dan apa yang dipertandakan oleh penyebaran itu (Bab 19)? (c) Hitunglah $\bar n$ untuk $(\epsilon - \mu)/k_{\text{B}}T = 0.1$ , $1$ , $3$ lalu bandingkanlah dengan Boltzmann. (d) Foton memiliki $\mu = 0$ : berikanlah alasan fisisnya (cacahnya tidak kekal — dindingnya menyerap dan memancar dengan bebas).

Solusi

Solusi Latihan 18.5.

(a) Deret geometri bernisbah $\eu^{-\beta(\epsilon-\mu)} < 1$ ; lalu turunkanlah. (b) Pada $\mu \to \epsilon_{\min}$ deretnya menyebar: arasnya dapat menyerap populasi tanpa batas — yakni penumpukan makroskopis yang menjadi kondensasi Bose–Einstein. (c) $\bar n = 9.51$ , $0.58$ , $0.052$ berbanding Boltzmann yang $0.90$ , $0.37$ , $0.050$ : sama persis pada ekor encernya, tetapi menguat luar biasa di dekat $\mu$ . (d) Karena dindingnya menciptakan dan memusnahkan foton sesuka hati, kesetimbangannya tak boleh bergantung pada cacahnya: ongkos energi bebas untuk satu foton tambahan adalah nol, $\mu = 0$ .

Latihan 18.6 ★★

Langmuir dalam kerja. (a) Dari isotermnya, tekanan berapa yang mencapai $\theta = 0.5$ ? $0.9$ ? (b) Mioglobin mengikat O $_2$ pada satu tapak: penjenuhannya mengikuti Langmuir terhadap tekanan parsial oksigennya — mengapa kurva hiperbolik (bukan sigmoid) yang teramati untuk mioglobin sedangkan kurva S yang kooperatif untuk hemoglobin bertapak empat? (c) Karbon monoksida terikat pada tapak yang sama dengan $\epsilon_0$ yang lebih besar sebanyak $\approx0.13\,\mathrm{eV}$ : pada tekanan parsial yang sama dan $310\,\mathrm{K}$ , hitunglah nisbah keterisian CO:O $_2$ lalu jelaskanlah keracunan CO. (d) Mengapa terapi oksigen hiperbarik berhasil, dalam bahasa isoterm?

Solusi

Solusi Latihan 18.6.

(a) $P = P_0$ ; $P = 9P_0$ . (b) Satu tapak yang saling bebas memberikan hiperbola $P/(P + P_0)$ — yakni mioglobin; empat tapak hemoglobin yang saling berinteraksi memuat secara kooperatif, lalu mencuramkan kurvanya menjadi bentuk S yang memuat penuh di paru-paru dan membongkar muatannya di jaringan. (c) $\eu^{0.13/0.0267} \approx 130$ : pada tekanan parsial yang sama, CO memenangkan tapaknya seratus kali lipat — setitik CO mengusir oksigen dari darah. (d) Menaikkan tekanan parsial O $_2$ menaikkan $\mu$ -nya lalu memiringkan ulang persaingannya: isotermnya diperebutkan atas $\mu$ , dan oksigen hiperbarik sekadar menawar lebih tinggi.

Latihan 18.7 ★★

Fluktuasi cacah. (a) Tunjukkanlah $\operatorname{Var}N = k_{\text{B}}T\,\partial\langle N\rangle/\partial\mu$ . (b) Untuk gas ideal klasik, simpulkanlah $\operatorname{Var}N = \langle N\rangle$ : yakni Poisson. (c) Serasikanlah dengan fluktuasi kerapatan Latihan 16.12. (d) Untuk satu aras fermionik, hitunglah $\operatorname{Var}n = \bar n(1 - \bar n)$ : di manakah cacah fermionnya paling tenang, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 18.7.

(a) Turunkanlah $\langle N\rangle = k_{\text{B}}T\,\partial_\mu \ln\Xi$ sekali lagi. (b) $\langle N\rangle \propto \eu^{\beta\mu}$ : $\partial_\mu\langle N\rangle = \beta\langle N\rangle$ , sehingga $\operatorname{Var}N = \langle N\rangle$ . (c) Sebaran Gauss bervariansi $\bar n$ dalam latihan itu adalah pernyataan Poisson ini, yang dilihat dalam sebuah subvolume. (d) $\operatorname{Var}n = \bar n(1 - \bar n)$ : nol ketika arasnya pasti kosong atau pasti penuh — penghadangan Pauli membungkam fluktuasi jauh di dalam laut Fermi.

Latihan 18.8 ★★

Osmosis dari $\mu$ . Sebuah selaput meloloskan air tetapi tidak zat terlarut (berkepekatan $c$ tiap volumenya, encer). (a) Dengan menyamakan $\mu$ air pada kedua sisi selaputnya, tunjukkanlah bahwa sisi air murninya harus ditekan berlebih sebesar $\Pi = ck_{\text{B}}T$ (van ’t Hoff) — terimalah bahwa zat terlarut menurunkan $\mu$ air sebesar $-k_{\text{B}}T\,c/n_{\text{w}}$ tiap molekul airnya. (b) Hitunglah $\Pi$ untuk larutan garam fisiologis ( $c \approx 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ partikel seluruhnya). (c) Sel darah merah dalam air murni: ke arah mana airnya mengalir, dan dengan akibat apa? (d) Mengapa pohon tak memerlukan pompa maupun mukjizat untuk menaikkan getahnya sampai puluhan meter (gradien $\mu$ osmotik dan kapiler)?

Solusi

Solusi Latihan 18.8.

(a) Zat terlarut mengencerkan entropi airnya, lalu menurunkan $\mu$ -nya; tekanan menaikkan $\mu$ : penyetimbangannya menetapkan $\Pi = ck_{\text{B}}T$ . (b) $\Pi = 3 \times 10^{26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 310 \approx 1.3\,\mathrm{MPa}$ — tiga belas atmosfer di dalam pembuluh darah Anda, yang disetimbangkan secara rutin. (c) $\mu$ air murni melampaui milik bagian dalam selnya: air membanjir masuk lalu selnya pecah (hemolisis) — karena itulah cairan infus bersifat garam, tak pernah air murni. (d) Gradien $\mu$ dari akar ke daun (zat terlarut, penguapan di daunnya) menarik air ke atas sebagai selisih tekanan osmotik dan kapiler: puluhan meter tanpa satu pun bagian yang bergerak.

Latihan 18.9 ★★

Kesetimbangan dalam sebuah medan. Dalam gravitasi, kesetimbangan sebuah kolom gas menuntut potensial kimia total $\mu(h) = k_{\text{B}}T\ln(n\lambda_T^3) + mgh$ agar seragam. (a) Turunkanlah hukum barometriknya dari sini dalam satu baris. (b) Rampatkanlah ke sebuah sentrifuga berkecepatan sudut $\omega$ (dengan potensial $-\tfrac12 m\omega^2r^2$ ) lalu perolehlah profil radialnya. (c) Sentrifuga pengayaan uranium berputar pada $\omega r \sim 600\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : hitunglah nisbah kesetimbangan penguatan $^{238}$ UF $_6$ terhadap $^{235}$ UF $_6$ tiap tahapnya, $\exp[\Delta m\,\omega^2 r^2/2k_{\text{B}}T]$ dengan $\Delta m = 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $T = 320\,\mathrm{K}$ . (d) Mengapa banyak tahap dirangkai berjenjang?

Solusi

Solusi Latihan 18.9.

(a) $\mu$ seragam: $k_{\text{B}}T\ln n(h) + mgh = \text{tetapan}$ , yakni eksponensial barometriknya. (b) $n(r) \propto \eu^{+m\omega^2r^2/2k_{\text{B}}T}$ : jenis yang berat menumpuk di tepinya. (c) $\exp[\Delta m\,\omega^2r^2/2k_{\text{B}}T] = \exp[5 \times 10^{-27} \times 3.6 \times 10^{5}/(2 \times 4.4 \times 10^{-21})] \approx \eu^{0.2} \approx 1.2$ tiap tahapnya. (d) Dari $0.7\%$ alaminya ke mutu reaktor atau senjata dituntut banyak faktor $1.2$ yang bermajemuk: karena itulah dirangkai berjenjang ribuan sentrifuga — dan karena itulah pencacahan jenjang menjadi diplomasi nuklir.

Latihan 18.10 ★★★

Saha, dengan tangan. (a) Kerjakanlah bukti penyetimbangan $\mu$ Proposisi 18.5. (b) Definisikanlah bagian yang terion $x$ pada kerapatan hidrogen total $n$ lalu tunjukkanlah $x^2/(1 - x) = \eu^{-E_{\text{I}}/k_{\text{B}}T}/n\lambda_{T,\text{e}}^3$ . (c) Fotosfer matahari: $T = 5800\,\mathrm{K}$ , $n \approx 10^{23}\,\mathrm{m}^{-3}$ : tunjukkanlah bahwa bagian hidrogen yang terion hanya $\sim10^{-4}$ — permukaan Matahari bersifat netral. (d) Pada $T = 10\,000\,\mathrm{K}$ (dengan $n$ yang sama): hitunglah ulang lalu berilah ulasan tentang kecuramannya.

Solusi

Solusi Latihan 18.10.

(a) Seperti dalam uraiannya: eksponensialkanlah penyetimbangan $\mu$ dengan potensial kimia gas ideal dan geseran $-E_{\text{I}}$ atomnya. (b) Dengan $n_{\text{e}} = n_{\text{p}} = xn$ dan $n_{\text{H}} = (1-x)n$ : diperoleh hasil bagi yang dinyatakan itu. (c) Pada $5800\,\mathrm{K}$ : $\lambda_{T,\text{e}} \approx 1.0\,\mathrm{nm}$ , $\eu^{-27.2} = 1.5 \times 10^{-12}$ , $1/n\lambda^3 \approx 1.1 \times 10^{4}$ : $x^2/(1-x) \approx 1.6 \times 10^{-8}$ , $x \approx 1.3 \times 10^{-4}$ — fotosfer Matahari adalah hidrogen netral sebesar $99.99\%$ . (d) Pada $10\,000\,\mathrm{K}$ (dengan $n$ yang sama): $x \approx 6\%$ — dua setengah orde dalam faktor suhu sebesar $1.7$ ; pada kerapatan elektron fotosfer yang lebih rendah, kenaikannya datang lebih awal lagi. Peralihan Saha adalah tebing.

Latihan 18.11 ★★★

Ketika gas menjadi kuantum. Kemerosotan mulai berlaku pada $n\lambda_T^3 \sim 1$ . (a) Untuk udara pada $300\,\mathrm{K}$ : seberapa jauh di bawah ambangnya (Latihan 18.2)? (b) Untuk elektron hantaran dalam tembaga ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ): carilah suhu yang di bawahnya $n\lambda_T^3 > 1$ — lalu simpulkanlah bahwa elektron sebuah logam merosot pada suhu laboratorium mana pun. (c) Untuk atom rubidium pada $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ : carilah suhu ambang kuantumnya (yakni skala BEC Bab 19). (d) Urutkanlah ketiganya lalu nyatakanlah aturannya: partikel ringan dan kerapatan tinggi menjadi kuantum terlebih dahulu.

Solusi

Solusi Latihan 18.11.

(a) $1.7 \times 10^{-7}$ : tujuh orde di bawah ambangnya — udara aman bersifat klasik. (b) Tetapkanlah $n\lambda_T^3 = 1$ : $T_{\text{deg}} = h^2n^{2/3}/2\pi mk_{\text{B}} \approx 6 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ untuk elektron tembaga — tiap logam yang pernah Anda sentuh membawa gas elektron yang sangat kuantum. (c) Untuk rubidium pada $10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $T_{\text{deg}} \sim 10^{-7}\,\mathrm{K}$ — yakni perbatasan seratus nanokelvin Bab 19. (d) Elektron dalam logam: selalu kuantum; atom laboratorium: hanya pada nanokelvin; udara: tak pernah — kemerosotan berjalan sebagai $n^{2/3}/m$ .

Latihan 18.12 ★★★

Alam semesta kehilangan positronnya. Dalam alam semesta dini yang panas, $\eu^+ + \eu^- \rightleftharpoons 2\gamma$ menahan pasangannya dalam kesetimbangan dengan $\mu_{e^+} + \mu_{e^-} = 0$ (foton: $\mu = 0$ ). (a) Untuk plasma yang setangkup ini memberikan $\mu_{e^\pm} \approx 0$ : tunjukkanlah bahwa kerapatan pasangannya lalu menjadi $n_\pm \approx \lambda_T^{-3}\eu^{-m_{\text{e}}c^2/k_{\text{B}}T}$ begitu $k_{\text{B}}T \ll m_{\text{e}}c^2$ . (b) Hitunglah suhu tempat $m_{\text{e}}c^2 = k_{\text{B}}T$ beserta skala waktu kosmik yang bersesuaian dengannya (terimalah $t \sim 1\,\mathrm{s}$ pada $10^{10}\,\mathrm{K}$ ). (c) Tunjukkanlah bahwa pendinginan lanjutan yang sederhana (sebesar beberapa kali lipat) meruntuhkan kerapatan pasangannya sebanyak banyak orde besar: positronnya saling memusnah habis, lalu menyisakan hanya kelebihan elektron purba yang sangat kecil. (d) Foton yang terlepas memanaskan kembali rendaman radiasinya: radiasi peninggalan mana yang membawa kuitansinya (Bab 27)?

Solusi

Solusi Latihan 18.12.

(a) Dengan $\mu = 0$ , kerapatan pasangannya adalah bentuk tertekan Boltzmann $\lambda_T^{-3}\eu^{-\beta m_{\text{e}}c^2}$ begitu pasangannya tak lagi relativistik. (b) $m_{\text{e}}c^2/k_{\text{B}} = 5.9 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$ , yang tercapai kira-kira satu detik setelah permulaannya. (c) Pendinginan dari $6 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$ ke $2 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$ mengalikan eksponennya dengan tiga: kerapatannya runtuh dari $\eu^{-2} \to$ $\eu^{-6}$ pada eksponensialnya saja, dan lebih banyak orde lagi bersama pemfaktor di depannya — dalam hitungan detik positronnya lenyap, musnah melawan seluruh elektronnya kecuali satu bagian dalam semiliar. (d) Foton pemusnahannya bergabung lalu sedikit memanaskan kembali rendaman radiasi yang sisa terentangnya adalah latar gelombang mikro kosmik — yakni kuitansi $2.7\,\mathrm{K}$ peristiwa itu.

18.6 Soal: Membaca suhu bintang

Soal 18.1

Soal akhir pekan — Saha, Payne, dan terbuat dari apa alam semesta

Spektrum bintang telah dikatalogkan sepanjang dasawarsa 1890 ke dalam kelas O, B, A, F, G, K, M menurut kuatnya garis serapannya — dengan garis Balmer hidrogen paling kuat pada kelas A dan secara membingungkan lemah baik pada bintang yang lebih panas maupun yang lebih dingin. Pada 1925 Cecilia Payne menerapkan persamaan Saha yang masih baru lalu menunjukkan bahwa seluruh kebun binatang itu adalah satu zat pada suhu yang berbeda — dan bahwa bintang sebagian besarnya hidrogen, yakni kesimpulan yang begitu sesat sehingga ia dipaksa melunakkannya dalam disertasinya. Soal ini menelusuri kembali penalarannya. Data: serapan Balmer berangkat dari $n = 2$ , pada $E_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV}$ di atas keadaan dasarnya; $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ ; kerapatan elektron fotosfer $n_{\text{e}} \sim 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ .

Bagian I — Dua faktor yang bersaing.

Serapan Balmer memerlukan hidrogen netral yang berada dalam $n = 2$ : tuliskanlah faktor Boltzmann bagi populasi $n = 2$ -nya (degenerasi: $g_2/g_1 = 4$ ).
Hitunglah nilainya pada $5000$ , $10000$ dan $20\,000\,\mathrm{K}$ : ke arah mana faktor ini mendorong kuatnya garis ketika $T$ menaik?
Kini faktor Sahanya: ketika $T$ menaik, apa yang terjadi pada bagian yang netral, dan karenanya pada garis Balmernya?
Jelaskanlah secara kualitatif mengapa hasil kalinya — yang tereksitasi dan masih netral — harus memuncak pada suatu suhu pertengahan.
Dengan memakai persamaan Saha dengan $n_{\text{e}} = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ , perkirakanlah suhu pengionan separuh hidrogennya.
Rangkailah puncaknya: di dekat suhu berapa garis Balmer seharusnya paling kuat, dan kelas spektrum yang mana (bintang A, $\sim10\,000\,\mathrm{K}$ ) yang terpilih olehnya?

Bagian II — Deret spektrum yang terpecahkan.

Bintang M ( $3000\,\mathrm{K}$ ) menunjukkan pita molekuler yang kuat (TiO) dan hidrogen yang lemah: jelaskanlah keduanya dengan kedua faktornya.
Bintang O ( $40\,000\,\mathrm{K}$ ) menunjukkan garis helium dan lagi-lagi hidrogen yang lemah: jelaskanlah (apa yang telah terjadi pada hidrogennya, dan mengapa helium, $E_{\text{I}} = 24.6\,\mathrm{eV}$ , kini mendapat gilirannya?).
Matahari (G, $5800\,\mathrm{K}$ ) menunjukkan garis kuat kalsium terion ( $E_{\text{I,Ca}} = 6.1\,\mathrm{eV}$ ) namun hidrogennya lemah: tunjukkanlah dengan penalaran Saha mengapa kalsiumnya sudah terion sedangkan hidrogennya masih netral dan sebagian besarnya berada dalam $n = 1$ .
Para astronom sebelum Payne membaca kuatnya garis sebagai kelimpahan: apa yang disimpulkan garis kalsium Matahari yang perkasa dan garis Balmernya yang lemah tentang susunannya?
Wawasan Payne: perbaikilah kuatnya tiap garis menurut “faktor keterlihatan” Boltzmann–Sahanya. Ketika ia melakukannya, susunan kelimpahan sejati yang bagaimana yang muncul?
Hasilnya — hidrogen sejuta kali lebih melimpah daripada kalsium, bintang sebagian besarnya hidrogen dan helium — mengapa hasil itu ditolak (apa yang disarankan kimia yang berpusat pada Bumi), dan kapan ia dibenarkan?

Bagian III — Bilangan pada puncaknya.

Hitunglah faktor Boltzmann $n = 2$ -nya persis pada $9600\,\mathrm{K}$ .
Dengan perkiraan Saha butir 5, ambillah bagian yang netral pada $9600$ , $15000$ dan $25\,000\,\mathrm{K}$ kira-kira sebesar $0.5$ , $10^{-3}$ , $10^{-5}$ : bentuklah hasil kalinya (bagian tereksitasi $\times$ bagian netral) pada ketiga suhu Anda lalu carilah maksimumnya.
Mengapa puncak Balmernya tajam di sisi panasnya (eksponensial mana yang menang) dan landai di sisi dinginnya?
Fotosfer katai putih memiliki $n_{\text{e}}$ seribu kali lebih besar: ke arah mana suhu pengionan separuhnya berpindah, dan mengapa (Le Chatelier dalam bahasa $\mu$ )?
Dua bintang bersuhu sama tetapi berbeda tekanannya karenanya menunjukkan kuat garis yang berbeda: sifat bintang yang mana (raksasa lawan katai — gravitasi permukaan) yang karenanya dapat dibaca para spektroskopis?
Survei modern memancang suhu bintang sampai $\pm1\%$ dari nisbah garisnya: nyatakanlah rantai postulat $\to$ Boltzmann $\to$ Saha $\to$ termometer.

Bagian IV — Apa yang terselesaikan.

Deret OBAFGKM dahulu merupakan kekacauan abjad yang ditata ulang secara empiris: setelah Saha, peubah fisis tunggal apa yang menatanya?
Nyatakanlah mengapa unsur yang sama dapat menguasai sebuah spektrum pada satu suhu lalu lenyap pada suhu lain tanpa perubahan kelimpahan apa pun — yakni pelajaran inti yang diajarkan Payne kepada astronomi.
Hidrogen sebesar tiga perempat seluruh massa barionik: sebutkanlah dua tiang lain buku ini yang bertumpu pada kelimpahan itu (fusi bintang, Bab 27; langit 21 cm, Bab 12).
Otto Struve menyebut disertasi Payne sebagai “disertasi doktoral paling cemerlang yang pernah ditulis dalam astronomi”: dari soal ini, benarkanlah pujian itu dalam satu kalimat.
Fisika Saha yang sama, yang dijalankan terbalik pada skala kosmik, meramalkan suhu tempat hidrogen seluruh alam semesta pertama kali bergabung ( $\sim3000\,\mathrm{K}$ pada kerapatan kosmik yang jauh lebih rendah): sebutkanlah peristiwanya beserta peninggalannya (Bab 27).
Kesetimbangan pengionan juga menjalankan lampu neon dan pemrosesan plasma: nyatakanlah dalam satu kalimat mengapa keadaan terion bergaya $10\,000\,\mathrm{K}$ dapat berada dalam sebuah tabung yang kacanya tetap dingin (dua subsistem mana yang gagal menyetimbang?).
Ringkaslah hasil bernama itu: satu syarat kesetimbangan, $\mu_{\text{H}} = \mu_{\text{p}} + \mu_{\text{e}}$ , mengubah abjad spektrum menjadi termometer yang berjalan dari $3000$ sampai $40\,000\,\mathrm{K}$ , menempatkan puncak Balmer pada bintang A, lalu menyingkapkan alam semesta yang terbuat dari hidrogen.

Solusi

Solusi Soal 18.1.

1. $n_2/n_1 = 4\,\eu^{-10.2\,\text{eV}/k_{\text{B}}T}$ . 2. $2 \times 10^{-10}$ , $2.9 \times 10^{-5}$ , $1.1 \times 10^{-2}$ : menaik curam — lebih panas lebih baik untuk mengeksitasi $n = 2$ . 3. Saha mengionkan hidrogennya habis: di atas $\sim10\,000\,\mathrm{K}$ bagian yang netral runtuh, lalu membawa serta garis Balmernya. 4. Satu faktor menaik bersama $T$ , faktor lainnya menurun: hasil kalinya pasti memuncak di antara kedua rezimnya. 5. Menetapkan $\lambda_{T,\text{e}}^{-3}\eu^{-E_{\text{I}}/ k_{\text{B}}T} = n_{\text{e}} = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ memberikan $T \approx 9600\,\mathrm{K}$ . 6. Di dekat $10\,000\,\mathrm{K}$ — persis bintang A, yang spektrumnya adalah etalase hidrogen. 7. Pada $3000\,\mathrm{K}$ tak ada yang mencapai $n = 2$ ( $\eu^{-39}$ ), sedangkan molekul rapuh seperti TiO bertahan lalu menyerap dalam pita: bintang dingin bersifat molekuler, gelap hidrogen. 8. Hidrogennya terion sampai tak terlihat; helium, dengan tangga $24.6\,\mathrm{eV}$ -nya, barulah kini memiliki $k_{\text{B}}T$ dan syarat Saha untuk mengisi dan menahan keadaan penyerapnya. 9. Pengionan kalsium sebesar $6.1\,\mathrm{eV}$ jauh lebih murah daripada hidrogen yang $13.6\,\mathrm{eV}$ : pada $5800\,\mathrm{K}$ Saha mengionkan kalsiumnya nyaris tuntas (garis Ca $^+$ lalu menyerap dari keadaan dasarnya — tanpa pajak Boltzmann), sedangkan hidrogen netralnya duduk dalam $n = 1$ , buta terhadap Balmer. 10. Bahwa Matahari sebagian besarnya kalsium dan besi, menyerupai kerak Bumi — yakni anggapan berkuasa yang diwarisi Payne. 11. Dengan membagi tiap kuatnya dengan faktor keterlihatannya, selisih liarnya runtuh: sebagian besar unsurnya keluar dengan perbandingan yang mirip — kecuali hidrogen (dan helium), yang muncul kira-kira sejuta kali lebih melimpah. 12. Kimia kosmik dianggap mencerminkan batuan bumi; Russell mendesaknya menyebut hasil hidrogennya “hampir pasti tidak nyata” — lalu menerbitkan kesimpulan yang sama sendiri, dengan penghargaan, empat tahun kemudian. Payne benar. 13. $4\eu^{-10.2/0.827} = 4\eu^{-12.3} \approx 1.8 \times 10^{-5}$ . 14. Hasil kalinya $\approx 9 \times 10^{-6}$ , $1.5 \times 10^{-6}$ , $3.5 \times 10^{-7}$ : maksimumnya duduk pada $\approx9600\,\mathrm{K}$ — yakni puncak bintang A, yang dihasilkan kembali dengan dua eksponensial. 15. Di sisi panasnya eksponensial Saha memusnahkan populasi netralnya secara langsung; di sisi dinginnya faktor Boltzmann hanya menyusut: tebing di atas, lereng di bawah. 16. $n_{\text{e}}$ yang lebih besar mendorong penggabungan kembali (lebih banyak pasangan yang dapat ditangkap): pengionan separuhnya berpindah menjadi lebih panas — yaitu memeras reaksinya ke sisi terikatnya, Le Chatelier dalam bahasa $\mu$ . 17. Gravitasi permukaan: katai yang padat (tekanan tinggi) dan raksasa yang menggembung (tekanan rendah) terpisah pada satu suhu — yakni kelas kecerlangan yang dibaca dari fisika garis. 18. Postulat peluang setara $\to$ populasi Boltzmann $\to$ pengionan Saha $\to$ nisbah kuat garis yang dibalik untuk memperoleh $T$ : yakni termometer tanpa bagian bergerak pada jarak berapa pun. 19. Suhu — satu sumbu saja, dari $3000\,\mathrm{K}$ kelas M sampai $40\,000\,\mathrm{K}$ kelas O, menggantikan seluruh abjadnya. 20. Keterlihatan adalah populasi, dan populasi adalah eksponensial dalam $T$ : kuat sebuah garis spektrum mengukur termodinamika bintangnya lebih dahulu, dan kimianya hanya setelah diperbaiki. 21. Fusi hidrogen sebagai sumber daya bintang, dan kartografi 21 cm galaksi: keduanya berdiri di atas kelimpahan yang ditemukan Payne. 22. Dengan dua rumus ensembel ia mengubah empat puluh tahun taksonomi spektrum menjadi termometri lalu menimbang ulang susunan alam semesta — dalam sebuah disertasi doktoral. 23. Penggabungan kembali kosmik: pengionan separuh alam semesta sendiri pada $\sim3000\,\mathrm{K}$ , yang cahaya terlepasnya, setelah terentang seribu kali, adalah latar gelombang mikro $2.7\,\mathrm{K}$ . 24. Elektronnya (panas, berskala $10^{4}\,\mathrm{K}$ ) dan gas beserta dindingnya (dingin) bertukar energi terlalu lambat untuk menyetimbang: dua suhu berada bersama dalam satu tabung — yakni keadaan tunak taksetimbang, dan karena itulah lampunya berpijar tanpa melebur. 25. Satu syarat, $\mu_{\text{H}} = \mu_{\text{p}} + \mu_{\text{e}}$ , menata OBAFGKM menurut suhu saja, memarkir maksimum Balmernya pada bintang A di dekat $9600\,\mathrm{K}$ , dan — begitu kuatnya diperbaiki menurut keterlihatan — menyingkapkan alam semesta yang terbuat dari hidrogen.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Apa arti μ

Lihat semua 431 istilah di glosarium