9A Terra estratificada

Em 8 de outubro de 1909 um terremoto sacudiu o vale do Kupa, a sudeste de Zagreb.

Andrija Mohorovičić, que dirigia o observatório ali, reuniu os sismogramas registrados por toda a Europa e notou algo estranho: até algumas centenas de quilômetros do epicentro a primeira vibração chegava de um modo, mais longe um segundo tipo de primeira chegada tomava o lugar, como se parte da energia tivesse encontrado uma via mais rápida em profundidade. Ele explicou o fenômeno por uma fronteira a uns cinquenta quilômetros de profundidade, abaixo da qual as ondas viajam mais depressa: a base da crosta. Um século de registros desse tipo, milhões deles, transformou essa primeira fronteira em um modelo de referência de toda a Terra, camada por camada, com as suas velocidades, a sua densidade, a sua gravidade e a sua pressão até o centro. Este capítulo mostra como uma fronteira é encontrada a partir dos tempos de percurso, o que diz o modelo de referência, como um perfil de densidade é traçado só a partir das velocidades sísmicas e conferido com a massa e o momento de inércia da Terra, quais minerais formam o manto em cada profundidade, do que é feito o núcleo, e onde termina a casca rígida externa do planeta.

O que você já sabe

Uma onda P é uma onda de compressão, uma onda S é uma onda de cisalhamento; as ondas S não atravessam líquidos, e as zonas de sombra P e S do núcleo dão o raio do núcleo externo líquido (Livro 2, 11º ano). As ondas são refratadas em uma fronteira segundo a lei de Snell, $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ (física). Em um fluido em repouso a pressão cresce com a profundidade como $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$ (física, primeiro ano universitário). A crosta, o manto e o núcleo foram introduzidos no Livro 1 (6º ano).

9.1 Ondas sísmicas em uma Terra estratificada

As velocidades das ondas sísmicas dependem dos módulos elásticos da rocha e da sua densidade. Os livros de física as deduzem das equações da elasticidade dos meios contínuos; aqui elas são tomadas como conhecidas.

Proposição 9.1 (Velocidades sísmicas)

Em um sólido elástico isotrópico de densidade $\rho$, módulo de compressão $K$ e módulo de cisalhamento $\mu$, as ondas P e S viajam com

$$v_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac43\mu}{\rho}}, \qquad v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.$$

Em um líquido $\mu = 0$: $v_S = 0$ e nenhuma onda S se propaga.

Como $K$ e $\mu$ são positivos, $v_P > v_S$ sempre: na crosta e no manto do PREM, $v_P$ é cerca de $1.8$ a $1.9$ vezes $v_S$, e as ondas P chegam primeiro. Ambas as velocidades em geral crescem com a profundidade, porque a pressão enrijece a rocha mais do que a comprime, de modo que os raios se curvam de volta para a superfície; e em algumas profundidades elas dão saltos.

Definição 9.2 (Descontinuidade sísmica, Moho, limites manto–núcleo e núcleo interno)

Uma descontinuidade sísmica é uma superfície no interior da Terra através da qual as velocidades sísmicas, a densidade ou ambas mudam bruscamente, em uma espessura pequena comparada com um comprimento de onda sísmico. A descontinuidade de Mohorovičić (ou Moho) é a base da crosta, onde $v_P$ salta para cerca de $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. O limite manto–núcleo é a superfície entre o manto silicático sólido e o núcleo externo líquido; o limite do núcleo interno é a superfície entre o núcleo externo líquido e o núcleo interno sólido.

9.1.1 Refração em um limite de camada

Tome uma camada de espessura $h$ e velocidade $v_1$, a crosta, sobre um semiespaço de velocidade $v_2 > v_1$, o manto, e uma fonte na superfície. Três ondas chegam a um receptor à distância $x$. A onda direta viaja na camada, a $v_1$. A onda refletida rebate na fronteira. E um raio que atinge a fronteira no ângulo crítico $i_c$, com $\sin i_c = v_1/v_2$, é refratado ao longo dela, viaja no meio mais rápido logo abaixo dela à velocidade $v_2$, e envia energia de volta para cima, à camada, no mesmo ângulo $i_c$ em todo o seu percurso.

Definição 9.3 (Onda de cabeça, distância de cruzamento)

Uma onda de cabeça é a onda que viaja ao longo de uma fronteira à velocidade do meio mais rápido abaixo dela e sai para cima no ângulo crítico. A distância de cruzamento é a distância à fonte além da qual a onda de cabeça chega antes da onda direta.

Teorema 9.4 (Tempos de percurso sobre uma Terra de duas camadas)

Sobre uma camada de espessura $h$ e velocidade $v_1$ repousando sobre um semiespaço de velocidade $v_2 > v_1$, uma fonte e um receptor na superfície, à distância $x$, dão

$$t_{\text{direto}} = \frac{x}{v_1}, \qquad t_{\text{cabeça}} = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} \quad (x \ge 2h\tan i_c), \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},$$

e a onda de cabeça chega primeiro além da distância de cruzamento

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

No gráfico do tempo de percurso contra a distância, as ondas direta e de cabeça são duas retas. Suas inclinações são os inversos das velocidades, $1/v_1$ e $1/v_2$; a reta da onda de cabeça, prolongada até $x = 0$, corta o eixo dos tempos no tempo de interseção $t_i = 2h\cos i_c/v_1$. A onda refletida, $t = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$, é uma hipérbole que toca a reta da onda de cabeça na distância crítica $2h\tan i_c$, onde a onda de cabeça nasce (Exercício 9.10).

Método 9.5 (A profundidade de uma fronteira a partir de um perfil de refração)

1. Marque os tempos das primeiras chegadas contra a distância, e ajuste uma reta pelas chegadas próximas da fonte e outra pelas distantes.
2. Os inversos das inclinações dão $v_1$ e $v_2$; depois $\sin i_c = v_1/v_2$.
3. Leia o tempo de interseção $t_i$ da reta distante em $x = 0$, e calcule $h = t_i v_1/(2\cos i_c)$; confira com a distância de cruzamento, $h = \tfrac12 x_c\sqrt{(v_2 - v_1)/(v_2 + v_1)}$.
4. Uma fronteira só é encontrada se $v_2 > v_1$: uma camada mais lenta sob outra mais rápida não produz onda de cabeça e permanece oculta.

As duas espécies de primeira chegada de Mohorovičić eram exatamente estas duas retas: a onda direta na crosta perto da fonte, a onda de cabeça ao longo do topo do manto mais longe. Sua figura para a espessura da crosta naquela região, $54\,\mathrm{km}$, foi confirmada na sua ordem de grandeza, mas a profundidade da Moho varia de um lugar para outro. Sob os oceanos a crosta tem apenas cerca de $5\,\mathrm{km}$ de espessura; sob os continentes ela tem em média cerca de $30\,\mathrm{km}$, e é muito mais espessa sob grandes cadeias de montanhas. Para o seu modelo de referência, o PREM tomou a Moho a $11\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar sob os oceanos e a $35\,\mathrm{km}$ sob os continentes.

História — Andrija Mohorovičić

Andrija Mohorovičić (1857–1936) chegou à sismologia pela meteorologia: professor, depois, de 1891 a 1921, diretor do observatório meteorológico de Zagreb, publicou seu último estudo meteorológico em 1901. Nos sismogramas do terremoto do vale do Kupa, em 8 de outubro de 1909, ele encontrou dois pares distintos de fases P e S: perto da fonte, um tipo de primeira vibração chegava primeiro; mais longe, outro, que tinha viajado mais depressa em profundidade. Sua leitura dessas duas chegadas como uma onda direta e uma onda refratada abaixo de uma fronteira deu a fronteira que hoje leva o seu nome, e a primeira medida da espessura da crosta.

9.2 Um modelo de referência da Terra

O mesmo raciocínio, aplicado a milhões de tempos de percurso em todas as distâncias e aos períodos das oscilações livres da Terra (o planeta inteiro soa como um sino depois de um grande terremoto), dá as velocidades em cada profundidade.

Definição 9.6 (Modelo de referência da Terra)

Um modelo de referência da Terra é uma Terra com simetria esférica, dada pelas velocidades sísmicas $v_P(r)$, $v_S(r)$, pela densidade $\rho(r)$ e, nos modelos mais completos, pela atenuação, como funções só do raio $r$, que se ajustam aos tempos de percurso observados, aos períodos das oscilações livres, à massa da Terra e ao seu momento de inércia. O mais usado é o PREM, o Preliminary Reference Earth Model (1981).

PREM foi ajustado ao raio $6371\,\mathrm{km}$, à massa $5.974 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e ao fator de momento de inércia $0.3308$ da Terra. Ele divide o planeta em algumas regiões unidas por descontinuidades, e seus perfis (figura abaixo) mostram de imediato as principais camadas.

Definição 9.7 (Crosta, manto, núcleo externo, núcleo interno)

A crosta é a camada silicática externa acima da Moho. O manto é a casca silicática sólida entre a Moho e o limite manto–núcleo, a uma profundidade de cerca de $2891\,\mathrm{km}$. O núcleo externo é a casca metálica líquida entre o limite manto–núcleo e o limite do núcleo interno, a cerca de $5150\,\mathrm{km}$ de profundidade. O núcleo interno é a esfera metálica sólida abaixo dele, de raio de cerca de $1220\,\mathrm{km}$.

limite no PREM	profundidade (km)	raio (km)	o que muda
Moho	24.4	6346.6	crosta acima, peridotito abaixo; $v_P$ de 6.8 a 8.1
descontinuidade de 220 km	220	6151	base da zona de baixa velocidade no PREM
descontinuidade de 400 km	400	5971	olivina para wadsleíta ($410\,\mathrm{km}$ na maioria dos estudos)
descontinuidade de 670 km	670	5701	ringwoodita para bridgmanita e ferropericlásio ($660\,\mathrm{km}$ na maioria dos estudos)
limite manto–núcleo	2891	3480	silicato para ferro líquido; $v_S$ de 7.3 a 0; $\rho$ de 5.57 a 9.90
limite do núcleo interno	5149.5	1221.5	ferro líquido para sólido; $v_S$ de 0 a 3.5; $\rho$ de 12.17 a 12.76

Dois fatos desses perfis são observados diretamente. A anulação de $v_S$ no núcleo externo é a sombra das ondas S lembrada acima: as ondas S entram no núcleo apenas como ondas P, o núcleo não transmite cisalhamento, logo é líquido. E o núcleo interno transmite ondas S, lentamente: é sólido. Esse segundo fato veio de chegadas P fracas onde nenhuma onda P deveria chegar.

História — Inge Lehmann e o núcleo interno

Inge Lehmann (1888–1993), chefe do departamento de sismologia do instituto geodésico dinamarquês, estudou os registros do terremoto de Buller de 1929, na Nova Zelândia, e encontrou ondas P chegando dentro da zona de sombra, onde o núcleo deveria tê-las desviado. Em um artigo de 1936 com o mais curto dos títulos, P$'$, mostrou que elas podiam ser explicadas se o núcleo tivesse um núcleo interno menor, com velocidade P mais alta, que devolve parte da energia para a superfície. Sabe-se hoje que o seu núcleo interno é sólido e cresce lentamente à medida que a Terra esfria. Ela descobriu também a descontinuidade perto de $220\,\mathrm{km}$ que leva o seu nome.

9.3 Densidade, gravidade e pressão a partir de dados sísmicos

As velocidades sísmicas dão duas combinações dos módulos e da densidade, não a própria densidade. Uma terceira relação vem da suposição de que, no interior de uma camada de composição uniforme, a rocha é simplesmente comprimida pelo peso da rocha acima.

Definição 9.8 (Parâmetro sísmico)

O parâmetro sísmico em uma profundidade é

$$\Phi = v_P^2 - \tfrac43 v_S^2 = \frac{K}{\rho},$$

o módulo de compressão dividido pela densidade, calculado só a partir das duas velocidades sísmicas (Proposição 9.1).

Teorema 9.9 (Equação de Adams–Williamson)

Em uma região de composição uniforme, em equilíbrio hidrostático, comprimida adiabaticamente, a densidade varia com o raio como

$$\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = -\frac{\rho(r)\,g(r)}{\Phi(r)},$$

onde $g(r)$ é a gravidade no raio $r$.

A equação falha em uma descontinuidade, onde a composição ou a estrutura cristalina muda, e onde quer que a temperatura se afaste do adiabático; mas entre as descontinuidades ela explica muito bem o aumento observado da densidade com a profundidade (painel (c) da figura abaixo). Partindo de uma densidade no topo de cada região, integrando-a para baixo e ajustando os valores iniciais até que a massa e o momento de inércia saiam corretos, foi assim que os primeiros modelos de densidade foram construídos. Os dois números globais são integrais da densidade.

Proposição 9.10 (Massa, gravidade, pressão e momento de inércia)

Para uma Terra de simetria esférica de raio $R$ e densidade $\rho(r)$, a massa dentro do raio $r$, a gravidade, a pressão e o momento de inércia em torno de um eixo pelo centro são

$$m(r) = \int_0^r 4\pi s^2\rho(s)\,\mathrm ds, \quad g(r) = \frac{G\,m(r)}{r^2}, \quad P(r) = \int_r^R \rho(s)\,g(s)\,\mathrm ds, \quad I = \frac{8\pi}{3}\int_0^R \rho(r)\,r^4\,\mathrm dr.$$

Para uma esfera de densidade uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5 = 0.4\,MR^2$. O fator $I/MR^2 = 0.3308$ da Terra é menor: sua massa se concentra em direção ao centro, que é o primeiro argumento para um núcleo denso. Calculadas só a partir da densidade do PREM, as integrais dão uma massa de $5.976 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ($0.06\,\%$ acima da medida $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$), um fator $0.3309$, e uma pressão central de $364\,\mathrm{GPa}$, o valor tabelado com o PREM a $0.1\,\%$.

Que a gravidade cresça na descida pelo manto é consequência direta do núcleo denso: a massa deixada dentro do raio cai mais devagar que $r^2$. Através do manto $g$ quase não muda, e a pressão cresce quase linearmente com a profundidade, cerca de $4.7\,\mathrm{GPa}$ por cem quilômetros.

9.4 O manto: uma rocha, várias associações minerais

O manto superior é peridotito, conhecido pelos fragmentos que os vulcões trazem à superfície e por fatias do manto empurradas sobre os continentes: cerca de metade a três quintos de olivina em volume ($49\text{ a }62\,\%$ nas composições propostas), o resto piroxênios e um mineral alumínico (plagioclásio, espinélio ou granada, conforme a profundidade). A pressão que cresce com a profundidade não muda essa composição, mas força os seus átomos em arranjos mais densos: polimorfos (Capítulo 7) aparecem um após o outro.

Definição 9.11 (Zona de transição do manto)

A zona de transição do manto é a parte do manto entre as descontinuidades sísmicas perto de $410\,\mathrm{km}$ e $660\,\mathrm{km}$ de profundidade, em que a olivina do manto superior é substituída pelos seus polimorfos mais densos, a wadsleíta e depois a ringwoodita. Acima dela fica o manto superior; abaixo, o manto inferior, até o limite manto–núcleo.

Em cerca de $410\,\mathrm{km}$ ($14\,\mathrm{GPa}$) a olivina $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$ se torna wadsleíta, de mesma fórmula; perto de $520\,\mathrm{km}$ ($17.5\,\mathrm{GPa}$) a wadsleíta se torna ringwoodita; os piroxênios se dissolvem em uma granada rica em silício, a majorita, até que, no meio da zona de transição, a granada contém todos eles, de modo que a zona é um pouco mais que metade de polimorfos da olivina e o resto granada. Em cerca de $660\,\mathrm{km}$, a uma pressão perto de $24\,\mathrm{GPa}$, a ringwoodita se decompõe em dois minerais, escritos para o membro-final magnesiano

bridgmanita, $\ce{(Mg,Fe)SiO3}$ com a estrutura da perovskita, e ferropericlásio, $\ce{(Mg,Fe)O}$. Um manto inferior de mesma composição que o manto superior é cerca de $75\,\%$ bridgmanita, $17\,\%$ ferropericlásio e $8\,\%$ de uma perovskita silicática de cálcio, em volume, e se ajusta às densidades e velocidades do modelo de referência. A bridgmanita é, portanto, o mineral mais abundante da Terra; ela recebeu o seu nome só em 2014, depois que grãos naturais foram descritos em um meteorito fortemente chocado.

Cada mudança produz minerais mais densos, de modo que aumenta a densidade e as velocidades sísmicas: as transições são as descontinuidades dos perfis (figura abaixo). Suas profundidades não são fixas. Uma mudança de fase ocorre a uma pressão que depende da temperatura, e a inclinação dessa dependência (a inclinação de Clapeyron, tratada no Livro 4) faz a descontinuidade de $410\,\mathrm{km}$ subir e a de $660\,\mathrm{km}$ descer na rocha fria de uma placa que afunda. Mapear a topografia das descontinuidades é uma maneira de encontrar regiões frias e quentes no manto.

Na base do manto, a camada chamada D$''$ (D duas linhas, nome mantido de um modelo antigo da Terra) tem um gradiente de velocidade diferente do resto do manto inferior; o PREM lhe atribui os $150\,\mathrm{km}$ mais baixos do manto. É heterogênea sismicamente: manchas de velocidade muito baixa, gradientes íngremes, refletores. Pensa-se que seja uma camada limite entre o núcleo quente e o manto, e talvez um cemitério de placas antigas.

9.5 O núcleo

O núcleo é sobretudo ferro. Sua densidade, suas velocidades e sua capacidade de gerar um campo magnético apontam para um metal, e o ferro é de longe o elemento mais abundante entre os suficientemente densos que os meteoritos e o Sol mostram ser comuns. O níquel, abundante nos meteoritos de ferro, o acompanha. Mas o núcleo não é ferro–níquel puro.

• O núcleo é $5\text{ a }10\,\%$ menos denso do que o ferro puro seria nas mesmas pressão e temperatura: deve conter elementos leves, entre os quais silício, enxofre, carbono, oxigênio e hidrogênio são os candidatos.
• A densidade salta cerca de $4.5\,\%$ no limite do núcleo interno, muito para o congelamento de um só e mesmo metal: o núcleo interno também contém elementos leves, mas menos, alguns por cento, contra $5\text{ a }10\,\%$ no líquido.

A diferença tem uma consequência. À medida que a Terra esfria — seu manto cerca de $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ por bilhão de anos atualmente —, o líquido do núcleo congela sobre o núcleo interno, que cresce, e

o congelamento deixa a maior parte dos elementos leves no líquido. O líquido leve liberado na base do núcleo externo sobe, e acredita-se que essa flutuabilidade ajude a agitar o núcleo externo e a acionar o dínamo que gera o campo magnético da Terra.

9.6 Camadas mecânicas: litosfera e astenosfera

As camadas acima são definidas pela composição e pela fase: crosta e manto são rochas diferentes, núcleos externo e interno são estados diferentes. A tectônica de placas precisa de outra divisão, pela resistência, que corta a primeira.

Definição 9.12 (Litosfera, astenosfera, zona de baixa velocidade)

A litosfera é a casca externa rígida da Terra, a crosta e o manto mais superior, que se comporta como uma camada forte ao longo dos tempos geológicos e é dividida em placas. A astenosfera é a camada mais fraca do manto superior abaixo dela, que se deforma por um fluxo lento e deixa as placas se moverem. A zona de baixa velocidade é a faixa de profundidade abaixo da litosfera em que as velocidades sísmicas, sobretudo as das ondas S, são mais baixas do que logo acima e abaixo.

A litosfera não é uma rocha, e sim uma faixa de temperatura: o peridotito do manto é forte onde está frio e flui onde está quente, e a sua base é aproximadamente uma isoterma. Ela é fina sob as cristas, onde o manto quente sobe, cerca de $140\,\mathrm{km}$ de espessura sob o assoalho oceânico mais antigo, e $40\text{ a }280\,\mathrm{km}$ de espessura sob os continentes, mais espessa sob os crátons antigos; o topo da astenosfera fica a cerca de $80\text{ a }200\,\mathrm{km}$. Sismicamente, a astenosfera aparece como a zona de baixa velocidade, perto das suas condições de fusão: no PREM a velocidade S diminui levemente desde a Moho até $220\,\mathrm{km}$, onde volta a saltar. Como a resistência depende da temperatura, e por que isso acontece, é o assunto de Capítulo 16.

No campo — Uma estação sísmica

Os tempos de percurso em que se apoiam os modelos de referência vêm de estações permanentes. Um sismômetro de banda larga, que registra movimentos do solo de centésimos de segundo a horas de período, fica sobre um pilar de concreto assentado em rocha nua e isolado do piso da cúpula, sob uma cobertura que mantém a sua temperatura estável: uma variação de uma fração de grau, uma corrente de ar ou um caminhão passando apareceria no registro. O registrador de dados marca cada amostra com a hora dada por satélites, e os registros fluem para centros de dados que os compartilham abertamente. Redes dessas estações localizam e datam todos os grandes terremotos; os tempos de chegada lidos em seus registros foram invertidos para obter as velocidades em cada profundidade.

9.7 Exercícios

Exercício 9.1 ★

Com os raios do PREM $R = 6371\,\mathrm{km}$, $r_{\text{CMB}} = 3480\,\mathrm{km}$ e $r_{\text{ICB}} = 1221.5\,\mathrm{km}$, calcule as frações do volume da Terra ocupadas pelo núcleo e pelo núcleo interno.

Solução

Solução de Exercício 9.1.

Os fatores de volume são os cubos das razões dos raios: núcleo $(3480/6371)^3 = 0.1630$, isto é, $16.3\,\%$; núcleo interno $(1221.5/6371)^3 = 0.00705$, $0.70\,\%$.

Exercício 9.2 ★

Logo acima do limite manto–núcleo o PREM dá $v_P = 13.7166\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 7.264\,66\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 5.566\,45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; logo abaixo, $v_P = 8.064\,82\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 0$, $\rho = 9.903\,49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Calcule o parâmetro sísmico e o módulo de compressão de cada lado (em GPa). O que muda mais através do limite?

Solução

Solução de Exercício 9.2.

Acima: $\Phi = 13.7166^2 - \tfrac43\times7.26466^2 = 188.145 - 70.367 = 117.78\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = \rho\Phi = 5566.45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times 117.78 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = 655.6\,\mathrm{GPa}$. Abaixo: $\Phi = 8.06482^2 = 65.04\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = 9903.49\times65.04 \times 10^{6} = 644.1\,\mathrm{GPa}$. O módulo de compressão quase não muda ($-1.7\,\%$). O que muda é o módulo de cisalhamento, $\mu = \rho v_S^2 = 293.8\,\mathrm{GPa}$ acima e $0$ abaixo (um líquido), e a densidade, que sobe $78\,\%$: daí a queda de $v_P$ apesar de um $K$ quase igual.

Exercício 9.3 ★

Uma crosta de $30\,\mathrm{km}$ de espessura, a $6.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, repousa sobre um manto a $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule o ângulo crítico, a distância crítica e a distância de cruzamento.

Solução

Solução de Exercício 9.3.

$\sin i_c = 6.2/8.1 = 0.7654$, $i_c = 49.95{}^{\circ}$. Distância crítica $2\times30\times\tan49.95{}^{\circ} = 60\times1.1906 = 71.4\,\mathrm{km}$. Distância de cruzamento $60\sqrt{14.3/1.9} = 60\times2.743 = 164.6\,\mathrm{km}$.

Exercício 9.4 ★

A massa do núcleo é $1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e o seu raio $3480\,\mathrm{km}$. Calcule a gravidade no limite manto–núcleo e compare-a com a gravidade na superfície, $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Por que ela é maior?

Solução

Solução de Exercício 9.4.

$g = Gm/r^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^{6})^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $9\,\%$ a mais que na superfície. Descendo até o núcleo, o raio ao quadrado cai para $(3480/6371)^2 = 0.298$ de seu valor na superfície, enquanto a massa atrativa cai apenas para $1.94/5.972 = 0.325$ do total, porque o núcleo contém um terço da massa: $0.325/0.298 = 1.09$.

Exercício 9.5 ★★

Em um perfil de refração as primeiras chegadas estão em $10.0\,\mathrm{s}$ a $60\,\mathrm{km}$, em $33.3\,\mathrm{s}$ a $200\,\mathrm{km}$ e em $45.8\,\mathrm{s}$ a $300\,\mathrm{km}$; a reta pelo primeiro ponto passa pela origem. Encontre $v_1$, $v_2$, o tempo de interseção e a profundidade da fronteira, e confira o resultado com a distância de cruzamento.

Solução

Solução de Exercício 9.5.

Perto da fonte $v_1 = 60/10.0 = 6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Longe $v_2 = (300 - 200)/(45.8 - 33.3) = 100/12.5 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; o tempo de interseção é $t_i = 33.3 - 200/8.0 = 8.3\,\mathrm{s}$. Então $\sin i_c = 0.75$, $\cos i_c = 0.6614$, e $h = t_i v_1/(2\cos i_c) = 8.3\times6.0/1.3229 = 37.6\,\mathrm{km}$. Confere: $x_c = 2\times37.6\times\sqrt{14/2} = 199\,\mathrm{km}$, em que as duas ondas chegam em $199/6.0 = 199/8.0 + 8.3 = 33.2\,\mathrm{s}$.

Exercício 9.6 ★★

Mostre que uma esfera homogênea tem $I = 0.4\,MR^2$. Depois calcule a massa e o fator $I/MR^2$ de uma Terra de duas camadas: um núcleo de raio $3480\,\mathrm{km}$ e densidade $11.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ em um manto de densidade $4.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, com $R = 6371\,\mathrm{km}$. Compare com $5.972 \times 10^{24}$ kg e $0.3308$.

Solução

Solução de Exercício 9.6.

Para $\rho$ uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_0^R r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$ e $M = \tfrac43\pi\rho R^3$, logo $I/MR^2 = (8/15)/(4/3) = 0.4$. Duas camadas ($r_c = 3.48 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $R = 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $M = \tfrac43\pi\bigl(11000\,r_c^3 + 4450\,(R^3 - r_c^3)\bigr) = 5.977 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.08\,\%$ acima da massa medida; $I = \tfrac{8\pi}{15}\bigl(11000\,r_c^5 + 4450\,(R^5 - r_c^5)\bigr)$ dá $I/MR^2 = 0.3457$. A massa está certa, mas o fator fica $4.5\,\%$ alto demais: o manto real não é uniforme, sua densidade cresce com a profundidade, o que desloca massa para dentro.

Exercício 9.7 ★★

Em $1471\,\mathrm{km}$ de profundidade o PREM dá $v_P = 12.16\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 6.673\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 4.86\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, e a gravidade é $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Calcule o gradiente de densidade dado pela equação de Adams–Williamson, em $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por $1000\,\mathrm{km}$, e compare com as densidades do PREM, $4.844$ a $1471\,\mathrm{km}$ e $5.357$ a $2471\,\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Exercício 9.7.

$\Phi = 12.16^2 - \tfrac43\times6.673^2 = 147.87 - 59.37 = 88.49\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$. Com a profundidade $z$, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi = 4860\times9.9/88.49 \times 10^{6} = 5.44 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}$, isto é, $0.544\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ por quilômetro, ou $0.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por $1000\,\mathrm{km}$. O PREM sobe $5.357 - 4.844 = 0.513$ nesses $1000\,\mathrm{km}$, $6\,\%$ a menos: o gradiente calculado no topo é aplicado a todo o intervalo, enquanto $\Phi$ cresce com a profundidade e o gradiente diminui.

Exercício 9.8 ★★

Estime a pressão a $670\,\mathrm{km}$ de profundidade a partir de uma densidade média de $3.57\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ e uma gravidade de $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Que mudança mineral é esperada ali?

Solução

Solução de Exercício 9.8.

$P \approx \bar\rho g z = 3570\times9.9\times670 \times 10^{3} = 23.7\,\mathrm{GPa}$ (PREM: $23.9\,\mathrm{GPa}$). É a pressão, cerca de $24\,\mathrm{GPa}$, na qual a ringwoodita se decompõe em bridgmanita e ferropericlásio: a descontinuidade de $660\,\mathrm{km}$.

Exercício 9.9 ★★

A densidade média do núcleo externo do PREM é $10.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; no limite do núcleo interno sua densidade é $12.166\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ acima e $12.764\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ abaixo. (a) Se o ferro nas mesmas condições é $5\text{ a }10\,\%$ mais denso que o núcleo externo, que faixa de densidades isso dá para o ferro líquido ali? (b) Calcule o salto de densidade no limite do núcleo interno em porcentagem, e compare-o com os $4.5\,\%$ de estudos recentes. (c) O que um salto maior do que o da solidificação sozinha daria a dizer sobre os elementos leves?

Solução

Solução de Exercício 9.9.

(a) Ferro líquido: $10.90\times1.05 = 11.4$ a $10.90\times1.10 = 12.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (b) $12.764/12.166 = 1.049$: um salto de $4.9\,\%$ no PREM, um pouco mais que os $4.5\,\%$ de estudos recentes. (c) A solidificação sozinha tornaria o sólido apenas um pouco mais denso que o líquido; o salto maior significa que o sólido contém menos elementos leves que o líquido: eles preferem o líquido, e a solidificação na fronteira do núcleo interno deixa a maior parte deles para trás.

Exercício 9.10 ★★★

Mostre que o tempo da onda refletida $t_r(x) = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$ e o tempo da onda de cabeça de Teorema 9.4 são iguais, e têm inclinações iguais, em $x = 2h\tan i_c$, e que $t_r > t_{\text{cabeça}}$ além dela. Interprete.

Solução

Solução de Exercício 9.10.

Seja $x_* = 2h\tan i_c$. Então $\sqrt{x_*^2 + 4h^2} = 2h/\cos i_c$ e $t_r(x_*) = 2h/(v_1\cos i_c)$. A onda de cabeça dá $t(x_*) = 2h\tan i_c/v_2 + 2h\cos i_c/v_1 = \frac{2h}{v_1}\bigl(\sin^2 i_c/\cos i_c + \cos i_c\bigr) = 2h/(v_1\cos i_c)$, usando $\sin i_c = v_1/v_2$: o mesmo. A inclinação da hipérbole é $t_r'(x) = x/(v_1\sqrt{x^2 + 4h^2})$; em $x_*$ ela é $\sin i_c/v_1 = 1/v_2$, a inclinação da reta da onda de cabeça. Como $t_r'' > 0$, a hipérbole é convexa e fica acima de cada uma de suas tangentes: para $x > x_*$, $t_r > t_{\text{cabeça}}$. Na distância crítica a reflexão atinge a fronteira exatamente em $i_c$ e é o nascimento da onda de cabeça; além, a onda de cabeça, que ganha por correr no meio rápido, chega primeiro.

Exercício 9.11 ★★★

Para uma Terra de densidade uniforme $\rho$, mostre que $g(r) = \tfrac43\pi G\rho r$ e $P(r) = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. Calcule a pressão central com $\rho = 5513\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $R = 6371\,\mathrm{km}$, e compare com os $363.85\,\mathrm{GPa}$ do PREM.

Solução

Solução de Exercício 9.11.

$m(r) = \tfrac43\pi\rho r^3$, logo $g = Gm/r^2 = \tfrac43\pi G\rho r$. Então $P(r) = \int_r^R \rho\,\tfrac43\pi G\rho s\,\mathrm ds = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. No centro $P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times5513^2\times (6.371 \times 10^{6})^2 = 172\,\mathrm{GPa}$, $47\,\%$ do PREM $363.85\,\mathrm{GPa}$: concentrar a massa em direção ao centro quase dobra a pressão central.

Exercício 9.12 ★★★

Mostre que, se $g/\Phi$ é constante através de uma camada, a equação de Adams–Williamson dá $\rho = \rho_0\exp\bigl(g(z - z_0)/\Phi\bigr)$ com a profundidade $z$. Aplique-a ao núcleo externo, de $2891\,\mathrm{km}$ ($\rho_0 = 9.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) a $5149.5\,\mathrm{km}$, com valores médios $g = 7.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ e $\Phi = 87\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; compare com os $12.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ do PREM no limite do núcleo interno.

Solução

Solução de Exercício 9.12.

Com $z$ a profundidade, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi$; se $g/\Phi$ é uma constante $a$, $\mathrm d(\ln\rho)/\mathrm dz = a$ e $\rho = \rho_0 e^{a(z - z_0)}$. Aqui $a(z - z_0) = 7.9\times2258.5 \times 10^{3}/87 \times 10^{6} = 0.2051$ e $\rho = 9.90\times e^{0.2051} = 9.90\times1.2276 = 12.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $0.2\,\%$ abaixo do $12.17$ do PREM: todo o aumento de densidade através do núcleo externo é autocompressão.

9.8 Problema: pesando as cascas da Terra

Problema 9.1

Problema de fim de semana — volumes, massas e momento de inércia de uma Terra de quatro cascas construída a partir do PREM, comparados com a massa e o momento de inércia medidos; gravidade e pressão no fundo do interior

A Terra é cortada em quatro cascas nos raios do PREM, e cada uma recebe a sua densidade média no PREM, arredondada:

casca	de (km)	até (km)	densidade média ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$)
crosta, manto superior e zona de transição	5701	6371	3.57
manto inferior	3480	5701	4.90
núcleo externo	1221.5	3480	10.90
núcleo interno	0	1221.5	12.89

Use $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. A massa medida da Terra é $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e o seu fator de momento de inércia $I/MR^2 = 0.3308$.

Parte I — Volumes.

1. Calcule o volume da Terra.
2. Calcule o volume de cada casca.
3. Que fração do volume ocupa cada casca? Qual é a maior?
4. Que fração do volume é núcleo?

Parte II — Massas.

5. Calcule a massa de cada casca.
6. Some-as, e compare o total com a massa medida.
7. Deduza a densidade média da Terra modelo.
8. Que fração da massa está no núcleo interno?
9. Que fração da massa está no manto e na crosta juntos?
10. Compare a parcela do núcleo no volume e na massa, e explique.

Parte III — Momento de inércia.

11. Mostre a partir de Proposição 9.10 que uma casca homogênea entre $r_1$ e $r_2$ tem $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho\,(r_2^5 - r_1^5)$.
12. Calcule o momento de inércia de cada casca.
13. Qual casca contribui mais, e por que o núcleo interno contribui quase nada?
14. Some-os e calcule $I/MR^2$ para o modelo.
15. Compare com $0.3308$ e com os $0.4$ de uma esfera homogênea.
16. Dentro de cada casca real a densidade cresce com a profundidade. Isso explica por que o fator do modelo é alto demais? Explique.

Parte IV — Gravidade e pressão.

17. Calcule a gravidade na superfície do modelo.
18. Calcule a gravidade no limite manto–núcleo.
19. Calcule a densidade média do manto e da crosta juntos.
20. A gravidade no manto se mantém perto de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Estime a pressão no limite manto–núcleo, e compare com os $135.75\,\mathrm{GPa}$ do PREM.
21. Calcule a densidade média do núcleo, e o aumento de pressão do limite manto–núcleo até o centro em um núcleo homogêneo, $\tfrac23\pi G\rho_c^2 r_c^2$ (Exercício 9.11 aplicado só ao núcleo).
22. Some as duas para estimar a pressão central, e compare com os $363.85\,\mathrm{GPa}$ do PREM. Por que a estimativa é baixa demais?
23. Quais números do modelo são conferidos com uma medida, e quais só com o próprio PREM?
24. Que fração da massa da Terra está no núcleo?

Solução

Solução de Problema 9.1.

1. $V = \tfrac43\pi(6.371 \times 10^{6})^3 = 1.0832 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$.

2. $\tfrac43\pi(r_2^3 - r_1^3)$: crosta, manto superior e zona de transição $3.0706 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; manto inferior $5.9961 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; núcleo externo $1.6890 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; núcleo interno $7.634 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$.

3. $28.35\,\%$, $55.36\,\%$, $15.59\,\%$ e $0.70\,\%$: o manto inferior é a maior casca, mais da metade do volume da Terra.

4. $15.59 + 0.70 = 16.3\,\%$.

5. Crosta, manto superior e zona de transição $3.0706 \times 10^{20}\times3570 = 1.0962 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; manto inferior $2.9381 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; núcleo externo $1.8410 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; núcleo interno $9.841 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$.

6. $5.9737 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.03\,\%$ acima da massa $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

7. $5.9737 \times 10^{24}/1.0832 \times 10^{21} = 5515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

8. $9.841 \times 10^{22}/5.9737 \times 10^{24} = 1.65\,\%$.

9. $(1.0962 + 2.9381)/5.9737 = 67.5\,\%$.

10. O núcleo tem $16.3\,\%$ do volume e $32.5\,\%$ da massa, o dobro: sua densidade média, $10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, é cerca de $2.5$ vezes a do manto.

11. Uma casca de densidade uniforme dá $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_{r_1}^{r_2} r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho (r_2^5 - r_1^5)$.

12. Crosta, manto superior e zona de transição $2.676 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; manto inferior $4.525 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; núcleo externo $9.27 \times 10^{36}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; núcleo interno $5.87 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

13. O manto inferior: tem metade da massa, em grandes raios. O núcleo interno tem $1.6\,\%$ da massa, toda ela perto do eixo: sua parcela é $0.07\,\%$.

14. $I = 8.1345 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ e $I/MR^2 = 8.1345 \times 10^{37}/ (5.9737 \times 10^{24}\times(6.371 \times 10^{6})^2) = 0.3355$.

15. $1.4\,\%$ acima de $0.3308$, e bem abaixo de $0.4$: o modelo tem a concentração de massa em direção ao centro aproximadamente certa.

16. Sim. Dentro de cada casca a densidade real é maior embaixo do que em cima; uma casca homogênea da mesma massa põe massa demais perto do seu raio externo, onde ela conta com $r^2$, e assim superestima $I$.

17. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.9737 \times 10^{24}/ (6.371 \times 10^{6})^2 = 9.822\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

18. A massa do núcleo é $1.8410 \times 10^{24} + 9.841 \times 10^{22} = 1.9394 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, e $g = G m/r_c^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $(1.0962 \times 10^{24} + 2.9381 \times 10^{24})/(3.0706 \times 10^{20} + 5.9961 \times 10^{20}) = 4.0343 \times 10^{24}/9.0667 \times 10^{20} = 4450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

20. $P \approx 4450\times10\times2.891 \times 10^{6} = 128.6\,\mathrm{GPa}$, $5\,\%$ abaixo dos $135.75\,\mathrm{GPa}$ do PREM.

21. $\rho_c = 1.9394 \times 10^{24}/1.7653 \times 10^{20} = 10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e $\Delta P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times10986^2\times (3.48 \times 10^{6})^2 = 204.3\,\mathrm{GPa}$.

22. $128.6 + 204.3 = 332.9\,\mathrm{GPa}$, $8.5\,\%$ abaixo dos $363.85\,\mathrm{GPa}$ do PREM. Ambas as estimativas ignoram o aumento da densidade com a profundidade dentro de cada região, que coloca mais massa mais fundo, mantém a gravidade mais alta na descida e eleva $\rho g$, o gradiente de pressão.

23. A massa total (questão 6), o fator de momento de inércia (questão 15) e a gravidade na superfície (questão 17, contra a média medida $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) são conferidos com medidas da Terra; a gravidade no núcleo e as pressões só podem ser comparadas com o PREM, ele próprio um modelo.

24. O núcleo tem $32.5\,\%$ da massa da Terra.