Biologia universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

22Genética de populações e seleção natural

Em 1848, uma mariposa-salpicada preta foi capturada perto de Manchester; em 1895, dezenove mariposas em cada vinte na cidade eram pretas e, em 1970, à medida que a fuligem desaparecia, a forma clara estava de volta. As mariposas não mudaram: mudaram as proporções de dois alelos numa população de milhões, sob os olhos das aves, em algumas dezenas de gerações. Darwin tinha visto que a seleção deve mudar as espécies, mas não tinha como contá-la; a contagem é a genética de populações, e ela é a aritmética deste capítulo. Ela pergunta como as frequências alélicas se comportam quando nada age sobre elas e, depois, com que rapidez a seleção, a mutação, a migração, o acaso e a endogamia as deslocam — e termina com os caracteres que não são um gene, mas muitos, o que constitui a maior parte do que a seleção de fato enxerga.

22.1 O pool gênico em repouso

Definição 22.1 (População, pool gênico, frequências)

Uma população é um grupo de indivíduos de uma espécie que se cruzam entre si; seu pool gênico é o conjunto de todos os seus alelos. Para um lócus com dois alelos $A$ e $a$ numa população diploide de $N$ indivíduos, as frequências alélicas são $p = (2N_{AA} + N_{Aa})/2N$ e $q = 1 - p$ , e as frequências genotípicas são as frações de $AA$ , $Aa$ e $aa$ . A evolução, no sentido mais estrito, é uma mudança das frequências alélicas entre gerações; a questão deste capítulo é o que as muda e em que medida.

Teorema 22.2 (Hardy–Weinberg)

Numa população grande com cruzamentos ao acaso, sem seleção, mutação ou migração, as frequências alélicas não mudam de uma geração para a seguinte e, após uma única geração de cruzamentos ao acaso, as frequências genotípicas são

AA : p^{2}, \qquad Aa : 2pq, \qquad aa : q^{2},

e assim permanecem. A dominância não faz um alelo dominante se espalhar, e um alelo recessivo raro não se perde: ele se esconde nos heterozigotos, que superam os homozigotos na razão de $2p/q$ para um — para $q = 0.01$ , duzentos para um. A lei é a hipótese nula da genética de populações: um desvio dela numa população real, ou uma mudança de $p$ entre gerações, é a assinatura de uma das forças descritas a seguir.

Demonstração. O cruzamento ao acaso é a união ao acaso dos gametas: um gameta carrega $A$ com probabilidade $p$ e $a$ com probabilidade $q$ , independentemente de seu parceiro, de modo que o zigoto é $AA$ com probabilidade $p^{2}$ , $Aa$ com $2pq$ , $aa$ com $q^{2}$ . A frequência alélica na geração seguinte é $p' = p^{2} + \tfrac12(2pq) = p(p + q) = p$ : inalterada. Como as frequências genotípicas dependem apenas de $p$ , elas são as mesmas em todas as gerações após a primeira. ∎

Exemplo 22.3 (Ler uma frequência)

A fibrose cística, recessiva, afeta uma criança europeia em 2500: $q^{2} = 1/2500$ , $q = 0.02$ , e a frequência de portadores é $2pq \approx 0.04$ — uma pessoa em 25 carrega um alelo que mata seus homozigotos, e $98\,\%$ das cópias do alelo estão em portadores saudáveis, onde a seleção não consegue enxergá-las. É por isso que um recessivo letal é eliminado tão lentamente, e por isso que os projetos eugênicos de eliminar doenças recessivas esterilizando os afetados nunca poderiam ter funcionado: a aritmética da próxima seção mostra quão lentamente.

22.2 Seleção

Definição 22.4 (Aptidão)

A aptidão $w$ de um genótipo é sua contribuição relativa em descendentes para a geração seguinte — a sobrevivência até a reprodução vezes a fecundidade, em escala tal que o melhor genótipo tenha $w = 1$ . O coeficiente de seleção $s$ de um genótipo é seu déficit, $w = 1 - s$ . A aptidão é uma propriedade de um genótipo num ambiente, e não de um alelo em si: o alelo da mariposa melânica tinha $w > 1$ em relação ao claro sobre a casca coberta de fuligem e $w < 1$ sobre os liquens.

Teorema 22.5 (A seleção muda a frequência alélica)

Com as aptidões genotípicas $w_{AA}$ , $w_{Aa}$ , $w_{aa}$ , a aptidão média é $\bar w = p^{2}w_{AA} + 2pq\,w_{Aa} + q^{2}w_{aa}$ e a frequência alélica na geração seguinte é

p' = \frac{p^{2}w_{AA} + pq\,w_{Aa}}{\bar w}, \qquad \Delta p = p' - p = \frac{pq\,\bigl[p(w_{AA} - w_{Aa}) + q(w_{Aa} - w_{aa})\bigr]}{\bar w}.

Duas consequências. Primeiro, $\Delta p$ é proporcional a $pq$ : a seleção é mais rápida em frequências intermediárias e mais lenta quando um alelo é raro ou está quase fixado — há pouca variação sobre a qual agir. Segundo, contra um alelo recessivo ( $w_{AA} = w_{Aa} = 1$ , $w_{aa} = 1 - s$ ) a mudança é $\Delta q = -s\,pq^{2}/\bar w$ , proporcional a $q^{2}$ : um recessivo raro é quase invisível para a seleção, e reduzir sua frequência à metade a partir de $0.01$ leva cerca de cem gerações, mesmo quando seus homozigotos são letais. Um alelo dominante favorável se espalha depressa no início e depois estaciona no fim, pela mesma razão.

Demonstração. Dos descendentes, uma fração $p^{2}w_{AA}/\bar w$ é $AA$ e $2pq\,w_{Aa}/\bar w$ é $Aa$ (a frequência de cada genótipo ponderada por sua aptidão e renormalizada); os alelos $A$ entre eles são todos os do primeiro e metade dos do segundo, o que dá $p'$ . Subtraindo $p = p\bar w/\bar w$ e expandindo $\bar w$ , obtém-se $\Delta p$ . Para um recessivo letal ( $s = 1$ ): $q' = q^{2}\cdot 0 + pq$ sobre $\bar w = 1 - q^{2}$ , de modo que $q' = q/(1 + q)$ , logo $1/q' = 1/q + 1$ e, após $t$ gerações, $1/q_t = 1/q_0 + t$ : passar de $q_0 = 0.01$ a $0.005$ leva $t = 100$ . ∎

A seleção em ação com uma vantagem de 10\,\%. Um alelo dominante favorecido sobe de 1\,\% até a maioria em setenta gerações e depois desacelera, pois seu raro rival recessivo se esconde nos heterozigotos; um alelo recessivo favorecido a 1\,\% quase não se move no mesmo tempo, já que quase nunca fica exposto. — A seleção em ação com uma vantagem de $10\,\%$ . Um alelo dominante favorecido sobe de $1\,\%$ até a maioria em setenta gerações e depois desacelera, pois seu raro rival recessivo se esconde nos heterozigotos; um alelo recessivo favorecido a $1\,\%$ quase não se move no mesmo tempo, já que quase nunca fica exposto.

Proposição 22.6 (Tipos de seleção)

A seleção direcional favorece um extremo e leva um alelo à fixação (a mariposa melânica num bosque coberto de fuligem; a resistência aos antibióticos; o tamanho do bico de um tentilhão numa seca). A seleção estabilizadora favorece o meio e elimina os extremos (o peso ao nascer humano: os bebês que morrem são os menores e os maiores); ela mantém uma população onde está e é o tipo mais comum. A seleção disruptiva favorece os dois extremos contra o meio e pode dividir uma população (Capítulo 23). A seleção balanceadora mantém dois alelos na população indefinidamente: pela vantagem do heterozigoto, quando $Aa$ tem aptidão maior que qualquer dos homozigotos — com $w_{AA} = 1 - s$ , $w_{aa} = 1 - t$ , $w_{Aa} = 1$ , a frequência se estabiliza em $\hat p = t/(s + t)$ — ou pela seleção dependente da frequência, quando um genótipo tem aptidão maior quanto mais raro é (os alelos $S$ raros do Capítulo 6, as presas que um predador ainda não aprendeu a reconhecer, os dois lados da boca de um peixe comedor de escamas).

Evidências. A hemoglobina falciforme mata a maioria dos homozigotos antes que se reproduzam, e no entanto o alelo está entre $10\,\%$ e $20\,\%$ em toda a África malárica. Allison (1954) mostrou que as crianças heterozigotas tinham infecções maláricas muito menos numerosas e mais brandas que qualquer dos homozigotos, e a frequência do alelo acompanha a distribuição histórica da malária por falciparum; nas populações de ascendência africana que vivem onde não há malária, a frequência vem caindo desde então. Com $t \approx 0.8$ para o homozigoto falciforme e $s \approx 0.1$ para o homozigoto normal numa região malárica, $\hat q = s/(s + t) \approx 0.11$ — o que se observa. ∎

22.3 Mutação, migração e o equilíbrio

Teorema 22.7 (Equilíbrio mutação–seleção)

Um alelo deletério é alimentado pela mutação à taxa $\mu$ por gameta por geração e removido pela seleção. No equilíbrio, as duas se compensam: para um alelo recessivo com desvantagem homozigota $s$ ,

\hat q = \sqrt{\mu/s}\,;

para um alelo dominante (ou parcialmente dominante) com desvantagem heterozigota $hs$ , $\hat q = \mu/hs$ . A frequência de equilíbrio de um recessivo é, portanto, grande mesmo para um letal: com $\mu = 10^{-5}$ e $s = 1$ , $\hat q = 3\times 10^{-3}$ , e $0.6\,\%$ da população o carrega. Toda população carrega essa carga genética em milhares de lócus, a maior parte recessiva e oculta, e o equilíbrio do argumento da catraca do Capítulo 7 — uma fração $e^{-U/s}$ de indivíduos livres de mutações deletérias — é o mesmo equilíbrio somado sobre o genoma.

Demonstração. A cada geração, a mutação acrescenta $\mu p \approx \mu$ a $q$ e a seleção remove $s\,pq^{2}/\bar w \approx sq^{2}$ (para $q$ pequeno); fazer $\mu = s\hat q^{2}$ dá o resultado recessivo. Para um alelo dominante, a seleção remove $hs\,q$ por geração (cada cópia fica exposta num heterozigoto), e $\mu = hs\hat q$ . ∎

Proposição 22.8 (Migração e a regra de um migrante)

Se uma fração $m$ de uma população é, a cada geração, formada por imigrantes de uma população com frequência alélica $p_{m}$ , a frequência se desloca em direção a $p_{m}$ em $\Delta p = m(p_{m} - p)$ : a diferença entre as duas populações decai como $(1 - m)^{t}$ . O fluxo gênico homogeneíza; ele desfaz a adaptação local, a menos que a seleção seja mais forte que $m$ , e é a força que mantém uma espécie como uma só espécie. Inversamente, populações que não trocam migrantes divergem por deriva e por suas mutações próprias, e um único migrante por geração — qualquer que seja o tamanho da população — basta para impedir que elas fixem alelos diferentes por deriva.

22.4 O acaso: a deriva genética

Teorema 22.9 (Deriva genética)

Numa população de $N$ indivíduos diploides, a frequência alélica de cada geração é uma amostra aleatória de $2N$ gametas da anterior, de modo que $p$ vagueia ao acaso com uma variância de $p(1 - p)/2N$ por geração. A heterozigosidade $H = 2pq$ decai em média por um fator $(1 - 1/2N)$ a cada geração,

H_t = H_0\left(1 - \frac{1}{2N}\right)^{t} \approx H_0\,e^{-t/2N},

e todo alelo acaba perdido ou fixado, com probabilidade igual à sua frequência atual: uma nova mutação neutra, com frequência $1/2N$ , é fixada com probabilidade $1/2N$ e, se o for, leva cerca de $4N$ gerações para isso. A deriva é desprezível numa população de milhões e dominante numa de dezenas: um gargalo ou um evento fundador — alguns colonos numa ilha, uma espécie reduzida a uma centena pela caça — perde alelos por acaso em uma geração e deixa uma população uniforme, empobrecida e cheia de homozigotos. O $N$ que importa é o tamanho efetivo, o número de indivíduos que de fato se reproduzem, geralmente muito menor que o do recenseamento.

Demonstração. As $2N$ cópias gênicas da geração seguinte são sorteadas com reposição de um conjunto em que $A$ tem frequência $p$ : o número de cópias de $A$ é binomial, com média $2Np$ e variância $2Np(1 - p)$ , de modo que $p'$ tem média $p$ e variância $p(1 - p)/2N$ . Duas cópias sorteadas ao acaso na geração seguinte provêm da mesma cópia parental com probabilidade $1/2N$ e são então idênticas, de modo que a chance de duas cópias diferirem (a heterozigosidade) é multiplicada por $1 - 1/2N$ a cada geração. Probabilidade de fixação: a frequência de um alelo neutro é uma martingale — seu valor esperado nunca muda — e termina em 0 ou 1, de modo que a probabilidade de terminar em 1 é igual a seu valor inicial. ∎

Deriva. Duas populações de dez indivíduos que partem de p = 0.5 fixam alelos opostos em vinte e cinco gerações; duas de mil vagueiam alguns por cento em sessenta. — Deriva. Duas populações de dez indivíduos que partem de $p = 0.5$ fixam alelos opostos em vinte e cinco gerações; duas de mil vagueiam alguns por cento em sessenta.

Proposição 22.10 (Endogamia)

O cruzamento entre parentes não muda as frequências alélicas, mas aumenta a proporção de homozigotos: o coeficiente de endogamia $F$ de um indivíduo é a probabilidade de que seus dois alelos num lócus sejam idênticos por descendência, e as frequências genotípicas passam a ser $p^{2} + Fpq$ , $2pq(1 - F)$ , $q^{2} + Fpq$ . Para os filhos de primos em primeiro grau, $F = 1/16$ ; de irmãos, $1/4$ ; de autofecundação, $1/2$ . Como os alelos recessivos da carga genética ficam expostos nos homozigotos adicionais, os descendentes endogâmicos sofrem depressão por endogamia: um recessivo letal a $q = 0.01$ aparece em $q^{2} = 10^{-4}$ dos descendentes de cruzamentos ao acaso, mas em $q^{2} + Fpq = 7\times 10^{-4}$ dos filhos de primos, sete vezes mais; somados sobre milhares de lócus, os filhos de primos têm cerca do dobro da mortalidade infantil dos demais, e uma população pequena que se cruza entre parentes por gerações perde fertilidade e vigor — a situação do guepardo, da pantera-da-flórida e das casas reais da Europa.

22.5 Muitos genes: caracteres quantitativos

Teorema 22.11 (Herdabilidade e resposta à seleção)

Um caráter como a altura, o rendimento ou a profundidade do bico é determinado por muitos genes de pequeno efeito e pelo ambiente, e varia de modo contínuo. Sua variância numa população se divide numa parte genética $V_G$ e numa parte ambiental $V_E$ , e a herdabilidade $h^{2} = V_A/V_P$ é a fração da variância fenotípica devida aos efeitos aditivos dos genes (a parte que é transmitida). Se os pais da geração seguinte são selecionados com uma média que excede a da população em $S$ (o diferencial de seleção), seus descendentes a excedem em

R = h^{2}\,S

— a equação do melhorista. Ela resume todo o melhoramento animal e vegetal numa linha: uma herdabilidade de $0.5$ e pais um desvio-padrão acima da média dão descendentes meio desvio-padrão acima dela, e o ganho se acumula geração após geração. A herdabilidade é uma propriedade de uma população num ambiente, e não de um caráter: ela não diz nada sobre se um traço é fixo, e um traço com $h^{2} = 0.8$ numa população pode ter $h^{2} = 0$ em outra, na qual todos os indivíduos têm o mesmo genótipo.

Demonstração. O fenótipo esperado dos descendentes regride sobre o dos pais médios com inclinação $h^{2}$ (a covariância genética aditiva entre parentes dividida pela variância fenotípica), de modo que um desvio parental $S$ dá um desvio dos descendentes $h^{2}S$ . Na prática, $h^{2}$ é medido a partir dessa regressão, ou da semelhança entre gêmeos e irmãos, ou da própria resposta. ∎

Evidências. O experimento do milho de Illinois, iniciado em 1896, selecionou todos os anos as espigas com o maior e o menor teor de óleo: após cem gerações, a linhagem alta tinha subido de $5\,\%$ para $20\,\%$ de óleo e a baixa caído para menos de $1\,\%$ , ambas ainda respondendo — a variação de muitos genes não se esgota em um século de seleção. Nas Galápagos, os Grant mediram todos os tentilhões de uma ilha durante a seca de 1977: os sobreviventes tinham bicos $4\,\%$ mais profundos que os mortos, o caráter tinha $h^{2} \approx 0.7$ , e os filhotes do ano seguinte tinham bicos $3\,\%$ mais profundos que os da geração anterior — a seleção observada, medida e com sua resposta prevista pela equação acima. ∎

A equação do melhorista numa população de tentilhões. A seca deixou sobreviventes com um bico médio S = 0.5\, mm mais profundo; com h2 = 0.7, seus descendentes foram R = 0.35\, mm mais profundos que a geração anterior. — A equação do melhorista numa população de tentilhões. A seca deixou sobreviventes com um bico médio $S = 0.5\,\mathrm{mm}$ mais profundo; com $h^{2} = 0.7$ , seus descendentes foram $R = 0.35\,\mathrm{mm}$ mais profundos que a geração anterior.

Exemplo 22.12 (A aritmética da mariposa)

O alelo melânico da mariposa-salpicada é dominante. Passar de uma frequência de cerca de $10^{-3}$ em 1848 a $90\,\%$ das mariposas (uma frequência perto de $0.7$ ) em 1895 são cinquenta gerações; a equação de seleção o reproduz com $s$ entre $0.2$ e $0.3$ contra a forma clara — e os experimentos de soltura de Kettlewell nos anos 1950, em que as aves pegavam mariposas claras nos troncos com fuligem e escuras nos troncos limpos mais ou menos nessa razão, mediram o coeficiente diretamente. O retorno após as leis do ar limpo, de $90\,\%$ de melânicas em 1960 a menos de $10\,\%$ em 2000, ocorreu na mesma velocidade no sentido oposto. O episódio inteiro — uma população grande, um alelo dominante, um agente seletivo forte e reversível — é a genética de populações acontecendo em público.

À esquerda: as duas formas da mariposa-salpicada sobre liquens — qual delas uma ave encontra depende da casca. À direita: o polimorfismo da concha do caracol-dos-bosques, cores e faixas mantidas em toda população por predadores que aprendem a forma comum.

22.6 Exercícios

Exercício 22.1 ★

Numa amostra de 1000 pessoas, 640 são $MM$ , 320 $MN$ e 40 $NN$ . Calcule as frequências alélicas e as proporções esperadas de Hardy–Weinberg. A população está em equilíbrio?

Solução

Solução de Exercício 22.1.

$p(M) = (1280 + 320)/2000 = 0.8$ , $q(N) = 0.2$ . Esperados $MM$ : $0.64\times 1000 = 640$ ; $MN$ : $2\times 0.8\times 0.2\times 1000 = 320$ ; $NN$ : 40 — exatamente os números observados. A população está em equilíbrio nesse lócus.

Exercício 22.2 ★

O albinismo é recessivo e afeta uma pessoa em $20\,000$ . Calcule a frequência alélica e a frequência de portadores.

Solução

Solução de Exercício 22.2.

$q = \sqrt{1/20000} = 0.0071$ ; portadores $2pq \approx 0.014$ , uma pessoa em 70. Os portadores superam os afetados na razão de $2p/q \approx 280$ para um.

Exercício 22.3 ★

Defina aptidão, coeficiente de seleção e herdabilidade, e cite as cinco forças que mudam as frequências alélicas.

Solução

Solução de Exercício 22.3.

Aptidão: o número esperado de descendentes de um genótipo em relação ao melhor. Coeficiente de seleção $s$ : o déficit de aptidão, $w = 1 - s$ . Herdabilidade $h^{2}$ : a fração da variância fenotípica que é genética aditiva, ou seja, a inclinação da regressão dos descendentes sobre os pais. Forças: mutação, seleção, deriva, migração, cruzamentos não aleatórios (a última muda as frequências genotípicas, e não as alélicas).

Exercício 22.4 ★

Dê um exemplo de seleção direcional, um de estabilizadora e um de balanceadora, com o agente de seleção em cada caso.

Solução

Solução de Exercício 22.4.

Direcional: o melanismo da mariposa-salpicada, tendo como agente as aves que caçam pela visão sobre troncos escurecidos pela fuligem. Estabilizadora: o peso ao nascer humano, tendo como agente a mortalidade dos bebês muito pequenos e muito grandes. Balanceadora: a anemia falciforme, tendo como agentes a malária (contra $AA$ ) e a anemia (contra $SS$ ) em conjunto.

Exercício 22.5 ★★

Um alelo recessivo letal tem frequência $0.02$ . Quantas gerações são necessárias para reduzi-la à metade? E para chegar a $0.001$ ? O que isso diz sobre o efeito de impedir que os indivíduos afetados se reproduzam?

Solução

Solução de Exercício 22.5.

$q_t = q_0/(1 + tq_0)$ : reduzir à metade leva $1/q_0 = 50$ gerações; chegar a $0.001$ leva $1/0.001 - 1/0.02 = 950$ gerações. Quase todas as cópias do alelo estão em heterozigotos, invisíveis para a seleção; impedir que os afetados se reproduzam (o que a natureza já faz, pois eles morrem) não muda nada de mensurável ao longo de uma vida humana.

Exercício 22.6 ★★

Com $w_{AA} = 1$ , $w_{Aa} = 1$ , $w_{aa} = 0.8$ e $p = 0.3$ , calcule $\bar w$ , $p'$ e $\Delta p$ . Repita para $p = 0.9$ . Por que a segunda mudança é tão menor?

Solução

Solução de Exercício 22.6.

$p = 0.3$ : $\bar w = 0.09 + 0.42 + 0.8\times 0.49 = 0.902$ ; $p' = (0.09 + 0.21)/0.902 = 0.333$ ; $\Delta p = +0.033$ . $p = 0.9$ : $\bar w = 0.998$ , $p' = 0.9018$ , $\Delta p = +0.0018$ . Com $p = 0.9$ , apenas $q^{2} = 0.01$ da população é $aa$ : o alelo contra o qual a seleção age está escondido nos heterozigotos, e $\Delta p = spq^{2}/\bar w$ carrega o fator $q^{2}$ .

Exercício 22.7 ★★

O homozigoto falciforme tem $w = 0.2$ e o homozigoto normal $w = 0.88$ numa região malárica, e os heterozigotos $w = 1$ . Calcule a frequência de equilíbrio do alelo falciforme e a fração de crianças que nascem com a doença no equilíbrio.

Solução

Solução de Exercício 22.7.

Com $s = 0.12$ contra $AA$ e $t = 0.8$ contra $SS$ , $\hat q = s/(s + t) = 0.12/0.92 = 0.13$ . Nascimentos afetados $\hat q^{2} = 0.017$ , cerca de uma criança em 60 — o preço da proteção de que gozam os heterozigotos.

Exercício 22.8 ★★

Um letal recessivo surge por mutação a $\mu = 2 \times 10^{-5}\,$ por gameta. Calcule sua frequência de equilíbrio e a fração de nascimentos afetados. Um letal dominante (antes da reprodução) à mesma taxa: que fração dos nascimentos?

Solução

Solução de Exercício 22.8.

Letal recessivo: $\hat q = \sqrt{\mu} = \sqrt{2\times 10^{-5}} = 0.0045$ ; nascimentos afetados $\hat q^{2} = \mu = 2\times 10^{-5}$ , um em $50\,000$ . Letal dominante: toda cópia é eliminada na geração em que aparece, de modo que os nascimentos afetados são simplesmente as novas mutações, $2\mu = 4\times 10^{-5}$ (dois gametas por nascimento), um em $25\,000$ — o recessivo esconde seus alelos na razão de duzentos para um, o dominante não esconde nada.

Exercício 22.9 ★★

Uma população de 50 indivíduos reprodutores começa com $H = 0.5$ . Calcule sua heterozigosidade após 10, 50 e 200 gerações. Qual deve ser o tamanho de uma população para conservar $90\,\%$ de sua heterozigosidade ao longo de 100 gerações?

Solução

Solução de Exercício 22.9.

$H_t = 0.5\,(1 - 1/100)^{t}$ : após 10 gerações, $0.45$ ; após 50, $0.30$ ; após 200, $0.067$ . Para $(1 - 1/2N)^{100} = 0.9$ : $100/(2N) \approx -\ln 0.9 = 0.105$ , logo $N \approx 475$ , cerca de 500 indivíduos reprodutores.

Exercício 22.10 ★★★

Uma ilha é colonizada por 10 aves vindas de uma população continental na qual um alelo tem frequência $0.1$ . Calcule a probabilidade de que o alelo esteja ausente dos fundadores e a probabilidade de que ele acabe fixado na ilha se estiver presente em uma cópia. Compare com o continente.

Solução

Solução de Exercício 22.10.

Vinte cópias gênicas: $P(\text{ausente}) = 0.9^{20} = 0.12$ . Uma única cópia entre 20 tem frequência $0.05$ , e um alelo neutro se fixa com probabilidade igual à sua frequência: $0.05$ . Num continente de, digamos, $100\,000$ aves, uma única cópia tem probabilidade $5\times 10^{-6}$ de se fixar. A ilha é um lugar onde os alelos raros se perdem e onde os que sobrevivem podem dominar: a deriva ao mesmo tempo empobrece e diferencia.

Exercício 22.11 ★★★

A produção de leite tem $h^{2} = 0.3$ e um desvio-padrão de $1000\,\mathrm{L}$ . Um criador mantém os $20\,\%$ melhores das vacas como mães (sua média está $1.4$ desvio-padrão acima da do rebanho). Calcule a resposta por geração. Se os touros forem escolhidos entre o $1\,\%$ melhor (média $2.7$ desvios-padrão acima), qual é a resposta? Por que a resposta desacelera após muitas gerações?

Solução

Solução de Exercício 22.11.

$R = h^{2}S = 0.3\times 1.4\times 1000\,\mathrm{L} = 420\,\mathrm{L}$ por geração. Com touros do $1\,\%$ melhor, o diferencial médio é de $(1.4 + 2.7)/2 = 2.05$ desvios-padrão e $R = 0.3\times 2050 = 615\,\mathrm{L}$ . A resposta desacelera porque a seleção consome a variância aditiva — os alelos favoráveis chegam à fixação e $h^{2}$ cai — e porque as mudanças correlacionadas em outros traços (fertilidade, saúde) impõem custos que a seleção apenas sobre a produção não enxerga.

Exercício 22.12 ★★★

“A seleção é cega para o que não consegue ver.” Discuta, com o alelo recessivo nos heterozigotos, a mutação neutra e o caráter de herdabilidade nula, sobre o que a seleção pode e não pode agir.

Solução

Solução de Exercício 22.12.

A seleção enxerga fenótipos. Um alelo recessivo num heterozigoto não produz fenótipo, de modo que a seleção não consegue eliminá-lo, e sua frequência cai como $1/t$ , cada vez mais devagar. Uma mutação neutra não produz diferença de aptidão; seu destino depende só da deriva, e ela se fixa com probabilidade $1/2N$ . Um caráter de herdabilidade nula pode ser fortemente selecionado — os sobreviventes podem diferir muito da população —, e no entanto a geração seguinte fica inalterada, porque as diferenças não eram herdadas. A seleção só pode agir sobre diferenças herdáveis que fazem diferença para a aptidão; todo o resto evolui por acaso ou não evolui.

22.7 Problema: A mariposa, a ilha e o rebanho

Problema 22.1

Problema de fim de semana — a ascensão da mariposa-salpicada calculada a partir da equação de seleção, a deriva e a endogamia de uma população fundadora acompanhadas, um equilíbrio mutação–seleção estabelecido e um programa de melhoramento previsto, terminando com o coeficiente de seleção da mariposa, a heterozigosidade da ilha e o ganho do rebanho

Mariposa-salpicada: alelo melânico $M$ dominante, frequência $p_0 = 0.001$ em 1848; $90\,\%$ das mariposas melânicas 50 gerações depois; suponha $w_{MM} = w_{Mm} = 1$ e $w_{mm} = 1 - s$ . Ilha: fundada por 12 aves vindas de um continente onde $H = 0.4$ e um alelo recessivo deletério tem $q = 0.05$ ; a ilha abriga daí em diante 40 aves reprodutoras. Mutação: $\mu = 1 \times 10^{-5}\,$ . Rebanho: $h^{2} = 0.4$ , desvio-padrão de $800\,\mathrm{L}$ .

Parte I — A mariposa.

Em 1848, que fração das mariposas era melânica, e que fração dos alelos $M$ estava em heterozigotos?
Mostre que, com $M$ dominante, a frequência do alelo claro obedece a $q' = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ .
Partindo de $q_0 = 0.999$ , calcule $q$ após uma geração para $s = 0.3$ .
$90\,\%$ de melânicas significa $q^{2} = 0.1$ . Quanto vale $q$ então?
Por tentativas com a recorrência (ou com a aproximação $\Delta q \approx -sq^{2}p$ enquanto $q$ está perto de 1), estime o número de gerações necessárias, para $s = 0.3$ , para levar $q$ de $0.999$ a $0.32$ , e compare com as 50 observadas.
Após as leis do ar limpo, a forma clara passa a ter a vantagem: $s = 0.3$ contra $mm$ se torna $s = 0.3$ contra $M\_$ . Mostre que $\Delta p = -spq^{2}/\bar w$ , e explique por que o retorno da forma clara é lento no início e termina num declínio exponencial de $M$ , ao passo que a ascensão começou de forma exponencial e terminou num arrastar.

Parte II — A ilha.

Calcule a probabilidade de que nenhum dos 12 fundadores carregue o alelo deletério.
Calcule a heterozigosidade esperada após a geração fundadora (sorteada a partir de $H = 0.4$ por 12 indivíduos, isto é, 24 cópias gênicas).
Calcule a heterozigosidade após 100 gerações com $N = 40$ , como fração da do continente.
Uma mutação neutra aparece numa ave. Calcule sua probabilidade de fixação e o tempo esperado até a fixação, caso ela se fixe.
As aves da ilha se cruzam ao acaso, mas são todas aparentadas. Com $F = 1/(2N)$ acumulando-se por geração até cerca de $0.3$ após 30 gerações, calcule a frequência de homozigotos afetados para o alelo com $q = 0.05$ , com e sem endogamia.
Uma ave do continente chega a cada geração. Explique o que isso faz com a divergência da ilha e com sua carga.

Parte III — O equilíbrio.

Calcule a frequência de equilíbrio de um letal recessivo alimentado por $\mu = 10^{-5}$ e a fração de nascimentos afetados.
Calcule o mesmo para $s = 0.1$ (um recessivo levemente deletério).
Calcule o equilíbrio para um alelo dominante com desvantagem heterozigota $hs = 0.05$ .
A medicina cura o letal, de modo que $s$ cai para $0.1$ . Como muda o equilíbrio, e quanto tempo (ordem de grandeza) a população leva para chegar lá?
O genoma tem $20\,000$ genes, cada um mutando para um letal recessivo a $10^{-5}$ . Quantos alelos letais uma pessoa média carrega em estado heterozigoto? (No equilíbrio, cada lócus tem $2\hat q$ cópias por pessoa.)
Explique por que esse número é compatível com uma população saudável e por que ele torna custoso o casamento entre primos.

Parte IV — O rebanho.

O criador mantém os $30\,\%$ melhores das vacas (média $1.16$ desvio-padrão acima do rebanho). Calcule o diferencial de seleção em litros e a resposta.
Após cinco gerações da mesma seleção, qual é o ganho esperado, e por que o ganho real poderia ser menor?
Os touros contribuem com metade dos genes e são selecionados entre os $2\,\%$ melhores ( $2.4$ desvios-padrão). Calcule a resposta quando vacas e touros são selecionados como acima (faça a média dos dois diferenciais).
Um rebanho em que todas as vacas são clones de um único animal: quanto valem $h^{2}$ e a resposta? O que isso diz sobre a herdabilidade?
Uma população de tentilhões tem $h^{2} = 0.7$ para a profundidade do bico, e a seca deixa sobreviventes $0.6\,\mathrm{mm}$ mais profundos. Preveja a geração seguinte.
O criador passa a um traço com $h^{2} = 0.1$ . Que diferencial de seleção, em desvios-padrão, dá a mesma resposta que a questão 19?
Enuncie o resultado: o $s$ da mariposa e o tempo até $90\,\%$ de melânicas, a heterozigosidade da ilha após 100 gerações e a resposta do rebanho por geração.

Solução

Solução de Problema 22.1.

1. Fração melânica $1 - q^{2} = 1 - 0.999^{2} = 0.002$ , uma mariposa em 500; a fração dos alelos $M$ em heterozigotos é $2pq/(2pq + 2p^{2}) = q = 0.999$ : praticamente todos. 2. Com $\bar w = 1 - sq^{2}$ , as cópias do alelo claro após a seleção são $pq\cdot 1 + q^{2}(1 - s)$ de um total $\bar w$ , logo $q' = (pq + q^{2} - sq^{2})/(1 - sq^{2}) = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ . 3. $q_1 = 0.999\times(1 - 0.2997)/(1 - 0.2994) = 0.99857$ : uma mudança de $-0.0014$ . 4. $q = \sqrt{0.1} = 0.32$ . 5. A recorrência, iterada, leva 28 gerações para $s = 0.3$ ; a aproximação dá a mesma ordem (a mudança é de $-0.0003$ no início e depois acelera à medida que $p$ cresce). As 50 gerações observadas correspondem a um $s$ menor, cerca de $0.2$ (a recorrência dá 45 gerações para $s = 0.2$ ): uma seleção de $20\text{ a }30\,\%$ por geração, enorme para os padrões da maioria dos alelos. 6. Com $w_{MM} = w_{Mm} = 1 - s$ , $w_{mm} = 1$ : $\bar w = 1 - s(1 - q^{2})$ e $p' = p(1 - s)/\bar w$ , logo $\Delta p = p[(1 - s) - \bar w]/\bar w = -spq^{2}/\bar w$ . A forma clara só é favorecida como o homozigoto $mm$ , uma fração $q^{2} = 0.1$ no início: o retorno começa devagar. Quando $q \to 1$ , $\Delta p \approx -sp$ e $M$ declina exponencialmente, por um fator $1 - s$ a cada geração: um alelo dominante não tem onde se esconder. A ascensão foi a imagem espelhada: $\Delta p \approx +sp$ enquanto $M$ era raro (início exponencial), depois $\Delta q \approx -sq^{2}p \to$ um arrastar à medida que o alelo claro se escondia nos heterozigotos. A recorrência dá 27 gerações para o retorno de $p = 0.68$ a $0.001$ , 16 delas para levar o alelo a $5\,\%$ . 7. $24$ cópias gênicas: $0.95^{24} = 0.29$ . 8. $H_1 = 0.4\,(1 - 1/24) = 0.383$ . 9. $H_{100} = 0.383\,(1 - 1/80)^{100} = 0.383\times 0.284 = 0.109$ : $27\,\%$ dos $0.4$ do continente. 10. $P(\text{fixação}) = 1/(2N) = 1/80 = 0.0125$ ; tempo esperado até a fixação $4N = 160$ gerações. 11. Sem endogamia, $q^{2} = 0.0025$ ; com $F = 0.3$ , $q^{2} + Fpq = 0.0025 + 0.3\times 0.95\times 0.05 = 0.017$ : sete vezes mais aves afetadas. 12. Um migrante por geração ( $m = 1/40$ ) basta para impedir que a ilha diverja nos lócus neutros e para repor os alelos que a deriva perdeu; ele também importa os alelos deletérios do continente em sua frequência continental, os quais, sob a endogamia da ilha, ficam expostos em homozigotos — a carga é fixada pelo equilíbrio entre imigração e exposição. 13. $\hat q = \sqrt{10^{-5}} = 0.0032$ ; nascimentos afetados $\hat q^{2} = 10^{-5}$ . 14. $\hat q = \sqrt{10^{-5}/0.1} = 0.01$ ; nascimentos afetados $10^{-4}$ : uma seleção dez vezes mais fraca deixa o alelo ficar três vezes mais comum e a doença, dez vezes. 15. $\hat p = \mu/(hs) = 10^{-5}/0.05 = 2\times 10^{-4}$ ; portadores $2\hat p = 4\times 10^{-4}$ . 16. De $\hat q = 0.0032$ a $0.01$ : o alelo sobe a uma taxa fixada pela mutação, $\mu = 10^{-5}$ por geração, de modo que a aproximação leva da ordem de $\Delta q/\mu \approx 700$ gerações — $20\,000$ anos: qualquer decisão tomada agora é sentida por uma população que não se parecerá em nada com a nossa. 17. Cada lócus contribui com $2\hat q = 0.0063$ cópias letais por pessoa; sobre $20\,000$ lócus, cerca de $130$ — mas isso supõe que todo gene possa mutar para um letal recessivo; com a estimativa convencional de alguns milhares de genes essenciais, uma pessoa carrega de vários a algumas dezenas de equivalentes letais em estado heterozigoto. 18. Cada um está num lócus diferente e cada um é raro, de modo que a chance de um casal ao acaso carregar ambos o mesmo é pequena; primos compartilham um oitavo de seus genes por descendência, de modo que, para cada um dos vários letais de um primo, o risco de o filho ser homozigoto é de $1/16$ por letal compartilhado — o excesso de mortalidade infantil dos casamentos entre primos é medido em alguns por cento. 19. $S = 1.16\times 800\,\mathrm{L} = 930\,\mathrm{L}$ ; $R = 0.4\times 930 = 370\,\mathrm{L}$ . 20. Cinco gerações: cerca de $1860\,\mathrm{L}$ ; menos na prática, porque a variância aditiva se esgota, porque $h^{2}$ foi estimada no rebanho original e porque o ambiente (alimentação, instalações) que produziu as melhores vacas pode não ser transmitido. 21. Diferencial médio $(1.16 + 2.4)/2 = 1.78$ desvio-padrão, $S = 1424\,\mathrm{L}$ , $R = 0.4\times 1424 = 570\,\mathrm{L}$ . 22. Clones não têm variância genética, de modo que $h^{2} = 0$ e $R = 0$ , qualquer que seja $S$ : a herdabilidade é uma propriedade de uma população, a parte de sua variância que é genética, e não uma propriedade do traço. 23. $R = 0.7\times 0.6 = 0.42\,\mathrm{mm}$ mais profundo. 24. A mesma resposta $370\,\mathrm{L}$ exige $S = 370/0.1 = 3700\,\mathrm{L}$ , isto é, $4.6$ desvios-padrão — conservar menos de uma vaca em dez mil: impraticável, e é por isso que os traços de baixa herdabilidade são melhorados lentamente ou por outros meios (teste de progênie, famílias maiores). 25. Mariposa: $s \approx 0.2$ a $0.3$ , 28 gerações com $0.3$ e 45 com $0.2$ , contra 50 observadas; ilha: $H_{100} \approx 0.11$ , $27\,\%$ do continente; rebanho: $370\,\mathrm{L}$ por geração só com as vacas, $570\,\mathrm{L}$ com touros selecionados.

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