8Mineralogia óptica

Entre polarizadores cruzados, uma lâmina delgada de gabro acende como um vitral. Ripas longas, cinzentas e brancas, listradas como um código de barras, atravessam o campo; entre elas, grãos brilham em azul, amarelo e magenta; alguns poucos permanecem pretos, qualquer que seja o ângulo. Cada um desses efeitos tem uma causa que pode ser calculada, e cada um indica qual mineral está ali. Este capítulo explica como a luz atravessa um cristal, por que um mineral entre polarizadores cruzados é colorido, como a cor mede uma propriedade do mineral e como um petrólogo dá nome aos grãos de uma lâmina delgada usando apenas um microscópio. Ele termina com uma lâmina desconhecida cujos minerais, e cuja espessura verdadeira, são encontrados a partir do que ela mostra.

O que você já sabe

Uma lâmina delgada é uma fatia de rocha com cerca de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura sobre uma lâmina de vidro; o microscópio de polarização a observa em luz plano-polarizada (um polarizador) e entre polarizadores cruzados (Capítulo 6). O índice de refração $n$ de um meio é a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a sua velocidade no meio, e a refração em uma interface obedece à lei de Snell $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ (física, primeiro ano universitário). A luz é uma onda transversal; um polarizador deixa passar apenas a componente do campo elétrico ao longo da sua direção, de modo que um analisador a um ângulo $\alpha$ deixa passar a fração $\cos^2\alpha$ da intensidade (lei de Malus, física).

8.1 A luz nos cristais

Em um vidro, um líquido ou um cristal cúbico, a luz viaja com a mesma velocidade em todas as direções e qualquer que seja a sua direção de vibração. Na maioria dos minerais não é assim: o arranjo dos átomos difere segundo as diferentes direções, e assim também a resposta dos elétrons ao campo elétrico da onda.

Definição 8.1 (Minerais isotrópicos e anisotrópicos)

Um mineral é um mineral isotrópico quando o seu índice de refração é o mesmo para toda direção de propagação e de vibração da luz; minerais cúbicos (granada, halita, espinélio) e vidros são isotrópicos. Ele é um mineral anisotrópico quando o seu índice de refração depende da direção de vibração; todos os minerais dos outros sistemas cristalinos são anisotrópicos.

Uma lâmina cortada de um cristal anisotrópico não deixa a luz passar como uma única onda. Admitimos o seguinte resultado da óptica cristalina (física, segundo ano universitário): para uma dada direção de propagação, uma lâmina de um mineral anisotrópico transmite duas ondas que vibram em duas direções perpendiculares fixas na lâmina, as suas direções de vibração, e viajam com dois índices de refração diferentes, $n_1$ e $n_2$. A luz que vibra ao longo de uma dessas direções atravessa a lâmina sem mudar de polarização; a luz que vibra em qualquer outra direção é decomposta nas suas duas componentes ao longo delas. Os dois índices dependem da direção de propagação, e há direções particulares em que eles são iguais.

Definição 8.2 (Eixo óptico, minerais uniaxiais e biaxiais)

Um eixo óptico de um mineral anisotrópico é uma direção de propagação ao longo da qual a luz viaja com um único índice de refração, qualquer que seja a sua direção de vibração, como em um meio isotrópico. Um mineral é uniaxial quando tem um eixo óptico (minerais dos sistemas trigonal, tetragonal e hexagonal, como o quartzo e a calcita), e biaxial quando tem dois (minerais ortorrômbicos, monoclínicos e triclínicos, como a olivina, os piroxênios, os anfibólios, as micas e os feldspatos).

A geometria é resumida por uma superfície, a indicatriz: um elipsoide cujo raio em cada direção é o índice de refração da luz que vibra nessa direção. A seção do elipsoide perpendicular à direção de propagação é uma elipse cujos eixos são as duas direções de vibração e cujos semieixos são $n_1$ e $n_2$. Para um mineral uniaxial o elipsoide é de revolução em torno do eixo óptico, com dois índices principais $n_\omega$ e $n_\varepsilon$: o quartzo tem $n_\omega = 1.544$ e $n_\varepsilon = 1.553$, a calcita $1.658$ e $1.486$.

Um mineral biaxial tem três índices principais $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$ e duas seções circulares, perpendiculares aos seus dois eixos ópticos: a forsterita tem $1.635$, $1.651$ e $1.670$.

Definição 8.3 (Birrefringência (de um mineral))

A birrefringência de um mineral é a diferença $\delta = n_{\max} - n_{\min}$ entre os seus maiores e menores índices de refração principais: $n_\varepsilon - n_\omega$ em valor absoluto para um mineral uniaxial, $n_\gamma - n_\alpha$ para um biaxial. Em um grão cortado em qualquer outra direção, a diferença $|n_1 - n_2|$ fica entre 0 (uma seção perpendicular a um eixo óptico) e $\delta$ (uma seção que contém as direções de $n_{\max}$ e $n_{\min}$).

A birrefringência é uma propriedade do mineral, como a sua densidade: quartzo $0.009$, calcita $0.172$, forsterita $0.035$, fayalita $0.052$. Uma lâmina delgada corta os grãos de um mineral em todas as orientações, de modo que os seus grãos mostram todos os valores de 0 a $\delta$; só o mais alto é característico.

8.2 Observações em luz plano-polarizada

Com apenas o polarizador inferior, o microscópio mostra a forma dos grãos, a sua cor, as suas clivagens e o seu relevo.

Definição 8.4 (Pleocroísmo)

Um mineral é pleocroico quando a sua cor, vista em luz plano-polarizada, muda à medida que a platina é girada; o pleocroísmo é essa mudança. Ele surge porque a absorção da luz depende da sua direção de vibração no cristal.

A biotita é o caso clássico: um grão cortado transversalmente à sua clivagem passa de marrom-amarelado pálido a marrom escuro à medida que gira, mais escuro quando os traços da clivagem ficam ao longo do polarizador. A hornblenda muda de amarelo para verde. A maioria dos outros silicatos formadores de rochas (quartzo, feldspatos, olivina, diopsídio, muscovita) é incolor em lâmina delgada, e os seus grãos incolores são distinguidos por outros meios.

Definição 8.5 (Relevo, linha de Becke)

O relevo de um grão em lâmina delgada é o quanto o seu contorno, suas fissuras e sua superfície se destacam contra o meio de montagem; ele é alto quando os índices de refração do grão e do meio diferem muito, baixo quando estão próximos. A linha de Becke é a fina linha brilhante que borda um grão cujo índice difere do de seus arredores quando o microscópio está levemente fora de foco.

Proposição 8.6 (Relevo e índice de refração)

Um raio que atravessa com incidência $i$ uma fronteira entre um meio de montagem de índice $n_m$ e um grão de índice $n$ próximo de $n_m$ é desviado de

$$\varepsilon \approx \frac{|n - n_m|}{n_m}\,\tan i$$

(em radianos), até primeira ordem em $(n - n_m)/n_m$. Os desvios nas bordas inclinadas de um grão, e assim o seu relevo, crescem em proporção a $|n - n_m|$.

Uma lâmina delgada é montada em uma resina de índice de cerca de $1.54$.

O quartzo ($1.544$–$1.553$) e os feldspatos ($1.52$–$1.59$) são quase invisíveis contra ela: relevo baixo, bordas dos grãos difíceis de ver. A olivina ($1.64$–$1.88$), os piroxênios e os anfibólios se destacam com bordas escuras e uma superfície de aspecto áspero: relevo alto. A granada ($1.83$) parece quase cercada de preto. A calcita, cujo índice vai de $1.486$ a $1.658$ conforme a direção de vibração, muda de relevo à medida que a platina gira, um efeito chamado cintilação.

O relevo indica apenas o quanto $n$ difere de $n_m$, e não de que lado; a linha de Becke indica o lado.

Método 8.7 (O teste da linha de Becke)

Focalize a borda de um grão em luz plano-polarizada, feche um pouco o diafragma de abertura e eleve levemente o foco (afaste a objetiva da seção). A linha de Becke brilhante se desloca para o meio de maior índice de refração: se ela se desloca para dentro do grão, o grão tem o índice mais alto (relevo positivo); se ela se desloca para fora, para a montagem ou para o grão vizinho, o grão tem o índice mais baixo (relevo negativo).

O método funciona porque uma borda de grão nunca é exatamente vertical: em uma borda inclinada, a luz é refratada na direção do lado de maior índice, e além do ângulo crítico ela é totalmente refletida desse lado, de modo que a luz que atravessa a borda se concentra acima do meio de maior índice. Elevar o foco olha para um plano acima da seção, onde essa luz concentrada está dentro do material de maior índice.

8.3 Entre polarizadores cruzados

Com o analisador inserido, em ângulo reto com o polarizador, um grão isotrópico é preto em todas as posições: a luz o alcança vibrando ao longo do polarizador e sai dele vibrando do mesmo modo, e o analisador a barra inteiramente. Um grão anisotrópico é em geral brilhante e colorido. A razão é o atraso entre as suas duas ondas.

Definição 8.8 (Retardo (em uma lâmina cristalina))

O retardo $\Delta$ de uma lâmina de um mineral anisotrópico é a diferença entre os caminhos ópticos das suas duas ondas ao sair da lâmina, a onda mais lenta ficando atrás da mais rápida.

Proposição 8.9 (Retardo e birrefringência)

Uma lâmina de espessura $d$ cujas duas ondas têm índices $n_1 > n_2$ tem o retardo

$$\Delta = d\,(n_1 - n_2),$$

e as suas duas ondas saem com uma diferença de fase $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ para luz de comprimento de onda $\lambda$ no vácuo. Em uma lâmina delgada, o maior retardo mostrado pelos grãos de um mineral é $d\,\delta$.

Um grão de quartzo da orientação mais favorável em uma seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura tem $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$; um grão de calcita, $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$.

Teorema 8.10 (Intensidade entre polarizadores cruzados)

Uma lâmina de retardo $\Delta$ cujas direções de vibração fazem o ângulo $\theta$ com o polarizador, entre polarizadores cruzados, transmite no comprimento de onda $\lambda$ a intensidade

$$I = I_0\,\sin^2 2\theta\,\sin^2\frac{\pi\Delta}{\lambda},$$

onde $I_0$ é a intensidade que sai do polarizador.

O teorema contém tudo o que o microscópio mostra entre polarizadores cruzados. Seu primeiro fator depende apenas da orientação do grão na platina; o segundo, apenas do retardo do grão e da cor da luz.

Definição 8.11 (Posição de extinção, ângulo de extinção)

Um grão anisotrópico entre polarizadores cruzados está em uma posição de extinção quando está escuro porque as suas direções de vibração são paralelas ao polarizador e ao analisador. O ângulo de extinção de um grão é o ângulo entre uma direção visível nele (um traço de clivagem, um alongamento, um plano de macla) e a posição de extinção mais próxima, lido na platina graduada.

O fator $\sin^2 2\theta$ se anula em $\theta = 0$, $90{}^{\circ}$, $180{}^{\circ}$ e $270{}^{\circ}$: um grão fica escuro quatro vezes em uma volta completa da platina, e é mais brilhante no meio do caminho, a $45{}^{\circ}$ da extinção (figura abaixo). Um grão com $\Delta = 0$ — um mineral isotrópico, ou uma seção perpendicular a um eixo óptico — permanece escuro em toda a volta. O ângulo de extinção depende da simetria do cristal: um mineral cujas direções de vibração estão ligadas às suas clivagens, como nos minerais ortorrômbicos, extingue paralelamente a elas (extinção reta); um monoclínico ou triclínico em geral não (extinção inclinada). O maior ângulo de extinção entre os traços da clivagem e a direção de vibração lenta é cerca de $38{}^{\circ}$ no diopsídio e $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ na hornblenda, em seções paralelas a $(010)$: uma das maneiras de distinguir um piroxênio de um anfibólio em lâmina delgada.

8.3.1 Cores de interferência

Em luz branca, o segundo fator $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ age como um filtro que depende do comprimento de onda. Um grão com $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ deixa passar quase todo o verde e o amarelo ($\lambda$ perto de $2\Delta = 540$ nm, onde o fator vale 1) e um pouco menos do violeta e do vermelho: parece branco. Um grão com $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ suprime o amarelo-verde ($\lambda = \Delta$) e deixa passar vermelho e azul: parece magenta. À medida que $\Delta$ cresce, os comprimentos de onda suprimidos percorrem o espectro e outros aparecem, e a cor percorre uma sequência fixa.

Definição 8.12 (Cor de interferência, ordem, carta de Michel-Lévy)

A cor de interferência de um grão anisotrópico é a sua cor entre polarizadores cruzados em luz branca, a $45{}^{\circ}$ da extinção; ela depende apenas do seu retardo $\Delta$. As cores se repetem em faixas de cerca de $550\,\mathrm{nm}$ de retardo, cada uma terminando com um matiz vermelho-violeta; cada faixa é uma ordem (primeira, segunda, terceira…). A carta de Michel-Lévy mostra as cores de interferência em função do retardo, com as retas $\Delta = d\,\delta$ que relacionam a espessura de uma seção, a birrefringência de um mineral e a sua cor.

O gráfico é calculado exatamente como diz o teorema. Para cada retardo, cada comprimento de onda da luz é ponderado por $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$; o espectro transmitido é então convertido em uma cor como o olho a vê, pelas funções padrão de correspondência de cores da colorimetria, e no vermelho, verde e azul de uma tela ou impressora pela transformação sRGB. Três características são dignas de nota. A primeira ordem começa preta, passa pelo cinza e pelo branco (o único branco da carta fica perto de $270\,\mathrm{nm}$, onde o espectro é quase inteiramente transmitido), depois amarelo, laranja e vermelho. A segunda e a terceira ordens são as mais brilhantes, com azul, verde, amarelo e magenta vivos. Além da quarta ordem as cores se desbotam: quando $\Delta$ tem muitos comprimentos de onda, o filtro $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ oscila várias vezes através do espectro visível, deixa passar cada cor por sua vez e, em média, metade da luz: o grão parece cinza rosado ou esverdeado pálido, o branco de ordem alta da calcita.

Ler a carta é o núcleo da mineralogia óptica. Em uma seção de espessura conhecida, a cor mais alta mostrada por um mineral dá a sua birrefringência: siga a espessura até a cor, depois a reta que passa por esse ponto até a birrefringência. Inversamente, um mineral de birrefringência conhecida dá a espessura: em uma boa seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, o quartzo nunca mostra mais que um branco de primeira ordem ou o amarelo mais pálido, e uma seção em que o quartzo mostra amarelo ou laranja é espessa demais.

História — Auguste Michel-Lévy

Auguste Michel-Lévy (1844–1911), que se tornou diretor do Serviço Geológico da França, esteve entre os primeiros a identificar minerais em rochas de modo sistemático com o microscópio de polarização. Antes dele, as cores dos minerais entre polarizadores cruzados eram usadas empiricamente; ele mostrou que o que importa é a birrefringência máxima de cada mineral, que pode ser medida comparando as cores dos seus grãos com uma cunha de quartzo cujo retardo cresce de modo constante ao longo do comprimento. Com o seu aluno Alfred Lacroix publicou, em 1888, Les minéraux des roches, um manual das propriedades ópticas dos minerais formadores de rochas. A carta que leva o seu nome, com cores em função do retardo e retas de birrefringência igual, ainda é a maneira de ler as cores de interferência.

Duas ondas que saem de um grão podem receber um retardo extra e conhecido por uma lâmina acessória inserida acima da seção, a $45{}^{\circ}$ dos polarizadores. A mais comum é cortada para mostrar o vermelho de primeira ordem, um retardo de cerca de $540\,\mathrm{nm}$. Se a direção de vibração lenta do grão é paralela à direção lenta da lâmina, os retardos se somam e a cor do grão sobe de cerca de uma ordem; se ela é paralela à direção rápida, eles se subtraem e a cor desce. Um grão cinza de primeira ordem de $100\,\mathrm{nm}$ torna-se azul de segunda ordem ($640\,\mathrm{nm}$) em uma orientação e laranja de primeira ordem ($440\,\mathrm{nm}$) na outra; o teste mostra qual das duas direções de vibração do grão é a lenta, uma propriedade usada para identificar minerais alongados.

8.4 Identificando minerais em lâmina delgada

Definição 8.13 (Maclagem, maclagem polissintética)

Uma macla é um crescimento conjunto de dois ou mais cristais do mesmo mineral cujas redes se relacionam por uma simetria que o próprio cristal não tem, como uma reflexão em um plano (o plano de macla). A maclagem polissintética é uma maclagem repetida em planos paralelos, que divide um cristal em lamelas finas e paralelas cujas orientações se alternam.

Entre polarizadores cruzados, as lamelas de uma macla polissintética se extinguem alternadamente: metade delas está escura quando a outra metade está clara, e o cristal parece listrado. O plagioclásio quase sempre mostra essas listras, que o distinguem de imediato do quartzo e do feldspato alcalino; a sua outra característica, o relevo baixo e as cores cinza a branco de primeira ordem, ele compartilha com eles. Os ângulos de extinção dos dois conjuntos de lamelas, medidos de cada lado do plano de macla, dependem da composição do plagioclásio, e cartas desses ângulos dão o seu teor de anortita.

Método 8.14 (Identificando um mineral em lâmina delgada)

1. Em luz plano-polarizada: observe se o grão é opaco; sua cor e o pleocroísmo (gire a platina); seu relevo, e de que lado de $1.54$ fica o seu índice (linha de Becke); sua forma e suas clivagens, e o ângulo entre duas clivagens.
2. Entre polarizadores cruzados: verifique se ele permanece escuro (isotrópico, ou uma seção perpendicular a um eixo óptico); entre os grãos do mesmo mineral, encontre a cor de interferência mais alta e leia a birrefringência na carta de Michel-Lévy para a espessura da seção.
3. Meça o ângulo de extinção nos grãos que mostram uma clivagem ou um alongamento; procure maclagem (listras polissintéticas, maclas simples).
4. Compare com uma tabela de propriedades ópticas (Table 8.1) e com os minerais que a rocha pode conter (Capítulo 7).

mineral	cor (LPP)	índices	birrefringência	cor mais alta a $30\,\text{µ}\mathrm{m}$	outras características
quartzo	incolor	1.544–1.553	0.009	branco de primeira ordem	sem clivagem; sem maclas visíveis; uniaxial
ortoclásio	incolor, muitas vezes turvo	1.518–1.525	0.005	cinza de primeira ordem	relevo negativo; maclas simples
plagioclásio	incolor	1.526–1.590	0.008–0.013	branco a amarelo pálido de primeira ordem	maclagem polissintética
muscovita	incolor	1.552–1.618	0.035–0.042	brilhante, de segunda a terceira ordem	uma clivagem perfeita; extinção reta
biotita	marrom, verde	1.565–1.696	0.04–0.07	mascarada pela própria cor	forte pleocroísmo; uma clivagem perfeita
hornblenda	verde, marrom	1.675–1.695	0.020	azul de segunda ordem	pleocroica; clivagens a $56{}^{\circ}$/$124{}^{\circ}$; extinção $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$
diopsídio	incolor	1.664–1.694	0.030	amarelo de segunda ordem	clivagens a cerca de $87{}^{\circ}$/$93{}^{\circ}$; extinção de cerca de $38{}^{\circ}$
olivina	incolor (Mg) a amarelo pálido (Fe)	1.635–1.879	0.035–0.052	do fim da segunda ordem à terceira	relevo alto; fissuras irregulares, sem boa clivagem
granada	incolor a rosa pálido	1.830 (almandina)	isotrópica	preta	relevo muito alto; contornos de seis ou oito lados
calcita	incolor	1.486–1.658	0.172	branco de ordem alta	o relevo muda na rotação; clivagem romboédrica
magnetita	opaca	—	—	—	preta nas duas luzes

No laboratório — Uma sessão ao microscópio

Uma petróloga que descreve uma lâmina delgada nova a percorre primeiro com pouco aumento, para ver a textura e os minerais principais, e depois grão a grão. Para cada mineral ela registra as observações do método acima, estima a sua proporção no campo e anota como os grãos se tocam: qual cristalizou primeiro, quais preenchem os espaços deixados, quais substituem outros. As medidas de luz são feitas com a platina graduada em graus e uma lâmina acessória; as composições, quando importam, são medidas depois com uma microssonda na mesma seção. Um laboratório de ensino funciona do mesmo modo, com um microscópio por estudante e uma caixa de lâminas de referência de minerais conhecidos ao lado.

8.5 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Calcule o retardo máximo do quartzo ($\delta = 0.009$) e o da calcita ($\delta = 0.172$) em uma seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura. Usando a carta de Michel-Lévy, descreva a cor de cada um.

Solução

Solução de Exercício 8.1.

Quartzo: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$, um branco de primeira ordem. Calcita: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$, bem além da carta: um branco pálido de ordem alta, levemente rosado ou verde.

Exercício 8.2 ★

Um grão é girado na platina entre polarizadores cruzados. Calcule $I/I_0$, como fração do seu máximo, em $\theta = 0$, $22.5{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$, $67.5{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ}$ de uma posição de extinção.

Solução

Solução de Exercício 8.2.

$I/I_{\max} = \sin^2 2\theta$: $0$ em $0{}^{\circ}$; $\sin^245{}^{\circ} = 0.5$ em $22.5{}^{\circ}$; $1$ em $45{}^{\circ}$; $0.5$ em $67.5{}^{\circ}$; $0$ em $90{}^{\circ}$.

Exercício 8.3 ★

Explique por que uma granada permanece preta entre polarizadores cruzados qualquer que seja a posição da platina, e por que um grão de quartzo pode fazer o mesmo. Como você os distinguiria em luz plano-polarizada?

Solução

Solução de Exercício 8.3.

A granada é cúbica, logo isotrópica: a luz sai dela vibrando como entrou, ao longo do polarizador, e o analisador a detém; $\Delta = 0$ em toda posição. Um grão de quartzo cortado perpendicularmente ao seu eixo óptico também tem $n_1 = n_2$ para a luz que viaja ao longo desse eixo, logo $\Delta = 0$: ele também permanece escuro. Em luz plano-polarizada a granada tem relevo muito alto ($1.83$ contra $1.54$), o quartzo quase nenhum.

Exercício 8.4 ★

Ordene por relevo, em um meio de índice $1.54$, ortoclásio ($n$ cerca de $1.52$), quartzo ($1.55$), forsterita ($1.65$) e almandina ($1.83$). Qual tem relevo negativo? Em que direção sua linha de Becke se desloca quando o foco é elevado?

Solução

Solução de Exercício 8.4.

$|n - 1.54|$: almandina $0.29$, forsterita $0.11$, ortoclásio $0.02$, quartzo $0.01$; relevo nessa ordem, do mais alto ao mais baixo. O ortoclásio tem índice menor: relevo negativo, e a sua linha de Becke sai do grão, para a montagem, quando o foco é elevado.

Exercício 8.5 ★★

Em uma seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, os grãos de um mineral verde pleocroico com duas clivagens a $56{}^{\circ}$ e $124{}^{\circ}$ mostram no máximo um azul de segunda ordem, lido na carta como $\Delta = 650\,\mathrm{nm}$. Calcule a sua birrefringência e dê o nome do mineral com Table 8.1.

Solução

Solução de Exercício 8.5.

$\delta = 650/30000 = 0.022$. Um mineral verde pleocroico com clivagens a $56{}^{\circ}$ e $124{}^{\circ}$ e birrefringência próxima de $0.020$: hornblenda.

Exercício 8.6 ★★

Usando Proposição 8.6 com $n_m = 1.54$ e $i = 30{}^{\circ}$, calcule o desvio na borda de um grão de quartzo ($n = 1.553$) e de um grão de forsterita ($n = 1.651$), em graus, e a razão entre os dois. Confira a segunda com a lei de Snell exata.

Solução

Solução de Exercício 8.6.

$\tan30{}^{\circ} = 0.5774$. Quartzo: $(0.013/1.54)\times0.5774 = 0.004\,87\,\mathrm{rad} = 0.28{}^{\circ}$. Forsterita: $(0.111/1.54)\times0.5774 = 0.0416\,\mathrm{rad} = 2.38{}^{\circ}$. Razão $0.111/0.013 = 8.5$. Exatamente: $\sin r = 1.54\sin30{}^{\circ}/1.651 = 0.4664$, $r = 27.80{}^{\circ}$, um desvio de $2.20{}^{\circ}$: a fórmula de primeira ordem superestima em $8\,\%$ para uma diferença de índice tão grande.

Exercício 8.7 ★★

Uma lâmina vermelha de primeira ordem tem $\Delta = 540\,\mathrm{nm}$. Um grão de quartzo de $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ é posto a $45{}^{\circ}$ com a lâmina inserida. Quais são os dois retardos totais possíveis, e as cores que dão na carta? Qual orientação põe as duas direções lentas paralelas?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

$270 + 540 = 810\,\mathrm{nm}$, um verde de segunda ordem, quando as direções lentas do grão e da lâmina são paralelas (os retardos se somam); $|270 - 540| = 270\,\mathrm{nm}$, branco de primeira ordem de novo, quando a direção lenta do grão é paralela à direção rápida da lâmina.

Exercício 8.8 ★★

Na sua borda afilada, um grão de fayalita ($\delta = 0.052$) se afina de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ até zero. Quantos matizes vermelho-violeta, que encerram as ordens em 542, 1074 e $1605\,\mathrm{nm}$, aparecem como franjas coloridas entre a borda e a parte de espessura total do grão?

Solução

Solução de Exercício 8.8.

Na espessura total, $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.052 = 1560\,\mathrm{nm}$. Da borda ($\Delta = 0$) para dentro, o retardo passa por 542 e $1074\,\mathrm{nm}$, mas não por $1605\,\mathrm{nm}$: duas franjas vermelho-violeta.

Exercício 8.9 ★★

Em vários grãos alongados com uma boa clivagem, um geólogo mede ângulos de extinção de $0{}^{\circ}$, $21{}^{\circ}$, $36{}^{\circ}$ e $37{}^{\circ}$ entre o traço da clivagem e a direção de vibração lenta. Por que os valores diferem? O mineral é mais provavelmente diopsídio ou hornblenda?

Solução

Solução de Exercício 8.9.

O ângulo de extinção medido em um grão depende de como ele é cortado: só seções de uma orientação particular mostram o maior ângulo, e outras mostram menos, até zero. O maior valor, cerca de $37{}^{\circ}$, é o que deve ser comparado: ele coincide com o diopsídio (cerca de $38{}^{\circ}$), e não com a hornblenda (no máximo $19{}^{\circ}$).

Exercício 8.10 ★★★

Refaça a demonstração de Teorema 8.10 com o analisador paralelo ao polarizador, e mostre que $I_\parallel = I_0\bigl(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)\bigr)$. Que cor mostra um grão de $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ a $45{}^{\circ}$ entre polarizadores paralelos?

Solução

Solução de Exercício 8.10.

Com o analisador ao longo de $x$, as componentes em $x$ das duas ondas são $E_0\cos\theta\cdot\cos\theta$ e $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}\cdot(-\sin\theta)$, logo $A = E_0(\cos^2\theta + \sin^2\theta\,e^{-i\varphi})$ e

$$|A|^2 = E_0^2\bigl(\cos^4\theta + \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi\bigr) = E_0^2\bigl(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta\,(1 - \cos\varphi)\bigr),$$

usando $\cos^4\theta + \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$. Como $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac12\sin^2 2\theta$ e $1 - \cos\varphi = 2\sin^2(\varphi/2)$, $I_\parallel = I_0(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda))$. Em cada comprimento de onda, $I_\parallel + I_\perp = I_0$: as cores entre polarizadores paralelos são os complementos das que aparecem entre polarizadores cruzados. Um grão de $550\,\mathrm{nm}$, magenta entre polarizadores cruzados, é verde-amarelado pálido entre polarizadores paralelos.

Exercício 8.11 ★★★

Para um grão de calcita com $\Delta = 5000\,\mathrm{nm}$, o fator $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ se anula sempre que $\Delta/\lambda$ é um número inteiro. (a) Quantas vezes ele se anula entre $400$ e $700\,\mathrm{nm}$? (b) Mostre que, perto de $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$, dois zeros sucessivos distam cerca de $\lambda^2/\Delta$, e calcule. (c) Explique por que o grão parece quase branco.

Solução

Solução de Exercício 8.11.

(a) $\Delta/\lambda$ vai de $5000/700 = 7.14$ a $5000/400 = 12.5$; passa pelos inteiros 8 a 12: cinco zeros. (b) Os zeros estão em $\lambda_k = \Delta/k$; dois sucessivos distam $\Delta/k - \Delta/(k + 1) = \Delta/(k(k + 1)) \approx \lambda^2/\Delta$, isto é, $550^2/5000 = 60.5\,\mathrm{nm}$ perto de $550\,\mathrm{nm}$. (c) Cinco faixas escuras e estreitas espalhadas pelo espectro retiram um pouco de cada cor, e o restante passa, em média, com metade da intensidade: o olho vê um tom pálido, quase neutro.

Exercício 8.12 ★★★

Mostre que, em média sobre uma volta completa da platina, um grão entre polarizadores cruzados transmite $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Um geólogo estima birrefringências a partir da cor mais alta de cada mineral, supondo $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, em uma seção que na verdade tem $25\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura. Por que fator todos os seus valores estão errados, e em que sentido?

Solução

Solução de Exercício 8.12.

A média de $\sin^2 2\theta$ em uma volta é $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\, \mathrm d\theta = \frac12$, logo a intensidade média é $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Ela calcula $\delta = \Delta/30000$ em vez de $\Delta/25000$ (em nm): todos os seus valores são $25/30 = 0.83$ dos verdadeiros, baixos em $17\,\%$.

8.6 Problema: identificando os minerais de uma lâmina desconhecida

Problema 8.1

Problema de fim de semana — observando relevo, pleocroísmo e cores de interferência, medindo a espessura de uma seção com quartzo, e dando nome a seus minerais

Uma lâmina delgada de uma rocha ígnea desconhecida, montada em uma resina de índice $1.540$, tem espessura de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, segundo se diz. Contém cinco minerais, rotulados de A a E. Use a tabela de propriedades ópticas do capítulo, a carta de Michel-Lévy e os seguintes valores: quartzo $n_\omega = 1.544$, $n_\varepsilon = 1.553$; diopsídio $n_\alpha = 1.664$, $n_\beta = 1.672$, $n_\gamma = 1.694$.

Parte I — Luz plano-polarizada.

1. O mineral A é incolor, com bordas de grãos difíceis de ver. O mineral B é incolor, com bordas escuras fortes e duas clivagens que se encontram a cerca de $87{}^{\circ}$. Qual tem o relevo mais alto?
2. Para A, tomado como quartzo, e B, tomado como diopsídio, calcule $|n - n_m|$ usando a média dos índices principais de cada um.
3. Usando Proposição 8.6, calcule a razão entre os desvios nas bordas dos dois, para a mesma inclinação da fronteira.
4. Ao elevar o foco, a linha de Becke de B se desloca para dentro do grão. O que isso mostra?
5. O mineral C vai de amarelo pálido a marrom escuro à medida que a platina gira, mais escuro quando sua única clivagem fica ao longo do polarizador. Dê o nome da propriedade e do mineral.
6. O mineral D é incolor, de relevo baixo, em ripas longas; E é verde a amarelo e pleocroico, com duas clivagens a $124{}^{\circ}$. O que o ângulo sugere para E?

Parte II — A espessura da seção.

7. Qual é o maior retardo do quartzo em uma seção de exatamente $30\,\text{µ}\mathrm{m}$? Qual é a sua cor?
8. Por que o maior retardo deve ser procurado entre muitos grãos de A, em vez de medido em um só deles?
9. A cor mais alta mostrada pelos grãos de A é um amarelo pálido de primeira ordem; um comparador de cunha de quartzo dá o seu retardo como $342\,\mathrm{nm}$. Calcule a espessura real da seção.
10. De quantos por cento a seção é mais espessa do que deveria ser?
11. Em $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ e a $45{}^{\circ}$ da extinção, calcule $I/I_0$ para esse grão de quartzo, e para o mesmo grão em uma seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$.
12. Calcule a faixa de retardos de D, tomado como plagioclásio ($\delta = 0.008$ a $0.013$), nesta seção, e diga se suas cores permanecem na primeira ordem.

Parte III — A birrefringência de B.

13. A cor mais alta de B é um azul lido como $\Delta = 1140\,\mathrm{nm}$. Em qual ordem ela está?
14. Calcule a birrefringência de B com a espessura encontrada na questão 9.
15. Que birrefringência se teria encontrado supondo $30\,\text{µ}\mathrm{m}$? Que mineral incolor de relevo alto isso teria sugerido, e por que ele está deslocado em uma rocha com quartzo (considere $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$)?
16. Compare o resultado da questão 14 com a tabela, junto com o relevo e as clivagens de B, e conclua.
17. Que cor B mostraria no máximo em uma seção correta de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$?
18. A seção é desbastada até $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Quanto deve ser afinada, e qual é então a cor mais alta do quartzo?

Parte IV — Extinção e maclagem.

19. As ripas de D são divididas em listras paralelas que se extinguem alternadamente. Dê o nome da feição e do mineral.
20. As listras de uma ripa se extinguem a $27{}^{\circ}$ e $28{}^{\circ}$ de cada lado do plano de macla. Que composição indicam esses ângulos, medidos em muitas ripas, quando comparados com cartas publicadas?
21. O maior ângulo de extinção entre as clivagens de E e sua direção lenta é $17{}^{\circ}$. Dê o nome de E.
22. Calcule o maior retardo de E nesta seção e a cor que ele mostra.
23. Um grão de B permanece escuro durante uma volta completa. Explique como ele pode ser o mesmo mineral dos grãos brilhantes de B.
24. Liste os minerais A a E e diga que tipo de rocha eles formam.
25. Qual é a espessura real da seção, em micrômetros?

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. B: as bordas escuras significam relevo alto; as fronteiras quase invisíveis de A significam relevo baixo.

2. A: $(1.544 + 1.553)/2 = 1.5485$, $|n - n_m| = 0.0085$. B: $(1.664 + 1.672 + 1.694)/3 = 1.6767$, $|n - n_m| = 0.1367$.

3. Os desvios são proporcionais a $|n - n_m|$: $0.1367/0.0085 = 16.1$.

4. B tem índice mais alto que a montagem: relevo positivo.

5. Pleocroísmo; biotita.

6. Duas clivagens a $56{}^{\circ}$ e $124{}^{\circ}$: um anfibólio.

7. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$: branco de primeira ordem.

8. Cada grão é cortado na sua própria orientação e mostra um valor de $|n_1 - n_2|$ entre 0 e $\delta$; só os grãos cortados paralelamente ao eixo óptico mostram o próprio $\delta$. A cor mais alta entre muitos grãos é a que deve ser usada.

9. $d = 342/0.009 = 38\,000\,\mathrm{nm} = 38\,\text{µ}\mathrm{m}$.

10. $(38 - 30)/30 = 26.7\,\%$.

11. $\sin^2(\pi\times342/550) = 0.861$; em $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin^2(\pi\times270/550) = 0.999$.

12. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.008 = 304\,\mathrm{nm}$ até $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.013 = 494\,\mathrm{nm}$: de branco a vermelho-laranja, tudo abaixo do fim da primeira ordem em $542\,\mathrm{nm}$.

13. Entre 1074 e $1605\,\mathrm{nm}$: terceira ordem.

14. $\delta = 1140/38000 = 0.030$.

15. $1140/30000 = 0.038$, o que sugeriria uma olivina. Uma olivina magnesiana e o quartzo reagem para dar piroxênio, $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$; uma rocha que cristalizou com quartzo não deve manter ambos.

16. $0.030$ é a birrefringência do diopsídio; seu relevo alto, sua falta de cor e suas duas clivagens perto de $87{}^{\circ}$ concordam: B é um clinopiroxênio, diopsídio.

17. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.030 = 900\,\mathrm{nm}$: amarelo de segunda ordem.

18. Por $8\,\text{µ}\mathrm{m}$; o quartzo então mostra no máximo $270\,\mathrm{nm}$, branco de primeira ordem.

19. Maclagem polissintética: D é plagioclásio.

20. A composição do plagioclásio (o seu teor de anortita).

21. Um anfibólio com ângulo de extinção de $17{}^{\circ}$: hornblenda ($15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$), não um piroxênio ($38{}^{\circ}$ para o diopsídio).

22. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.020 = 760\,\mathrm{nm}$: um verde de segunda ordem.

23. Ele é cortado perpendicularmente a um eixo óptico: os seus dois índices são iguais para a luz que viaja ao longo do eixo, $\Delta = 0$, e ele permanece escuro como um grão isotrópico.

24. Quartzo A, diopsídio B, biotita C, plagioclásio D, hornblenda E: uma rocha ígnea intermediária com algum quartzo, como um quartzo diorito.

25. A seção tem $38\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura.