13Riftes, dorsais e margens passivas

Em setembro de 2005 o solo do deserto de Afar, no nordeste da Etiópia, abriu-se. Em três semanas um trecho do rifte de cerca de $60\,\mathrm{km}$ de comprimento alargou-se em até $8\,\mathrm{m}$, e cerca de $2.5\,\mathrm{km}^{3}$ de magma subiu pela fenda vindo de baixo. As placas ali se separam a cerca de $18\,\mathrm{mm}$ por ano: a crise liberou, em poucas semanas, o estiramento de uns quatro séculos. Afar é um continente se partindo; a algumas centenas de quilômetros ao norte, o mar Vermelho é um oceano jovem cujo fundo já é feito como o fundo do Atlântico, e o Atlântico Sul foi um rifte desse tipo antes de se abrir, cerca de 120 milhões de anos atrás. Este capítulo acompanha o nascimento de um oceano: o estiramento de um continente, sua fragmentação, as duas margens passivas deixadas para trás, a dorsal que constrói o fundo oceânico e o lento afundamento desse fundo à medida que esfria.

O que você já sabe

As placas são a camada limite térmica superior do manto; sob os oceanos um semiespaço em resfriamento as descreve, e suas isotermas se aprofundam como a raiz quadrada da idade (Capítulo 10). Colunas de rocha em equilíbrio isostático têm a mesma massa por unidade de área acima de uma profundidade de compensação (Capítulo 11). As placas giram em torno de polos de Euler, as dorsais se espalham a taxas lidas em anomalias magnéticas, e as transformantes estão sobre pequenos círculos em torno do polo (Capítulo 12). O rejeito e o afastamento horizontal de uma falha foram definidos em Capítulo 5; uma falha normal é uma falha inclinada cujo bloco superior desceu (Livro 2, 11º ano).

13.1 Rifteamento continental

Um continente esticado por forças em suas bordas não se afina de modo uniforme. Sua crosta superior frágil se quebra ao longo de falhas normais, e os blocos entre elas afundam e inclinam-se; embaixo, a crosta inferior mais quente e o manto escoam.

Definição 13.1 (Rifte continental, gráben, semigráben)

Um rifte continental é uma zona longa e estreita onde um continente está sendo esticado: uma depressão limitada por falhas normais, com terremotos e, com frequência, vulcões. Um gráben é um bloco abatido entre duas falhas normais que mergulham uma na direção da outra. Um semigráben é um bloco abatido e inclinado contra uma única falha normal principal, a falha de borda, em apenas um dos lados.

A maioria das bacias de rifte é uma cadeia de semigrábens. Suas falhas de borda transferem o deslocamento umas às outras por rampas de revezamento, e o lado em que fica a falha de borda muitas vezes se alterna de um segmento para o seguinte. O bloco de teto de cada falha de borda inclina-se para baixo em direção a ela, e a bacia se enche mais depressa ali: o sedimento mais espesso se acumula contra a falha, enquanto o bloco de base é erguido na ombreira do rifte.

O estiramento horizontal transportado por uma falha é o seu afastamento horizontal. Uma falha normal planar de rejeito $h$ e mergulho $\delta$ tem afastamento horizontal $h/\tan\delta$ (Capítulo 5); somando os afastamentos horizontais das falhas através de uma seção de rifte obtém-se a extensão da crosta frágil. Como toda a litosfera se afina ao ser esticada, e por que depois ela afunda, é quantificado no Livro 4; aqui as falhas são medidas, e sua soma comparada com o movimento das placas.

Riftes vulcânicos e pobres em magma

Riftes diferem na quantidade de magma que recebem. Em um rifte pobre em magma o estiramento é absorvido por falhas, e a crosta se afina à medida que os blocos deslizam afastados. Em um rifte vulcânico o magma toma o lugar: diques intrudem a crosta ao longo do eixo, cada um abrindo o rifte por sua própria espessura, e lavas inundam a superfície. O Rifte da África Oriental mostra os dois, lado a lado: seu ramo leste é fortemente vulcânico, enquanto seu ramo oeste é menos, e abriga bacias sedimentares profundas, preenchidas por lagos como o Tanganica e limitadas por falhas.

Os dois ramos começaram a se formar cerca de 25 milhões de anos atrás, e o rifte divide a placa africana em uma placa núbia, a oeste, e uma placa somali, a leste. A partir da junção tripla de Afar ele segue para o sul, em dois ramos em torno do antigo, espesso e frio cráton da Tanzânia. Seu movimento é lento: calculado a partir dos vetores de placa da Somália e da Núbia, cada um medido em relação à placa antártica, a Somália se afasta da Núbia a $6.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $105{}^{\circ}$ no centro da Etiópia ($8.5{}^{\circ}$ N, $39.5{}^{\circ}$ L), e a $5.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ na linha do equador. Muitos terremotos do rifte mostram falhamento normal.

Em Afar, na extremidade norte, o rifte encontra o mar Vermelho e o golfo de Áden. A maior parte dos basaltos de inundação da Etiópia entrou ali cerca de 30 milhões de anos atrás, em um milhão de anos ou menos, e o magma continuou a chegar desde então: lavas escorrem na superfície, intrusões ocorrem na crosta e material novo é acrescentado abaixo dela, tanto que a crosta intrudida manteve sua espessura durante as primeiras fases do rifteamento. A crise de 2005 mostra como um rifte desse tipo se abre: não de modo constante, mas em episódios, cada um um dique de metros de largura intrudido em dias ou semanas. Como as placas divergem a cerca de $18\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ali, o dique de $8\,\mathrm{m}$ de 2005 absorveu o estiramento de cerca de 440 anos.

13.2 Ruptura e margens passivas

Se o estiramento continua, a crosta continental se afina até desaparecer, o manto sobe sob o rifte e se funde à medida que sobe, e a primeira crosta oceânica se forma entre as duas metades do continente. Esse momento é a ruptura. A partir daí as placas se afastam em uma dorsal no meio de um oceano novo, e as duas bordas do continente, levadas para longe da dorsal, deixam de ser fronteiras de placas.

Definição 13.2 (Margem passiva, transição oceano–continente, discordância de ruptura)

Uma margem passiva é a borda de um continente formada por rifteamento e que não é mais uma fronteira de placas: o continente e o fundo oceânico adjacente pertencem à mesma placa. A transição oceano–continente é a zona da margem, de quilômetros a dezenas de quilômetros de largura, entre a crosta continental afinada e a crosta oceânica normal. A discordância de ruptura é a discordância que separa os sedimentos depositados nas bacias de rifte, inclinados junto com seus blocos, dos sedimentos não perturbados depositados sobre a margem depois da ruptura.

Margens passivas bordejam a maior parte do Atlântico, o oceano Ártico e a parte oeste do oceano Índico, e quase todas as costas da África, da Austrália, da Groenlândia e da Índia. A margem leste da América do Norte e a margem noroeste da África foram os dois lados de um único rifte: são margens conjugadas. Seu perfil é a sequência familiar do fundo oceânico junto à terra: plataforma continental, talude, sopé continental e planície abissal. Sob a plataforma e o talude jaz a crosta continental afinada, cortada por falhas normais que mergulham para o oceano, com seus blocos rotacionados enterrados sob os sedimentos.

Dois tipos de margem

As margens herdam o caráter de seu rifte. Em margens pobres em magma, como as da Ibéria e de Terra Nova, as seções sísmicas mostram blocos rotacionados cujas camadas mergulham para o continente; em alguns lugares a transição oceano–continente é assentada por peridotito do manto, trazido ao fundo do mar e alterado pela água do mar a serpentinito. Em margens vulcânicas, como as margens do centro da Noruega, da Groenlândia oriental, da Namíbia e do Brasil, a transição é construída de basalto: pilhas de fluxos de lava que mergulham para o oceano, os refletores que mergulham para o mar das seções sísmicas, e abaixo deles uma crosta inferior na qual ondas P viajam anormalmente depressa, com magma acrescentado sob a crosta na ruptura. Margens vulcânicas afundam pouco durante a ruptura.

No campo — Encontrar a borda de um continente

A transição oceano–continente fica sob quilômetros de água e sedimento, e só é localizada pela geofísica, em geral por vários métodos juntos. A reflexão sísmica gera imagens dos blocos inclinados, da discordância de ruptura e, quando o sinal chega fundo o bastante, do Moho. A refração sísmica de grande ângulo mede as velocidades das ondas P através da crosta, que diferem entre crosta continental e oceânica. Os dados gravimétricos, invertidos para a profundidade do Moho, dão a espessura da crosta. As listras magnéticas do fundo oceânico param onde começa a crosta continental, magneticamente silenciosa.

Depois da ruptura, uma margem afunda. Durante o rifteamento a litosfera foi afinada e aquecida; levada para longe da dorsal, ela esfria e se contrai, como o fundo oceânico ao lado, e o espaço que se abre sobre ela se enche com a cunha de sedimentos pós-rifte, cujo peso a empurra ainda mais para baixo. A metade de resfriamento dessa história é contada em Seção 13.4; o peso dos sedimentos é o tema de Capítulo 23.

13.3 Dorsais rápidas e lentas

Uma vez nascido, o oceano cresce em sua dorsal. As dorsais se espalham a taxas muito diferentes: as taxas medidas nos últimos milhões de anos vão de $9.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ no norte do mar Vermelho a $154.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ na Dorsal do Pacífico Leste. A forma delas depende dessa taxa.

Definição 13.3 (Dorsais de espalhamento rápido, lento e ultralento)

Uma dorsal é classificada pela sua taxa de espalhamento completa. Uma dorsal de espalhamento ultralento abre-se a menos de cerca de $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; uma dorsal de espalhamento lento a 20 a $55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; uma dorsal intermediária a 55 a $75\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; uma dorsal de espalhamento rápido a mais de cerca de $75\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Os limites são convenções e variam entre autores. O que não varia é a mudança de forma. Uma dorsal lenta, como a Dorsal Meso-Atlântica, tem um vale axial entre falhas normais voltadas para dentro: a fenda entre as placas não é preenchida por magma tão depressa quanto se abre, e a litosfera fria se quebra. Uma dorsal rápida, como a Dorsal do Pacífico Leste, não tem vale de rifte, mas um alto axial liso sobre uma lente de fusão, reabastecida com frequência suficiente para acompanhar. De qualquer modo o eixo fica a cerca de $2500\,\mathrm{m}$ de profundidade, e o fundo mais antigo das bacias quase $4\,\mathrm{km}$ mais fundo (Seção 13.4).

Dorsais ultralentas mostram o que acontece quando o magma é mais escasso: seu vulcanismo é intermitente, elas não têm transformantes e, em grandes regiões, o próprio manto é trazido ao fundo do mar. A Dorsal de Gakkel, sob o oceano Ártico, a mais lenta de todas, não tem nenhum deslocamento; ao longo de um trecho central de seu eixo com cerca de $300\,\mathrm{km}$ de comprimento, peridotito do manto jaz diretamente sobre o eixo, entre um vulcanismo abundante a oeste e grandes vulcões espaçados a leste. Em dorsais lentas e ultralentas, especialmente, parte do espalhamento é absorvida por falhas normais longas e pouco inclinadas, descolamentos, cujo bloco de base é puxado para fora de sob o eixo: gabro e peridotito chegam ao fundo do mar em domos corrugados, complexos de núcleo oceânicos. O Atlantis Massif, ao lado da Dorsal Meso-Atlântica perto de $30{}^{\circ}$ N, é um deles: em seu topo, sobre crosta de $1.5\,\mathrm{Myr}$ a cerca de $15\,\mathrm{km}$ do eixo, a água do mar reagindo com a rocha do manto alimenta as fontes quentes e alcalinas do campo hidrotermal Lost City.

A crosta oceânica

Definição 13.4 (Crosta oceânica, lava em almofada, complexo de diques em lençol)

A crosta oceânica é a crosta formada nas dorsais oceânicas: de 6 a $7\,\mathrm{km}$ de basalto e gabro, do fundo do mar até o Moho, sob uma cobertura de sedimentos. A lava em almofada é lava erupcionada sob a água, feita de tubos e lóbulos arredondados e interligados, cada um com uma pele vítrea resfriada pelo mar. Um complexo de diques em lençol é uma camada feita quase inteiramente de diques verticais paralelos, cada um intrudido entre os anteriores.

As camadas da crosta oceânica foram definidas primeiro pela sismologia, depois amostradas por perfuração e reconhecidas em fatias de fundo oceânico empurradas sobre os continentes, os ofiolitos. Do topo:

• camada 1, sedimentos, finos ou ausentes perto da dorsal e engrossando com a idade do fundo;
• camada 2, em média $1.84\,\mathrm{km}$ de basalto: lava em almofada no topo (camada 2A), diques em lençol de diabásio embaixo (camada 2B);
• camada 3, os quatro a cinco quilômetros restantes, de gabro e, em sua base, cumulados depositados a partir do magma: cerca de $70\,\%$ da espessura da crosta.

Abaixo do Moho jaz peridotito do manto, o resíduo deixado pela fusão.

A refração sísmica dá à crosta ígnea uma espessura média de $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ longe das zonas de fratura e dos pontos quentes, e uma síntese posterior de perfis sísmicos dá $6.15\,\mathrm{km}$, quase a mesma em todas as taxas de espalhamento: a quantidade de fusão depende da temperatura do manto ascendente, não da velocidade com que ele sobe. Apenas dorsais muito lentas produzem crosta anormalmente fina: o manto ali tem tempo de esfriar enquanto sobe, e funde menos. Sobre uma pluma quente a crosta é mais espessa, cerca de $20\,\mathrm{km}$ diretamente acima do núcleo ascendente de uma pluma, como sob a Islândia (Capítulo 15). Ao longo de todas as dorsais juntas, cerca de $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ de novo fundo oceânico e cerca de $20\,\mathrm{km}^{3}$ de nova crosta são produzidos a cada ano.

Proposição 13.5 (Cada dique divide o anterior)

Suponha que cada dique de um complexo de diques em lençol seja intrudido ao longo do eixo de espalhamento, onde a crosta é mais quente e mais fraca, e que a crosta se afaste do eixo simetricamente. Então a maioria dos diques é encontrada partida em duas, cada metade com uma margem resfriada apenas contra seu vizinho mais antigo.

Diques com margem resfriada de um lado só são, de fato, a regra nos complexos de diques em lençol: a assinatura de uma crosta construída, dique após dique, pelo espalhamento.

13.4 A lei profundidade–idade

O fundo oceânico é raso na dorsal e fundo longe dela. Como o fundo se forma na dorsal e é levado para longe, a distância da dorsal é a idade, e a profundidade do fundo depende de sua idade. A placa esfria por cima à medida que envelhece (Capítulo 10); rocha fria é mais densa, e uma coluna mais densa flutua mais baixo.

Lema 13.6 (Uma integral da função erro)

Com $\operatorname{erfc} u = 1 - \operatorname{erf} u = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_u^\infty e^{-s^2}\,\mathrm ds$,

$$\int_0^\infty \operatorname{erfc} u \,\mathrm du = \frac{1}{\sqrt\pi}.$$

Teorema 13.7 (Lei profundidade–idade)

Suponha que

1. o manto deixa a dorsal à temperatura uniforme $T_m$, e a placa oceânica de idade $t$ é um semiespaço resfriado desde então a partir de sua superfície, mantida em $T_0$, com a difusividade térmica $\kappa$;
2. a densidade da rocha resfriada é $\rho_m\bigl(1 + \alpha(T_m - T)\bigr)$, com $\rho_m$ a densidade do manto em $T_m$ e $\alpha$ seu coeficiente de expansão térmica;
3. cada coluna está em equilíbrio isostático acima de uma profundidade de compensação situada abaixo da camada resfriada, e a água do mar tem densidade $\rho_w$.

Então a profundidade do fundo do mar de idade $t$ é

$$d(t) = d_r + C\sqrt t, \qquad C = \frac{2}{\sqrt\pi}\,\frac{\rho_m\,\alpha\,(T_m - T_0)\sqrt\kappa}{\rho_m - \rho_w},$$

onde $d_r$ é a profundidade do eixo da dorsal. Esta é a lei profundidade–idade do fundo oceânico.

A água importa: à medida que a placa afunda, a água enche o espaço acima dela, e seu peso empurra a placa ainda mais para baixo. O coeficiente efetivo de expansão $\alpha\rho_m/(\rho_m - \rho_w)$ é maior que $\alpha$ pelo fator $3300/2300 \approx 1.43$.

Com $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1350\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e o tempo contado em milhões de anos ($\sqrt{\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = 5618\,\mathrm{m}$), o teorema dá $C = 393\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$. As constantes ajustadas por Parsons e Sclater às profundidades do Pacífico Norte e do Atlântico Norte, depois de retirados os sedimentos, são próximas: $d_r \approx 2500\,\mathrm{m}$ e $C \approx 350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, de 0 a $70\,\mathrm{Myr}$. Os valores de $\alpha$ e $T_m$ usados acima são os de seu modelo de placa para fundo antigo, um manto a $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,/{}^{\circ}\mathrm{C}$, incertos em um quinto e um terço, respectivamente, de modo que a concordância de 393 com 350 é tão boa quanto se poderia esperar.

Exemplo 13.8 (Fundo oceânico com 25 e 100 milhões de anos)

Com $d = 2500 + 350\sqrt t$ (metros, $t$ em milhões de anos), o fundo de $25\,\mathrm{Myr}$ fica em $2500 + 350\times5 = 4250\,\mathrm{m}$ e o fundo de $100\,\mathrm{Myr}$ em $2500 + 350\times10 = 6000\,\mathrm{m}$. O fundo afunda $1750\,\mathrm{m}$ em seus primeiros 25 milhões de anos, e apenas mais $1750\,\mathrm{m}$ nos 75 seguintes.

A figura testa o teorema sobre todo o oceano. Até cerca de $20\,\mathrm{Myr}$ ($\sqrt t \approx 4.5$) as medianas ficam a cerca de cem metros da lei. Uma reta ajustada às medianas mais jovens que $70\,\mathrm{Myr}$ tem inclinação de apenas $250\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$: as profundidades medidas são as da superfície dos sedimentos, enquanto a lei dá a profundidade do topo da crosta, e a cobertura de sedimentos engrossa com a idade. Entre 60 e $80\,\mathrm{Myr}$, o fundo se afasta da lei da raiz quadrada mesmo depois de retirados os sedimentos: ele fica mais raso que a lei e deixa de afundar. O modelo de placa, uma placa de $125\,\mathrm{km}$ de espessura cuja base é mantida à temperatura do manto, descreve esse achatamento: sua profundidade tende a cerca de $6400\,\mathrm{m}$, e seu fluxo de calor a uma constante, como se o calor fosse suprido à base de placas antigas pelo manto em convecção. Esse modelo é estudado no Livro 5; neste livro a lei da raiz quadrada é usada até $80\,\mathrm{Myr}$.

Método 13.9 (Datação do fundo oceânico a partir de sua profundidade)

Para estimar a idade do fundo oceânico onde suas anomalias magnéticas estão ausentes ou não mapeadas:

1. meça a profundidade do fundo e, a partir de perfis sísmicos, a espessura de seus sedimentos; tome a profundidade $d$ do topo da crosta, corrigida pelo peso dos sedimentos;
2. inverta a lei: $t = \bigl((d - d_r)/C\bigr)^2$, com $d_r$ e $C$ para o oceano em questão;
3. confira que o fundo é mais jovem que cerca de $80\,\mathrm{Myr}$, e estime a incerteza: um erro $\delta d$ na profundidade dá $\delta t = 2t\,\delta d/(d - d_r)$.

Para um fundo a $4600\,\mathrm{m}$, $t = (2100/350)^2 = 36\,\mathrm{Myr}$, e uma incerteza de $100\,\mathrm{m}$ na profundidade dá $2\times36\times100/2100 \approx 3.4\,\mathrm{Myr}$ na idade. Onde o fundo é mais raso que a lei prevê numa região ampla, uma elevação, a causa não é a idade, e sim o calor vindo de baixo (Capítulo 15).

A lei também liga o oceano ao nível do mar. Uma dorsal que se espalha mais depressa leva fundo jovem e raso mais longe de seu eixo; as bacias oceânicas comportam menos água, e o mar sobe sobre os continentes. Ao longo de dezenas de milhões de anos, mudanças na taxa de espalhamento são uma das duas causas principais das mudanças do nível global do mar, junto com o volume de gelo sobre a terra.

13.5 Falhas transformantes e zonas de fratura

As dorsais não são linhas contínuas: são cortadas em segmentos deslocados por falhas que correm em ângulo reto em relação a elas, na direção do espalhamento. Além dos deslocamentos, as falhas continuam como longas cicatrizes através do fundo oceânico.

Definição 13.10 (Falha transformante, zona de fratura)

Uma falha transformante é uma falha de deslizamento horizontal que é uma fronteira de placas e termina em outras fronteiras de placas; uma transformante dorsal–dorsal une as extremidades de dois segmentos de dorsal deslocados. Uma zona de fratura é a continuação de uma falha transformante além das extremidades dos segmentos de dorsal: um vale linear ou um degrau através do fundo oceânico, separando fundos de idades diferentes que pertencem a uma única placa.

Proposição 13.11 (Deslizamento em uma transformante dorsal–dorsal)

Dois segmentos de dorsal que se espalham simetricamente à taxa de metade $u$, perpendicularmente a si mesmos, são deslocados por uma falha transformante de comprimento $a$. Então:

1. os dois lados da transformante deslizam um pelo outro à taxa completa $2u$, no sentido oposto ao que o deslocamento sugeriria se uma única dorsal reta tivesse sido cortada e deslocada pela falha;
2. ao longo das zonas de fratura os dois lados não se movem um em relação ao outro, e o fundo nos dois lados difere em idade de $a/u$;
3. o comprimento da transformante não muda com o tempo.

J. Tuzo Wilson percebeu em 1965 que os deslocamentos das dorsais não podem ser lidos como o deslocamento de uma dorsal reta mais antiga, e previu o sentido do deslizamento da proposição; os mecanismos focais dos terremotos nas transformantes confirmaram isso. Os terremotos ocorrem ao longo da transformante ativa, entre as extremidades das dorsais; as zonas de fratura costumam estar silenciosas. Através de uma zona de fratura o fundo dos dois lados tem idades diferentes e, portanto, pela lei profundidade–idade, profundidades diferentes: um degrau que se atenua lentamente com a distância da dorsal. No Atlântico Norte, perto de $52{}^{\circ}$ N, as duas transformantes de Charlie–Gibbs deslocam a Dorsal Meso-Atlântica em cerca de $350\,\mathrm{km}$ ao todo.

As transformantes são a terceira evidência dos movimentos de placas de Capítulo 12: uma transformante corre ao longo da velocidade relativa das duas placas, portanto está sobre um pequeno círculo em torno de seu polo de Euler, e os círculos máximos traçados perpendicularmente a várias transformantes se encontram no polo. As zonas de fratura, traçadas pelo fundo oceânico, registram a direção do movimento no passado, como as anomalias magnéticas registram sua taxa.

13.6 Exercícios

Exercício 13.1 ★

Em 2005 um segmento do rifte de Afar, com $60\,\mathrm{km}$ de comprimento, abriu-se em até $8\,\mathrm{m}$, e $2.5\,\mathrm{km}^{3}$ de magma foram intrudidos. (a) Supondo que o dique tivesse $8\,\mathrm{m}$ de espessura ao longo de todo o segmento, calcule sua altura média. (b) À taxa de placa de $18\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, calcule quantos anos de movimento representa uma abertura de $8\,\mathrm{m}$.

Solução

Solução de Exercício 13.1.

(a) O dique cobriria $60\,000\,\mathrm{m}\times8\,\mathrm{m} = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}$ em planta, logo sua altura média seria $2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}/4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2} = 5200\,\mathrm{m}$, cerca de $5\,\mathrm{km}$: o dique cortou grande parte da crosta. (b) $8\,\mathrm{m}/0.018\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 444$ anos, uns quatro séculos.

Exercício 13.2 ★

Um semigráben é limitado por uma falha de borda de rejeito $3.0\,\mathrm{km}$ com mergulho $60{}^{\circ}$, e cortado por uma falha antitética menor, de rejeito $0.8\,\mathrm{km}$ com mergulho $70{}^{\circ}$. (a) Calcule o afastamento horizontal de cada falha e a extensão da seção. (b) A seção tem agora $25\,\mathrm{km}$ de largura: calcule qual era a largura antes do falhamento.

Solução

Solução de Exercício 13.2.

(a) O afastamento horizontal é o rejeito vertical dividido pela tangente do mergulho: $3.0/\tan60{}^{\circ} = 1.73\,\mathrm{km}$ e $0.8/\tan70{}^{\circ} = 0.29\,\mathrm{km}$; a extensão da seção é $2.02\,\mathrm{km}$. (b) Antes do falhamento a seção tinha $25 - 2.02 = 22.98\,\mathrm{km}$ de largura, cerca de $23\,\mathrm{km}$: foi alongada em cerca de $9\,\%$.

Exercício 13.3 ★

Classifique as dorsais a seguir com os limites da definição, a partir de suas taxas de espalhamento completas calculadas com vetores de placa: Dorsal de Gakkel $12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; mar Vermelho central $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; Dorsal de Reykjanes $19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; Dorsal de Carlsberg ocidental $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; Atlântico Sul a $20{}^{\circ}$ S $33\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; Dorsal do Pacífico Leste a $20{}^{\circ}$ S $143\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Diga quais delas você esperaria ter um vale axial, e quais um alto axial.

Solução

Solução de Exercício 13.3.

Ultralenta (abaixo de $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$): a Dorsal de Gakkel (12), o centro do mar Vermelho (15) e a Dorsal de Reykjanes (19), esta última perto do limite. Lenta (20 a $55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$): a Dorsal de Carlsberg ocidental (23) e o Atlântico Sul (33). Rápida (acima de $75\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$): a Dorsal do Pacífico Leste (143). As dorsais ultralentas e lentas devem ter um vale axial entre falhas normais; a Dorsal do Pacífico Leste, um alto axial.

Exercício 13.4 ★

Cerca de $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ de novo fundo oceânico são produzidos a cada ano, com uma crosta de $7.1\,\mathrm{km}$ de espessura. (a) Calcule o volume de crosta produzido a cada ano. (b) À taxa dada, calcule quanto tempo levaria para produzir os $3.028 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}$ do fundo oceânico, e compare com a idade do fundo oceânico mais antigo, cerca de $190\,\mathrm{Myr}$; explique por que as duas não precisam concordar.

Solução

Solução de Exercício 13.4.

(a) $3.0\,\mathrm{km}^{2}\times7.1\,\mathrm{km} = 21.3\,\mathrm{km}^{3}$, cerca de $21\,\mathrm{km}^{3}$ por ano. (b) $3.028 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}/3.0\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1} = 1.01 \times 10^{8}\,\mathrm{yr}$, $101\,\mathrm{Myr}$. O fundo mais antigo, cerca de $190\,\mathrm{Myr}$, é mais antigo porque o fundo não é destruído em ordem de idade: a subducção consome fundo de todas as idades, parte do fundo antigo sobrevive onde nenhuma fossa o alcançou, e a taxa de produção variou.

Exercício 13.5 ★★

Com $d = 2500 + 350\sqrt t$ (metros, $t$ em milhões de anos): (a) calcule a profundidade do fundo com 4, 36 e 64 milhões de anos; (b) encontre a idade do fundo a $4600\,\mathrm{m}$ e a $5300\,\mathrm{m}$; (c) de quanto afunda o fundo entre 4 e $36\,\mathrm{Myr}$, e entre 36 e $64\,\mathrm{Myr}$?

Solução

Solução de Exercício 13.5.

(a) $2500 + 350\times2 = 3200\,\mathrm{m}$, $2500 + 350\times6 = 4600\,\mathrm{m}$, $2500 + 350\times8 = 5300\,\mathrm{m}$. (b) $t = \bigl((d - 2500)/350\bigr)^2$: $(2100/350)^2 = 36\,\mathrm{Myr}$ e $(2800/350)^2 = 64\,\mathrm{Myr}$. (c) O fundo afunda $1400\,\mathrm{m}$ entre 4 e $36\,\mathrm{Myr}$, mas apenas $700\,\mathrm{m}$ entre 36 e $64\,\mathrm{Myr}$, em um intervalo de tempo semelhante.

Exercício 13.6 ★★

Calcule a constante $C$ da lei profundidade–idade (Teorema 13.7) para $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $T_m - T_0 = 1350\,\mathrm{K}$ e $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, em $\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$. Refaça-a para um manto $250\,\mathrm{K}$ mais frio. Qual constante seguiria o fundo de um oceano mais frio?

Solução

Solução de Exercício 13.6.

O coeficiente de expansão efetivo é $3.2 \times 10^{-5}\times3300/2300 = 4.591 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, e $\sqrt{\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = \sqrt{10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}} = 5618\,\mathrm{m}$. Então $C = (2/\sqrt\pi)\times4.591 \times 10^{-5}\times1350\times5618 = 1.1284\times4.591 \times 10^{-5}\times1350\times5618 = 393\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$. Para um manto $250\,\mathrm{K}$ mais frio, $C$ varia com $T_m - T_0$: $393\times1100/1350 = 320\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$. O fundo de um oceano mais frio afunda mais devagar e segue a constante menor. O $350$ ajustado do capítulo não é um desses casos: ele está dentro da incerteza dos parâmetros.

Exercício 13.7 ★★

O modelo de placa dá o fluxo de calor do fundo oceânico como $q = 11.3/\sqrt t$, em unidades de $10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, com $t$ em milhões de anos. (a) Converta a constante para $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ ($1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$) e compare-a com os $490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ de Capítulo 10. (b) Calcule $q$ a 1, 10 e $150\,\mathrm{Myr}$. A lei foi ajustada a fundo de até $120\,\mathrm{Myr}$, e o modelo de placa faz o fluxo de calor do fundo mais antigo se nivelar em uma constante: o valor a $150\,\mathrm{Myr}$ é então alto ou baixo demais?

Solução

Solução de Exercício 13.7.

(a) $10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.184 \times 10^{-6}\times10^{4} = 4.184 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, logo a constante é $11.3\times41.84 = 473\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$, $3.5\,\%$ abaixo de os 490 de Capítulo 10: os dois ajustes concordam. (b) $q = 473$, $473/\sqrt{10} = 150$ e $473/\sqrt{150} = 38.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. A lei da raiz quadrada continua caindo, enquanto o modelo de placa se nivela em uma constante: a $150\,\mathrm{Myr}$ o valor pela raiz quadrada é baixo demais, pois a lei de profundidade vai fundo demais.

Exercício 13.8 ★★

Uma dorsal orientada norte–sul é cortada em dois segmentos; indo para o sul ao longo da dorsal, o eixo salta $40\,\mathrm{km}$ para oeste em uma falha transformante. (a) Qual é o sentido do deslizamento na transformante? (b) O que o deslocamento da dorsal parece mostrar? (c) Onde ao longo da linha da transformante ocorrem terremotos, e por que não além?

Solução

Solução de Exercício 13.8.

Tome o segmento norte sobre $x = 0$ e o sul sobre $x = -40$ (km), a transformante sobre $y = 0$ entre eles. (a) Logo ao norte da transformante o fundo fica a oeste do segmento norte e se move para oeste; logo ao sul dela, fica a leste do segmento sul e se move para leste. Vistos de qualquer dos lados, o lado distante se move para a esquerda: o deslizamento é sinistral (levógiro). (b) A dorsal parece ter sido deslocada dextralmente, sua parte sul a oeste: o sentido oposto, como prevê Proposição 13.11. (c) Terremotos ocorrem apenas nos $40\,\mathrm{km}$ entre as duas extremidades da dorsal, onde os dois lados pertencem a placas diferentes; além, ao longo das zonas de fratura, os dois lados pertencem à mesma placa e se movem juntos.

Exercício 13.9 ★★

As zonas de fratura de Charlie–Gibbs deslocam a Dorsal Meso-Atlântica em $350\,\mathrm{km}$ ao todo; a taxa de espalhamento completa ali é $21.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Trate o deslocamento como uma única transformante. (a) Qual é a diferença de idade através da zona de fratura? (b) Usando $d = 2500 + 350\sqrt t$, calcule o degrau de profundidade através da zona de fratura no fim da transformante, depois a $100\,\mathrm{km}$ e a $1000\,\mathrm{km}$ além dela.

Solução

Solução de Exercício 13.9.

A taxa de metade é $10.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $10.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. (a) O degrau de idade é $350/10.6 = 33.0\,\mathrm{Myr}$. (b) No fim da transformante, o fundo de $33.0\,\mathrm{Myr}$ ($2500 + 350\sqrt{33.0} = 4511\,\mathrm{m}$) encontra fundo de idade 0 ($2500\,\mathrm{m}$): um degrau de cerca de $2010\,\mathrm{m}$. A $100\,\mathrm{km}$ além, as idades são $450/10.6 = 42.5$ e $100/10.6 = 9.4\,\mathrm{Myr}$, as profundidades 4781 e $3575\,\mathrm{m}$: um degrau de cerca de $1210\,\mathrm{m}$. A $1000\,\mathrm{km}$ além, as idades são 127.4 e $94.3\,\mathrm{Myr}$, as profundidades 6450 e $5899\,\mathrm{m}$: $550\,\mathrm{m}$. (Essas idades passam de $80\,\mathrm{Myr}$, onde a lei da raiz quadrada vai fundo demais; a lei da placa daria um degrau menor.)

Exercício 13.10 ★★★

Uma bacia oceânica é criada a taxa constante e contém fundo de todas as idades de 0 a $A$ em áreas iguais. (a) Mostre que sua profundidade média é $d_r + \frac23C\sqrt A$. (b) Com $d_r = 2500\,\mathrm{m}$ e $C = 350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, compare $A = 180\,\mathrm{Myr}$ e $A = 120\,\mathrm{Myr}$. (c) Se o espalhamento da bacia acelera de modo que seu fundo mais antigo tenha $120\,\mathrm{Myr}$ em vez de $180\,\mathrm{Myr}$, de quanto sobe o nível do mar, desprezando o alagamento dos continentes mas admitindo a carga da água extra sobre o fundo, que afunda por $\rho_w/(\rho_m - \rho_w)$ vezes a subida ($\rho_m = 3300$, $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)?

Solução

Solução de Exercício 13.10.

(a) Com áreas iguais para cada idade, a profundidade média é a média de $d(t)$ em $[0, A]$:

$$\frac1A\int_0^A\bigl(d_r + C\sqrt t\bigr)\mathrm dt = d_r + \frac CA\cdot\frac23A^{3/2} = d_r + \frac23C\sqrt A.$$

(b) Para $A = 180\,\mathrm{Myr}$: $2500 + \frac23\times350\times13.416 = 5630\,\mathrm{m}$; para $120\,\mathrm{Myr}$: $2500 + \frac23\times350\times10.954 = 5056\,\mathrm{m}$, $574\,\mathrm{m}$ mais raso. (c) Seja a subida do mar $r$ e o fundo carregado afunda $s = r\rho_w/(\rho_m - \rho_w)$. A água, inalterada em volume, deve encher a mesma profundidade sobre a mesma área, logo $r + s = 574\,\mathrm{m}$, $r\,\rho_m/(\rho_m - \rho_w) = 574$, e $r = 574\times2300/3300 = 400\,\mathrm{m}$: centenas de metros, só pela taxa de espalhamento.

Exercício 13.11 ★★★

No cenário de Proposição 13.11, o degrau de profundidade através de uma zona de fratura à distância $x > a$ do segmento de dorsal mais distante é $\Delta d = C\bigl(\sqrt{x/u} - \sqrt{(x - a)/u}\bigr)$. (a) Mostre que, para $x \gg a$, $\Delta d \approx Ca/(2\sqrt{ux})$. (b) Com $C = 350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, $a = 350\,\mathrm{km}$ e $u = 10.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, compare os degraus exato e aproximado em $x = 450$, 1350 e $3350\,\mathrm{km}$. Quando a aproximação é boa até $10\,\%$?

Solução

Solução de Exercício 13.11.

(a) $\sqrt{x - a} = \sqrt x\sqrt{1 - a/x} \approx \sqrt x\,(1 - a/2x)$ para $a \ll x$, logo $\Delta d \approx C\sqrt{x/u}\cdot a/(2x) = Ca/(2\sqrt{ux})$. (b) Em $x = 450\,\mathrm{km}$: exato $1205\,\mathrm{m}$, aproximado $350\times350/(2\sqrt{10.6\times450}) = 887\,\mathrm{m}$; em $1350\,\mathrm{km}$: $550\,\mathrm{m}$ e $512\,\mathrm{m}$; em $3350\,\mathrm{km}$: $334\,\mathrm{m}$ e $325\,\mathrm{m}$. A razão entre o degrau aproximado e o exato depende apenas de $r = a/x$: $(r/2)/(1 - \sqrt{1 - r})$, que vale 0.9 para $r = 0.36$. A aproximação é boa até $10\,\%$ além de $x = 350/0.36 \approx 970\,\mathrm{km}$, cerca de três deslocamentos da dorsal.

Exercício 13.12 ★★★

Compare a lei do semiespaço $d_1(t) = 2500 + 350\sqrt t$ com a lei da placa $d_2(t) = 6400 - 3200\,e^{-t/62.8}$. (a) Calcule $d_2 - d_1$ a 10, 20, 30 e $40\,\mathrm{Myr}$. (b) Mostre que as duas leis são iguais em uma idade entre 20 e $30\,\mathrm{Myr}$ e encontre-a com $0.1\,\mathrm{Myr}$ por bissecção. (c) Compare suas inclinações ali. Por que as duas leis podem ser unidas nessa idade sem uma quebra visível?

Solução

Solução de Exercício 13.12.

(a) $d_2 - d_1 = 3671.1 - 3606.8 = 64.3\,\mathrm{m}$ a $10\,\mathrm{Myr}$; $4072.8 - 4065.3 = 7.5\,\mathrm{m}$ a 20; $4415.4 - 4417.0 = -1.7\,\mathrm{m}$ a 30; $4707.5 - 4713.6 = -6.1\,\mathrm{m}$ a 40. (b) $d_2 - d_1$ é positivo a 20 e negativo a 30, e ambas as leis são contínuas: elas são iguais entre os dois. Bissecção: a 25, $d_2 - d_1 = +0.9$; a 27.5, $-0.7$; a 26.25, $+0.01$; a 26.875, $-0.3$; a 26.56, $-0.2$; a 26.41, $-0.08$; a 26.33, $-0.04$: a raiz está entre 26.25 e 26.33, em $26.3\,\mathrm{Myr}$, onde ambas dão $4294\,\mathrm{m}$. (c) $d_1' = 175/\sqrt{26.3} = 34.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ e $d_2' = (3200/62.8)\,e^{-26.3/62.8} = 33.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. As leis têm quase o mesmo valor e a mesma inclinação ali, de modo que a curva unida não tem quebra visível.

13.7 Problema: o nascimento de um oceano

Problema 13.1

Problema de fim de semana — um continente esticado por suas falhas, um oceano jovem medido por suas listras, e a profundidade de seu fundo à medida que envelhece

Tome $R = 6371\,\mathrm{km}$. Um oceano nasce em três estágios, cada um visto hoje em um lugar diferente: um rifte continental, um oceano jovem, um oceano antigo.

Parte I — Um rifte esticado por suas falhas. Uma seção através de um rifte orientado a $020{}^{\circ}$ cruza seis falhas normais cujos rejeitos e mergulhos foram medidos em perfis sísmicos:

falha	F1	F2	F3	F4	F5	F6
rejeito ($\mathrm{m}$)	600	1100	2400	350	800	1500
mergulho	$60{}^{\circ}$	$55{}^{\circ}$	$50{}^{\circ}$	$65{}^{\circ}$	$60{}^{\circ}$	$52{}^{\circ}$

As falhas cortam lavas datadas de $3.2\,\mathrm{Ma}$, e o rifte tem agora $60\,\mathrm{km}$ de largura.

1. Calcule o afastamento horizontal de cada falha. Qual é a falha de borda?
2. Calcule a extensão da seção e a largura do rifte antes do falhamento.
3. As duas placas se separam a $6.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $105{}^{\circ}$. Calcule a componente desse movimento perpendicular ao rifte.
4. Quanto tempo levariam as placas para produzir a extensão da questão 2?
5. Quanto as placas se afastaram desde que as lavas foram erupcionadas? Que fração disso as falhas transportam?
6. Sugira para onde foi o restante da extensão. Se ela fosse absorvida por diques como o de Afar em 2005, com $8\,\mathrm{m}$ de largura, quantos seriam necessários, e com que frequência?

Parte II — Um oceano jovem medido por suas listras. Um perfil magnético através do eixo do centro do mar Vermelho, em $18.0{}^{\circ}$ N, $40.0{}^{\circ}$ L, percorre a direção do espalhamento. A borda jovem do cron C2An ($2.581\,\mathrm{Ma}$) fica a $21.0\,\mathrm{km}$ a nordeste do eixo e a $20.2\,\mathrm{km}$ a sudoeste dele; a borda antiga do cron C3n ($5.235\,\mathrm{Ma}$) fica a $41.0\,\mathrm{km}$ e $40.2\,\mathrm{km}$. As bordas das anomalias são deslocadas para fora do eixo em $2.2\,\mathrm{km}$ ao todo, em média, somando os dois flancos.

7. Calcule a taxa de espalhamento completa a partir de cada cron, sem correção.
8. Corrija cada taxa pelo deslocamento para fora. As duas concordam?
9. Mostre que a taxa calculada a partir da distância entre os dois crons em cada flanco não precisa de correção, e calcule-a.
10. Calcule as taxas de metade em cada flanco a partir das distâncias entre os dois crons. O espalhamento é simétrico?
11. O polo de Euler da Arábia em relação à Núbia está em $30.9{}^{\circ}$ N, $23.6{}^{\circ}$ L, com a taxa $0.403{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Calcule a distância angular do polo ao perfil, e a taxa de espalhamento completa que o vetor da placa prevê ali.
12. No norte do mar Vermelho, em $26.0{}^{\circ}$ N, $35.0{}^{\circ}$ L, calcule a distância angular ao polo e a taxa prevista.
13. Compare essas taxas com as medidas, $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e $9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Por que o mar Vermelho se abre mais depressa no sul?

Parte III — Rumo a um Atlântico.

14. Qual a largura do fundo oceânico formado no centro do mar Vermelho desde a borda antiga de C3n, à taxa da questão 9?
15. O Atlântico Sul abriu cerca de $5000\,\mathrm{km}$ em Recife em $120.6\,\mathrm{Myr}$ (Capítulo 12). Calcule sua taxa média de abertura.
16. À taxa atual do centro do mar Vermelho, quanto tempo levaria uma abertura de $5000\,\mathrm{km}$? E à taxa do norte do mar Vermelho?
17. O mar Vermelho se abre em torno de um polo próximo a ele. O que isso implica para sua forma à medida que se alarga, e para o tempo que a parte norte precisa para atingir a largura que a parte central tem agora?
18. Que tipo de dorsal é o eixo do mar Vermelho, e que forma de eixo você espera?

Parte IV — O fundo afunda. Use $d = 2500 + 350\sqrt t$ (metros, $t$ em milhões de anos) e, para comparação, a lei da placa $6400 - 3200\,e^{-t/62.8}$.

19. Calcule a profundidade do novo fundo nas idades de 1, 10 e $40\,\mathrm{Myr}$.
20. Em que idade o fundo atinge $4000\,\mathrm{m}$?
21. O fundo ao lado de cada margem passiva tem a idade do oceano. De quanto afunda nos primeiros $10\,\mathrm{Myr}$ após a ruptura, e entre 70 e $80\,\mathrm{Myr}$?
22. A que taxa, em metros por milhão de anos, esse fundo afunda quando o oceano tem $80\,\mathrm{Myr}$?
23. Que fluxo de calor o fundo da questão 22 perde então, com $q = 490/\sqrt t$ em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$?
24. Calcule a profundidade do fundo de $80\,\mathrm{Myr}$ com cada uma das duas leis, e a diferença entre elas. Por que as duas podem ser comparadas nessa idade?
25. Com aproximação de um décimo de quilômetro, qual profundidade a lei da raiz quadrada dá ao fundo do novo oceano quando ele tem 80 milhões de anos?

Solução

Solução de Problema 13.1.

1. Afastamento $=$ rejeito$/\tan$(mergulho): F1 $346\,\mathrm{m}$, F2 $770\,\mathrm{m}$, F3 $2014\,\mathrm{m}$, F4 $163\,\mathrm{m}$, F5 $462\,\mathrm{m}$, F6 $1172\,\mathrm{m}$. F3, com o maior rejeito e o maior afastamento horizontal, é a falha de borda.

2. A extensão é a soma, $4927\,\mathrm{m}$, cerca de $4.9\,\mathrm{km}$. O rifte tinha $60 - 4.9 = 55.1\,\mathrm{km}$ de largura antes do falhamento.

3. A normal a um rifte orientado a $020{}^{\circ}$ aponta para $110{}^{\circ}$; o movimento, em direção a $105{}^{\circ}$, faz $5{}^{\circ}$ com ela. A componente perpendicular é $6.0\cos5{}^{\circ} = 5.98\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

4. $4.927\,\mathrm{km}/5.98\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 0.82\,\mathrm{Myr}$.

5. Em $3.2\,\mathrm{Myr}$ as placas se afastaram de $5.98\times3.2 = 19.1\,\mathrm{km}$ através do rifte. As falhas transportam $4.93/19.1 = 26\,\%$ disso.

6. Os outros três quartos, $14.2\,\mathrm{km}$, não estão nas falhas da seção. Eles podem ser absorvidos por diques intrudidos ao longo do eixo, que abrem o rifte sem falhá-lo, como em Afar, ou por falhas fora da seção. Com diques de $8\,\mathrm{m}$ de largura, $14\,200\,\mathrm{m}/8\,\mathrm{m} \approx 1780$ diques são necessários, um a cada $3.2\times10^6/1780 \approx 1800$ anos em média.

7. De C2An: $(21.0 + 20.2)/2.581 = 41.2/2.581 = 15.96\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De C3n: $(41.0 + 40.2)/5.235 = 81.2/5.235 = 15.51\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

8. $(41.2 - 2.2)/2.581 = 15.11\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e $(81.2 - 2.2)/5.235 = 15.09\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: corrigidas, as duas concordam a $0.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A correção importa mais para o cron mais jovem, cuja distância é menor.

9. O deslocamento para fora desloca as duas bordas de um flanco na mesma medida, logo ele se cancela na diferença. Somando os dois flancos, $(81.2 - 41.2)/(5.235 - 2.581) = 40.0/2.654 = 15.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

10. Nordeste: $(41.0 - 21.0)/2.654 = 7.54\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; sudoeste: $(40.2 - 20.2)/2.654 = 7.54\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. O espalhamento é simétrico; a diferença de $0.8\,\mathrm{km}$ entre os flancos, a mesma para os dois crons, é um deslocamento constante, como um eixo colocado $0.4\,\mathrm{km}$ fora do centro.

11. $\cos\Delta = \sin30.9{}^{\circ}\sin18.0{}^{\circ} + \cos30.9{}^{\circ}\cos18.0{}^{\circ}\cos16.4{}^{\circ} = 0.15870 + 0.78287 = 0.94157$, logo $\Delta = 19.69{}^{\circ}$. Com $\omega R = 0.403\times(\pi/180)\times6371 = 44.81\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, a taxa é $44.81\sin19.69{}^{\circ} = 15.10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, as taxas corrigidas das questões 8 e 9.

12. $\cos\Delta = \sin30.9{}^{\circ}\sin26.0{}^{\circ} + \cos30.9{}^{\circ}\cos26.0{}^{\circ}\cos11.4{}^{\circ} = 0.22512 + 0.75600 = 0.98112$, logo $\Delta = 11.15{}^{\circ}$ e a taxa é $44.81\sin11.15{}^{\circ} = 8.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

13. As previsões, 15.1 e $8.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, concordam com as medidas 15 e $9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A taxa é $\omega R\sin\Delta$, e o polo fica a noroeste do mar Vermelho, no nordeste da Líbia: quanto mais ao sul, mais longe do polo, mais rápida a abertura.

14. $15.09\times5.235 = 79\,\mathrm{km}$ de fundo oceânico.

15. $5000/120.6 = 41\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, $41\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em média.

16. $5000/15.1 = 331\,\mathrm{Myr}$ à taxa central; $5000/8.7 = 575\,\mathrm{Myr}$ à taxa do norte.

17. Abrindo-se em torno de um polo próximo, o mar Vermelho alarga-se como um par de tesouras: sua largura cresce em proporção a $\sin\Delta$, e ele continua uma cunha que se estreita em direção ao polo. A $8.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, a parte norte precisa de $79/8.7 = 9.1\,\mathrm{Myr}$ para formar os $79\,\mathrm{km}$ de fundo oceânico que a parte central tem agora.

18. A $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, o eixo do mar Vermelho é uma dorsal ultralenta; um vale axial entre falhas normais é o esperado.

19. $2500 + 350\times1 = 2850\,\mathrm{m}$; $2500 + 350\sqrt{10} = 3607\,\mathrm{m}$; $2500 + 350\sqrt{40} = 4714\,\mathrm{m}$.

20. $t = (1500/350)^2 = 18.4\,\mathrm{Myr}$.

21. Nos primeiros $10\,\mathrm{Myr}$ ele afunda $350\sqrt{10} = 1107\,\mathrm{m}$; entre 70 e $80\,\mathrm{Myr}$, $350(\sqrt{80} - \sqrt{70}) = 350\times(8.944 - 8.367) = 202\,\mathrm{m}$, cinco vezes menos no mesmo intervalo de tempo.

22. $\mathrm dd/\mathrm dt = C/(2\sqrt t) = 175/\sqrt{80} = 19.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, cerca de $0.02\,\mathrm{mm}$ por ano.

23. $490/\sqrt{80} = 54.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

24. Lei da raiz quadrada: $2500 + 350\sqrt{80} = 2500 + 350\times8.944 = 5630\,\mathrm{m}$. Lei da placa: $6400 - 3200\,e^{-80/62.8} = 6400 - 3200\times0.2798 = 5505\,\mathrm{m}$. Elas diferem em $126\,\mathrm{m}$. A $80\,\mathrm{Myr}$ as duas leis ainda valem: a lei da raiz quadrada até cerca de $80\,\mathrm{Myr}$, a lei da placa a partir de cerca de $20\,\mathrm{Myr}$; além disso, a lei da raiz quadrada vai fundo demais.

25. A lei da raiz quadrada dá $5630\,\mathrm{m}$: com aproximação de um décimo de quilômetro, o fundo do novo oceano fica a uma profundidade de $5.6\,\mathrm{km}$ quando tem 80 milhões de anos (a lei da placa dá $5.5\,\mathrm{km}$).