Fisika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

4Kinematika Relativistik

Sinar kosmik yang menghantam atmosfer atas menciptakan muon lima belas kilometer di atas kita — partikel takmantap yang rata-rata hidup dua mikrosekon. Dua mikrosekon pada hampir laju cahaya berarti enam ratus meter; namun detektor muon di permukaan laut berdetak mantap, menghitung partikel yang telah menempuh dua puluh kali jangkauan yang dijatahkan kepadanya. Penyelesaian paradoks ini bukanlah rincian fisika partikel melainkan perombakan gagasan yang mendasari seluruh fisika: waktu berlalu secara berbeda bagi muon yang bergerak dan bagi kita, dan jarak menyusut sepanjang arah geraknya. Bab ini membangun perombakan itu — kerelatifan khusus (Einstein, 1905) — dari dua postulatnya: hukum fisika sama dalam setiap kerangka inersial, dan cahaya dalam vakum berlaju sama dalam semuanya. Selebihnya menyusul lewat kinematika yang jujur: terjalinnya ruang dengan waktu dalam transformasi Lorentz, pemuluran waktu, pengerutan panjang, aturan baru untuk menggabungkan kecepatan, serta geometrinya — ruang-waktu beserta selang invariannya — yang membuat semuanya sewajar rotasi.

4.1 Dua postulat melawan waktu mutlak

Catatan 4.1 (Dari mana pertentangannya datang)

Mekanika selalu mempunyai asas kerelatifan: di dalam kapal yang berlayar tenang, tak ada percobaan dengan bola dan bandul yang membocorkan geraknya (Galileo), dan hukum Newton berlaku dalam setiap kerangka inersial, yakni kerangka yang bergerak dengan kecepatan tetap satu terhadap yang lain. Tetapi elektromagnetisme jilid Tahun 2 menurunkan laju cahaya yang tertentu, $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dari tetapan alam, tanpa menyebut siapa yang mengukurnya — dan percobaan menyetujuinya: laju cahaya bintang yang tiba di Bumi yang bergerak, yang diukur sepanjang musim, tak pernah berubah (Michelson dan Morley, 1887, beserta semua penerusnya). Kinematika Galileo, yang di dalamnya kecepatan dijumlahkan, tidak dapat mencerna laju yang sama bagi setiap orang. Sesuatu harus mengalah, dan yang mengalah adalah anggapan kita bahwa waktu dan keserentakan bersifat mutlak.

Teorema 4.2 (Postulat kerelatifan khusus)

(i) Kerelatifan: hukum fisika berbentuk sama dalam setiap kerangka inersial; tak ada percobaan yang membedakan keadaan diam dari gerak seragam. (ii) Cahaya: cahaya dalam vakum merambat dengan laju $c$ yang sama dalam setiap kerangka inersial, apa pun gerak sumber atau pengamatnya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Definisi 4.3 (Peristiwa dan keserentakan)

Yang disebut peristiwa adalah kejadian titik: sebuah tempat tertentu dan sebuah saat tertentu — sebuah percikan, sebuah detak detektor, sebuah peluruhan. Tiap kerangka inersial memberi sebuah peristiwa koordinatnya $(t, x, y, z)$ , dengan memakai penggaris yang diam dalam kerangka itu dan jam-jam terselaras yang tersebar di dalamnya. Dua peristiwa serentak dalam sebuah kerangka apabila jam kerangka itu memberi keduanya $t$ yang sama — dan korban pertama postulat itu adalah bahwa gagasan ini bergantung pada kerangkanya.

Contoh 4.4 (Kereta dan dua sambaran petir)

Petir menyambar kedua ujung kereta cepat, meninggalkan bekas pada keretanya dan pada relnya. Bagi pengamat di tanah, yang berada di tengah-tengah kedua bekas itu, kedua kilatnya tiba bersamaan: bagi dia sambarannya serentak. Namun penumpang yang duduk di titik tengah keretanya bergerak menuju satu kilat dan menjauhi kilat yang lain; karena cahaya berlaju $c$ dalam kerangkanya juga, kilat di depan mencapainya lebih dahulu — dan karena ia duduk berjarak sama dari kedua bekas pada keretanya, ia harus menyimpulkan bahwa sambaran di depan terjadi lebih awal. Tak satu pun keliru: keserentakan dua peristiwa yang terpisah bukanlah fakta tentang dunia melainkan tentang kerangkanya. Setiap “paradoks” relativistik larut di sini.

Dua sambaran yang menandai kereta sekaligus rel. Pengamat di tanah, di tengah-tengah kedua bekasnya, menerima kilatnya bersamaan: serentak baginya. Penumpangnya berlari menuju kilat B; kilat itu mencapainya lebih dahulu, dan — karena ia berjarak sama dari kedua bekas dalam kerangkanya sendiri — ia menyimpulkan B menyambar lebih dahulu. Keserentakan bersifat nisbi.

4.2 Transformasi Lorentz

Teorema 4.5 (Transformasi Lorentz)

Misalkan kerangka $\mathcal R'$ bergerak dengan kecepatan $v$ sepanjang sumbu $x$ kerangka $\mathcal R$ , dengan titik asalnya berimpit pada $t = t' = 0$ . Peristiwa $(t, x)$ dalam $\mathcal R$ mempunyai koordinat berikut dalam $\mathcal R'$

x' = \gamma\,(x - vt) , \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{v\,x}{c^2}\Big) , \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} ,

dengan $y' = y$ , $z' = z$ ; transformasi baliknya sama dengan $v \to -v$ . Untuk $v \ll c$ , $\gamma \to 1$ dan diperoleh kembali rumusan Galileo $x' = x - vt$ , $t' = t$ . Faktor $\gamma \ge 1$ — nyaris $1$ pada laju sehari-hari, $1.15$ pada $c/2$ , $7.1$ pada $0.99c$ — mengukur setiap efek relativistik dalam bab ini.

Bukti sebagian. Kehomogenan ruang dan waktu memaksa transformasinya linear; kesetangkupan antara kedua kerangkanya dan postulat kerelatifan menyusutkannya menjadi $x' = \gamma(x - vt)$ , $x = \gamma(x' + vt')$ dengan satu fungsi tak diketahui $\gamma(v)$ . Ikutilah kilat cahaya yang dipancarkan di titik asal bersamanya: postulat (ii) menuntut $x = ct$ dan $x' = ct'$ . Dengan menyulihkannya, $ct' = \gamma t(c - v)$ dan $ct = \gamma t'(c + v)$ ; mengalikan kedua persamaan itu memberikan $c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2)$ , yang merupakan $\gamma$ seperti dinyatakan. Melenyapkan $x'$ di antara kedua hubungan linearnya memberikan rumus waktunya. (Langkah dari “cahaya menyetujuinya” ke “transformasi lengkapnya tertentu” — tanpa peregangan sisa pada arah melintangnya atau penyekalaan ulang — memakai argumen kesetangkupan yang diperinci dalam Latihan 4.11.) ∎

Proposisi 4.6 (Pemuluran waktu)

Sebuah jam yang diam dalam $\mathcal R'$ — berdetak pada $x'$ tetap — terlihat berjalan lambat dari $\mathcal R$ : antara dua detaknya yang terpisah oleh waktu diri $\Delta\tau$ (yakni waktu kerangka tempat jam itu diam), kerangka $\mathcal R$ mengukur

\Delta t = \gamma\,\Delta\tau \ge \Delta\tau .

Jam yang bergerak berjalan lambat — semuanya, baik biologis, atomik maupun subatomik, karena yang memulur adalah waktu itu sendiri, bukan mekanismenya.

Bukti. Dua detak pada $x'$ yang sama: transformasi baliknya memberikan $\Delta t = \gamma(\Delta t' + v\,\Delta x'/c^2) = \gamma\,\Delta\tau$ karena $\Delta x' = 0$ . Gambaran jam cahaya (Latihan 4.2) memberikan $\gamma$ yang sama hanya dari Pythagoras. ∎

Proposisi 4.7 (Pengerutan panjang)

Sebatang benda berpanjang diri $L_0$ (panjangnya dalam kerangka diamnya), yang bergerak searah panjangnya pada $v$ , terukur di laboratorium sebesar

L = \frac{L_0}{\gamma} \le L_0 .

Ukuran melintangnya tidak berubah. Mengukur batang yang bergerak berarti menentukan letak kedua ujungnya pada saat laboratorium yang sama — dan karena keserentakan bergantung kerangka, demikian pula panjangnya.

Bukti. Tandailah kedua ujungnya pada waktu laboratorium $t$ yang sama: transformasinya memberikan $\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t) = \gamma\,\Delta x$ dengan $\Delta t = 0$ , dan $\Delta x' = L_0$ : sehingga $\Delta x = L_0/\gamma$ . ∎

Jam cahaya: sebuah foton yang memantul di antara dua cermin. Dilihat dari kerangka tempat jamnya bergerak, fotonnya menempuh lintasan miring yang lebih panjang pada laju c yang sama: detaknya memakan waktu lebih lama, t = \,, hanya lewat Pythagoras. — Jam cahaya: sebuah foton yang memantul di antara dua cermin. Dilihat dari kerangka tempat jamnya bergerak, fotonnya menempuh lintasan miring yang lebih panjang pada laju $c$ yang sama: detaknya memakan waktu lebih lama, $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ , hanya lewat Pythagoras.

Contoh 4.8 (Muon, dijelaskan dua kali)

Muon pada $v = 0.995c$ mempunyai $\gamma = 10$ . Dalam kerangka kita, jam internalnya berjalan sepuluh kali lebih lambat: dua mikrosekon umur dirinya memulur menjadi dua puluh, dan ia menempuh enam kilometer, bukan enam ratus meter. Dalam kerangka muonnya, umurnya adalah $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ yang biasa — tetapi gunung yang melesat ke arahnya terkerut sepuluh kali lipat, dan muat di dalamnya. Kedua kerangka menyetujui satu fakta fisis yang sama, yaitu apakah muonnya mencapai detektor: kerelatifan menyusun ulang waktu dan panjang, tak pernah hasilnya (Soal 4.1).

Metode 4.9 (Menjaga agar efeknya tidak tertukar)

(1) Kenalilah peristiwanya (pemancaran, kedatangan, detak, peluruhan), bukan “bendanya”. (2) Waktu diri $\Delta\tau$ dimiliki satu jam yang hadir pada kedua peristiwanya: setiap kerangka lain mengukur lebih banyak, yaitu $\gamma\Delta\tau$ . (3) Panjang diri $L_0$ dimiliki kerangka diam batangnya: setiap kerangka lain mengukur lebih pendek, yaitu $L_0/\gamma$ . (4) Ketika “paradoks” menyerang, carilah dua peristiwa terpisah ruang yang diam-diam disebut serentak, lalu bertanyalah: dalam kerangka yang mana? (5) Periksalah limit $v/c \to 0$ , dan ingatlah $\gamma - 1 \approx \tfrac12 v^2/c^2$ pada laju kecil — itulah besarnya koreksi relativistik sehari-hari.

4.3 Menggabungkan kecepatan; Doppler

Proposisi 4.10 (Penggabungan kecepatan secara relativistik)

Jika sebuah benda bergerak dengan $u'$ sepanjang $x'$ dalam kerangka $\mathcal R'$ , yang sendirinya bergerak dengan $v$ terhadap $\mathcal R$ , maka $\mathcal R$ mengukur bukan $u' + v$ melainkan

u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2} .

Untuk laju sehari-hari penyebutnya $1$ dan Galileo kembali; untuk $u' = c$ rumusnya memberikan $u = c$ berapa pun $v$ — cahaya berlaju $c$ bagi setiap orang, sebagaimana sudah terpasang di dalamnya; dan tak ada gabungan laju di bawah $c$ yang pernah mencapai $c$ .

Bukti. $u = \dd x/\dd t$ dengan transformasi baliknya: $\dd x = \gamma(\dd x' + v\,\dd t')$ , $\dd t = \gamma(\dd t' + v\,\dd x'/c^2)$ ; lalu bagilah. ∎

Contoh 4.11 (Koefisien Fresnel yang terjelaskan)

Cahaya dalam air yang diam berlaju $c/n$ . Dalam air yang mengalir dengan $v$ , Fizeau mengukur (1851) nilai yang membingungkan $c/n + v(1 - 1/n^2)$ : bukan seretan penuh $c/n + v$ . Gabungkanlah $u' = c/n$ dengan $v$ :

u = \frac{c/n + v}{1 + v/nc} \approx \Big(\frac{c}{n} + v\Big)\Big(1 - \frac{v}{nc}\Big) \approx \frac{c}{n} + v\Big(1 - \frac{1}{n^2}\Big) ,

sampai orde pertama dalam $v/c$ . Hasil percobaan meja abad kesembilan belas, yang waktu itu tak terjelaskan, ternyata hukum penggabungan kecepatan yang dibaca pada orde pertama — salah satu pembenaran tenang yang dikutip Einstein pada 1905.

Proposisi 4.12 (Efek Doppler longitudinal)

Sumber berfrekuensi diri $f_0$ yang menjauh dengan laju $v = \beta c$ sepanjang garis pandang diterima pada

f = f_0\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \qquad \text{(mendekat: } \beta \to -\beta\text{)} .

Dua efek berpadu: pemuluran klasik waktu kedatangan karena tiap puncak gelombang berangkat dari tempat yang lebih jauh, dan perlambatan relativistik jam sumbernya — yaitu $\gamma$ yang bertahan bahkan pada $90^\circ$ (efek Doppler melintang, yakni pemuluran waktu murni).

Bukti. Dalam kerangka penerimanya, sumbernya memancarkan puncak gelombang tiap $\gamma/f_0$ (pemuluran), masing-masing berangkat $v\gamma/f_0$ lebih jauh, sehingga puncaknya tiba tiap $\gamma(1 + \beta)/f_0 = \sqrt{(1+\beta)/ (1-\beta)}\,/f_0$ . ∎

Contoh 4.13 (Menjauhnya galaksi)

Garis hidrogen yang dipancarkan pada $656.3\,\mathrm{nm}$ tiba dari galaksi jauh pada $689\,\mathrm{nm}$ : $f/f_0 = 0.953$ , sehingga $\beta \approx 0.048$ — galaksi itu menjauh dengan $14\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Diterapkan ke seluruh langit, satu rumus ini mengubah spektrum menjadi peta semesta yang mengembang; bab terakhir buku ini melanjutkan kisahnya.

4.4 Ruang-waktu dan selang invarian

Teorema 4.14 (Selang invarian)

Untuk sembarang dua peristiwa, gabungan

\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2

bernilai sama dalam setiap kerangka inersial — yakni besaran yang dipertahankan kerelatifan sementara waktu dan panjang melentur. Tandanya menggolongkan pasangan itu: mirip-waktu ( $\Delta s^2 > 0$ ): ada kerangka yang membawa kedua peristiwanya ke tempat yang sama, dan $\Delta s/c$ adalah waktu diri di antara keduanya; mirip-ruang ( $\Delta s^2 < 0$ ): ada kerangka yang membuat keduanya serentak, dan tak ada isyarat yang dapat menghubungkannya; mirip-cahaya ( $\Delta s^2 = 0$ ): hanya cahaya yang menghubungkannya.

Bukti. Penyulihan langsung transformasi Lorentz: $c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2 \big] = \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$ . Untuk penggolongannya: membawa kedua peristiwanya ke tempat yang sama menuntut kerangka berlaju $v = \Delta x/\Delta t$ , yang mungkin bila $|\Delta x| < c\,|\Delta t|$ (mirip-waktu); membuat keduanya serentak menuntut $v = c^2\Delta t/\Delta x$ , yang mungkin bila $|\Delta x| > c\,|\Delta t|$ (mirip-ruang). ∎

Catatan 4.15 (Kausalitas mempunyai geometri)

Melalui tiap peristiwa melintas kerucut cahayanya: peristiwa yang dapat dipengaruhinya (kerucut masa depan), peristiwa yang dapat memengaruhinya (kerucut masa lalu), dan “tempat lain” yang mirip-ruang, yang terputus secara kausal. Karena pasangan mirip-ruang berurutan bergantung kerangka — sebagian kerangka melihat A sebelum B, sebagian lagi B sebelum A — isyarat apa pun yang lebih cepat daripada cahaya akan membuat sebagian pengamat menyaksikan akibat mendahului sebabnya. Batas laju kerelatifan bukan soal mesin; ia adalah harga sebuah sejarah yang taat asas.

Ruang-waktu di sekitar satu peristiwa (titik di titik asal). Kerucut cahayanya memisahkan apa yang dapat dipengaruhinya (masa depan), apa yang dapat memengaruhinya (masa lalu), dan tempat lain yang mirip-ruang. Garis dunia benda bermateri tetap lebih curam daripada 45 — selalu di dalam kerucutnya. — Ruang-waktu di sekitar satu peristiwa (titik di titik asal). Kerucut cahayanya memisahkan apa yang dapat dipengaruhinya (masa depan), apa yang dapat memengaruhinya (masa lalu), dan tempat lain yang mirip-ruang. Garis dunia benda bermateri tetap lebih curam daripada $45^\circ$ — selalu di dalam kerucutnya.

Contoh 4.16 (Saudara kembar yang bepergian)

Seorang saudara kembar terbang menuju bintang sejauh $8$ tahun cahaya pada $0.8c$ ( $\gamma = 5/3$ ) lalu kembali. Waktu Bumi: $2 \times 8/0.8 = 20\,\mathrm{yr}$ . Waktu diri si pengelana: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ — ia delapan tahun lebih muda, dan tak ada paradoks: keadaan kedua saudara kembar itu tidak setangkup, karena satu garis dunia lurus (inersial sepanjang perjalanan) sedangkan yang lain mempunyai tekukan saat berbalik. Di antara dua peristiwa tetap, garis dunia yang lurus adalah garis dengan waktu diri terpanjang — dalam geometri ruang-waktu, jalan memutar berumur lebih pendek. Efeknya terukur secara rutin: jam atom yang diterbangkan mengelilingi dunia berselisih dengan saudaranya yang tinggal di rumah tepat sebanyak nanosekon yang diramalkan (Soal 4.1).

Sebuah stasiun sinar kosmik di ketinggian. Muon yang dihitungnya, yang lahir sepuluh kilometer lebih tinggi, mencapainya hanya karena jam yang bergerak berjalan lambat — pemuluran waktu, yang terukur tiap malam di puncak gunung.

4.5 Latihan

Latihan 4.1 ★

Hitunglah $\gamma$ untuk $v/c = 0.1$ , $0.5$ , $0.9$ , $0.99$ , $0.999$ . Untuk stasiun antariksa internasional ( $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), hitunglah $\gamma - 1$ dengan hampiran laju kecil, beserta waktu yang “diperoleh” (atau hilang?) awaknya tiap misi enam bulan terhadap jam di tanah, dengan mengabaikan gravitasi.

Solusi

Solusi Latihan 4.1.

$\gamma = 1.005$ , $1.155$ , $2.294$ , $7.09$ , $22.4$ . Stasiun antariksa: $\beta = 2.57 \times 10^{-5}$ , $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 3.3 \times 10^{-10}$ ; selama enam bulan ( $1.6 \times 10^{7}{}\,\mathrm{s}$ ) jam awaknya berjalan lambat sebesar $\approx5\,\mathrm{ms}$ (hanya efek kecepatannya; pada ketinggian rendah stasiun itu efek gravitasinya mengurangi tetapi tidak membalikkan hal ini).

Latihan 4.2 ★

Jam cahaya pada gambar: (a) tuliskanlah detak $\Delta\tau = 2d/c$ jam yang diam ( $d$ adalah jarak antarcerminnya); (b) dari Pythagoras dalam kerangka tempat jamnya bergerak dengan $v$ , turunkanlah $\Delta t = \gamma\Delta\tau$ ; (c) mengapa argumen itu menuntut jarak melintang $d$ sama dalam kedua kerangkanya? (d) Berikanlah argumennya (dua penggaris serupa yang saling berpapasan) bahwa panjang melintang tidak dapat berubah.

Solusi

Solusi Latihan 4.2.

(a) $\Delta\tau = 2d/c$ . (b) Pada tiap separuh detak, fotonnya menempuh sisi miringnya: $(c\Delta t/2)^2 = (v\Delta t/2)^2 + d^2$ dengan $d = c\Delta\tau/2$ ; selesaikanlah: $\Delta t = \Delta\tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . (c) Jika $d$ berubah karena geraknya, langkah Pythagorasnya akan keliru. (d) Biarkanlah dua penggaris serupa berpapasan, masing-masing membawa kuas di ujungnya yang mengarah ke penggaris satunya. Jika gerak mengerutkan panjang melintangnya, tiap kerangka akan meramalkan bahwa penggarisnya sendiri menorehkan tanda di luar ujung penggaris satunya — dua fakta yang bertentangan tentang goresan kuas yang sama pada peristiwa berpapasan yang sama. Pertentangan pada satu peristiwa tidak diperkenankan: panjang melintang tidak dapat berubah.

Latihan 4.3 ★

Sebuah muon tercipta pada ketinggian $15\,\mathrm{km}$ dengan $v = 0.999c$ . (a) Berapa $\gamma$ dan umur rata-ratanya dalam kerangka kita? (b) Berapa jarak rata-rata yang ditempuhnya? (c) Berapa tebal atmosfer dalam kerangkanya? (d) Berapa bagian muon semacam itu yang mencapai tanah, dengan dan tanpa kerelatifan (hukum peluruhan $\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ )?

Solusi

Solusi Latihan 4.3.

$\gamma = 22.4$ . (a) $\gamma\tau = 49\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $v\gamma \tau = 14.8\,\mathrm{km}$ . (c) $15/22.4 = 670\,\mathrm{m}$ . (d) Waktu terbangnya di laboratorium $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : tanpa kerelatifan $\eu^{-50/2.2} \approx 10^{-10}$ — tak satu pun; dengan kerelatifan waktu dirinya $50/22.4 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ , dengan bagian $\eu^{-1} \approx 0.37$ .

Latihan 4.4 ★

Dua peristiwa pada sumbu $x$ : A di $(t = 0, x = 0)$ , B di $(t = 2\,\text{µ}\mathrm{s}, x = 300\,\mathrm{m})$ . (a) Hitunglah $\Delta s^2$ : mirip-waktu atau mirip-ruang? (b) Dapatkah A menyebabkan B? (c) Carilah laju kerangka yang di dalamnya A dan B terjadi di tempat yang sama, beserta waktu diri di antara keduanya di sana. (d) Ketiga pertanyaan yang sama untuk B di $(1\,\text{µ}\mathrm{s}, 600\,\mathrm{m})$ — kerangka mana yang kini ada, dan yang mana yang tidak?

Solusi

Solusi Latihan 4.4.

(a) $c\Delta t = 600\,\mathrm{m}$ , $\Delta x = 300\,\mathrm{m}$ : $\Delta s^2 = (600^2 - 300^2)\,\mathrm{m}^{2} > 0$ , mirip-waktu. (b) Ya: isyarat berlaju $\Delta x/\Delta t = c/2$ sudah cukup. (c) Laju kerangka yang sama itu, $v = 0.5c$ ; waktu dirinya $\Delta s/c = \sqrt{600^2 - 300^2}/c = 520/c = 1.73\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) Kini $c\Delta t = 300 < \Delta x = 600$ : mirip-ruang; tak ada kaitan kausal yang mungkin; tak ada kerangka yang membawa keduanya ke tempat yang sama, tetapi kerangka pada $v = c^2\Delta t/\Delta x = 0.5c$ membuat keduanya serentak.

Latihan 4.5 ★★

Satelit GPS mengorbit pada $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) Hitunglah $\gamma - 1$ . (b) Berapa banyak jam satelitnya tertinggal dari jam di tanah tiap hari, hanya karena pemuluran waktu? (c) Penentuan posisi bekerja dengan menghitung waktu isyarat berlaju $c$ : galat posisi berapa yang bersesuaian dengan satu hari hanyutan relativistik khusus yang tak terkoreksi? (d) Koreksi lengkapnya (dengan gravitasi, yang diperlakukan dalam semangat bab terakhir) adalah $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ tiap hari, dengan pergeseran biru gravitasi mengalahkan pemuluran waktu: apa yang dikatakan tandanya tentang efek mana yang lebih besar pada ketinggian $20\,200\,\mathrm{km}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 4.5.

(a) $\beta = 1.29 \times 10^{-5}$ : $\gamma - 1 = 8.3 \times 10^{-11}$ . (b) $86400\,\mathrm{s} \times 8.3 \times 10^{-11} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ tiap hari. (c) $c \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 2.2\,\mathrm{km}$ — navigasinya akan mati dalam sehari. (d) Neto $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ berarti pergeseran biru gravitasinya ( $+45.7$ ) mengalahkan perlambatan kinematiknya ( $-7.2$ ): pada $20\,200\,\mathrm{km}$ , berada lebih tinggi dalam potensial Bumi mempercepat jamnya lebih daripada laju orbitnya memperlambatnya.

Latihan 4.6 ★★

(a) Sebuah kapal pada $0.8c$ meluncurkan wahana ke depan pada $0.8c$ terhadap dirinya sendiri: berapa laju wahana itu bagi kita? (b) Dua kapal saling mendekat, masing-masing pada $0.9c$ dalam kerangka kita: berapa laju nisbinya? (c) Tunjukkanlah dari hukum penggabungannya bahwa $u' < c$ dan $v < c$ mengakibatkan $u < c$ (faktorkanlah bentuk $c - u$ ). (d) Penunjuk laser yang disapukan pada muka Bulan dapat melukiskan bintik yang bergerak lebih cepat daripada $c$ : mengapa hal ini tidak melanggar hukum apa pun?

Solusi

Solusi Latihan 4.6.

(a) $1.6c/1.64 = 0.976c$ . (b) $1.8c/1.81 = 0.994c$ . (c) $c - u = \dfrac{(c - u')(c - v)}{c\,(1 + u'v/c^2)}$ : kedua faktornya positif, sehingga $u < c$ . (d) Bintiknya adalah pola yang bergerak, bukan sebuah benda: tak ada materi, energi atau informasi yang berjalan dari satu titik muka Bulan ke titik berikutnya — tiap fotonnya berangkat ke Bulan dengan $c$ .

Latihan 4.7 ★★

Dublet natrium pada $589.0\,\mathrm{nm}$ tiba dari sebuah bintang pada $575.0\,\mathrm{nm}$ . (a) Mendekat atau menjauh? Pada laju berapa? (b) Pada laju berapa cahaya tampak ( $550\,\mathrm{nm}$ ) akan tergeser ke inframerah dekat ( $1100\,\mathrm{nm}$ )? (c) Untuk $\beta \ll 1$ , tunjukkanlah $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ lalu berikanlah patokan kasarnya dalam km/s per $\text{Å}$ pada $600\,\mathrm{nm}$ . (d) Sumber yang berputar pada jarak tetap menunjukkan pergeseran walaupun tanpa gerak radial: efek apakah itu, dan berorde berapa dalam $\beta$ ?

Solusi

Solusi Latihan 4.7.

(a) Panjang gelombangnya lebih pendek: mendekat. $f/f_0 = 589/575 = 1.024$ ; $(1+\beta)/(1-\beta) = 1.049$ : $\beta = 0.024$ , sekitar $7200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (b) Nisbahnya $2$ : $(1+\beta)/(1-\beta) = 4$ , $\beta = 0.6$ . (c) Dengan menjabarkan akarnya, $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ ; pada $600\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{Å} = 0.1\,\mathrm{nm}$ memberikan $\beta = 1.7 \times 10^{-4}$ : sekitar $50\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tiap angstrom — refleks para astronom. (d) Efek Doppler melintang: pemuluran waktu murni, berorde $\beta^2$ — hanya terukur dengan ketelitian atom.

Latihan 4.8 ★★

Galah dan lumbung. Galah sepanjang $20\,\mathrm{m}$ dibawa pada $\gamma = 2$ menuju lumbung sepanjang $10\,\mathrm{m}$ yang berpintu dua. (a) Berapa panjang galahnya dalam kerangka lumbung: apakah ia muat? (b) Dalam kerangka pelarinya, lumbungnya sepanjang $5\,\mathrm{m}$ : bagaimana keduanya dapat benar? Kenalilah kedua peristiwanya (“pintu depan menutup”, “pintu belakang membuka”) lalu bandingkanlah urutan waktunya dalam kedua kerangka. (c) Hitunglah waktu antara kedua peristiwa itu dalam tiap kerangka bagi penutupan yang serentak di lumbungnya. (d) Nyatakanlah pelajarannya dalam satu kalimat (anggapan diam apa yang dibuat oleh “paradoks” itu?).

Solusi

Solusi Latihan 4.8.

(a) $20/2 = 10\,\mathrm{m}$ : ia muat, tepat pas, dan kedua pintunya dapat ditutup serentak (kerangka lumbung). (b) Dalam kerangka pelarinya, peristiwa “pintu depan menutup” dan “pintu belakang membuka” tidak serentak: pintu keluarnya membuka sebelum pintu masuknya menutup, dan galah $20\,\mathrm{m}$ itu menyusup melalui lumbung $5\,\mathrm{m}$ tanpa pernah terkurung. (c) Kerangka lumbung: $\Delta t = 0$ pada $\Delta x = 10\,\mathrm{m}$ . Kerangka pelari: $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 2 \times 0.866c \times 10/c^2 = 58\,\mathrm{ns}$ . (d) “Galahnya terkurung” diam-diam menegaskan bahwa dua peristiwa terpisah (kedua pintu tertutup) serentak — pernyataan yang bergantung kerangka, bukan sebuah fakta.

Latihan 4.9 ★★

Sebuah roket berpanjang diri $100\,\mathrm{m}$ melewati stasiun antariksa pada $0.6c$ . (a) Berapa lama waktu pada jam stasiun antara lewatnya hidung roket dan lewatnya ekornya? (b) Pertanyaan yang sama bagi jam di roket yang menyaksikan stasiun (berpanjang diri $300\,\mathrm{m}$ ) lewat. (c) Stasiunnya menembakkan dua penjepit tambat secara serentak (dalam kerangkanya), yang terpisah $80\,\mathrm{m}$ : berapa waktu antara kedua tembakannya bagi roketnya, dan yang mana yang menembak lebih dahulu? (d) Periksalah bahwa $\Delta s^2$ bersesuaian antara kedua kerangka untuk pasangan peristiwa penjepit itu.

Solusi

Solusi Latihan 4.9.

$\gamma = 1.25$ pada $0.6c$ . (a) Panjang bergeraknya $100/1.25 = 80\,\mathrm{m}$ pada $1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $444\,\mathrm{ns}$ . (b) $240/1.8 \times 10^{8} = 1.33\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 200\,\mathrm{ns}$ ; dari $t' = \gamma(t - vx/c^2)$ , penjepit pada $x$ yang lebih besar — yakni yang di depan — menembak lebih dahulu bagi roketnya. (d) Stasiun: $\Delta s^2 = 0 - 80^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ . Roket: $\Delta x' = \gamma\,\Delta x = 100\,\mathrm{m}$ , $c\Delta t' = 60\,\mathrm{m}$ : $60^2 - 100^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ — invarian.

Latihan 4.10 ★★★

Saudara kembar, selengkapnya. Stella terbang pada $0.8c$ menuju bintang sejauh $8\,\mathrm{ly}$ (kerangka Bumi) lalu kembali pada $0.8c$ ; Terra tinggal. (a) Hitunglah waktu yang berlalu bagi tiap saudara kembar. (b) Dalam kerangka keberangkatan Stella, seberapa jauh bintangnya, dan berapa lama kaki keberangkatannya baginya? (c) Tepat sebelum dan tepat sesudah pembalikannya, berapa yang dihitung Stella untuk “waktu di Bumi sekarang” (pakailah suku $vx/c^2$ )? Tunjukkanlah bahwa pembukuannya melompat bertahun-tahun pada tekukan itu — dan bahwa lompatan itulah yang persis mendamaikan totalnya. (d) Jelaskanlah mengapa tak ada argumen setangkup yang dapat dijalankan dari sisi Stella.

Solusi

Solusi Latihan 4.10.

(a) Terra: $20\,\mathrm{yr}$ ; Stella: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ . (b) Jaraknya terkerut menjadi $8/\gamma = 4.8\,\mathrm{ly}$ , yang ditempuh dalam $4.8/0.8 = 6\,\mathrm{yr}$ waktunya — selaras dengan $12\,\mathrm{yr}$ untuk perjalanan pulang pergi. (c) Keserentakan dengan peristiwa pembalikan $(t = 10\,\mathrm{yr},\ x = 8\,\mathrm{ly})$ : kerangka keberangkatannya memberi jam Bumi $t - vx/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\,\mathrm{yr}$ ; kerangka kepulangannya, $10 + 6.4 = 16.4\,\mathrm{yr}$ . “Sekarang di Bumi” menurutnya melompat sebesar $12.8\,\mathrm{yr}$ pada tekukan itu; pembukuannya $3.6 + 12.8 + 3.6 = 20\,\mathrm{yr}$ cocok persis dengan Terra. (d) Stella menempati dua kerangka inersial yang disambung oleh percepatan yang dapat dirasakannya; Terra menempati satu. Garis dunia lurus antara peristiwa keberangkatan dan pertemuan kembali membawa waktu diri terpanjang; hanya garis Stella yang tertekuk.

Latihan 4.11 ★★★

Menurunkan Lorentz secara jujur. (a) Kemukakanlah dari kehomogenan bahwa transformasinya haruslah linear. (b) Dengan menganggap $x' = \gamma(x - vt)$ dan, menurut asas kerelatifan, $x = \gamma(x' + vt')$ , turunkanlah $t'$ dalam $t$ dan $x$ tanpa memakai cahaya. (c) Tunjukkanlah bahwa menuntut $x = ct \Rightarrow x' = ct'$ menetapkan $\gamma$ pada nilai yang dinyatakan. (d) Di manakah tepatnya argumen itu memakai masing-masing postulatnya?

Solusi

Solusi Latihan 4.11.

(a) Jika pemetaannya taklinear, gerak seragam tidak akan tampak seragam dalam kerangka yang lain, sehingga titik-titik ruang dan waktu yang homogen menjadi terbedakan. (b) Dengan menyulihkan satu hubungan ke hubungan yang lain: $t' = \gamma t + (1 - \gamma^2)x/\gamma v$ . (c) Dengan mengambil $x = ct$ , $x' = ct'$ : $\gamma(c - v)t = c\gamma t + c(1 - \gamma^2)ct/\gamma v$ , yang terselesaikan menjadi $\gamma^2 = 1/(1 - v^2/c^2)$ . (d) Asas kerelatifan memberikan $\gamma$ yang sama untuk kedua arahnya (tak ada kerangka istimewa); postulat cahayanya mengubah fungsi bebas yang tersisa menjadi $\gamma(v)$ yang tertentu.

Latihan 4.12 ★★★

Rapiditas. Definisikanlah $\varphi$ lewat $\tanh\varphi = \beta$ . (a) Tunjukkanlah bahwa transformasi Lorentz berbunyi $ct' = ct\cosh\varphi - x\sinh\varphi$ , $x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi$ : sebuah “rotasi” oleh sudut khayal, yang mempertahankan $c^2t^2 - x^2$ sebagaimana rotasi mempertahankan $x^2 + y^2$ . (b) Tunjukkanlah bahwa menggabungkan kecepatan berarti menjumlahkan rapiditas: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$ , lalu perolehlah kembali hukum penggabungannya dari $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)$ . (c) Sebuah roket dipercepat sebesar $g$ dalam kerangkanya sendiri: dengan menerima bahwa rapiditasnya tumbuh sebagai $\dd\varphi = g\, \dd\tau/c$ , carilah $\beta(\tau)$ dan berapa waktu diri yang diperlukannya untuk mencapai $0.99c$ . (d) Mengapa rapiditas dapat tumbuh selamanya sedangkan $\beta$ tidak?

Solusi

Solusi Latihan 4.12.

(a) Dengan $\cosh\varphi = \gamma$ , $\sinh\varphi = \gamma\beta$ , transformasinya persis rotasi hiperbolik yang dinyatakan itu, dan $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ mempertahankan $c^2t^2 - x^2$ . (b) $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = (\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2)/(1 + \tanh\varphi_1\tanh\varphi_2)$ : tepat hukum penggabungannya — kecepatan tidak dijumlahkan, rapiditas dijumlahkan. (c) $\varphi = g\tau/c$ , sehingga $\beta = \tanh(g\tau/c)$ ; $\operatorname{artanh}(0.99) = 2.65$ memberikan $\tau = 2.65c/g \approx 8.1 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.6$ tahun waktu kapalnya. (d) $\varphi$ menjangkau seluruh bilangan real sedangkan $\tanh\varphi$ jenuh pada $1$ : kita dapat dipercepat selamanya, dengan rapiditas bertambah secara linear, sementara lajunya hanya merayap menuju $c$ .

Albert Einstein (foto oleh Orren Jack Turner, 1947, domain publik). Makalah kerelatifan 1905 membangun ulang kinematika dari dua postulat — bab ini, yang pada dasarnya tak berubah, adalah makalah itu beserta latihannya.

4.6 Soal: Percobaan di langit

Soal 4.1

Soal akhir pekan — muon, jam di gunung dan bukti bahwa waktu memulur

Uji awal pemuluran waktu yang paling bersih tidak memakai perkakas laboratorium apa pun: alam memasok jam relativistik dalam jumlah ribuan, yang turun bagai hujan pada tiap gunung. Soal ini menyusun kembali percobaan Frisch–Smith (1963), lalu membawa fisika yang sama turun ke pesawat penumpang dan satelit navigasi. Data: umur diri rata-rata muon $\tau = 2.20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; peluruhannya eksponensial, dengan bagian $\eu^{-t/\tau}$ muon bertahan sepanjang waktu diri $t$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Gunung Washington: beda ketinggian $h = 1907\,\mathrm{m}$ antara kedua detektornya.

Bagian I — Jam yang turun dari langit.

Proton kosmik menghantam inti tinggi di atmosfer dan serpihannya meluruh menjadi muon sekitar $15\,\mathrm{km}$ di atas. Mengapa sekumpulan partikel takmantap yang serupa merupakan sebuah jam?
Hitunglah $c\tau$ , yakni jangkauan alami umur rata-rata sebuah muon.
Tanpa kerelatifan, berapa bagian muon yang lahir pada $15\,\mathrm{km}$ dan bergerak dengan laju yang praktis $c$ akan mencapai tanah? (Berikanlah eksponennya; bilangannya sendiri mustahil.)
Detektor di permukaan laut menghitung muon secara berlimpah: nyatakanlah pertentangannya dalam satu kalimat.
Fluks di permukaan laut sekitar satu muon per sentimeter persegi per menit: perkirakanlah berapa muon melintasi telapak tangan Anda yang terbuka tiap sekon, dan melintasi tubuh Anda di antara dua denyut jantung.
Percobaannya memilih muon berlaju $0.995c$ : hitunglah $\gamma$ -nya.
Frisch dan Smith menghitung $563 \pm 10$ muon per jam di puncak gunung. Mengapa mengukurnya pada dua ketinggian dari pancuran yang sama alih-alih memercayai kisah penciptaan pada $15\,\mathrm{km}$ ?

Bagian II — Pengukuran di gunung.

Berapa lama perjalanan $1907\,\mathrm{m}$ pada $0.995c$ dalam kerangka gunungnya?
Tanpa pemuluran waktu, berapa bagian yang bertahan pada perjalanan itu, dan berapa banyak per jam yang seharusnya mencapai detektor bawahnya?
Dengan pemuluran waktu, berapa waktu diri yang berlalu bagi muonnya selama perjalanan itu?
Ramalkanlah bagian yang bertahan dan cacahnya per jam dengan kerelatifan.
Cacah bawah yang terukur adalah $408 \pm 9$ per jam. Bandingkanlah kedua ramalan itu dengan datanya, lalu nyatakanlah teori mana yang selamat dari perjumpaannya dengan gunung itu.
Dari nisbah terukur $408/563$ , tariklah faktor pemuluran percobaan lalu bandingkanlah dengan $\gamma = 10$ . (Muonnya sedikit melambat dalam perisai yang mirip batuan, sehingga $\gamma$ efektifnya sedikit di bawah nilai di puncak gunung — Frisch dan Smith memperoleh $8.8 \pm 0.8$ .)

Bagian III — Kisah muon itu sendiri.

Dalam kerangka muonnya, berapa tinggi Gunung Washington?
Berapa lama gunungnya melintas, dan berapa bagian muon yang meluruh dalam waktu itu? Periksalah bahwa hasilnya cocok dengan ramalan Bagian II.
Kedua kerangka berselisih tentang apa yang memulur (waktu kita? gunungnya?) namun sepakat tentang cacahnya: besaran semacam apakah cacah itu, dan mengapa semua kerangka harus menyetujuinya?
Hitunglah selang $\Delta s^2$ antara penciptaan di puncak dan kedatangan di dasarnya, dalam kerangka gunungnya, lalu periksalah bahwa $\Delta s/c$ sama dengan waktu diri muon pada Bagian II.
Seorang peragu membantah: “mungkin ketinggian, bukan laju, yang mengubah laju peluruhan.” Kendali apa yang diberikan kebergantungan pada $\gamma$ yang terukur (muon yang lebih lambat memulur lebih sedikit)?
Cincin penyimpan modern menahan muon pada $\gamma = 29.3$ dan mengukur umurnya sampai $10^{-3}$ : apa yang mereka peroleh, dan apa yang ditambahkan orbit lingkaran pada ujinya (saudara kembar yang mana muon itu)?

Bagian IV — Turun ke Bumi: pesawat dan satelit.

Sebuah pesawat penumpang menjelajah pada $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ selama penerbangan keliling dunia $40\,\mathrm{h}$ . Dengan memakai $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ , hitunglah ketertinggalan relativistik khusus jamnya, dalam nanosekon.
Jam sesium memilah nanosekon dengan mudah; penerbangan 1971 membenarkan ramalannya (setelah dorongan berlawanan dari gravitasi, yang lebih besar di ketinggian, disertakan). Mengapa kedua efek itu harus dipisahkan dengan terbang ke arah timur dan ke arah barat?
Sebuah satelit GPS ( $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) mengumpulkan ketertinggalan jam relativistik khusus sebesar berapa tiap hari, dalam mikrosekon?
Tanpa koreksi, berapa kilometer galat penjarakan yang ditimbulkan satu pekan hanyutan itu saja?
Koreksi GPS lengkapnya, $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ tiap hari dengan gravitasi disertakan, sudah dirancang ke dalam jam satelitnya sebelum peluncuran: apa yang akan diamati seorang navigator dalam hitungan jam seandainya koreksi itu tidak ada?
Ringkaslah hasil bernama itu: sebuah gunung, dua pencacah dan jam $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ mengukur pemuluran waktu pada $\gamma \approx 9$ dalam selisih $10\%$ pada 1963 — dan fisika yang sama dikoreksi, tiap sekon, dalam tiap telepon yang tahu di mana dirinya berada.

Solusi

Solusi Soal 4.1.

1. Semua muon benar-benar serupa dan meluruh dengan laju statistik yang tetap: bagian populasi yang bertahan mengukur waktu diri yang berlalu sepasti jarum jam. 2. $c\tau = 3.00 \times 10^{8}\, \times 2.2 \times 10^{-6}\, = 660\,\mathrm{m}$ . 3. $t = 15\,\mathrm{km}/c = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : bagiannya $\eu^{-50/2.2} = \eu^{-22.7} \approx 1.4 \times 10^{-10}$ . 4. Partikel yang “tidak dapat” menempuh lebih dari satu kilometer justru melintasi lima belas kilometer dan tiba dalam jumlah besar. 5. Telapak tangan $\sim100\,\mathrm{cm}^{2}$ : beberapa muon tiap sekon; tubuh dengan penampang mendatar $\sim10^{3}\,\mathrm{cm}^{2}$ : berorde lima belas di antara dua denyut jantung — kerelatifan turun bagai hujan pada setiap orang, selalu. 6. $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$ . 7. Membandingkan dua cacah dari populasi terpilih yang sama pada beda ketinggian yang diketahui menyingkirkan setiap anggapan tentang di mana dan berapa banyak muon dilahirkan. 8. $t = 1907/(0.995 \times 3 \times 10^{8}) = 6.39\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 9. $\eu^{-6.39/2.2} = 0.055$ : sekitar $31$ tiap jam. 10. $t/\gamma = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 11. $\eu^{-0.64/2.2} = 0.75$ : sekitar $420$ tiap jam. 12. Yang terukur $408 \pm 9$ : nilai kerelatifan $\approx 420$ sesuai, mengingat muonnya sedikit melambat dalam penyerap detektornya; nilai fisika klasik $31$ meleset sebesar faktor tiga belas. Gunungnya yang memutuskan. 13. $408/563 = 0.725 = \eu^{-t_{\text{diri}}/\tau}$ : $t_{\text{diri}} = 0.71\,\text{µ}\mathrm{s}$ , sehingga $\gamma_{\exp} = 6.39/0.71 = 9.0$ — tepat di dalam $8.8 \pm 0.8$ milik Frisch dan Smith. 14. $1907/10 = 191\,\mathrm{m}$ . 15. $191/(0.995c) = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ : peluruhan $25\%$ yang sama — yakni kisah muon tentang cacah yang sama. 16. Cacah detak adalah himpunan peristiwa berimpit setempat; peristiwa beserta cacahnya bersifat invarian terhadap kerangka — kerangka boleh berselisih tentang waktu dan panjang, tak pernah tentang apa yang terbaca pada sebuah pencacah. 17. $\Delta s^2 = (c \times 6.39\,\text{µ}\mathrm{s})^2 - (1907\,\mathrm{m})^2 = (1917^2 - 1907^2)\,\mathrm{m}^{2} = (196\,\mathrm{m})^2$ : $\Delta s/c = 0.65\,\text{µ}\mathrm{s}$ — yakni waktu dirinya, yang dihitung tanpa pernah meninggalkan kerangka gunungnya. 18. Laju peluruhannya akan bergantung pada ketinggian untuk setiap laju secara sama; kenyataannya kebertahanannya mengikuti $\gamma$ — pilihan yang lebih lambat memulur lebih sedikit, tepat seperti yang ditetapkan $\gamma(v)$ . 19. Umur sebesar $\gamma\tau$ sampai satu per seribu (cincin penyimpan muon di CERN); cincinnya menjadikan muon seorang pengelana yang terus-menerus dipercepat — “saudara kembar yang bepergian” tetap muda bahkan ketika perjalanannya adalah pembalikan tanpa akhir. 20. $\beta = 8.3 \times 10^{-7}$ : $\Delta t = \tfrac12\beta^2 \times 144\,000\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{ns}$ . 21. Laju pesawatnya menambah atau mengurangi laju Bumi yang berputar, sedangkan efek ketinggian (gravitasi) sama untuk kedua arah: penerbangan ke timur dan ke barat memisahkan kedua sumbangan itu secara bersih (hasil 1971 cocok dengan keduanya). 22. Dari Latihan 4.5: $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ tiap hari. 23. $7 \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} \times c \approx 15\,\mathrm{km}.$ 24. Posisinya akan menghanyut ratusan meter dalam hitungan jam, dan kilometer dalam sehari — navigasinya akan rusak secara kasat mata pada pagi pertama. 25. Pada 1963 sebuah gunung, dua pencacah dan jam $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ mengukur $\gamma_{\exp} = 9.0$ terhadap ramalan $10$ (dengan perlambatannya, $8.8 \pm 0.8$ ): pemuluran waktu terbenarkan dalam selisih $10\%$ — dan fisika yang sama dikoreksi diam-diam, tiap sekon, dalam tiap satelit navigasi di atas kepala Anda.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Peristiwa dan keserentakan

Lihat semua 431 istilah di glosarium