18A fonte do terremoto

Na manhã de 18 de abril de 1906, o solo ao norte e ao sul de São Francisco rompeu-se ao longo de uma linha com mais de quatrocentos quilômetros de comprimento. Estradas, cercas e fileiras de árvores que cruzavam a linha foram cortadas, e as duas metades de cada uma foram encontradas a metros de distância, a metade ocidental sempre deslocada para o norte. Agrimensores haviam medido as posições de marcos na região durante o meio século anterior, e quando os marcos foram medidos de novo, a comparação mostrou algo mais estranho que a própria ruptura: o solo vinha se curvando, lenta e suavemente, por décadas antes do terremoto, e o terremoto o deixara voltar. Este capítulo acompanha um terremoto desde o carregamento lento de uma falha até os poucos minutos em que ela desliza, e lê o deslizamento de volta a partir das ondas e do solo: quão grande foi, em que direção se moveu, quão depressa o próximo está sendo preparado, e com que frequência chegam terremotos de cada tamanho.

O que você já sabe

O foco de um terremoto é o ponto em que a ruptura começa, e seu epicentro o ponto da superfície acima dele; a magnitude mede o tamanho de um terremoto, a intensidade o tremor em um lugar; um sismômetro registra o movimento do solo como um sismograma (Livro 1, 7º ano). A onda P, uma onda de compressão, chega primeiro, e a onda S, uma onda de cisalhamento, depois dela (Livro 2, 11º ano). Uma falha tem um bloco superior e um inferior; o vetor de deslizamento é o deslocamento do bloco superior em relação ao inferior, seu rake $r$ é medido no plano da falha a partir da direção, e o rake dá o nome à falha: cerca de $90{}^{\circ}$ inversa, cerca de $-90{}^{\circ}$ normal, cerca de 0 sinistral, cerca de $180{}^{\circ}$ dextral (Capítulo 17). Um sólido elástico volta à sua forma quando a tensão é retirada; o módulo de cisalhamento $\mu$ relaciona uma tensão de cisalhamento à deformação de cisalhamento que ela produz (física); falhas deslizam quando a tensão de cisalhamento atinge sua resistência por atrito, e terremotos começam na parte superior frágil da crosta, a camada sismogênica (Capítulo 16). Estações permanentes de posicionamento por satélite, cujas posições diárias ao longo de anos dão a velocidade do solo onde estão, medem os movimentos das placas (Capítulo 12).

18.1 Recuperação elástica e o ciclo sísmico

Duas placas que deslizam uma pela outra a uma taxa constante não deslizam, em geral, de modo constante ao longo da falha entre elas. O atrito mantém a falha travada enquanto as placas continuam a se mover longe dela, de modo que as rochas de cada lado se curvam como uma mola. Quando a tensão de cisalhamento sobre a falha atinge sua resistência, a falha desliza em poucos segundos ou minutos, e as rochas curvadas voltam bruscamente.

Definição 18.1 (Recuperação elástica, ciclo sísmico, intervalo de recorrência)

Recuperação elástica é o retorno súbito, em direção à sua forma sem deformação, das rochas de cada lado de uma falha, quando a falha, travada enquanto elas estavam deformadas, desliza em um terremoto; a energia elástica armazenada nelas é liberada, em parte como ondas sísmicas. O ciclo sísmico de um segmento de falha é a sequência repetida de um longo estágio interssísmico, durante o qual o segmento está travado e a deformação se acumula ao seu redor, de um estágio cossísmico, o terremoto, durante o qual ele desliza, e de um estágio pós-sísmico, de meses a décadas, durante o qual o entorno se ajusta ao novo estado. O intervalo de recorrência de um segmento é o tempo entre dois grandes terremotos sucessivos nele.

Se a falha fica travada entre os terremotos e cada terremoto desfaz o deslizamento que as placas acumularam desde o anterior, o movimento das placas dita o ritmo do ciclo.

Proposição 18.2 (Recorrência a partir da taxa de deslizamento)

Seja um segmento de falha carregado à taxa de deslizamento de longo prazo $\dot s$, travado entre os terremotos, e que desliza de uma mesma quantidade $D$ em cada terremoto. Então o intervalo de recorrência de seus terremotos é

$$T = \frac{D}{\dot s} .$$

Se apenas a fração $c$ da taxa de deslizamento está travada, o resto deslizando de modo constante, sem terremotos, $T = D/(c\,\dot s)$.

Com valores típicos da falha de San Andreas, um deslizamento de $4\,\mathrm{m}$ em cada grande terremoto e uma taxa de deslizamento de $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, o intervalo de recorrência é $200\,\mathrm{yr}$. Em Wallace Creek, no centro da Califórnia, um canal de riacho cortado pela falha foi deslocado em $128\,\mathrm{m}$ nos $3587$ anos desde que foi escavado, uma média de $36\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, perto da taxa de cerca de $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ medida em outros deslocamentos ali; o último grande terremoto desse trecho, em 1857, deslizou quase $10\,\mathrm{m}$, o que, a essa taxa, leva cerca de três séculos para se acumular.

A proposição dá uma média, não um calendário. Perto de Parkfield, na mesma falha, um terremoto de magnitude cerca de 6 em 1857 foi seguido por cinco outros, muito parecidos, no mesmo trecho de cerca de $30\,\mathrm{km}$, em intervalos de quase 22 anos até 1966; o próximo era esperado antes de 1993, e veio em 2004, com magnitude de momento 6.0 e sem qualquer sinal claro de alerta. A resistência de uma falha, o deslizamento de cada terremoto e o carregamento por seus vizinhos variam de um ciclo para o seguinte, e o ciclo sísmico é mais bem descrito por um intervalo médio de recorrência e uma dispersão em torno dele do que por um período.

Alguns segmentos de falha não se travam de modo nenhum. Entre Parkfield e San Juan Bautista, a seção central da falha de San Andreas rasteja: o deslizamento constante na falha absorve quase todo o movimento das placas, e pouca ou nenhuma deformação se acumula de cada lado, de modo que essa seção não tem grandes terremotos; a grande ruptura de 1857 começou em seu extremo sul, e a de 1906 parou em seu extremo norte. Uma falha que rasteja sobre parte de sua área está travada apenas em parte, o que é o coeficiente $c$ da proposição.

No campo — Lendo terremotos passados em uma trincheira

Os instrumentos registram terremotos há pouco mais de um século, bem menos que um ciclo da maioria das falhas. Paleossismólogos estendem o registro lendo o solo. Uma trincheira de alguns metros de profundidade é escavada através de uma falha ativa onde camadas de sedimento foram depositadas continuamente, em um pântano, em um lago ou em um pequeno leque aluvial. Em suas paredes, cada terremoto aparece como camadas cortadas e deslocadas pela falha e cobertas, sem ruptura, por camadas mais jovens; como uma escarpa enterrada por depósitos posteriores; como areia que se liquefez e subiu por fendas para se espalhar sobre a superfície da época. Turfa ou restos vegetais nas camadas logo abaixo e logo acima de cada ruptura são datados por radiocarbono, e assim delimitam a data de cada terremoto: um pântano na falha de San Andreas guarda o registro de doze. Ao longo das costas, mantos de areia depositados por tsunamis e pântanos que afundaram de repente, em cerca de um metro, soterrados sob lama de maré, registram os grandes terremotos de subducção. Na falha de San Andreas, a maior parte do deslizamento dos tempos históricos veio com terremotos de magnitude 6 ou mais.

História — Harry Fielding Reid e a recuperação elástica

Harry Fielding Reid, físico norte-americano, era membro da comissão estadual que estudou o terremoto de 1906. Ao comparar as posições de pontos medidos em 1851–1865, em 1874–1892 e depois do terremoto, ele constatou que pontos distantes nos dois lados da falha de San Andreas tinham se deslocado em cerca de $3.2\,\mathrm{m}$ um em relação ao outro desde o primeiro levantamento, um pouco mais da metade do deslizamento de cerca de $6\,\mathrm{m}$ na falha: meio século antes do terremoto, a deformação que rompeu a falha já estava pela metade acumulada. Somente forças elásticas poderiam ter movido o solo de forma tão súbita, e ele chamou o retorno súbito de recuperação elástica. Publicou-a no segundo volume do relatório da comissão, em 1910; ainda é o principal modelo do ciclo sísmico. O posicionamento por satélite desde então mediu a curvatura que ele só pôde inferir.

18.2 Momento sísmico e magnitude

O tamanho de um terremoto é a quantidade de deslizamento que ele produziu, sobre a área da falha que deslizou, ponderada pela rigidez das rochas.

Definição 18.3 (Momento sísmico)

Seja um terremoto que desliza de uma quantidade média $D$ sobre uma ruptura de área $A$, em rochas de módulo de cisalhamento $\mu$ (a letra também nomeia um coeficiente de atrito, em Capítulo 16; o contexto mostra qual). Seu momento sísmico é

$$M_0 = \mu A D ,$$

em newton metros.

A unidade é a de um torque. Um deslizamento em uma falha emite as mesmas ondas que dois pares de forças opostas, dois binários, aplicados no foco, e o momento sísmico é o momento de cada binário (essa equivalência, o duplo binário, é demonstrada no Livro 5). O momento tem a dimensão de uma energia, mas não é uma: a energia irradiada como ondas é uma pequena fração dele. Para as rochas da crosta, $\mu$ é tomado como $30\,\mathrm{GPa}$.

O momento é calculado hoje a partir das ondas de longo período registradas em todo o mundo. Para o terremoto de Tohoku, de 11 de março de 2011, a solução preferida do Serviço Geológico dos Estados Unidos dá $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. A falha deslizou sobre uma área de cerca de $400\,\mathrm{km}$ de comprimento e $150\,\mathrm{km}$ de largura; a definição então dá o deslizamento médio

e modelos da ruptura encontram até $50\text{ a }60\,\mathrm{m}$ em sua parte mais deslocada.

A magnitude do Livro 1 foi calculada a partir da amplitude das ondas em um sismograma. Tais magnitudes medem as ondas de um período; quando uma ruptura é muito mais longa que o comprimento de onda delas, de poucos a cerca de cinquenta quilômetros, a amplitude deixa de crescer com seu tamanho, e a magnitude satura. A magnitude das ondas de corpo satura perto de 6.5, a das ondas de superfície perto de 8.3. Em 2011, o primeiro alerta de tsunami para Tohoku baseou-se em uma magnitude desse tipo, que fica aquém para terremotos de magnitude 8 ou mais, e subestimou as ondas. O momento não satura, e a magnitude é agora definida a partir dele.

Definição 18.4 (Magnitude de momento)

A magnitude de momento de um terremoto de momento sísmico $M_0$, em newton metros, é

$$M_w = \tfrac23\left(\log_{10} M_0 - 9.1\right) .$$

Thomas Hanks e Hiroo Kanamori definiram a escala em 1979, com a constante 9.05 no lugar de 9.1, uma diferença de 0.03 em $M_w$; as constantes foram escolhidas para coincidir com as magnitudes antigas onde estas não saturam. A magnitude do Livro 1 é, para grandes terremotos, este número: para Tohoku, $M_w = \tfrac23(\log_{10}5.59 \times 10^{22} - 9.1) = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.1$; o grande terremoto chileno de 1960 e o terremoto do Alasca de 1964 têm magnitudes de momento de 9.5 e 9.2, tamanhos que as magnitudes antigas não podiam mostrar.

Proposição 18.5 (Uma unidade de magnitude)

O momento sísmico é $M_0 = 10^{1.5 M_w + 9.1}$ newton metros. Uma unidade de magnitude de momento o multiplica por $10^{1.5} \approx 31.6$, duas unidades por $1000$. Se a energia irradiada for uma fração fixa do momento, ela cresce na mesma razão.

A aproximação de Kanamori, $E_s \approx M_0/(2\times10^4)$ (admitida), é a hipótese da última frase; o fator de cerca de 32 em energia por unidade de magnitude, encontrado no Livro 1, é esta proposição. Como $M_0 = \mu A D$ e o deslizamento de um terremoto cresce com o tamanho de sua ruptura, uma grande magnitude precisa de uma grande falha. A ruptura de 1906, com cerca de $430\,\mathrm{km}$ de comprimento, rompeu a camada sismogênica até cerca de $15\,\mathrm{km}$ com um deslizamento médio de alguns metros: com $D = 4\,\mathrm{m}$, $M_0 = 3 \times 10^{10}\times4.3 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{4} \times 4 = 7.7 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ e $M_w = 7.9$, a magnitude do catálogo. Uma magnitude 9 precisa de uma ruptura de centenas de quilômetros de comprimento e mais de cem de largura, o que só as interfaces de mergulho suave das zonas de subducção oferecem.

18.3 Mecanismos focais

A onda P é a primeira a chegar a um sismômetro. Seu primeiro movimento, o primeiro balanço do registro vertical, é para cima onde a onda chega como um empurrão, o solo comprimido e lançado para longe da fonte, e para baixo onde ela chega como um puxão. Em torno de um terremoto, empurrões e puxões se dispõem em um padrão que dá a orientação da falha e a direção do deslizamento.

Proposição 18.6 (O sinal do primeiro movimento)

Seja uma falha de normal ascendente $\mathbf n$ que desliza pelo vetor unitário $\mathbf d$ (o deslizamento do bloco superior em relação ao inferior). A onda P que sai do foco na direção unitária $\mathbf x$ chega como empurrão se $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) > 0$ e como puxão se $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) < 0$. Os empurrões e os puxões preenchem assim quatro quadrantes, separados pelo plano da falha ($\mathbf n\cdot\mathbf x = 0$) e pelo plano perpendicular ao deslizamento ($\mathbf d\cdot\mathbf x = 0$).

O argumento dá apenas o sinal. A amplitude do primeiro movimento, proporcional a $2(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ e assim máxima a $45{}^{\circ}$ de ambos os planos e nula sobre eles, é admitida aqui (volume do Livro 5).

O produto $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ não muda quando $\mathbf n$ e $\mathbf d$ são trocados. Essa simetria é o fato central dos mecanismos focais.

Definição 18.7 (Mecanismo focal, plano nodal, plano auxiliar, eixo P, eixo T)

O primeiro movimento de uma onda P em um sismômetro é a direção, para cima ou para baixo, do primeiro movimento do solo no registro vertical. O mecanismo focal de um terremoto é a orientação do plano da falha e a direção do deslizamento sobre ele, como encontrados a partir de suas ondas sísmicas. Os dois planos perpendiculares através do foco que separam os empurrões dos puxões são seus planos nodais; um é o plano da falha, e o outro, perpendicular ao deslizamento, é o plano auxiliar. O eixo P e o eixo T são as direções a $45{}^{\circ}$ de ambos os planos nodais, no meio dos quadrantes de puxão e de empurrão:

$$\mathbf P = \frac{\mathbf n - \mathbf d}{\sqrt2}, \qquad \mathbf T = \frac{\mathbf n + \mathbf d}{\sqrt2} .$$

Proposição 18.8 (Os dois planos nodais)

Um deslizamento $\mathbf d$ sobre o plano de normal $\mathbf n$ e um deslizamento $\mathbf n$ sobre o plano de normal $\mathbf d$ dão os mesmos primeiros movimentos em toda direção. Os primeiros movimentos determinam, portanto, os dois planos nodais, os eixos P e T e o sentido do deslizamento sobre cada plano, mas não dizem qual plano nodal é a falha.

Para decidir qual plano nodal deslizou, os sismólogos usam outras evidências: o plano ao longo do qual se alinham as réplicas, a falha vista na superfície, o limite de placas em que o terremoto está. Para o grande terremoto de Sumatra–Andamão de 2004, os dois planos nodais mergulham $8{}^{\circ}$ para nordeste e $83{}^{\circ}$ para sudoeste. Os terremotos anteriores da região e os modelos de placas situam a laje afundante ao longo de um plano que mergulha suavemente para nordeste, e o plano raso é tomado como a falha: o terremoto rompeu a interface de placas da zona de subducção, e suas réplicas se espalharam por mais de $1300\,\mathrm{km}$.

Como o eixo P jaz no meio dos puxões e o eixo T no meio dos empurrões, eles são muitas vezes lidos como as direções das tensões compressivas máxima e mínima, $\sigma_1$ e $\sigma_3$. São apenas aproximações delas. Uma falha nova se forma a $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$, não a $45{}^{\circ}$ (Capítulo 16), e uma falha antiga pode deslizar a um ângulo ainda diferente, de modo que os eixos de um só terremoto podem estar a dezenas de graus das tensões principais; as tensões de uma região são encontradas a partir dos mecanismos de muitos terremotos juntos.

Um mecanismo focal vive sobre uma esfera em torno do foco. Ele é desenhado na metade inferior dessa esfera, que todo raio para uma estação distante atravessa, projetada sobre um disco: um raio de vetor unitário $\mathbf x = (E, N, U)$, com $U \le 0$, é marcado em

a vertical no centro e a horizontal no círculo unitário. Esta projeção preserva áreas (admitida; as projeções da esfera são estudadas no volume do terceiro ano), de modo que cada quadrante cobre sua parcela verdadeira do disco. Os quadrantes de compressão são sombreados; a figura se chama bola de praia.

Os sismólogos dão um mecanismo pela direção, mergulho e rake de cada plano nodal; a direção é o sentido de mergulho menos $90{}^{\circ}$, como em Capítulo 17. Para Tohoku, os planos são $192/8/78$ e $24/81/91$ em direção, mergulho e rake, e os eixos P e T têm rumo $113$ e $296$ e caimento $36{}^{\circ}$ e $53{}^{\circ}$. O plano auxiliar segue do plano da falha: sua normal é $\mathbf d$ e seu deslizamento é $\mathbf n$, de modo que se encontra calculando $\mathbf n$ e $\mathbf d$ a partir da direção, do mergulho e do rake, trocando-os, e lendo de volta a direção, o mergulho e o rake (exercício 18.7).

Método 18.9 (Lendo uma bola de praia)

1. Olhe para o centro, que é a vertical. Sombreado (um empurrão direto para baixo): uma componente inversa ou de empurrão; branco: uma componente normal. Dois diâmetros retos que se cruzam no centro: um mecanismo transcorrente.
2. Encontre os dois planos nodais, as curvas que delimitam os quadrantes. Um plano que passa pelo centro é vertical; um plano mergulha para o lado do centro em que sua curva se encontra, tanto mais suavemente quanto mais perto da borda estiver a curva.
3. Encontre o eixo T no meio dos quadrantes sombreados e o eixo P no meio dos brancos: o solo foi encurtado ao longo de P e alongado ao longo de T.
4. Para cada plano nodal, leia ou calcule o rake, e dê nome à falha que ele seria com Definição 17.3. Os dois planos sempre compartilham o sentido de deslizamento de mergulho, normal ou inverso, e têm sentidos transcorrentes opostos: um mecanismo transcorrente dá um plano dextral e um sinistral.
5. Escolha o plano da falha pelas réplicas, pela geologia ou pelo limite de placas.

No laboratório — No observatório sismológico

Em minutos após um grande terremoto, suas ondas foram registradas por centenas de estações, e os dados chegam aos analistas dos observatórios quase em tempo real. As primeiras chegadas da onda P, que chegam às estações tanto mais tarde quanto mais distantes elas estão, são marcadas nos registros para localizar o foco. Em seguida, as ondas longas e lentas registradas nas dezenas de minutos seguintes são comparadas com ondas calculadas para fontes de teste; a fonte cujas ondas melhor se ajustam dá o tensor de momento, que contém em conjunto o momento sísmico, a magnitude de momento e os dois planos nodais. Para terremotos pequenos, fracos demais para isso, os analistas leem os primeiros movimentos nos registros mais próximos e ajustam os planos nodais a eles, do modo descrito nesta seção. Cada solução é publicada com suas incertezas, e revisada à medida que chegam mais dados.

18.4 Medindo o carregamento: geodésia

Entre os terremotos, uma falha travada é invisível aos sismômetros, mas o solo em torno dela se move. Estações permanentes de posicionamento por satélite medem esse movimento, e a maneira como suas velocidades mudam através de uma falha diz quão profundamente ela está travada.

Definição 18.10 (Profundidade de travamento)

A profundidade de travamento de uma falha é a profundidade até a qual ela está travada entre os terremotos, abaixo da qual a falha desliza de modo constante à taxa de longo prazo; é a profundidade da parte da falha que desliza no próximo terremoto.

Proposição 18.11 (Velocidade interssísmica através de uma falha transcorrente)

Seja uma falha transcorrente vertical em um semiespaço elástico, travada da superfície até a profundidade $D$, e deslizando à taxa $V$ abaixo dela. A velocidade da superfície paralela à falha, à distância $x$ dela, é

$$v(x) = \frac{V}{\pi}\arctan\frac{x}{D} .$$

Se a falha então desliza de $s$ da superfície até a profundidade $D$ em um terremoto, a superfície se move de $u(x) = (s/\pi)\arctan(D/x)$ para $x > 0$, e de $-u(-x)$ para $x < 0$.

Este modelo, devido a Savage e Burford, é a forma mais simples da recuperação elástica, e a curva da cerca da primeira figura. Suas propriedades seguem da fórmula.

Proposição 18.12 (Lendo o perfil interssísmico)

No modelo de Proposição 18.11:

1. longe da falha a velocidade tende a $\pm V/2$, as duas placas movendo-se a $V$ uma em relação à outra;
2. metade da variação da velocidade através da falha ocorre a uma distância $D$ dela: $v(\pm D) = \pm V/4$;
3. a taxa de deformação de cisalhamento da superfície, $\mathrm dv/\mathrm dx$, é máxima sobre a falha, onde vale $V/(\pi D)$;
4. se a falha, após carregar durante o tempo $t$, desliza de $s = Vt$ em um terremoto, o solo termina deslocado de $\pm s/2$ em toda parte de cada lado: o ciclo não deixa curvatura permanente, apenas o deslocamento $s$ sobre a falha.

A propriedade (b) dá a profundidade de travamento a partir de um perfil de estações: é a distância da falha em que a velocidade mudou de um quarto de $V$ em relação ao seu valor sobre a falha. Um travamento raso concentra a deformação perto da falha (figura abaixo), um travamento profundo a espalha por uma faixa larga. Ao longo do sistema de San Andreas, as profundidades de travamento encontradas pela geodésia vão de quase 0, em segmentos que rastejam, a $26\,\mathrm{km}$, e concordam com as profundidades dos terremotos: a parte travada é a camada sismogênica de Capítulo 16. Para uma taxa de deslizamento de $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e uma profundidade de travamento de $15\,\mathrm{km}$, a taxa de deformação de cisalhamento na falha é $0.034/(\pi\times15\,000) = 7.2 \times 10^{-7}$ por ano, que curva uma linha através da falha em menos de um milímetro por quilômetro em um ano, mas armazena, ao longo de dois séculos, os vários metros de deslizamento de um grande terremoto.

Medidas por posicionamento por satélite registram o solo em poucos pontos. Satélites de radar o medem em toda parte: duas imagens de radar da mesma área, tomadas da mesma órbita em momentos diferentes, são comparadas onda por onda, e a diferença de fase mapeia a mudança da distância entre o solo e o satélite, ponto por ponto, a cada cem metros, sem uma rede de estações montada de antemão. O primeiro mapa desse tipo, de um grande terremoto californiano de 1992, mostrou seu deslocamento cossísmico em uma única imagem e concordou com o deslizamento medido no campo e por levantamento; a técnica, a interferometria de radar, pertence ao volume do Livro 5.

18.5 Com que frequência: a lei de Gutenberg–Richter

Terremotos pequenos são muito mais comuns que os grandes, e de modo notavelmente regular.

Proposição 18.13 (Lei de Gutenberg–Richter)

Em uma região e um período, o número $N$ de terremotos de magnitude pelo menos $M$ segue

$$\log_{10} N = a - bM ,$$

para cada $M$ acima da magnitude de completude do catálogo, com constantes $a$ e $b$ que dependem da região; $b$ é próximo de 1 na maioria das regiões ativas.

A lei é um resultado da observação, publicada por Beno Gutenberg e Charles Richter para a Califórnia em 1944 e desde então encontrada em toda parte; nenhuma teoria ainda a deriva, nem o valor de $b$.

Definição 18.14 (Valor b, magnitude de completude)

A constante $b$ da lei de Gutenberg–Richter de uma região é seu valor b. A magnitude de completude de um catálogo é a menor magnitude acima da qual ele registra todo terremoto da região e do período.

Um valor b de 1 significa dez vezes menos terremotos para cada unidade de magnitude. Abaixo da magnitude de completude, as contagens ficam aquém da reta, pois terremotos pequenos são registrados por poucas estações para serem localizados: a lei parece curvar-se, e $b$ precisa ser medido acima dela. Para a Terra inteira, dividida em terremotos rasos, intermediários e profundos, os valores medidos ficam entre 0.72 e 1.34, mas diferem por $30\,\%$ ou mais de um catálogo, faixa de magnitude ou método para outro: um valor distante de 1 é antes de tudo um motivo para verificar o catálogo.

Para o catálogo mundial da figura, a lei com $a = 8.20$ e $b = 1.01$ prevê 14 terremotos de magnitude 7 ou mais por ano, como observado, e 1.35 de magnitude 8 ou mais, enquanto 40 em cinquenta anos, 0.8 por ano, foram registrados. Se os maiores terremotos são de fato menos numerosos que a reta, como sugeriria o tamanho finito das falhas, ou apenas raros o bastante para faltar em cinquenta anos, não se resolve com tão poucos eventos. Cerca de uma magnitude em nove neste catálogo é de ondas de superfície ou de ondas de corpo, que saturam; os maiores eventos têm todos magnitudes de momento.

Os muitos terremotos pequenos fazem pouco do trabalho. Seu número cresce dez vezes para cada unidade de magnitude a menos, mas seus momentos encolhem 31.6 vezes.

Proposição 18.15 (Os maiores terremotos liberam a maior parte do momento)

Sejam terremotos seguindo a lei de Gutenberg–Richter com $b < 1.5$, até uma maior magnitude $M_{\max}$, e sejam agrupados em faixas de uma unidade de magnitude de largura, a faixa superior terminando em $M_{\max}$. Então os terremotos da faixa superior liberam mais que a fração $1 - 10^{-(1.5 - b)}$ do momento total, por menor que seja a menor magnitude contada: mais de $68\,\%$ para $b = 1$.

No catálogo mundial a fração é desta ordem: a unidade superior de magnitude, de 8.1 a 9.1, liberou mais da metade do momento de cinquenta anos, e os dois maiores terremotos, Sumatra–Andamão em 2004 e Tohoku em 2011, de magnitudes 9.1, liberaram $29\,\%$ dele sozinhos. O momento que um limite de placas precisa liberar é fixado por sua taxa de deslizamento; a proposição diz que ele é liberado quase inteiramente em seus maiores terremotos, e que os muitos pequenos, por mais frequentes que sejam, não aliviam uma falha do próximo grande.

18.6 Exercícios

Exercício 18.1 ★

(a) Calcule a magnitude de momento de um terremoto de momento sísmico $4 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (b) O terremoto de Tohoku teve $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$: verifique sua magnitude. (c) Que momento sísmico tem um terremoto de magnitude 7.0?

Solução

Solução de Exercício 18.1.

(a) $\log_{10}(4 \times 10^{17}) = 17.60$, logo $M_w = \tfrac23(17.60 - 9.1) = 5.67$. (b) $\log_{10}(5.59 \times 10^{22}) = 22.75$ e $M_w = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.10$. (c) $M_0 = 10^{1.5\times7.0 + 9.1} = 10^{19.6} = 3.98 \times 10^{19}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

Exercício 18.2 ★

Uma falha transcorrente é carregada a $25\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e seus terremotos deslizam cada um cerca de $3\,\mathrm{m}$. (a) Qual é o intervalo de recorrência deles se a falha estiver totalmente travada entre eles? (b) E se metade da taxa de deslizamento for absorvida por rastejamento constante?

Solução

Solução de Exercício 18.2.

(a) $T = D/\dot s = 3\,\mathrm{m}/0.025\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 120\,\mathrm{yr}$. (b) Com $c = 0.5$, $T = D/(c\dot s) = 240\,\mathrm{yr}$: o rastejamento absorve metade do movimento, e os terremotos, do mesmo deslizamento, vêm com metade da frequência.

Exercício 18.3 ★

Quantas vezes é maior o momento sísmico de um terremoto de magnitude 7.4 que o de um terremoto de magnitude 6.2? Quantos terremotos de magnitude 6.2 liberariam o mesmo momento?

Solução

Solução de Exercício 18.3.

Pela Proposição 18.5, a razão dos momentos é $10^{1.5\times(7.4 - 6.2)} = 10^{1.8} = 63.1$: são necessários 63 terremotos de magnitude 6.2 para liberar o momento de um de magnitude 7.4.

Exercício 18.4 ★

Em uma região com $b = 1$, mil terremotos de magnitude 3 ou mais são registrados a cada ano. Quantos de magnitude 5 ou mais, e de magnitude 6 ou mais, são esperados a cada ano? Qual é o tempo médio entre terremotos de magnitude 7 ou mais?

Solução

Solução de Exercício 18.4.

Com $b = 1$, cada unidade de magnitude divide a contagem por 10: 10 terremotos de magnitude 5 ou mais por ano, 1 de magnitude 6 ou mais, e 0.1 de magnitude 7 ou mais, isto é, um a cada 10 anos em média.

Exercício 18.5 ★★

O terremoto de 1906 rompeu a falha de San Andreas ao longo de cerca de $430\,\mathrm{km}$. (a) Supondo que a ruptura atingiu $15\,\mathrm{km}$ de profundidade, com um deslizamento médio de $4\,\mathrm{m}$, e $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$, calcule seu momento sísmico e sua magnitude de momento. (b) Quanto muda a magnitude se a ruptura tiver sido de apenas $10\,\mathrm{km}$ de profundidade? (c) Qual das duas estimativas está mais próxima de 7.9?

Solução

Solução de Exercício 18.5.

(a) $A = 4.3 \times 10^{5} \times 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 6.45 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, e $M_0 = 3 \times 10^{10}\times6.45 \times 10^{9}\times4 = 7.74 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $\log_{10}M_0 = 20.89$ e $M_w = \tfrac23(20.89 - 9.1) = 7.86$. (b) Uma profundidade de $10\,\mathrm{km}$ divide a área e o momento por 1.5, o que reduz a magnitude em $\tfrac23\log_{10}1.5 = 0.12$, para 7.74. (c) A primeira, 7.86, arredonda para o 7.9 do catálogo; a segunda é um pouco baixa. A magnitude não é muito sensível à profundidade: um fator de 1.5 na área vale apenas 0.12 de magnitude.

Exercício 18.6 ★★

A ruptura do terremoto de Tohoku teve cerca de $400\,\mathrm{km}$ de comprimento e $150\,\mathrm{km}$ de largura, e seu momento $5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (a) Calcule seu deslizamento médio com $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$. (b) A placa do Pacífico afunda sob o Japão a cerca de $83\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: quanto tempo leva para acumular esse deslizamento se a interface estiver totalmente travada? (c) E se a fração travada for 0.8, ou 0.5?

Solução

Solução de Exercício 18.6.

(a) $D = M_0/(\mu A) = 5.59 \times 10^{22}/(3 \times 10^{10}\times4 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{5}) = 31.1\,\mathrm{m}$. (b) $31.1\,\mathrm{m}/0.083\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 374\,\mathrm{yr}$. (c) Com a fração travada 0.8, $31.1/(0.8\times0.083) = 468\,\mathrm{yr}$; com 0.5, $749\,\mathrm{yr}$. Quanto menos travada a interface, mais tempo leva para se acumular o deslizamento de um grande terremoto; a média de deslizamento encontrada aqui com um retângulo de $400\,\mathrm{km} \times 150\,\mathrm{km}$ e $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$ é ela mesma apenas uma estimativa, e o deslizamento real esteve longe de ser uniforme.

Exercício 18.7 ★★

Um plano nodal do terremoto de Sumatra–Andamão de 2004 tem direção $329$, mergulho $8{}^{\circ}$ e rake $110{}^{\circ}$. (a) Escreva $\mathbf n$ e $\mathbf d$ em componentes leste, norte e para cima. (b) Encontre a direção, o mergulho e o rake do plano auxiliar. (c) Encontre os rumos e caimentos dos eixos P e T. (d) Qual plano é a falha, e que tipo de falha é?

Solução

Solução de Exercício 18.7.

(a) A direção é $\phi = 329$, o sentido de mergulho $a = 059$, o mergulho $\delta = 8{}^{\circ}$. Então, em coordenadas, $\mathbf s = (\sin329, \cos329, 0) = (-0.5150, 0.8572, 0)$, $\mathbf u = (-\cos8\sin59, -\cos8\cos59, \sin8) = (-0.8488, -0.5100, 0.1392)$, $\mathbf n = (\sin8\sin59, \sin8\cos59, \cos8) = (0.1193, 0.0717, 0.9903)$, e com $r = 110{}^{\circ}$,

$$\mathbf d = \cos110\,\mathbf s + \sin110\,\mathbf u = (-0.6215, -0.7724, 0.1308) .$$

(b) O plano auxiliar tem a normal $\mathbf d$ e o deslizamento $\mathbf n$. Tomando a normal para cima, ele mergulha $\arccos 0.1308 = 82.5{}^{\circ}$ em direção a $\arctan(-0.6215/-0.7724) = 218.8$, logo sua direção é $128.8$; o deslizamento $\mathbf n$ projetado sobre seus vetores de direção e de maior declive dá o rake $87.2{}^{\circ}$. Arredondando: $129/83/87$, o segundo plano da solução publicada. (c) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ tem rumo $221$ e caimento $37{}^{\circ}$; $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$ tem rumo $036$ e caimento $52{}^{\circ}$ (publicado: $222/38$ e $36/52$). (d) O plano raso, mergulhando $8{}^{\circ}$ em direção a $059$, ao longo da laje subductante: uma falha inversa com rake de $110{}^{\circ}$ e, mergulhando menos que $45{}^{\circ}$, um empurrão, a interface de placas da zona de subducção.

Exercício 18.8 ★★

Uma falha vertical de direção $045$ desliza dextralmente. (a) Para ondas que saem do foco horizontalmente em direção a estações exatamente ao norte, leste, sul e oeste, quais chegam como empurrões e quais como puxões? (b) Dê os rumos dos eixos P e T. (c) Mostre que um deslizamento sinistral sobre um plano vertical de direção $135$ dá os mesmos primeiros movimentos.

Solução

Solução de Exercício 18.8.

(a) O plano mergulha em direção a $135$, logo $\mathbf n = (\sin135, \cos135, 0) = (0.707, -0.707, 0)$; um deslizamento dextral tem $r = 180{}^{\circ}$, $\mathbf d = -\mathbf s = (-0.707, -0.707, 0)$. Em direção ao norte, $\mathbf x = (0, 1, 0)$: $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) = (-0.707)(-0.707) > 0$, um empurrão. Leste: $(0.707)(-0.707) < 0$, um puxão. Sul: empurrão; oeste: puxão. (b) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2 = (1, 0, 0)$: o eixo P é horizontal e tem rumo $090$–$270$; $\mathbf T = (0, -1, 0)$ tem rumo $000$–$180$. (c) O plano vertical de direção $135$–$315$ tem a normal $\mathbf d$. Com o deslizamento $\mathbf n$, o bloco de seu lado sudoeste, para o qual $\mathbf d$ aponta, move-se em direção a $135$; visto do bloco nordeste, olhando para sudoeste, isso está à esquerda: um deslizamento sinistral. Pela Proposição 18.8, este deslizamento dá os mesmos primeiros movimentos em toda direção.

Exercício 18.9 ★★

Através de uma falha transcorrente travada, as estações distantes dos dois lados se movem a $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ uma em relação à outra. Uma estação a $10\,\mathrm{km}$ da falha se move a $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em relação ao traço da falha. (a) Encontre a profundidade de travamento. (b) Preveja a velocidade de uma estação a $30\,\mathrm{km}$ da falha. (c) Calcule a taxa de deformação de cisalhamento sobre a falha.

Solução

Solução de Exercício 18.9.

(a) $V = 40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e $v = V/4$ a $10\,\mathrm{km}$, logo pela Proposição 18.12(b) $D = 10\,\mathrm{km}$; diretamente, $D = x/\tan(\pi v/V) = 10/\tan(\pi/4) = 10\,\mathrm{km}$. (b) $v(30) = (40/\pi)\arctan 3 = 15.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) $V/(\pi D) = 0.040/(\pi\times10\,000) = 1.27 \times 10^{-6}$ por ano.

Exercício 18.10 ★★★

(a) Mostre que, se $b$ fosse maior que 1.5, o momento total dos terremotos de uma região seria dominado pelos menores. (b) Que fração do momento a unidade superior de magnitude libera, no mínimo, para $b = 0.8$? (c) Com o $a = 8.20$ e o $b = 1.01$ por ano do catálogo mundial, quantos terremotos de magnitude 9 ou mais a lei preveria em cinquenta anos? O catálogo de 1976–2025 tem dois; comente.

Solução

Solução de Exercício 18.10.

(a) Os momentos das faixas continuam $C q^k$ com $q = 10^{1.5 - b}$, mas agora $q < 1$: o momento das faixas decresce em direção às grandes magnitudes, e a faixa inferior, $k = 0$, leva a fração $C/S = (1 - q)/(1 - q^{K+1}) > 1 - q$, imagem espelhada de Proposição 18.15. Os menores terremotos contados dominariam então, e o total cresceria sem limite à medida que se incluíssem cada vez menores. (b) $1 - 10^{-0.7} = 0.80$: pelo menos $80\,\%$. (c) $\log_{10}N = 8.20 - 1.01\times9 = -0.89$, logo $N = 0.13$ por ano e cerca de 6.4 em cinquenta anos, três vezes os dois observados. A reta, ajustada entre as magnitudes 6 e 7.5, superestima os maiores terremotos; ou a lei se curva para baixo no topo, como sugere o tamanho finito das falhas, ou cinquenta anos são poucos para amostrar eventos que ocorrem uma vez a cada várias décadas. As duas possibilidades são compatíveis com dois eventos.

Exercício 18.11 ★★★

Uma cerca reta é construída através de uma falha dextral travada com $V = 34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e $D = 15\,\mathrm{km}$. (a) Após 150 anos, de quanto se moveram ao longo dela os postes a $1\,\mathrm{km}$, $15\,\mathrm{km}$ e $50\,\mathrm{km}$ a leste da falha, em relação ao poste sobre a falha? (b) A falha então desliza todo o déficit em um terremoto. Qual é o deslizamento, e de quanto se move cada um dos três postes durante o terremoto? (c) Verifique a parte (d) da Proposição 18.12 nos três postes.

Solução

Solução de Exercício 18.11.

(a) Em 150 anos um poste em $x$ se move $150\,v(x) = 150\times(34/\pi) \arctan(x/15)$ milímetros em relação ao poste sobre a falha: $0.11\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{km}$, $2.08\,\mathrm{m}$ a $50\,\mathrm{km}$, em direção ao sul, para uma falha dextral vista do oeste. (b) O déficit de deslizamento é $s = 0.034\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times150\,\mathrm{yr} = 5.1\,\mathrm{m}$. Durante o terremoto os postes se movem $(s/\pi)\arctan(D/x)$: $2.44\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{km}$, $0.47\,\mathrm{m}$ a $50\,\mathrm{km}$. (c) As somas são $0.11 + 2.44$, $1.28 + 1.28$ e $2.08 + 0.47$, todas $2.55\,\mathrm{m}$ $= s/2$: depois do terremoto a cerca é reta de novo do lado leste, deslocada de $s/2$, e o lado oeste, por simetria, de $-s/2$.

Exercício 18.12 ★★★

Um terremoto tem um eixo P horizontal de rumo $000$ e um eixo T horizontal de rumo $090$. (a) Mostre que seus planos nodais são verticais e têm direção $045$ e $135$, usando $\mathbf n$, $\mathbf d = (\mathbf T \pm \mathbf P)/\sqrt2$. (b) Dê o sentido do deslizamento sobre cada plano. (c) Se a falha tivesse se formado como uma falha nova em uma rocha com $\phi = 30{}^{\circ}$, sob um $\sigma_1$ ao longo do eixo P, em que direções ela jazeria, e por que o eixo P é apenas uma aproximação de $\sigma_1$? (d) Uma falha mapeada nas proximidades tem direção $040$. Qual plano nodal é provavelmente a falha, e qual é seu sentido de deslizamento?

Solução

Solução de Exercício 18.12.

(a) $\mathbf P = (0, 1, 0)$ e $\mathbf T = (1, 0, 0)$. O par $\mathbf n = (\mathbf T + \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, 0.707, 0)$, $\mathbf d = (\mathbf T - \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, -0.707, 0)$ satisfaz $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ e $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$. Ambos os vetores são horizontais, logo ambos os planos nodais são verticais: o plano de normal $\mathbf n$ (em direção a $045$) tem direção $135$–$315$, o plano de normal $\mathbf d$ (em direção a $135$) tem direção $045$–$225$. (b) No plano de direção $315$, o bloco do lado nordeste move-se ao longo de $\mathbf d$, em direção a $135$: visto do outro bloco, à direita, um deslizamento dextral. No plano de direção $045$, o bloco do lado sudeste move-se ao longo de $\mathbf n$, em direção a $045$: um deslizamento sinistral. (c) Uma falha nova faz $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ com $\sigma_1$: com $\sigma_1$ de rumo $000$, as falhas teriam direção $030$ (sinistral) e $330$ (dextral), a $15{}^{\circ}$ dos planos nodais. O eixo P fica fixo a $45{}^{\circ}$ dos planos nodais pela geometria, qualquer que seja o atrito da rocha, de modo que coincide com $\sigma_1$ apenas se a falha tiver deslizado a $45{}^{\circ}$ dele. (d) A falha de direção $040$ está a $5{}^{\circ}$ do plano nodal de direção $045$: esse plano é provavelmente a falha, e o deslizamento sobre ele é sinistral.

18.7 Problema: o próximo grande terremoto em uma falha travada

Problema 18.1

Problema de fim de semana — um segmento travado de um limite de placas transcorrente, de seu carregamento e de seus terremotos passados até a magnitude do próximo

Uma falha transcorrente reta e vertical forma a fronteira entre duas placas. Um segmento dela, de $250\,\mathrm{km}$ de comprimento, está travado; seus terremotos começam a no máximo $15\,\mathrm{km}$ de profundidade. Trincheiras escavadas através dela datam seus últimos quatro grandes terremotos por volta de 1050, 1290, 1480 e 1712, com deslocamentos de $7.0$, $6.0$, $5.5$ e $7.5\,\mathrm{m}$. Estações permanentes distantes da falha, nos dois lados, se movem a $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ uma em relação à outra. Tome $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$, o ano de 2025 como presente, e dê as magnitudes com 0.01.

Parte I — O carregamento.

1. Calcule os intervalos entre os quatro terremotos e sua média.
2. Calcule o deslocamento médio, e o intervalo de recorrência que ele implica com a Proposição 18.2 para uma falha totalmente travada.
3. Calcule a taxa de deslizamento implicada apenas pela trincheira, a partir dos deslocamentos dos três últimos terremotos e do tempo entre o primeiro e o último. Compare com a taxa geodésica.
4. Há quanto tempo foi o último terremoto, e que déficit de deslizamento se acumulou desde então, se o segmento estiver totalmente travado?
5. Compare esse déficit com os deslocamentos na trincheira. O próximo terremoto está atrasado?
6. Por que a trincheira não pode dar a data do próximo?

Parte II — O tamanho do próximo terremoto.

7. Qual é a área da parte travada do segmento?
8. Calcule o momento sísmico de um terremoto que liberaria todo o déficit.
9. Calcule a magnitude de momento do terremoto de 1712, supondo que ele rompeu a mesma área, com seu deslocamento de trincheira como deslizamento médio.
10. Por que fator o momento do próximo terremoto excede o de 1712, e quantas unidades de magnitude isso representa?
11. Se apenas metade do segmento rompesse, com o mesmo deslizamento, qual seria a magnitude?
12. Dê o momento sísmico que o segmento acumula a cada ano.

Parte III — Frequência e energia.

13. O catálogo regional segue $\log_{10} N = 4.3 - M$ por ano, a partir de todas as falhas da região. Qual é seu valor b, e quantos terremotos de magnitude 5 ou mais, e de magnitude 6 ou mais, ele dá a cada ano?
14. Que tempo médio entre terremotos de magnitude 7 ou mais ele dá, e de magnitude 8 ou mais?
15. Compare a recorrência de um grande terremoto pelo catálogo com a da trincheira. O que a diferença diz sobre usar a lei dos pequenos terremotos para prever os grandes?
16. Os terremotos de magnitude 5 a 8 da lei regional liberam, juntos, cerca de $5.5 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ por ano. Que fração do momento do segmento isso representa?
17. Quantas vezes mais energia que um terremoto de magnitude 6 o próximo grande terremoto irradiaria?
18. Usando a Proposição 18.15, explique por que os terremotos moderados do segmento não o aliviam.

Parte IV — A profundidade de travamento a partir das estações.

19. Um perfil de estações atravessando o segmento dá, em relação ao traço da falha, as velocidades $-11.6$, $-7.5$, $-3.1$, $3.1$, $7.5$ e $11.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em $x = -40$, $-15$, $-5$, $5$, $15$ e $40\,\mathrm{km}$. Verifique que o perfil é antissimétrico, e dê as velocidades esperadas longe da falha.
20. A partir da estação a $15\,\mathrm{km}$, calcule a profundidade de travamento.
21. Calcule-a de novo a partir das estações a $5\,\mathrm{km}$ e $40\,\mathrm{km}$, e explique as pequenas diferenças.
22. Compare a profundidade de travamento com a profundidade dos terremotos, e diga por que elas devem concordar.
23. Calcule a taxa de deformação de cisalhamento sobre a falha.
24. Com 0.01, qual é a magnitude de momento do terremoto que liberaria todo o déficit de deslizamento do segmento?

Solução

Solução de Problema 18.1.

1. Os intervalos são $1290 - 1050 = 240$, $1480 - 1290 = 190$ e $1712 - 1480 = 232$ anos; sua média é $220.7\,\mathrm{yr}$.

2. O deslocamento médio é $(7.0 + 6.0 + 5.5 + 7.5)/4 = 6.5\,\mathrm{m}$, e $T = 6.5/0.030 = 216.7\,\mathrm{yr}$, próximo do intervalo médio.

3. Os deslocamentos dos três últimos terremotos, $6.0 + 5.5 + 7.5 = 19.0\,\mathrm{m}$, acumulados entre 1050 e 1712, em 662 anos: $19.0\,\mathrm{m} /662\,\mathrm{yr} = 28.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $4\,\%$ abaixo da geodésica $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. As duas concordam dentro da incerteza das datas e dos deslocamentos: o segmento libera quase toda a sua carga em seus grandes terremotos.

4. $2025 - 1712 = 313$ anos, e o déficit é $0.030\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times313\,\mathrm{yr} = 9.39\,\mathrm{m}$.

5. O déficit excede cada deslocamento da trincheira, o maior sendo $7.5\,\mathrm{m}$, e o tempo desde 1712 excede o maior intervalo, 240 anos. Nesse sentido o segmento está atrasado; isso não significa que o terremoto seja iminente, apenas que a falha já retém mais deslizamento do que jamais liberou de uma só vez no registro.

6. Os intervalos vão de 190 a 240 anos e os deslocamentos de $5.5\text{ a }7.5\,\mathrm{m}$: o ciclo não é periódico, e a resistência da falha no próximo terremoto é desconhecida. A trincheira dá uma média e uma dispersão, a partir das quais uma probabilidade pode ser estimada, não uma data.

7. $A = 250\,\mathrm{km}\times15\,\mathrm{km} = 3750\,\mathrm{km}^{2} = 3.75 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$.

8. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times9.39 = 1.06 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

9. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times7.5 = 8.44 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, logo $M_w = \tfrac23(20.926 - 9.1) = 7.88$.

10. A razão é $9.39/7.5 = 1.25$, que é $\tfrac23\log_{10}1.25 = 0.07$ de magnitude.

11. A metade da área reduz o momento à metade e baixa a magnitude em $\tfrac23\log_{10}2 = 0.20$: $M_w = 7.75$.

12. $\mu A V = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times0.030 = 3.38 \times 10^{18}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ por ano.

13. $b = 1$. $N(5) = 10^{4.3 - 5} = 0.20$ por ano e $N(6) = 0.020$ por ano.

14. $N(7) = 0.0020$ por ano: um a cada 500 anos; $N(8) = 0.00020$ por ano: um a cada $5000$ anos.

15. A lei dá um terremoto de magnitude 7.95 ou mais a cada $1/10^{4.3 - 7.95} = 4500$ anos, a trincheira um a cada 220 anos, vinte vezes mais frequentemente. A lei é ajustada aos muitos terremotos pequenos de todas as falhas da região; extrapolada para os grandes terremotos de um só segmento, ela os subestima muito. A recorrência de grandes terremotos em uma falha é tomada de seu próprio registro e de sua carga, não dos pequenos.

16. $5.5 \times 10^{17}/3.38 \times 10^{18} = 0.16$: os terremotos moderados liberam $16\,\%$ do momento que o segmento acumula.

17. Pela Proposição 18.5, $10^{1.5\times(7.95 - 6)} = 10^{2.92} \approx 840$ vezes mais.

18. Com $b = 1$, o momento dos terremotos é dominado pelo maior: o que quer que façam os terremotos moderados, liberam uma parcela menor, aqui $16\,\%$, e os $84\,\%$ restantes, o déficit de deslizamento, esperam pelo grande terremoto.

19. $v(-x) = -v(x)$ para cada par, logo o perfil é antissimétrico. Longe da falha as velocidades tendem a $\pm V/2 = \pm15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

20. $D = x/\tan(\pi v/V) = 15/\tan(\pi\times7.5/30) = 15/\tan45{}^{\circ} = 15\,\mathrm{km}$: na profundidade de travamento a velocidade é $V/4$.

21. Em $5\,\mathrm{km}$: $D = 5/\tan(\pi\times3.1/30) = 5/\tan18.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$; em $40\,\mathrm{km}$: $D = 40/\tan69.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$. As velocidades são dadas com $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e esse arredondamento sozinho desloca $D$ em cerca de $0.1\,\mathrm{km}$; com dados reais, o ruído de cada estação seria maior, e a profundidade de travamento seria ajustada a todas as estações de uma vez.

22. A profundidade de travamento, $15\,\mathrm{km}$, iguala a profundidade dos terremotos mais profundos. A parte travada da falha é sua parte frágil, a camada sismogênica, onde o atrito a mantém travada entre os terremotos e onde ela falha neles; abaixo, a rocha mais quente rasteja (Capítulo 16) e a falha desliza de modo constante, que é o deslizamento à taxa $V$ abaixo de $D$ do modelo.

23. $V/(\pi D) = 0.030/(\pi\times15\,000) = 6.4 \times 10^{-7}$ por ano.

24. Com $M_0 = 1.056 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, $\log_{10}M_0 = 21.024$ e $M_w = \tfrac23(21.024 - 9.1) = 7.949$. Com 0.01, o terremoto que liberaria todo o déficit do segmento tem a magnitude de momento 7.95.