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Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano · স্নাতক প্রথম বর্ষ

5Seções geológicas

Uma empresa de engenharia planeja um túnel sob as Colinas de Varden, em linha reta de oeste para leste, em uma altitude constante de $200\,\mathrm{m}$ . Antes que se perfure um único metro, os geólogos precisam dizer quais rochas a máquina vai cortar, onde ela cruzará a falha e quanto tempo passará no calcário, uma rocha que pode conter cavidades abertas e água. Ninguém consegue ver o interior das colinas; mas o mapa geológico de Capítulo 4, algumas sondagens e a geometria dos planos bastam para desenhar uma fatia vertical do terreno — uma seção geológica — e para ler as respostas nela. Este capítulo ensina como uma seção é construída a partir de um mapa, como mergulhos e espessuras mudam quando a fatia é cortada obliquamente, como as sondagens são correlacionadas e como uma seção conta a história das rochas que corta. Ele termina com o túnel.

O que você já sabe

A atitude de um plano é dada pelo seu sentido de mergulho $\alpha$ e pelo seu mergulho $\delta$ , e o plano que passa por um ponto de altitude $z_0$ na origem é $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ ; três pontos de um contato fixam a sua atitude; a regra do V lê o mergulho a partir do padrão dos afloramentos em vales (Capítulo 4). Uma curva de nível une pontos de mesma altitude em um mapa topográfico (Livro 1, 9º ano). Rochas mais novas repousam sobre as mais antigas, e o que corta uma rocha é mais novo que ela (Livro 1, 7º ano).

5.1 Do mapa à seção

Definição 5.1 (Seção geológica, perfil topográfico, exagero vertical)

Uma seção geológica é um desenho das unidades rochosas e das estruturas em um plano vertical através do terreno, ao longo de uma linha traçada no mapa. Sua borda superior é o perfil topográfico, a curva da altitude do terreno ao longo da linha. O exagero vertical $e$ de uma seção é a razão entre a sua escala vertical e a sua escala horizontal; a seção está em escala verdadeira quando $e = 1$ .

Método 5.2 (Construção de uma seção geológica a partir de um mapa)

Trace a linha de seção no mapa e apoie a borda de uma tira de papel sobre ela; marque onde cada curva de nível a cruza, com a sua altitude, e onde cada contato e cada falha a cruzam.
Trace uma linha de base horizontal do mesmo comprimento e uma escala vertical de altitudes (escolha $e$ e escreva-o na seção).
Transfira cada marca de curva de nível para a sua altitude e una os pontos com suavidade: esse é o perfil topográfico.
Transfira cada contato e cada falha para o perfil, no ponto em que cruzam a linha.
A partir de cada um desses pontos, desenhe o contato para dentro do terreno com o seu mergulho no plano da seção — o seu mergulho aparente (Seção 5.2) — exagerado por $e$ se $e \ne 1$ ; use sondagens e curvas estruturais onde houver.
Complete as unidades entre os contatos, respeitando a ordem da superposição e dos cortes, e acrescente a legenda, as escalas, a orientação da linha e $e$ .

Construção de uma seção (esquemática): os cruzamentos das curvas de nível com a linha X–Y são levados para baixo até as suas altitudes, para dar o perfil topográfico; um contato que cruza a linha é levado para o perfil e desenhado no terreno com o seu mergulho aparente.

A seção abaixo foi construída por computador a partir do modelo das Colinas de Varden ao longo da linha C–D, que corre exatamente para leste pelo mapa, em $y = 6\,\mathrm{km}$ . Ela mostra o anticlinal cujo núcleo de arenito e embasamento aparece em $x \approx 3.5\,\mathrm{km}$ , o calcário e o folhelho nos seus flancos, o giz no sinclinal a leste e a falha normal. A linha do túnel, a $200\,\mathrm{m}$ , e as sondagens B1, B2, B3 de Seção 5.4 estão desenhadas nela.

Seção C–D através das Colinas de Varden, a partir do modelo da região. Em cima: exagero vertical e = 3; embaixo: a mesma seção em escala verdadeira (e = 1), em que os flancos de 12 parecem tão suaves quanto são. As cores são as do mapa geológico de ; a falha (linha grossa) é a falha normal, com o bloco leste abatido. A linha vermelha é o túnel do problema; B1–B3 são sondagens. — Seção C–D através das Colinas de Varden, a partir do modelo da região. Em cima: exagero vertical $e = 3$ ; embaixo: a mesma seção em escala verdadeira ( $e = 1$ ), em que os flancos de $12{}^{\circ}$ parecem tão suaves quanto são. As cores são as do mapa geológico de Capítulo 4; a falha (linha grossa) é a falha normal, com o bloco leste abatido. A linha vermelha é o túnel do problema; B1–B3 são sondagens.

O exagero vertical torna legíveis as unidades finas e a topografia suave, mas distorce todos os ângulos: os flancos de $12{}^{\circ}$ da dobra aparecem com cerca de $32{}^{\circ}$ na seção superior. A seção seguinte diz exatamente como.

5.2 Mergulho aparente

Definição 5.3 (Mergulho aparente)

O mergulho aparente $\beta$ de um plano em uma dada seção vertical é o ângulo entre a horizontal e o traço do plano nessa seção. Ele é igual ao mergulho verdadeiro $\delta$ quando a seção corre na direção do mergulho, e é nulo quando corre na direção da linha de direção.

Teorema 5.4 (Mergulho aparente)

Um plano de mergulho $\delta$ e sentido de mergulho $\alpha$ , cortado por uma seção vertical de azimute $\theta$ , mostra o mergulho aparente $\beta$ com

\tan\beta = \tan\delta\,\cos\gamma, \qquad \gamma = \alpha - \theta ,

o plano descendo na direção $\theta$ quando $\cos\gamma > 0$ . Em particular $|\beta| \le \delta$ , com igualdade apenas na direção do mergulho.

Demonstração. Tome o plano $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ de Capítulo 4. Ao longo da seção, um passo horizontal de comprimento $s$ na direção $\theta$ é $(x, y) = s(\sin\theta, \cos\theta)$ , logo $z = z_0 - s\tan\delta\,(\sin\theta\sin\alpha + \cos\theta\cos\alpha) = z_0 - s\tan\delta\cos(\alpha - \theta)$ . O traço é uma reta que desce $\tan\delta\cos\gamma$ por unidade de distância horizontal: isso é $\tan\beta$ . Como $|\cos\gamma| \le 1$ , $|\tan\beta| \le \tan\delta$ . ∎

Mergulho aparente (bloco esquemático). Um plano que mergulha para leste (azul) mostra o seu mergulho verdadeiro na face frontal, uma face vertical cortada na direção do mergulho; na seção vertical cinza, cortada obliquamente, o seu traço (vermelho) desce mais suavemente, com o mergulho aparente ; numa seção ao longo da direção, norte–sul, ele seria horizontal. — Mergulho aparente (bloco esquemático). Um plano que mergulha para leste (azul) mostra o seu mergulho verdadeiro $\delta$ na face frontal, uma face vertical cortada na direção do mergulho; na seção vertical cinza, cortada obliquamente, o seu traço (vermelho) desce mais suavemente, com o mergulho aparente $\beta$ ; numa seção ao longo da direção, norte–sul, ele seria horizontal.

Proposição 5.5 (Ângulos em uma seção exagerada)

Em uma seção desenhada com exagero vertical $e$ , uma linha de mergulho aparente $\beta$ é desenhada no ângulo $\beta'$ , com $\tan\beta' = e\tan\beta$ .

Demonstração. Num trecho horizontal $s$ a linha desce $s\tan\beta$ ; desenhada com escala vertical $e$ vezes a escala horizontal, a descida aparece como $es\tan\beta$ no mesmo comprimento desenhado $s$ . ∎

Exemplo 5.6

O flanco leste do anticlinal de Varden mergulha $12.16{}^{\circ}$ para $080.7{}^{\circ}$ (Capítulo 4). Na seção leste–oeste C–D, $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$ , e $\tan\beta = \tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2154\times0.9868 = 0.2126$ : $\beta = 12.0{}^{\circ}$ . Desenhado com $e = 3$ , aparece em $\arctan(3\times0.2126) = 32.5{}^{\circ}$ . Na seção A–B de azimute $071.6{}^{\circ}$ , $\gamma = 9.1{}^{\circ}$ e $\beta = 12.0{}^{\circ}$ também: ambas as seções correm perto da direção do mergulho. A falha, que mergulha $60{}^{\circ}$ para $120{}^{\circ}$ , tem em C–D o mergulho aparente $\arctan(\tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}) = \arctan 1.5 = 56.3{}^{\circ}$ .

5.3 Espessura

Definição 5.7 (Espessura verdadeira, espessura vertical)

A espessura verdadeira $t$ de uma camada é a distância entre a sua base e o seu topo, medida perpendicularmente ao acamamento. Sua espessura vertical $h$ é a mesma distância medida na vertical, como a encontra um furo de sondagem vertical.

Proposição 5.8 (Espessura de uma camada inclinada)

Para uma camada de mergulho $\delta$ :

$t = h\cos\delta$ ;
sobre terreno horizontal, se o afloramento da camada tem a largura $w$ medida perpendicularmente à direção, $t = w\sin\delta$ ;
sobre um terreno inclinado de um ângulo $\sigma$ na direção perpendicular à direção, com $w$ medida ao longo do terreno, $t = w\sin(\delta + \sigma)$ se o terreno inclina no sentido oposto ao do mergulho, e $t = w\sin(\delta - \sigma)$ se ele inclina no mesmo sentido, menos acentuadamente que as camadas.

Demonstração. No plano vertical perpendicular à direção, a base e o topo da camada são duas retas paralelas inclinadas de $\delta$ , a uma distância $t$ uma da outra. (1) Um segmento vertical que as une faz com a normal comum o ângulo $\delta$ , logo $t = h\cos\delta$ . (2)–(3) Um segmento de comprimento $w$ que as une ao longo do terreno faz com o acamamento o ângulo $\delta$ quando o terreno é plano, $\delta + \sigma$ quando o terreno sobe na direção oposta ao mergulho (as duas inclinações se somam), e $\delta - \sigma$ quando desce no mesmo sentido; a distância entre as retas paralelas é o comprimento do segmento vezes o seno desse ângulo. ∎

Espessuras de uma camada inclinada no plano vertical perpendicular à direção: a espessura verdadeira t, perpendicular ao acamamento; a espessura vertical h = t/; a largura do afloramento w = t/ em terreno plano (esquemático, com = 25). — Espessuras de uma camada inclinada no plano vertical perpendicular à direção: a espessura verdadeira $t$ , perpendicular ao acamamento; a espessura vertical $h = t/\cos\delta$ ; a largura do afloramento $w = t/\sin\delta$ em terreno plano (esquemático, com $\delta = 25{}^{\circ}$ ).

Nas Colinas de Varden, uma sondagem que entra no calcário por cima atravessa-o em $180\,\mathrm{m}$ de testemunho: essa é a sua espessura vertical. Sua espessura verdadeira é $180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ . Uma unidade fina e uma unidade espessa podem mostrar o mesmo afloramento se os seus mergulhos diferirem, e uma camada íngreme pode mostrar um afloramento largo numa encosta que corre no mesmo sentido: a espessura nunca se lê diretamente em um mapa.

5.4 Sondagens e curvas estruturais

Definição 5.9 (Perfil de sondagem, correlação)

Um perfil de sondagem é o registro, em função da profundidade, das rochas encontradas por uma sondagem: as unidades, as profundidades de seus contatos e qualquer propriedade medida. A correlação é o pareamento das mesmas unidades e dos mesmos contatos de um perfil para outro.

Três sondagens perfuradas na linha C–D dão as seguintes profundidades, abaixo do terreno, da base de cada unidade (um traço indica que o contato está acima do terreno, erodido):

sondagem	$x$ (km)	terreno (m)	giz	folhelho	calcário	arenito
B1	1.5	524.02	388.98	488.98	668.98	788.98
B2	3.5	380.64	—	—	100.48	220.48
B3	5.5	529.98	394.93	494.93	674.93	794.93

B2 começa no calcário, sobre a crista do anticlinal; B1 e B3 começam no giz, sobre os seus flancos. Subtraindo as profundidades da altitude do terreno obtêm-se as altitudes dos contatos: a base do calcário está em $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ em B2 e em $529.98 - 674.93 = -144.95\,\mathrm{m}$ em B3, $425.11\,\mathrm{m}$ mais baixa em $2\,\mathrm{km}$ , uma inclinação de $0.2126$ : o mergulho aparente de $12.0{}^{\circ}$ encontrado acima. B1 e B3 dão as mesmas espessuras, $100\,\mathrm{m}$ de folhelho, $180\,\mathrm{m}$ de calcário e $120\,\mathrm{m}$ de arenito: as unidades têm a mesma espessura vertical nos dois flancos.

Os perfis das sondagens B1, B2 e B3 na linha C–D, suspensos em suas altitudes verdadeiras (sem escala horizontal real), e a sua correlação: a base do calcário (vermelho) e a do arenito (azul) sobem dos dois flancos até a crista do anticlinal em B2.

Onde há muitas sondagens, a forma de um contato enterrado é mapeada com curvas estruturais.

Definição 5.10 (Curva estrutural, mapa de curvas estruturais)

Uma curva estrutural de uma superfície geológica é uma linha que une pontos da superfície à mesma altitude. Um mapa de curvas estruturais desenha as curvas estruturais de uma superfície em um intervalo regular, esteja ela enterrada ou erodida.

Para um plano, as curvas estruturais são retas, paralelas à direção e igualmente espaçadas: um intervalo $\Delta z$ entre curvas corresponde ao espaçamento horizontal $\Delta z/\tan\delta$ . Onde uma superfície se dobra, suas curvas se encurvam em torno da dobra; onde uma falha a corta, elas param e recomeçam deslocadas, com uma lacuna ou uma sobreposição.

Método 5.11 (Desenho de um mapa de curvas estruturais)

Para cada sondagem, e para cada ponto em que a superfície aflora, calcule a altitude da superfície (altitude do terreno menos a profundidade; num afloramento, a própria altitude do terreno).
Onde a superfície está próxima de um plano, tome três pontos e encontre a sua atitude pelo método dos três pontos de Capítulo 4; trace as curvas paralelas à direção, espaçadas de $\Delta z/\tan\delta$ .
Onde não está, interpole linearmente entre pontos vizinhos (triângulos de pontos) e una as altitudes iguais.
Desenhe primeiro as falhas, e trace as curvas de cada bloco de falha separadamente.

Curvas estruturais da base do calcário das Colinas de Varden, a cada 100\, m (vermelho, com rótulo a cada 200\, m), sobre as curvas topográficas (cinza). Nos flancos elas correm quase norte–sul, paralelas à direção; em torno das charneiras das dobras caídas formam formas de V; na falha (traços no bloco abatido) param nas duas linhas de corte da superfície, que estão separadas pelo afastamento horizontal, e recomeçam deslocadas no teto. A seção C–D está tracejada. — Curvas estruturais da base do calcário das Colinas de Varden, a cada $100\,\mathrm{m}$ (vermelho, com rótulo a cada $200\,\mathrm{m}$ ), sobre as curvas topográficas (cinza). Nos flancos elas correm quase norte–sul, paralelas à direção; em torno das charneiras das dobras caídas formam formas de V; na falha (traços no bloco abatido) param nas duas linhas de corte da superfície, que estão separadas pelo afastamento horizontal, e recomeçam deslocadas no teto. A seção C–D está tracejada.

5.5 Da seção à história

Uma seção mostra não apenas onde estão as rochas, mas como elas chegaram ali. Os contatos entre as unidades registram uma deposição contínua, ou uma lacuna.

Definição 5.12 (Discordância, discordância angular, discordância paralela)

Uma discordância é uma superfície de erosão ou de não deposição que separa rochas mais novas de rochas mais antigas, e assim marca uma lacuna no registro. Em uma discordância angular as camadas mais antigas foram inclinadas ou dobradas antes de as mais novas serem depositadas sobre as suas bordas erodidas, de modo que os dois conjuntos de camadas se encontram em ângulo. Em uma discordância paralela as camadas acima e abaixo são paralelas, e a lacuna aparece apenas como uma superfície de erosão ou como fósseis ou idades ausentes.

Definição 5.13 (Rejeito, afastamento horizontal)

O rejeito de uma falha é a componente vertical do deslocamento de uma superfície-marcador através dela; seu afastamento horizontal é a componente horizontal, medida no sentido do mergulho da falha. Para uma falha de deslizamento no mergulho, com mergulho $\varphi$ , $\text{afastamento horizontal} = \text{rejeito}/\tan\varphi$ .

A falha normal das Colinas de Varden mergulha $60{}^{\circ}$ e tem rejeito de $200\,\mathrm{m}$ : seu afastamento horizontal é $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ . Na seção C–D, oblíqua ao sentido de mergulho da falha, a falha aparece a $56.3{}^{\circ}$ , e o mesmo rejeito de $200\,\mathrm{m}$ separa os dois cortes de um contato por $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$ ao longo da seção. Para restaurar a seção — para ver as rochas como eram antes de a falha se mover —, o bloco do teto é deslizado para cima pelo plano da falha, pelo valor do deslizamento; restaurar também o dobramento, desfazendo a curvatura das camadas, traria de volta a cobertura horizontal sobre o embasamento erodido. Lendo a seção de baixo para cima, segue-se a história das Colinas de Varden: o xisto, o granito que o intrude, a erosão, a discordância angular, a cobertura depositada na horizontal, o dobramento, o falhamento e a erosão que fez as colinas de hoje.

História — Hutton em Siccar Point

Em Siccar Point, na costa sudeste da Escócia, camadas quase verticais de arenito e lamito cinzentos, de idade siluriana inicial, são cortadas por uma superfície de erosão e cobertas por brecha, conglomerado e arenito vermelhos, de idade devoniana tardia, inclinados suavemente. James Hutton descreveu essa discordância angular em sua Teoria da Terra, lida na Sociedade Real de Edimburgo e publicada em suas Transactions em 1788, depois ampliada em um livro em 1795; um esboço de Sir James Hall registra o que Hutton viu. As camadas inferiores tinham sido depositadas horizontalmente no fundo do mar, levantadas em posição vertical, elevadas e desgastadas; só então as camadas superiores foram depositadas sobre elas, e o conjunto foi elevado de novo. Cada etapa exigia um intervalo de tempo muito mais longo do que alguém imaginara, e a leitura que Hutton fez desse afloramento é frequentemente citada como o momento em que a geologia descobriu a idade da Terra.

A discordância de Hutton em Siccar Point: camadas cinzentas, siluriana, quase verticais embaixo; camadas vermelhas devonianas inclinadas suavemente em cima. Fotografia PawełS, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons).

No campo — Geologia para um túnel

Antes de um túnel ser projetado, os geólogos de engenharia traçam seções ao longo da sua linha a partir do mapa geológico, de sondagens perfuradas em intervalos ao longo do traçado e de levantamentos geofísicos. Eles preveem cada unidade que o túnel vai cortar, as falhas que ele vai cruzar e onde a água pode entrar. Durante a perfuração, os geólogos da empreiteira registram a rocha exposta na frente a cada avanço, comparam-na com a previsão e atualizam a seção; sondagens de avanço perfuradas à frente da máquina testam o terreno antes que ela o alcance, sobretudo perto de uma falha prevista ou em calcário que pode conter cavidades. Uma zona de falha de rocha triturada é um perigo clássico, tanto mais quando a mesma rocha ocorre dos dois lados e nada na frente avisa dela.

5.6 Exercícios

Exercício 5.1 ★

Uma seção é desenhada a partir de um mapa na escala 1:25 000, com escala vertical de $1\,\mathrm{cm}$ para $100\,\mathrm{m}$ . Qual é o seu exagero vertical?

Solução

Solução de Exercício 5.1.

Na escala 1:25 000, $1\,\mathrm{cm}$ no mapa correspondem a $250\,\mathrm{m}$ no terreno. A escala vertical é de $1\,\mathrm{cm}$ para $100\,\mathrm{m}$ , logo a escala vertical é $250/100 = 2.5$ vezes a horizontal: $e = 2.5$ .

Exercício 5.2 ★

Uma camada mergulha $40{}^{\circ}$ para $090{}^{\circ}$ . Qual é o seu mergulho aparente em uma seção vertical de azimute $060{}^{\circ}$ ? E de azimute $000{}^{\circ}$ ?

Solução

Solução de Exercício 5.2.

$\gamma = 90{}^{\circ} - 60{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$ , e $\tan\beta = \tan40{}^{\circ} \cos30{}^{\circ} = 0.8391\times0.8660 = 0.7267$ : $\beta = 36.0{}^{\circ}$ , a camada descendo em direção à extremidade leste da seção. Na seção de azimute $000{}^{\circ}$ , $\gamma = 90{}^{\circ}$ e $\beta = 0$ : a seção corre ao longo da direção e a camada aparece horizontal.

Exercício 5.3 ★

Um furo de sondagem vertical atravessa $120\,\mathrm{m}$ de arenito cujas camadas mergulham $12.16{}^{\circ}$ . Qual é a espessura verdadeira do arenito?

Solução

Solução de Exercício 5.3.

$t = h\cos\delta = 120\times\cos12.16{}^{\circ} = 120\times0.9776 = 117.3\,\mathrm{m}$ .

Exercício 5.4 ★

Um contato que mergulha $12{}^{\circ}$ no plano de uma seção é desenhado com exageros verticais de 2, 3 e 5. Em que ângulos ele aparece?

Solução

Solução de Exercício 5.4.

$\tan12{}^{\circ} = 0.2126$ . Com $e = 2$ : $\arctan 0.4251 = 23.0{}^{\circ}$ ; com $e = 3$ : $\arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$ ; com $e = 5$ : $\arctan 1.0628 = 46.7{}^{\circ}$ . O ângulo cresce bem menos que o próprio $e$ , e nunca chega a $90{}^{\circ}$ .

Exercício 5.5 ★★

Uma camada mergulha $25{}^{\circ}$ . Seu afloramento tem $300\,\mathrm{m}$ de largura, medida perpendicularmente à direção. Calcule a sua espessura verdadeira (a) em terreno plano; (b) em terreno inclinado de $10{}^{\circ}$ no sentido oposto ao do mergulho, sendo a largura medida ao longo do terreno; (c) em terreno inclinado de $10{}^{\circ}$ no mesmo sentido do mergulho.

Solução

Solução de Exercício 5.5.

(a) $t = 300\sin25{}^{\circ} = 126.8\,\mathrm{m}$ . (b) $t = 300\sin35{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$ . (c) $t = 300\sin15{}^{\circ} = 77.6\,\mathrm{m}$ . A mesma largura de afloramento pode significar espessuras que diferem em mais de duas vezes: a inclinação do terreno deve sempre ser levada em conta.

Exercício 5.6 ★★

Uma camada mostra um mergulho aparente de $20{}^{\circ}$ para o norte em uma seção norte–sul, e de $30{}^{\circ}$ para leste em uma seção leste–oeste. Encontre o seu sentido de mergulho e o seu mergulho verdadeiro.

Solução

Solução de Exercício 5.6.

Com sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$ , o teorema dá, na seção norte–sul ( $\theta = 0$ ), $\tan20{}^{\circ} = \tan\delta\cos\alpha$ , e na seção leste–oeste ( $\theta = 90{}^{\circ}$ ) $\tan30{}^{\circ} = \tan\delta\cos(\alpha - 90{}^{\circ}) = \tan\delta\sin\alpha$ . Dividindo, $\tan\alpha = 0.5774/0.3640 = 1.586$ , $\alpha = 057.8{}^{\circ}$ ; somando os quadrados, $\tan\delta = \sqrt{0.3640^2 + 0.5774^2} = 0.6825$ , $\delta = 34.3{}^{\circ}$ . Os dois mergulhos aparentes são menores que o mergulho verdadeiro, como devem ser.

Exercício 5.7 ★★

A base do calcário no flanco leste mergulha $12.16{}^{\circ}$ . Qual é o espaçamento horizontal das suas curvas estruturais traçadas a cada $100\,\mathrm{m}$ ? Confira no mapa de curvas estruturais.

Solução

Solução de Exercício 5.7.

$100/\tan12.16{}^{\circ} = 100/0.2155 = 464.1\,\mathrm{m}$ . No mapa, as curvas estruturais do flanco leste estão de fato um pouco menos de meio quilômetro afastadas, igualmente espaçadas e paralelas: o flanco é um plano.

Exercício 5.8 ★★

A partir da tabela das sondagens, calcule a altitude da base do folhelho em B1 e em B3. Sobre B2 o folhelho foi erodido: a partir da espessura vertical do calcário, encontre a altitude que a sua base teria ali, e o mergulho aparente desse contato entre B1 e B2 na seção C–D. O que a comparação entre B1 e B3 diz sobre a dobra?

Solução

Solução de Exercício 5.8.

B1: $524.02 - 488.98 = 35.04\,\mathrm{m}$ ; B3: $529.98 - 494.93 = 35.05\,\mathrm{m}$ . Acima de B2, a base do folhelho é o topo do calcário, $180\,\mathrm{m}$ acima da sua base: $280.16 + 180 = 460.16\,\mathrm{m}$ , mais alto que o terreno ( $380.64\,\mathrm{m}$ ), por isso ele foi erodido ali. Entre B1 e B2 o contato sobe $460.16 - 35.04 = 425.12\,\mathrm{m}$ em $2000\,\mathrm{m}$ : uma inclinação de $0.2126$ , um mergulho aparente de $12.0{}^{\circ}$ . B1 e B3, à mesma distância de cada lado de B2, encontram todos os contatos na mesma altitude com uma precisão de $1\,\mathrm{cm}$ : a dobra é simétrica em torno de um plano axial vertical em $x = 3.5\,\mathrm{km}$ , com os dois flancos mergulhando igualmente, e nenhuma falha corta a seção entre eles.

Exercício 5.9 ★★

Uma falha normal que mergulha $50{}^{\circ}$ para $180{}^{\circ}$ tem um rejeito de $150\,\mathrm{m}$ . Calcule o seu afastamento horizontal. Em uma seção vertical de azimute $150{}^{\circ}$ , quais são o mergulho aparente da falha e a separação dos dois cortes de uma camada horizontal ao longo da seção?

Solução

Solução de Exercício 5.9.

Afastamento horizontal $= 150/\tan50{}^{\circ} = 150/1.1918 = 125.9\,\mathrm{m}$ . Na seção de azimute $150{}^{\circ}$ , $\gamma = 30{}^{\circ}$ e $\tan\beta = 1.1918\times0.8660 = 1.0321$ : a falha aparece com o mergulho aparente $45.9{}^{\circ}$ . Os cortes de uma camada horizontal estão separados por $150\,\mathrm{m}$ na vertical sobre esse traço, logo $150/1.0321 = 145.3\,\mathrm{m}$ de separação ao longo da seção, mais que o afastamento horizontal, já que a seção cruza a falha obliquamente.

Exercício 5.10 ★★★

Para uma camada que mergulha $40{}^{\circ}$ , em quais direções de seção o mergulho aparente é a metade do mergulho verdadeiro, isto é, $20{}^{\circ}$ ? Mostre que o mergulho aparente varia pouco perto da direção do mergulho e depressa perto da direção da linha de direção.

Solução

Solução de Exercício 5.10.

$\cos\gamma = \tan20{}^{\circ}/\tan40{}^{\circ} = 0.3640/0.8391 = 0.4338$ , logo $\gamma = 64.3{}^{\circ}$ : as seções de azimutes $\alpha \pm 64.3{}^{\circ}$ (e as direções opostas, onde a camada sobe). O mergulho aparente é $40.0{}^{\circ}$ , $39.6{}^{\circ}$ , $38.3{}^{\circ}$ e $36.0{}^{\circ}$ para $\gamma = 0$ , $10{}^{\circ}$ , $20{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ , mas $22.8{}^{\circ}$ , $16.0{}^{\circ}$ , $8.3{}^{\circ}$ e $0$ para $\gamma = 60{}^{\circ}$ , $70{}^{\circ}$ , $80{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ . De fato, derivando $\tan\beta = \tan\delta\cos\gamma$ , $\dfrac{\mathrm d\beta}{\mathrm d\gamma} = -\dfrac{\tan\delta\sin\gamma}{1 + \tan^2\delta\cos^2\gamma}$ , que é nula em $\gamma = 0$ e vale $-\tan\delta$ em $\gamma = 90{}^{\circ}$ : uma seção um pouco afastada da direção do mergulho mostra quase o mergulho verdadeiro, enquanto perto da direção, cada grau de azimute muda o mergulho aparente em quase um grau.

Exercício 5.11 ★★★

Um furo de sondagem atravessa o calcário do flanco leste (espessura verdadeira $176.0\,\mathrm{m}$ , mergulho $12.16{}^{\circ}$ para $080.7{}^{\circ}$ ). Que comprimento de testemunho ele recupera (a) se for vertical; (b) se for inclinado de $60{}^{\circ}$ abaixo da horizontal para $260.7{}^{\circ}$ ; (c) inclinado de $60{}^{\circ}$ para $080.7{}^{\circ}$ ? (Sugestão: o comprimento é $t/\cos\psi$ , em que $\psi$ é o ângulo entre o furo e a normal ao acamamento.)

Solução

Solução de Exercício 5.11.

As camadas mergulham para leste, logo a normal ao acamamento, seguida para baixo, está inclinada $12.16{}^{\circ}$ da vertical para oeste, em direção a $260.7{}^{\circ}$ . (a) Um furo vertical faz com ela o ângulo $\psi = 12.16{}^{\circ}$ : $176.0/\cos12.16{}^{\circ} = 180.0\,\mathrm{m}$ , a espessura vertical. (b) Um furo que cai $60{}^{\circ}$ em direção a $260.7{}^{\circ}$ está inclinado $30{}^{\circ}$ da vertical do mesmo lado da normal: $\psi = 30{}^{\circ} - 12.16{}^{\circ} = 17.84{}^{\circ}$ , $\cos\psi = 0.9519$ , e o testemunho tem $176.0/0.9519 = 184.9\,\mathrm{m}$ de comprimento. (c) Em direção a $080.7{}^{\circ}$ ele está inclinado do outro lado: $\psi = 30{}^{\circ} + 12.16{}^{\circ} = 42.16{}^{\circ}$ , $\cos\psi = 0.7413$ , e o testemunho tem $176.0/0.7413 = 237.4\,\mathrm{m}$ de comprimento. O testemunho é o mais curto, igual a $t$ , quando o furo corre ao longo da normal, caindo $77.84{}^{\circ}$ em direção a $260.7{}^{\circ}$ .

Exercício 5.12 ★★★

Em uma discordância angular, as camadas inferiores mergulham $70{}^{\circ}$ para $090{}^{\circ}$ e as superiores mergulham $20{}^{\circ}$ para $270{}^{\circ}$ , com a mesma direção. Gire todo o afloramento em torno da direção para trazer as camadas superiores de volta à horizontal: qual era o mergulho das camadas inferiores quando as superiores foram depositadas? Escreva a história do afloramento em ordem.

Solução

Solução de Exercício 5.12.

No plano vertical leste–oeste, medindo os ângulos a partir do leste, as camadas superiores sobem para leste com $20{}^{\circ}$ e as inferiores descem para leste com $70{}^{\circ}$ . Girando o afloramento em torno da direção de $20{}^{\circ}$ , com o lado leste para baixo, as camadas superiores ficam horizontais e as inferiores passam a $70{}^{\circ} + 20{}^{\circ} = 90{}^{\circ}$ : estavam verticais quando as camadas superiores foram depositadas. História, a partir do evento mais antigo: as camadas inferiores são depositadas na horizontal; são inclinadas até a vertical e soerguidas; suas bordas são erodidas até formar uma superfície; as camadas superiores são depositadas sobre essa superfície; o conjunto é inclinado $20{}^{\circ}$ para oeste; a erosão corta a superfície do terreno de hoje. É a história do afloramento de Hutton em Siccar Point.

5.7 Problema: um túnel sob as Colinas de Varden

Problema 5.1

Problema de fim de semana — quais rochas um túnel vai cortar, onde ele encontrará a falha e quanto calcário ele vai perfurar

O túnel corre exatamente para leste ao longo da linha C–D ( $y = 6\,\mathrm{km}$ ), em altitude constante de $200\,\mathrm{m}$ , de $x = 1\,\mathrm{km}$ até $x = 9\,\mathrm{km}$ . A altitude do terreno ao longo de C–D, a cada quilômetro a partir de $x = 0$ , é:

$x$ (km)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$z$ (m)	509	556	467	370	435	534	501	455	406	339	405

Use a tabela de sondagens do capítulo, a seção C–D desenhada com $e = 3$ , a atitude do flanco leste (mergulho $12.16{}^{\circ}$ para $080.7{}^{\circ}$ ; o flanco oeste é a sua imagem especular, mergulhando para $279.3{}^{\circ}$ ), e a falha normal, que mergulha $60{}^{\circ}$ para $120{}^{\circ}$ , tem rejeito de $200\,\mathrm{m}$ e passa pelo ponto $x = 4.30\,\mathrm{km}$ , $y = 1.00\,\mathrm{km}$ , $z = 250\,\mathrm{m}$ .

Parte I — O perfil e as unidades.

Quais são as maiores e as menores espessuras de rocha acima do túnel nos pontos quilométricos entre $x = 1$ e $x = 9$ ?
Na seção impressa, $1\,\mathrm{km}$ de distância horizontal mede $1.4\,\mathrm{cm}$ e $1\,\mathrm{km}$ de altitude mede $4.2\,\mathrm{cm}$ . Confira que $e = 3$ .
A partir do perfil de B2, encontre a altitude da base do arenito na crista do anticlinal.
Em qual unidade está o túnel em $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ?
Calcule a altitude da base do calcário em B1 e em B3.
A partir da seção, liste em ordem as unidades que o túnel atravessa de $x = 1$ até $x = 9\,\mathrm{km}$ .

Parte II — Mergulhos na seção.

Calcule o mergulho aparente do flanco leste em C–D a partir da sua atitude.
Confira-o a partir das altitudes da base do calcário em B2 e B3.
Em que ângulo o flanco leste é desenhado na seção com $e = 3$ ?
Calcule o mergulho aparente da falha em C–D.
Por que o mergulho aparente dos flancos em C–D fica tão próximo do seu mergulho verdadeiro, e o da falha, menos?

Parte III — A falha.

Mostre que, no plano $y = 6\,\mathrm{km}$ , a falha está em

$x = 4300 + \frac{2500 - (z - 250)\tan30{}^{\circ}}{\sin120{}^{\circ}} \quad\text{(metros)}.$
Onde o túnel encontra a falha?
Calcule o afastamento horizontal da falha e a separação dos dois cortes de um contato ao longo de C–D.
Qual bloco está abatido, e qual unidade está no nível do túnel de cada lado da falha?
Por que a falha é um perigo que a equipe de perfuração não poderia ver chegando a partir da rocha na frente? Como os engenheiros se protegem contra ela?

Parte IV — O calcário.

Qual é a espessura vertical do calcário em B1?
Qual é a sua espessura verdadeira?
Mostre que, a oeste da falha em C–D, a base do arenito está em

$z_b = 160.16 - |x - 3500|\tan12.0{}^{\circ} \quad\text{(metros)}.$
O túnel está no calcário quando a sua base fica abaixo de $200\,\mathrm{m}$ e o seu topo, acima. Mostre que isso acontece para $377.1 < |x - 3500| < 1224.0$ .
Dê os quatro pontos em que o túnel entra e sai do calcário.
Mostre que o comprimento perfurado em cada flanco é $h/\tan\beta$ , em que $h$ é a espessura vertical e $\beta$ o mergulho aparente, e calcule-o.
Qual é o comprimento total de calcário que o túnel perfura?

Solução

Solução de Problema 5.1.

1. A espessura acima do túnel é $z - 200$ : a maior em $x = 1\,\mathrm{km}$ , $556 - 200 = 356\,\mathrm{m}$ ; a menor em $x = 9\,\mathrm{km}$ , $339 - 200 = 139\,\mathrm{m}$ .

2. $1\,\mathrm{km}$ de altitude mede $4.2\,\mathrm{cm}$ e $1\,\mathrm{km}$ de distância mede $1.4\,\mathrm{cm}$ : $e = 4.2/1.4 = 3$ .

3. $380.64 - 220.48 = 160.16\,\mathrm{m}$ .

4. Em B2 a base do calcário está em $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ e a base do arenito em $160.16\,\mathrm{m}$ : o túnel, a $200\,\mathrm{m}$ , está no arenito.

5. B1: $524.02 - 668.98 = -144.96\,\mathrm{m}$ ; B3: $529.98 - 674.93 = -144.95\,\mathrm{m}$ .

6. De oeste para leste: giz, folhelho, calcário, arenito (no núcleo do anticlinal), calcário, folhelho e de novo giz até $x = 9\,\mathrm{km}$ , passando pelo sinclinal e atravessando a falha.

7. $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$ ; $\tan\beta = \tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2155\times0.9869 = 0.2126$ : $\beta = 12.0{}^{\circ}$ , descendo para leste.

8. $(280.16 + 144.95)/2000 = 425.11/2000 = 0.2126$ : $12.0{}^{\circ}$ .

9. $\arctan(3\times0.2126) = \arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$ .

10. $\gamma = 120{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$ ; $\tan\beta = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.732\times0.866 = 1.500$ : $\beta = 56.3{}^{\circ}$ .

11. Os flancos mergulham para $080.7{}^{\circ}$ ou $279.3{}^{\circ}$ , apenas $9.3{}^{\circ}$ da linha da seção, e $\cos9.3{}^{\circ} = 0.987$ ; a falha mergulha para $120{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ dela, e $\cos30{}^{\circ} = 0.866$ .

12. O plano da falha é $z = 250 - \tan60{}^{\circ}\,[(x - 4300) \sin120{}^{\circ} + (y - 1000)\cos120{}^{\circ}]$ . Com $y = 6000$ , $(y - 1000) \cos120{}^{\circ} = -2500$ , logo $(x - 4300)\sin120{}^{\circ} = 2500 - (z - 250)/ \tan60{}^{\circ}$ , e $1/\tan60{}^{\circ} = \tan30{}^{\circ}$ .

13. Em $z = 200$ : $x = 4300 + (2500 + 50\times0.5774)/0.8660 = 4300 + 2528.9/0.8660 = 7220\,\mathrm{m}$ , isto é, $7.22\,\mathrm{km}$ de C.

14. Afastamento horizontal $= 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ ; separação ao longo de C–D $= 200/1.500 = 133.3\,\mathrm{m}$ .

15. A falha mergulha para leste-sudeste e é normal: o teto, a leste, está abatido. No nível do túnel o giz está dos dois lados da falha: a oeste dela, o giz do sinclinal; a leste, giz rebaixado em $200\,\mathrm{m}$ .

16. O túnel permanece no giz através da falha, de modo que nenhuma mudança de rocha na frente a anuncia; apenas uma zona de rocha triturada, e talvez água, o faz. Os engenheiros preveem a sua posição a partir da seção (aqui $7.22\,\mathrm{km}$ ), perfuram sondagens de avanço à frente da máquina conforme ela se aproxima e preparam o suporte para a zona triturada.

17. $668.98 - 488.98 = 180.00\,\mathrm{m}$ .

18. $t = 180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ .

19. Na crista ( $x = 3500$ ) a base do arenito está em $160.16\,\mathrm{m}$ (questão 3); ela desce dos dois flancos com o mergulho aparente $12.0{}^{\circ}$ da questão 7, isto é, de $\tan12.0{}^{\circ}$ por metro de distância horizontal a partir do eixo.

20. A base do calcário está $120\,\mathrm{m}$ acima da base do arenito, em $280.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ com $u = |x - 3500|$ , e o seu topo, $180\,\mathrm{m}$ mais alto, em $460.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ . Com $\tan12.0{}^{\circ} = 0.21256$ : a base está abaixo de $200\,\mathrm{m}$ quando $u > 80.16/0.21256 = 377.1$ , e o topo acima dela quando $u < 260.16/0.21256 = 1224.0$ .

21. $x = 3500 \pm 377.1$ e $3500 \pm 1224.0$ : o túnel está no calcário de $2276\,\mathrm{m}$ a $3123\,\mathrm{m}$ e de $3877\,\mathrm{m}$ a $4724\,\mathrm{m}$ .

22. Ao longo de uma linha horizontal, a base e o topo do calcário, $180\,\mathrm{m}$ afastados na vertical e ambos inclinados de $\tan\beta$ , são cruzados a uma distância horizontal de $h/\tan\beta$ : $180/0.21256 = 846.8\,\mathrm{m}$ em cada flanco, o mesmo, a menos do arredondamento, que $1224.0 - 377.1 = 846.9$ .

23. $2\times846.8 = 1693.7\,\mathrm{m}$ : o túnel perfura cerca de $1694\,\mathrm{m}$ de calcário, mais de um quinto de seus $8\,\mathrm{km}$ de comprimento, em dois trechos de $847\,\mathrm{m}$ de cada lado do núcleo de arenito do anticlinal.

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