14Margens ativas

Em 11 de março de 2011, às 14h46 pela hora local, a fronteira de placas ao largo do nordeste do Japão rompeu-se ao longo de cerca de $400\,\mathrm{km}$ da fossa e $150\,\mathrm{km}$ em seu mergulho. A falha deslizou até 50 a $60\,\mathrm{m}$, a maior parte no sentido ascendente do plano, em direção à fossa do Japão; em terra, a costa se deslocou horizontalmente e afundou. A placa que ali mergulha, a placa do Pacífico, desce sob o Japão ao longo de um plano que os terremotos delineiam até centenas de quilômetros de profundidade; e, onde esse plano está a cerca de cem quilômetros de profundidade, uma linha de vulcões corre paralela à costa. Este capítulo lê uma margem como essa a partir de sua forma, de sua gravidade, de seu fluxo de calor e, sobretudo, de seus terremotos.

O que você já sabe

A litosfera oceânica afunda de volta no manto nas zonas de subducção, marcadas por fossas e por zonas inclinadas de terremotos, e a litosfera velha afunda sob o próprio peso (Livro 2, 11º ano); a água da placa que afunda reduz a temperatura de fusão do manto acima dela (Livro 2, 12º ano). O calor se difunde por uma distância $L$ em um tempo da ordem de $L^2/\kappa$ (Capítulo 10); uma laje infinita de densidade $\rho$ e espessura $h$ atrai com $2\pi G\rho h$ (Capítulo 11); as placas giram em torno de polos de Euler (Capítulo 12); o fluxo de calor do fundo oceânico cai com o inverso da raiz quadrada de sua idade (Capítulo 13).

14.1 A anatomia de uma margem ativa

Definição 14.1 (Margem ativa, fossa oceânica, antearco, bacia de retroarco)

Uma margem ativa é um limite convergente de placas no qual a litosfera oceânica afunda sob outra placa, seja sob um continente, seja sob outra placa oceânica. Uma fossa oceânica é a depressão longa, estreita e em forma de V do fundo do mar ao longo da qual a placa que afunda se curva para baixo sob a outra. O antearco é a parte da placa cavalgante entre a fossa e a linha de vulcões. Uma bacia de retroarco é uma bacia atrás dos vulcões, do lado oposto à fossa, onde a placa cavalgante é estirada e pode se formar crosta oceânica nova.

As fossas são os lugares mais profundos dos oceanos, e o mais profundo de todos é o Challenger Deep, na fossa das Marianas. Ao longo da fossa das Curilas, o fundo desce de cerca de $5200\,\mathrm{m}$ na planície abissal para $8700\,\mathrm{m}$ no eixo, cerca de $3.5\,\mathrm{km}$ mais baixo, e a fossa tem apenas dezenas de quilômetros de largura (figura em Seção 14.2). As margens convergentes da Terra medem cerca de $55\,000\,\mathrm{km}$ ao todo; em um modelo digital dos limites de placas, as margens de subducção somam cerca de $51\,000\,\mathrm{km}$, contra cerca de $67\,000\,\mathrm{km}$ de dorsais de espalhamento.

Do lado de fora da fossa, a placa se eleva um pouco antes de mergulhar, em uma elevação externa ampla e baixa. Ali a placa está curvada, e sua parte superior está estirada: terremotos de falhas normais ocorrem nas elevações externas. A largura da elevação externa coincide com a flexão de uma placa elástica; essa flexão da litosfera é estudada no Livro 5. A própria fossa é o lugar onde o peso da placa densa que afunda puxa sua borda dianteira para baixo.

Definição 14.2 (Laje em subducção)

A laje em subducção é a parte da placa que afunda e que já desceu para o manto: uma lâmina de litosfera oceânica, com a crosta por cima, inclinada sob a placa cavalgante desde a fossa até profundidades de várias centenas de quilômetros.

A placa cavalgante é cortada em faixas paralelas à fossa (figura abaixo): o antearco, frequentemente com uma pilha de sedimentos raspados em sua frente e uma bacia sedimentar atrás; o arco vulcânico; e, atrás de alguns arcos, uma bacia de retroarco e, além dela, um arco antigo extinto. Entre a laje e a placa cavalgante fica uma cunha de manto, arrastada para baixo ao longo do topo da laje.

Pelo mesmo modelo digital, cerca de $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ de fundo oceânico descem pelas fronteiras de subducção a cada ano, valor próximo dos $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ produzidos nas dorsais (Capítulo 13): dentro da precisão de um modelo assim, que deixa de fora a deformação lenta das zonas largas de fronteira de placas, o fundo oceânico é destruído tão depressa quanto é produzido, e a superfície da Terra mantém seu tamanho.

14.2 Gravidade e fluxo de calor

Felix Vening Meinesz encontrou as faixas longas e estreitas de anomalias negativas de gravidade ao longo das fossas (Capítulo 11). Hoje os satélites as mapeiam em toda parte sobre o mar. Atravessando a fossa das Curilas (figura abaixo), a anomalia ar livre sobe a cerca de $40\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sobre a elevação externa, cai para $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sobre a fossa e volta a ser fortemente positiva sobre o antearco e as ilhas do arco.

O tamanho da anomalia da fossa diz como a fossa se sustenta. Suponhamos que a fossa, $3.5\,\mathrm{km}$ mais funda que o fundo ao redor, não fosse compensada de modo algum: onde está a fossa, $3.5\,\mathrm{km}$ de rocha de densidade cerca de $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ são substituídos por água do mar. Pela laje de Bouguer (Proposição 11.9), a gravidade ali seria menor em

Esse é o tamanho do mínimo observado. Uma fossa, portanto, não está em equilíbrio isostático: é uma depressão mantida para baixo, pela resistência da placa curvada e pela tração da laje, contra a flutuabilidade do manto abaixo. (Uma fossa com apenas dezenas de quilômetros de largura atrai menos que uma laje infinita, de modo que a água que ela contém, sozinha, dá um pouco menos que isso; o restante do déficit está mais fundo, onde toda a placa curvada, com sua crosta leve, é empurrada para dentro do manto: exercício 14.1.)

O fluxo de calor conta a mesma história pelo outro lado. O fundo oceânico velho que chega a uma fossa perde pouco calor: cerca de $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ pela lei de Capítulo 13, para a placa de Curilas, com $122\,\mathrm{Myr}$. Sobre o antearco o fluxo é ainda menor: a laje fria sob ele absorve calor de cima, e o manto sob o antearco é frio e estagnado. Sobre o arco e o retroarco ele é alto, de 70 a $85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ em média, o dobro do fluxo dos interiores antigos dos continentes (cerca de $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$). Um arco vulcânico ativo precisa de uma cunha de manto a cerca de $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a uns $100\,\mathrm{km}$ de profundidade; atrás dele, todo o retroarco é quente, com uma litosfera de apenas 50 a $60\,\mathrm{km}$ de espessura e seu Moho a 800 a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Por que a laje permanece fria? Ela afunda mais depressa do que consegue aquecer. A laje das Curilas de Seção 14.3 entra na fossa a cerca de $82\,\mathrm{mm}$ por ano e mergulha a $45{}^{\circ}$: atinge $600\,\mathrm{km}$ após um percurso de $600/\sin45{}^{\circ} \approx 850\,\mathrm{km}$, em cerca de dez milhões de anos. Pela escala de tempo condutiva (Proposição 10.12), o calor do manto leva para atravessar os $50\,\mathrm{km}$ até o meio de uma laje de $100\,\mathrm{km}$ de espessura em

A parte central da laje chega a $600\,\mathrm{km}$ quase tão fria quanto estava na fossa, e as isotermas são arrastadas com ela, como mostra a seção de uma zona de subducção acima.

14.3 Terremotos e a forma da laje

Definição 14.3 (Zona de Wadati–Benioff)

Uma zona de Wadati–Benioff é a zona inclinada de terremotos que começa perto de uma fossa e se aprofunda sob a placa cavalgante, até cerca de $700\,\mathrm{km}$: ela delineia a laje em subducção.

Seus terremotos são de dois tipos. Até algumas dezenas de quilômetros de profundidade, eles ocorrem na própria fronteira de placas, na falha de mergulho suave ao longo da qual as duas placas deslizam uma em relação à outra; os maiores terremotos da Terra, como o de 2011 ao largo do Japão, rompem essa falha. Mais fundo, ocorrem dentro da laje, que sozinha ainda está fria o bastante para armazenar tensão. Nas maiores profundidades, mesmo a laje deve fluir em vez de romper, e como começam os terremotos profundos ainda é debatido. O terremoto mais profundo do catálogo, de magnitude 4.2, ocorreu sob a região de Vanuatu em 2004, a $735.8\,\mathrm{km}$. Em toda zona de subducção examinada, a zona é dupla em profundidades intermediárias: duas camadas de terremotos, mais afastadas uma da outra nas placas mais velhas.

As ilhas Curilas, entre Hokkaido e Kamchatka, estão sobre uma laje que os terremotos delineiam desde a fossa até mais de $600\,\mathrm{km}$. Ali a placa do Pacífico, com cerca de 120 milhões de anos onde chega à fossa, afunda sob a placa de Okhotsk (mapa abaixo). Os terremotos de magnitude 5 ou mais desde 1976 desenham a laje em planta: rasos ao longo da fossa, intermediários sob as ilhas, profundos sob o mar de Okhotsk. Em 24 de maio de 2013, um terremoto de magnitude 8.3 ocorreu a $598\,\mathrm{km}$ sob o mar de Okhotsk, na mesma laje mais ao norte; ele foi sentido até Moscou, a cerca de $6400\,\mathrm{km}$ de distância.

Para ver a laje em corte, mantenha os terremotos a menos de $150\,\mathrm{km}$ de uma linha que parte da fossa e corre perpendicularmente a ela, em direção à placa cavalgante, e marque cada um à sua distância $x$ ao longo da linha e à sua profundidade $z$ (figura abaixo). Os pontos formam uma faixa; a reta que melhor a acompanha é encontrada pelo método dos mínimos quadrados.

Método 14.4 (Ajuste da laje por mínimos quadrados)

Dados $n$ terremotos em $(x_i, z_i)$ dentro da laje:

1. calcule as médias $\bar x = \frac1n\sum x_i$ e $\bar z = \frac1n\sum z_i$;
2. calcule $S_{xx} = \sum (x_i - \bar x)^2 = \sum x_i^2 - n\bar x^2$ e $S_{xz} = \sum (x_i - \bar x)(z_i - \bar z) = \sum x_i z_i - n\bar x\bar z$;
3. a reta da laje é $z = a + s x$, com $s = S_{xz}/S_{xx}$ e $a = \bar z - s\bar x$; seu mergulho é $\delta = \arctan s$.

A reta minimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais $F(a, s) = \sum_i (z_i - a - s x_i)^2$, uma função quadrática de $a$ e $s$ que é mínima onde as duas derivadas parciais se anulam. $\partial F/\partial a = -2\sum (z_i - a - s x_i) = 0$ dá $\bar z = a + s\bar x$: a reta passa pelo centro dos pontos. Substituindo $a = \bar z - s\bar x$, $\partial F/\partial s = -2\sum x_i\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$; como $\sum \bar x\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, isso é $\sum (x_i - \bar x)[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, ou seja $S_{xz} = s S_{xx}$.

Sob as ilhas Curilas centrais, a faixa tem 599 terremotos, 121 deles mais fundos que $70\,\mathrm{km}$, dentro da laje. Os mais rasos têm pouca utilidade para o ajuste: misturam a fronteira de placas e a placa em curvatura, e 147 dos 478 estão registrados na mesma profundidade redonda de $33\,\mathrm{km}$. Os 121 mais profundos dão

um mergulho de $44.9{}^{\circ}$, cerca de $45{}^{\circ}$, até o terremoto mais profundo da faixa, a $632\,\mathrm{km}$. A reta não passa pela fossa: ela atinge a superfície $53\,\mathrm{km}$ para o lado do continente em relação à fossa. A laje não é reta: ela deixa a fossa com um mergulho mais suave e se torna mais íngreme sob o antearco, como mostram os terremotos rasos acima da reta.

Uma laje fria é mais densa que o manto ao redor, e seu peso puxa a placa atrás dela: esta é a tração da laje vista no Livro 2, 11º ano. Seu tamanho decorre da profundidade do fundo oceânico.

Proposição 14.5 (O peso em excesso de uma laje)

Sob as hipóteses da lei profundidade–idade (Teorema 13.7), uma placa de idade $A$ carrega, por unidade de área, o excesso de massa

$$m = (\rho_m - \rho_w)\bigl(d(A) - d_r\bigr) = \frac{2}{\sqrt\pi}\,\rho_m\,\alpha\,(T_m - T_0)\sqrt{\kappa A}$$

sobre o manto a $T_m$. Uma laje dessa placa, de comprimento $L$ ao longo de seu mergulho $\delta$ e ainda não aquecida, tem o peso em excesso $F = g\,m\,L$ por unidade de comprimento de fossa, do qual $F\sin\delta$ atua ao longo da laje.

O fundo oceânico assim pesa o seu próprio excesso de massa: cada metro que ele afundou abaixo da dorsal corresponde a $2300\,\mathrm{kg}$ de excesso por metro quadrado. Para a placa de Curilas, com $122\,\mathrm{Myr}$, a lei do semiespaço ($C = 393$), que para um fundo tão velho superestima um pouco o afundamento (Capítulo 13), dá $d - d_r = 393\sqrt{122} = 4340\,\mathrm{m}$ e $m = 2300\times4340 \approx 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, dez mil toneladas em cada metro quadrado. Até o terremoto mais profundo, a $632\,\mathrm{km}$, a laje tem $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$ de comprimento, logo

dos quais $6.2 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ ao longo da laje. Esta é uma cota superior: a laje aquece em suas faces, e grande parte de seu peso é sustentada pelo manto viscoso que ela empurra para o lado, em vez de ser transmitido à placa na superfície. Mesmo assim, desde as análises das forças motoras de todas as placas, feitas nos anos 1970, acredita-se que a densidade em excesso da litosfera que afunda forneça a maior parte da energia que move as placas.

14.4 Margens acrescionárias e erosivas

A placa que afunda leva seus sedimentos até a fossa. Alguns são raspados e ficam; outros descem com a laje, e a laje pode até levar consigo rocha da placa cavalgante.

Definição 14.6 (Prisma de acreção, erosão tectônica)

Um prisma de acreção é uma cunha de sedimentos, com fatias de crosta oceânica, raspada da placa que afunda e acrescentada à frente da placa cavalgante em uma fossa. A erosão tectônica é a remoção de rocha da placa cavalgante pela placa que afunda, que a leva para baixo: a partir da frente da placa cavalgante, ou da base de sua crosta.

Um prisma cresce de duas maneiras. Na sua frente, os sedimentos são empurrados da placa que afunda e empilhados em fatias que mergulham afastando-se da fossa; as fatias mais jovens são as mais externas, e as mais antigas, mais atrás, são erguidas e tornadas mais íngremes. Na sua base, sedimentos levados para baixo ao longo da fronteira de placas ficam colados sob ele, um crescimento chamado subplaqueamento. As rochas do complexo Franciscano, na Califórnia, são um prisma antigo cujas partes subplaqueadas são hoje misturas caóticas de blocos em uma matriz cisalhada, as mélanges. Um prisma, como um monte de areia empurrado por um trator de lâmina, mantém uma inclinação constante: depois que o ângulo entre sua superfície e sua base atinge um valor crítico, ele cresce apenas como uma cópia maior de si mesmo (exercício 14.11).

Se uma margem constrói um prisma ou perde rocha depende do sedimento que chega à fossa e da velocidade de convergência. Margens acrescionárias, como Cascádia, as Aleutas e o sul da fossa Peru–Chile, recebem muito. Margens erosivas, como o norte da fossa Peru–Chile, Tonga–Kermadec ou as Marianas, recebem pouco, e a placa que afunda rói sua frente e a base de sua crosta. A erosão predomina onde as placas convergem mais depressa que cerca de $6\,\mathrm{cm}$ por ano e a cobertura de sedimentos tem menos de $1\,\mathrm{km}$ de espessura; a acreção, onde a convergência é mais lenta ou os sedimentos da fossa têm mais de $1\,\mathrm{km}$ de espessura.

14.5 Arcos vulcânicos e bacias de retroarco

Definição 14.7 (Arco vulcânico, lacuna arco–fossa)

Um arco vulcânico é uma faixa de vulcões sobre a placa cavalgante de uma zona de subducção, paralela à fossa e convexa em direção à placa que afunda, alimentada por magma da cunha de manto acima da laje. A lacuna arco–fossa é a distância horizontal entre a fossa e a frente vulcânica, a linha de vulcões mais próxima da fossa.

Os arcos vulcânicos se erguem onde o topo da laje está, em média, a cerca de $105\,\mathrm{km}$ de profundidade, embora a profundidade sob diferentes arcos, média em trechos de $500\,\mathrm{km}$ de extensão, varie de 72 a $173\,\mathrm{km}$. O magma se forma onde a água liberada pela laje, à medida que seus minerais hidratados se decompõem, reduz a temperatura de fusão do manto quente da cunha (Livro 2, 12º ano; os magmas dos arcos são estudados no Livro 4). Sob as Curilas centrais, a frente vulcânica fica a $164\,\mathrm{km}$ da fossa, onde a linha da laje das Curilas está a $111\,\mathrm{km}$ de profundidade.

Proposição 14.8 (A lacuna arco–fossa)

Suponha que o topo da laje mergulhe com $\delta_1$ desde a fossa até a profundidade $z_1$, depois com $\delta_2$ abaixo, e que a frente vulcânica esteja acima do lugar em que o topo da laje está na profundidade $H > z_1$. Então a lacuna arco–fossa é

$$g = \frac{z_1}{\tan\delta_1} + \frac{H - z_1}{\tan\delta_2} .$$

Para uma laje de mergulho uniforme $\delta$, $g = H/\tan\delta$. Para $z_1$, $H$ e $\delta_1$ dados, quanto mais suave o mergulho $\delta_2$, mais larga a lacuna.

Uma laje de $45{}^{\circ}$ com os vulcões a $111\,\mathrm{km}$ acima dela colocaria a frente a $111\,\mathrm{km}$ da fossa se fosse reta; a frente das Curilas está a $164\,\mathrm{km}$ porque a laje mergulha mais suavemente sob o antearco (exercício 14.6).

Arcos são curvos, e sua curvatura decorre da esfera. Uma placa que desce ao manto deve se dobrar sem se estirar, pois uma placa de dezenas de quilômetros de espessura não pode ser estirada em dezenas por cento. Sobre uma esfera, isso fixa a forma que uma placa dobrada pode ter.

Proposição 14.9 (Uma casca esférica dobrada)

Reflita a calota de uma esfera recortada por um pequeno círculo de raio angular $\rho$, no plano desse círculo. A calota refletida tem a mesma forma e o mesmo tamanho da original, de modo que a superfície é dobrada sem ser estirada; e ao longo do círculo ela é dobrada pelo ângulo $\theta = 2\rho$. Uma placa que afunda com mergulho $\theta$ ao longo de tal dobra pode fazê-lo sem se estirar ao longo de um pequeno círculo de raio angular $\theta/2$.

A laje das Curilas mergulha $45{}^{\circ}$, de modo que a proposição prevê um arco de raio angular de cerca de $22.5{}^{\circ}$. As posições PB2002 da fossa das Curilas, de Hokkaido ao sul de Kamchatka, são melhor ajustadas por um pequeno círculo de raio $21.9{}^{\circ}$, centrado perto de $58.9{}^{\circ}$ N, $123.8{}^{\circ}$ L, no leste da Sibéria, do lado da placa cavalgante. A concordância é próxima aqui, mas o modelo é grosseiro: só a parte central da mesma fossa dá $18.1{}^{\circ}$. A ideia é de Charles Frank, em 1968: os arcos das Curilas–Kamchatka, das Aleutas e de Sumatra–Java, acima de lajes com mergulho de cerca de $45{}^{\circ}$, têm todos raios de cerca de $20{}^{\circ}$, ou cerca de $22{}^{\circ}$ medidos até suas fossas.

A crosta sob os arcos se espessa tanto por encurtamento quanto pelo magma acrescentado por baixo; sob os arcos construídos sobre continentes, como os Andes, ela está entre as mais espessas da Terra.

Atrás de alguns arcos, a placa cavalgante é separada. Dan Karig explicou essas bacias marginais do Pacífico ocidental dentro da tectônica de placas, em 1971: quando a laje afunda de modo íngreme e recua, a fossa e o arco migram em direção à placa que afunda, e a placa atrás deles é estirada até se romper, deixando às vezes um arco remanescente extinto do outro lado. No modelo de placas usado acima, o espalhamento do retroarco ocorre a cerca de $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ na Calha das Marianas, perto de $18{}^{\circ}$ N, e a mais de $110\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ no norte da Bacia de Lau, atrás de Tonga. Onde a laje é rasa, ao contrário, ela arrasta a placa cavalgante, cuja crosta é encurtada e espessada atrás do arco, como atrás dos Andes.

No campo — Alerta de tsunami

Um centro de alerta de tsunami dispõe de minutos. Em 2011, o primeiro alerta para a costa do nordeste do Japão veio cerca de três minutos depois do terremoto, a partir de uma magnitude baseada nas ondas sísmicas de curto período; para terremotos de magnitude 8 ou mais, essa magnitude é subestimada, e por isso também foi subestimada a altura do tsunami. A magnitude de momento, que não satura, levou cerca de quinze minutos: os sismógrafos de banda larga do Japão tinham sido levados além de sua faixa. Desde 2013, quando o tamanho de um terremoto tão grande é incerto, o primeiro alerta supõe o maior terremoto possível ali e descreve o tsunami em palavras, como “enorme”, em vez de com um número; e as previsões se apoiam em medições no mar, feitas ao largo, a partir de boias posicionadas por satélite e de medidores de pressão no fundo do mar, que veem a onda antes que ela chegue à costa.

14.6 Exercícios

Exercício 14.1 ★

Uma fossa fica $3\,\mathrm{km}$ abaixo do fundo oceânico ao redor. (a) Se ela não fosse compensada, de quanto diminuiria a gravidade ali, pela rocha que falta, de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, substituída por água do mar de densidade $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$? Use a laje de Bouguer, com $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Compare com a anomalia observada sobre a fossa das Curilas, cerca de $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, onde a fossa fica $3.5\,\mathrm{km}$ abaixo do fundo ao redor: refaça o cálculo para essa profundidade. (c) Por que a água de uma fossa com apenas dezenas de quilômetros de largura dá menos que a fórmula da laje, e onde deve estar o restante do déficit?

Solução

Solução de Exercício 14.1.

(a) $2\pi G\,\Delta\rho\,h = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3000 = 2.14 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$: a gravidade seria menor em cerca de $214\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) Para $3.5\,\mathrm{km}$, $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3500 = 2.50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: o tamanho da anomalia negativa observada, logo a fossa está longe do equilíbrio isostático. (c) A fórmula da laje supõe que a rocha ausente se estende sem limite em todos os lados; uma fossa com apenas dezenas de quilômetros de largura retira muito menos massa ao redor do ponto de medida, de modo que sua água, sozinha, dá menos que $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. O restante do déficit está mais fundo: a placa inteira é dobrada para baixo sob a fossa, e sua crosta, mais leve que o manto, ocupa o lugar do manto em sua base.

Exercício 14.2 ★

A placa do Pacífico entra na fossa das Curilas a $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Qual comprimento de placa desce em 10 milhões de anos? (b) Se a laje afundasse ao longo de um caminho reto com mergulho de $45{}^{\circ}$, a que profundidade estaria então sua borda dianteira? (c) Quanto tempo leva para atingir $600\,\mathrm{km}$?

Solução

Solução de Exercício 14.2.

(a) $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, logo $820\,\mathrm{km}$ em $10\,\mathrm{Myr}$. (b) $820\sin45{}^{\circ} = 580\,\mathrm{km}$. (c) O caminho até $600\,\mathrm{km}$ é $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$, percorrido em $849/82 = 10.3\,\mathrm{Myr}$.

Exercício 14.3 ★

Os vulcões se erguem acima do lugar em que uma laje reta está a $110\,\mathrm{km}$ de profundidade. Calcule a lacuna arco–fossa para uma laje com mergulho de $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ e $60{}^{\circ}$. Qual arco fica mais distante de sua fossa?

Solução

Solução de Exercício 14.3.

$g = 110/\tan\delta$: $191\,\mathrm{km}$ para $30{}^{\circ}$, $110\,\mathrm{km}$ para $45{}^{\circ}$, $64\,\mathrm{km}$ para $60{}^{\circ}$. O arco acima da laje de mergulho mais suave fica mais distante de sua fossa.

Exercício 14.4 ★

No modelo digital de placas do capítulo, cerca de $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ de fundo oceânico descem pelas fronteiras de subducção a cada ano, ao longo de cerca de $51\,000\,\mathrm{km}$, e cerca de $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ são produzidos ao longo de cerca de $67\,000\,\mathrm{km}$ de dorsais de espalhamento. (a) Calcule a taxa média de convergência e a taxa média de espalhamento total, em $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) Em todas as suas fronteiras, o modelo destrói tanta área quanto produz. Para onde vai o restante do novo fundo?

Solução

Solução de Exercício 14.4.

(a) Convergência: $2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.053\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$, cerca de $53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Espalhamento: $3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/6.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.045\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$, cerca de $45\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Ao longo de um comprimento total menor, as fronteiras de subducção consomem fundo oceânico mais depressa do que as dorsais o produzem, e ainda assim consomem menos no total. (b) O outro $0.3\,\mathrm{km}^{2}$ ou algo assim é absorvido ao longo das outras fronteiras convergentes do modelo, como colisões continentais e zonas convergentes dentro dos oceanos, onde as placas são encurtadas em vez de subduzidas; e as dorsais não são as únicas fronteiras divergentes: riftes continentais e algumas falhas transformantes também se abrem um pouco.

Exercício 14.5 ★★

Quatro terremotos de um corte estão em $(x, z) = (200, 150)$, $(300, 250)$, $(400, 330)$ e $(500, 430)$, em quilômetros. (a) Ajuste a reta da laje por mínimos quadrados e dê seu mergulho. (b) Onde a reta atinge a superfície? (c) Compare com o mergulho da reta que passa apenas pelo primeiro e pelo último terremoto.

Solução

Solução de Exercício 14.5.

(a) $\bar x = 350$, $\bar z = 290$; os desvios de $x$ são $-150$, $-50$, $50$, $150$, e os de $z$ são $-140$, $-40$, $40$, $140$, logo $S_{xx} = 2(150^2 + 50^2) = 50\,000$ e $S_{xz} = 2(150\times140 + 50\times40) = 46\,000$. Então $s = 0.92$, $a = 290 - 0.92\times350 = -32\,\mathrm{km}$, e o mergulho é $\arctan 0.92 = 42.6{}^{\circ}$. (b) $z = 0$ em $x = 32/0.92 = 34.8\,\mathrm{km}$ a partir da fossa. (c) Pelos pontos extremos a inclinação é $280/300 = 0.933$, um mergulho de $43.0{}^{\circ}$: próximo, mas usa apenas dois dos quatro terremotos.

Exercício 14.6 ★★

Um modelo de laje mergulha $25{}^{\circ}$ desde a fossa até $50\,\mathrm{km}$, depois $45{}^{\circ}$. A frente vulcânica fica onde a laje está a $110\,\mathrm{km}$ de profundidade. (a) Calcule a lacuna arco–fossa. (b) Compare com uma laje que mergulha $45{}^{\circ}$ o tempo todo. (c) O segmento profundo, prolongado para cima, atinge a superfície: onde? Compare com a linha das Curilas, que a atinge $53\,\mathrm{km}$ para o lado do continente em relação à fossa. (d) Que lacuna daria um segmento profundo de $60{}^{\circ}$?

Solução

Solução de Exercício 14.6.

(a) $50/\tan25{}^{\circ} + 60/\tan45{}^{\circ} = 107.2 + 60.0 = 167.2\,\mathrm{km}$. (b) Uma laje de $45{}^{\circ}$ o tempo todo dá $110\,\mathrm{km}$: o segmento raso e suave alarga a lacuna em $57\,\mathrm{km}$. (c) O segmento profundo é $z = 50 + (x - 107.2)$; ele atinge $z = 0$ em $x = 57.2\,\mathrm{km}$, para o lado do continente em relação à fossa, como a linha das Curilas faz a $53\,\mathrm{km}$: um segmento raso e suave explica o deslocamento das Curilas. (d) $107.2 + 60/\tan60{}^{\circ} = 107.2 + 34.6 = 141.9\,\mathrm{km}$.

Exercício 14.7 ★★

(a) Pela proposição da casca dobrada, qual raio angular, e qual raio em quilômetros ($R = 6371\,\mathrm{km}$), deve ter um arco acima de uma laje com mergulho de $45{}^{\circ}$? $30{}^{\circ}$? $70{}^{\circ}$? (b) Quais arcos são os mais fortemente curvados? (c) A laje das Curilas mergulha $44.9{}^{\circ}$ e a fossa das Curilas se ajusta a um círculo de $21.9{}^{\circ}$: calcule a diferença relativa em relação à previsão.

Solução

Solução de Exercício 14.7.

(a) O raio é metade do mergulho, e $r = R\,\theta$ com $\theta$ em radianos: $22.5{}^{\circ}$ e $6371\times0.3927 = 2502\,\mathrm{km}$ para $45{}^{\circ}$; $15{}^{\circ}$ e $1668\,\mathrm{km}$ para $30{}^{\circ}$; $35{}^{\circ}$ e $3892\,\mathrm{km}$ para $70{}^{\circ}$. (b) Os arcos acima de lajes com mergulho mais suave. (c) A previsão é $44.9/2 = 22.45{}^{\circ}$; o ajuste, $21.9{}^{\circ}$, é $0.55/22.45 = 2.4\,\%$ menor.

Exercício 14.8 ★★

Considere uma condutividade de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e uma temperatura de superfície de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcule o gradiente de temperatura sob um antearco que perde $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ e sob um retroarco que perde $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Extrapolando linearmente esses gradientes, estime a temperatura a $30\,\mathrm{km}$ em cada caso. (c) Os Moho de retroarco são medidos a 800 a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Por que a estimativa linear é alta demais?

Solução

Solução de Exercício 14.8.

(a) $q/k$: $0.035/2.5 = 0.014\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 14\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ abaixo do antearco, $0.080/2.5 = 32\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ abaixo do retroarco. (b) $10 + 14\times30 = 430\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $10 + 32\times30 = 970\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Parte do fluxo de calor na superfície é produzida pela radioatividade da própria crosta, de modo que menos calor atravessa os níveis mais profundos e o gradiente diminui com a profundidade: uma extrapolação linear do gradiente da superfície superestima a temperatura em profundidade.

Exercício 14.9 ★★

No modelo de placas do capítulo, a Calha das Marianas se abre perto de $18{}^{\circ}$ N a uma taxa total de cerca de $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Exprima essa taxa em $\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, e dê a meia-taxa se o espalhamento for simétrico. (b) Quanto tempo a calha levaria para se abrir $100\,\mathrm{km}$ a essa taxa? (c) Dê duas razões pelas quais a idade de uma bacia de retroarco não pode ser simplesmente lida de sua largura e de sua taxa atual.

Solução

Solução de Exercício 14.9.

(a) $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ é $32\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$; a meia-taxa é $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) $100/32 = 3.1\,\mathrm{Myr}$. (c) A taxa não precisa ter sido constante; parte da largura pode vir do estiramento e da formação de riftes do arco antes que o espalhamento começasse; e o eixo pode ter saltado ou se espalhado de modo assimétrico.

Exercício 14.10 ★★★

Uma laje com $100\,\mathrm{km}$ de espessura afunda a $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ao longo de um caminho com mergulho de $45{}^{\circ}$. Considere $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Quanto tempo leva para atingir $600\,\mathrm{km}$? (b) Até que distância o calor se difunde para dentro dela nesse tempo, dado por $\sqrt{\kappa t}$? (c) Quanto tempo levaria o calor para chegar ao seu meio? (d) Conclua sobre a temperatura da laje a $600\,\mathrm{km}$ e sobre seus terremotos.

Solução

Solução de Exercício 14.10.

(a) O caminho é $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$, percorrido a $82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ em $10.3\,\mathrm{Myr}$, isto é $3.27 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$. (b) $\sqrt{10^{-6}\times3.27 \times 10^{14}} = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, cerca de $18\,\mathrm{km}$. (c) $(5 \times 10^{4}\,\mathrm{m})^2/10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, cerca de $79\,\mathrm{Myr}$. (d) O calor só alcançou os $18\,\mathrm{km}$ externos de cada lado da laje: seu núcleo, a $600\,\mathrm{km}$ de profundidade, continua quase tão frio quanto ao sair da fossa, mais frio e mais resistente que o manto ao redor, o que explica por que ainda pode romper em terremotos nessa profundidade.

Exercício 14.11 ★★★

Um prisma de acreção modelo tem seção triangular: sua superfície se inclina de $\alpha = 4{}^{\circ}$ em direção à fossa, e sua base mergulha de $\beta = 6{}^{\circ}$ por baixo dele, ambas se encontrando em sua ponta; ele mantém esses ângulos ao crescer. (a) Mostre que sua área é $A = \frac12 L^2(\tan\alpha + \tan\beta)$ para uma largura $L$, quando os ângulos são pequenos o bastante para que a altura na parte de trás seja $L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (b) Sedimento de $1\,\mathrm{km}$ de espessura chega a uma placa que converge a $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e todo ele é acrescido: calcule a largura após 1, 4 e 10 milhões de anos. Como $L$ cresce com o tempo? (c) E se metade do sedimento descer com a laje?

Solução

Solução de Exercício 14.11.

(a) À distância $L$ atrás da ponta, a superfície fica $L\tan\alpha$ acima do nível da ponta, e a base fica $L\tan\beta$ abaixo dela: o dorso do prisma tem altura $L(\tan\alpha + \tan\beta)$, e o triângulo tem a área $\frac12 L\times L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (b) $\tan4{}^{\circ} + \tan6{}^{\circ} = 0.175$. O prisma recebe $1\,\mathrm{km}\times40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 40\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ de seção, logo $A = 40t$ e $L = \sqrt{2A/0.175}$: $21.4\,\mathrm{km}$ após $1\,\mathrm{Myr}$, $42.8\,\mathrm{km}$ após $4\,\mathrm{Myr}$, $67.6\,\mathrm{km}$ após $10\,\mathrm{Myr}$. $L$ cresce como $\sqrt t$: quatro vezes mais tempo dá o dobro da largura. (c) $A$ é reduzida à metade, e $L$ dividida por $\sqrt2$: $15.1\,\mathrm{km}$, $30.2\,\mathrm{km}$ e $47.8\,\mathrm{km}$.

Exercício 14.12 ★★★

(a) Mostre que a reta de mínimos quadrados passa pelo ponto médio $(\bar x, \bar z)$. (b) Um catálogo lista cada profundidade $10\,\mathrm{km}$ profunda demais. Como mudam a inclinação e a interseção da reta ajustada? (c) As distâncias $x$ são todas medidas a partir de um ponto da fossa colocado $20\,\mathrm{km}$ longe demais para o lado do continente, de modo que cada $x$ é $20\,\mathrm{km}$ pequeno demais. Como mudam a inclinação e a interseção? (d) Algum dos dois erros altera o mergulho?

Solução

Solução de Exercício 14.12.

(a) $\partial F/\partial a = -2\sum(z_i - a - s x_i) = 0$ dá $n\bar z = na + sn\bar x$, isto é $\bar z = a + s\bar x$. (b) Cada $z_i$ e $\bar z$ crescem de $10\,\mathrm{km}$, logo os desvios $z_i - \bar z$ e $S_{xz}$ não mudam: a inclinação é a mesma, e $a = \bar z - s\bar x$ cresce de $10\,\mathrm{km}$. (c) Os desvios $x_i - \bar x$ não mudam, logo a inclinação é a mesma; $\bar x$ diminui de 20, de modo que $a$ aumenta de $20s$. (d) Nenhum dos dois: o mergulho depende apenas da inclinação. Erros comuns a todos os pontos deslocam a reta sem girá-la.

14.7 Problema: lendo uma zona de subducção a partir de seus terremotos

Problema 14.1

Problema de fim de semana — a laje das Curilas a partir de oito terremotos, a rapidez com que ela desce, o que dizem sua gravidade e seu fluxo de calor, e onde seus vulcões devem estar

Oito terremotos da laje das Curilas, todos mais profundos que $70\,\mathrm{km}$, são listados por sua distância $x$ da fossa ao longo da linha de corte, em direção ao mar de Okhotsk, e por sua profundidade $z$, ambas arredondadas ao quilômetro.

evento	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$ ($\mathrm{km}$)	155	222	305	319	431	533	578	609
$z$ ($\mathrm{km}$)	96	169	245	272	389	489	518	573
magnitude	5.5	5.1	5.0	5.4	5.3	5.3	5.2	6.4

Parte I — A reta da laje.

1. Marque os oito terremotos na mesma escala nos dois eixos, com a profundidade crescendo para baixo.
2. Calcule $\sum x_i$, $\sum z_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i z_i$ e as médias $\bar x$ e $\bar z$.
3. Calcule $S_{xx}$ e $S_{xz}$, depois a inclinação da reta de mínimos quadrados com três decimais e sua interseção com uma casa decimal.
4. Qual é o mergulho da laje?
5. Onde a reta atinge a superfície? O que isso diz sobre a forma da laje perto da fossa?
6. Calcule o desvio $z_i - (a + s x_i)$ de cada terremoto. Quais estão mais distantes da reta, e a que distância?

Parte II — Com que rapidez a laje desce. No início da seção, o modelo PB2002 dá uma convergência de $87.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: em relação à placa de Okhotsk, a placa do Pacífico se move em direção ao azimute $300{}^{\circ}$. A linha de corte, perpendicular à fossa, corre em direção ao azimute $320.9{}^{\circ}$.

7. Calcule o ângulo entre a convergência e a linha de corte; depois, as componentes da convergência perpendicular e paralela à fossa.
8. Que comprimento de placa desce pela fossa em 10 milhões de anos?
9. Usando o mergulho da questão 4 (arredondado para $45{}^{\circ}$), quanto tempo a laje leva para levar um ponto de seu topo, desde a fossa até o terremoto mais profundo da faixa, a $632\,\mathrm{km}$? Despreze o mergulho mais suave perto da fossa.
10. A placa tem cerca de $122\,\mathrm{Myr}$ na fossa. Qual é a idade do fundo do mar que agora está a $632\,\mathrm{km}$ de profundidade?
11. Por $\sqrt{\kappa t}$, com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, até onde o calor se difundiu para dentro da laje durante essa descida? Compare com sua espessura, cerca de $100\,\mathrm{km}$.

Parte III — Gravidade e fluxo de calor. Considere uma condutividade de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

12. O fundo oceânico antigo em frente à fossa perde cerca de $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, o retroarco cerca de $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$; tome $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ para o antearco. Calcule o gradiente de temperatura perto da superfície de cada um.
13. Explique por que o antearco perde menos calor que o fundo oceânico antigo à sua frente.
14. A anomalia ar livre sobre a fossa das Curilas é de cerca de $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Que espessura de rocha, $1700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ mais densa que a água, uma laje de Bouguer precisaria ter para dar esse déficit? Compare com a profundidade da fossa abaixo do fundo ao redor, cerca de $3.5\,\mathrm{km}$.
15. Suponha agora que a placa inteira seja empurrada para baixo em $3.5\,\mathrm{km}$: a água ocupa o lugar da rocha no topo, e sua crosta ocupa o lugar do manto na base, de modo que todo o manto de densidade $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ é substituído por água. Calcule a anomalia de laje de Bouguer. Por que a fossa real, com apenas dezenas de quilômetros de largura, dá menos?
16. A fossa e a elevação externa não estão em equilíbrio isostático. O que as mantém fora dele?

Parte IV — Onde os vulcões devem estar. Use a reta da questão 3, com sua inclinação e sua interseção arredondadas.

17. O primeiro vulcão da faixa está a $164\,\mathrm{km}$ da fossa. Qual é a profundidade da laje sob ele?
18. Essa profundidade está dentro da faixa encontrada sob os arcos, de 72 a $173\,\mathrm{km}$? A que distância está da média, $105\,\mathrm{km}$?
19. A que distância da fossa a laje está a $100\,\mathrm{km}$ de profundidade?
20. Pela proposição da casca dobrada, qual raio angular o arco das Curilas deve ter, e qual raio em quilômetros?
21. A fossa das Curilas se ajusta a um pequeno círculo de $21.9{}^{\circ}$. Compare.
22. Os vulcões de arco se erguem, em média, onde a laje está a cerca de $105\,\mathrm{km}$ de profundidade. A que distância da fossa a reta da laje atinge essa profundidade?
23. Compare essa distância com os $164\,\mathrm{km}$ observados: em quantos quilômetros e em que fração ela difere?
24. Até o quilômetro mais próximo, que lacuna arco–fossa a reta da laje das Curilas prevê para vulcões que se erguem acima da laje a $105\,\mathrm{km}$?

Solução

Solução de Problema 14.1.

1. Os oito pontos ficam perto de uma reta com mergulho de cerca de $45{}^{\circ}$, de $96\,\mathrm{km}$ de profundidade a $155\,\mathrm{km}$ da fossa até $573\,\mathrm{km}$ de profundidade a $609\,\mathrm{km}$.

2. $\sum x_i = 3152$, $\sum z_i = 2751$, $\sum x_i^2 = 1\,442\,910$, $\sum x_i z_i = 1\,290\,548$; $\bar x = 394.0\,\mathrm{km}$, $\bar z = 343.875\,\mathrm{km}$.

3. $S_{xx} = 1442910 - 8\times394^2 = 201\,022$ e $S_{xz} = 1290548 - 8\times394\times343.875 = 206\,654$. Então $s = 206654/201022 = 1.028$ e $a = 343.875 - 1.02802\times394 = -61.2\,\mathrm{km}$: $z = -61.2 + 1.028\,x$.

4. $\arctan1.028 = 45.8{}^{\circ}$.

5. Em $x = 61.2/1.028 = 59.5\,\mathrm{km}$ para o lado do continente em relação à fossa. Uma laje que deixasse a fossa com esse mergulho atingiria a superfície ali; ela a atinge na fossa, logo mergulha mais suavemente perto da fossa e se torna mais íngreme abaixo.

6. Os desvios são $-2.1$, $2.0$, $-7.3$, $5.3$, $7.1$, $2.3$, $-15.0$ e $8.1$ $\mathrm{km}$. O evento 7 fica $15\,\mathrm{km}$ acima da reta, o evento 8 $8\,\mathrm{km}$ abaixo dela; os outros ficam a cerca de $7\,\mathrm{km}$ dela, uma fração da espessura da laje.

7. $320.9{}^{\circ} - 300{}^{\circ} = 20.9{}^{\circ}$. Perpendicular à fossa: $87.4\cos20.9{}^{\circ} = 81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; paralela: $87.4\sin20.9{}^{\circ} = 31.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A convergência é oblíqua.

8. $81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ é $81.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$: $816\,\mathrm{km}$ em $10\,\mathrm{Myr}$.

9. O caminho é $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$, percorrido em $894/81.6 = 11.0\,\mathrm{Myr}$.

10. $122 + 11 = 133\,\mathrm{Myr}$.

11. $t = 10.95\,\mathrm{Myr} = 3.46 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ e $\sqrt{10^{-6}\times3.46 \times 10^{14}} = 1.86 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, cerca de $19\,\mathrm{km}$ de cada face: muito menos que os $50\,\mathrm{km}$ até o meio de uma laje de $100\,\mathrm{km}$ de espessura, cujo núcleo ainda está frio.

12. $q/k$: $17.2\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ abaixo do fundo oceânico antigo, $14.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ abaixo do antearco e $32.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ abaixo do retroarco.

13. Sob o antearco a laje fria fica apenas algumas dezenas de quilômetros abaixo; ela absorve calor da rocha acima dela, de modo que menos calor chega à superfície.

14. $h = 2.60 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700) = 3647\,\mathrm{m}$, cerca de $3.6\,\mathrm{km}$: tanto quanto, ou um pouco mais que, a profundidade total da fossa abaixo do fundo ao redor, cerca de $3.5\,\mathrm{km}$. A fossa tem massa faltando que nada compensa.

15. A diferença de densidade é $3300 - 1000 = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times2300\times3500 = 3.38 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $338\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. A fórmula da laje conta a massa ausente até qualquer distância; a fossa real é dobrada para baixo apenas em uma faixa de dezenas de quilômetros de largura, então seu déficit é menor, cerca de $260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, entre as duas estimativas da laje.

16. A resistência da placa dobrada, que mantém a fossa para baixo e a elevação externa para cima, como faria uma placa elástica, e a tração da laje densa que afunda no manto.

17. $-61.2 + 1.028\times164 = 107.4\,\mathrm{km}$.

18. Sim: $107\,\mathrm{km}$ fica entre 72 e $173\,\mathrm{km}$, e apenas cerca de $2\,\mathrm{km}$ mais fundo que a média, $105\,\mathrm{km}$.

19. $x = (100 + 61.2)/1.028 = 156.8\,\mathrm{km}$.

20. $45.8{}^{\circ}/2 = 22.9{}^{\circ}$, e $6371\times22.9\times\pi/180 = 2546\,\mathrm{km}$.

21. O ajuste, $21.9{}^{\circ}$, é $1.0{}^{\circ}$ menor, cerca de $4\,\%$: a casca dobrada descreve bem a curvatura do arco das Curilas.

22. $x = (105 + 61.2)/1.028 = 166.2/1.028 = 161.7\,\mathrm{km}$.

23. $164 - 161.7 = 2.3\,\mathrm{km}$ mais perto da fossa que a frente observada, $2.3/164 = 1.4\,\%$: os vulcões das Curilas se erguem acima de uma laje um pouco mais funda que a média, como a questão 18 mostrou.

24. Até o quilômetro mais próximo, a reta da laje das Curilas prevê uma lacuna arco–fossa de $162\,\mathrm{km}$ para vulcões acima da laje a $105\,\mathrm{km}$ (observada: $164\,\mathrm{km}$).