10O balanço térmico da Terra

Sob uma montanha nos Alpes japoneses, em uma antiga cavidade de mina, um tanque com mil toneladas de cintilador líquido observa lampejos fracos de luz. A maioria vem de antineutrinos produzidos nos reatores nucleares do país em torno, mas alguns vêm de baixo: o urânio e o tório no interior da Terra emitem antineutrinos ao decair, e estes atravessam o planeta inteiro como se ele estivesse vazio. Em 2135 dias de contagem, o detector registrou 841 eventos candidatos, dos quais 106 foram atribuídos à própria Terra. A partir desse punhado de lampejos, sua equipe estimou em 2011 que o decaimento do urânio e do tório aquece a Terra em cerca de 20 terawatts. O planeta como um todo perde cerca de 47. Este capítulo explica a diferença: de onde vem o calor da Terra, como se mede o calor que sai dela, como a temperatura cresce com a profundidade quando o calor é transportado por condução, por que o manto precisa convectar, e por que as placas são o limite superior frio dessa convecção.

O que você já sabe

Calor flui do quente para o frio; a condutividade térmica $k$ de uma rocha mede a facilidade com que o calor a atravessa, e sua difusividade térmica $\kappa = k/(\rho c)$ mede a rapidez com que uma variação de temperatura se propaga (física, segundo ano universitário). Núcleos radioativos decaem com meia-vida fixa (física). A temperatura cresce com a profundidade ao longo do geotermo, e o manto convecta (Livro 2, 11º e 12º anos). A litosfera é a casca externa resistente da Terra (Capítulo 9).

10.1 De onde vem o calor

Definição 10.1 (Fluxo de calor)

O fluxo de calor $q$ em um ponto da superfície da Terra, ou densidade de fluxo térmico superficial, é a potência de origem interna que atravessa a superfície ali, por unidade de área, contada positivamente para fora. Mede-se em $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, na prática em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Integrado sobre toda a superfície, dá a perda de calor da Terra $Q = \oint q\,\mathrm dS$.

O fluxo de calor foi medido em dezenas de milhares de locais. Uma compilação de $38\,347$ medidas, publicada em 2010, dá os valores médios abaixo, com os oceanos e os continentes contados separadamente:

O total, arredondado à sua incerteza, é $Q = (47 \pm 2)\,\mathrm{TW}$. Dois terços dele saem pelo fundo oceânico, que é mais jovem e mais fino que os continentes. É um fluxo pequeno: o Sol entrega cerca de $173\,000\,\mathrm{TW}$ à Terra, e o calor interno corresponde a $0.03\,\%$ do orçamento de energia na superfície. Mas é esse fluxo que move vulcões, placas e a formação de montanhas, e ele tem duas fontes.

Definição 10.2 (Produção de calor radiogênico)

A produção de calor radiogênico $A$ de uma rocha é o calor liberado por unidade de volume e por unidade de tempo pelo decaimento dos núcleos radioativos que ela contém, em $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, na prática em $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Uma rocha de densidade $\rho$ contendo frações mássicas $C_i$ dos elementos produtores de calor, cada um liberando $H_i$ watts por quilograma de elemento, tem

$$A = \rho \sum_i C_i H_i .$$

Quatro isótopos produzem quase todo esse calor, porque são de vida longa, suficientemente abundantes e energéticos: $\ce{^{238}U}$, $\ce{^{235}U}$, $\ce{^{232}Th}$ e $\ce{^{40}K}$. O calor por quilograma de cada elemento é o calor por quilograma de seu isótopo radioativo vezes a parcela desse isótopo no elemento (Exercício 10.3):

O potássio libera trinta mil vezes menos calor por quilograma que o urânio, mas é um elemento importante de muitas rochas, contado em porcentagem onde urânio e tório são contados em partes por milhão. As rochas ricas nos três são os granitos e rochas afins; as mais pobres são os peridotitos do manto. Uma compilação de $2188$ análises dá estas medianas, em $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$:

A dispersão dentro de cada grupo é grande: um quarto dos granitos produz menos que $1.74\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, e um quarto mais que $3.23\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. A crosta continental é enriquecida nesses elementos; a crosta oceânica e o manto são empobrecidos; mas o manto é tão grande que ainda guarda uma parcela grande das fontes de calor do planeta.

Definição 10.3 (Resfriamento secular)

O resfriamento secular é a parte da perda de calor da Terra fornecida pela lenta diminuição da temperatura de seu interior, manto e núcleo: a liberação do calor armazenado desde a formação do planeta, a uma taxa $-\sum_j M_j c_j\,\mathrm dT_j/\mathrm dt$ para reservatórios de massa $M_j$, calor específico $c_j$ e temperatura média $T_j$.

A conservação da energia dá o balanço de toda a Terra: o calor perdido na superfície é a produção radiogênica mais o resfriamento secular,

Os geoneutrinos medem parte do primeiro termo: o resultado de 2011, que combinou dois detectores, atribui $20\,\mathrm{TW}$ ao urânio e ao tório, e $\ce{^{40}K}$, cujos antineutrinos são fracos demais para serem detectados dessa forma, é conhecido por acrescentar cerca de $4\,\mathrm{TW}$.

Cerca da metade da perda de calor é, portanto, radiogênica, e a outra metade, cerca de $23\,\mathrm{TW}$, é resfriamento secular. Parte desse resfriamento é do núcleo: o calor que atravessa a fronteira manto–núcleo é estimado em $5\text{ a }15\,\mathrm{TW}$. Esses números são incertos: a própria medida tem uma incerteza de cerca de $9\,\mathrm{TW}$, os resultados dos geoneutrinos até agora só restringem a parte radiogênica a $15\text{ a }41\,\mathrm{TW}$, e modelos da Terra de tipos diferentes variam de $14\text{ a }46\,\mathrm{TW}$. O total, medido na superfície, é o termo mais bem conhecido do balanço (figura abaixo).

O calor radiogênico foi maior no passado, porque os isótopos eram mais abundantes: $\ce{^{235}U}$ e $\ce{^{40}K}$, os de vida curta, contribuíam então muito mais (Livro 2, 12º ano). O motor térmico da Terra está se esgotando devagar, pelas duas razões.

10.2 Medindo o fluxo de calor

O fluxo de calor não é medido diretamente: ele é calculado a partir de um gradiente de temperatura e de uma condutividade.

Proposição 10.4 (Lei de Fourier)

Em um meio de condutividade térmica $k$, o calor é conduzido descendo o gradiente de temperatura, a uma taxa por unidade de área proporcional a ele. Com $z$ a profundidade, contada positivamente para baixo, e $q$ contado positivamente para cima,

$$q = k\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dz} .$$

A lei é estabelecida no volume de física do segundo ano universitário. A maioria das rochas conduz calor a $1.5\text{ a }3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ abaixo de $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, menos quando quente; modelos do fluxo continental dão à crosta superior granítica cerca de $2.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$;

um gradiente de $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ nela significa um fluxo de calor de cerca de $70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Quando as rochas atravessadas por um furo de sondagem têm condutividades diferentes, o gradiente muda de uma para outra, mas o fluxo de calor não muda, desde que nenhum calor seja produzido ou armazenado entre elas. A proposição seguinte transforma isso em um teste.

Proposição 10.5 (Gráfico de Bullard)

Seja $R(z) = \int_0^z \mathrm d\zeta/k(\zeta)$ a resistência térmica, por unidade de área, das rochas entre a superfície e a profundidade $z$, em $\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Se o fluxo de calor $q$ é o mesmo em cada profundidade de um furo, a temperatura é uma função linear da resistência térmica: $T(z) = T_0 + q\,R(z)$.

Método 10.6 (O fluxo de calor a partir de um furo)

1. Registre a temperatura ao longo do furo bem depois da perfuração, quando o distúrbio causado pelo fluido de perfuração já se dissipou, e descarte as dezenas de metros mais superficiais, que acompanham as estações do ano.
2. Meça a condutividade de amostras de testemunho de cada rocha atravessada, em laboratório, e calcule a resistência térmica $R(z)$ em cada profundidade registrada.
3. Trace $T$ contra $R$: a inclinação da reta é o fluxo de calor. Uma inflexão revela água circulando pelas rochas, uma mudança passada da temperatura da superfície ou um erro em uma condutividade.
4. Corrija, quando necessário, a topografia, que curva as isotermas sob colinas e vales, e o lento aquecimento desde a última glaciação, que ainda perturba o quilômetro superior ou pouco mais.

No mar, não é preciso um furo. A temperatura no fundo do oceano profundo é muito estável, de modo que alguns metros de sedimento mole já carregam o gradiente de equilíbrio. Uma lança de aço com uma fileira de sensores de temperatura é lançada de um navio e cravada no sedimento por um peso pesado (figura abaixo); os sensores registram o gradiente, e um pulso de calor enviado ao longo da lança dá a condutividade do sedimento no próprio local. O fundo oceânico tem uma armadilha. Sobre crosta jovem, a água do mar circula pelo basalto fraturado e leva embora grande parte do calor por advecção, de modo que o fluxo de calor condutivo medido fica bem aquém da perda real. A perda através do fundo oceânico mais jovem é, portanto, calculada a partir do modelo de resfriamento de Seção 10.5, calibrado em crosta antiga, onde a circulação cessou: esta parte calculada, $23.1\,\mathrm{TW}$, é cerca de metade do total global.

No campo — Fluxo de calor no mar

Em um navio de pesquisa, a sonda de fluxo de calor é uma lança pesada suspensa do guindaste de popa. Ela é baixada pelo cabo do navio até logo acima do fundo do mar, e então solta: o peso a crava no sedimento, e a tripulação espera no convés enquanto os sensores se acomodam à temperatura da lama, depois a recolhe e vai para a próxima estação, a uma curta distância. Uma linha dessas estações através do flanco de uma dorsal mostra a diminuição do fluxo de calor com a idade do fundo, e a dispersão entre estações vizinhas mostra onde a água circula pela crosta abaixo.

10.3 O geotermo condutivo estacionário

Definição 10.7 (Geotermo)

O geotermo sob um ponto da superfície é a temperatura em função da profundidade ali, $T(z)$. É um geotermo condutivo estacionário quando não muda com o tempo e o calor é transportado ao longo dele apenas por condução.

Dentro da litosfera, longe de vulcões ativos e da circulação de água, o calor é transportado por condução, e em escala de milhões de anos o geotermo é estacionário. Sua forma decorre então de um balanço de energia.

Teorema 10.8 (Condução estacionária com produção de calor)

Ao longo de um geotermo condutivo estacionário, em um meio de condutividade uniforme $k$ com produção de calor $A(z)$ e sem fluxo horizontal de calor,

$$\frac{\mathrm dq}{\mathrm dz} = -A(z), \qquad\text{isto é}\qquad k\,\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dz^2} = -A(z).$$

Lido da superfície para baixo, o fluxo de calor diminui com a profundidade pelo calor produzido acima de cada nível: o que atravessa a superfície é o calor vindo de baixo mais todo o calor produzido no caminho. Duas distribuições de $A$ dão formas fechadas.

Proposição 10.9 (Uma camada radiogênica uniforme)

Seja a produção de calor igual a $A$ da superfície até a profundidade $h$, e zero abaixo, a superfície esteja à temperatura $T_0$, e o fluxo de calor na superfície seja $q_0$. Então, para $0 \le z \le h$

$$q(z) = q_0 - A z, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_0 z}{k} - \frac{A z^2}{2k},$$

e abaixo de $h$ o fluxo de calor é uniforme, $q_m = q_0 - A h$, e o geotermo é uma reta de inclinação $q_m/k$.

Teorema 10.10 (Produção exponencial de calor e a relação linear do fluxo de calor)

Seja a produção de calor diminuindo com a profundidade como $A(z) = A_0 e^{-z/D}$, o fluxo de calor tendendo a $q_m$ em grande profundidade, e a superfície à temperatura $T_0$. Então

$$q(z) = q_m + A_0 D\,e^{-z/D}, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_m z}{k} + \frac{A_0 D^2}{k}\bigl(1 - e^{-z/D}\bigr),$$

e o fluxo de calor na superfície é

$$q_0 = q_m + A_0 D .$$

A última linha é uma previsão que pode ser testada na superfície. Plútons graníticos de uma região compartilham o mesmo fluxo de calor profundo $q_m$ e, se diferem apenas pela riqueza em urânio, tório e potássio, a mesma escala $D$; então o fluxo de calor medido sobre cada plúton deve ser uma função linear da produção de calor medida em suas rochas, com inclinação $D$, um comprimento, e intercepto $q_m$, o fluxo de calor reduzido, vindo de baixo da camada radiogênica. Francis Birch observou primeiro uma reta assim, relatada em 1968, e no mesmo ano três províncias foram definidas por suas retas:

Os interceptos, publicados nas unidades antigas como 0.8, 1.4 e $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, são convertidos com $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (Exercício 10.4). As inclinações variam pouco, de 7 a $10\,\mathrm{km}$; o fluxo de calor reduzido varia muito, e mapas dele mostram onde o manto abaixo está quente, como sob a crosta estirada da Basin and Range. A camada uniforme de Proposição 10.9 também dá uma reta, de inclinação $h$: os dois modelos ajustam os dados, mas só o exponencial permanece uma reta de mesma inclinação quando os plútons são erodidos a profundidades diferentes (Exercício 10.10), e por isso é o preferido.

Método 10.11 (A temperatura em profundidade sob um plúton)

1. Meça o fluxo de calor na superfície $q_0$ sobre o plúton (método do furo) e sua produção de calor $A_0$ a partir de seus teores de U, Th e K.
2. A partir da reta da província, ou com um valor de $D$ de cerca de $10\,\mathrm{km}$, calcule $q_m = q_0 - A_0 D$.
3. Aplique Teorema 10.10. Abaixo de algumas vezes $D$, $e^{-z/D}$ é desprezível e o geotermo é a reta $T_0 + A_0D^2/k + q_m z/k$: a camada radiogênica elevou toda temperatura profunda de $A_0D^2/k$.

Na figura, a temperatura na Moho vai de cerca de $320{}^{\circ}\mathrm{C}$ para o menor fluxo de calor a mais de $700{}^{\circ}\mathrm{C}$ para o maior: o fluxo de calor na superfície traz uma leitura direta da temperatura da crosta profunda, que governa sua resistência (Capítulo 16).

10.4 Condução contra convecção

A condução é lenta. Quão lenta decorre da equação do calor, que os livros de física deduzem da lei de Fourier e do balanço de Teorema 10.8 com armazenamento incluído: em uma dimensão, sem produção de calor, $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2 T/\partial z^2$.

Proposição 10.12 (A escala de tempo condutiva)

Uma variação de temperatura imposta em uma fronteira de um corpo condutor se espalha por uma distância $L$ em um tempo da ordem de

$$\tau = \frac{L^2}{\kappa} .$$

As rochas têm $\kappa \approx 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. O ciclo diário de temperatura atinge algumas dezenas de centímetros no solo, o anual alguns metros, e o aquecimento desde a última glaciação cerca de um quilômetro. Através de uma litosfera de $100\,\mathrm{km}$ de espessura, $\tau = 10^{16}\,\mathrm{s}$, cerca de $300\,\mathrm{Myr}$. Através do manto, de $2900\,\mathrm{km}$ de espessura, $\tau = 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, ou $270\,\mathrm{Gyr}$: sessenta vezes a idade da Terra, $4.54\,\mathrm{Gyr}$. Só a condução não poderia ter trazido o calor do manto profundo para perto da superfície. O manto convecta, e em seu interior o calor é transportado pelo próprio movimento da rocha, nas velocidades das placas, centímetros por ano.

Definição 10.13 (Adiabática do manto)

A adiabática do manto é o geotermo do interior bem misturado do manto em convecção: a temperatura que a rocha do manto assume ao subir ou afundar rápido o bastante para não trocar calor com seu entorno, resfriando por expansão ao subir e aquecendo por compressão ao afundar.

A termodinâmica dá seu gradiente, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha g T/c_p$, com $\alpha$ a expansividade térmica e $c_p$ o calor específico (física, admitido aqui). Ele é pequeno. Uma avaliação recente da física mineral dá $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $50\,\mathrm{km}$ de profundidade, diminuindo para $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $410\,\mathrm{km}$, depois 0.41 até $0.23\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ através do manto inferior, com $1646\,\mathrm{K}$ a $50\,\mathrm{km}$ e $2587\,\mathrm{K}$ a $2800\,\mathrm{km}$.

Extrapolada até a superfície, a adiabática dá a temperatura potencial do manto, $1619\,\mathrm{K}$ ou cerca de $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$: a temperatura que o manto teria se fosse trazido à superfície sem trocar calor. A noção de temperatura potencial é definida, para a atmosfera e o oceano, em Capítulo 26. Uma temperatura que aumenta apenas $0.5\,\mathrm{K}$ por quilômetro enquanto o geotermo condutivo perto de a superfície sobe $25\,\mathrm{K}$ é a assinatura da convecção.

História — John Perry e a Terra que esfria

Em 1862–1863 William Thomson, depois Lorde Kelvin, calculou a idade da Terra a partir de seu resfriamento. Ele a tratou como um sólido que resfriara por condução a partir de uma temperatura uniforme de cerca de $3900{}^{\circ}\mathrm{C}$; com o gradiente médio então que escolheu entre as medidas de sua época, de cerca de $36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, e uma difusividade de $1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, o tempo necessário para atingir o gradiente de hoje foi de cerca de $96\,\mathrm{Myr}$, entre limites de 24 e $400\,\mathrm{Myr}$ (Exercício 10.9). Geólogos acharam isso curto demais. Em 1895, um ano antes de a radioatividade ser descoberta, seu antigo assistente John Perry apontou uma hipótese em seu lugar: se o interior fosse em parte fluido e convectasse, ele transportaria calor como se tivesse uma condutividade enorme, e todo o interior, e não uma casca externa fina, alimentaria o fluxo de calor na superfície. Seu argumento foi negligenciado e esquecido; a convecção do manto, estabelecida muito depois, lhe deu razão: o manto profundo esfria por convecção, e isso é o resfriamento secular do balanço.

Proposição 10.14 (A Terra bem misturada de Perry)

Seja uma esfera de raio $R$ com interior bem misturado, na temperatura uniforme $T_i(t)$, com capacidade térmica $\rho c$ por unidade de volume, sob uma tampa condutora de espessura $L \ll R$ e condutividade $k$ cuja superfície está a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, e seja nula a produção de calor. Então

$$T_i(t) = T_i(0)\,e^{-t/\tau_P}, \qquad \tau_P = \frac{RL}{3\kappa},$$

e o fluxo de calor na superfície $kT_i/L$ decai com a mesma constante de tempo.

Para $R = 6400\,\mathrm{km}$, $L = 100\,\mathrm{km}$ e $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_P = 6.8\,\mathrm{Gyr}$: uma Terra em convecção mantém um fluxo de calor alto por bilhões de anos, enquanto a Terra condutiva de Kelvin o perdeu em dezenas de milhões (Exercício 10.11).

10.5 A litosfera como camada limite térmica

Definição 10.15 (Camada limite térmica, litosfera térmica)

Em um fluido em convecção, uma camada limite térmica é uma camada ao longo de uma fronteira através da qual o calor passa por condução, e a temperatura muda da que tem a fronteira para a do interior bem misturado. A litosfera térmica é a camada limite térmica superior do manto: a casca externa da Terra, da superfície para baixo até a profundidade em que o geotermo condutivo encontra a adiabática do manto.

As placas são o topo frio da convecção do manto, sua camada limite superior. Sua base, onde o geotermo condutivo íngreme se curva para a adiabática suave, fica a $70\text{ a }230\,\mathrm{km}$ na figura dos geotermos para fluxos de calor continentais de 70 a $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, na faixa medida pela sismologia (Capítulo 9): a litosfera definida por sua resistência e a litosfera definida por sua temperatura são aproximadamente a mesma casca, porque a resistência depende da temperatura. Na base do manto, a camada D$''$ é a camada limite inferior, aquecida de baixo pelo núcleo.

Sob os oceanos, a camada limite nasce na dorsal, onde o manto quente sobe até a superfície, e engrossa à medida que a placa se afasta e esfria. O resfriamento de um semiespaço a partir de uma temperatura uniforme, resolvido por Fourier e usado por Kelvin para a Terra inteira, descreve-o bem (Capítulo 13 e o Livro 5 o deduz): as isotermas se aprofundam como a raiz quadrada da idade do fundo (figura abaixo), e o fluxo de calor diminui como

o valor usado no balanço global. Aos $100\,\mathrm{Myr}$ o semiespaço resfriou até cerca de $130\,\mathrm{km}$ (Exercício 10.12). A placa real deixa de engrossar mais cedo: ondas sísmicas que atravessam o Pacífico são melhor ajustadas por uma placa em resfriamento que tende a uma espessura de $85\text{ a }95\,\mathrm{km}$, o achatamento do fundo oceânico antigo, encontrado de novo em Capítulo 13.

O balanço de calor, o fluxo de calor e a estrutura térmica das placas se reúnem nos próximos capítulos: a placa que esfria afunda (Capítulo 13), e a litosfera fria que afunda nas zonas de subducção é a descida da convecção à qual pertence.

10.6 Exercícios

Exercício 10.1 ★

Um furo em granito de condutividade $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ mostra um gradiente estacionário de $22\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$. Calcule o fluxo de calor e a potência que atravessa um quilômetro quadrado da superfície ali.

Solução

Solução de Exercício 10.1.

$q = k\,\mathrm dT/\mathrm dz = 2.5\times0.022\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 0.055\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} = 55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Através de $1\,\mathrm{km}^{2}$ $= 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$: $5.5 \times 10^{4}\,\mathrm{W}$, isto é, $55\,\mathrm{kW}$.

Exercício 10.2 ★

A partir das áreas e dos fluxos médios de calor dos continentes ($2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) e dos oceanos ($3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $105.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$), calcule a perda de calor de cada um, o total e o fluxo médio de calor sobre a superfície da Terra ($5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). Que fração do $173\,000\,\mathrm{TW}$ recebidos do Sol ela representa?

Solução

Solução de Exercício 10.2.

Continentes $2.073 \times 10^{14}\times0.0709 = 1.470 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.70\,\mathrm{TW}$; oceanos $3.028 \times 10^{14}\times0.1054 = 31.92\,\mathrm{TW}$; total $46.61\,\mathrm{TW}$, e o fluxo médio de calor $4.661 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} = 91.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (o valor publicado, 46.7 e 91.6, difere apenas pelo arredondamento das duas médias). A fração da entrada solar é $46.6/173000 = 2.7 \times 10^{-4}$, ou $0.027\,\%$.

Exercício 10.3 ★

Pela tabela dos quatro isótopos, calcule o calor liberado por quilograma de urânio natural ($99.274\,\%$ $\ce{^{238}U}$ e $0.720\,\%$ $\ce{^{235}U}$ dos átomos; suas massas diferem em cerca de $1\,\%$, então tome-os como frações mássicas) e por quilograma de potássio natural, cujo $\ce{^{40}K}$ é $0.0117\,\%$ dos átomos (tome a massa de um átomo de $\ce{^{40}K}$ como $39.96/39.10$ vezes a massa média de um átomo de potássio).

Solução

Solução de Exercício 10.3.

Urânio: $0.99274\times9.513 \times 10^{-5} + 0.00720\times5.685 \times 10^{-4} = 9.444 \times 10^{-5} + 4.09 \times 10^{-6} = 9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$; o raro $\ce{^{235}U}$ fornece $4\,\%$ dele. Potássio: a fração mássica de $\ce{^{40}K}$ é $1.17 \times 10^{-4}\times39.96/39.10 = 1.196 \times 10^{-4}$, logo $1.196 \times 10^{-4}\times2.847 \times 10^{-5} = 3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

Exercício 10.4 ★

Converta os interceptos das três províncias, 0.8, 1.4 e $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ ($1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$). Preveja o fluxo de calor na superfície sobre um granito de produção de calor $3.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ em cada província.

Solução

Solução de Exercício 10.4.

A conversão é $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.184 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}/10^{-4}\,\mathrm{m}^{2} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: leste dos Estados Unidos $33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Basin and Range $58.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Sierra Nevada $16.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Com $A_0D$ em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ quando $A_0$ está em $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $D$ em $\mathrm{km}$: $33.5 + 3.0\times7.5 = 56.0\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $58.6 + 3.0\times9.4 = 86.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $16.7 + 3.0\times10 = 46.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. O mesmo granito dá fluxos de calor quase duas vezes maiores na Basin and Range do que na Sierra Nevada: a diferença está no manto abaixo.

Exercício 10.5 ★★

Uma crosta tem produção de calor uniforme de $2.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ em seus $10\,\mathrm{km}$ superiores e nenhuma abaixo, condutividade de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, um fluxo de calor na superfície de $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ e uma temperatura na superfície de $10{}^{\circ}\mathrm{C}$. Calcule a temperatura a $10\,\mathrm{km}$, o fluxo de calor abaixo da camada radiogênica e a temperatura na Moho, $35\,\mathrm{km}$ abaixo.

Solução

Solução de Exercício 10.5.

$T(10\,\text{km}) = 10 + \frac{0.060\times10^4}{2.5} - \frac{2 \times 10^{-6}\times10^8}{2\times2.5} = 10 + 240 - 40 = 210{}^{\circ}\mathrm{C}$. Abaixo, $q_m = 60 - 2.0\times10 = 40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, um gradiente de $16\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, e $T(35\,\text{km}) = 210 + 16\times25 = 610{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Exercício 10.6 ★★

Um furo atravessa $300\,\mathrm{m}$ de folhelho ($k = 1.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), depois granito ($k = 3.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). As temperaturas de equilíbrio são $12.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície, $24.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $300\,\mathrm{m}$ e $34.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $800\,\mathrm{m}$. Calcule o gradiente e o fluxo de calor em cada rocha, a resistência térmica a $300\,\mathrm{m}$ e a $800\,\mathrm{m}$, e a inclinação do gráfico de Bullard. O fluxo de calor é constante?

Solução

Solução de Exercício 10.6.

Folhelho: gradiente $12.0/0.300 = 40\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 1.5\times0.040 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Granito: $10.0/0.500 = 20\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 3.0\times0.020 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. $R(300) = 300/1.5 = 200\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$, $R(800) = 200 + 500/3.0 = 366.7\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Os três pontos $(0, 12.0)$, $(200, 24.0)$, $(366.7, 34.0)$ estão alinhados, com inclinação $22.0/366.7 = 0.0600\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: o fluxo de calor é o mesmo, $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, nas duas rochas; só o gradiente muda, em proporção inversa à condutividade.

Exercício 10.7 ★★

Com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcule a escala de tempo condutiva para $L = 1\,\mathrm{m}$, $10\,\mathrm{m}$, $100\,\mathrm{km}$ e $2900\,\mathrm{km}$, cada uma em uma unidade adequada. Quais ciclos de temperatura da superfície ainda são sentidos a $10\,\mathrm{m}$ abaixo do solo? Compare o último tempo com a idade da Terra.

Solução

Solução de Exercício 10.7.

$\tau = L^2/\kappa$: $1\,\mathrm{m}$, $10^{6}\,\mathrm{s}$ ou $12$ dias; $10\,\mathrm{m}$, $10^{8}\,\mathrm{s}$ ou $3.2$ anos; $100\,\mathrm{km}$, $10^{16}\,\mathrm{s}$ ou $317\,\mathrm{Myr}$; $2900\,\mathrm{km}$, $8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$ ou $267\,\mathrm{Gyr}$. A $10\,\mathrm{m}$ o ciclo diário não é sentido de forma alguma, e o ciclo anual, mais curto que os três anos necessários para atravessar $10\,\mathrm{m}$, só muito fracamente: passam apenas as mudanças que duram anos ou mais. O último caso dá $267/4.54 = 59$ vezes a idade da Terra.

Exercício 10.8 ★★

A adiabática do manto está a $1646\,\mathrm{K}$ a $50\,\mathrm{km}$ de profundidade, com um gradiente de $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ ali, diminuindo para $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $410\,\mathrm{km}$. (a) Extrapole-a até a superfície com o gradiente a $50\,\mathrm{km}$, e dê a temperatura potencial em kelvins e em graus Celsius. (b) Estime a temperatura a $410\,\mathrm{km}$ com a média dos dois gradientes, e compare com os $1799\,\mathrm{K}$ publicados logo acima da descontinuidade.

Solução

Solução de Exercício 10.8.

(a) $1646 - 0.54\times50 = 1619\,\mathrm{K}$, isto é $1346{}^{\circ}\mathrm{C}$, o valor publicado de $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ arredondado. (b) Gradiente médio $(0.54 + 0.36)/2 = 0.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, logo $1646 + 0.45\times360 = 1808\,\mathrm{K}$, $9\,\mathrm{K}$ ($0.5\,\%$) acima de $1799\,\mathrm{K}$: o gradiente não diminui linearmente, mas a estimativa está próxima.

Exercício 10.9 ★★

Um semiespaço resfriado a partir da temperatura uniforme $T_0$, com sua superfície mantida em $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, tem, após um tempo $t$, o gradiente superficial $G = T_0/\sqrt{\pi\kappa t}$ (admitido). (a) Exprima $t$ em termos de $G$. (b) Com os valores de Kelvin, $T_0 = 3900{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $G = 1/50$ de grau Fahrenheit por pé, calcule $G$ em $\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ e a idade. (c) Refaça com $T_0 = 1300{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $G = 36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 10.9.

(a) $G^2 = T_0^2/(\pi\kappa t)$ dá $t = T_0^2/(\pi\kappa G^2)$. (b) $G = 0.02\times\tfrac59\,\mathrm{K}/0.3048\,\mathrm{m} = 0.036\,45\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 36.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$; $t = 3900^2/(\pi\times1.2 \times 10^{-6}\times0.03645^2) = 1.521 \times 10^{7}/5.009 \times 10^{-9} = 3.04 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, isto é $96\,\mathrm{Myr}$, a figura de Kelvin. (c) $t = 1300^2/(\pi\times10^{-6}\times0.036^2) = 4.15 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 13\,\mathrm{Myr}$: uma temperatura inicial mais realista torna a Terra condutiva ainda mais jovem.

Exercício 10.10 ★★★

Uma província sofre erosão: uma espessura $e$ é removida do topo de cada plúton, permanecendo inalterado o fluxo de calor profundo $q_m$. (a) No modelo exponencial, mostre que a nova produção de calor e o novo fluxo de calor na superfície, $A_0'$ e $q_0'$, ainda satisfazem $q_0' = q_m + A_0'D$. (b) No modelo de camada uniforme de espessura $h$, mostre que um plúton erodido de $e$ está sobre uma reta de inclinação $h - e$. (c) Plútons de uma província foram erodidos em quantidades diferentes. Qual modelo prevê que eles ainda caiam sobre uma única reta?

Solução

Solução de Exercício 10.10.

(a) Depois da erosão, a nova superfície é a antiga profundidade $e$, onde a produção de calor era $A_0' = A_0e^{-e/D}$ e o fluxo de calor $q(e) = q_m + A_0De^{-e/D} = q_m + A_0'D$; medida a partir da nova superfície, a produção ainda decresce como $A_0'e^{-z'/D}$. O plúton desce ao longo da mesma reta. (b) A camada agora tem espessura $h - e$ com o mesmo $A$, logo $q_0' = q_m + A(h - e)$: sobre uma reta de inclinação $h - e$ passando por $q_m$. (c) Só o modelo exponencial: no modelo de camada uniforme, plútons erodidos a profundidades diferentes estariam sobre retas de inclinações diferentes, e os pontos de uma província se espalhariam. Que uma única reta seja observada favorece uma produção que decresce aproximadamente exponencialmente com a profundidade.

Exercício 10.11 ★★★

No modelo de Perry (Proposição 10.14) tome $R = 6400\,\mathrm{km}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e uma temperatura inicial do interior de $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcule $\tau_P$ para tampas de 50 e $100\,\mathrm{km}$. (b) Para a tampa de $50\,\mathrm{km}$, calcule o fluxo de calor na superfície no início e após $2\,\mathrm{Gyr}$. (c) O semiespaço condutivo de Kelvin, com o mesmo $k$ e $T_0$, tem um fluxo de calor na superfície $kT_0/\sqrt{\pi\kappa t}$: calcule-o após $2\,\mathrm{Gyr}$, e compare.

Solução

Solução de Exercício 10.11.

(a) $\tau_P = RL/(3\kappa)$: para $50\,\mathrm{km}$, $6.4 \times 10^{6}\times5 \times 10^{4}/3 \times 10^{-6} = 1.07 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.4\,\mathrm{Gyr}$; para $100\,\mathrm{km}$, $6.8\,\mathrm{Gyr}$. (b) $q = kT_i/L = 3\times1300/5 \times 10^{4} = 78\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ no início, e $78\,e^{-2/3.38} = 43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ após $2\,\mathrm{Gyr}$. (c) $3\times1300/\sqrt{\pi\times10^{-6}\times6.31 \times 10^{16}} = 3900/4.45 \times 10^{5} = 8.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: a Terra bem misturada ainda perde cinco vezes mais calor após dois bilhões de anos. Todo o seu interior alimenta a superfície, onde numa Terra condutiva só uma casca externa o faz.

Exercício 10.12 ★★★

O fluxo de calor na superfície de um semiespaço em resfriamento é $q = k\,\Delta T/\sqrt{\pi\kappa t}$ (Exercício 10.9). (a) Com $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\Delta T = 1336\,\mathrm{K}$ (da temperatura potencial até um fundo oceânico de cerca de $10{}^{\circ}\mathrm{C}$), calcule a constante $C$ de $q = C/\sqrt t$, com $t$ em milhões de anos, e compare-a com os $490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ ajustados aos dados. (b) Com $C = 490$, dê o fluxo de calor a 1, 10 e $100\,\mathrm{Myr}$. (c) A isoterma de $1200{}^{\circ}\mathrm{C}$ da figura das isotermas em resfriamento está onde $z = 2\times1.163\sqrt{\kappa t}$; calcule sua profundidade a $100\,\mathrm{Myr}$.

Solução

Solução de Exercício 10.12.

(a) $\sqrt{\pi\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = \sqrt{\pi\times10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}} = 9957\,\mathrm{m}$, logo $C = 3\times1336/9957 = 0.403\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ para $t$ em Myr, $403\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$: $82\,\%$ do valor ajustado de 490. O modelo precisa de um $k\,\Delta T$ maior (cerca de $4900\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}$): uma condutividade mais alta do manto, ou um interior mais quente, como ao longo da adiabática. (b) $490/\sqrt1 = 490$, $490/\sqrt{10} = 155$ e $490/\sqrt{100} = 49\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) $z = 2.326\sqrt{10^{-6}\times3.156 \times 10^{15}} = 2.326\times56\,180\,\mathrm{m} = 131\,\mathrm{km}$.

10.7 Problema: rochas quentes sob os plútons

Problema 10.1

Problema de fim de semana — fluxo de calor e produção de calor de cinco plútons graníticos, a relação linear e a temperatura da crosta profunda

Cinco plútons graníticos de uma província foram perfurados. Em cada furo a temperatura de equilíbrio foi registrada a $100\,\mathrm{m}$ e a $500\,\mathrm{m}$, e a condutividade do granito foi medida em testemunhos; seus teores de urânio, tório e potássio foram analisados em amostras de superfície. Os cinco granitos têm uma densidade de $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

plúton	$T$ a $100\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$T$ a $500\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$k$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$)	U, Th (ppm)	K ($\%$)
A	13.1	19.2	2.9	2.0, 8	3.0
B	12.4	20.2	2.6	3.5, 14	3.5
C	13.6	21.4	3.1	5.0, 18	4.0
D	12.9	23.1	2.7	7.0, 25	4.2
E	14.2	25.5	3.0	10.0, 35	4.5

Use os calores por quilograma de elemento $9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (U), $2.63 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (Th) e $3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (K). Abaixo dos plútons, tome $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ para toda a crosta e uma temperatura na superfície de $10{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Parte I — Fluxo de calor.

1. Calcule o gradiente de temperatura em cada furo.
2. Por que as temperaturas devem ser registradas semanas ou meses depois da perfuração, e por que os primeiros $100\,\mathrm{m}$ são deixados de fora?
3. Calcule o fluxo de calor em cada plúton.
4. Compare-os com o fluxo médio continental de calor, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
5. Os gradientes de B e C são iguais. Por que seus fluxos de calor não são?
6. Os plútons estão sob colinas. A topografia elevaria ou reduziria o gradiente medido sob um cume? (Pense na forma das isotermas.)

Parte II — Produção de calor e a reta.

7. Calcule a produção de calor devida ao urânio em cada plúton.
8. O mesmo para o tório.
9. O mesmo para o potássio.
10. Some essas parcelas para obter $A_0$ em cada plúton. Qual elemento contribui menos?
11. Marque $q_0$ contra $A_0$. Os pontos ficam perto de uma reta?
12. Calcule as médias de $A_0$ e $q_0$, e as somas $\sum (A_0 - \bar A_0)^2$ e $\sum (A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0)$.
13. Deduza a reta de mínimos quadrados $q_0 = q_m + D A_0$: sua inclinação $D$ (em $\mathrm{km}$) e o intercepto $q_m$.
14. Compare $D$ e $q_m$ com as três províncias do capítulo. A qual delas esta província se parece?

Parte III — O geotermo sob o plúton E. Arredonde $D$ para $10\,\mathrm{km}$ e $q_m$ para $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, e tome para o plúton E o valor arredondado $A_0 = 5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$.

15. Escreva o geotermo $T(z)$ de Teorema 10.10 com esses valores.
16. Calcule o fluxo de calor a 10, 20 e $35\,\mathrm{km}$.
17. Que fração do fluxo de calor na superfície sobre E vem de baixo da camada radiogênica?
18. Calcule a temperatura a $10\,\mathrm{km}$.
19. Calcule a temperatura a $20\,\mathrm{km}$.

Parte IV — A crosta profunda.

20. Calcule a temperatura na Moho, $35\,\mathrm{km}$ abaixo, sob o plúton A ($A_0 = 1.35\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$).
21. Em quanto as camadas radiogênicas de A e E elevam as temperaturas profundas? Explique a diferença entre os dois plútons.
22. Abaixo de $50\,\mathrm{km}$, $e^{-z/D}$ é desprezível. Encontre a profundidade da isoterma de $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob o plúton E e sob o plúton A.
23. Compare essas profundidades com a espessura da litosfera continental encontrada em Capítulo 9.
24. Qual é a temperatura na Moho sob o plúton E?

Solução

Solução de Problema 10.1.

1. Gradiente $= (T_{500} - T_{100})/0.4\,\mathrm{km}$: A $15.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, B $19.50$, C $19.50$, D $25.50$, E $28.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

2. A perfuração perturba a temperatura da rocha (o fluido de perfuração esfria ou aquece as paredes), e a perturbação leva semanas a meses para se dissipar. As dezenas de metros superiores seguem o ciclo sazonal e as mudanças recentes da temperatura da superfície.

3. $q_0 = k\times$gradiente: A $2.9\times15.25 = 44.225\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, B $50.70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, C $60.45\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, D $68.85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, E $84.75\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

4. A a D ficam abaixo da média continental, E acima dela em $13.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, ou $20\,\%$.

5. O fluxo de calor é condutividade vezes gradiente: C conduz melhor (3.1 contra 2.6), então o mesmo gradiente carrega $19\,\%$ mais calor.

6. As isotermas seguem a topografia só em parte: sob um cume elas sobem menos que a superfície, logo ficam mais afastadas embaixo dele, e o gradiente medido diminui (aumenta sob um vale). É preciso uma correção para a topografia antes de comparar os plútons.

7. $\rho C_U H_U$: A $2650\times2.0 \times 10^{-6}\times9.85 \times 10^{-5} = 0.522\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, B 0.914, C 1.305, D 1.827, E 2.610.

8. Tório: A 0.558, B 0.976, C 1.255, D 1.742, E 2.439.

9. Potássio: A $2650\times0.030\times3.40 \times 10^{-9} = 0.270$, B 0.315, C 0.360, D 0.378, E 0.405.

10. $A_0$ = 1.35, 2.20, 2.92, 3.95 e $5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. O potássio contribui menos, de $20\,\%$ do total em A a $7\,\%$ em E; urânio e tório dividem o resto quase igualmente.

11. Sim: os cinco pontos sobem regularmente, a cerca de $1.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ de uma reta.

12. $\bar A_0 = 15.88/5 = 3.176$, $\bar q_0 = 308.975/5 = 61.795$; $\sum(A_0 - \bar A_0)^2 = 10.1681$; $\sum(A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0) = 101.146$.

13. $D = 101.146/10.1681 = 9.95$ (em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ por $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, isto é, em km): $D = 9.95\,\mathrm{km}$, e $q_m = 61.795 - 9.95\times3.176 = 30.20\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

14. A inclinação, cerca de $10\,\mathrm{km}$, é a das três províncias; o fluxo de calor reduzido, $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, está perto dos $33\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ do leste dos Estados Unidos: uma província calma, com um manto frio embaixo, ao contrário da Basin and Range.

15. $q_m/k = 12\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ e $A_0D^2/k = 5.46 \times 10^{-6}\times10^{8}/2.5 = 218.4\,\mathrm{K}$: $T(z) = 10 + 12z + 218.4\,(1 - e^{-z/10})$, $z$ em km, $T$ em ${}^{\circ}\mathrm{C}$.

16. $q(z) = 30 + 54.6\,e^{-z/10}$: $50.1\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $10\,\mathrm{km}$, $37.4$ a $20\,\mathrm{km}$ e $31.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $35\,\mathrm{km}$.

17. $30/84.6 = 35\,\%$: quase dois terços do fluxo de calor sobre E são produzidos em sua camada radiogênica.

18. $T(10) = 10 + 120 + 218.4\times0.632 = 268{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. $T(20) = 10 + 240 + 218.4\times0.865 = 439{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. Sob A, $A_0D^2/k = 1.35\times100/2.5 = 54.0\,\mathrm{K}$: $T(35) = 10 + 420 + 54.0\times0.970 = 482{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. Pelo $A_0D^2/k$: $54\,\mathrm{K}$ sob A e $218\,\mathrm{K}$ sob E. O fluxo profundo de calor é o mesmo; a crosta de E é quatro vezes mais rica em fontes de calor, e o calor que elas produzem precisa ser conduzido para cima pela mesma rocha, o que exige um gradiente mais íngreme em todo o trajeto.

22. $1300 = 10 + 218.4 + 12z$ dá $z = 89.3\,\mathrm{km}$ sob E; $1300 = 10 + 54.0 + 12z$ dá $103.0\,\mathrm{km}$ sob A.

23. Ambas estão dentro da faixa da litosfera continental, de cem quilômetros ou menos sob regiões jovens até cerca de $250\,\mathrm{km}$ sob crátons, do lado fino dessa faixa: com um fluxo reduzido de $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ e esta condutividade, o geotermo condutivo atinge temperaturas do manto a cerca de $100\,\mathrm{km}$; sob o plúton mais radioativo, $14\,\mathrm{km}$ antes.

24. $T(35) = 10 + 420 + 218.4\times(1 - e^{-3.5}) = 430 + 211.8$: a Moho sob o plúton E está a $642{}^{\circ}\mathrm{C}$.