16Tensão, deformação e reologia

Nos anos 1960, fluido residual bombeado por um poço de descarte na Rocky Mountain Arsenal, perto de Denver, espalhou-se pelo embasamento cristalino fraturado entre $3.7\,\mathrm{km}$ e $7.0\,\mathrm{km}$ abaixo da superfície, e terremotos se seguiram. Eles ficaram dentro da parte da rocha onde a pressão do fluido havia subido em mais de cerca de $3.2\,\mathrm{MPa}$.

Meio século depois, a mesma coisa aconteceu em escala maior em Oklahoma, onde a água salgada trazida à superfície com o petróleo e o gás é bombeada de volta ao subsolo. Em todo o estado e em seus arredores, os terremotos de magnitude 3 ou mais somavam de um a cinco por ano entre 2005 e 2008, depois $20$ em 2009, $585$ em 2014 e $888$ em 2015, mais de dois por dia; abalos de magnitude 5.7 e 5.8 sacudiram Prague, em 2011, e Pawnee, em 2016. Apenas quatro poços de descarte de grande volume poderiam explicar um quinto dos terremotos do centro dos Estados Unidos, e provocar alguns a mais de $30\,\mathrm{km}$ de distância.

A água não empurrou nada para o lado; apenas elevou a pressão do fluido nos poros da rocha. Por que isso faria uma falha deslizar? A resposta exige três ideias, que são o assunto deste capítulo: a tensão sobre um plano dentro de uma rocha, a condição sob a qual o plano cede, e o fato de que a pressão do fluido nos poros atua contra a força que comprime os dois lados um contra o outro. Com elas, e com uma lei de fluência para rocha quente, podemos traçar a resistência de toda a litosfera em função da profundidade.

O que você já sabe

Uma força distribuída sobre uma superfície atua por sua força por unidade de área, em pascals; a pressão em um fluido em repouso cresce com a profundidade como $\rho g z$ (livros de física). Uma mola, e um sólido em pequenas deformações, obedecem à lei de Hooke: a deformação é proporcional à tensão, com o módulo de Young como constante; um fluido viscoso resiste em proporção à sua taxa de cisalhamento, com a viscosidade como constante. O volume do Livro 5 dos livros de física descreve tensão e deformação em três dimensões com tensores; este capítulo precisa apenas de dois. Uma matriz simétrica $2\times2$ tem dois autovalores reais e dois autovetores perpendiculares (matemática, primeiro ano). As geotermas de Capítulo 10 dão a temperatura em profundidade; falhas foram estudadas no Livro 1, 7º ano.

16.1 Tensão em duas dimensões

Corte uma rocha, em pensamento, ao longo de uma pequena superfície plana. A rocha de um lado pressiona a rocha do outro com uma força, e a força por unidade de área é a tração sobre essa superfície, na palavra dos livros de física. Sua direção não é, em geral, a direção da normal à superfície.

Definição 16.1 (Tensão normal)

Sobre um plano através de um ponto de uma rocha, a força por unidade de área que a rocha de um lado exerce sobre a do outro tem uma componente ao longo da normal ao plano, a tensão normal $\sigma_n$, e uma componente ao longo do plano, a tensão de cisalhamento $\tau$. Nas ciências da Terra, a tensão normal é contada como positiva quando comprime.

A convenção de sinal é a oposta à do engenheiro. Ela foi escolhida porque quase toda tensão no sólido terrestre é uma compressão: o peso da rocha acima pressiona tudo o que está abaixo dela.

Trabalhamos em um plano vertical, com um eixo $x$ horizontal e um eixo $y$. Sobre um plano perpendicular a $x$, a tensão normal é $\sigma_{xx}$ e a de cisalhamento $\sigma_{xy}$; sobre um plano perpendicular a $y$, são $\sigma_{yy}$ e $\sigma_{yx}$. As duas tensões de cisalhamento são iguais: em um pequeno quadrado, as forças de cisalhamento nos lados verticais formam um binário de momento $\sigma_{xy}a\cdot a$ para um lado $a$, e as dos lados horizontais, um binário $\sigma_{yx}a\cdot a$ girando no sentido oposto, e o quadrado giraria se elas fossem diferentes. Assim, três números descrevem a tensão em um ponto, e bastam para dá-la em todo plano.

Proposição 16.2 (Tensão sobre um plano inclinado)

Seja um plano de normal unitária $\vec n = (\cos\theta, \sin\theta)$, formando o ângulo $\theta$ com o eixo $x$, e seja $\vec m = (-\sin\theta, \cos\theta)$ o vetor unitário ao longo do plano. As tensões normal e de cisalhamento sobre ele são

$$\begin{align*} \sigma_n &= \sigma_{xx}\cos^2\theta + 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta + \sigma_{yy}\sin^2\theta = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta, \\ \tau &= (\sigma_{yy}-\sigma_{xx})\sin\theta\cos\theta + \sigma_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = -\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta , \end{align*}$$

com $\tau$ contada positiva ao longo de $\vec m$.

Teorema 16.3 (Tensões principais)

Em todo ponto de uma rocha há dois planos perpendiculares nos quais a tensão de cisalhamento é nula. As tensões normais sobre eles são a maior e a menor tensão normal entre todos os planos que passam pelo ponto,

$$\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\Bigr)^2 + \sigma_{xy}^2}, \qquad \tan2\theta_p = \frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}},$$

onde $\theta_p$ é o ângulo do eixo $x$ à normal do plano que carrega $\sigma_1$.

Definição 16.4 (Tensões principais; tensão diferencial)

As tensões principais em um ponto são as tensões normais $\sigma_1 \ge \sigma_3$ sobre os dois planos livres de tensão de cisalhamento, e suas direções são as direções principais. Em três dimensões há três, $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$, sobre três planos perpendiculares. A tensão diferencial é $\sigma_1 - \sigma_3$, e a tensão média no plano é $(\sigma_1+\sigma_3)/2$.

Um estado de tensão é mais fácil de ler em suas direções principais. Se medirmos o ângulo $\theta$ a partir da direção de $\sigma_1$ em vez de a partir do eixo $x$, as fórmulas perdem seus últimos termos.

Proposição 16.5 (Círculo de Mohr)

Sobre um plano cuja normal faz o ângulo $\theta$ com a direção de $\sigma_1$,

$$\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos2\theta, \qquad |\tau| = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\,|\sin2\theta| .$$

À medida que $\theta$ gira, o ponto $(\sigma_n, |\tau|)$ percorre a metade superior do círculo de centro $((\sigma_1+\sigma_3)/2,\, 0)$ e raio $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, no ângulo $2\theta$ a partir de sua extremidade $\sigma_1$. A maior tensão de cisalhamento, $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, atua nos planos a $45{}^{\circ}$ das direções principais.

O sinal de $\tau$ diz apenas em que sentido os dois lados deslizariam, por isso a metade superior do círculo costuma ser desenhada sozinha. A construção leva o nome do engenheiro Christian Otto Mohr, que também construiu sobre ela um critério de ruptura, que é para onde vamos (Seção 16.3).

Tensão em profundidade

Definição 16.6 (Pressão litostática, pressão do fluido nos poros, tensão efetiva)

À profundidade $z$, o peso da rocha acima, por unidade de área horizontal, é a tensão vertical $\sigma_v = \int_0^z\rho g\,\mathrm dz'$, que é $\rho g z$ em uma camada de densidade uniforme $\rho$. Quando a tensão é a mesma em todas as direções, igual à vertical, a rocha está sob a pressão litostática. A pressão da água, do óleo ou do gás nos poros e fissuras da rocha é a pressão do fluido nos poros $P$; ela é hidrostática, $P = \rho_w g z$, quando os poros se conectam à superfície. A tensão efetiva é a tensão menos a pressão nos poros, $\sigma' = \sigma - P$, em todo plano; $\lambda = P/\sigma_v$ é a razão de pressão nos poros.

Em uma crosta de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a tensão vertical cresce $2700\times9.81\times1000 = 26.5\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro, e a pressão hidrostática nos poros cresce $9.81\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro: $\lambda = 1000/2700 = 0.37$. O fluido dos poros empurra os grãos para longe com a mesma pressão em todas as direções; ele não retira nada da tensão de cisalhamento, mas retira $P$ de toda tensão normal. Onde os poros são selados, por argila ou sal, por exemplo, o fluido pode carregar parte do peso da rocha acima, e $\lambda$ sobe em direção a 1.

A tensão na crosta não é litostática. Placas empurram e puxam, a crosta se curva, montanhas pesam sobre suas raízes, e as tensões horizontais diferem da vertical. Perto da superfície, que não suporta tensão de cisalhamento, uma direção principal é vertical, como mostra o Capítulo 17: $\sigma_v$ é $\sigma_1$, $\sigma_2$ ou $\sigma_3$, e os três casos são as três maneiras como as falhas se movem.

16.2 Deformação

A tensão é uma causa; a deformação é o que a rocha registra. Um fóssil alongado, um seixo achatado, uma camada encurtada em dobras medem todos uma mudança de forma.

Definição 16.7 (Extensão, alongamento, deformação de cisalhamento)

Uma linha de material de comprimento $\ell_0$, deformada até o comprimento $\ell$, tem a extensão $e = (\ell - \ell_0)/\ell_0$ e o alongamento $S = \ell/\ell_0 = 1 + e$; um encurtamento é uma extensão negativa, um alongamento abaixo de 1. Duas linhas de material que eram perpendiculares e agora formam o ângulo $90{}^{\circ} - \psi$ foram cisalhadas pelo ângulo $\psi$, e a deformação de cisalhamento é $\gamma = \tan\psi$.

Uma deformação é homogênea quando cada pequena região da rocha se deforma do mesmo modo. A nova posição $\vec x'$ do ponto $\vec x$ é então uma função linear, $\vec x' = F\vec x$, com uma matriz constante $2\times2$ $F$ (e $\det F > 0$, pois a rocha não se vira pelo avesso). Retas continuam retas e retas paralelas continuam paralelas; um quadrado torna-se um paralelogramo, e um círculo torna-se uma elipse.

Proposição 16.8 (A elipse de deformação)

Sob a deformação homogênea $\vec x' = F\vec x$, o círculo de raio 1 torna-se uma elipse cujos semieixos são as raízes quadradas $S_1 \ge S_2$ dos autovalores de $FF^{\mathsf T}$, ao longo de seus autovetores perpendiculares. $S_1$ e $S_2$ são os maiores e menores alongamentos de todas as linhas de material, e a área é multiplicada por $\det F = S_1S_2$.

Definição 16.9 (Elipse de deformação)

A elipse de deformação é a elipse na qual uma deformação homogênea transforma um círculo de raio 1; seus semieixos são os alongamentos principais $S_1 \ge S_2$, e seus eixos, as direções principais da deformação.

Duas deformações que alteram a forma de um corpo igualmente podem ser muito diferentes.

Definição 16.10 (Cisalhamento puro, cisalhamento simples)

Um cisalhamento puro é uma deformação homogênea que conserva a área e mantém fixas suas direções principais na rocha: $F = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k\end{pmatrix}$ nesses eixos, com $k > 1$. Um cisalhamento simples move cada ponto paralelamente a uma direção, a direção de cisalhamento, de $\gamma$ vezes sua distância a um plano fixo paralelo a ela: $F = \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

Ambos conservam a área, já que os dois determinantes valem 1. No cisalhamento puro, as linhas de material ao longo dos eixos da elipse de deformação são as mesmas linhas em todas as etapas: a deformação é coaxial. No cisalhamento simples, elas não são, como mostram a próxima proposição e a figura depois dela.

Proposição 16.11 (A elipse do cisalhamento simples)

Um cisalhamento simples $\gamma$ tem os alongamentos principais

$$S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2 ,$$

e o eixo longo de sua elipse de deformação forma com a direção de cisalhamento o ângulo $\theta'$ dado por $\tan2\theta' = 2/\gamma$.

A elipse de deformação registra a deformação total, ou finita. Uma deformação que prossegue por milhões de anos é a soma de muitos pequenos incrementos, cada um uma deformação infinitesimal; para um $\gamma$ pequeno, a proposição dá $S_{1,2} \approx 1 \pm \gamma/2$ e $\theta' \approx 45{}^{\circ}$. No cisalhamento simples, os incrementos sempre alongam mais depressa a $45{}^{\circ}$ da direção de cisalhamento, enquanto a elipse finita gira em direção a ela, $31.7{}^{\circ}$ para $\gamma = 1$, $22.5{}^{\circ}$ para $\gamma = 2$, cada vez mais perto à medida que $\gamma$ cresce. É por isso que seixos achatados e minerais alongados em uma zona de cisalhamento intenso jazem quase em seu plano, e por que o ângulo que eles formam com a zona mede o quanto ela se deslocou.

16.3 Reologia

Definição 16.12 (Reologia, comportamento frágil e dúctil)

A reologia de um material é a maneira como ele se deforma e flui sob tensão: a relação entre tensão, deformação e taxa de deformação. Uma rocha mostra comportamento frágil quando se deforma por fratura ou por deslizamento sobre fraturas, em superfícies discretas, com uma perda súbita de resistência; mostra comportamento dúctil quando se deforma de modo permanente e contínuo em todo o seu volume, sem perder a coesão.

As rochas exibem todos os comportamentos dos livros de física. Sob tensões pequenas e breves, são elásticas: a deformação é proporcional à tensão, como na lei de Hooke, e desaparece com ela; ondas sísmicas (Capítulo 9) atravessam rocha elástica. Em tempos longos, o manto quente flui como um fluido muito viscoso, com a taxa de deformação crescendo com a tensão. Entre esses extremos, a rocha fria se rompe e desliza, e a rocha morna sofre fluência. Qual comportamento prevalece depende da tensão, da temperatura, da pressão, do fluido nos poros e do tempo disponível.

Ruptura frágil

Definição 16.13 (Critério de ruptura de Coulomb)

Uma rocha obedece ao critério de ruptura de Coulomb se um plano através dela se rompe, ou uma fratura existente desliza, assim que, sobre esse plano

$$\tau = C + \mu\,\sigma_n' , \qquad \sigma_n' = \sigma_n - P ,$$

onde $C \ge 0$ é a coesão da rocha, $\mu$ seu coeficiente de atrito interno e $\phi = \arctan\mu$ seu ângulo de atrito interno.

O critério leva os nomes de Coulomb e Mohr. Suas constantes são medidas em amostras no laboratório, e diferem de rocha para rocha. Uma fratura existente perdeu sua coesão: para ela, $C = 0$, e o atrito sobre ela quase não depende da rocha (Proposição 16.15), com $\mu$ entre 0.6 e 0.85, e um ângulo de atrito entre $31{}^{\circ}$ e $40{}^{\circ}$.

Teorema 16.14 (O ângulo de ruptura)

Uma rocha que obedece ao critério de Coulomb rompe-se primeiro nos planos que formam o ângulo $45{}^{\circ} - \phi/2$ com a direção de $\sigma_1$, de um lado e do outro dela, e rompe-se quando

$$\frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = C\cos\phi + \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}\,\sin\phi .$$

Com $\phi = 30{}^{\circ}$, uma rocha se rompe em planos a $30{}^{\circ}$ de $\sigma_1$, e os dois planos possíveis formam $60{}^{\circ}$ entre si, com $\sigma_1$ cortando o ângulo entre eles ao meio. Este é o ângulo entre as falhas conjugadas vistas no campo, e a razão, como mostra o Capítulo 17, pela qual falhas normais mergulham de forma acentuada e empurrões, suavemente.

Para o deslizamento sobre fraturas que já existem, o próprio atrito é dado pelo experimento, e o experimento o dá com uma surpreendente simplicidade.

Proposição 16.15 (Lei de Byerlee)

Para a maioria das rochas, o deslizamento sobre uma fratura ou falha existente começa quando a tensão de cisalhamento atinge

$$\tau = 0.85\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' < 200\,\mathrm{MPa}), \qquad \tau = 50\,\mathrm{MPa} + 0.6\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' > 200\,\mathrm{MPa}),$$

qualquer que seja o tipo de rocha: esta é a lei de Byerlee.

A lei é resultado do experimento, não da teoria. James Byerlee mediu, em 1975, a resistência à fratura e a resistência ao atrito de um arenito sob pressões de confinamento e de poros, e constatou que ambas são governadas apenas pela tensão efetiva, a diferença entre as duas pressões; a resistência à fratura variou até $20\,\%$ com o cimento entre os grãos, mas o atrito não dependia da rocha, e a mesma lei valeu para gabro, dunito, serpentinito, granito e calcário. As duas retas se encontram em $\sigma_n' = 200\,\mathrm{MPa}$, onde ambas dão $170\,\mathrm{MPa}$.

A lei da tensão efetiva é a chave da abertura deste capítulo. Elevar a pressão nos poros em $\Delta P$ reduz toda tensão normal efetiva em $\Delta P$ e deixa cada tensão de cisalhamento como estava: o círculo de Mohr desliza para a esquerda, sem mudar de tamanho, em direção à reta de ruptura. Uma falha que estava segura pode ser levada a deslizar sem qualquer mudança na tensão tectônica. A tensão de cisalhamento crítica sobre uma falha é $\tau_c = \tau_0 + \mu(\sigma_n - P)$, e a injeção atua sobre seu último termo. Em Denver, os terremotos se mantiveram na rocha onde a pressão nos poros havia subido em mais de cerca de $3.2\,\mathrm{MPa}$, como se essa elevação fosse o que as falhas ali precisavam.

Método 16.16 (Teste de uma falha quanto ao deslizamento)

Para decidir se uma falha à profundidade $z$ vai deslizar, e o que a faria deslizar:

1. Encontre as tensões principais no plano perpendicular à direção da falha: $\sigma_v = \rho g z$, e a tensão horizontal, medida ou suposta; tome a pressão nos poros $P$ (hidrostática, $\rho_w g z$, se nada mais for conhecido).
2. Meça o ângulo $\theta$ entre a normal à falha e a direção de $\sigma_1$.
3. Calcule $\sigma_n$ e $\tau$ na falha com Proposição 16.5, depois $\sigma_n' = \sigma_n - P$.
4. Compare $\tau$ com o atrito da Proposição 16.15: abaixo dele, a falha se mantém; $\tau/\sigma_n'$ comparado com 0.85 mede a margem.
5. A elevação da pressão nos poros que a leva a deslizar é $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85$ no ramo inferior da lei ($\sigma_n' - (\tau - 50)/0.6$, em megapascals, no superior).

Fluência dúctil

A rocha quente não espera para se romper. Acima de algumas centenas de graus em rocha rica em quartzo, e em temperaturas mais altas na olivina, os cristais se deformam pelo lento movimento de defeitos através de sua rede, e a rocha sofre fluência a uma taxa que cresce acentuadamente com a tensão e com a temperatura.

Proposição 16.17 (Fluência em lei de potência)

Em alta temperatura, uma rocha que se deforma por fluência por deslocamentos flui à taxa

$$\dot\varepsilon = A\,(\sigma_1 - \sigma_3)^n \exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

onde $T$ é a temperatura absoluta, $P$ a pressão, $R$ a constante dos gases, e $A$, $n$, $E$ (a energia de ativação) e $V$ (o volume de ativação) são constantes do material, medidas em laboratório. Para fluir à taxa $\dot\varepsilon$, ela precisa da tensão diferencial

$$\sigma_1 - \sigma_3 = \Bigl(\frac{\dot\varepsilon}{A}\Bigr)^{1/n} \exp\Bigl(\frac{E + PV}{nRT}\Bigr).$$

Os mecanismos por trás da lei são o assunto do Livro 5. Suas constantes vêm de experimentos; para quartzito úmido, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$ e $A = 1.1 \times 10^{-4}$ (tensão em megapascals, tempo em segundos), segundo Gleason e Tullis (1995); para olivina seca, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 18\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ e $A = 10^{5}$, segundo Hirth e Kohlstedt (2003); $R = 8.314\,462\,618\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

Dois traços da lei moldam a litosfera. A tensão depende apenas fracamente da taxa: dez vezes mais rápido exige apenas $10^{1/4} = 1.78$ vez mais tensão no quartzito. E depende enormemente da temperatura: a exponencial divide a resistência do quartzito por vários a cada cem graus. As taxas de deformação naturais são lentas. Um cinturão de crosta de $300\,\mathrm{km}$ de largura que absorve $1\,\mathrm{cm}$ de movimento de placa por ano se deforma a $0.01/(3.16 \times 10^{7}\times3 \times 10^{5}) \approx 1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$, a taxa que usaremos.

No laboratório — Medindo a resistência da rocha

Os laboratórios de mecânica das rochas medem a resistência em uma célula triaxial. Um cilindro de rocha, extraído com sonda e retificado plano nas extremidades, é selado em uma capa de borracha ou de metal mole que impede o fluido de confinamento de entrar em seus poros. Ele fica dentro de um vaso de pressão de paredes grossas: óleo em volta dele fixa a pressão de confinamento, que faz o papel de $\sigma_2 = \sigma_3$; um pistão atua sobre suas extremidades e acrescenta a carga axial, $\sigma_1$. Uma linha separada enche os poros com água a uma pressão própria, de modo que a tensão efetiva pode variar com a tensão total fixa. A máquina registra a força axial e o encurtamento da amostra à medida que ela é carregada a uma taxa constante, até romper-se ou, em uma amostra serrada de antemão, até o corte começar a deslizar. Um forno dentro do vaso aquece as amostras para experimentos de fluência, que são feitos com taxas de deformação muitas ordens de grandeza mais rápidas que quaisquer taxas na Terra e precisam ser extrapoladas para ela.

16.4 A resistência da litosfera

A cada profundidade a litosfera pode romper-se de duas maneiras: por deslizamento sobre falhas, com uma resistência que cresce com a pressão efetiva, ou por fluência, com uma resistência que cai à medida que ela esquenta. Ela se deforma do modo que exige a menor tensão.

Definição 16.18 (Envoltória de resistência, transição frágil–dúctil, camada sismogênica)

A envoltória de resistência da litosfera é a curva, em função da profundidade, da maior tensão diferencial que ela suporta a uma dada taxa de deformação: a cada profundidade, a menor entre a resistência por atrito e a resistência à fluência. A transição frágil–dúctil é a profundidade em que as duas são iguais: acima dela a rocha se deforma por falhamento, abaixo por fluência. A camada sismogênica é a faixa de profundidades em que a maioria dos terremotos começa.

Proposição 16.19 (Resistência por atrito com a profundidade)

Em uma camada de densidade $\rho$ com pressão hidrostática nos poros, uma tensão principal vertical, falhas de toda orientação e nenhuma coesão, com deslizamento por atrito $\mu$ começa à tensão diferencial

$$\begin{align*} \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} + \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{se $\sigma_v = \sigma_1$}, \\ \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} - \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{se $\sigma_v = \sigma_3$}, \end{align*}$$

com $\lambda = \rho_w/\rho$: o primeiro caso dá falhas normais, o segundo, empurrões.

Com $\mu = 0.85$ e $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $S$ cresce $16.7\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro, e a resistência por atrito $13.1\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro sob extensão e $61.3\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro sob compressão, quase cinco vezes mais: uma crosta é muito mais fácil de separar do que de empurrar uma contra a outra. Acima de uma tensão normal efetiva de $200\,\mathrm{MPa}$, o ramo superior da lei de Byerlee assume, e a inclinação cai, em compressão, para cerca de $35\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro.

A figura acima reúne as duas resistências para duas litosferas. O continente tem a geoterma do Capítulo 10 com um fluxo de calor superficial de $55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, uma crosta de quartzito úmido com $35\,\mathrm{km}$ de espessura e olivina seca abaixo; o fundo oceânico tem $60\,\mathrm{Myr}$, com a geoterma de semiespaço do mesmo capítulo, e olivina desde o fundo do mar para baixo. A taxa de deformação é $10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$. Os $35\,\mathrm{km}$ são a profundidade média do Moho sob os continentes no modelo de Terra de referência do Capítulo 9.

Sob o continente, a transição frágil–dúctil cai a $13.7\,\mathrm{km}$ em compressão, a $249{}^{\circ}\mathrm{C}$, e a $17.1\,\mathrm{km}$ em extensão. Uma crosta mais quente a faria subir, e uma mais fria a empurraria para baixo, pois a lei de fluência depende apenas da temperatura, para uma dada tensão. A transição é o nível mais forte da crosta. Abaixo dela, a resistência desaba: no Moho, a $527{}^{\circ}\mathrm{C}$, o quartzito flui sob $7.6\,\mathrm{MPa}$, enquanto a olivina, à mesma temperatura, precisaria de cerca de $30\,000\,\mathrm{MPa}$, tão além da resistência por atrito que o topo do manto volta a ser frágil. Uma segunda transição segue a $44.6\,\mathrm{km}$ em compressão. A crosta inferior deste modelo é uma camada mole entre duas fortes: o “sanduíche de geleia”. Sob o oceano, a litosfera inteira é olivina, e a resistência cresce até uma única transição a $38.2\,\mathrm{km}$, a $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Os terremotos concordam com a envoltória oceânica: dentro das placas oceânicas, eles atingem profundidades onde a temperatura é $600\text{ a }800{}^{\circ}\mathrm{C}$, perto dos $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ da transição única do modelo. Terremotos mais profundos ocorrem apenas onde uma placa afunda sob outra, até mais de $700\,\mathrm{km}$ (Capítulo 14).

O manto continental é onde o quadro é disputado. Por cerca de vinte anos, o sanduíche de geleia foi a visão predominante, construída sobre medidas de laboratório de olivina seca e sobre alguns terremotos que se pensava estarem abaixo do Moho. Em 2002, James Jackson argumentou que ela deveria ser abandonada: profundidades melhores mostraram que os terremotos dos continentes se confinam a uma única camada, em geral a crosta superior, às vezes a crosta inteira, sem terremotos convincentes no manto abaixo, mesmo onde o Moho está a apenas $300\text{ a }500{}^{\circ}\mathrm{C}$. Pequenas quantidades de água, algumas partes por milhão em olivina, bastam para enfraquecê-la dramaticamente, e o manto continental pode muito bem conter tanto; a resistência dos continentes estaria então sobretudo em sua crosta. As duas visões desenham envoltórias diferentes a partir das mesmas leis, com olivina seca ou úmida abaixo do Moho.

Qualquer que seja a visão certa, uma envoltória é um limite e não uma medida: as leis de laboratório são extrapoladas por muitas ordens de grandeza da taxa de deformação, e os picos de tensão que ela mostra, acima de um gigapascal, estão muito acima dos $1\text{ a }10\,\mathrm{MPa}$ que os terremotos são vistos liberando.

16.5 Exercícios

Exercício 16.1 ★

Tome uma crosta de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. À profundidade de $10\,\mathrm{km}$, calcule (a) a tensão vertical, (b) a pressão hidrostática nos poros, (c) a tensão efetiva vertical e a razão de pressão nos poros $\lambda$.

Solução

Solução de Exercício 16.1.

(a) $\sigma_v = 2700\times9.81\times10\,000 = 2.65 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 264.9\,\mathrm{MPa}$. (b) $P = 1000\times9.81\times10\,000 = 98.1\,\mathrm{MPa}$. (c) $\sigma_v' = 264.9 - 98.1 = 166.8\,\mathrm{MPa}$, e $\lambda = 98.1/264.9 = 0.370$, que é $1000/2700$.

Exercício 16.2 ★

(a) Uma camada de $10\,\mathrm{km}$ de comprimento é esticada até $13\,\mathrm{km}$: dê sua extensão e seu alongamento. (b) Outra, de $10\,\mathrm{km}$ de comprimento, é encurtada até $7\,\mathrm{km}$. (c) Duas linhas de uma rocha que eram perpendiculares agora formam um ângulo de $60{}^{\circ}$: quais são o cisalhamento angular e a deformação de cisalhamento?

Solução

Solução de Exercício 16.2.

(a) $e = (13-10)/10 = 0.30$ e $S = 1.30$. (b) $e = (7-10)/10 = -0.30$, um encurtamento de $30\,\%$, e $S = 0.70$. (c) O ângulo se fechou de $\psi = 30{}^{\circ}$, e $\gamma = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

Exercício 16.3 ★

Em um ponto, $\sigma_1 = 100\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_3 = 40\,\mathrm{MPa}$. (a) Desenhe o círculo de Mohr. (b) Qual é a maior tensão de cisalhamento, em quais planos ela atua, e que tensão normal atua sobre eles? (c) Calcule $\sigma_n$ e $\tau$ sobre o plano cuja normal faz $30{}^{\circ}$ com $\sigma_1$.

Solução

Solução de Exercício 16.3.

(a) Centro $70\,\mathrm{MPa}$, raio $30\,\mathrm{MPa}$. (b) A maior tensão de cisalhamento é o raio, $30\,\mathrm{MPa}$, nos planos a $45{}^{\circ}$ de $\sigma_1$ e $\sigma_3$, que carregam a tensão normal do centro, $70\,\mathrm{MPa}$. (c) $2\theta = 60{}^{\circ}$: $\sigma_n = 70 + 30\cos60{}^{\circ} = 85\,\mathrm{MPa}$ e $\tau = 30\sin60{}^{\circ} = 26.0\,\mathrm{MPa}$.

Exercício 16.4 ★

Uma rocha tem coesão $10\,\mathrm{MPa}$ e ângulo de atrito interno $30{}^{\circ}$. (a) Em que ângulo com $\sigma_1$ ela se rompe, e que ângulo formam entre si os dois planos de fratura possíveis? (b) Com $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$, qual $\sigma_1'$ efetivo a rompe?

Solução

Solução de Exercício 16.4.

(a) $45{}^{\circ} - 30{}^{\circ}/2 = 30{}^{\circ}$ com $\sigma_1$, de um lado e do outro dele, logo os dois planos formam $60{}^{\circ}$ entre si. (b) Com $c' = 20 + r$, a condição do Teorema 16.14 lê-se $r = C\cos\phi + (20 + r)\sin\phi$, logo

$$r = \frac{C\cos\phi + 20\sin\phi}{1 - \sin\phi} = \frac{8.66 + 10}{0.5} = 37.3\,\mathrm{MPa},$$

e $\sigma_1' = 20 + 2r = 94.6\,\mathrm{MPa}$.

Exercício 16.5 ★★

Nos eixos $x$ (horizontal) e $y$ (vertical), $\sigma_{xx} = 60\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 20\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_{xy} = 15\,\mathrm{MPa}$. (a) Calcule as tensões principais e o ângulo $\theta_p$. (b) Verifique com a Proposição 16.2 que o plano de normal $\theta_p$ não carrega tensão de cisalhamento e que tem a tensão normal $\sigma_1$. (c) Qual é a maior tensão de cisalhamento neste ponto?

Solução

Solução de Exercício 16.5.

(a) $c = 40$ e $R = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\,\mathrm{MPa}$: $\sigma_1 = 65\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_3 = 15\,\mathrm{MPa}$; $\tan2\theta_p = 30/40 = 0.75$, $2\theta_p = 36.87{}^{\circ}$, $\theta_p = 18.43{}^{\circ}$. (b) Nesse ângulo $\cos^2\theta = 0.9$, $\sin^2\theta = 0.1$ e $\sin\theta\cos\theta = 0.3$: $\sigma_n = 60\times0.9 + 2\times15\times0.3 + 20\times0.1 = 54 + 9 + 2 = 65\,\mathrm{MPa}$, e $\tau = (20-60)\times0.3 + 15\times(0.9-0.1) = -12 + 12 = 0$. (c) $R = 25\,\mathrm{MPa}$, nos planos a $45{}^{\circ}$ das direções principais.

Exercício 16.6 ★★

Uma zona de cisalhamento deformou sua rocha por um cisalhamento simples $\gamma = 2$. (a) Calcule os alongamentos principais e o ângulo do eixo longo da elipse de deformação com a direção de cisalhamento. (b) Verifique que a área não mudou. (c) Uma linha de material estava a $45{}^{\circ}$ da direção de cisalhamento, subindo no sentido do cisalhamento: onde ela está agora, e qual é seu alongamento? Compare com (a).

Solução

Solução de Exercício 16.6.

(a) $S_{1,2} = \sqrt{1 + 1} \pm 1$: $S_1 = 2.414$ e $S_2 = 0.414$; $\tan2\theta' = 2/2 = 1$, $\theta' = 22.5{}^{\circ}$. (b) $S_1S_2 = (\sqrt2 + 1)(\sqrt2 - 1) = 1$, que é $\det F$: nenhuma mudança de área. (c) A reta ao longo de $(1, 1)$ vai a $F(1, 1) = (1 + 2, 1) = (3, 1)$, a $\arctan(1/3) = 18.4{}^{\circ}$ da direção de cisalhamento, com o alongamento $\sqrt{10}/\sqrt2 = 2.24$. Ela girou para além do eixo longo da elipse, a $22.5{}^{\circ}$, em direção ao plano de cisalhamento; seu alongamento é um pouco menor que $S_1$, como deve ser, pois nenhuma linha se alonga mais que $S_1$.

Exercício 16.7 ★★

Numa zona de cisalhamento de $200\,\mathrm{m}$ de espessura, pequenas manchas arredondadas em uma ardósia tornaram-se elipses com eixos na razão 4 para 1. Suponha um cisalhamento simples, sem mudança de área. (a) Encontre $S_1$, $S_2$ e $\gamma$. (b) Em que ângulo com as paredes da zona devem jazer os eixos longos? (c) Quanto uma parede se deslocou além da outra?

Solução

Solução de Exercício 16.7.

(a) $S_1/S_2 = 4$ e $S_1S_2 = 1$ dão $S_1 = 2$ e $S_2 = 0.5$; pela Proposição 16.11, $\gamma = S_1 - S_2 = 1.5$. (b) $\tan2\theta' = 2/1.5 = 1.333$, $2\theta' = 53.1{}^{\circ}$: os eixos longos devem jazer a $26.6{}^{\circ}$ das paredes. (c) $1.5\times200 = 300\,\mathrm{m}$.

Exercício 16.8 ★★

Uma falha a $3\,\mathrm{km}$ de profundidade, em crosta de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, suporta a tensão normal de $70\,\mathrm{MPa}$ e a tensão de cisalhamento de $30\,\mathrm{MPa}$. (a) Com pressão hidrostática nos poros, ela desliza segundo a lei de Byerlee? (b) E se os poros forem selados e $\lambda = 0.6$? (c) Encontre o valor de $\lambda$ a partir do qual ela começa a deslizar.

Solução

Solução de Exercício 16.8.

$\sigma_v = 2700\times9.81\times3000 = 79.46\,\mathrm{MPa}$. (a) $P = 29.43\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 70 - 29.43 = 40.57\,\mathrm{MPa}$, e Byerlee permite $0.85\times40.57 = 34.5\,\mathrm{MPa}$, mais que os $30\,\mathrm{MPa}$ aplicados: a falha se mantém. (b) $P = 0.6\times79.46 = 47.68\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 22.32\,\mathrm{MPa}$, e o atrito dá apenas $19.0\,\mathrm{MPa}$: a falha desliza. (c) $30 = 0.85\,(70 - 79.46\,\lambda)$ dá $\lambda = (70 - 35.29)/79.46 = 0.437$.

Exercício 16.9 ★★

Use a lei de fluência do quartzito úmido (Proposição 16.17). (a) De que fator a tensão deve subir para que ele flua dez vezes mais depressa? (b) De que fator sua resistência cai entre $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $500{}^{\circ}\mathrm{C}$, à mesma taxa e com $V = 0$? (c) Explique com esses dois resultados por que a profundidade da transição frágil–dúctil depende muito mais do geotermo do que da taxa de deformação.

Solução

Solução de Exercício 16.9.

(a) A tensão varia como $\dot\varepsilon^{1/4}$: $10^{1/4} = 1.78$. (b) A razão das resistências é

$$\exp\Bigl[\frac{E}{nR}\Bigl(\frac{1}{673.15} - \frac{1}{773.15}\Bigr)\Bigr] = \exp\bigl(6705\times1.921 \times 10^{-4}\bigr) = \exp(1.288) = 3.63 .$$

(c) Uma variação de dez vezes na taxa muda a resistência à fluência por um fator 1.78, o que a temperatura faz em apenas $100\times\ln1.78/\ln3.63 \approx 45{}^{\circ}\mathrm{C}$; com uma geoterma de cerca de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro, isso desloca a transição em cerca de $2\,\mathrm{km}$. Uma mudança na geoterma desloca as isotermas, e com elas a transição, muito mais.

Exercício 16.10 ★★★

Onde a tensão vertical é $\sigma_2$, as falhas são transcorrentes. Suponha que a tensão efetiva vertical seja então a média $(\sigma_1' + \sigma_3')/2$. (a) Mostre que o deslizamento com atrito $\mu$ e sem coesão começa em $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\mu\,\rho g z(1-\lambda)/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) Calcule a inclinação em megapascals por quilômetro para $\mu = 0.85$ e $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e situe-a entre as inclinações das falhas normais e dos empurrões. (c) Exprima cada uma das três inclinações como múltiplo da tensão efetiva vertical.

Solução

Solução de Exercício 16.10.

(a) Com $C = 0$, uma falha desliza quando $r = \mu c'/\sqrt{1+\mu^2}$ (Teorema 16.14). Aqui $c' = S = \rho g z(1-\lambda)$, logo $\sigma_1 - \sigma_3 = 2r = 2\mu S/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) $S$ cresce em $2700\times9.81\times1000\times(1 - 1000/2700) = 16.68\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro, e $2\times0.85/1.3124 = 1.295$: a inclinação é $21.6\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro, entre $13.1$ (falhas normais) e $61.3\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro (empurrões). (c) $2\mu/(k+\mu) = 0.786$, $2\mu/k = 1.295$ e $2\mu/(k-\mu) = 3.68$, com $k = 1.3124$: a tensão diferencial no deslizamento é 0.79, 1.30 e 3.68 vezes a tensão efetiva vertical.

Exercício 16.11 ★★★

Modele a litosfera oceânica de $60\,\mathrm{Myr}$ como um semiespaço resfriado a partir de $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$, com a superfície a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $T = 1350\operatorname{erf}\bigl(z/(2\sqrt{\kappa t})\bigr)$. (a) Calcule $2\sqrt{\kappa t}$. (b) Encontre as profundidades das isotermas de $600{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $800{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Os terremotos dentro das placas oceânicas atingem as profundidades onde a temperatura está entre $600\text{ a }800{}^{\circ}\mathrm{C}$. Compare com a transição frágil–dúctil da envoltória de resistência oceânica deste capítulo, a $38.2\,\mathrm{km}$ e $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Solução

Solução de Exercício 16.11.

(a) $t = 60\times10^{6}\times3.156 \times 10^{7} = 1.89 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ e $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{1.89 \times 10^{9}} = 87.0\,\mathrm{km}$. (b) $\operatorname{erf}x = 600/1350 = 0.444$ para $x = 0.417$: $z = 0.417\times87.0 = 36.3\,\mathrm{km}$; $\operatorname{erf}x = 800/1350 = 0.593$ para $x = 0.586$: $z = 51.0\,\mathrm{km}$. (c) Os terremotos deveriam atingir $36\text{ a }51\,\mathrm{km}$; a envoltória põe a base da camada frágil a $38.2\,\mathrm{km}$, dentro dessa faixa e perto de seu topo, a uma temperatura, $641{}^{\circ}\mathrm{C}$, na faixa observada.

Exercício 16.12 ★★★

Uma rocha é cortada por fraturas de toda orientação, todas contendo a direção de $\sigma_2$, com coesão nula e atrito 0.85. As tensões principais efetivas são $\sigma_1' = 110\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$. (a) Mostre que algumas fraturas deslizam. (b) Encontre a faixa do ângulo entre as fraturas que deslizam e $\sigma_1$. Qual delas está no meio da faixa? (c) Até que valor de $\sigma_1'$, com $\sigma_3'$ fixo, ao menos uma fratura ainda desliza?

Solução

Solução de Exercício 16.12.

(a) $r = 45$ e $c' = 65\,\mathrm{MPa}$; a distância do centro à reta $\tau = 0.85\sigma_n'$ é $0.85\times65/1.3124 = 42.1\,\mathrm{MPa}$, menor que o raio: o círculo cruza a reta, e os planos no arco acima dela deslizam. (b) Com $2\theta$ o ângulo a partir da extremidade $\sigma_1$, o deslizamento exige $45\sin2\theta \ge 0.85\,(65 + 45\cos2\theta)$, isto é $45\sin2\theta - 38.25\cos2\theta \ge 55.25$, ou $59.06\sin(2\theta - 40.36{}^{\circ}) \ge 55.25$, onde $40.36{}^{\circ} = \phi$. Logo $\sin(2\theta - \phi) \ge 0.9355$, $2\theta - \phi$ entre $69.31{}^{\circ}$ e $110.69{}^{\circ}$, $2\theta$ entre $109.67{}^{\circ}$ e $151.06{}^{\circ}$: as normais jazem a $54.8{}^{\circ}$ a $75.5{}^{\circ}$ de $\sigma_1$, e as fraturas que deslizam a $14.5{}^{\circ}$ a $35.2{}^{\circ}$ de $\sigma_1$. O meio da faixa, $24.8{}^{\circ}$, é $45{}^{\circ} - \phi/2$, o plano do Teorema 16.14. (c) Apenas esse plano desliza quando o círculo apenas toca a reta: $r = \mu(20 + r)/k$, $r = 20\mu/(k - \mu) = 17/0.4624 = 36.8\,\mathrm{MPa}$, e $\sigma_1' = 20 + 2r = 93.5\,\mathrm{MPa}$.

16.6 Problema: a falha desliza?

Problema 16.1

Problema de fim de semana — a tensão sobre uma falha normal a cinco quilômetros de profundidade, sua margem de segurança e a elevação da pressão nos poros que a faria deslizar

Uma falha tem direção norte–sul e mergulha $60{}^{\circ}$ para leste. Um poço de descarte atinge a falha a uma profundidade de $5.00\,\mathrm{km}$, em crosta de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ cujos poros se conectam à superfície. Uma medida no poço dá a tensão horizontal perpendicular à falha, $75.0\,\mathrm{MPa}$; a tensão horizontal ao longo da direção fica entre ela e a tensão vertical, de modo que o problema é bidimensional no plano vertical leste–oeste. Tome $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, água de densidade $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e a lei de Byerlee. Dê as tensões com $0.01\,\mathrm{MPa}$.

Parte I — O estado de tensão.

1. Calcule a tensão vertical na profundidade da falha.
2. Calcule a pressão hidrostática nos poros ali, e a razão $\lambda$.
3. Qual das duas tensões é $\sigma_1$ e qual é $\sigma_3$? Que tipo de falha esse estado de tensão impulsiona?
4. Calcule a tensão diferencial, o centro e o raio do círculo de Mohr.
5. Calcule as tensões principais efetivas e o centro do círculo efetivo.
6. Com $x$ horizontal para leste e $y$ vertical, escreva as três componentes $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$, $\sigma_{xy}$. Por que $\sigma_{xy}$ é nula?

Parte II — As tensões na falha.

7. Dê o vetor unitário normal à falha nos eixos da questão 6, e o ângulo $\theta$ entre ele e $\sigma_1$.
8. Calcule $\sigma_n$ e $\tau$ na falha com Proposição 16.2.
9. Verifique os dois valores com o círculo de Mohr: a partir da extremidade $\sigma_1$, em que ângulo jaz a falha?
10. Calcule a tensão normal efetiva sobre a falha.
11. Calcule a razão $\tau/\sigma_n'$ e compare-a com 0.85.
12. Que tensão de cisalhamento faria a falha deslizar sob a tensão normal efetiva atual? Em quantos megapascals ela fica aquém disso?

Parte III — O círculo de Mohr e a lei de Byerlee.

13. Desenhe o círculo de Mohr efetivo e a reta de Byerlee em escala.
14. Calcule a distância do centro do círculo à reta e compare-a com o raio. Algum plano que passe pela rocha pode deslizar?
15. Qual plano deslizaria primeiro? Dê seu ângulo com $\sigma_1$ e seu mergulho.
16. Com a Proposição 16.19, calcule a tensão diferencial na qual falhas normais deslizam a esta profundidade, e confira-a com a inclinação de $13.1\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro.
17. Quão baixa teria de cair a tensão horizontal para que o plano mais bem orientado deslizasse?
18. Quão baixa teria de cair a tensão horizontal para que a falha do problema deslizasse? Explique por que ela é mais baixa.

Parte IV — Injeção.

19. Explique por que uma elevação $\Delta P$ da pressão nos poros desloca o círculo efetivo de $\Delta P$ para a esquerda sem mudar seu raio.
20. Calcule a elevação da pressão nos poros que leva o plano mais bem orientado a deslizar.
21. O poço está cheio de água. Que pressão extra a bomba deve aplicar na boca do poço para elevar a pressão nos poros na falha por essa quantidade? A que altura de coluna de água ela equivale?
22. Se o atrito na falha fosse 0.6 em vez de 0.85, ela já estaria deslizando? O que o silêncio da falha diz sobre seu atrito?
23. Em que razão $\lambda$ o plano mais bem orientado desliza?
24. Com uma casa decimal, em megapascals, que elevação da pressão nos poros leva esta falha a deslizar?

Solução

Solução de Problema 16.1.

1. $\sigma_v = 2700\times9.81\times5000 = 132.44\,\mathrm{MPa}$.

2. $P = 1000\times9.81\times5000 = 49.05\,\mathrm{MPa}$, e $\lambda = 49.05/132.44 = 0.370$.

3. $\sigma_1 = \sigma_v = 132.44\,\mathrm{MPa}$, vertical, e $\sigma_3 = 75.00\,\mathrm{MPa}$, horizontal leste–oeste: a crosta é distendida leste–oeste sob o próprio peso, o estado que impulsiona falhas normais, como esta.

4. $\sigma_1 - \sigma_3 = 57.44\,\mathrm{MPa}$; centro $(132.44 + 75.00)/2 = 103.72\,\mathrm{MPa}$; raio $28.72\,\mathrm{MPa}$.

5. $\sigma_1' = 132.44 - 49.05 = 83.39\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3' = 75.00 - 49.05 = 25.95\,\mathrm{MPa}$, centro $103.72 - 49.05 = 54.67\,\mathrm{MPa}$.

6. $\sigma_{xx} = 75.00\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 132.44\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_{xy} = 0$: os eixos são as direções principais, uma delas vertical, de modo que os planos perpendiculares a eles não carregam tensão de cisalhamento.

7. Ao longo do mergulho, a falha segue o vetor unitário $(\cos60{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ})$, para leste e para baixo; sua normal ascendente é $\vec n = (\sin60{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}) = (0.866, 0.500)$, a $30{}^{\circ}$ de $x$. Seu ângulo com $\sigma_1$, ao longo de $y$, tem cosseno 0.500: $\theta = 60{}^{\circ}$.

8. Com $30{}^{\circ}$ de $x$: $\sigma_n = 75.00\times0.75 + 132.44\times0.25 = 56.25 + 33.11 = 89.36\,\mathrm{MPa}$, e $\tau = (132.44 - 75.00)\times \sin30{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 57.44\times0.4330 = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

9. Em $2\theta = 120{}^{\circ}$ a partir da extremidade $\sigma_1$: $\sigma_n = 103.72 + 28.72\cos120{}^{\circ} = 103.72 - 14.36 = 89.36\,\mathrm{MPa}$ e $\tau = 28.72\sin120{}^{\circ} = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

10. $\sigma_n' = 89.36 - 49.05 = 40.31\,\mathrm{MPa}$.

11. $24.87/40.31 = 0.617$, abaixo de 0.85: a falha se mantém.

12. $0.85\times40.31 = 34.26\,\mathrm{MPa}$; a tensão de cisalhamento fica aquém dela em $9.39\,\mathrm{MPa}$.

13. O círculo tem centro em $54.67\,\mathrm{MPa}$ e raio $28.72\,\mathrm{MPa}$, de $25.95$ a $83.39\,\mathrm{MPa}$; a reta de Byerlee é $\tau = 0.85\,\sigma_n'$ (todas as tensões normais aqui estão abaixo de $200\,\mathrm{MPa}$); a falha é o ponto $(40.31, 24.87)$, a $120{}^{\circ}$ da extremidade $\sigma_1$.

14. $0.85\times54.67/\sqrt{1 + 0.85^2} = 46.47/1.3124 = 35.41\,\mathrm{MPa}$, mais que o raio, $28.72\,\mathrm{MPa}$: o círculo inteiro fica abaixo da reta, e nenhum plano através da rocha pode deslizar.

15. $\phi = \arctan0.85 = 40.36{}^{\circ}$: o plano a $45{}^{\circ} - \phi/2 = 24.8{}^{\circ}$ do $\sigma_1$ vertical, mergulhando $65.2{}^{\circ}$.

16. $S = \sigma_v' = 83.39\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\times0.85\times83.39/(1.3124 + 0.85) = 65.55\,\mathrm{MPa}$; a inclinação dá $13.11\times5 = 65.55\,\mathrm{MPa}$.

17. $\sigma_3 = 132.44 - 65.55 = 66.88\,\mathrm{MPa}$.

18. A falha desliza quando $r\sin120{}^{\circ} = 0.85\,(c' + r\cos120{}^{\circ})$ com $c' = (83.39 + \sigma_3')/2$ e $r = (83.39 - \sigma_3')/2$; resolvendo obtemos $\sigma_3' = 17.18\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3 = 66.23\,\mathrm{MPa}$. Ela é menor do que para o melhor plano: a falha não jaz no ponto em que o círculo toca a reta pela primeira vez, de modo que o círculo deve crescer mais antes de atingir o próprio ponto da falha.

19. Toda tensão normal efetiva, $\sigma_1'$ e $\sigma_3'$ incluídas, cai de $\Delta P$, e sua diferença não muda; as tensões de cisalhamento não dependem da pressão nos poros de modo algum.

20. O melhor plano desliza quando a distância é igual ao raio: $0.85\,(54.67 - \Delta P)/1.3124 = 28.72$, logo $\Delta P = 54.67 - 28.72\times1.3124/0.85 = 54.67 - 44.34 = 10.33\,\mathrm{MPa}$.

21. A coluna de água no poço pesa o mesmo de antes, de modo que a bomba deve acrescentar toda a $10.33\,\mathrm{MPa}$ na boca do poço, cerca de 103 vezes a pressão atmosférica: o peso de uma coluna de água $10.33 \times 10^{6}/(1000\times9.81) = 1053\,\mathrm{m}$ de altura.

22. Com $\mu = 0.6$ a falha poderia suportar apenas $0.6\times40.31 = 24.19\,\mathrm{MPa}$, menos que os $24.87\,\mathrm{MPa}$ que ela carrega: ela já estaria deslizando. Como está quieta, seu atrito é pelo menos $0.617$, ou ela tem alguma coesão.

23. O plano mais bem orientado desliza quando a pressão nos poros atinge $49.05 + 10.33 = 59.38\,\mathrm{MPa}$, isto é, $\lambda = 59.38/132.44 = 0.448$, bem abaixo do valor litostático, 1.

24. $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85 = 40.309 - 24.870/0.85 = 40.309 - 29.259 = 11.049\,\mathrm{MPa}$, mais que os $10.33\,\mathrm{MPa}$ que moveriam um plano da melhor orientação. Com uma casa decimal, a elevação da pressão nos poros que leva a falha a deslizar é $11.0\,\mathrm{MPa}$.