6Métodos de campo e de laboratório I

Uma geóloga que mapeia as Colinas de Varden leva pouca coisa: um caderno, um lápis, um receptor de satélite, uma bússola-clinômetro, uma lupa e alguns sacos de amostras. Com eles ela fixa onde está, mede a atitude dos estratos, dá nome às rochas e traz as amostras que o laboratório vai cortar, desbastar e observar ao microscópio. Cada número dos capítulos anteriores — uma atitude num mapa, um mergulho numa seção — começou como uma leitura desse tipo, com seu próprio erro. Este capítulo descreve como os profissionais fazem essas observações e como leituras repetidas são calculadas em média e sua dispersão transformada em incerteza. Ele termina com uma temporada de leituras no flanco leste do anticlinal de Varden.

O que você já sabe

A atitude de um plano se escreve sentido de mergulho/mergulho, como $081/12$, ou como uma direção pela regra da mão direita com um mergulho (Capítulo 4). A declinação magnética é o ângulo entre o norte geográfico e a direção para a qual aponta a agulha de uma bússola (física, 11º ano). Os minerais são reconhecidos na mão pelo brilho, pela clivagem, pela dureza e pela cor (Livro 2, 11º ano). A média e o desvio padrão de um conjunto de números resumem o seu centro e a sua dispersão (matemática).

6.1 O caderno e o mapa

Definição 6.1 (Estação de campo, caderneta de campo)

Uma estação de campo é um lugar numerado onde um geólogo faz e registra observações: sua posição, as rochas vistas, a sua atitude e as amostras colhidas. A caderneta de campo é o registro encadernado das estações, na ordem em que foram visitadas, com seus números, esboços e medidas, anotados no local.

A caderneta é o registro primário: o que não é anotado na estação se perde, e um mapa desenhado à noite só vale tanto quanto as anotações que o sustentam. Cada estação tem um número que aparece no mapa de campo, na caderneta e em cada saco de amostra recolhido ali. Um esboço mostra o que uma lista de números não consegue — como duas unidades se encontram, para que lado estão as camadas mais novas, onde uma leitura foi feita numa superfície dobrada — e registra a sua escala e orientação. Fatos e interpretações são mantidos separados: “calcário sobre folhelho, contato nítido” é uma observação; “discordância” é uma inferência, escrita como tal.

No campo — Um dia de mapeamento

Um geólogo que mapeia planeja um caminhamento transversal à direção, de modo a encontrar cada unidade em sequência, e para em cada contato, mudança de rocha ou superfície mensurável que aparece. Em cada estação ela anota o número e a posição, esboça o que vê, mede atitudes e registra as amostras. As posições vêm de um receptor de satélite: um receptor comum, como o de um smartphone, tem precisão típica de cerca de $4.9\,\mathrm{m}$ a céu aberto, pior perto de paredões e árvores, enquanto receptores de levantamento de dupla frequência ou com serviços de correção chegam a poucos centímetros. Na escala 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ são meio milímetro: um receptor comum basta para o mapeamento, mas não para medir o movimento lento do terreno (Capítulo 12).

6.2 Medindo orientações

A atitude de um plano — um estrato, uma falha, uma junta — é medida com uma bússola-clinômetro: uma bússola magnética para ler azimutes, e um pêndulo ou um nível para ler ângulos a partir da horizontal. Sua borda é apoiada ao longo da direção da superfície para ler a direção, ou o instrumento é posto sobre a superfície ao longo da sua linha de maior declive para ler o mergulho e, a partir do azimute dessa linha, o sentido de mergulho.

Uma linha — o eixo de uma dobra, um risco numa superfície de falha, o eixo longo de seixos — tem uma orientação própria.

Definição 6.2 (Rumo e caimento)

O rumo de uma linha é o azimute da sua projeção horizontal, medido em direção à extremidade da linha que aponta para baixo. Seu caimento é o ângulo entre a linha e a horizontal, medido no plano vertical que a contém. Uma linha que cai $20{}^{\circ}$ em direção a $015{}^{\circ}$ escreve-se $20\to015$.

Uma linha de rumo $t$ e caimento $p$ tem o vetor unitário para baixo $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$, em componentes leste, norte e cima; uma linha situada em um plano de sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$ cai pelo mergulho aparente desse plano no plano vertical de azimute $t$, de modo que $\tan p = \tan\delta\cos(\alpha - t)$ (Teorema 5.4).

6.2.1 A declinação magnética

Uma agulha de bússola aponta para o norte magnético, não para o norte geográfico; o ângulo entre os dois é a declinação magnética, contada como positiva quando o norte magnético está a leste do norte geográfico. Mapas e as atitudes deste livro usam azimutes geográficos.

Método 6.3 (Correção de um azimute da bússola)

1. Encontre a declinação magnética $D$ para o lugar e a data, a partir de um modelo do campo terrestre (leste positivo, oeste negativo).
2. Some a ela cada azimute lido na bússola: azimute geográfico $=$ azimute magnético $+ D$, módulo $360{}^{\circ}$.
3. Não altere mergulhos nem caimentos: eles são medidos a partir da horizontal, pela gravidade, e não pela agulha.

A maioria das bússolas de campo pode ser ajustada para somar $D$ mecanicamente; o ajuste, e o ano para o qual foi feito, são anotados na caderneta.

Dados de 2026

Em 1º de janeiro de 2026, o World Magnetic Model (versão 2025) dá a declinação magnética como $-0.47{}^{\circ}$ (oeste) em Edimburgo, variando $+0.20{}^{\circ}$ por ano; $-11.28{}^{\circ}$ em Reykjavik, variando $+0.30{}^{\circ}$ por ano; $+14.20{}^{\circ}$ (leste) em Anchorage, variando $-0.28{}^{\circ}$ por ano; e $+23.23{}^{\circ}$ em Wellington. Um geólogo que esquecesse a correção em Wellington deslocaria todo azimute em mais de $23{}^{\circ}$; quem reutilizasse um ajuste de Edimburgo de dez anos antes carregaria um erro de cerca de $2{}^{\circ}$.

6.2.2 Leituras repetidas

Uma única leitura de um plano de acamamento carrega erros: a superfície nunca é um plano perfeito, o instrumento não está perfeitamente ajustado, e a leitura é arredondada ao grau. Por isso o geólogo mede a mesma superfície várias vezes, ou várias superfícies de um mesmo flanco, e faz a média. Calcular a média de azimutes exige cuidado: as leituras de $355{}^{\circ}$ e $005{}^{\circ}$ descrevem direções separadas por $10{}^{\circ}$, mas a média aritmética delas, $180{}^{\circ}$, aponta para o sentido oposto. A média correta trabalha com vetores.

Definição 6.4 (Orientação média (média vetorial))

Para um plano de sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$, seja

$$\vec n = (\sin\delta\sin\alpha,\ \sin\delta\cos\alpha,\ \cos\delta)$$

sua normal unitária para cima, em componentes leste, norte e cima. A orientação média (ou média vetorial) de $N$ leituras de normais $\vec n_1, \dots, \vec n_N$ é o plano cuja normal é $\vec m = \vec S/\|\vec S\|$, em que $\vec S = \sum_i \vec n_i$ é a sua resultante; $\bar R = \|\vec S\|/N$ é o comprimento médio da resultante. O sentido de mergulho médio e o mergulho médio são $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(S_E, S_N)$ e $\bar\delta = \arccos(S_U/\|\vec S\|)$.

Que $\vec n$ é a normal decorre de Capítulo 4: o plano $z = -\tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ tem a normal para cima $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$, cujo comprimento é $1/\cos\delta$.

Proposição 6.5 (A média vetorial é a direção mais próxima)

Entre todos os vetores unitários $\vec u$, a normal média $\vec m$ maximiza $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \sum_i \cos\theta_i(\vec u)$, em que $\theta_i(\vec u)$ é o ângulo entre $\vec n_i$ e $\vec u$; equivalentemente, ela minimiza $\sum_i \|\vec n_i - \vec u\|^2$. Além disso

$$\bar R = \frac1N\sum_i \cos\theta_i, \qquad \theta_i = \theta_i(\vec m),$$

de modo que $0 < \bar R \le 1$, com $\bar R = 1$ apenas se todas as leituras concordam; e, quando a dispersão é pequena, o ângulo quadrático médio entre as leituras e a sua média é

$$\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2(1 - \bar R)} \quad\text{(radianos)}.$$

De que modo erros nos dois ângulos deslocam a normal? Derivando $\vec n$,

o primeiro tem comprimento 1, o segundo comprimento $\sin\delta$, e os dois são perpendiculares. Pequenos erros $\Delta\delta$ e $\Delta\alpha$ portanto deslocam a normal do ângulo

Num estrato suavemente inclinado, um erro no sentido de mergulho quase não muda o plano: num estrato que mergulha $12{}^{\circ}$, um erro de $3{}^{\circ}$ no sentido de mergulho desloca o plano em apenas $3\sin12{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$. O inverso é a dificuldade do geólogo de campo: o sentido de mergulho de um estrato suave é mal fixado pelo seu plano, e pequenas ondulações da superfície o espalham amplamente. O erro padrão de uma média de $N$ leituras independentes de desvio padrão $s$ é $s/\sqrt N$ (matemática): para reduzi-lo à metade, são necessárias quatro vezes mais leituras.

6.3 A lupa e a identificação de campo

A maioria das rochas recebe o seu nome no campo, antes de qualquer trabalho de laboratório, a partir dos minerais que uma lupa mostra e da maneira como a rocha se quebra. O geólogo observa uma superfície fresca, pois o intemperismo recobre e descolore a rocha, e anota o tamanho dos grãos (se se veem a olho nu, com a lupa ou não se veem), suas formas, se se encaixam como um mosaico ou se estão cimentados como areia, e qualquer alinhamento. Os minerais são reconhecidos pelas propriedades relembradas no início do capítulo: o brilho vítreo e a ausência de clivagem do quartzo, as duas clivagens e a brancura opaca do feldspato, as lamelas da mica, a clivagem romboédrica da calcita. A dureza é testada com uma ponta de aço: o quartzo é mais duro que o aço e a calcita muito mais mole.

Os profissionais levam um pequeno frasco conta-gotas de ácido clorídrico diluído: uma rocha carbonática libera bolhas de dióxido de carbono onde a gota cai (química). A calcita reage vigorosamente; a dolomita reage fracamente, a menos que esteja pulverizada. O ácido é manipulado com luvas e proteção para os olhos, e nunca por um leitor deste livro: a descrição é da prática profissional.

6.4 Amostras

Definição 6.6 (Amostra orientada)

Uma amostra orientada é uma amostra de rocha na qual o geólogo marcou, antes de retirá-la, a atitude de uma de suas superfícies (uma linha de direção e uma seta de mergulho, ou o rumo de uma linha), de modo que a amostra possa ser recolocada na sua posição de campo no laboratório.

Uma amostra só é útil se for representativa da unidade que ela representa — fresca, não intemperizada, não colhida de um veio ou de um bloco caído — e se a sua origem for certa. Cada uma recebe o número da estação e um número de amostra, escritos na rocha e no saco, e é listada na caderneta com a sua posição, a sua unidade e a razão pela qual foi colhida. As amostras destinadas a análises químicas ou isotópicas, cujos resultados podem ser publicados décadas depois, são acompanhadas do campo ao laboratório por um registro escrito de cada mão pela qual passam — uma cadeia de custódia — para que não reste dúvida sobre qual rocha deu qual número. Amostras orientadas são necessárias sempre que importa a direção de algo dentro da rocha: um alinhamento de minerais, uma textura vista ao microscópio, ou a direção da magnetização que a rocha adquiriu ao se formar.

6.5 Lâminas delgadas e o microscópio de polarização

Definição 6.7 (Lâmina delgada)

Uma lâmina delgada é uma fatia de rocha, colada a uma lâmina de vidro e desbastada até uma espessura padrão de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, fina o suficiente para que a maioria dos minerais deixe passar a luz.

No laboratório — Fazendo uma lâmina delgada

No laboratório de preparação, um técnico corta um pequeno bloco da amostra com uma serra de diamante, desbasta uma face com perfeição plana e cola-o a uma lâmina de vidro com uma resina epóxi cujo índice de refração, de 1.54 a 1.55, é quase o do quartzo. Depois, a maior parte do bloco é serrada e a fatia é desbastada numa politriz rotativa com abrasivos cada vez mais finos, até ficar com $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura. O técnico verifica a espessura ao microscópio pelas cores mostradas pelos grãos de quartzo (Capítulo 8), e termina com uma lamínula fina ou com uma superfície polida. Rochas porosas ou friáveis são primeiro embebidas em resina para se manterem coesas.

O estudo da lâmina é feito com um microscópio equipado com dois filtros polarizadores. A polarização linear é assunto da física: aqui basta que um filtro polarizador deixe passar apenas a luz que vibra em uma direção, e que dois filtros colocados em ângulo reto não deixem passar nada.

Definição 6.8 (Microscópio de polarização, luz plano-polarizada, polarizadores cruzados)

Um microscópio de polarização é um microscópio de luz transmitida com um filtro polarizador (o polarizador) abaixo de uma platina que gira através de $360{}^{\circ}$ sobre uma escala graduada, e um segundo filtro polarizador (o analisador) entre a objetiva e a ocular, que pode ser movido para dentro ou para fora do caminho da luz, com a sua direção de vibração em ângulo reto com a do polarizador. Com o analisador para fora, a amostra é vista em luz plano-polarizada; com o analisador para dentro, ela é vista entre polarizadores cruzados.

Entre polarizadores cruzados, o vidro da lâmina, a resina e qualquer mineral isotrópico (cujas propriedades ópticas são as mesmas em todas as direções, como nos cristais cúbicos) permanecem pretos, qualquer que seja a rotação da platina. A maioria dos minerais não é isotrópica: eles alteram a polarização da luz que os atravessa e aparecem em cores de interferência que mudam quando a platina gira, e se extinguem quatro vezes em uma volta completa. Por que o fazem, e como as cores e os ângulos identificam um mineral, é o assunto de Capítulo 8. Os minerais em lâmina delgada costumam ser examinados em aumentos de cerca de $16\times$ a $400\times$.

Segurança

O trabalho de campo e de laboratório é tornado seguro por regras profissionais, não pela sorte. No campo, os geólogos trabalham em duplas ou deixam um plano escrito do seu percurso e da hora de retorno; levam previsões do tempo, mapas e primeiros socorros, mantêm-se afastados do pé e da borda de falésias e de frentes de pedreira, e usam capacete e proteção para os olhos onde a rocha pode cair ou se estilhaçar; o trabalho em sítios ativos segue as regras do operador. No laboratório, serras e politrizes funcionam protegidas por guardas, com água para conter a poeira; resinas e ácidos são manipulados com luvas e óculos sob exaustão, e cada produto químico tem a sua ficha de segurança. Nenhuma dessas atividades é para um leitor deste livro somente: o capítulo descreve a prática profissional.

6.6 Exercícios

Exercício 6.1 ★

Um receptor de satélite dá posições com cerca de $4.9\,\mathrm{m}$ de erro. Quanto isso representa num mapa na escala 1:10 000? E na escala 1:25 000?

Solução

Solução de Exercício 6.1.

Na escala 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ tornam-se $4.9/10\,000 = 0.49\,\mathrm{mm}$; na escala 1:25 000, $4.9/25\,000 = 0.20\,\mathrm{mm}$, cerca da largura de um traço de lápis.

Exercício 6.2 ★

Uma bússola sem ajuste de declinação lê no estrato o sentido de mergulho $052{}^{\circ}$. Dê o sentido de mergulho geográfico se a leitura foi feita em Reykjavik em 1º de janeiro de 2026, e depois em Wellington no mesmo dia (caixa datada).

Solução

Solução de Exercício 6.2.

Em Reykjavik $D = -11.28{}^{\circ}$: $52 - 11.28 = 040.7{}^{\circ}$. Em Wellington $D = +23.23{}^{\circ}$: $52 + 23.23 = 075.2{}^{\circ}$. A mesma leitura de bússola significa direções separadas por $34.5{}^{\circ}$.

Exercício 6.3 ★

Um eixo de dobra cai $20{}^{\circ}$ em direção a $015{}^{\circ}$. Escreva a sua orientação como no texto e dê o seu vetor unitário para baixo em componentes leste, norte e cima.

Solução

Solução de Exercício 6.3.

$20\to015$. Com $t = 15{}^{\circ}$ e $p = 20{}^{\circ}$, o vetor unitário para baixo é

$$(\cos20{}^{\circ}\sin15{}^{\circ},\ \cos20{}^{\circ}\cos15{}^{\circ},\ -\sin20{}^{\circ}) = (0.2432,\ 0.9077,\ -0.3420).$$

Exercício 6.4 ★

Três leituras de uma junta vertical dão os azimutes da sua normal $350{}^{\circ}$, $358{}^{\circ}$ e $006{}^{\circ}$. Calcule a sua média aritmética e, depois, o azimute da soma dos três vetores unitários horizontais. Qual média é a correta?

Solução

Solução de Exercício 6.4.

A média aritmética é $(350 + 358 + 6)/3 = 238{}^{\circ}$, quase oposta às três leituras. Os vetores unitários horizontais $(\sin a, \cos a)$ somam-se em $(-0.1736 - 0.0349 + 0.1045,\ 0.9848 + 0.9994 + 0.9945) = (-0.1040, 2.9787)$, cujo azimute é $\operatorname{atan2}(-0.1040, 2.9787) = -2.0{}^{\circ}$, isto é, $358.0{}^{\circ}$: a média correta, no meio das leituras.

Exercício 6.5 ★★

Cinco leituras do mergulho de um mesmo estrato são $34{}^{\circ}$, $37{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$, $33{}^{\circ}$ e $36{}^{\circ}$. Calcule a sua média, o seu desvio padrão e o erro padrão da média.

Solução

Solução de Exercício 6.5.

Média $175/5 = 35.0{}^{\circ}$. Desvios $-1, 2, 0, -2, 1$; soma dos quadrados 10; $s = \sqrt{10/4} = 1.58{}^{\circ}$. Erro padrão $1.58/\sqrt5 = 0.71{}^{\circ}$.

Exercício 6.6 ★★

Um geólogo faz a média de uma leitura em cada flanco de uma dobra simétrica: $090/30$ e $270/30$. Calcule a média vetorial e $\bar R$. O que deu errado?

Solução

Solução de Exercício 6.6.

As normais são $(\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ}) = (0.5, 0, 0.866)$ e $(-0.5, 0, 0.866)$; $\vec S = (0, 0, 1.732)$ é vertical: a média é um plano horizontal, e $\bar R = 1.732/2 = 0.866$, cada leitura a $30{}^{\circ}$ da média. As duas leituras não amostram uma superfície com erros: pertencem a dois flancos de uma dobra, duas populações diferentes, e a sua média não descreve nenhuma delas. Cada flanco é calculado em média separadamente; juntos eles definem o eixo da dobra, a reta comum aos dois planos, aqui horizontal e norte–sul.

Exercício 6.7 ★★

Estrias em uma superfície de acamamento de atitude $080/12$ têm rumo $120{}^{\circ}$. Qual é o seu caimento? Qual seria para o rumo $170{}^{\circ}$?

Solução

Solução de Exercício 6.7.

$\tan p = \tan12{}^{\circ}\cos(80{}^{\circ} - 120{}^{\circ}) = 0.2126\times0.7660 = 0.1628$: $p = 9.2{}^{\circ}$, com as estrias caindo em direção a $120{}^{\circ}$. Para o rumo $170{}^{\circ}$, $\cos(-90{}^{\circ}) = 0$: a linha é horizontal, ao longo da direção.

Exercício 6.8 ★★

Em Edimburgo a declinação magnética é $-0.47{}^{\circ}$ em 1º de janeiro de 2026 e varia $+0.20{}^{\circ}$ por ano. Supondo que a variação se mantenha constante, quando ela se anula, e qual é o seu valor em 1º de janeiro de 2030?

Solução

Solução de Exercício 6.8.

$0.47/0.20 = 2.35$ anos depois de 1º de janeiro de 2026, isto é, na primavera de 2028. Em 1º de janeiro de 2030: $-0.47 + 4\times0.20 = +0.33{}^{\circ}$, a leste do norte geográfico.

Exercício 6.9 ★★

Três leituras de um mesmo estrato são $080/10$, $080/12$ e $080/14$. Mostre que a sua média vetorial é $080/12$, calcule $\bar R$ e a estimativa $\sqrt{2(1 - \bar R)}$ de $\theta_{\text{rms}}$, e compare-a com o ângulo quadrático médio exato.

Solução

Solução de Exercício 6.9.

As três normais estão no plano vertical de azimute $080{}^{\circ}$, a $10{}^{\circ}$, $12{}^{\circ}$ e $14{}^{\circ}$ da vertical; as duas externas são simétricas em torno da do meio, de modo que a sua soma fica sobre ela: a média é $080/12$, com $\theta = 2{}^{\circ}, 0, 2{}^{\circ}$. Então $\bar R = (1 + 2\cos2{}^{\circ})/3 = (1 + 1.998782)/3 = 0.999594$, e $\sqrt{2(1 - \bar R)} = \sqrt{0.000812} = 0.028\,50\,\mathrm{rad} = 1.633{}^{\circ}$; exatamente, $\theta_{\text{rms}} = \sqrt{(4 + 0 + 4)/3} = 1.633{}^{\circ}$.

Exercício 6.10 ★★★

Uma lâmina delgada corta um grão esférico de raio $r$ a uma distância $h$ do seu centro, com $h$ igualmente provável em qualquer ponto entre 0 e $r$. Mostre que o raio médio do círculo visto na seção é $\pi r/4$. Grãos de quartzo com $0.50\,\mathrm{mm}$ de diâmetro aparecem, em média, com que tamanho em lâmina delgada?

Solução

Solução de Exercício 6.10.

A seção é um círculo de raio $\sqrt{r^2 - h^2}$. Sua média é $\frac1r\int_0^r\sqrt{r^2 - h^2}\,\mathrm dh = \frac1r\cdot\frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi r}{4}$, pois a integral é a área de um quarto de disco. Grãos de $0.50\,\mathrm{mm}$ de diâmetro aparecem, em média, com $0.50\times\pi/4 = 0.39\,\mathrm{mm}$ de diâmetro: a lâmina delgada subestima os tamanhos de grão.

Exercício 6.11 ★★★

Mostre que, se cada sentido de mergulho de um conjunto de leituras é aumentado do mesmo ângulo $D$, o sentido de mergulho da sua média vetorial aumenta de $D$, e o seu mergulho não muda. Por que isso importa para a correção da declinação?

Solução

Solução de Exercício 6.11.

A rotação de $D$ em torno da vertical, $(x, y, z) \mapsto (x\cos D + y\sin D,\ -x\sin D + y\cos D,\ z)$, leva $(\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ a $(\sin\delta\sin(\alpha + D), \sin\delta\cos(\alpha + D), \cos\delta)$: ela soma $D$ a cada sentido de mergulho. Sendo linear, leva a resultante $\vec S$ à resultante das normais giradas; ela conserva os comprimentos e a componente vertical, de modo que o mergulho médio $\arccos(S_U/\|\vec S\|)$ não muda, e gira a parte horizontal de $\vec S$ de $D$, de modo que o sentido de mergulho médio aumenta de $D$. Corrigir cada leitura pela declinação, ou apenas a sua média, dá o mesmo resultado.

Exercício 6.12 ★★★

Em um estrato que mergulha $12{}^{\circ}$, a normal de uma leitura única se dispersa com desvio padrão de $2{}^{\circ}$ em cada uma de duas direções perpendiculares: ao longo da linha de maior mergulho, o que muda o mergulho, e através dela, o que muda o sentido de mergulho. Quantas leituras são necessárias para um erro padrão de $0.5{}^{\circ}$ no mergulho médio? E de $1{}^{\circ}$ no sentido de mergulho médio?

Solução

Solução de Exercício 6.12.

A dispersão ao longo da linha de maior mergulho é uma dispersão do mergulho: o erro padrão é $2/\sqrt N \le 0.5$ para $N \ge 16$. Transversalmente, uma rotação da normal de $2{}^{\circ}$ muda o sentido de mergulho de $2/\sin12{}^{\circ} = 9.62{}^{\circ}$; o erro padrão do sentido de mergulho médio é $9.62/\sqrt N \le 1$ para $N \ge 92.5$, isto é, 93 leituras. Um mergulho suave se conhece depressa; a sua direção, não.

6.7 Problema: uma temporada de campo no flanco leste de Varden

Problema 6.1

Problema de fim de semana — média de doze leituras de bússola, medida da sua dispersão, correção delas e comparação com as sondagens

Um geólogo mediu a estratificação do flanco leste do anticlinal de Varden em doze estações, com a bússola ajustada para a declinação, arredondando ao grau. A tabela dá cada leitura (sentido de mergulho/mergulho) e as componentes de sua normal unitária para cima $\vec n = (n_E, n_N, n_U)$, arredondadas a quatro casas decimais.

	leitura	$n_E$	$n_N$	$n_U$		leitura	$n_E$	$n_N$	$n_U$
1	$076/11$	0.1851	0.0462	0.9816	7	$083/11$	0.1894	0.0233	0.9816
2	$081/13$	0.2222	0.0352	0.9744	8	$083/12$	0.2064	0.0253	0.9781
3	$078/16$	0.2696	0.0573	0.9613	9	$085/12$	0.2071	0.0181	0.9781
4	$081/11$	0.1885	0.0298	0.9816	10	$078/11$	0.1866	0.0397	0.9816
5	$076/10$	0.1685	0.0420	0.9848	11	$081/13$
6	$083/14$	0.2401	0.0295	0.9703	12	$082/11$

Parte I — A atitude média.

1. Calcule as médias aritméticas dos doze sentidos de mergulho e dos doze mergulhos.
2. Dê um exemplo de duas leituras para as quais a média aritmética dos sentidos de mergulho é absurda, e diga por que ela é segura aqui.
3. Mostre que $\vec n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ é um vetor unitário perpendicular à linha de mergulho e à linha de direção do plano $\alpha/\delta$.
4. Complete a tabela para as leituras 11 e 12.
5. Calcule a resultante $\vec S$ das doze normais.
6. Calcule $\|\vec S\|$ e o comprimento médio da resultante $\bar R$.
7. Deduza a média vetorial: o seu sentido de mergulho e o seu mergulho.

Parte II — A dispersão.

8. Calcule os desvios padrão amostrais dos sentidos de mergulho e dos mergulhos.
9. Usando Proposição 6.5, estime o ângulo quadrático médio $\theta_{\text{rms}}$ entre as leituras e a sua média, em graus.
10. Preveja $\theta_{\text{rms}}$ a partir dos dois desvios padrão da questão 8 e da fórmula de erro do capítulo, e compare.
11. Qual dos dois desvios padrão contribui mais para $\theta_{\text{rms}}$, e por quê?
12. Calcule os erros padrão do mergulho médio e do sentido de mergulho médio.
13. A dispersão dos sentidos de mergulho, de $2.9{}^{\circ}$, é sinal de medição descuidada? Explique.

Parte III — A declinação.

14. Uma segunda geóloga esqueceu de ajustar a declinação. As suas doze leituras têm a média vetorial $083.1/12.1$ em azimutes magnéticos. Suponha que a declinação magnética nas Colinas de Varden naquele ano seja de $2.5{}^{\circ}$ para oeste. Qual é a sua média em azimutes geográficos?
15. Por que o seu mergulho médio está certo sem correção?
16. Ela poderia ter corrigido cada leitura antes de fazer a média, em vez da média? Isso muda a resposta (Exercício 6.11)?
17. Dez anos depois, um estudante reutiliza o ajuste de declinação dela enquanto a declinação mudou $0.2{}^{\circ}$ por ano. Qual é o tamanho do erro, comparado com o erro padrão da questão 12?
18. Dê a direção da atitude média do primeiro geólogo pela regra da mão direita.

Parte IV — Bússola e sondagens.

19. A partir de três sondagens, Capítulo 4 encontrou para a base do calcário a atitude $080.6/12.2$. Compare-a com a média vetorial da questão 7, ângulo a ângulo.
20. Calcule o ângulo entre as duas normais.
21. O erro padrão da direção média é cerca de $\theta_{\text{rms}}/\sqrt N$. A diferença da questão 20 é significativa?
22. Quantas leituras reduziriam esse erro padrão à metade?
23. Cite dois erros que nenhum número de leituras reduziria.
24. Dê a atitude média do flanco leste a partir das doze leituras, na forma sentido de mergulho/mergulho arredondada ao grau.

Solução

Solução de Problema 6.1.

1. Sentidos de mergulho: $967/12 = 80.6{}^{\circ}$; mergulhos: $145/12 = 12.1{}^{\circ}$.

2. $355{}^{\circ}$ e $005{}^{\circ}$ têm média $180{}^{\circ}$, a direção oposta. Aqui todos os sentidos de mergulho estão entre $076{}^{\circ}$ e $085{}^{\circ}$, longe do salto em $000{}^{\circ}$, de modo que a média aritmética funciona.

3. $\|\vec n\|^2 = \sin^2\delta(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\delta = 1$. A linha de mergulho para baixo tem a direção $(\cos\delta\sin\alpha, \cos\delta\cos\alpha, -\sin\delta)$, e o seu produto escalar com $\vec n$ é $\sin\delta\cos\delta - \cos\delta\sin\delta = 0$; a linha de direção é horizontal e perpendicular ao sentido de mergulho, $(\cos\alpha, -\sin\alpha, 0)$, e o seu produto escalar com $\vec n$ é $\sin\delta\sin\alpha\cos\alpha - \sin\delta\cos\alpha\sin\alpha = 0$.

4. A leitura 11 é a mesma que a 2: $(0.2222, 0.0352, 0.9744)$. A leitura 12:

$$(\sin11{}^{\circ}\sin82{}^{\circ},\ \sin11{}^{\circ}\cos82{}^{\circ},\ \cos11{}^{\circ}) = (0.1890,\ 0.0266,\ 0.9816).$$

5. $\vec S = (2.4747,\ 0.4082,\ 11.7294)$.

6. $\|\vec S\| = \sqrt{6.1241 + 0.1666 + 137.5788} = 11.99457$, e $\bar R = 11.99457/12 = 0.999547$.

7. $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(2.4747, 0.4082) = 80.6{}^{\circ}$ e $\bar\delta = \arccos(11.7294/11.99457) = \arccos 0.977893 = 12.1{}^{\circ}$: a média vetorial é $080.6/12.1$, a mesma das médias aritméticas aqui.

8. Sentidos de mergulho: $s = 2.94{}^{\circ}$; mergulhos: $s = 1.68{}^{\circ}$.

9. $\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2\times0.000453} = 0.0301\,\mathrm{rad} = 1.72{}^{\circ}$.

10. $\sqrt{1.68^2 + (\sin12.1{}^{\circ}\times2.94)^2} = \sqrt{2.82 + 0.38} = 1.79{}^{\circ}$, próximo de $1.72{}^{\circ}$: as leituras se comportam como o modelo de erro prevê, dentro dos efeitos do arredondamento ao grau e de uma pequena amostra.

11. O mergulho: ele contribui com 2.82 dos 3.20 (em graus quadrados). O sentido de mergulho conta apenas por meio de $\sin\delta = 0.21$, porque num estrato suave uma mudança do sentido de mergulho gira o plano muito pouco.

12. Mergulho médio: $1.68/\sqrt{12} = 0.48{}^{\circ}$; sentido de mergulho médio: $2.94/\sqrt{12} = 0.85{}^{\circ}$.

13. Não: $2.9{}^{\circ}$ de sentido de mergulho num estrato que mergulha $12{}^{\circ}$ são apenas $2.9\sin12.1{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$ de giro do plano, menos que os $1.7{}^{\circ}$ dos mergulhos. Qualquer leve ondulação de uma superfície de acamamento suave espalha amplamente o seu sentido de mergulho.

14. $D = -2.5{}^{\circ}$: $83.1 - 2.5 = 080.6{}^{\circ}$; a sua média é $080.6/12.1$, a mesma do primeiro geólogo.

15. O mergulho é lido com o clinômetro, em relação à vertical dada pela gravidade; a agulha não tem papel nisso.

16. Sim: uma rotação em torno da vertical desloca toda leitura e a média do mesmo ângulo (Exercício 6.11); a resposta é a mesma.

17. $10\times0.2 = 2{}^{\circ}$ de erro em cada sentido de mergulho, mais que o dobro do erro padrão de $0.85{}^{\circ}$: um erro sistemático que a média não consegue detectar.

18. $80.6 - 90 = 350.6{}^{\circ}$; a atitude é direção $351{}^{\circ}$, mergulho $12{}^{\circ}$ para leste.

19. Sentidos de mergulho $080.6$ e $080.6$: nenhuma diferença com esta precisão; mergulhos $12.1$ e $12.2$: $0.1{}^{\circ}$.

20. As normais $(\sin12.2{}^{\circ}\sin80.6{}^{\circ}, \sin12.2{}^{\circ}\cos80.6{}^{\circ}, \cos12.2{}^{\circ})$ e $\vec S/\|\vec S\|$ fazem um ângulo de $0.13{}^{\circ}$.

21. $1.72/\sqrt{12} = 0.50{}^{\circ}$; a diferença, $0.13{}^{\circ}$, é um quarto disso: não significativa. A bússola e as sondagens concordam.

22. Quatro vezes mais: 48 leituras.

23. Por exemplo: um ajuste de declinação errado ou desatualizado; uma bússola desviada por ferro próximo (um veículo, ferramentas, rochas magnéticas); um clinômetro desajustado; leituras feitas só nas superfícies mais expostas, que podem não representar o flanco. A média reduz os erros aleatórios, e não os sistemáticos.

24. A atitude média do flanco leste é 081/12: sentido de mergulho $081{}^{\circ}$, mergulho $12{}^{\circ}$.