Biología universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

23Genética del desarrollo y evolución de la forma

El huevo de una mosca del vinagre mide medio milímetro, y en las tres horas que siguen a la fecundación, antes de que se haya formado una sola membrana celular entre sus seis mil núcleos, decide qué extremo será la cabeza y cuál la cola, dónde caerá cada uno de catorce segmentos y cuáles de ellos llevarán patas, alas o antenas. Lo hace con unas pocas docenas de genes, encendidos en una jerarquía de bandas cada vez más finas, cada banda leída a partir de las concentraciones de los productos de las bandas anteriores. En 1980, dos científicos jóvenes de Heidelberg cribaron miles de moscas mutantes en busca de larvas con partes ausentes o duplicadas, y hallaron toda la jerarquía: genes cuya pérdida suprime un bloque de segmentos, genes cuya pérdida suprime un segmento sí y otro no, genes cuya pérdida vuelve del revés cada segmento. El trabajo de ese mismo año sobre un gen que convierte el tercer segmento de una mosca en una copia del segundo —y le da cuatro alas, como tenían sus antepasados— abrió un conjunto de genes maestros que, se vio, están en el mismo orden a lo largo de los cromosomas de un ratón y de un ser humano, y hacen el mismo trabajo. Este capítulo trata de cómo un embrión calcula su propia geometría, de cómo unos pocos cientos de genes reguladores construyen todo cuerpo animal y de cómo cambiar cuándo y dónde actúan ha producido la diversidad de la forma animal.

23.1 Las coordenadas de la mosca

Definición 23.1 (La jerarquía de la segmentación)

El embrión de Drosophila se desarrolla durante sus trece primeras divisiones nucleares como un blastodermo sincitial, una sola célula cuyos núcleos comparten un citoplasma, de modo que las proteínas difunden libremente desde donde se fabrican. Cuatro gradientes puestos por las células de la madre fijan los ejes: el ARNm de bicoid queda amarrado al polo anterior y su proteína difunde hacia atrás y forma un gradiente exponencial de la cabeza a la cola; el ARNm de nanos en el polo posterior hace el gradiente en espejo; los ARNm de hunchback y caudal son uniformes, pero la proteína Bicoid reprime la traducción de caudal y Nanos reprime la de hunchback, de modo que sus proteínas también forman gradientes. Estos productos de efecto materno, cuyo fenotipo mutante depende del genotipo de la madre y no del embrión, encienden los genes gap (hunchback, Krüppel, knirps, giant) en bandas anchas, cada una de las cuales responde a un intervalo de concentración de Bicoid y reprime a sus vecinas; las proteínas gap, en combinación, encienden los genes de regla par (even-skipped, fushi tarazu, hairy) en siete bandas cada uno, alternadas; y las proteínas de regla par encienden los genes de polaridad segmentaria (engrailed, wingless, hedgehog) en catorce bandas, una por segmento, que fijan el frente y la espalda de cada segmento y se mantienen, una vez formadas las células, por señalización entre ellas. Tres horas, cuatro pisos, de un solo gradiente a catorce segmentos —y los nombres de los mutantes recuerdan el cribado: hunchback carece de tórax; Krüppel (“tullido”), de la parte media; fushi tarazu (“no bastantes segmentos”), de un segmento de cada dos; hedgehog tiene un césped de cerdas.

La jerarquía de la segmentación. Un gradiente materno se lee como cuatro bandas de genes gap; las proteínas gap, en combinación, como siete bandas de regla par; estas, como catorce bandas de polaridad segmentaria. Cada banda es un límite trazado allí donde una concentración cruza un umbral.

Teorema 23.2 (Un gradiente de morfógeno a partir de síntesis, difusión y degradación)

Una proteína fabricada en un extremo de un tejido a un ritmo $J$ (por unidad de área), que difunde con coeficiente $D$ y se degrada con constante de velocidad $k$ , alcanza un estado estacionario en el que su concentración a lo largo del eje $x$ cumple

D\,\frac{\mathrm{d}^{2}c}{\mathrm{d}x^{2}} - k\,c = 0, \qquad c(x) = c_{0}\,\mathrm{e}^{-x/\lambda}, \qquad \lambda = \sqrt{D/k}, \quad c_{0} = \frac{J}{\sqrt{Dk}} .

La longitud de decaimiento $\lambda$ fija el alcance del gradiente; una célula lee su posición comparando $c$ con unos umbrales —la bandera francesa de Wolpert (1969): por encima de $T_{1}$ , azul; entre $T_{1}$ y $T_{2}$ , blanco; por debajo, rojo— y el límite del umbral $T$ queda en $x_{T} = \lambda\ln(c_{0}/T)$ . Dos consecuencias: duplicar la fuente desplaza todos los límites hacia atrás en el mismo $\lambda\ln 2$ , y un error relativo $\delta c/c$ al leer la concentración es un error posicional $\delta x = \lambda\,\delta c/c$ , de modo que un gradiente solo puede colocar un límite con precisión de una célula si las células lo leen con un margen de un pequeño porcentaje. Bicoid tiene $\lambda \approx 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ en un huevo de $500\,\text{µ}\mathrm{m}$ : el gradiente abarca un factor $\mathrm{e}^{5} \approx 150$ , y el límite de hunchback queda a media altura del huevo, donde Bicoid ha caído a alrededor de una duodécima parte de su máximo.

Demostración. Conservación en una rebanada entre $x$ y $x + \mathrm{d}x$ : la entrada difusiva neta $D\,\partial^{2}c/\partial x^{2}$ equilibra la degradación $kc$ en estado estacionario, lo que da la ecuación; la solución acotada cuando $x \to \infty$ es la exponencial decreciente con $\lambda^{2} = D/k$ . La fuente: el flujo difusivo en $x = 0$ , $-D\, c'(0) = Dc_{0}/\lambda$ , es igual a $J$ , de modo que $c_{0} = J\lambda/D = J/\sqrt{Dk}$ . Umbral: $c_{0}\mathrm{e}^{-x_{T}/\lambda} = T$ da $x_{T}$ ; duplicar $c_{0}$ añade $\lambda\ln 2$ a todos los $x_{T}$ , sea cual sea $T$ . Error: derivando $x_{T} = \lambda\ln(c_{0}/c)$ , $\delta x = -\lambda\,\delta c/c$ . El estado estacionario se alcanza en la escala de tiempo $1/k$ , que para Bicoid ( $50\,\mathrm{min}$ ) es comparable a las dos horas disponibles, de modo que el gradiente se lee mientras aún se asienta. ∎

La bandera francesa trazada por una exponencial. Unos umbrales sobre un solo gradiente reparten el huevo en regiones; una fuente más fuerte mueve todos los límites hacia atrás la misma distancia, que es lo que muestran los embriones de madres con copias de más de bicoid. — La bandera francesa trazada por una exponencial. Unos umbrales sobre un solo gradiente reparten el huevo en regiones; una fuente más fuerte mueve todos los límites hacia atrás la misma distancia, que es lo que muestran los embriones de madres con copias de más de *bicoid*.

Evidencia. Nüsslein-Volhard y Wieschaus (1980) dieron un mutágeno a unas moscas, cruzaron su descendencia hasta la homocigosis y miraron al microscopio las cutículas de unas $27\,000$ larvas muertas en busca de patrones ausentes o repetidos: unos ciento veinte genes, clasificados por sus fenotipos en las clases gap, de regla par y de polaridad segmentaria —una jerarquía visible antes de conocerse molécula alguna. Driever y Nüsslein-Volhard (1988) tiñeron embriones para la proteína Bicoid y vieron el gradiente exponencial desde el polo anterior; los embriones de madres con una, dos, cuatro o seis copias del gen tenían gradientes de altura proporcional, y el pliegue cefálico y el límite de hunchback se desplazaban hacia atrás con la dosis, como predice el modelo de umbral y aproximadamente en el $\lambda\ln 2$ por duplicación que exige. Inyectar ARNm de bicoid en el centro de un huevo producía allí una cabeza. ∎

Izquierda: un embrión sincitial teñido para la proteína Bicoid, más brillante en el polo anterior y desvaneciéndose exponencialmente hacia el posterior. Derecha: un embrión una hora después teñido para una proteína de regla par, con siete bandas trazadas a partir de las bandas de los genes gap.

23.2 La identidad: los genes Hox

Definición 23.3 (Genes homeóticos y colinealidad)

Una mutación homeótica convierte una parte del cuerpo en otra: la palabra de Bateson (1894) para las anomalías que “sustituyen un miembro de una serie por otro”. En la mosca, los mutantes dominantes de Antennapedia desarrollan patas donde deberían ir las antenas; los mutantes bithorax (Lewis, 1978) convierten el tercer segmento torácico en una copia del segundo, de modo que los balancines (halterios) se vuelven un segundo par de alas. Los ocho genes responsables, los genes Hox, se sitúan en dos grupos de un mismo cromosoma, y Lewis advirtió que su orden a lo largo del ADN coincide con el orden a lo largo del cuerpo de los segmentos que gobiernan —la colinealidad, todavía no explicada del todo. Cada uno codifica un factor de transcripción con el mismo dominio de unión al ADN de sesenta aminoácidos, el homeobox (McGinnis, Gehring, 1984), que se halló después en todos los animales: los ratones y los seres humanos llevan cuatro grupos de trece genes cada uno, colineales del mismo modo, expresados en dominios anidados a lo largo del eje del cuerpo, con los genes más tardíos del grupo más posteriores. La identidad de una célula a lo largo del eje la da la combinación de genes Hox que expresa, el código Hox; los genes posteriores dominan a los anteriores (prevalencia posterior), de modo que perder un gen posterior deja que el segmento adopte la identidad del de delante. Los genes Hox no construyen un segmento; le dicen a un segmento ya construido cuál es, encendiendo las baterías de genes de más abajo que corresponden a una pata, un ala, una costilla o una vértebra lumbar.

Los grupos Hox de una mosca y de un ratón. Los genes se sitúan a lo largo del ADN en el orden de las regiones corporales que especifican, en ambos animales, y los genes homólogos se reconocen por su secuencia: un gen Hoxb6 de ratón es reconociblemente el Antennapedia de la mosca. — Los grupos Hox de una mosca y de un ratón. Los genes se sitúan a lo largo del ADN en el orden de las regiones corporales que especifican, en ambos animales, y los genes homólogos se reconocen por su secuencia: un gen *Hoxb6* de ratón es reconociblemente el *Antennapedia* de la mosca.

Evidencia. Lewis (1978) cartografió el complejo bithorax como una serie de mutaciones que transformaban cada una un segmento en el de delante, dispuestas en el cromosoma en el orden del cuerpo, y propuso que los genes se activaban secuencialmente a lo largo del eje. McGinnis y sus colaboradores (1984) hallaron el homeobox por hibridación cruzada entre Antennapedia y Ultrabithorax, y después en ranas y ratones. La equivalencia funcional se mostró de forma directa: un gen Hoxb6 de ratón expresado en una mosca produce el fenotipo Antennapedia, patas en lugar de antenas (años noventa); un ratón sin Hoxc8 tiene una costilla de más en su primera vértebra lumbar, pues el segmento ha tomado la identidad del de delante; y alterar los límites de expresión de los Hox en pollo y ratón desplaza la posición donde se forman las extremidades anteriores, y la longitud del cuello de un cisne corresponde a un desplazamiento posterior de ese mismo límite. ∎

Izquierda: la cabeza de una mosca mutante Antennapedia, con un par de patas donde deberían ir las antenas —el segmento construido correctamente y con la identidad equivocada. Derecha: el esqueleto de un embrión de ratón, con el cartílago en azul y el hueso en rojo, y las vértebras a lo largo de las cuales se lee el código Hox. — Izquierda: la cabeza de una mosca mutante *Antennapedia*, con un par de patas donde deberían ir las antenas —el segmento construido correctamente y con la identidad equivocada. Derecha: el esqueleto de un embrión de ratón, con el cartílago en azul y el hueso en rojo, y las vértebras a lo largo de las cuales se lee el código Hox.

23.3 Construir un vertebrado

Definición 23.4 (Organizadores y centros de señalización)

Los embriones de vertebrado son celulares desde el principio, de modo que sus gradientes los hacen proteínas secretadas y no la difusión en un sincitio, y las mismas pocas familias lo hacen todo: Wnt, Hedgehog, BMP y otros parientes del TGF- $\beta$ , FGF, Notch y el ácido retinoico. Spemann y Mangold (1924) injertaron un trozo del labio dorsal de una gástrula de tritón en el vientre de otra y obtuvieron un segundo embrión, de la cabeza a la cola, hecho sobre todo de células del huésped: el injerto era un organizador, que inducía a sus vecinas a formar un sistema nervioso y un eje, y setenta años más tarde se halló que sus moléculas eran antagonistas secretados (cordina, noguina) que bloquean la BMP, cuya ausencia deja que el ectodermo se vuelva neural —lo predeterminado. El tubo neural recibe después su patrón dorsoventral de sonic hedgehog desde la notocorda y la placa del suelo (alto: neuronas motoras; bajo: interneuronas) frente a la BMP del techo; y el esbozo de la extremidad, de dos centros: la zona de actividad polarizante de su borde posterior, que segrega Shh (su injerto en el borde anterior da una duplicación en espejo de los dedos, seis dedos que se encuentran pulgar contra pulgar), y la cresta ectodérmica apical de su punta, que segrega FGF que mantienen en división las células subyacentes y especifican la secuencia proximal-distal de húmero, antebrazo y mano. El injerto, la ablación y las bolitas empapadas en proteína siguen siendo las herramientas; la lógica —una fuente local, un gradiente, unos umbrales, un código de factores de transcripción— es la de la mosca.

Los dos centros de señalización del esbozo de la extremidad. El sonic hedgehog del borde posterior dice a las células qué dedo ser; el FGF de la punta les dice a qué distancia están a lo largo de la extremidad. Los injertos que mueven un centro mueven con él el patrón.

Proposición 23.5 (Patrón espontáneo: el mecanismo de Turing)

No todo patrón se lee de un gradiente preexistente. Turing (1952) mostró que dos sustancias que difunden y reaccionan —un activador que estimula su propia producción y la de un inhibidor, y un inhibidor que suprime al activador y difunde mucho más deprisa— pueden convertir espontáneamente un campo uniforme en una formación regular de picos: un pequeño exceso local de activador crece por autorrefuerzo mientras el inhibidor que produce se extiende e impide que se formen picos nuevos cerca, de modo que los picos aparecen con un espaciado que fija el alcance del inhibidor, $\lambda \sim \sqrt{D_{\text{inh}}/k_{\text{inh}}}$ , y no coordenada externa alguna. El mecanismo, admitido aquí en su matemática, es la mejor explicación de las manchas y las bandas de los pelajes animales, del espaciado de los folículos pilosos y de las yemas de las plumas, de los pliegues del paladar, de los dedos de la mano (cuyo número sube cuando se acorta la longitud de onda del patrón bajando la actividad Hox) y de las bandas del pez cebra, donde se han identificado las células que interaccionan —células pigmentarias que repelen a las vecinas de un tipo y atraen a distancia a las de otro— y se ha conseguido que sus bandas se rehagan tras una ablación con láser exactamente como predice la teoría.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

23.4 La evolución de la forma

Definición 23.6 (Evo-devo)

Los genes que construyen animales son una caja de herramientas antigua y compartida: unos pocos cientos de factores de transcripción y de vías de señalización presentes en el antepasado común de todos los animales, y la diversidad animal procede sobre todo de cambios en cuándo, dónde y cuánto se expresan, y no en lo que codifican. La homología profunda: el gen Pax6 dirige la formación del ojo en moscas, calamares y ratones, cuyos ojos no son homólogos como órganos —un Pax6 de ratón expresado en la pata de una mosca le hace allí un ojo de mosca ectópico (Halder, Gehring, 1995). La evolución cis-reguladora: la pérdida de las espinas pélvicas en los espinosos de agua dulce es la supresión de un solo potenciador del gen Pitx1, con la proteína intacta y todavía útil en otros sitios; la pérdida de las manchas alares en algunas moscas del vinagre, un cambio en un potenciador de yellow; la pérdida de las patas en las serpientes, un potenciador roto de sonic hedgehog en la extremidad. Los desplazamientos Hox: el límite de expresión de Hoxc6 marca la primera vértebra torácica por igual en ratón, pollo, ganso y serpiente, en las vértebras 7, 14, 23 y 3; la pérdida de las patas abdominales en los insectos fue la adquisición, por la proteína Hox Ubx, de un dominio represor que apaga el gen de las patas Distal-less, allí donde en los crustáceos no lo hace. La heterocronía, un cambio en el momento de un programa de desarrollo, hizo del ajolote una larva permanente y del rostro humano el de un simio juvenil. La vieja pregunta de cómo surgen las formas nuevas se convierte en una pregunta sobre el ADN regulador: casi todo el genoma que importa para la forma no es gen, sino interruptor.

Ejemplo 23.7 (Cuatro alas)

Los antepasados de las moscas tenían cuatro alas, como siguen teniéndolas las libélulas y las abejas; las moscas tienen dos, con el par trasero reducido a los balancines. En las moscas, Ultrabithorax se expresa en el tercer segmento torácico y reprime allí el programa del ala —un centenar de genes diana, siendo un halterio un ala con esos genes apagados. La mosca triple mutante de Lewis, sin función de Ubx en el tercer segmento, desarrolla un segundo par de alas: no una estructura nueva, sino la liberación de una antigua. En las mariposas, Ubx se expresa también en el ala trasera, y allí no suprime el ala, sino que cambia su patrón: la misma proteína, otro conjunto de dianas. Cuatrocientos millones de años de evolución de los dípteros dependieron de la decisión de un solo gen en un solo segmento, y una sola mutación la deshace en una generación —por lo que la historia de la forma es legible en los genes que la construyen.

Observación 23.8 (Geometría a partir de química)

Un embrión no tiene plano ni topógrafo. Tiene unos pocos gradientes hechos por difusión y degradación, células que los leen frente a umbrales y encienden factores de transcripción, y un código de esos factores que dice a cada región en qué convertirse; tiene organizadores locales que inducen a sus vecinos, y reacciones que se dan su propio patrón. La matemática es la de la cinética de primer orden y la difusión —una exponencial, una raíz cuadrada, un umbral— y explica no solo cómo se coloca la cabeza de una mosca, sino por qué duplicar un gen desplaza un límite una distancia fija, por qué aparecen seis dedos cuando se duplica una señal y por qué una serpiente tiene trescientas costillas. La evolución edita los interruptores, no la máquina: la caja de herramientas de una esponja y la de un ser humano son casi la misma, y lo que difiere es el cableado.

23.5 Ejercicios

Ejercicio 23.1 ★

Nómbrense los cuatro pisos de la jerarquía de segmentación de la mosca, un gen de cada uno y el fenotipo mutante que lo colocó en su clase.

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

Efecto materno: bicoid; los embriones de madres mutantes carecen de cabeza y de tórax. Gap: Krüppel; falta un bloque contiguo de segmentos. Regla par: fushi tarazu (o even-skipped); falta un segmento de cada dos. Polaridad segmentaria: hedgehog (o engrailed); parte de cada segmento queda sustituida por una imagen especular del resto.

Ejercicio 23.2 ★

¿Qué es un gen de efecto materno? Una hembra homocigota para una mutación nula de bicoid se cruza con un macho silvestre: descríbanse sus embriones y explíquese por qué su propio genotipo no los salva.

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

Un gen cuyo producto deposita la madre en el huevo, de modo que el fenotipo del embrión sigue al genotipo de ella. Sus embriones carecen de cabeza y de tórax y llevan estructuras posteriores en ambos extremos; mueren. El alelo silvestre paterno está en el cigoto, pero el ARNm de bicoid lo fabrican durante la ovogénesis las células nodriza de la madre y queda anclado en el polo antes de la fecundación; la copia propia del cigoto se transcribiría horas más tarde, cuando el tiempo del gradiente ya ha pasado.

Ejercicio 23.3 ★

Enúnciense la colinealidad y la prevalencia posterior. Predígase el fenotipo de un ratón sin Hoxc8 y el de una mosca que expresa Antennapedia en la cabeza.

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

Colinealidad: el orden de los genes Hox a lo largo del cromosoma coincide con el orden de sus dominios de expresión a lo largo del cuerpo. Prevalencia posterior: allí donde se expresan varios, el más posterior fija la identidad. Un ratón sin Hoxc8 muestra una transformación anterior —su primera vértebra lumbar toma la identidad de una torácica y lleva una costilla. Antennapedia en la cabeza convierte las antenas en patas, la identidad del segundo segmento torácico.

Ejercicio 23.4 ★

¿Qué mostró el injerto de Spemann y Mangold, y qué resultaron ser las moléculas del organizador? ¿Por qué se llama “predeterminado” al destino neural?

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

Un labio dorsal injertado indujo un segundo eje completo hecho sobre todo de células del huésped: el injerto instruyó a sus vecinas —un organizador. Sus moléculas son antagonistas secretados de la BMP (cordina, noguina, folistatina). El ectodermo se vuelve neural cuando falta la señalización BMP y epidérmico cuando la BMP está presente, de modo que lo neural es lo que hace el ectodermo cuando no se le dice nada: el organizador actúa silenciando una instrucción.

Ejercicio 23.5 ★★

Bicoid: $D = 4\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , semivida $35\,\mathrm{min}$ . Calcúlense $k$ , $\lambda$ y la razón de concentraciones entre el polo anterior y el centro del huevo ( $250\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

$k = \ln 2/(35\times 60) = 3.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\lambda = \sqrt{4/ 3.3\times 10^{-4}} = 110\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; razón $\mathrm{e}^{250/110} = \mathrm{e}^{2.27} = 9.7$ .

Ejercicio 23.6 ★★

Con $\lambda = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , un límite queda en $240\,\text{µ}\mathrm{m}$ . ¿Dónde queda si la madre lleva cuatro copias de bicoid en lugar de dos? ¿Y una sola copia? Exprésense los desplazamientos como fracción de un huevo de $500\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

Cuatro copias duplican $c_{0}$ : el límite retrocede $\lambda\ln 2 = 69\,\text{µ}\mathrm{m}$ hasta $309\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; una sola copia lo reduce a la mitad: avanza $69\,\text{µ}\mathrm{m}$ hasta $171\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Cada desplazamiento es el $14\,\%$ de la longitud del huevo —mayor que lo observado, lo que ya es indicio de mecanismos que amortiguan la dependencia de la dosis.

Ejercicio 23.7 ★★

Los núcleos del blastodermo distan $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Para colocar un límite con la precisión de un núcleo con $\lambda = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , ¿con qué precisión ha de leer un núcleo la concentración de Bicoid? Si el núcleo cuenta moléculas durante un tiempo $\tau$ y el recuento es de Poisson, ¿cuántas ha de contar?

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

$\delta x = \lambda\,\delta c/c$ : para $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\delta c/c = 8/100 = 8\,\%$ . Un recuento de Poisson $N$ tiene un error relativo $1/\sqrt{N}$ , de modo que hay que contar $N = 1/0.08^{2} \approx 160$ moléculas —un pequeño porcentaje de las moléculas presentes en un núcleo, o un único recuento integrado en el tiempo.

Ejercicio 23.8 ★★

El gradiente se acerca al estado estacionario en la escala de tiempo $1/k$ . Con una semivida de $35\,\mathrm{min}$ , ¿qué fracción de la concentración estacionaria se alcanza a los $60\,\mathrm{min}$ , los $90\,\mathrm{min}$ y los $120\,\mathrm{min}$ ? ¿Qué implica esto para un embrión que ha de leer el gradiente antes de los $150\,\mathrm{min}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

$k = \ln 2/35 = 0.0198\,\mathrm{min}^{-1}$ : $1 - \mathrm{e}^{-kt}$ da $0.70$ a los $60\,\mathrm{min}$ , $0.83$ a los $90\,\mathrm{min}$ , $0.91$ a los $120\,\mathrm{min}$ y $0.95$ a los $150\,\mathrm{min}$ . El gradiente sigue subiendo un pequeño porcentaje mientras se lee, lo que desplazaría un límite $\lambda\ln(1/0.9) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , alrededor de un núcleo, a lo largo de la ventana de lectura: el embrión ha de leer a un tiempo fijo o emplear una lectura insensible al nivel global.

Ejercicio 23.9 ★★

Se injerta una ZAP en el borde anterior del esbozo de una extremidad de pollo. Predígase el patrón de los dedos, y el patrón si en su lugar se implanta allí una bolita que libera una dosis baja de Shh.

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

Una segunda ZAP da una duplicación en espejo, 4-3-2-2-3-4: las células anteriores ven ahora un Shh alto y se vuelven dedos posteriores. Una bolita que libera poco Shh da una duplicación parcial —un dedo 2 anterior de más, pongamos 2-2-3-4— porque las células anteriores solo ven la concentración baja que especifica el dedo 2.

Ejercicio 23.10 ★★★

Un morfógeno se fabrica por todo un tejido de longitud $L$ a un ritmo $s$ por unidad de volumen, se degrada a un ritmo $k$ y se destruye en el límite $x = L$ (un sumidero absorbente), sin flujo en $x = 0$ . Resuélvase $Dc'' - kc + s = 0$ para $c(x)$ y dibújese. ¿En qué se diferencia la forma de este gradiente de la del caso con la fuente en un extremo, y qué ocurre cuando $L \ll \lambda$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

Solución particular $s/k$ ; soluciones homogéneas $\cosh(x/\lambda)$ y $\sinh(x/\lambda)$ ; la ausencia de flujo en $0$ elimina el $\sinh$ ; $c(L) = 0$ fija la amplitud: $c(x) = (s/k)\bigl[1 - \cosh(x/\lambda)/\cosh(L/\lambda)\bigr]$ . El perfil es una meseta cerca de $x = 0$ que cae a cero en una capa límite de anchura $\lambda$ junto al sumidero —no una exponencial desde un punto, sino un campo llano con un borde; la concentración más alta es la más lejana al sumidero. Para $L \ll \lambda$ , $\cosh u \approx 1 + u^{2}/2$ y $c \approx s(L^{2} - x^{2})/(2D)$ : una parábola independiente de $k$ , ya que las moléculas alcanzan el sumidero antes de poder degradarse.

Ejercicio 23.11 ★★★

Dos umbrales en $T_{1} = 0.3c_{0}$ y $T_{2} = 0.08c_{0}$ dividen un gradiente en tres regiones. Muéstrese que las anchuras de las dos primeras regiones no dependen de $c_{0}$ , y explíquese por qué un embrión cuya longitud varía entre individuos (de $450\,$ a $550\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) necesita algo más que una sola exponencial para escalar su patrón. Propóngase un mecanismo.

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

$x_{1} = \lambda\ln(1/0.3) = 1.20\lambda$ y $x_{2} = \lambda\ln(1/0.08) = 2.53\lambda$ : la primera región mide $1.20\lambda$ de ancho y la segunda $1.32\lambda$ , ambas independientes de $c_{0}$ , que las desplaza juntas. La tercera región, $L - 2.53\lambda$ , absorbe toda la variación de la longitud del huevo: en un huevo de $450\,\text{µ}\mathrm{m}$ con $\lambda = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ el abdomen mide $197\,\text{µ}\mathrm{m}$ , y en uno de $550\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $297\,\text{µ}\mathrm{m}$ —el patrón no está escalado. Mecanismos: un segundo gradiente desde el polo posterior (Nanos, Caudal o el sistema terminal) leído junto con Bicoid, de modo que las posiciones las fije la razón; o una molécula “expansora” fabricada allí donde el morfógeno es bajo que alargue $\lambda$ hasta que el gradiente llene el huevo.

Ejercicio 23.12 ★★★

Los espinosos perdieron las espinas pélvicas suprimiendo un potenciador de Pitx1, y las serpientes perdieron las extremidades rompiendo un potenciador de sonic hedgehog. Explíquese por qué los cambios reguladores, y no los cambios codificantes, son la ruta habitual hacia una estructura perdida o alterada, en términos de pleiotropía y de lo que hace la misma proteína en otros sitios.

Solución

Solución de Ejercicio 23.12.

Un cambio codificante altera la proteína allí donde actúe: Pitx1 construye además la hipófisis y la mandíbula, y sonic hedgehog da además su patrón al tubo neural, al intestino y a los dientes, de modo que una proteína rota es letal o pleiotrópicamente incapacitante. Un potenciador dirige la expresión en un tejido y en un momento; suprimirlo retira la estructura que ese tejido habría construido y deja intacto todo otro uso de la proteína. Los potenciadores son modulares y a menudo en parte redundantes, de modo que los pasos intermedios son viables, y la misma ruta —un interruptor perdido— se ha tomado de forma independiente en muchos lagos de espinosos.

23.6 Problema: la bandera francesa

Problema 23.1

Problema de fin de semana — el sistema de coordenadas de un huevo calculado a partir de una cinética de primer orden: la longitud, la fuente y el tiempo de formación del gradiente de Bicoid, los límites que traza y su precisión, lo que la dosis génica y el tamaño del huevo les hacen, y el código Hox leído más abajo, para terminar en la longitud de decaimiento, el desplazamiento por duplicación y la precisión posicional

Datos: longitud del huevo $500\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; Bicoid, con $D = 4\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ y semivida $35\,\mathrm{min}$ ; flujo de la fuente tal que $c_{0} = 50\,\mathrm{nM}$ con dos copias maternas; espaciado nuclear $8.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ en el ciclo 14; umbrales $T_{1} = 0.3\,c_{0}$ (cabeza/tórax) y $T_{2} = 0.08\,c_{0}$ (límite de hunchback) para el caso de dos copias. Ruido de lectura $\delta c/c = 0.1$ para un solo núcleo. Número de Avogadro $6 \times 10^{23}\,$ ; un núcleo es una esfera de radio $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Parte I — El gradiente.

Calcúlese $k$ a partir de la semivida, en $\mathrm{s}^{-1}$ , y la vida media $1/k$ en minutos.
Calcúlese $\lambda = \sqrt{D/k}$ en micrómetros. ¿Cuántas longitudes de decaimiento mide el huevo?
¿Por qué factor cae la concentración de un polo al otro? ¿Y por qué factor a lo largo de un espaciado nuclear en el centro del huevo?
Calcúlese el flujo de la fuente $J = c_{0}\sqrt{Dk}$ en $\mathrm{nM}\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ , y el número de moléculas que entran por segundo en un parche de $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ del polo anterior.
Número de moléculas de Bicoid en un núcleo del polo ( $c_{0}$ ) y en uno del centro del huevo.
Fracción del estado estacionario alcanzada a los $60\,\mathrm{min}$ y a los $120\,\mathrm{min}$ ( $1 - \mathrm{e}^{-kt}$ ). ¿Es estacionario el gradiente cuando se trazan los límites, hacia los $120\,\mathrm{min}$ ?

Parte II — Los límites.

Posiciones de los dos límites, en $\text{µ}\mathrm{m}$ y como fracciones de la longitud del huevo.
La madre tiene cuatro copias: nuevo $c_{0}$ y las dos posiciones. ¿Cuánto se movió cada una? ¿Y con seis copias?
Una sola copia: posiciones. ¿Qué regiones crecieron y cuáles encogieron?
Error posicional para un ruido de lectura del $10\,\%$ , en micrómetros y en espaciados nucleares.
Si el error ha de ser de un núcleo, ¿qué precisión de lectura hace falta? Si el núcleo promedia $n$ lecturas independientes y el ruido cae como $1/\sqrt{n}$ , ¿cuántas lecturas?
Un núcleo situado en el límite de hunchback contiene el número calculado en la pregunta 5. ¿Cuál es el ruido de Poisson $1/\sqrt{N}$ de un solo recuento instantáneo? Compárese con el $10\,\%$ y coméntese.

Parte III — Escalado y robustez.

Los huevos varían de $450\,$ a $550\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Si $\lambda$ y $c_{0}$ están fijos, ¿dónde cae el límite de hunchback como fracción de la longitud del huevo en cada caso? ¿Está escalado el patrón?
Supóngase en cambio que $D$ escala como $L^{2}$ (la misma vida media, pero una fuente cuya extensión crece con el huevo). Muéstrese que $\lambda/L$ es entonces constante y el patrón escala. ¿Es plausible?
El gen hunchback responde a Bicoid con un coeficiente de Hill de $5$ : su expresión vale $c^{5}/(c^{5} + T^{5})$ . ¿A lo largo de cuántos micrómetros pasa la expresión del $10\,\%$ al $90\,\%$ en torno al límite? Compárese con un espaciado nuclear.
Explíquese por qué una respuesta empinada afila un límite pero no reduce por sí sola el error posicional debido al ruido de concentración.
La represión mutua entre genes gap afila y estabiliza sus límites. Arguméntese en una frase por qué dos genes que se reprimen mutuamente no pueden estar ambos encendidos en el mismo núcleo en estado estacionario.
La temperatura eleva $D$ un $2\,\%$ y $k$ un $6\,\%$ por grado. Cambio de $\lambda$ por grado, y desplazamiento del límite para una habitación $5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más cálida. ¿Por qué podrían necesitar los embriones un mecanismo compensador?

Parte IV — La identidad.

El código Hox: con ocho genes Hox de mosca, cada uno encendido o apagado, ¿cuántos códigos son posibles? ¿Cuántos se usan (catorce segmentos)? ¿Por qué reduce la prevalencia posterior el número efectivo?
A una mosca le falta Ubx en su tercer segmento torácico. ¿En qué se convierte el segmento, y por qué el resultado son cuatro alas y no una estructura nueva?
El límite de Hoxc6 de un ratón está en la vértebra 7, y el de un ganso en la 23. ¿Qué predice esto sobre sus cuellos, y qué cambió en la evolución: el gen o su expresión?
Un injerto de ZAP da los dedos 4-3-2-2-3-4. Explíquese el patrón a partir de dos gradientes de Shh que se encuentran en el medio.
Halder y Gehring expresaron el Pax6 de ratón en la pata de una mosca y obtuvieron allí un ojo de mosca. ¿Qué muestra esto sobre el gen, y qué no muestra sobre los ojos de las moscas y de los ratones?
El sexto dedo: acortar la longitud de onda de Turing añade un dedo. Con cinco dedos a lo ancho de una placa de mano de $2\,\mathrm{mm}$ , ¿qué cambio de longitud de onda da seis? ¿Qué parámetro del sistema de reacción–difusión lo produciría?
Resúmase: $\lambda$ (pregunta 2), el desplazamiento del límite por duplicación de la fuente (pregunta 8) y el error posicional para un ruido del $10\,\%$ (pregunta 10).

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. $k = \ln 2/(35\times 60) = 3.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $1/k = 3030\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$ . 2. $\lambda = \sqrt{4/3.3\times 10^{-4}} = 110\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; el huevo mide $4.5\lambda$ . 3. $\mathrm{e}^{4.5} \approx 90$ de un polo al otro; $\mathrm{e}^{8.5/110} = 1.08$ , un cambio del $8\,\%$ por núcleo. 4. $J = 50\times\sqrt{4\times 3.3\times 10^{-4}} = 50\times 0.036 = 1.8\,\mathrm{nM}\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Un nM son $0.6$ moléculas por $\text{µ}\mathrm{m}^{3}$ , de modo que son unas $1.1$ moléculas por $\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ y segundo. 5. Volumen nuclear $\tfrac{4}{3}\pi\times 27 = 113\,\text{µ}\mathrm{m}^{3}$ . A $50\,\mathrm{nM}$ , $30$ moléculas por $\text{µ}\mathrm{m}^{3}$ : $3400$ moléculas. En el centro del huevo, $c = 50\,\mathrm{e}^{-2.27} = 5.2\,\mathrm{nM}$ : unas $350$ moléculas. 6. $kt = 1.19$ a los $60\,\mathrm{min}$ : $0.70$ ; $kt = 2.38$ a los $120\,\mathrm{min}$ : $0.91$ . El gradiente está a menos del $10\,\%$ del estacionario cuando se lee —y sigue subiendo lo bastante como para mover un límite $\lambda\ln(1/0.91) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , un núcleo. 7. $x_{1} = 110\ln(1/0.3) = 132\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $26\,\%$ ); $x_{2} = 110\ln(1/0.08) = 278\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $56\,\%$ ). 8. Cuatro copias: $c_{0} = 100\,\mathrm{nM}$ ; ambos límites retroceden $\lambda\ln 2 = 76\,\text{µ}\mathrm{m}$ , hasta $208$ y $354\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Seis copias: $\lambda\ln 3 = 121\,\text{µ}\mathrm{m}$ , hasta $253$ y $399\,\text{µ}\mathrm{m}$ . 9. Una copia: avanzan $76\,\text{µ}\mathrm{m}$ , hasta $56$ y $202\,\text{µ}\mathrm{m}$ . La región de la cabeza encogió de $132$ a $56\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; el tórax mantuvo su anchura ( $146\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) y se adelantó; el abdomen creció de $222$ a $298\,\text{µ}\mathrm{m}$ . 10. $\delta x = 110\times 0.1 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.3$ espaciados nucleares. 11. Un núcleo: $\delta c/c = 8.5/110 = 7.7\,\%$ . Desde el $10\,\%$ , $n = (10/7.7)^{2} \approx 1.7$ : bastan dos lecturas independientes (o el promedio de dos núcleos vecinos). 12. $1/\sqrt{350} = 5.3\,\%$ : un solo recuento instantáneo es ya más preciso que el $10\,\%$ supuesto, de modo que el ruido observado no es solo ruido de recuento, sino que procede de la cinética de unión y de la maquinaria de lectura —y promediar en el tiempo lo mejora. 13. $278/450 = 62\,\%$ y $278/550 = 51\,\%$ de la longitud del huevo: una discrepancia del $11\,\%$ , seis núcleos. El patrón no escala con un $\lambda$ fijo. 14. Si $D \propto L^{2}$ con $k$ fijo, $\lambda \propto L$ y $x_{T}/L = (\lambda/L)\ln(c_{0}/T)$ es el mismo en todo huevo: escalado perfecto. Pero $D$ es una propiedad de la molécula y del citoplasma, no del tamaño del huevo, de modo que así planteado es inverosímil; en los embriones reales el escalado es parcial y procede de otras lecturas. 15. $c^{5}/(c^{5} + T^{5}) = 0.1$ en $c/T = 9^{-1/5} = 0.64$ y $0.9$ en $c/T = 9^{1/5} = 1.55$ : un factor $2.4$ en concentración, $\Delta x = 110\ln 2.4 = 97\,\text{µ}\mathrm{m}$ —once núcleos, mucho más ancho que el límite observado de dos o tres; la lectura del gradiente por sí sola no es lo bastante afilada. 16. La inclinación asigna una concentración dada a encendido o apagado con más decisión, de modo que la región de transición es más estrecha; pero un error del $10\,\%$ en la concentración sigue moviendo el punto donde se cruza el umbral en $\lambda\,\delta c/c$ : la respuesta puede ser un escalón perfecto y el escalón caer aun así en el lugar equivocado. 17. Si ambos estuvieran encendidos, cada uno estaría reprimiendo al otro, de modo que al menos uno acabaría apagado; con represión cooperativa los únicos estados estables son uno encendido y otro apagado, y un límite entre ellos es un interruptor, no una pendiente. 18. $\mathrm{d}\ln\lambda = \tfrac{1}{2}(0.02 - 0.06) = -0.02$ por grado: $\lambda$ cae un $2\,\%$ por grado, un $10\,\%$ para $5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , hasta $99\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; el límite de hunchback pasa de $278$ a $250\,\text{µ}\mathrm{m}$ , tres núcleos más adelante. Las moscas se desarrollan entre $18\,$ y $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ con proporciones normales, de modo que algo compensa —una fuente o una lectura que se desplace con la temperatura en sentido contrario. 19. $2^{8} = 256$ códigos; se usan catorce. Con prevalencia posterior solo importa el gen encendido más posterior, de modo que hay a lo sumo nueve identidades distintas (ocho genes, o ninguno): el código es una jerarquía, no una palabra binaria. 20. El tercer segmento torácico se convierte en un segundo: Ubx reprimía el programa del ala que un segmento torácico ejecuta por omisión, y retirar el represor libera el estado ancestral —cuatro alas, como en los antepasados de cuatro alas de la mosca. 21. La región cervical del ganso llega a la vértebra 22: un cuello largo de muchas vértebras, frente a las siete del ratón. El gen es el mismo; lo que se desplazó hacia atrás fue el límite anterior de su expresión —un cambio regulador en dónde se enciende un gen Hox. 22. Cada borde es ahora una fuente; el Shh es máximo en ambos extremos (dedo 4), cae hacia el centro (3, luego 2) y nunca alcanza el nivel bajo que especifica el dedo 1, de modo que en el medio hay dos dedos 2 espalda contra espalda: 4-3-2-2-3-4. 23. Pax6 es un regulador maestro conservado que puede disparar el programa ocular que lleve el huésped: la mosca construyó un ojo de mosca, de modo que el gen de ratón no lleva información de ojo de ratón, sino solo la orden “constrúyase aquí un ojo”. Muestra una homología profunda de la red génica, no una homología de los órganos: el ojo compuesto y el ojo en cámara evolucionaron por separado a partir de un antepasado que tenía un parche de fotorreceptores con Pax6. 24. Cinco dedos a lo ancho de $2\,\mathrm{mm}$ son una longitud de onda de $0.4\,\mathrm{mm}$ ; seis exigen $0.33\,\mathrm{mm}$ , un acortamiento de una sexta parte. Como $\lambda \propto \sqrt{D_{\text{inh}}/k_{\text{inh}}}$ , elévese un $44\,\%$ la degradación del inhibidor o redúzcase un $31\,\%$ su difusión; en la placa de la mano lo consigue bajar la dosis de los genes Hox posteriores, y los ratones mutantes tienen seis, siete o más dedos finos. 25. $\lambda \approx 110\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; una duplicación de la fuente desplaza todos los límites $76\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; un ruido del $10\,\%$ en la concentración son $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ , alrededor de un núcleo, de error posicional.

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