Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

20Foton dan Fonon

Teori kuantum lahir dari pokok bahasan bab ini. Pada 1900 spektrum benda berpijar menolak menaati fisika klasik — lebih buruk lagi, fisika klasik meramalkan energi takhingga pada panjang gelombang pendek, yakni “bencana ultraungu” — dan penawar Planck yang lahir dari keputusasaan, yaitu energi dalam bungkusan $h\nu$ , ternyata menjadi kunci induk abad itu. Dengan permesinan yang kini sudah terangkai — pencacahan ragam dari Bab 7, termodinamika osilator dari Bab 17 — hukum Planck memakan setengah halaman: yakni gas foton, satu osilator terisi Bose tiap ragam rongganya. Setengah halaman yang sama, dengan bunyi menggantikan cahaya, adalah teori zat padat Debye beserta kapasitas kalor $T^3$ yang terlewatkan model Einstein. Dan yang mengisi tiap sentimeter kubik alam semesta adalah adikarya pokok bahasan ini: latar gelombang mikro kosmik ber-2,725 kelvin, benda hitam paling sempurna yang pernah terukur — yakni radiasi termal alam semesta muda itu sendiri, yang masih terus tiba.

20.1 Hukum Planck, diturunkan

Teorema 20.1 (Spektrum benda hitam)

Sebuah rongga bersuhu $T$ menyangga ragam elektromagnetik — yakni gelombang tegak yang dicacah persis seperti dalam Proposisi 7.5, dua kali untuk pengutubannya:

g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .

Tiap ragamnya adalah osilator kuantum yang menahan, pada kesetimbangan, $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ foton (Latihan 17.5; setara dengan boson pada $\mu = 0$ ). Energi tiap volume dan tiap frekuensinya karena itu adalah

u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\, \frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :

yakni hukum Planck (1900). Akibatnya, semuanya sebagaimana terukur: puncaknya pada $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (yakni hukum pergeseran Wien jilid Tahun 2, yang kini diturunkan); fluks total dari permukaan hitam $\Phi = \sigma T^4$ dengan

\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}

(yakni Stefan–Boltzmann, dengan tetapannya kini dibangun dari $h$ , $c$ , $k_{\text{B}}$ ); dan kerapatan fotonnya $n_\gamma \approx 2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ tiap meter kubik.

Bukti sebagian. Kalikanlah cacah ragamnya dengan $h\nu\,\bar n$ . Integral energi totalnya, dengan $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ dan $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (diterima tanpa bukti), memberikan $u_{\text{tot}} = aT^4$ dan, dengan faktor fluks bakunya $c/4$ , memberikan $\sigma$ yang dinyatakan itu. Hukum Wien adalah pemaksimuman Latihan 20.1. Pada frekuensi rendah ( $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ ) tiap ragamnya mengangkut $k_{\text{B}}T$ — yakni Rayleigh–Jeans, yang benar untuk radio, tetapi bencana bila dirambatkan ke seluruh $\nu$ : pemenggalan Planck adalah izin ekipartisi (Teorema 17.5) yang dicabut ragam demi ragam. ∎

Spektrum Planck pada tiga suhu (masing-masing diskalakan ke tinggi yang sebanding: luas sebenarnya tumbuh sebagai T4). Garis Rayleigh–Jeans klasiknya mengikuti sisi frekuensi rendahnya lalu membubung menuju bencana ultraungu; pungutan h Planck menutup ragam frekuensi tingginya lalu membelokkan kurvanya ke bawah. — Spektrum Planck pada tiga suhu (masing-masing diskalakan ke tinggi yang sebanding: luas sebenarnya tumbuh sebagai $T^4$ ). Garis Rayleigh–Jeans klasiknya mengikuti sisi frekuensi rendahnya lalu membubung menuju bencana ultraungu; pungutan $h\nu$ Planck menutup ragam frekuensi tingginya lalu membelokkan kurvanya ke bawah.

Contoh 20.2 (Tiga termometer)

Matahari ( $T = 5800\,\mathrm{K}$ ): puncaknya pada $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — mata kita berevolusi tepat pada maksimumnya. Sebuah tubuh pada $310\,\mathrm{K}$ : puncaknya di dekat $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , yang memancarkan $\sigma T^4 \approx 520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dari tiap meter persegi kulitnya (untunglah, ruangannya memancar balik; Latihan 20.2). Alam semesta ( $T = 2.725\,\mathrm{K}$ ): puncaknya di dekat $1.9\,\mathrm{mm}$ dalam bentuk frekuensinya ( $160\,\mathrm{GHz}$ ), $411$ foton tiap sentimeter kubik — yakni latar gelombang mikro kosmik, contoh agung bab ini (Soal 20.1).

Proposisi 20.3 (Termodinamika cahaya)

Gas foton memiliki kerapatan energi $u = aT^4$ ( $a = 4\sigma/c$ ), tekanan

P = \frac u3 ,

kerapatan entropi $\tfrac43 aT^3$ , dan cacah foton $\propto T^3$ . Akibatnya: kotak berisi radiasi yang memuai secara adiabatik mendingin sebagai $T \propto 1/L$ — foton alam semesta yang memuai mendingin dari $3000$ K menjadi $2.725$ K hari ini lewat faktor rentang $\approx1100$ sambil mempertahankan spektrum Planck yang sempurna; dan dalam bintang masif pertumbuhan $T^4$ membuat tekanan radiasi menyaingi tekanan gasnya, sehingga menetapkan batas atas massa bintang (Bab 27).

Bukti sebagian. $P = u/3$ : gas partikel yang isotrop pada laju $c$ menyerahkan sepertiga kerapatan energinya sebagai tekanan (yakni faktor $\langle \cos^2\theta\rangle = 1/3$ , seperti dalam teori kinetik jilid Tahun 1). Entropinya dari $\dd U = T\dd S - P\dd V$ yang dikenakan pada $U = aT^4V$ . Secara adiabatik: $S \propto T^3V$ yang tetap memberikan $T \propto V^{-1/3}$ . ∎

20.2 Fonon: penuntasan Debye

Teorema 20.4 (Model Debye)

Getaran sebuah kristal adalah gelombang lenting yang terkuantumkan persis seperti cahaya: yakni fonon, dengan tiga pengutuban pada laju bunyi $c_{\text{s}}$ , dicacah seperti foton tetapi dengan totalnya dibatasi pada $3N$ ragam — yakni batas yang mendefinisikan suhu Debye

k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}} (6\pi^2n)^{1/3} .

Kapasitas kalornya menyisip di antara kedua hukum klasiknya:

C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}}) \qquad\text{(Dulong--Petit)} , \qquad C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}} \Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3 \;(T \ll \theta_{\text{D}}) :

yakni hukum $T^3$ yang dituntut kalorimetri suhu rendah dan yang tak dapat diberikan frekuensi tunggal Einstein (Latihan 17.6). Alasannya sama seperti untuk cahaya: sedingin apa pun kristalnya, selalu ada kuanta bunyi berpanjang gelombang besar yang semurah-murahnya, dan pencacahannya yang mirip foton memberikan $T^3$ yang mirip foton pula.

Bukti sebagian. Ulangilah perhitungan fotonnya dengan $c \to c_{\text{s}}$ , tiga pengutuban, dan total ragam $\int g\,\dd\nu = 3N$ yang menetapkan pemenggalannya. Pada $T \ll \theta_{\text{D}}$ pemenggalannya tak terlihat dan integral energi $T^4$ -nya memberikan $C \propto T^3$ ; pada $T$ tinggi tiap ragam dari $3N$ ragamnya mengangkut $k_{\text{B}}T$ . Integral penyisipan lengkapnya diterima tanpa bukti. ∎

Kapasitas kalor sebuah kristal: kedua modelnya mencapai Dulong–Petit, tetapi pada suhu rendah kurva frekuensi tunggal Einstein mati secara eksponensial sedangkan fonon berpanjang gelombang besar Debye yang murah menopang T3 yang terukur — daerah T rendahnya adalah “fisika foton” murni dengan bunyi. — Kapasitas kalor sebuah kristal: kedua modelnya mencapai Dulong–Petit, tetapi pada suhu rendah kurva frekuensi tunggal Einstein mati secara eksponensial sedangkan fonon berpanjang gelombang besar Debye yang murah menopang $T^3$ yang terukur — daerah $T$ rendahnya adalah “fisika foton” murni dengan bunyi.

Contoh 20.5 (Fonon adalah partikel sungguhan)

Fonon menghamburkan neutron dan sinar-X dengan kekekalan energi dan momentum (kristal) — kurva pencaran terukur $\omega(\vect k)$ Bab 23 adalah spektroskopinya. Mereka mengangkut kalor: hantaran termal sebuah penyekat adalah $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ sebuah gas fonon, dan intan — kaku, ringan, murni — menghantar lima kali lebih baik daripada tembaga pada suhu ruang hanya lewat fonon (Latihan 20.12). Dan mereka mati pada suhu rendah sebagai $T^3$ , dan karena itulah para insinyur kriogenik berbicara tentang kristal yang menjadi “sunyi secara akustik”.

Metode 20.6 (Keterampilan gas radiasi)

(1) Cacahlah ragamnya ( $\propto\nu^2$ tiap pengutubannya dalam tiga dimensi); isilah dengan $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$ ; lalu integralkanlah — harapkanlah energi $T^4$ serta cacah dan kapasitas $T^3$ . (2) Puncaknya lewat Wien; totalnya lewat Stefan; nilai klasik $k_{\text{B}}T$ tiap ragamnya hanya di bawah $h\nu \sim k_{\text{B}}T$ . (3) Untuk zat padat, batasilah ragamnya pada $3N$ ( $\theta_{\text{D}}$ ); bentuk Einstein untuk ragam cabang optiknya, bentuk Debye untuk yang akustik. (4) Radiasi adiabatik: $T \propto V^{-1/3}$ . (5) Periksalah kedua tetapan andalannya: $\lambda_{ \max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ dan $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$ .

Sebuah rumah lewat kamera termal: tiap permukaannya memancarkan spektrum Planck-nya, dan kameranya membaca suhu langsung dari inframerahnya — yakni Stefan, Boltzmann dan Wien yang mengaudit tagihan pemanas.

20.3 Latihan

Latihan 20.1 ★

(a) Dari hukum Planck dalam bentuk panjang gelombang, tunjukkanlah bahwa puncaknya menaati $\lambda_{\max}T = \text{tetapan}$ (persamaan melampaui aljabarnya boleh dikutip: $x = 4.965$ ). (b) Hitunglah panjang gelombang puncak untuk Matahari, sebuah filamen $2700\,\mathrm{K}$ , sebuah tubuh $310\,\mathrm{K}$ dan langit $2.725\,\mathrm{K}$ . (c) Yang mana dari keempatnya yang tercuplik dengan baik oleh mata manusia, dan berapa bagian keluaran sebuah filamen yang kasat mata (perkirakan: kecil)? (d) Mengapa “kamera inframerah” adalah perkakas yang tepat untuk manusia dan bangunan?

Solusi

Solusi Latihan 20.1.

(a) Menetapkan $\dd u/\dd\lambda = 0$ memberikan $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$ , $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$ : $\lambda_{\max}T = hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (b) $0.50$ , $1.07$ , $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan $1.06\,\mathrm{mm}$ . (c) Hanya milik Matahari; sebuah filamen memuncak dalam inframerah dekat lalu menyerahkan hanya beberapa persen dayanya sebagai cahaya — yakni ketakhematan yang memensiunkannya. (d) Manusia dan bangunan “bersinar” pada sepuluh mikron: pencitra termal adalah kamera bagi puncak yang kedua.

Latihan 20.2 ★

Anggaran radiatif. (a) Seseorang ( $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , kulit $306\,\mathrm{K}$ ) dalam ruangan $293\,\mathrm{K}$ : daya radiasi bersihnya $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) Bandingkanlah dengan metabolisme $100\,\mathrm{W}$ tubuhnya: mengapa kita menahannya (pakaian, dan ruangan yang memancar balik)? (c) Bumi menyerap sinar matahari pada $\pi R^2$ lalu memancar pada $4\pi R^2$ : turunkanlah $T_{\text{eff}} = [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ dengan $\Phi_\odot = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , albedo $A = 0.30$ , lalu hitunglah. (d) Rata-rata permukaan terukurnya adalah $288\,\mathrm{K}$ : sebutkanlah mekanisme selisih $33\,\mathrm{K}$ itu (Soal 9.1).

Solusi

Solusi Latihan 20.2.

(a) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$ . (b) Fluks balik ruangannya sudah termuat di dalam selisihnya; pakaian menyisipkan permukaan perantara yang hangat — radiasi adalah buku besar dua arah. (c) $T_{\text{eff}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$ . (d) Bonus $33\,\mathrm{K}$ -nya adalah gejala rumah kaca: yakni selimut inframerah Soal 9.1, yang dikuantitatifkan dalam Latihan 20.9.

Latihan 20.3 ★

Mencacah foton. (a) Dengan $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ tiap meter kubik: hitunglah kerapatan foton latar $2.725\,\mathrm{K}$ . (b) Sinar matahari di Bumi: dari $\Phi_\odot$ dan energi foton rata-rata $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$ , hitunglah fluks fotonnya tiap meter persegi tiap detik. (c) Sebuah bola lampu pijar $60\,\mathrm{W}$ (5% kasat mata): berapa foton kasat mata tiap detiknya. (d) Mengapa “pencacahan foton” menjadi hal biasa bagi para astronom tetapi mustahil bagi pemanas?

Solusi

Solusi Latihan 20.3.

(a) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} = 411$ tiap cm $^3$ . (b) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 6 \times 10^{21}$ foton tiap meter persegi tiap detik. (c) $3\,\mathrm{W}/ 3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ tiap detik. (d) Isyarat astronomi tiba satu foton pada satu waktu — yakni laju yang dapat dipilah sebuah pencacah; nilai $10^{22}$ tiap detik sebuah pemanas adalah kesinambungan bagi pendeteksi mana pun.

Latihan 20.4 ★

Bencana dan ekornya. (a) Tunjukkanlah bahwa ekipartisi klasik ( $k_{\text{B}}T$ tiap ragamnya) memberikan $u(\nu) = 8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$ , yang menyebar bila diintegralkan. (b) Di manakah hukum Planck menyusut menjadi bentuk itu? (c) Para astronom radio mengukur CMB pada $1.4\,\mathrm{GHz}$ : periksalah $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ di sana lalu benarkanlah kebiasaan “suhu antena” mereka yang mengutip keamatan dalam kelvin. (d) Pada puncak CMB $160\,\mathrm{GHz}$ , hitunglah $h\nu/k_{\text{B}}T$ : apakah puncaknya bersifat klasik?

Solusi

Solusi Latihan 20.4.

(a) $k_{\text{B}}T$ tiap ragamnya dikalikan cacah ragam $\nu^2$ -nya: setelah diintegralkan, takhingga — yakni bencananya. (b) Untuk $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ . (c) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$ : jauh di dalam ekor klasiknya, tempat keamatan $\propto T$ — sehingga muncullah “suhu kecerlangan” dalam kelvin. (d) $2.8$ : puncaknya berada di tempat diskon kuantum Planck bekerja penuh.

Latihan 20.5 ★★

Tekanan radiasi. (a) Turunkanlah $P = u/3$ dari keisotropannya (atau terimalah faktor kinetiknya) lalu hitunglah tekanan sinar matahari pada orbit Bumi; bandingkanlah dengan tekanan atmosfer. (b) Di dalam Matahari ( $T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ ): hitunglah $P_{\text{rad}} = aT^4/3$ lalu bandingkanlah dengan tekanan gasnya $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$ . (c) Tekanan radiasi tumbuh sebagai $T^4$ , tekanan gas sebagai $T$ : tunjukkanlah mengapa bintang yang cukup masif (sehingga lebih panas) menjadi dikuasai radiasi dan tak mantap — yakni langit-langit Eddington di dekat $\sim100\,M_\odot$ . (d) Laser: sebuah berkas $1\,\mathrm{kW}$ yang difokuskan untuk mendorong — gayanya berapa? Mengapa “berkas penarik” tetap tinggal dalam film sedangkan penjepit optik (gradien, pikonewton) merupakan perkakas nyata?

Solusi

Solusi Latihan 20.5.

(a) Untuk berkas matahari yang terarah $P \approx \Phi/c = 4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : sebelas orde di bawah atmosfernya — layar surya berhasil hanya karena antariksa mengurangkan segala sisanya. (b) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$ : kurang dari satu bagian dalam seribu tekanan gasnya — Matahari ditopang gas. (c) $P_{\text{rad}}/P_{\text{gas}} \propto T^3/n$ : bintang yang lebih masif membakar lebih panas, dan banjir $T^4$ -nya akhirnya menyaingi cengkeraman gravitasi pada gasnya — ketakmantapan yang berkilau membatasi bintang di dekat $\sim100\,M_\odot$ . (d) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ : berkas penarik tetap tinggal dalam fiksi; penjepit optik memakai gradien medan pada benda mikroskopis, tempat pikonewton berkuasa (Soal 16.1).

Latihan 20.6 ★★

Rentangan alam semesta. CMB dipancarkan pada penggabungan kembali ( $T \approx 3000\,\mathrm{K}$ , wilayah Latihan 18.12) lalu tiba pada $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) Dari $T \propto 1/a$ , carilah faktor rentang semua panjang sejak pemancarannya. (b) Tunjukkanlah bahwa spektrum Planck tetap Planck di bawah perentangan seragam tiap panjang gelombangnya (apa yang terjadi pada $T$ ?). (c) Puncak yang dipancarkan (cahaya jingga yang kasat mata!) tiba di mana? (d) Mengapa langitnya karena itu gelap bagi mata tetapi berkobar bagi sebuah penerima gelombang mikro?

Solusi

Solusi Latihan 20.6.

(a) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . (b) $\lambda$ tiap ragamnya terentang oleh faktor yang sama: bentuk $\nu^3$ -nya memetakan dirinya sendiri dengan $T \to T/(1+z)$ — kurva Planck tak dapat dibuat bukan-Planck oleh pemuaian. (c) Puncak merah tua $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ -nya tiba pada $1.06\,\mathrm{mm}$ . (d) Langit yang sama itu kosong pada $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan jenuh pada satu milimeter: kegelapan adalah pernyataan tentang panjang gelombang.

Latihan 20.7 ★★

Suhu Debye dari bunyi. (a) Hitunglah $\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ untuk tembaga ( $c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) lalu bandingkanlah dengan nilai kalorimetrinya $343\,\mathrm{K}$ . (b) Intan: $c_{\text{s}} \approx 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$ : hitunglah lalu bandingkanlah dengan $\approx2200\,\mathrm{K}$ . (c) Timbal: lunak dan berat — jelaskanlah $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ -nya dalam satu kalimat. (d) Nyatakanlah aturan yang menghubungkan kekakuan sebuah zat padat, massa atomnya dan suhu pembekuan kuantumnya.

Solusi

Solusi Latihan 20.7.

(a) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ berbanding nilai kecocokannya $343\,\mathrm{K}$ : skalanya tepat (perata-rataan yang benar atas laju membujur dan melintangnya menutup selisihnya). (b) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — cocok: intan adalah perkara yang ekstrem. (c) Laju bunyi yang rendah (lunak) dan atom yang berat sama-sama menekan $\theta_{\text{D}}$ ke bawah: kisi timbal bersifat klasik nyaris seketika. (d) $\theta_{\text{D}} \propto c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ secara kasar: yang kaku dan ringan membeku belakangan, yang lunak dan berat membeku lebih awal.

Latihan 20.8 ★★

Tembaga pada satu kelvin. (a) Dengan memakai $C = \gamma T + \beta T^3$ dengan $\gamma$ dari Contoh 19.3 dan koefisien $T^3$ Debye untuk $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ : hitunglah kedua sukunya tiap molnya pada $1\,\mathrm{K}$ . (b) Yang mana yang menang, dan seberapa banyak? (c) Pada suhu berapa keduanya berpotongan? (d) Mengapa rezim ini menjadi jendela ahli kalorimetri menuju kerapatan keadaan elektroniknya?

Solusi

Solusi Latihan 20.8.

(a) Elektroniknya: $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ memberikan $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; kisinya: $1944R\dots$ — suku $T^3$ Debyenya memberikan $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . (b) Elektronnya, sebesar satu orde. (c) Di dekat $3\,\mathrm{K}$ (Latihan 19.5). (d) Di bawah perpindahannya, titik potong $C/T$ terukurnya adalah $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$ : yakni sebuah percobaan bertermometer dan berpemanas yang membaca kerapatan keadaan permukaan Ferminya.

Latihan 20.9 ★★

Rumah kaca satu lapis. Misalkanlah permukaannya (bersuhu $T_s$ ) duduk di bawah satu lapis atmosfer tipis (bersuhu $T_a$ ) yang tembus sinar matahari tetapi kedap inframerah termal. (a) Tuliskanlah kesetimbangan energi bagi lapisnya (yang menyerap $\sigma T_s^4$ , memancar $2\sigma T_a^4$ ) dan bagi permukaannya (yang menyerap sinar matahari $S$ ditambah $\sigma T_a^4$ ). (b) Tunjukkanlah $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{eff}}$ dengan $\sigma T_{\text{eff}}^4 = S$ . (c) Dengan $T_{\text{eff}} = 255\,\mathrm{K}$ : hitunglah $T_s$ lalu bandingkanlah dengan $288\,\mathrm{K}$ (atmosfer yang sebenarnya adalah selimut sebagian dan berlapis banyak). (d) Kaitkanlah dengan Soal 9.1: fisika molekuler mana yang membuat lapisnya kedap dalam inframerah namun tembus dalam cahaya tampak?

Solusi

Solusi Latihan 20.9.

(a) Lapisnya: menyerap $\sigma T_s^4$ , memancarkan $2\sigma T_a^4$ (dari kedua mukanya): $T_s^4 = 2T_a^4$ . Permukaannya: $S + \sigma T_a^4 = \sigma T_s^4$ . (b) Lenyapkanlah $T_a$ : $S = \tfrac12\sigma T_s^4$ , yakni $T_s = 2^{1/4}T_{\text{eff}}$ . (c) $1.19 \times 255 = 303\,\mathrm{K}$ — melampaui nilai sebenarnya $288\,\mathrm{K}$ karena selimut yang sebenarnya bersifat sebagian dan berlapis. (d) Kuanta getaran gas jejak triatomik: tembus pada $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , kedap pada $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — yakni molekul Soal 9.1.

Latihan 20.10 ★★★

Tetapan Stefan dari awal. (a) Rangkailah $u_{\text{tot}} = \int u(\nu)\dd\nu$ dengan $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ dan $\pi^4/15$ yang diberikan, sehingga diperoleh $u = aT^4$ dengan $a = 8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$ . (b) Fluks dari sebuah permukaan hitam adalah $c\,u/4$ (terimalah seperempat geometrinya): bentuklah $\sigma$ lalu hitunglah secara bilangan dari $h$ , $c$ , $k_{\text{B}}$ . (c) Bandingkanlah dengan $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ . (d) Pembalikan sejarah: Planck mencocokkan hukumnya pada spektrum lalu menarik keduanya, $h$ dan $k_{\text{B}}$ (sehingga juga bilangan Avogadro) pada 1900 — nyatakanlah mengapa kurva benda hitam memancang dua tetapan sekaligus.

Solusi

Solusi Latihan 20.10.

(a) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x = 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$ . (b–c) $\sigma = ac/4 = 2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — dari tiga tetapan, tepat sasaran. (d) Bentuk kurvanya menetapkan $h/k_{\text{B}}$ (lewat $h\nu/k_{\text{B}}T$ ) dan skala mutlaknya menetapkan $k_{\text{B}}^4/h^3$ : dua persamaan, dua tetapan — Planck membaca $h$ dan $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}}$ dari satu pencocokan, bertahun-tahun sebelum butiran Perrin.

Latihan 20.11 ★★★

Koefisien A dan B Einstein (1917). Atom dua aras (berenergi $0, h\nu_0$ ; berpopulasi $N_1, N_2$ ) duduk dalam radiasi berkerapatan spektral $u(\nu_0)$ . Laju serapannya: $B_{12}uN_1$ ; pancaran terangsang: $B_{21}uN_2$ ; pancaran spontan: $AN_2$ . (a) Tuliskanlah kesetimbangannya. (b) Tuntutlah agar nisbah Boltzmann $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ dan $u$ Planck berlaku serentak untuk semua $T$ : turunkanlah $B_{12} = B_{21}$ dan

\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .

(c) Tafsirkanlah: mengapa kesetimbangan termal memaksa pancaran spontan untuk ada, sekaligus menetapkan lajunya dari laju terangsangnya? (d) Faktor $\nu^3$ -nya: kaitkanlah dengan umur Latihan 13.8 dan dengan mengapa pelaseran sukar pada frekuensi sinar-X.

Solusi

Solusi Latihan 20.11.

(a) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$ . (b) Selesaikanlah untuk $u$ : $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$ ; mencocokkan bentuk Planck untuk semua $T$ memaksa $B_{12} = B_{21}$ dan $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$ . (c) Tanpa $A$ , tak ada kesetimbangan yang mungkin melawan hukum Planck: kesetimbangannya sendiri menuntut agar atom yang tereksitasi meluruh tanpa disuruh, pada laju yang terikat pada laju terangsangnya — Einstein meramalkan pancaran spontan dari termodinamika, sedasawarsa sebelum mekanika kuantum menurunkannya. (d) $A \propto \nu^3$ : keadaan ultraungu meluruh dalam nanodetik (Latihan 13.8), sehingga pembalikan populasinya menjadi mahal secara merusak pada panjang gelombang pendek — yakni masalah laser sinar-X.

Latihan 20.12 ★★★

Intan, jalan tol fonon. Hantaran termal sebuah penyekat: $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ tiap volumenya, dengan $\ell$ sebagai lintasan bebas rata-rata fononnya. (a) Untuk intan pada $300\,\mathrm{K}$ ( $C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$ , yakni sebagian beku; $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\ell \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): hitunglah $\kappa$ lalu bandingkanlah dengan nilai tembaga $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ . (b) Mengapa $\ell$ begitu panjang dalam intan (kaku, ringan, bersih secara isotop — apa yang menghamburkan fonon?). (c) Intan yang dimurnikan isotopnya nyaris melipatduakan $\kappa$ : apa yang disingkapkannya tentang hamburan fonon oleh ketakteraturan massa isotop? (d) Dua kegunaan: penyebar kalor dalam elektronika; dan mengapa sebutir intan terasa dingin di bibir — jelaskanlah rasa itu.

Solusi

Solusi Latihan 20.12.

(a) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4} \times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ : lima kali tembaga. (b) Kaku dan ringan berarti fonon yang cepat; kisi yang murni, sempurna dan ringan menawarkan sedikit sekali yang dapat menghamburkannya — $\ell$ mencapai ribuan tetapan kisi. (c) Bahkan selisih massa atom $^{13}$ C menghamburkan fonon secara terukur: ketakteraturan isotop adalah hambatan yang sejati, yang disingkirkan lewat pemurnian. (d) Penyebar kalor di bawah cip daya; dan kalor bibirnya melesat pergi begitu cepat sehingga intan yang asli terasa dingin secara mengejutkan — uji sentuh sang pandai permata adalah sebuah pengukuran fonon.

Seluruh langit dalam gelombang mikro (NASA/WMAP, ranah publik): radiasi Planck 2.7\, K latar kosmiknya, yang dipetakan. Belang-belangnya sebesar satu bagian dalam 105 — yakni benih galaksi, yang tercetak pada benda hitam bab ini. — Seluruh langit dalam gelombang mikro (NASA/WMAP, ranah publik): radiasi Planck $2.7\,\mathrm{K}$ latar kosmiknya, yang dipetakan. Belang-belangnya sebesar satu bagian dalam $10^5$ — yakni benih galaksi, yang tercetak pada benda hitam bab ini.

20.4 Soal: Cahaya tertua

Soal 20.1

Soal akhir pekan — membaca latar gelombang mikro kosmik

Arahkanlah penerima gelombang milimeter mana pun ke petak langit mana pun dan ia melaporkan isyarat yang sama: yakni spektrum Planck pada $T = 2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$ , yang lebih licin daripada tanur mana pun yang pernah dibangun manusia. Inilah kilatan penggabungan kembali alam semesta (Latihan 18.12), yang terentang seribu seratus kali, dan ia membawa sensus jagat raya. Data: $T_0 = 2.725\,\mathrm{K}$ ; $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $u = aT^4$ , $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$ ; kerapatan barion hari ini $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ ; kerapatan genting $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Bagian I — Spektrumnya.

Hitunglah panjang gelombang puncak (Wien) CMB beserta kerapatan fotonnya tiap sentimeter kubik.
Hitunglah kerapatan energinya, dalam $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ dan dalam $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ , beserta bagian setara massanya terhadap kerapatan gentingnya.
Spektrum COBE (1990) cocok dengan Planck sampai beberapa bagian dalam $10^4$ — hadirinnya bertepuk tangan bagi grafiknya. Mengapa spektrum termal yang sempurna dari langit kosong begitu sukar dijelaskan oleh apa pun kecuali masa lalu yang panas dan rapat?
Pada pemancarannya foton yang sama membentuk benda hitam $3000\,\mathrm{K}$ : periksalah faktor rentangnya $1 + z = T_{\text{dahulu}}/T_0$ .
Mengapa alam semesta menjadi tembus cahaya persis pada suhu itu (ingatlah kembali kesetimbangan mana dari Bab 18 yang padam)?
Langit malam itu gelap (yakni paradoks Olbers dalam astronomi lama): dalam arti persis apa ia sebenarnya terang — pada panjang gelombang dan suhu berapa?

Bagian II — Sensusnya.

Hitunglah nisbah foton terhadap barionnya $\eta^{-1} = n_\gamma/n_{\text{b}}$ .
Bilangan itu — sekitar dua miliar foton tiap protonnya — adalah salah satu data mendasar kosmologi: nyatakanlah apa yang diukurnya tentang ketaksetangkupan materi–antimateri (ingatlah kembali Latihan 18.12: fotonnya sebagian besar adalah hasil pemusnahan).
Bandingkanlah kerapatan energi CMB dengan kerapatan cahaya bintang ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ yang dirata-ratakan atas alam semesta): cahaya mana yang menguasai jagat raya?
CMB melampaui, dalam cacah foton, segala yang pernah dipancarkan bintang: mengapa hal ini membuat alam semesta dini “dikuasai radiasi”, dan apa yang mengambil alih kemudian (penskalaan $T^4$ lawan $T^3$ terhadap $a^{-3}$ materinya)?
Perkirakanlah zaman kesetaraan materi–radiasinya: dengan kerapatan radiasi berskala sebagai $(1+z)^4$ dan materi sebagai $(1+z)^3$ , dan dengan nisbah hari ini $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ , carilah $z_{\text{eq}}$ .
Neutrino tersapih lebih awal lalu mendingin sedikit lebih banyak (mereka melewatkan pemanasan ulang pemusnahan $e^+e^-$ Latihan 18.12): ramalannya adalah $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — hitunglah, lalu kagumilah ramalan tentang laut neutrino $1.95\,\mathrm{K}$ yang belum pernah terdeteksi langsung oleh siapa pun.

Bagian III — Ketakisotropannya.

CMB lebih panas $3.4\,\mathrm{mK}$ pada satu arah dan lebih dingin pada arah berlawanannya: tafsirkanlah lewat fisika Doppler Bab 4 lalu tariklah kecepatan kita ( $\Delta T/T = v/c$ ).
Setelah dwikutub itu disingkirkan, riak sebesar $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ tersisa (COBE 1992, lalu WMAP, Planck): apa yang dipetakannya pada $z = 1100$ ?
Benih kerapatan $10^{-5}$ itu tumbuh menjadi galaksi: mengapa gravitasi menguatkan kelebihan kerapatan (ketakmantapan yang mana), dan mengapa pertumbuhannya memerlukan kesetaraan materi–radiasi untuk mulai sungguh-sungguh?
Ukuran riak terkuatnya (kira-kira satu derajat di langit) adalah panjang gelombang akustik — yakni bunyi dalam plasma foton–barion (gas bab ini ditambah gelombang Bab 3!): apa yang menetapkan skalanya (yakni jarak tempuh bunyi sebelum penggabungan kembalinya)?
Mengukur sudut itu terhadap skala fisis yang diketahui menriangulasi geometri alam semesta: nyatakanlah hasilnya (datar, sampai ketelitian persen).
Ekakutub $2.7\,\mathrm{K}$ , dwikutub $3\,\mathrm{mK}$ , riak $10^{-5}$ : urutkanlah apa yang diajarkan masing-masing (masa lalu yang panas; gerak kita; benih dan geometri segalanya).

Bagian IV — Pusakanya.

Penzias dan Wilson menemukan isyaratnya pada 1965 sebagai derau antena yang tak tersingkirkan (setelah mengusir merpatinya): mengapa kelebihan yang isotrop dan tak bergantung musim pada $3\,\mathrm{K}$ tak terjelaskan sebagai sumber lokal atau galaksi mana pun?
Kira-kira $1\%$ semut televisi analog yang tak tersetel adalah isyarat ini: renungkanlah dalam satu kalimat.
CMB melewati gugus galaksi lalu sedikit tertendang ke frekuensi yang lebih tinggi oleh elektron panas (yakni gejala Sunyaev–Zel’dovich): mengapa hal ini membuat gugusnya terlihat sebagai bayangan pada frekuensi rendah, dan apa keutamaan khusus bayangan semacam itu (tak bergantung pada jaraknya)?
Perbatasan hari ini memburu pengutuban CMB untuk mencari cap gelombang gravitasi purba: bab mana saja dalam buku ini yang akan dinikahkan oleh penemuan itu (pengutuban Bab 6, gelombang gravitasi)?
Hitunglah fluks foton CMB yang menembus tubuh Anda ( $n_\gamma c/4$ tiap satuan luasnya, dengan tampang lintang tubuh $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ): berapa banyak peninggalan Dentuman Besar yang melintasi Anda tiap detik?
CMB memilih satu kerangka diam (yakni kerangka tempat dwikutubnya lenyap): jelaskanlah mengapa hal ini tidak bertentangan dengan kenisbian — kerangka macam apa yang diistimewakan oleh kandungan materinya dan bukan oleh hukumnya?
Ringkaslah hasil bernama itu: sebuah kurva Planck ber- $2.725$ kelvin yang mengisi langit — $411$ foton tiap sentimeter kubik, dua miliar tiap barionnya, dengan puncak pada $160\,\mathrm{GHz}$ — adalah kuitansi termal permulaan yang panas: yakni fisika statistik sebagai batu fondasi kosmologi.

Solusi

Solusi Soal 20.1.

1. $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$ ; $411$ foton tiap cm $^3$ . 2. $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx 0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ; setara massanya $u/c^2 \approx 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : kira-kira $5\times10^{-5}$ kerapatan gentingnya. 3. Spektrum termal menuntut agar pemancarnya dan radiasinya sudah setimbang — yakni mustahil bagi kumpulan bintang, debu atau plasma mana pun yang ditambahkan sepanjang garis pandang yang berbeda; hanya alam semesta yang dahulu sendirinya merupakan rongga kedap yang panas yang cocok. 4. $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . 5. Kesetimbangan Saha menyeberang ke atom netral: elektron bebasnya lenyap, hamburan Thomsonnya berhenti, dan fotonnya sejak itu terbang tanpa tersentuh. 6. Terang pada panjang gelombang milimeter, pada $2.725\,\mathrm{K}$ : langit Olbers memang berkobar — pergeseran merahnya memindahkan kobaran itu ke luar cahaya tampak. 7. $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ foton tiap barionnya. 8. Fotonnya adalah abu pemusnahan materi–antimateri; barionnya adalah kelebihan satu tiap semiliar yang selamat: $\eta$ mengukur ketaksetangkupan purba itu — yang masih tak terjelaskan. 9. $4.2 \times 10^{-14}\,$ berbanding $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : cahaya peninggalannya mengalahkan, dalam kerapatan energi, segala yang pernah dipancarkan bintang. 10. Radiasi mengencer sebagai $a^{-4}$ (cacahnya $a^{-3}$ , tiap fotonnya terentang $a^{-1}$ ), materi sebagai $a^{-3}$ : pada awalnya radiasi berkuasa; materi menyusul pada kesetaraannya, lalu membiarkan strukturnya tumbuh. 11. $1 + z_{\text{eq}} \approx 3400$ . 12. $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 = 1.95\,\mathrm{K}$ : yakni latar neutrino kosmik yang diramalkan, cek tak tertagih paling berani dalam fisika termal. 13. $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3} \approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : yakni gerak Tata Surya menembus kerangka peninggalannya. 14. Riak suhu (dan karenanya kerapatan serta kecepatan) alam semesta pada usia 380.000 tahun: yakni sebuah foto benihnya. 15. Petak yang berkelebihan kerapatan menarik lebih kuat lalu tumbuh (yakni ketakmantapan gravitasi); sebelum kesetaraannya, tekanan radiasi memantulkannya kembali — pertumbuhannya menunggu materi berkuasa. 16. Yakni jarak yang ditempuh bunyi ( $c/\sqrt3$ dalam fluida foton–barion) sampai penggabungan kembalinya — yakni cakrawala bunyi, sebuah penggaris akustik yang terkubur di langit. 17. Sudutnya cocok dengan geometri alam semesta yang datar sampai kira-kira satu persen: garis sejajar, secara kosmik, tetap sejajar. 18. Ekakutubnya: permulaan yang panas. Dwikutubnya: gerak kita $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Riaknya: asal-usul struktur dan geometri ruang — tiap tempat desimalnya sebuah penemuan. 19. Ia sama pada tiap arahnya, siang dan malam, musim panas dan musim dingin, bebas merpati: tak ada yang lokal, galaksi atau instrumental yang seisotrop itu — hanya langit itu sendiri. 20. Sebuah desis pada tiap pesawat yang tak tersetel: Dentuman Besar selama ini tayang di televisi. 21. Elektron gugus yang panas menendang foton CMB naik ke frekuensi yang lebih tinggi lewat gejala Compton: di bawah perpindahannya gugusnya menyingkirkan foton — yakni siluet yang kedalamannya tak bergantung jarak, sehingga survei dapat menemukan gugus pada pergeseran merah berapa pun. 22. Gelombang gravitasi purba akan memuntir pengutuban CMB menjadi “ragam B”: yakni gelombang kenisbian yang dibaca dalam cahaya terhambur Thomson — dua benang buku ini yang tersimpul. 23. $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$ : kira-kira $10^{16}$ foton Dentuman Besar melintasi Anda tiap detik, tanpa terasa. 24. Ia adalah kerangka yang dipilih oleh kandungannya (yakni tempat radiasinya isotrop), bukan oleh hukumnya: kenisbian hanya melarang kerangka yang diistimewakan hukum — bergerak menembus CMB dapat dideteksi, bergerak menembus ruang-waktu tidak. 25. Sebuah kurva Planck $2.725\,\mathrm{K}$ pada tiap garis pandang — $411$ foton tiap sentimeter kubik, $10^9$ tiap barionnya, riak sebesar $10^{-5}$ : yakni benda hitam fisika statistik, yang dinaikkan menjadi dokumen fondasi kosmologi.