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Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano · 本科一年级

1Astronomia esférica

Numa noite limpa, longe de qualquer cidade, uma câmera de longa exposição apontada para o céu registra as estrelas como arcos de círculos, todos centrados em um mesmo ponto que não se move. Uma estrela que nasceu no leste às 21 h desta noite nascerá por volta das 20 h 55 min de amanhã, e um pouco antes a cada noite seguinte. O Sol ao meio-dia está mais alto em junho do que em dezembro, e no extremo norte ele não se põe nem mesmo em pleno verão. Tudo isso é consequência da rotação da Terra e de sua órbita em torno do Sol, vistas da superfície. Para descrevê-los, o astrônomo e o geocientista precisam de coordenadas sobre uma esfera, da trigonometria de triângulos traçados sobre uma esfera e de relógios que acompanhem as estrelas ou o Sol. Este capítulo constrói essas ferramentas. Elas voltam na cinemática das placas (Capítulo 12), em que as placas giram sobre a esfera, e nos capítulos sobre o clima (Capítulo 27), em que a luz solar recebida por cada latitude move os ventos e as correntes.

O que você já sabe

A Terra gira em torno do próprio eixo uma vez por dia e percorre uma órbita quase circular em torno do Sol uma vez por ano; seu eixo é inclinado em relação ao plano dessa órbita, o que produz as estações (nos livros de física, 6º e 12º anos; as leis de Kepler são relembradas do volume de física do primeiro ano). Um ponto da Terra fica localizado pela latitude e pela longitude (Livro 1, 6º ano). Um vetor de comprimento um fica fixado por dois ângulos, como em coordenadas esféricas; o produto escalar de dois vetores unitários é o cosseno do ângulo entre eles, e o produto misto $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$ não muda por uma permutação cíclica dos três vetores.

1.1 Triângulos sobre a esfera

Definição 1.1 (Círculo máximo, triângulo esférico)

Um círculo máximo de uma esfera é a interseção dela com um plano que passa pelo centro; qualquer outra seção plana é um círculo menor. Por dois pontos que não são diametralmente opostos passa exatamente um círculo máximo, e o menor dos seus dois arcos é o caminho mais curto sobre a esfera entre os pontos. Um triângulo esférico é a figura formada por três pontos da esfera, seus vértices $A$ , $B$ , $C$ , unidos por arcos de círculos máximos de menos de $180{}^{\circ}$ . Seus lados $a$ , $b$ , $c$ (opostos a $A$ , $B$ , $C$ ) são medidos pelos ângulos que subtendem no centro; seus ângulos $A$ , $B$ , $C$ são os ângulos entre os planos dos lados que se encontram em cada vértice.

Sobre a esfera de raio $R$ , um lado de $a$ radianos tem o comprimento $Ra$ . Todo lado e todo ângulo está entre $0$ e $\pi$ .

Um triângulo esférico ABC sobre uma esfera de centro O. Os lados a, b, c são arcos de círculos máximos, medidos pelos ângulos BOC, COA, AOB; o ângulo A (em vermelho) é o ângulo entre os dois lados que se encontram em A. O triângulo desenhado tem a = 78.6, b = 62.6, c = 64.8 e ângulos de 89.9, 64.9 e 67.4, cuja soma supera 180. — Um triângulo esférico $ABC$ sobre uma esfera de centro $O$ . Os lados $a$ , $b$ , $c$ são arcos de círculos máximos, medidos pelos ângulos $BOC$ , $COA$ , $AOB$ ; o ângulo $A$ (em vermelho) é o ângulo entre os dois lados que se encontram em $A$ . O triângulo desenhado tem $a = 78.6{}^{\circ}$ , $b = 62.6{}^{\circ}$ , $c = 64.8{}^{\circ}$ e ângulos de $89.9{}^{\circ}$ , $64.9{}^{\circ}$ e $67.4{}^{\circ}$ , cuja soma supera $180{}^{\circ}$ .

Teorema 1.2 (A lei dos cossenos)

Em um triângulo esférico,

\cos a = \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A .

Demonstração. Trabalhe sobre a esfera unitária e escolha eixos com $A$ no polo: $\vec A = (0, 0, 1)$ , e o plano $xz$ contendo $B$ : $\vec B = (\sin c, 0, \cos c)$ , pois $B$ está à distância angular $c$ de $A$ . O ponto $C$ está à distância angular $b$ de $A$ , sobre um círculo máximo que passa por $A$ e faz o ângulo $A$ com o plano $xz$ : $\vec C = (\sin b\cos A, \sin b\sin A, \cos b)$ . O lado $a$ é o ângulo entre $\vec B$ e $\vec C$ , logo

\cos a = \vec B\cdot\vec C = \sin c\sin b\cos A + \cos c\cos b. \qedhere

∎

Teorema 1.3 (A lei dos senos)

Em um triângulo esférico,

\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.

Demonstração. Com os vetores da demonstração anterior, escritos em coordenadas, $\vec B \times \vec C = (-\cos c\sin b\sin A,\ \cos c\sin b\cos A - \sin c\cos b,\ \sin c\sin b\sin A)$ , de modo que o produto misto é $\vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \sin b\sin c\sin A$ . O produto misto não muda quando $A$ , $B$ , $C$ são permutados ciclicamente; colocando $B$ , depois $C$ , no polo obtém-se do mesmo modo $\sin c\sin a\sin B$ e $\sin a\sin b\sin C$ . As três expressões são iguais; dividindo por $\sin a\sin b\sin c$ obtém-se a lei. ∎

Quando os lados são pequenos em relação ao raio, $\cos a \approx 1 - a^2/2$ e $\sin a \approx a$ , e as duas leis se tornam as leis dos cossenos e dos senos dos triângulos planos: num pedaço pequeno o suficiente, a esfera é plana. Em um triângulo grande isso não vale: os ângulos de um triângulo esférico somam mais de $180{}^{\circ}$ (Exercício 1.12).

Método 1.4 (Distância e rumo sobre a esfera)

Para encontrar a menor distância entre dois lugares de latitudes $\varphi_1$ , $\varphi_2$ e longitudes $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , e a direção em que se deve partir:

forme o triângulo cujos vértices são o Polo Norte $P$ e os dois lugares; seus lados a partir do polo são as colatitudes $90{}^{\circ} - \varphi_1$ e $90{}^{\circ} - \varphi_2$ , e seu ângulo no polo é a diferença de longitude $\Delta\lambda$ ;
a lei dos cossenos dá a distância angular $\Delta$ : $\cos\Delta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda$ ; a distância é $R\Delta$ ( $\Delta$ em radianos);
o rumo inicial é o ângulo do triângulo no primeiro lugar, dado pela lei dos cossenos aplicada ao lado oposto a ele, $\sin\varphi_2 = \sin\varphi_1\cos\Delta + \cos\varphi_1\sin\Delta\cos \mathrm{Az}$ , e é medido a partir do norte em direção ao segundo lugar.

O rumo muda ao longo do círculo máximo (exceto ao longo de um meridiano ou do equador): um navio ou um avião que mantém o mesmo rumo de bússola percorre outra curva, mais longa.

1.2 Coordenadas sobre a esfera

Definição 1.5 (Latitude e longitude)

A latitude $\varphi$ de um ponto é o ângulo entre o plano equatorial e o raio que passa pelo ponto, indo de $-90{}^{\circ}$ (Polo Sul) a $+90{}^{\circ}$ (Polo Norte); sua longitude $\lambda$ é o ângulo, medido no plano equatorial, entre o semiplano meridiano do ponto e o de um meridiano de referência, o que passa por Greenwich, contado positivamente para leste, de $-180{}^{\circ}$ a $180{}^{\circ}$ .

A Terra é, na verdade, levemente achatada; a latitude usada nos mapas e no céu é o ângulo entre a vertical local e o plano equatorial, que difere do ângulo geocêntrico em no máximo $0.2{}^{\circ}$ (Capítulo 11). As linhas de igual latitude, os paralelos, são círculos menores; os meridianos são metades de círculos máximos.

Definição 1.6 (A esfera celeste)

A esfera celeste é uma esfera imaginária centrada no observador, na qual cada estrela é colocada na sua direção; só importam as direções, não as distâncias. Os prolongamentos do eixo da Terra encontram-na nos polos celestes norte e sul; o plano do equador terrestre a corta ao longo do equador celeste. O zênite é o ponto que está diretamente acima, sobre a vertical local; o horizonte é o círculo máximo a $90{}^{\circ}$ dele. O meridiano local é o círculo máximo que passa pelo zênite e pelos polos celestes; ele encontra o horizonte nos pontos norte e sul.

Quando a Terra gira de oeste para leste, a esfera celeste parece girar no sentido contrário, de leste para oeste, em torno do eixo dos polos celestes, uma volta em um pouco menos de um dia. As estrelas mantêm suas posições relativas: estão tão distantes que uma viagem de um ano em torno do Sol altera suas direções em menos de um segundo de arco (Capítulo 2).

Definição 1.7 (Coordenadas horizontais)

A altura angular $h$ de uma estrela é o seu ângulo acima do horizonte, de $-90{}^{\circ}$ a $90{}^{\circ}$ ; sua distância zenital é $z = 90{}^{\circ} - h$ . Seu azimute $\mathrm{A}$ é o ângulo, ao longo do horizonte, entre o ponto norte e o pé do círculo vertical da estrela, contado de $0{}^{\circ}$ a $360{}^{\circ}$ passando pelo leste.

As coordenadas horizontais são as do observador: mudam com o lugar e com o tempo. As coordenadas do próprio céu são arrastadas pela sua rotação.

Definição 1.8 (Coordenadas equatoriais)

A declinação $\delta$ de uma estrela é o seu ângulo em relação ao equador celeste, positivo para o norte, de $-90{}^{\circ}$ a $90{}^{\circ}$ . O círculo máximo que passa pela estrela e pelos polos celestes é o seu círculo horário. O ângulo horário $H$ da estrela é o ângulo, no polo celeste, entre o meridiano local e o círculo horário da estrela, contado para oeste, em horas de $15{}^{\circ}$ . A ascensão reta $\alpha$ é o ângulo, ao longo do equador celeste, entre um ponto fixo do céu, o ponto vernal (Definição 1.12), e o círculo horário da estrela, contado para leste, também em horas.

A declinação e a ascensão reta são fixas no céu, como a latitude e a longitude na Terra: os catálogos as listam. A palavra declinação é usada aqui apenas nesse sentido astronômico; o ângulo entre o norte geográfico e o norte de uma bússola chama-se sempre declinação magnética (Capítulo 6).

Proposição 1.9 (De coordenadas equatoriais a horizontais)

Na latitude $\varphi$ , uma estrela de declinação $\delta$ e ângulo horário $H$ tem a altura angular e o azimute dados por

\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H, \qquad \cos\mathrm{A} = \frac{\sin\delta - \sin\varphi\sin h}{\cos\varphi\cos h},

com $\mathrm{A}$ entre $0{}^{\circ}$ e $180{}^{\circ}$ quando a estrela está a leste do meridiano ( $\sin H < 0$ ) e $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - \arccos(\dots)$ quando está a oeste. Em particular, a altura angular do polo celeste norte é igual à latitude.

Demonstração. Considere o triângulo formado pelo polo celeste norte $P$ , pelo zênite $Z$ e pela estrela $X$ (o triângulo astronômico, ou triângulo de posição). A vertical local faz o ângulo $\varphi$ com o plano equatorial, logo $PZ = 90{}^{\circ} - \varphi$ ; $PX = 90{}^{\circ} - \delta$ ; $ZX = 90{}^{\circ} - h$ . O ângulo em $P$ é o ângulo horário $H$ ; o ângulo em $Z$ é o azimute da estrela medido a partir do norte (a leste ou a oeste do meridiano). A lei dos cossenos para o lado $ZX$ , oposto a $P$ , dá $\cos(90{}^{\circ} - h) = \cos(90{}^{\circ} - \varphi)\cos(90{}^{\circ} - \delta) + \sin(90{}^{\circ} - \varphi)\sin(90{}^{\circ} - \delta)\cos H$ , a primeira fórmula. A lei dos cossenos para o lado $PX$ , oposto a $Z$ , dá $\sin\delta = \sin\varphi\sin h + \cos\varphi\cos h\cos\mathrm{A}$ , a segunda. Para o polo, $\delta = 90{}^{\circ}$ e a primeira fórmula se reduz a $\sin h = \sin\varphi$ . ∎

O céu na latitude 45 N, visto de oeste, com o norte à esquerda. O polo celeste norte P está a uma altura angular acima do ponto norte igual à latitude (em vermelho: o eixo dos polos celestes); o equador celeste (em azul) cruza o horizonte nos pontos leste e oeste. Uma estrela X de declinação 25, três horas e vinte minutos depois de sua passagem pelo meridiano (ângulo horário 50), está na altura angular h = 45.3 (em verde: seu círculo vertical, do zênite Z ao horizonte) e no azimute 261; seu círculo horário (traço e ponto) vai do polo, passando pela estrela, até o equador. Calculado com . — O céu na latitude $45{}^{\circ}$ N, visto de oeste, com o norte à esquerda. O polo celeste norte $P$ está a uma altura angular acima do ponto norte igual à latitude (em vermelho: o eixo dos polos celestes); o equador celeste (em azul) cruza o horizonte nos pontos leste e oeste. Uma estrela $X$ de declinação $25{}^{\circ}$ , três horas e vinte minutos depois de sua passagem pelo meridiano (ângulo horário $50{}^{\circ}$ ), está na altura angular $h = 45.3{}^{\circ}$ (em verde: seu círculo vertical, do zênite $Z$ ao horizonte) e no azimute $261{}^{\circ}$ ; seu círculo horário (traço e ponto) vai do polo, passando pela estrela, até o equador. Calculado com Proposição 1.9.

Proposição 1.10 (Culminação e estrelas circumpolares)

Na latitude $\varphi$ , uma estrela de declinação $\delta$ culmina no meridiano ( $H = 0$ ) à altura angular $90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$ , ao sul do zênite se $\delta < \varphi$ , e ao norte dele se $\delta > \varphi$ . No hemisfério norte ( $\varphi > 0$ ) ela nunca se põe se $\delta > 90{}^{\circ} - \varphi$ , e nunca nasce se $\delta < -(90{}^{\circ} - \varphi)$ .

Demonstração. Para $H = 0$ , $\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta = \cos(\varphi - \delta)$ , logo $h = 90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$ . A menor altura angular, em $H = 180{}^{\circ}$ , satisfaz $\sin h = -\cos(\varphi + \delta)$ ; ela é positiva quando $\varphi + \delta > 90{}^{\circ}$ . A estrela permanece abaixo do horizonte quando até a sua maior altura angular é negativa, $|\varphi - \delta| > 90{}^{\circ}$ . ∎

Definição 1.11 (Estrela circumpolar)

Uma estrela circumpolar é uma estrela que nunca se põe na latitude do observador: ela gira em torno do polo celeste, cruzando o meridiano acima do polo e, doze horas sideais depois, abaixo dele.

Rastros de estrelas sobre o Observatório do Paranal, no deserto do Atacama, na latitude 24.6 S: uma longa exposição registra o arco de cada estrela em torno do polo celeste sul, que fica 24.6 acima do horizonte sul. Fotografia de R. Wesson/ESO, CC BY 4.0. — Rastros de estrelas sobre o Observatório do Paranal, no deserto do Atacama, na latitude $24.6{}^{\circ}$ S: uma longa exposição registra o arco de cada estrela em torno do polo celeste sul, que fica $24.6{}^{\circ}$ acima do horizonte sul. Fotografia de R. Wesson/ESO, CC BY 4.0.

1.3 Tempo sideral e tempo solar

Definição 1.12 (A eclíptica)

A eclíptica é o círculo máximo da esfera celeste ao longo do qual o Sol parece se mover em um ano, o traço do plano da órbita da Terra. Ela é inclinada em relação ao equador celeste pela obliquidade da eclíptica $\varepsilon$ , a inclinação do eixo da Terra em relação à sua órbita. A eclíptica cruza o equador em dois pontos; o ponto vernal $\gamma$ é aquele em que o Sol cruza o equador rumo ao norte, em março. A longitude eclíptica $\lambda_\odot$ do Sol é o seu ângulo ao longo da eclíptica, a partir de $\gamma$ , contado para leste.

A obliquidade atual é $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ .

Definição 1.13 (Tempo sideral)

O tempo sideral local é o ângulo horário do ponto vernal $\gamma$ . Um dia sideral é o intervalo entre duas passagens de $\gamma$ pelo meridiano.

Como a ascensão reta é contada para leste a partir de $\gamma$ e o ângulo horário para oeste a partir do meridiano, para qualquer estrela

H = \mathrm{LST} - \alpha ,

em que LST é o tempo sideral local: uma estrela cruza o meridiano quando o tempo sideral é igual à sua ascensão reta. Um relógio de observatório que indica o tempo sideral mostra de relance qual parte do céu está acima da cabeça.

Proposição 1.14 (Dias sideral e solar)

Em um ano tropical de $N$ dias solares médios, a Terra gira $N + 1$ vezes em relação às estrelas. Logo o dia sideral dura

\frac{N}{N + 1}\times24\,\mathrm{h},

e com $N = 365.2422$ isso dá $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4.09\,\mathrm{s}$ : uma estrela cruza o meridiano $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ de tempo solar médio mais cedo a cada dia.

Demonstração. Conte as voltas em relação ao Sol e em relação às estrelas ao longo de um ano. O Sol percorre uma vez a eclíptica para leste em um ano, no sentido da rotação da Terra. Em relação ao Sol, a Terra dá portanto uma volta a menos do que em relação às estrelas: $N$ dias solares e $N + 1$ dias siderais preenchem o mesmo ano. O dia sideral é $N/(N+1)$ do dia solar, ou seja, $86\,400\,\mathrm{s}\times 365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s}$ ; a diferença é $235.9\,\mathrm{s}$ . Isso concorda com o período de rotação da Terra medido em relação às estrelas, $23.9345\,\mathrm{h}$ . ∎

Definição 1.15 (Tempo solar)

O tempo solar aparente é o ângulo horário do Sol mais 12 horas: um relógio de sol o indica, e é meio-dia quando o Sol cruza o meridiano. O tempo solar médio é o ângulo horário, mais 12 horas, de um Sol médio fictício que percorre o equador celeste com velocidade uniforme, completando uma volta em um ano tropical. Sua diferença, aparente menos médio, é a equação do tempo.

O Sol verdadeiro adianta-se e atrasa-se em relação ao Sol médio por dois motivos. A Terra se move mais depressa perto do periélio, em início de janeiro, do que perto do afélio, de modo que o avanço do Sol ao longo da eclíptica é irregular (segunda lei de Kepler); e o Sol se move ao longo da eclíptica, que é inclinada em relação ao equador, de modo que até um movimento uniforme ao longo da eclíptica se projeta sobre o equador (que é o que o ângulo horário mede) de maneira irregular, mais rápido perto dos solstícios do que perto dos equinócios. Os relógios civis marcam o tempo solar médio de um meridiano de referência de seu fuso horário; a hora média local na longitude $\lambda$ está adiantada em relação à hora de Greenwich em $\lambda/15{}^{\circ}$ horas.

A equação do tempo ao longo do ano (tempo solar aparente menos médio): um relógio de sol adianta-se até 16.4\, min em início de novembro e atrasa-se 14.2\, min em meados de fevereiro. Calculada a partir de uma órbita de Kepler com excentricidade 0,0167, obliquidade 23.44, a longitude do periélio e a data do equinócio de março de 2026. — A equação do tempo ao longo do ano (tempo solar aparente menos médio): um relógio de sol adianta-se até $16.4\,\mathrm{min}$ em início de novembro e atrasa-se $14.2\,\mathrm{min}$ em meados de fevereiro. Calculada a partir de uma órbita de Kepler com excentricidade 0,0167, obliquidade $23.44{}^{\circ}$ , a longitude do periélio e a data do equinócio de março de 2026.

1.4 Nascer e pôr do Sol

Proposição 1.16 (Nascer e pôr)

Na latitude $\varphi$ , uma estrela de declinação $\delta$ que nasce e se põe cruza o horizonte nos ângulos horários $\pm H_0$ , dados por

\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,

no azimute $\mathrm{A}_0$ , com $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ (no nascer; ela se põe em $360{}^{\circ} - \mathrm{A}_0$ ). Ela permanece acima do horizonte durante $2H_0$ , convertido em horas à razão de $15{}^{\circ}$ por hora.

Demonstração. No horizonte $h = 0$ , e a Proposição 1.9 dá $0 = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H_0$ , e $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ . O ângulo horário cresce uniformemente, de $15{}^{\circ}$ por hora, de $-H_0$ no nascer até $+H_0$ no pôr. ∎

Para o Sol, isso dá a duração do dia, se o Sol for tratado como um ponto e se a refração da luz pela atmosfera for ignorada (ambas as simplificações acrescentam alguns minutos de luz do dia). Nos equinócios $\delta = 0$ , $H_0 = 90{}^{\circ}$ : dia e noite duram doze horas em toda parte, e o Sol nasce exatamente a leste.

O caminho do Sol pelo céu na latitude 45 N no solstício de junho (em vermelho), nos equinócios (em preto) e no solstício de dezembro (em azul), com as alturas angulares ao meio-dia 90 - + _. Nos equinócios o Sol nasce exatamente a leste e se põe exatamente a oeste; em junho ele nasce a nordeste. — O caminho do Sol pelo céu na latitude $45{}^{\circ}$ N no solstício de junho (em vermelho), nos equinócios (em preto) e no solstício de dezembro (em azul), com as alturas angulares ao meio-dia $90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$ . Nos equinócios o Sol nasce exatamente a leste e se põe exatamente a oeste; em junho ele nasce a nordeste.

Proposição 1.17 (Declinação do Sol)

Quando o Sol está na longitude eclíptica $\lambda_\odot$ , sua declinação e sua ascensão reta satisfazem

\sin\delta_\odot = \sin\varepsilon\sin\lambda_\odot, \qquad \tan\alpha_\odot = \cos\varepsilon\tan\lambda_\odot .

Demonstração. Tome eixos com $x$ apontando para $\gamma$ e $z$ para o polo celeste norte. Nos eixos $x$ , $y'$ , $z'$ ligados à eclíptica, com $z'$ apontando para o seu polo, a direção do Sol é $(\cos\lambda_\odot, \sin\lambda_\odot, 0)$ . Os eixos da eclíptica são os do equador girados pelo ângulo $\varepsilon$ em torno de $x$ , de modo que, nos eixos equatoriais, a direção do Sol é $(\cos\lambda_\odot,\ \sin\lambda_\odot\cos\varepsilon,\ \sin\lambda_\odot\sin\varepsilon)$ . Sua componente $z$ é $\sin\delta_\odot$ ; a razão entre suas componentes $y$ e $x$ é $\tan\alpha_\odot$ . ∎

Duração do dia (com o centro do Sol acima do horizonte geométrico) ao longo do ano em cinco latitudes do hemisfério norte, com base nas . 70 N o Sol permanece acima do horizonte durante semanas em torno do solstício de junho e fica abaixo dele em torno do solstício de dezembro. No hemisfério sul as curvas estão deslocadas de meio ano. — Duração do dia (com o centro do Sol acima do horizonte geométrico) ao longo do ano em cinco latitudes do hemisfério norte, com base nas Proposições 1.16 e 1.17. $70{}^{\circ}$ N o Sol permanece acima do horizonte durante semanas em torno do solstício de junho e fica abaixo dele em torno do solstício de dezembro. No hemisfério sul as curvas estão deslocadas de meio ano.

Definição 1.18 (Insolação)

A insolação em um lugar e em um instante é a potência da luz solar recebida por unidade de área de uma superfície horizontal no topo da atmosfera. Sendo $S_0$ a irradiância solar à distância média $a$ do Sol, $r$ a distância real e $\theta_z$ a distância zenital do Sol,

I = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\cos\theta_z = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\sin h_\odot \quad (h_\odot > 0), \qquad I = 0 \text{ à noite}.

O fator $(a/r)^2$ é a lei do inverso do quadrado para a luz (nos livros de física); o fator $\cos\theta_z$ aparece porque um feixe de seção transversal de um metro quadrado se espalha por $1/\cos\theta_z$ metros quadrados de solo horizontal. Com $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ e uma distância Sol–Terra entre $147.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ no periélio e $152.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ no afélio, o fator $(a/r)^2$ varia $\pm3.4\,\%$ ao longo do ano. A inclinação do eixo faz bem mais: altera tanto a altura angular do Sol ao meio-dia quanto a duração do dia, e esses dois efeitos juntos produzem as estações. As somas diárias e anuais da insolação, que movem o clima, são calculadas em Capítulo 27.

1.5 Calendários

Definição 1.19 (Ano tropical)

O ano tropical é o intervalo médio entre duas passagens do Sol pelo ponto vernal. Ele governa as estações; dura 365.2422 dias solares médios.

O ano tropical é cerca de vinte minutos mais curto que o ano sideral, o tempo que a Terra leva para voltar ao mesmo lugar entre as estrelas (365.256 dias), porque o eixo da Terra gira lentamente — ele precessiona — e leva o ponto vernal para trás ao longo da eclíptica (no Livro 4). Um calendário precisa ajustar um número inteiro de dias ao ano tropical, para que as estações voltem nas mesmas datas.

Proposição 1.20 (O ano gregoriano)

No calendário gregoriano, um ano é bissexto, com 366 dias, se seu número é divisível por 4, exceto os anos-século, que são bissextos apenas se forem divisíveis por 400. Seu ano médio é

365 + \frac14 - \frac1{100} + \frac1{400} = 365.2425\text{ dias},

e ele se desloca em relação às estações um dia a cada cerca de 3300 anos.

Demonstração. Em 400 anos há 100 anos divisíveis por 4; entre eles há quatro anos-século, dos quais três não são divisíveis por 400. Há portanto 97 anos bissextos e $400\times 365 + 97 = 146\,097$ dias, ou seja, 365.2425 dias por ano. Frente a um ano tropical de 365.2422 dias, o excesso é de 0.0003 dia por ano: um dia em $1/0.0003 \approx 3300$ anos. ∎

História — A reforma de 1582

O calendário juliano, herdado de Roma, acrescentava um dia bissexto a cada quatro anos: seu ano de 365.25 dias é mais longo que o ano tropical em 0.0078 dia, ou seja, um dia a cada 128 anos. Ao longo dos séculos a data do equinócio de março afastou-se de 21 de março, data em que se baseava o cálculo da Páscoa. Em 1582 o papa Gregório XIII introduziu o calendário que leva seu nome, que eliminou de uma vez os dias acumulados e substituiu a regra juliana pela regra de Proposição 1.20. Ele se tornou o calendário civil aceito internacionalmente.

No campo — Localizar uma posição pelas estrelas

Antes da localização por satélite, os navegadores no mar encontravam sua latitude e longitude pelo céu. Com um sextante mediam a altura angular do Sol ao meio-dia, ou a de duas ou três estrelas ao entardecer, e liam a hora num cronômetro ajustado à hora do meridiano de Greenwich. Cada altura angular, junto com a declinação da estrela e seu ângulo horário em Greenwich, tirados de um almanaque, dá um pequeno círculo sobre a Terra no qual está o navio: o círculo dos pontos em que a estrela tem aquela altura angular. Dois ou três desses círculos se cruzam na posição do navio — trigonometria esférica resolvida no mar todos os dias. A altura angular do Sol ao meio-dia sozinha dá a latitude (Proposição 1.10); a hora do meio-dia local no relógio dá a longitude, à razão de quatro minutos de tempo por grau.

1.6 Exercícios

Exercício 1.1 ★

Um observador está na latitude $52{}^{\circ}$ N. Calcule a altura angular do polo celeste norte acima do horizonte. Quais estrelas, pela sua declinação, nunca se põem ali, e quais nunca nascem?

Solução

Solução de Exercício 1.1.

A altura angular do polo é igual à latitude: $52{}^{\circ}$ . Uma estrela nunca se põe se $\delta > 90{}^{\circ} - 52{}^{\circ} = 38{}^{\circ}$ , e nunca nasce se $\delta < -38{}^{\circ}$ .

Exercício 1.2 ★

Converta uma ascensão reta de $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ em graus. Com um tempo sideral local de $10\,\mathrm{h}$ $0\,\mathrm{min}$ , calcule o ângulo horário de uma estrela com essa ascensão reta. Ela está a leste ou a oeste do meridiano?

Solução

Solução de Exercício 1.2.

$6.75\,\mathrm{h}\times15{}^{\circ} = 101.25{}^{\circ}$ . $H = \mathrm{LST} - \alpha = 10\,\mathrm{h} - 6\,\mathrm{h}\,45\,\mathrm{min} = 3\,\mathrm{h}\,15\,\mathrm{min}$ , ou seja $48.75{}^{\circ}$ . O ângulo horário é positivo: a estrela está a oeste do meridiano, que ela cruzou há três horas e um quarto siderais.

Exercício 1.3 ★

Na latitude $40{}^{\circ}$ N, calcule a altura angular do Sol ao meio-dia nos dois solstícios e nos equinócios ( $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ ).

Solução

Solução de Exercício 1.3.

$h = 90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$ : $73.44{}^{\circ}$ no solstício de junho, $50{}^{\circ}$ nos equinócios, $26.56{}^{\circ}$ no solstício de dezembro.

Exercício 1.4 ★

1900 foi um ano bissexto? E 2000? Será 2100? Calcule de quantos dias por século o calendário juliano se desloca em relação a um ano tropical de 365.2422 dias, e de quantos o calendário gregoriano se desloca.

Solução

Solução de Exercício 1.4.

1900: divisível por 100, mas não por 400, não é bissexto. 2000: divisível por 400, é bissexto. 2100: não é bissexto. O ano juliano excede o ano tropical em $365.25 - 365.2422 = 0.0078$ dia, $0.78$ dia por século; o ano gregoriano em $0.0003$ dia, $0.03$ dia por século.

Exercício 1.5 ★★

Dois pontos estão na latitude $45{}^{\circ}$ N, nas longitudes $0{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ}$ L. Calcule a distância sobre o círculo máximo entre eles ( $R = 6371\,\mathrm{km}$ ) e a distância ao longo de seu paralelo. Qual é a menor, e por quanto?

Solução

Solução de Exercício 1.5.

$\cos\Delta = \sin^245{}^{\circ} + \cos^245{}^{\circ}\cos90{}^{\circ} = 0.5$ , logo $\Delta = 60{}^{\circ}$ e a distância é $6371\times\pi/3 = 6672\,\mathrm{km}$ . Ao longo do paralelo, um círculo menor de raio $R\cos45{}^{\circ}$ , a distância é $6371\times\cos45{}^{\circ}\times\pi/2 = 7076\,\mathrm{km}$ . O círculo máximo é mais curto por cerca de $404\,\mathrm{km}$ .

Exercício 1.6 ★★

Na latitude $48{}^{\circ}$ N, uma estrela de declinação $20{}^{\circ}$ tem ângulo horário $30{}^{\circ}$ . Calcule sua altura angular e seu azimute. Em que direção o observador deve olhar?

Solução

Solução de Exercício 1.6.

$\sin h = \sin48{}^{\circ}\sin20{}^{\circ} + \cos48{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 0.2542 + 0.5446 = 0.7987$ , $h = 53.0{}^{\circ}$ . $\cos\mathrm{A} = (\sin20{}^{\circ} - \sin48{}^{\circ}\sin53.0{}^{\circ})/(\cos48{}^{\circ} \cos53.0{}^{\circ}) = (0.3420 - 0.5935)/0.4027 = -0.6246$ , $\arccos = 128.7{}^{\circ}$ ; a estrela está a oeste do meridiano ( $H > 0$ ), logo $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - 128.7{}^{\circ} = 231.3{}^{\circ}$ : para o sudoeste, $53{}^{\circ}$ acima do horizonte.

Exercício 1.7 ★★

Calcule a duração do dia na latitude $60{}^{\circ}$ N no solstício de junho, tratando o Sol como um ponto sobre um horizonte geométrico. Confira sua resposta na figura da duração do dia.

Solução

Solução de Exercício 1.7.

$\cos H_0 = -\tan60{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -1.7321\times0.4335 = -0.7510$ , $H_0 = 138.67{}^{\circ}$ , duração do dia $2\times138.67/15 = 18.49\,\mathrm{h}$ , cerca de $18\,\mathrm{h}$ $29\,\mathrm{min}$ , como mostra a curva de $60{}^{\circ}$ N no solstício de junho.

Exercício 1.8 ★★

Uma estrela cruza o meridiano nesta noite às 22 h, no tempo solar médio local. Calcule em que hora ela cruzará o meridiano daqui a 30 dias. Em quantos dias ela cruzará ao meio-dia, invisível na luz do dia?

Solução

Solução de Exercício 1.8.

A passagem se adianta $3.93\,\mathrm{min}$ por dia, logo $30\times3.93 = 118\,\mathrm{min}$ em 30 dias: a estrela cruza o meridiano por volta das 20 h 02 min. Para cruzar ao meio-dia ela precisa adiantar-se $10\,\mathrm{h}$ = $600\,\mathrm{min}$ , o que leva $600/3.93 \approx 153$ dias.

Exercício 1.9 ★★

Calcule a insolação no topo da atmosfera ao meio-dia na latitude $45{}^{\circ}$ N (a) em um equinócio, tomando $r = a$ ; (b) no solstício de junho, tomando para $r$ a distância do afélio. Dados: $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $a = 149.598 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ , afélio $152.100 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ .

Solução

Solução de Exercício 1.9.

(a) Em um equinócio a altura angular ao meio-dia é $45{}^{\circ}$ : $I = 1361\times\sin45{}^{\circ} = 962\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . (b) No solstício de junho $h = 68.44{}^{\circ}$ e $(a/r)^2 = (149.598/152.100)^2 = 0.9674$ : $I = 1361\times0.9674\times\sin68.44{}^{\circ} = 1224\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . O Sol mais alto compensa de sobra a maior distância.

Exercício 1.10 ★★★

Usando Proposição 1.17, calcule a declinação e a ascensão reta do Sol quando sua longitude eclíptica é $60{}^{\circ}$ . De quantos graus a ascensão reta fica atrás da longitude? Explique, com esse resultado, por que a inclinação da eclíptica contribui para a equação do tempo.

Solução

Solução de Exercício 1.10.

$\sin\delta_\odot = \sin23.44{}^{\circ}\sin60{}^{\circ} = 0.3445$ , $\delta_\odot = 20.15{}^{\circ}$ . $\tan\alpha_\odot = \cos23.44{}^{\circ}\tan60{}^{\circ} = 1.5890$ , $\alpha_\odot = 57.82{}^{\circ}$ (no mesmo quadrante que $\lambda_\odot$ ). A ascensão reta fica atrás por $2.18{}^{\circ}$ , ou seja, $2.18\times4 \approx 8.7\,\mathrm{min}$ de tempo. Um Sol que se movesse uniformemente ao longo da eclíptica ainda se moveria de forma irregular em ascensão reta, a grandeza que fixa o ângulo horário e, portanto, o relógio de sol: atrás do Sol médio entre um equinócio e o solstício seguinte, à frente entre um solstício e o equinócio seguinte. Esse é o termo de obliquidade da equação do tempo.

Exercício 1.11 ★★★

Mostre que no solstício de junho o Sol nasce no azimute $\mathrm{A}_0$ , com $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$ . Em que latitude ele nasce exatamente a nordeste? O que acontece com a fórmula nas latitudes acima de $90{}^{\circ} - \varepsilon$ ?

Solução

Solução de Exercício 1.11.

Ao nascer $h = 0$ , logo a Proposição 1.9 dá $\sin\delta = \cos\varphi\cos\mathrm{A}_0$ ; no solstício de junho $\delta = \varepsilon$ , logo $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$ . Para $\mathrm{A}_0 = 45{}^{\circ}$ : $\cos\varphi = \sin23.44{}^{\circ}/\cos45{}^{\circ} = 0.5626$ , $\varphi = 55.8{}^{\circ}$ N. Acima de $90{}^{\circ} - \varepsilon = 66.56{}^{\circ}$ , $\sin\varepsilon/\cos\varphi > 1$ : não há azimute de nascer, porque o Sol não se põe naquele dia (sol da meia-noite).

Exercício 1.12 ★★★

Um fuso esférico é a parte de uma esfera entre dois semicírculos máximos que unem dois pontos opostos, formando entre si o ângulo $\theta$ . (a) Mostre que sua área é $2\theta R^2$ . (b) Cada lado de um triângulo esférico $ABC$ , prolongado até um círculo máximo completo, determina com os outros dois lados três pares de fusos opostos, de ângulos $A$ , $B$ , $C$ , que cobrem a esfera; o triângulo e o seu oposto são cobertos três vezes. Deduza o teorema de Girard: a área do triângulo é $R^2(A + B + C - \pi)$ . (c) Aplique-o ao triângulo com três ângulos retos e ao triângulo desenhado neste capítulo (ângulos $89.9{}^{\circ}$ , $64.9{}^{\circ}$ , $67.4{}^{\circ}$ ).

Solução

Solução de Exercício 1.12.

(a) Um fuso esférico de ângulo $\theta$ é a fração $\theta/2\pi$ da esfera: $\frac{\theta}{2\pi}\times4\pi R^2 = 2\theta R^2$ . (b) Os três pares de fusos têm área total $2\times(2A + 2B + 2C)R^2$ ; eles cobrem a esfera uma vez, exceto o triângulo e o seu oposto, cobertos três vezes cada um, ou seja, duas vezes mais do que o necessário: $4(A + B + C)R^2 = 4\pi R^2 + 4S$ , em que $S$ é a área do triângulo. Daí $S = R^2(A + B + C - \pi)$ . (c) Três ângulos retos: $S = R^2(3\pi/2 - \pi) = \pi R^2/2$ , um oitavo da esfera (um octante). O triângulo da figura: $89.9 + 64.9 + 67.4 - 180 = 42.2{}^{\circ}$ , isto é, $0.736$ radiano: $S = 0.736\,R^2$ , $5.9\,\%$ da esfera.

1.7 Problema: uma noite em um observatório de montanha

Problema 1.1

Problema de fim de semana — onde se situa o Observatório do Paranal, o que mostra o seu céu e quanto dura a sua noite mais longa

O Observatório do Paranal fica no deserto do Atacama, na latitude $24.63{}^{\circ}$ S, longitude $70.40{}^{\circ}$ O. O Observatório Real de Greenwich, a partir do qual se contam as longitudes, fica em $51.48{}^{\circ}$ N, $0.00{}^{\circ}$ . Duas estrelas brilhantes do céu do sul têm as coordenadas

estrela	ascensão reta	declinação
Sirius	$6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ $9\,\mathrm{s}$	$-16.72{}^{\circ}$
Canopus	$6\,\mathrm{h}$ $23\,\mathrm{min}$ $57\,\mathrm{s}$	$-52.70{}^{\circ}$

Use $R = 6371\,\mathrm{km}$ , $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ , um ano tropical de 365.2422 dias, e trate o Sol como um ponto sobre um horizonte geométrico.

Parte I — O Paranal no globo.

Dê as colatitudes do Paranal e de Greenwich, e a diferença de longitude entre eles.
Escreva a lei dos cossenos para o triângulo Polo Norte–Paranal–Greenwich e calcule o cosseno da distância angular $\Delta$ entre os dois observatórios.
Deduza $\Delta$ em graus e a distância sobre o círculo máximo, em quilômetros.
Calcule o rumo inicial do Paranal em direção a Greenwich (Método 1.4).
Confira o rumo pela lei dos senos.
Uma aeronave que mantivesse esse rumo durante todo o trajeto chegaria a Greenwich? Explique.

Parte II — O céu do Paranal.

Calcule a altura angular do polo celeste sul acima do horizonte sul do Paranal.
Calcule a altura angular em que Sirius cruza o meridiano e de que lado do zênite ela fica.
Determine a declinação-limite abaixo da qual uma estrela é circumpolar no Paranal. Canopus é circumpolar?
Calcule a maior altura angular que Canopus atinge.
Calcule o ângulo horário em que Sirius nasce e por quanto tempo ela permanece acima do horizonte, em horas siderais.
Calcule o azimute em que Sirius nasce.

Parte III — Relógios.

Qual é o tempo sideral local quando Sirius cruza o meridiano?
Calcule a duração do dia sideral e de quantos minutos a passagem de uma estrela pelo meridiano se adianta a cada noite.
Tome o tempo sideral local à meia-noite média local como sendo $12\,\mathrm{h}$ no equinócio de março (20 de março de 2026), quando o Sol está perto do ponto vernal; ele então ganha $24/365.2422$ horas por dia. Quantos dias depois do equinócio Sirius cruza o meridiano à meia-noite média local? Em que data?
Nessa noite, em quanto o tempo médio local do Paranal difere do tempo de Greenwich?
A equação do tempo é então de cerca de $-3\,\mathrm{min}$ . Que horas marca um relógio de sol no observatório (tempo solar aparente) quando Sirius cruza o meridiano?
Calcule quanto antes ela cruza o meridiano uma semana depois.

Parte IV — A noite mais longa.

Calcule a declinação do Sol em cada solstício.
Calcule a altura angular do Sol ao meio-dia no Paranal nos solstícios de junho e de dezembro. De que lado do zênite ele fica em dezembro?
No solstício de dezembro, a distância Sol–Terra é 0.9837 vez a distância média. Calcule a insolação ao meio-dia no topo da atmosfera acima do Paranal ( $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ).
Em qual solstício a noite é mais longa no Paranal? Calcule o ângulo horário do pôr do Sol nessa data.
Em que azimute o Sol nasce nessa data?
Deduza a duração da noite mais longa do ano no Paranal, em horas e minutos.

Solução

Solução de Problema 1.1.

1. Colatitudes $90{}^{\circ} - (-24.63{}^{\circ}) = 114.63{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ} - 51.48{}^{\circ} = 38.52{}^{\circ}$ ; diferença de longitude $70.40{}^{\circ}$ .

2. $\cos\Delta = \cos114.63{}^{\circ}\cos38.52{}^{\circ} + \sin114.63{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}\cos70.40{}^{\circ} = -0.3260 + 0.1899 = -0.1362$ .

3. $\Delta = 97.83{}^{\circ}$ ; distância $6371\times1.7074 = 10\,878\,\mathrm{km}$ , cerca de $10\,900\,\mathrm{km}$ .

\cos\mathrm{Az} = \frac{\cos38.52{}^{\circ} - \cos114.63{}^{\circ}\cos97.83{}^{\circ}} {\sin114.63{}^{\circ}\sin97.83{}^{\circ}} = \frac{0.7823 - 0.0568}{0.9006} = 0.8056 ,

$\mathrm{Az} = 36.3{}^{\circ}$ , para nordeste.

5. $\sin\mathrm{Az} = \sin70.40{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}/\sin97.83{}^{\circ} = 0.5922$ , o que dá $36.3{}^{\circ}$ ou $143.7{}^{\circ}$ ; o cosseno positivo da questão 4 seleciona $36.3{}^{\circ}$ .

6. Não. Um rumo constante cruza todos os meridianos sob o mesmo ângulo e se enrola em direção a um polo; o rumo do círculo máximo muda continuamente (é $36.3{}^{\circ}$ só no início). A aeronave voaria um caminho mais longo e chegaria a outro lugar, a menos que corrigisse o rumo.

7. A altura angular do polo celeste sul é igual ao módulo da latitude: $24.63{}^{\circ}$ .

8. $h = 90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - (-16.72{}^{\circ})| = 82.09{}^{\circ}$ ; $\delta > \varphi$ , logo Sirius passa $7.91{}^{\circ}$ ao norte do zênite.

9. Uma estrela nunca se põe se $\delta < -(90{}^{\circ} - 24.63{}^{\circ}) = -65.37{}^{\circ}$ . Canopus, em $-52.70{}^{\circ}$ , não é circumpolar: ela se põe.

10. $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 52.70{}^{\circ}| = 61.93{}^{\circ}$ , ao sul do zênite.

11. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})\tan(-16.72{}^{\circ}) = -(0.4584)(0.3004) = -0.1377$ ; $H_0 = 97.92{}^{\circ}$ . Sirius fica acima do horizonte $2\times97.92/15 = 13.06\,\mathrm{h}$ de tempo sideral, cerca de $13\,\mathrm{h}$ .

12. $\cos\mathrm{A}_0 = \sin(-16.72{}^{\circ})/\cos24.63{}^{\circ} = -0.3165$ : Sirius nasce no azimute $108.5{}^{\circ}$ , ao sul do leste.

13. Quando $H = 0$ , $\mathrm{LST} = \alpha = 6\,\mathrm{h}~45\,\mathrm{min}~9\,\mathrm{s}$ .

14. $86\,400\,\mathrm{s}\times365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s} = 23\,\mathrm{h}~56\,\mathrm{min}~4\,\mathrm{s}$ ; a passagem se adianta $235.9\,\mathrm{s}$ , $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ , a cada noite.

15. Precisamos de $12 + n\times24/365.2422 = 6.7525 + 24$ , logo $n = 18.7525/0.065710 = 285.4$ dias. 285 dias depois de 20 de março é 30 de dezembro: Sirius cruza o meridiano à meia-noite média local na noite de 30 para 31 de dezembro de 2026.

16. Paranal está $70.40{}^{\circ}$ a oeste de Greenwich: o tempo médio local está atrasado em $70.40/15 = 4.693\,\mathrm{h}$ , $4\,\mathrm{h}$ $41.6\,\mathrm{min}$ .

17. Tempo solar aparente = tempo solar médio + equação do tempo = $0\,\mathrm{h} - 3\,\mathrm{min}$ : o relógio de sol marca cerca de 23 h 57 min.

18. $7\times3.93\,\mathrm{min} \approx 27.5\,\mathrm{min}$ mais cedo.

19. $+23.44{}^{\circ}$ no solstício de junho, $-23.44{}^{\circ}$ no solstício de dezembro.

20. Junho: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - 23.44{}^{\circ}| = 41.93{}^{\circ}$ . Dezembro: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 23.44{}^{\circ}| = 88.81{}^{\circ}$ ; como $\delta_\odot = -23.44{}^{\circ} > \varphi$ , o Sol passa $1.19{}^{\circ}$ ao norte do zênite.

21. $I = 1361\times(1/0.9837)^2\times\sin88.81{}^{\circ} = 1361\times 1.0334\times0.9998 = 1406\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

22. Em junho, o inverno austral. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ}) \tan23.44{}^{\circ} = 0.4584\times0.4335 = 0.1988$ : o Sol se põe no ângulo horário $H_0 = 78.53{}^{\circ}$ .

23. $\cos\mathrm{A}_0 = \sin23.44{}^{\circ}/\cos24.63{}^{\circ} = 0.4376$ : $\mathrm{A}_0 = 64.0{}^{\circ}$ , ao norte do leste.

24. Duração do dia $2\times78.53/15 = 10.47\,\mathrm{h}$ ; a noite mais longa do ano no Paranal dura $24 - 10.47 = 13.53\,\mathrm{h}$ , isto é, $13\,\mathrm{h}$ $32\,\mathrm{min}$ .

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