Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

23Zat Padat Kristal

Butiran garam adalah kubus mungil. Kepingan salju bersikeras memiliki enam cabang. Seorang pandai permata dapat membelah intan dengan bersih sepanjang bidang tertentu dan tidak sepanjang bidang lain. Ketiganya mengakui rahasia yang sama: di bawah permukaannya, atomnya tersusun dalam barisan yang berulang, secara serupa, miliaran kali — yakni sebuah kristal. Bab ini belajar membaca keteraturan itu. Sinar-X mengukurnya (sekaligus mengukur bilangan Avogadro dalam perjalanannya); elektrostatika sederhana dan ikatan kuantum Bab 14 menjelaskan mengapa susunannya bertahan; dan menggetarkan susunannya memperoleh kembali, dari asasnya, gelombang bunyi jilid Tahun 2 dan fonon Bab 20. Bab berikutnya akan menuangkan elektron ke dalam kerangka ini; di sini kita membangunnya.

23.1 Kisi, sel, dan struktur

Definisi 23.1 (Kisi dan basis)

Sebuah kristal adalah susunan yang berulang: yakni sebuah kisi (yaitu jaringan titik matematis $\vect r = n_1\vect a_1 + n_2\vect a_2 + n_3\vect a_3$ , dengan $n_i$ bulat) yang dihiasi sebuah basis (yakni atom atau kelompok yang digantungkan serupa pada tiap titiknya). Bidang enam yang direntang $\vect a_1, \vect a_2, \vect a_3$ adalah sebuah sel satuan; rusuknya $a$ adalah tetapan kisi, sebesar beberapa $\text{Å}$ . Tiga susunan kubus membawa sebagian besar kuliah ini: kubus sederhana (dengan titik pada sudut kubusnya — langka: satu atom tiap selnya); kubus berpusat badan (bcc: sudutnya $+$ pusatnya, 2 atom tiap selnya — besi, kromium); kubus berpusat muka (fcc: sudutnya $+$ pusat mukanya, 4 atom tiap selnya — tembaga, aluminium, perak, emas: yakni kemasan kubus terrapat, yang mengisi 74 % ruangnya). Intan adalah fcc dengan basis dua atom; garam batu adalah fcc dengan pasangan Na–Cl.

Ketiga kisi kubusnya. Atom sudutnya dibagi di antara delapan sel, atom mukanya di antara dua, dan pusat badannya oleh satu: cacahlah dan selnya berturut-turut menahan 1, 2 dan 4 atom — yakni pembukuan di balik tiap perhitungan kerapatan dalam bab ini.

Contoh 23.2 (Menimbang sebuah sel satuan)

Tembaga bersifat fcc dengan $a = 3.61\,\text{Å}$ . Selnya menahan 4 atom bermassa molar $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , sehingga

\rho = \frac{4M/N_{\text{A}}}{a^3} = \frac{4\times1.055 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}}{4.71 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}} \approx 8960\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} ,

yakni nilai buku pegangannya. Dijalankan mundur, hitungan yang sama mengubah $a$ terukur dan kerapatan meja kerja menjadi $N_{\text{A}}$ — yakni rute yang dengannya sinar-X pertama kali mencacah atom (Latihan 23.6).

23.2 Melihat susunannya: difraksi sinar-X

Proposisi 23.3 (Hukum Bragg)

Sebuah kristal memuat keluarga bidang atom yang sejajar. Berkas sinar-X ekawarna berpanjang gelombang $\lambda$ , yang mengenai sebuah keluarga berjarak $d$ pada sudut serempet $\theta$ , memantul kuat hanya ketika gelombang dari bidang berturutannya melangkah sefase:

2d\sin\theta = n\lambda , \qquad n = 1, 2, \dots

Dalam kristal kubus, keluarga yang indeks Miller-nya $(hkl)$ — yakni bidang yang mencincang rusuk selnya menjadi $h$ , $k$ , $l$ bagian — berjarak $d = a/\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}$ , sehingga pola sudut pantulnya menyidik jari baik jenis kisinya maupun tetapannya: yakni kristalografi dalam dua rumus.

Bukti. Sinar yang memantul dari bidang bawahnya menempuh lintasan tambahan $2d \sin\theta$ (yakni dua kaki serempet segitiga siku-siku sedalam $d$ ). Perpaduan yang membangun menuntutnya berupa bilangan bulat panjang gelombang. Rumus jaraknya untuk keluarga $(hkl)$ kubus adalah geometri bidang: bidang berturutannya memotong rusuk kubusnya $a$ pada selang $a/h$ sepanjang $x$ , dan seterusnya, sehingga diperoleh $d$ yang dinyatakan itu. ∎

Pantulan Bragg. Gelombang yang menyerempet bidang berturutannya berselisih lintasan sebesar 2d; hanya sudut yang membuatnya bilangan bulat panjang gelombang yang memantul — putarlah kristalnya, rekamlah kilatannya, lalu bacalah arsitekturnya. — Pantulan Bragg. Gelombang yang menyerempet bidang berturutannya berselisih lintasan sebesar $2d\sin\theta$ ; hanya sudut yang membuatnya bilangan bulat panjang gelombang yang memantul — putarlah kristalnya, rekamlah kilatannya, lalu bacalah arsitekturnya.

23.3 Apa yang menahannya bersama

Proposisi 23.4 (Kelekatan ion: jumlahan Madelung)

Energi kelekatan adalah ongkos untuk mengurai sebuah kristal menjadi atom (atau ion) yang berjauhan. Dalam garam batu tiap ion bermuatan $\pm e$ duduk di antara tetangga yang berselang-seling; menjumlahkan energi Coulomb seluruh kisinya tiap pasangan ionnya memberikan

U = -\alpha\,\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} , \qquad \alpha_{\text{NaCl}} = 1.7476 ,

dengan $r_0$ sebagai jarak tetangga terdekatnya dan $\alpha$ sebagai tetapan Madelung — yakni geometri seluruh kristalnya yang dimampatkan menjadi satu bilangan (deretnya harus dijumlahkan dalam kulit netral yang memuai; suku demi suku ia menyebar). Dengan $r_0 = 2.82\,\text{Å}$ ini memberikan $8.9\,\mathrm{eV}$ tiap pasangannya; tolakan teras keras kuantumnya mengembalikan $\sim12\,\%$ , sehingga mendarat dalam beberapa persen dari nilai terukurnya $7.9\,\mathrm{eV}$ (Latihan 23.7).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 23.5 (Kuartet ikatannya)

Empat lem membangun semua kristal. Ionik (NaCl): yakni pemindahan elektron, lalu elektrostatika Madelung — keras, rapuh, penyekat yang tembus cahaya. Kovalen (intan, silikon): yakni pasangan yang dibagi dalam ikatan berarah Bab 14 — yang terkaku dari semuanya. Logam (tembaga): yakni ion yang berendam dalam elektron yang tersebar — pokok bahasan bab berikutnya, dan bersifat liat karena lemnya tak peduli ion mana berada di mana. Van der Waals (argon padat, kristal molekuler): yakni tarikan dwikutub yang berfluktuasi $\sim r^{-6}$ melawan tolakan teras keras kuantumnya, yang dibungkus dalam potensial Lennard-Jones $U = 4\epsilon[(\sigma/r)^{12} - (\sigma/r)^6]$ — lemah ( $\epsilon \sim 0.01\,\mathrm{eV}$ ), sehingga zat padat gas mulia melebur puluhan kelvin di atas nol mutlak (Latihan 23.8).

Potensial Lennard-Jones. Tarikan r-6 dwikutub yang berfluktuasi bertemu tolakan kuantum yang curam dari kulit yang bertindihan; atomnya menetap dalam sumurnya pada r_0, dan kekakuan serta titik lebur kristalnya sama-sama dibaca dari bentuknya. — Potensial Lennard-Jones. Tarikan $r^{-6}$ dwikutub yang berfluktuasi bertemu tolakan kuantum yang curam dari kulit yang bertindihan; atomnya menetap dalam sumurnya pada $r_0$ , dan kekakuan serta titik lebur kristalnya sama-sama dibaca dari bentuknya.

23.4 Susunannya bergetar: pencaran

Teorema 23.6 (Pencaran rantai satu atom)

Modelkanlah sebuah baris kristal sebagai massa $m$ berjarak $a$ , yang disambung pegas $K$ (yakni kekakuan ikatannya — yaitu kelengkungan gambar di atas). Mencari gelombang $u_n = A\eu^{\iu(kna - \omega t)}$ dalam hukum Newton $m\ddot u_n = K(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)$ memberikan

\omega(k) = 2\sqrt{\frac{K}{m}}\,\Big|\sin\frac{ka}{2}\Big| .

Pada panjang gelombang besar ( $ka \ll 1$ ) ini adalah bunyi, $\omega = vk$ dengan $v = a\sqrt{K/m}$ — yakni kilometer tiap detik dari pegas atom. Tetapi kurvanya membengkok: pada tepi zonanya $k = \pi/a$ (dengan panjang gelombang $2a$ , tetangganya berlawanan fase) kecepatan kelompoknya lenyap — gelombangnya memantul secara Bragg dari kisi yang justru membawanya — dan tak ada frekuensi yang lebih tinggi yang merambat sama sekali: sebuah kristal adalah tapis lolos rendah dengan pemenggalan berskala terahertz. Gelombang terkuantumkan ini adalah fonon yang statistikanya sudah dicacah Bab 20; bagian lurus kurva ini persis apa yang dipertahankan model Debye.

Bukti. Menggantikan gelombangnya ke dalam persamaan geraknya: $-m\omega^2 = K(\eu^{\iu ka} + \eu^{-\iu ka} - 2) = -2K(1 - \cos ka) = -4K\sin^2(ka/2)$ . ∎

Pencaran rantai atomnya. Gelombang yang panjang menunggangi cabang bunyi yang lurus; pada k = π/a atom bertetangganya berdetak berlawanan fase, gelombangnya berdiri diam, dan spektrumnya berhenti di dekat 1013\, Hz. Kristal berisi dua atom tiap selnya menambahkan cabang optik kedua di atas sebuah celah terlarang — yakni alasan mengapa garam menyerap cahaya inframerah. — Pencaran rantai atomnya. Gelombang yang panjang menunggangi cabang bunyi yang lurus; pada $k = \pi/a$ atom bertetangganya berdetak berlawanan fase, gelombangnya berdiri diam, dan spektrumnya berhenti di dekat $10^{13}\,\mathrm{Hz}$ . Kristal berisi dua atom tiap selnya menambahkan cabang *optik* kedua di atas sebuah celah terlarang — yakni alasan mengapa garam menyerap cahaya inframerah.

Kristal pirit: yakni kubus yang ditumbuhkan geologi, bukan yang dipotong tangan. Mukanya adalah bidang kisi (100) — yakni keteraturan atom, yang berulang 1023 kali, lalu muncul pada skala manusia. — Kristal pirit: yakni kubus yang ditumbuhkan geologi, bukan yang dipotong tangan. Mukanya adalah bidang kisi (100) — yakni keteraturan atom, yang berulang $10^{23}$ kali, lalu muncul pada skala manusia.

23.5 Latihan

Latihan 23.1 ★

Pembukuan sel. (a) Periksalah cacah atomnya: sc 1, bcc 2, fcc 4. (b) Dalam bcc, atomnya bersentuhan sepanjang diagonal kubusnya: nyatakanlah jejari atomnya dalam $a$ . (c) Lakukan hal yang sama untuk fcc, tempat mereka bersentuhan sepanjang diagonal mukanya. (d) Hitunglah bagian kemasannya ( $\pi\sqrt3/8 \approx 0.68$ dan $\pi/\sqrt{18} \approx 0.74$ ) lalu nyatakanlah struktur mana yang disukai logam ketika ikatannya buta arah.

Solusi

Solusi Latihan 23.1.

(a) sc: $8\times\tfrac18 = 1$ ; bcc: $8\times\tfrac18 + 1 = 2$ ; fcc: $8\times\tfrac18 + 6\times\tfrac12 = 4$ . (b) Diagonalnya $a\sqrt3 = 4r$ : $r = a\sqrt3/4$ . (c) Diagonal mukanya $a\sqrt2 = 4r$ : $r = a\sqrt2/4$ . (d) $0.68$ dan $0.74$ : ikatan logam yang buta arah menginginkan kemasan yang maksimum, sehingga muncullah struktur fcc (atau struktur heksagonal yang sama rapatnya) pada tembaga, aluminium, perak dan emas.

Latihan 23.2 ★

Tembaga menurut bilangannya. Fcc, $a = 3.61\,\text{Å}$ , $M = 63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Hitunglah (a) jarak tetangga terdekatnya; (b) cacah tetangga terdekatnya; (c) kerapatannya; (d) cacah atom dalam kubus kawat sambung berukuran $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 23.2.

(a) $a/\sqrt2 = 2.55\,\text{Å}$ . (b) 12 — yakni bilangan koordinasi kemasan rapatnya. (c) $8960\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ (Contoh 23.2). (d) $n = 4/a^3 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , sehingga satu mikrometer kubik menahan $8.5\times10^{10}$ atom — karena itulah metalurgi cip adalah statistika, bukan pertukangan kayu.

Latihan 23.3 ★

Sudut Bragg pertama. Sinar-X K $\alpha$ tembaga ( $\lambda = 1.54\,\text{Å}$ ) mengenai bidang NaCl berjarak $d = 2.82\,\text{Å}$ . (a) Carilah sudut orde pertamanya $\theta_1$ . (b) Berapa banyak orde yang ada? (c) Mengapa harus berlaku $\lambda \le 2d$ agar ada pantulan — dan mengapa cahaya tampak tak berdaya? (d) Apa yang terjadi pada $\theta_1$ jika kristalnya dihangatkan sehingga $d$ memuai sebesar 1 %?

Solusi

Solusi Latihan 23.3.

(a) $\sin\theta_1 = \lambda/2d = 0.273$ : $\theta_1 = 15.8^\circ$ . (b) $n \le 2d/\lambda = 3.66$ : tiga orde. (c) $\sin\theta \le 1$ memaksa $n\lambda \le 2d$ ; panjang gelombang cahaya tampak $\lambda \sim 5000\,\text{Å}$ seribu kali terlalu besar — tak ada jarak bidang kristal yang dapat mendifraksikannya. (d) $\sin\theta$ turun 1 %: $\theta_1 \to 15.7^\circ$ . Sebuah difraktometer adalah termometer yang halus — dan geseran inilah cara pemuaian termal diukur pada skala atom.

Latihan 23.4 ★

Jarak Miller. Untuk kristal kubus bertetapan $a$ : (a) urutkanlah keluarga (100), (110), (111) menurut jaraknya dengan memakai $d = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ . (b) Yang mana yang memantul pada sudut Bragg terkecil? (c) Intan membelah sepanjang bidangnya yang berjarak terlebar dan tertaut terlemah: keluarga yang mana? (d) Mengapa cuplikan serbuk (yakni banyak butiran acak) mengubah bintik Bragg menjadi kerucut?

Solusi

Solusi Latihan 23.4.

(a) $d_{100} = a > d_{110} = a/\sqrt2 > d_{111} = a/\sqrt3$ . (b) $d$ terbesar, sudut terkecil: (100). (c) Keluarga oktahedral (111) — dalam struktur intan lembarannya berpasangan menjadi lapis ganda yang berikatan kuat dengan celah lebar yang berikatan jarang di antaranya: yakni bidang sang pembelah. (d) Tiap butirannya memantul pada $\theta$ yang sama tetapi pada azimut yang acak: sinar pantulnya mengipas menjadi kerucut bersetengah sudut $2\theta$ , lalu memotong pendeteksinya sebagai cincin.

Latihan 23.5 ★★

Memilih pemeriksanya. (a) Mengapa tiap pemeriksa difraksi harus memiliki $\lambda \sim 1\,\text{Å}$ ? (b) Foton sinar-X: berapa energinya? (c) Elektron: dengan memakai $\lambda = h/p$ dari gelombang materi jilid Tahun 2, tegangan pemercepat berapa yang memberikan $0.05\,\text{Å}$ ? (d) Neutron termal pada $300\,\mathrm{K}$ : tunjukkanlah $\lambda = h/\sqrt{3mk_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ , lalu berikanlah satu alasan mengapa berkas neutron melihat apa yang terlewatkan sinar-X (petunjuk: sinar-X menghambur dari elektron).

Solusi

Solusi Latihan 23.5.

(a) Perpaduannya memerlukan selisih lintasan berorde $\lambda$ ; jaraknya berorde ångström, sehingga $\lambda$ harus demikian pula. (b) $E = hc/\lambda \approx 8\,\mathrm{keV}$ . (c) $p = h/\lambda$ , $V = p^2/2m_{\text{e}}e \approx 60\,\mathrm{kV}$ (kenisbiannya memangkas beberapa persen) — yakni tegangan kerja sebuah mikroskop elektron. (d) $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ : neutron bersuhu ruang lahir dalam keadaan siap mendifraksi. Mereka menghambur dari intinya, bukan dari awan elektronnya — sehingga mereka melihat hidrogen dengan jelas dan membawa momen magnet yang memetakan keteraturan magnetnya, dan keduanya nyaris tak terlihat sinar-X.

Latihan 23.6 ★★

Mencacah atom dengan penggaris. NaCl: kerapatannya $\rho = 2165\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , massa molarnya $58.44\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , tetapan kisi terukurnya $a = 5.64\,\text{Å}$ (dengan 4 pasang Na–Cl tiap selnya). (a) Tuliskanlah $\rho = 4M/N_{\text{A}}a^3$ . (b) Selesaikanlah untuk $N_{\text{A}}$ lalu hitunglah. (c) Rambatkanlah ralat 0.1 % pada $a$ : seberapa besar ralatnya pada $N_{\text{A}}$ ? (d) Berilah ulasan: kilogram didefinisikan ulang pada 2019 sebagian lewat rute kristal ini (yakni sebuah bola silikon) — mengapa metodenya menuntut kristal yang nyaris sempurna?

Solusi

Solusi Latihan 23.6.

(a) Empat pasang tiap selnya yang bervolume $a^3$ . (b) $N_{\text{A}} = 4M/\rho a^3 = 4\times0.05844/(2165\times1.794 \times 10^{-28}\,) \approx 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ . (c) $N_{\text{A}} \propto a^{-3}$ : ralat 0.1 % pada $a$ menjadi 0.3 % pada $N_{\text{A}}$ . (d) Metodenya mencacah atom dengan menganggap tiap selnya penuh dan serupa: kekosongan, pengotor dan batas mosaiknya semuanya salah cacah — sehingga diperlukan bola silikon yang sempurna secara fanatik untuk pendefinisian ulang kilogram itu.

Latihan 23.7 ★★

Buku besar Madelung. (a) Untuk baris NaCl takhingga berisi muatan yang berselang-seling pada jarak $r_0$ , tunjukkanlah bahwa energi tiap ionnya adalah $-(e^2/4\pi\varepsilon_0r_0)\times2\ln2$ — sehingga tetapan Madelung satu dimensinya adalah $2\ln2 \approx 1.386$ . (b) Dengan $\alpha = 1.7476$ dan $r_0 = 2.82\,\text{Å}$ , hitunglah $U$ . (c) Tolakan Born berskala sebagai $r^{-9}$ : meminimumkan $U(r) = -A/r + B/r^9$ menunjukkan bahwa ikatan bersihnya adalah $U(r_0)(1 - 1/9)$ — kerjakanlah ulang perkiraannya. (d) Bandingkanlah dengan nilai terukur $7.9\,\mathrm{eV}$ tiap pasangannya lalu berilah ulasan tentang apa yang diraih model dua suku.

Solusi

Solusi Latihan 23.7.

(a) Tiap ionnya melihat $2\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}/n = 2\ln2$ dalam satuan $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0$ (dengan faktor 2: kedua sisinya), dan bersifat menarik. (b) $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0 = 5.11\,\mathrm{eV}$ ; $\times1.7476 = 8.93\,\mathrm{eV}$ . (c) Peminimumannya membunuh $1/9$ tarikannya: $U = 8.93\times\tfrac89 = 7.94\,\mathrm{eV}$ . (d) Dalam satu persen dari $7.9\,\mathrm{eV}$ : yakni kisi muatan titik ditambah satu eksponen kekakuan menjelaskan seluruh anggaran sebuah zat padat ionik — mekanika kuantumnya bersembunyi di dalam $r_0$ dan eksponennya.

Latihan 23.8 ★★

Argon Lennard-Jones. $\epsilon = 0.0104\,\mathrm{eV}$ , $\sigma = 3.40\,\text{Å}$ . (a) Carilah minimumnya $r_0 = 2^{1/6} \sigma$ lalu bandingkanlah dengan nilai terukur argon padat $3.76\,\text{Å}$ . (b) Perkirakanlah suhu leburnya dari $k_{\text{B}}T_{\text{m}} \sim \epsilon/2$ lalu bandingkanlah dengan $84\,\mathrm{K}$ . (c) Mengapa massa helium yang mungil dan sumurnya yang dangkal membuatnya tetap cair pada nol mutlak (Bab 19)? (d) Mengapa zat padat van der Waals bersifat lunak dan mudah menguap sedangkan intan, dengan ikatan tiga ratus kali lebih dalam, menggores segalanya?

Solusi

Solusi Latihan 23.8.

(a) $r_0 = 2^{1/6}\times3.40 = 3.82\,\text{Å}$ , yakni 1.5 % di atas nilai terukurnya $3.76\,\text{Å}$ (tiap atomnya juga merasakan kedua belas tetangganya, yang mengetatkan sumurnya). (b) $T_{\text{m}} \sim \epsilon/2k_{\text{B}} \approx 60\,\mathrm{K}$ : yakni skala yang tepat untuk $84\,\mathrm{K}$ . (c) Energi titik nol helium $\hbar\omega/2$ dalam sumur yang begitu dangkal menyaingi sumurnya sendiri: kristalnya mengguncang dirinya sampai berantakan, dan helium tetap cair pada $T = 0$ kecuali bila diperas. (d) Kedalaman $\sim0.01\,\mathrm{eV}$ berbanding kovalen $\sim3.6\,\mathrm{eV}$ tiap ikatannya: tiga ratus kali lipat dalam energi adalah seluruh jarak dari embun beku sampai intan.

Latihan 23.9 ★★

Pegas dari bunyi. (a) Dari Teorema 23.6, turunkanlah laju bunyinya $v = a\sqrt{K/m}$ . (b) Pegas sebuah ikatan kira-kira $K \approx Ea$ dengan $E$ sebagai modulus Young: benarkanlah lewat analisis dimensi sebuah sel yang terentang. (c) Untuk tembaga ( $E = 1.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$ , $a = 2.55\,\text{Å}$ antaratom, $m = 1.05 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ): perkirakanlah $K$ dan $v$ , lalu bandingkanlah dengan nilai terukurnya $\sim4000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) Mengapa kristal yang kaku dan ringan (intan) membawa bunyi tercepat sekaligus suhu Debye tertinggi?

Solusi

Solusi Latihan 23.9.

(a) $ka \ll 1$ : $\omega \approx 2\sqrt{K/m}\,(ka/2) = a\sqrt{K/m}\,k$ . (b) Rentangkanlah sebuah sel sebesar $\delta$ : tegasannya $\sim K\delta/a^2$ , regangannya $\delta/a$ , sehingga $E \sim K/a$ , yakni $K \sim Ea$ . (c) $K \approx 31\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $v = a\sqrt{K/m} \approx 4400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — yakni nilai terukurnya $4000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam 10 %, dari pegas yang diterka dari modulus Young. (d) $v = a\sqrt{K/m}$ : ikatan yang kaku menaikkannya, atom yang ringan menaikkannya — intan memaksimumkan keduanya, sehingga bunyinya $18\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\Theta_{\text{D}} \approx 2200\,\mathrm{K}$ .

Latihan 23.10 ★★★

Kehidupan di tepi zona. (a) Tunjukkanlah bahwa kecepatan kelompoknya $\dd\omega/\dd k$ lenyap pada $k = \pi/a$ . (b) Tuliskanlah simpangan atomnya di sana ( $u_n \propto (-1)^n$ ) lalu lukiskanlah geraknya. (c) Tafsirkanlah: panjang gelombang $2a$ memenuhi syarat Bragg pada rantainya sendiri — gelombangnya adalah percobaan difraksinya sendiri. (d) Hitunglah frekuensi pemenggalannya $\omega_{\text{max}} = 2\sqrt{K/m}$ untuk bilangan tembaga Latihan 23.9 lalu tempatkanlah pada skala spektrum elektromagnetiknya.

Solusi

Solusi Latihan 23.10.

(a) $\dd\omega/\dd k \propto \cos(ka/2) = 0$ pada $k = \pi/a$ . (b) $u_n \propto (-1)^n$ : tiap atomnya berlawanan fase dengan kedua tetangganya — yakni gelombang tegak, dengan energi yang berkecipak di tempat. (c) Dengan $\lambda = 2a$ , gelombang yang terhambur ke belakang oleh atom berturutannya berselisih lintasan tepat satu panjang gelombang: yakni syarat Bragg sepanjang rantainya sendiri. Kisinya memantulkan getarannya sendiri, gelombang maju dan mundurnya terkunci menjadi pola tegak, dan gelombang berjalannya tak dapat meneruskan perjalanannya. (d) $\omega_{\text{max}} = 2\sqrt{K/m} \approx 3.4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , yakni $\sim5\,\mathrm{THz}$ : yaitu inframerah jauh — getaran kisi dan cahaya inframerah bertemu dalam oktaf yang sama, dan itulah kenyataan di balik latihan berikutnya.

Latihan 23.11 ★★★

Dua atom tiap selnya. Dalam rantai dwiatom (dengan massa $m \ne M$ ), pencarannya terbelah menjadi cabang akustik (tetangganya seirama: bunyi) dan cabang optik (yakni kedua subkisinya berdetak saling melawan), yang terpisah oleh celah terlarang. (a) Mengapa ragam optiknya, dalam kristal ionik, dapat bergandeng langsung dengan cahaya? (b) Perkirakanlah frekuensinya untuk NaCl ( $K \approx 25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , dengan massa tereduksi pasangan Na–Cl) beserta panjang gelombang yang bersesuaian. (c) Karena itu jelaskanlah mengapa garam, yang tembus dalam cahaya tampak, bersifat kedap dalam inframerah jauh (reststrahlen). (d) Mengapa celah semacam itu tak ada pada rantai satu atomnya?

Solusi

Solusi Latihan 23.11.

(a) Dalam ragam optiknya, subkisi $+$ dan $-$ bergerak ke arah yang berlawanan: yakni dwikutub listrik yang berayun, persis apa yang dicengkeram gelombang cahaya. (b) $\omega \approx \sqrt{2K/\mu}$ dengan $\mu = 2.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ : $\omega \approx 4.7 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 2\pi c/\omega \approx 40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — yakni inframerah jauh (pita reststrahlen garam yang terukur duduk pada $61\,\text{µ}\mathrm{m}$ : oktaf yang tepat dari model dua pegas). (c) Pada pita itu talunan kristalnya sendiri menyerap lalu memantulkan kembali gelombangnya: garam yang tembus berubah menjadi cermin yang kedap. (d) Satu atom tiap selnya berarti tak ada subkisi kedua untuk saling berdetak: yakni satu cabang tunggal, tanpa celah.

Latihan 23.12 ★★★

Membangun ulang Debye. Model Debye Bab 20 hanya mempertahankan $\omega = vk$ sampai pemenggalan yang mencocokkan cacah ragamnya: $k_{\text{D}} = (6\pi^2n)^{1/3}$ . (a) Benarkanlah cacah ragamnya: $N$ atom, $3N$ ragam. (b) Untuk tembaga ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , dengan laju bunyi rata-rata $v \approx 2700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), hitunglah $k_{\text{D}}$ dan $\Theta_{\text{D}} = \hbar vk_{\text{D}}/k_{\text{B}}$ ; lalu bandingkanlah dengan nilai kalorimetrinya $343\,\mathrm{K}$ . (c) Ciri pencaran yang sebenarnya yang mana (lihat gambar bab ini) yang terlewatkan garis lurus Debye, dan pada suhu berapa hal itu berarti? (d) Jelaskanlah dalam satu kalimat mengapa $\Theta_{\text{D}}$ dan pemenggalan tepi zona Latihan 23.10 adalah fisika yang sama dalam dua busana.

Solusi

Solusi Latihan 23.12.

(a) $N$ atom $\times$ 3 arah simpangan = $3N$ osilator, sehingga spektrum lelurusnya dipenggal begitu ia telah mencacah $3N$ ragam: itulah yang mendefinisikan $k_{\text{D}}$ . (b) $k_{\text{D}} = (6\pi^2n)^{1/3} = 1.7 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $\Theta_{\text{D}} = \hbar vk_{\text{D}}/k_{\text{B}} \approx 350\,\mathrm{K}$ — yakni nilai kalorimetrinya $343\,\mathrm{K}$ , dari sebuah laju bunyi dan sebuah kerapatan. (c) Garis lurusnya melewatkan pendataran pada tepi zonanya: Debye mencacah berlebih frekuensi tingginya, sehingga kecocokannya tegang pada suhu pertengahan; hukum $T^3$ -nya (yakni hanya gelombang panjang) tetap aman. (d) Keduanya mengatakan bahwa spektrumnya berakhir ketika panjang gelombangnya mencapai jarak atomnya — yakni satu ragam tiap atomnya, yang berbusana entah sebagai vektor gelombang pemenggal atau sebagai suhu pemenggal.

23.6 Soal: Kikiran museum

Soal 23.1

Kikiran museum. Sebuah museum maritim menyelamatkan sebatang lantakan berkarat dari bangkai kapal abad kedelapan belas lalu mengirim laboratorium Anda beberapa miligram kikirannya: logam mulia, tetapi yang mana? Difraktometer serbuk Anda memakai sinar-X K $\alpha$ tembaga, $\lambda = 1.5406\,\text{Å}$ . Pendeteksinya, sambil menyapu sudut belokan $2\theta$ , menemukan cincin kuat pada $2\theta = 38.1^\circ$ , $44.3^\circ$ , $64.4^\circ$ dan $77.5^\circ$ .

Bagian I — Membaca cincinnya.

Nyatakanlah hukum Bragg lalu jelaskanlah, masing-masing dalam satu kalimat, peran cahaya ekawarna dan peran butiran serbuk yang berarah acak.
Ubahlah keempat cincinnya menjadi $\theta$ lalu hitunglah $\sin^2\theta$ untuk masing-masingnya.
Untuk kristal kubus, tunjukkanlah bahwa hukum Bragg memberikan $\sin^2\theta = (\lambda^2/4a^2)(h^2 + k^2 + l^2)$ .
Bagilah keempat nilai $\sin^2\theta$ Anda dengan yang terkecil: tunjukkanlah bahwa nisbahnya dekat dengan $1 : 1.33 : 2.67 : 3.67$ , yakni $3 : 4 : 8 : 11$ dibagi 3.
Kristal fcc hanya memantul ketika $h, k, l$ semuanya genap atau semuanya ganjil: periksalah bahwa $(111)$ , $(200)$ , $(220)$ , $(311)$ — dengan jumlah 3, 4, 8, 11 — cocok, dan bahwa jumlah yang hilang (1, 2, 5, 6, 7) membenarkan fcc terhadap kubus sederhana.
Mengapa logam bcc (dengan jumlah yang diizinkan 2, 4, 6, 8, …) menunjukkan sidik jari yang berbeda — dan mengapa permainan keganjilan ini, dan bukan sudut mutlaknya, yang menjadi pengenal yang tegar?
Jelaskanlah mengapa cincinnya menajam ketika butirannya tumbuh: apa yang dilakukan kristalit selebar lima atom pada sebuah pantulan Bragg?

Bagian II — Menamai logamnya.

Dari tiap cincinnya, hitunglah tetapan kisinya $a$ lewat $a = \lambda\sqrt{h^2+k^2+l^2}/2\sin\theta$ .
Rata-ratakanlah keempat nilai Anda lalu berikanlah $a$ sampai tiga angka berarti.
Dengan 4 atom tiap sel fcc-nya, nyatakanlah kerapatannya dalam $a$ dan massa molarnya $M$ .
Calon fcc yang mulia: perak ( $M = 107.9\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $\rho = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ), emas ( $197.0$ , $19.3$ ), platina ( $195.1$ , $21.4$ ). Hitunglah kerapatan yang diramalkan $a$ Anda untuk tiap calon $M$ -nya lalu kenalilah lantakannya.
Tetapan kisi emas adalah $4.08\,\text{Å}$ — nyaris serupa dengan milik perak. Pengukuran tunggal yang mana dalam soal ini yang toh memisahkan keduanya, dan mengapa ia kebal terhadap kebetulan itu?
Museumnya meminta pemeriksaan tanpa merusak atas seluruh lantakannya. Usulkanlah satu (kerapatan lewat Archimedes sudah cukup) lalu serasikanlah dengan jawaban mikroskopis Anda.

Bagian III — Kristal yang bergerak.

Perak yang hangat bergetar: tiap atomnya bergemeretak di sekitar tapaknya dengan $\langle x^2\rangle \propto T$ (yakni ekipartisi pada pegas ikatannya). Mengapa hal ini tidak melebarkan cincin Braggnya?
Ia memang melemahkannya: gelombang yang terhambur dari atom yang tergeser kehilangan keserempakannya. Nyatakanlah secara kualitatif bagaimana keamatannya seharusnya berperilaku ketika $T$ menaik (yakni gejala Debye–Waller).
Perkirakanlah pegas ikatan perak: $K \approx Ea$ dengan $E = 8.3 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ , $a = 2.89\,\text{Å}$ tetangga terdekatnya.
Dengan $m = 1.79 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ , hitunglah skala laju bunyinya $v = a\sqrt{K/m}$ lalu bandingkanlah dengan nilai terukur perak $\sim2700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
Perkirakanlah simpangan termal akar rata-rata kuadratnya pada $300\,\mathrm{K}$ dari $\tfrac12K\langle x^2\rangle \sim \tfrac32k_{\text{B}}T$ lalu bandingkanlah dengan panjang ikatannya: berapa bagiannya?
Kaidah Lindemann melelehkan sebuah kristal ketika bagian itu mencapai $\sim10\,\%$ : periksalah ketaatasasannya dengan perak yang melebur pada $1235\,\mathrm{K}$ .

Bagian IV — Melampaui lantakannya.

Kromium bersifat bcc dengan $a = 2.88\,\text{Å}$ : ramalkanlah $2\theta$ cincin pertamanya (yakni keluarga (110)) di bawah sinar-X yang sama.
Mengapa mikroskop elektron mendifraksi dari permukaan dan kerajang tipis sedangkan sinar-X dan neutron memeriksa limbaknya? (Satu kalimat tentang seberapa kuat masing-masingnya bergandeng dengan materi.)
Pada 1952 sebuah foto difraksi sebuah serat yang ditarik — yakni pola bintik terkabur berbentuk X — menyingkapkan pengulangan sebesar $3.4\,\text{Å}$ yang tersusun sepanjang sebuah heliks: molekul yang mana, dan mengapa difraksinya berhasil di tempat mikroskop tak mampu?
Pengecorannya melelehkan sebuah bagian uji: lukiskanlah menjadi apa cincin tajamnya dalam pola difraksi cairannya, dan apa yang dikatakannya tentang keteraturan yang disimpan sebuah cairan.
Sebuah kuasikristal mendifraksikan bintik tajam berkesetangkupan lima — yakni hal yang mustahil bagi kisi berulang mana pun. Apa yang toh disahkan pola tajamnya tentang keteraturannya?
Ringkaslah pengenalannya dalam tiga baris: nisbah cincinnya $\to$ fcc; $a = 4.09\,\text{Å}$ $+$ kerapatannya $\to$ perak; dan getaran kristalnya sendiri $\to$ mengapa museumnya sebaiknya tak meminta Anda menyinar-X-kannya dalam keadaan lebur.

Solusi

Solusi Soal 23.1.

1. $2d\sin\theta = n\lambda$ . Ekawarna: satu $\lambda$ membuat tiap sudut cincinnya memetakan ke satu jarak. Serbuk: di antara butiran acaknya, selalu ada yang berarah tepat untuk memantul — tiap keluarganya berbicara sekaligus. 2. $\theta = 19.05^\circ, 22.15^\circ, 32.2^\circ, 38.75^\circ$ ; $\sin^2\theta = 0.107, 0.142, 0.284, 0.392$ . 3. Sisipkanlah $d = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ ke dalam Bragg ( $n = 1$ ): $\sin^2\theta = (\lambda^2/4a^2)(h^2+k^2+l^2)$ . 4. Nisbahnya $1 : 1.33 : 2.67 : 3.68$ ; dikalikan 3: $3.0 : 4.0 : 8.0 : 11.0$ . 5. $(111)$ yang semuanya ganjil dan $(200)$ , $(220)$ , $(311)$ yang semuanya genap memberikan tepat 3, 4, 8, 11; angka 1, 2, 5, 6, 7 yang absen menyingkirkan kubus sederhana, yang polanya akan menunjukkannya. 6. Jumlah genap yang diizinkan bcc memberikan nisbah $1:2:3:4$ — yakni irama yang berbeda. Nisbahnya selamat dari ketidaktahuan akan $a$ , dari hanyutan panjang gelombang, dan dari ketaksejajaran cuplikannya: keganjilan adalah geometri, bukan kalibrasi. 7. Sedikit bidang membuat maksimum perpaduan yang tumpul, seperti kisi berlima celah: lebar cincinnya $\sim$ kebalikan ukuran kristalitnya (yakni hubungan Scherrer) — cincin yang tajam mengesahkan butiran yang tumbuh baik. 8. $a = \lambda\sqrt{h^2+k^2+l^2}/2\sin\theta = 4.088, 4.086, 4.089, 4.082\,\text{Å}$ . 9. $a \approx 4.09\,\text{Å}$ . 10. $\rho = 4M/N_{\text{A}}a^3$ . 11. $4/N_{\text{A}}a^3 = 9.74 \times 10^{4}\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ : perak $\to 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (cocok dengan nilai buku pegangan perak), emas $\to 19.2$ (cocok dengan emas!), platina $\to 19.0$ (bertentangan dengan platina yang 21.4 — $a$ sejatinya adalah $3.92\,\text{Å}$ ). Platina tersingkir; perak dan emas keduanya selamat, karena tetapan kisinya nyaris berimpit persis. 12. Pengukuran yang berdasar massa: yakni kerapatan (atau sekadar massa molarnya). Perak dan emas berbagi $a$ sampai 0.2 %, tetapi massa atomnya berbeda sebesar faktor 1.8 — tak ada keberimpitan kisi yang dapat menjembatani hal itu. 13. Archimedes pada lantakannya: di dekat $10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ $\to$ perak, yang taat asas dengan karatnya (perak menghitam; emas akan muncul berkilau). Massa sel mikroskopis dan penimbangan makroskopisnya sepakat — yakni $\rho = 4M/N_{\text{A}}a^3$ yang sama yang dibaca dari kedua arahnya. 14. Atomnya bergemeretak di sekitar kedudukan rata-rata yang tak bergeser: kisi rata-ratanya, yang menetapkan sudut cincinnya, tetap utuh; simpangan acaknya hanya membagi ulang keamatannya. 15. Keamatannya turun mulus bersama $T$ (yakni faktor Debye–Waller bergaya $\exp(-q^2\langle x^2\rangle)$ ), dan cahaya yang hilang muncul kembali sebagai latar baur di antara cincinnya. 16. $K \approx Ea = 8.3 \times 10^{10}\,\times 2.89 \times 10^{-10}\, \approx 24\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . 17. $v = a\sqrt{K/m} \approx 3300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — yakni nilai terukurnya $2700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sampai 20 %. 18. $\langle x^2\rangle = 3k_{\text{B}}T/K$ : akar rata-rata kuadratnya $\approx0.23\,\text{Å}$ , yakni kira-kira 8 % panjang ikatannya sudah pada suhu ruang. 19. Tanda 10 %-nya terekstrapolasi ke $\sim500\,\mathrm{K}$ berbanding nilai sebenarnya $1235\,\mathrm{K}$ : ordenya tepat, meleset kira-kira dua kali lipat — $K$ pegas tunggal kami terlalu lunak, dan Lindemann adalah kaidah penskalaan, bukan hukum. Pelajarannya tetap: peleburan adalah ketika gemeretak termalnya menyaingi kisinya sendiri. 20. $d_{110} = a/\sqrt2 = 2.04\,\text{Å}$ : $\sin\theta = 0.378$ , $2\theta \approx 44.5^\circ$ . 21. Kekuatan gandengannya: elektron (yang bermuatan) menghambur dalam nanometer — yakni permukaan dan kerajang; sinar-X dalam mikrometer — yakni serbuk limbaknya; neutron dalam sentimeter — yakni seluruh onderdil mesin. 22. Cincinnya runtuh menjadi satu atau dua lingkaran cahaya yang lebar: cairannya menyimpan keteraturan jangkauan pendek (yakni jarak tetangga yang disukainya) tetapi tanpa pencatatan jangkauan panjang — tak ada lagi yang berkala untuk berpadu secara tajam. 23. DNA — yakni Foto 51. Difraksi membaca jarak pengulangan jauh di bawah jangkauan mikroskop cahaya mana pun; pola X-nya mengkhianati sebuah heliks, dan kaburan $3.4\,\text{Å}$ itu adalah anak tangganya yang bersusun. 24. Bahwa strukturnya tertata secara pasti (kuasiberkala — yakni tertata tanpa berulang): bintik tajam memerlukan keserempakan fase jangkauan panjang, bukan kekalaan — yakni penemuan yang melebarkan definisi kristalografi sendiri tentang sebuah kristal. 25. Nisbahnya $3:4:8:11 \to$ fcc; $a = 4.09\,\text{Å}$ $+$ kerapatannya $\to$ perak, bukan emas atau platina; dan karena pemanasan memudarkan cincinnya dan peleburan menghapusnya, sinar-X-kanlah lantakannya dalam keadaan dingin — yakni perak museumnya, yang disahkan oleh perpaduan.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Kisi dan basis

Lihat semua 431 istilah di glosarium