20Erosão e transporte

Depois de uma tempestade, o rio sob a ponte corre barrento. A água que estava clara no dia anterior está grossa de lama, redemoinha em torno dos pilares e carrega galhos, e no leito, invisíveis, seixos se chocam uns contra os outros ao rolar. A cada segundo a enchente leva consigo toneladas de terra. Mais abaixo, atrás de uma represa, a mesma lama se deposita nas águas paradas do reservatório, que perde um pouco do seu volume a cada ano; mais longe ainda, na foz do rio, ela se espalha pelo mar como uma pluma marrom que pode ser vista do espaço. Este capítulo põe números nessa jornada: quanto um rio carrega e em que formas, quão depressa um grão afunda, que corrente é preciso para pô-lo em movimento, e quão depressa, no fim das contas, uma paisagem inteira é desgastada.

O que você já sabe

A erosão é o desgaste da terra e o transporte de seus fragmentos; a deposição é o depósito deles onde o transportador perde velocidade (Livro 1, 5º ano). Um rio transporta sua carga de sedimentos como carga de fundo, carga em suspensão e carga dissolvida; a taxa de denudação de uma região é a espessura de rocha dela removida por unidade de tempo, em metros por milhão de anos; quando a erosão remove uma espessura $e$ de crosta, a recuperação isostática deixa a superfície descer apenas $e(1 - \rho_c/\rho_m)$ (Livro 2, 12º ano). A vazão de um rio é o volume de água que passa por uma seção transversal por unidade de tempo, e sua bacia de drenagem a área que o alimenta (Livro 2, 10º ano). Na isostasia de Airy a crosta flutua sobre o manto com uma raiz proporcional a sua topografia (Proposição 11.5). A hidrólise dos silicatos envia íons e sílica dissolvida aos rios (Definição 19.3). A viscosidade dinâmica $\mu$ de um fluido mede sua resistência ao cisalhamento, e a viscosidade cinemática é $\nu = \mu/\rho$; uma esfera de diâmetro $d$ que se move lentamente à velocidade $w$ por um fluido sente o arrasto $3\pi\mu d w$ (lei de Stokes); o número de Reynolds $w d/\nu$ compara a inércia com as forças viscosas, e o escoamento em torno da esfera é suave enquanto ela for pequena (os livros de física).

20.1 Fluxos de soluto e de partículas

Um rio remove a terra de duas maneiras: como matéria em solução, os produtos do intemperismo químico, e como grãos sólidos, os produtos do intemperismo físico e os resíduos insolúveis do intemperismo químico. As duas viajam de modos diferentes, e os próprios grãos viajam de dois modos.

Definição 20.1 (Carga dissolvida, carga em suspensão, carga de fundo)

A carga de um rio é a matéria que ele transporta além de uma seção transversal, em três partes que diferem pelo modo como viajam. A carga dissolvida é a matéria em solução, íons e sílica dissolvida, que se move com a água em sua própria velocidade. A carga em suspensão é formada por grãos mantidos no interior do escoamento pela sua turbulência, sobretudo argila, silte e areia fina, que se movem quase na velocidade da água e raramente tocam o leito. A carga de fundo é formada por grãos que rolam, deslizam ou saltam ao longo do leito, em contato frequente com ele, muito mais devagar que a água.

A fronteira entre as duas cargas sólidas não é fixada pelo tamanho do grão: depende do escoamento. Uma enchente que carrega areia em suspensão a deixa no leito, como carga de fundo, quando baixa; a argila mais fina, por outro lado, permanece em suspensão em quase qualquer corrente e dificilmente é encontrada no leito de um rio que flui. Cada carga é medida como um fluxo, uma massa por unidade de tempo através de uma seção transversal do rio.

Proposição 20.2 (Fluxo de uma carga)

Seja $c$ a concentração de uma carga dissolvida ou em suspensão (massa por unidade de volume de água) e $u$ a velocidade da água, ambas variando através da seção de área $A$. (1) O fluxo instantâneo da carga através da seção é

$$F = \iint_A c\,u\,\mathrm dA = \overline{c}_Q\,Q,$$

onde $Q = \iint_A u\,\mathrm dA$ é a vazão e $\overline{c}_Q$ a concentração média ponderada pela velocidade. (2) Ao longo de um período $T$ em que a vazão $Q(t)$ e a concentração $C(t)$ do rio variam, a massa transportada é

$$M = \int_0^T Q\,C\,\mathrm dt = T\left(\overline{Q}\;\overline{C} + \operatorname{cov}(Q, C)\right),$$

onde as barras são médias no tempo e $\operatorname{cov}(Q, C)$ é a média de $(Q - \overline{Q})(C - \overline{C})$. O produto da vazão média pela concentração média dá a massa correta apenas se as duas não forem correlacionadas.

A covariância importa para a carga em suspensão. Sua concentração sobe abruptamente nas enchentes, quando a chuva lava o solo para os riachos e o escoamento mais rápido levanta grãos do leito, de modo que $Q$ e $C$ crescem juntos: uma grande parte do sedimento anual de um rio passa em poucos dias de enchente, e uma campanha de amostragem que as perca, ou uma concentração média multiplicada pela vazão média, subestima a carga. A carga dissolvida se comporta ao contrário: as enchentes a diluem, e sua concentração é mais alta na vazão baixa, quando o rio é alimentado pela água subterrânea que esteve por muito tempo em contato com a rocha.

Método 20.3 (A carga anual de um rio a partir de medições de vazão)

1. Registre a vazão continuamente em uma estação de medição.
2. Amostre a água em muitas vazões, incluindo as enchentes, e meça a massa de sedimento por litro (por filtragem e pesagem) e de cada espécie dissolvida.
3. Pondere as concentrações pela vazão no momento da amostragem para obter a concentração média ponderada pela vazão, ou ajuste a concentração como função da vazão e aplique-a a todo o registro.
4. Multiplique pelo volume total de água do ano, ou some $Q\,C\,\Delta t$ sobre o registro (Proposição 20.2).
5. Some a carga de fundo, que os amostradores de água não captam, a partir de medições separadas ou como uma fração estimada.
6. Para a carga dissolvida, retire o que não vem da rocha: os sais trazidos pela chuva e, para o bicarbonato, o carbono retirado do ar (Capítulo 19).

Os rios do mundo. Antes de qualquer influência humana, os rios do mundo levavam ao oceano costeiro uma estimativa de $14\,\mathrm{Gt}$ de sedimento em suspensão por ano, $15.5\,\mathrm{Gt}$ com a carga de fundo. As pessoas mudaram as duas pontas da jornada: a agricultura e o desmatamento aumentaram a erosão do solo, somando cerca de $2.3\,\mathrm{Gt}$ por ano aos rios, enquanto os reservatórios retêm sedimento: os grandes capturam cerca de $20\,\%$ do fluxo e os pequenos mais $6\,\%$, e mais de $100\,\mathrm{Gt}$ de sedimento jazem agora atrás de barragens construídas sobretudo nos últimos cinquenta anos. O efeito líquido é uma redução: o fluxo moderno é de cerca de $12.6\,\mathrm{Gt}$ por ano.

Dados de 2005

Os números do fluxo de sedimento em suspensão, antes e depois da influência humana, vêm de um modelo global de sedimento dos rios publicado em 2005. Barragens foram construídas desde então.

A carga dissolvida é menor. Uma compilação clássica de análises de rios, feita em 1963, pôs a matéria dissolvida que os rios do mundo entregam ao mar em cerca de $3.9\,\mathrm{Gt}$ por ano, cerca de $30\,\%$ do fluxo moderno em suspensão, a uma concentração média de $120\,\mathrm{mg}$ por litro. O bicarbonato forma quase a metade dela, $58\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, seguido de cálcio, sílica, sulfato, cloreto e sódio. Parte dela não vem da rocha: boa parte do bicarbonato carrega carbono tirado do ar ou do solo, e parte do cloreto e do sódio vem de sal marinho trazido pela chuva. Rios individuais variam muito em torno dessas médias.

O balanço de sedimentos de uma bacia. Nem todo grão erodido em uma bacia de drenagem chega à sua saída. O solo lavado de um campo pode parar ao pé da encosta, a areia pode ser armazenada por séculos na planície de inundação e nos bancos do rio, e um reservatório pode reter a maior parte do que entra nele. A carga medida na saída é o saldo do balanço: o que é erodido nas encostas e nas margens, menos o que é armazenado no caminho, mais o que é retomado de depósitos antigos. Em algumas décadas de medição, esse saldo pode ficar bem distante da taxa de erosão de longo prazo, em qualquer direção, o que é uma das razões para os outros métodos de Seção 20.4.

20.2 Velocidade de sedimentação

Um grão é mais denso que a água e afunda. Se um rio pode transportá-lo, e onde ele será depositado, depende antes de tudo da rapidez com que ele afunda.

Definição 20.4 (Velocidade de sedimentação)

A velocidade de sedimentação $w_s$ de um grão é a velocidade constante com que ele cai através de água parada, quando o arrasto da água equilibra seu peso submerso, seu peso menos o empuxo da água que ele desloca.

Um grão liberado em água parada acelera até que seu arrasto, que cresce com sua velocidade, equilibre seu peso submerso; para um grão de areia ou silte isso leva uma pequena fração de segundo, de modo que a velocidade de sedimentação é a velocidade com que ele cai quase todo o trajeto. Com as densidades $\rho_s$ do grão e $\rho$ da água, escreva $R = (\rho_s - \rho)/\rho$ para a densidade submersa relativa.

Proposição 20.5 (Sedimentação de Stokes)

Uma esfera de diâmetro $d$ e densidade $\rho_s$ caindo lentamente através de água de densidade $\rho$ e viscosidade dinâmica $\mu$, segundo a lei de Stokes, tem a velocidade de sedimentação

$$w_s = \frac{(\rho_s - \rho)\,g\,d^2}{18\,\mu} = \frac{R\,g\,d^2}{18\,\nu}.$$

A lei vale enquanto o número de Reynolds do grão $w_s d/\nu$ estiver abaixo de cerca de 1, isto é, para diâmetros abaixo de $d_1 = \left(18\,\nu^2/(R\,g)\right)^{1/3}$.

Para o quartzo, de densidade $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, em água a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de densidade $998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e viscosidade $1.0016\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$: $R = 1.65$, $\nu = 1.003 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, e com $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ o limite é $d_1 = 0.104\,\mathrm{mm}$, uma areia fina. Abaixo dele, a lei de Stokes dá as velocidades de sedimentação de silte e argila: um grão de silte de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diâmetro afunda a $9.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1\,\mathrm{m}$ em cerca de três horas; uma partícula de argila de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $3.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1\,\mathrm{m}$ em $3.2$ dias. As partículas naturais de argila são placas, não esferas, e afundam ainda mais devagar. Água de $5\,\mathrm{m}$ de profundidade, perfeitamente parada, levaria dezesseis dias para se clarear de tal argila; um rio em escoamento, cujos redemoinhos a mantêm agitada, nunca se clareia, e é por isso que a lama mais fina viaja até o mar.

Acima de $d_1$ o arrasto cresce mais que proporcionalmente à velocidade: a água que flui além do grão se separa atrás dele em uma esteira, e em números de Reynolds grandes o arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade. Experimentos com grãos naturais são resumidos em uma única fórmula que une os dois regimes.

Proposição 20.6 (Lei de sedimentação combinada)

A velocidade de sedimentação de grãos naturais de diâmetro de peneira $d$ é, para todos os tamanhos,

$$w_s = \frac{R\,g\,d^2}{C_1\,\nu + \sqrt{0.75\,C_2\,R\,g\,d^3}},$$

com $C_1 = 18$ e $C_2 = 1.0$.

A lei se deve a Ferguson e Church, que a ajustaram a velocidades de sedimentação medidas em areias naturais. Para grãos pequenos a raiz quadrada é desprezível e a lei se reduz à de Stokes; para grãos grandes o primeiro termo do denominador é desprezível e $w_s \to \sqrt{4 R g d/(3 C_2)}$, que cresce apenas como a raiz quadrada do tamanho. As constantes dependem da forma dos grãos: $C_2 = 0.4$ descreve esferas lisas, valores maiores, grãos mais angulosos, que encontram mais arrasto. As duas leis se separam acima de $0.1\,\mathrm{mm}$. Para um grão de $1\,\mathrm{mm}$ a lei combinada dá $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, sete vezes menos que a de Stokes; para um seixo de $10\,\mathrm{mm}$, $0.46\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ contra um absurdo $90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (diagrama abaixo).

Ao longo da faixa do diagrama, da argila mais fina a um cascalho grosso, a velocidade de sedimentação abrange oito ordens de grandeza. Esta é a primeira razão pela qual os rios separam seus sedimentos: uma corrente que perde velocidade deposita de imediato o seu cascalho, sua areia a poucos metros, seu silte a poucos quilômetros, e leva sua argila a um lago ou ao mar. As classes de tamanho de grão e a seleção dos sedimentos são o assunto do próximo capítulo (Capítulo 21).

20.3 Limiar de movimento e o diagrama de Hjulström

Um grão em repouso no leito de um rio é posto em movimento pela força da água que escoa sobre ele. Essa força é medida por uma tensão.

Definição 20.7 (Tensão de cisalhamento no leito, velocidade de cisalhamento)

A tensão de cisalhamento no leito $\tau_b$ de um escoamento é a força por unidade de área que ele exerce sobre seu leito, paralela ao leito, no sentido do escoamento. A velocidade de cisalhamento é $u_* = \sqrt{\tau_b/\rho}$, uma velocidade que mede a mesma tensão.

A tensão de cisalhamento no leito não pode ser lida em um medidor de corrente, mas em um escoamento permanente ela segue de um balanço de forças.

Proposição 20.8 (Produto profundidade–declividade)

Em um escoamento permanente e uniforme de profundidade $h$ por um canal largo de pequena declividade $S$, a tensão de cisalhamento no leito é

$$\tau_b = \rho\,g\,h\,S .$$

Um rio de $2\,\mathrm{m}$ de profundidade em uma declividade de $0.001$, um metro de queda por quilômetro, tem $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 2 \times 0.001 = 19.6\,\mathrm{Pa}$, e uma velocidade de cisalhamento de $0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Em um canal que não é largo, as margens tomam sua parte do atrito, e a profundidade é substituída pelo raio hidráulico, a área da seção dividida por seu perímetro molhado (Exercício 20.5).

Forças sobre um grão. O escoamento empurra um grão do leito por seu arrasto e o levanta pela água mais rápida sobre seu topo (o detalhe da primeira figura deste capítulo). Ambas as forças atuam sobre a área do grão, de modo que escalam como $\tau_b d^2$; o grão resiste por seu peso submerso, que escala como $(\rho_s - \rho) g d^3$. A razão entre as duas é a medida natural da intensidade do escoamento para um dado grão.

Definição 20.9 (Parâmetro de Shields, limiar de movimento)

O parâmetro de Shields de um escoamento de tensão de cisalhamento no leito $\tau_b$ sobre grãos de diâmetro $d$ e densidade $\rho_s$ é

$$\theta = \frac{\tau_b}{(\rho_s - \rho)\,g\,d}.$$

O limiar de movimento dos grãos é a tensão de cisalhamento no leito, ou o valor $\theta_c$ do parâmetro de Shields, em que eles começam a se mover.

O valor crítico $\theta_c$ é medido em canais de laboratório, e as medidas caem numa única curva quando plotadas contra um tamanho de grão adimensional que combina o grão e o fluido.

Proposição 20.10 (Curva do limiar de Soulsby e Whitehouse)

Para grãos de diâmetro $d$ sobre um leito plano, com $D_* = d\,\left(R\,g/\nu^2\right)^{1/3}$, o parâmetro de Shields crítico é

$$\theta_c = \frac{0.3}{1 + 1.2\,D_*} + 0.055\left(1 - e^{-0.02\,D_*}\right),$$

e a tensão de cisalhamento crítica no leito é $\tau_c = \theta_c\,(\rho_s - \rho)\,g\,d$.

Para grãos grossos $\theta_c$ tende a $0.055$: o cascalho se move quando a tensão de cisalhamento no leito atinge cerca de um vigésimo do peso submerso de uma camada de grãos com um diâmetro de espessura, por unidade de área. As fórmulas de transporte de sedimentos que usam um limiar constante tomam valores de $0.03$ a $0.047$, o último na clássica fórmula de carga de fundo de Meyer-Peter e Müller. Para areia fina $\theta_c$ volta a crescer, para $0.077$ a $0.1\,\mathrm{mm}$: grãos pequenos jazem dentro da camada lenta e viscosa de água junto ao leito e são abrigados por seus vizinhos. O mínimo, $0.030$, cai perto de $0.7\,\mathrm{mm}$. Em pascals o limiar sempre cresce com o tamanho (diagrama abaixo): $0.13\,\mathrm{Pa}$ para uma areia de $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.51\,\mathrm{Pa}$ a $1\,\mathrm{mm}$, $9.0\,\mathrm{Pa}$ a $10\,\mathrm{mm}$, $57\,\mathrm{Pa}$ para um seixo de $64\,\mathrm{mm}$.

Exemplo 20.11 (O que o rio move)

No rio de $2\,\mathrm{m}$ de profundidade em declividade de $0.001$, $\tau_b = 19.6\,\mathrm{Pa}$. Para grãos de $20\,\mathrm{mm}$, $\theta = 19.6/(1651.8 \times 9.81 \times 0.020) = 0.060$, logo acima de seu limiar de $0.055$: eles se movem. Para grãos de $40\,\mathrm{mm}$, $\theta = 0.030$, metade do limiar: eles permanecem. O rio move seu leito até o cascalho grosso; para areia de $1\,\mathrm{mm}$, $\theta = 1.21$, quase quarenta vezes o limiar de $0.031$.

Em suspensão. Uma vez em movimento, um grão salta ao longo do leito ou é arrastado para o escoamento, conforme os redemoinhos, cujas velocidades são da ordem da velocidade de cisalhamento, consigam sustentá-lo contra sua sedimentação.

Proposição 20.12 (Critério de suspensão)

Um grão de velocidade de sedimentação $w_s$ pode permanecer em suspensão em um escoamento turbulento apenas se alguns redemoinhos subirem mais depressa do que ele afunda. Como as velocidades para cima dos redemoinhos são da ordem da velocidade de cisalhamento $u_*$, a suspensão começa quando $u_*$ se aproxima de $w_s$ e se desenvolve plenamente quando $u_*$ a excede; este capítulo toma $u_* = w_s$ como o limite da suspensão.

No rio do exemplo, $u_* = 0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, que a lei combinada de sedimentação atribui a grãos de $1.16\,\mathrm{mm}$: areia mais fina que cerca de um milímetro viaja em suspensão, areia mais grossa e cascalho como carga de fundo. O argumento remonta a Bagnold, que notou que grãos de $0.1\,\mathrm{mm}$ ou menos ficam totalmente em suspensão assim que se movem, enquanto grãos maiores que $1\,\mathrm{mm}$ precisam de uma tensão de cisalhamento no leito muitas vezes acima de seu limiar. Quando a enchente baixa e $u_*$ cai, a areia grossa volta ao leito primeiro.

Da tensão à velocidade média. O que é fácil de medir, ou de estimar, em um rio é sua velocidade média. Em um escoamento turbulento sobre um leito rugoso de grãos de diâmetro $d$, um canal largo de profundidade $h$ tem a velocidade média $U = u_*\left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right)$, lei estabelecida por Keulegan em 1938 a partir dos experimentos de Nikuradse e Bazin; assim, o limiar de movimento corresponde à velocidade média crítica

e o limite de suspensão, $u_* = w_s$, a $U_s = \left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right) w_s$. Ambas dependem da profundidade, embora só por meio de um logaritmo.

Velocidades de limiar pertencem, portanto, a uma profundidade e a um conjunto de leis: calculadas para outra profundidade, ou lidas de outras medidas, saem diferentes. Plotadas contra o tamanho do grão, sua forma é robusta, mas seus valores não, e a tensão de cisalhamento no leito, que não depende da profundidade do mesmo modo, é a melhor medida do que um escoamento pode fazer. As velocidades são ainda as mais intuitivas, e a maneira clássica de desenhá-las é um diagrama.

Definição 20.13 (Diagrama de Hjulström)

Um diagrama de Hjulström representa a velocidade média de um escoamento contra o diâmetro dos grãos, em escalas logarítmicas, e divide o plano nos campos em que grãos em repouso são erodidos, grãos já em movimento são mantidos no transporte, e grãos em movimento são depositados.

Lendo o diagrama. Três traços carregam a geologia. Primeiro, os grãos mais fáceis de erodir são as areias finas, entre cerca de $0.06$ e $0.2\,\mathrm{mm}$, que uma corrente de $31\text{ a }34\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$ põe em movimento em água de $1\,\mathrm{m}$ de profundidade; grãos mais grossos precisam de mais, até cerca de $3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ para um seixo de $64\,\mathrm{mm}$. Segundo, silte e argila, embora mais leves, são mais difíceis de erodir que areia fina depois de assentados: suas partículas se grudam, e uma lama compactada resiste a uma corrente que levaria a areia embora. O cálculo para grãos soltos não consegue ver isso, e as velocidades de erosão medidas de lamas variam com sua compactação e teor de água, daí o campo hachurado. Terceiro, a lacuna entre erosão e deposição se abre bastante para os grãos finos: uma partícula de argila precisa de uma corrente forte para ser arrancada de um leito lamoso, mas, uma vez na água, permanece ali no escoamento mais brando, e essa é toda a história da enchente marrom e da pluma no mar.

História — Dois estudos dos anos 1930

Em 1935, Filip Hjulström, do Instituto Geográfico de Uppsala, publicou um longo estudo do trabalho do rio Fyris, no centro da Suécia, que continha o diagrama que leva seu nome: velocidades de erosão e de deposição contra o tamanho do grão, em escalas logarítmicas. Diferentemente de curvas anteriores, sua curva de erosão tinha um mínimo, entre cerca de $0.1$ e $0.5\,\mathrm{mm}$: areia fina solta é a mais fácil de erodir, enquanto areias mais grossas e cascalho, e também silte e argila, que se coesionam, precisam de correntes mais fortes. Um ano depois, em 1936, o engenheiro A. Shields, na tese que defendeu na Escola Técnica Superior de Berlim, traçou o limiar de movimento como uma razão de forças, o parâmetro que hoje leva seu nome, contra um tamanho de grão adimensional. As velocidades de Hjulström ignoram a profundidade do escoamento; a abordagem adimensional de Shields não, e ela sustenta as fórmulas de limiar usadas hoje, como a que está por trás dos diagramas deste capítulo.

20.4 Taxas de denudação

As cargas de um rio, somadas sobre sua bacia, medem a rapidez com que a bacia está sendo desgastada.

Definição 20.14 (Taxa de denudação)

A taxa de denudação $D$ de uma região é a taxa média com que a remoção de matéria, como grãos sólidos e em solução, rebaixa sua superfície, expressa como a espessura equivalente de rocha fresca por unidade de tempo, em metros por milhão de anos ($\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, o mesmo que milímetros por mil anos). A massa removida por unidade de área e de tempo, em toneladas por quilômetro quadrado e por ano, é a produção específica de sedimento.

Proposição 20.15 (Denudação a partir das cargas de rio)

Se uma bacia de área $A$ perde, por sua saída, as massas anuais $F_s$ de carga em suspensão, $F_b$ de carga de fundo e $F_d$ de carga dissolvida derivadas de suas rochas, e se nada é armazenado pelo caminho, sua taxa de denudação é

$$D = \frac{F_s + F_b + F_d}{\rho_r\,A},$$

com $\rho_r$ a densidade da rocha fresca. Para $\rho_r = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, uma produção específica de $100\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$ corresponde a $37\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

A carga dissolvida conta apenas a parte que vem da rocha, não a que vem do ar: o carbono do bicarbonato do intemperismo de silicatos é tirado da atmosfera, e só os cátions e a sílica são da rocha. A parte química da denudação não é pequena. Onde o clima é quente e úmido e a topografia baixa, ela pode se aproximar ou exceder a parte mecânica, enquanto em montanhas íngremes a parte mecânica domina.

Três relógios. A taxa de denudação pode ser medida em três escalas de tempo muito diferentes. As cargas de rios integram anos a décadas, e dependem das poucas enchentes que ocorreram, ou não, durante as medições. O sedimento retido em um reservatório ou em um lago, medido por levantamento de seu fundo, integra décadas a um século de sua vida. O terceiro relógio está escrito nos próprios grãos, pelos raios cósmicos.

Proposição 20.16 (Nuclídeos cosmogênicos e erosão)

Suponha que um nuclídeo seja produzido em uma rocha por raios cósmicos à taxa $P(z) = P_0\,e^{-\rho z/\Lambda}$ por unidade de massa, decrescendo exponencialmente com a profundidade $z$ ($\rho$ a densidade da rocha, $\Lambda$ uma constante, o comprimento de atenuação expresso como massa por unidade de área), e que a superfície desça à taxa constante $\varepsilon$. Desprezando o decaimento radioativo, um grão que atinge a superfície carrega a concentração

$$N = \frac{P_0\,\Lambda}{\rho\,\varepsilon}.$$

A concentração é inversamente proporcional à taxa de erosão: uma superfície que erode devagar mantém cada grão perto da superfície por muito tempo e o carrega de nuclídeos. A taxa que ela dá é média sobre o tempo necessário para erodir os poucos metros em que a produção se concentra, de cerca de mil a um milhão de anos, conforme a taxa. Desprezar o decaimento se justifica quando esse tempo é curto comparado com a vida do nuclídeo; quando a erosão é muito lenta, inclui-se o decaimento e a fórmula fica um pouco mais longa.

No laboratório — Berílio-10 em areia de rio

O nuclídeo usual é o berílio-10, de outro modo excepcionalmente raro na superfície da Terra, produzido por raios cósmicos no quartzo dos poucos metros superiores da rocha. Para medir a taxa de denudação de uma bacia inteira, geoquímicos coletam areia do leito de seu rio perto da saída, na suposição de que o rio mistura grãos de cada encosta da bacia na proporção em que cada uma é erodida. No laboratório, o quartzo é separado dos outros minerais e limpo em ácidos que removem o berílio que o ar produziu e a chuva trouxe ao solo; em seguida o quartzo é dissolvido, uma quantidade conhecida de berílio comum é adicionada, e o berílio é extraído. Seus isótopos são contados um átomo de cada vez com um espectrômetro de massa com acelerador, que consegue encontrar os raros átomos de berílio-10 entre um enorme excesso do isótopo comum.

Quais são as taxas. Uma compilação de $1599$ dessas medições, publicada em 2011, constatou que afloramentos de rocha nua se rebaixam devagar: em $12\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ em média, com mediana de $5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ (450 afloramentos). A rocha sedimentar se desgasta mais depressa, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ em média, que a metamórfica, $11\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, e a ígnea, $8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Bacias de drenagem inteiras perdem muito mais, $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ em média, com mediana de $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ ($1149$ bacias): suas encostas íngremes, os deslizamentos e os canais dos rios se erodem muito mais depressa que seus cumes nus, e algumas bacias muito rápidas elevam a média quatro vezes acima da mediana. A declividade média de uma bacia é o melhor preditor único de sua taxa. Bacias em regiões sismicamente ativas, onde montanhas se erguem, têm média de $367\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, contra $182\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ em regiões calmas; bacias polares, varridas por geleiras, $537\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; bacias áridas, $100\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

A isostasia retarda o rebaixamento. Retirar rocha de uma região em isostasia torna suas colunas mais leves, e a crosta se eleva para restaurar o equilíbrio. Com $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ (Capítulo 11), a fórmula de recuperação recordada no início do capítulo dá um rebaixamento de apenas $1 - 2700/3300 = 0.18$ da espessura removida: para baixar a superfície média de uma região em $1\,\mathrm{m}$, a erosão precisa remover $5.5\,\mathrm{m}$ de rocha. O tempo para desgastar uma cordilheira é, assim, mais de cinco vezes o que sua altura dividida por sua taxa de denudação sugere, e as rochas hoje na superfície de cordilheiras antigas e desgastadas já jaziam muitos quilômetros abaixo. E como a recuperação segue a espessura média removida, não sua distribuição, uma cordilheira cujos vales são cavados fundo enquanto seus picos mal são tocados se eleva como um todo: seus picos sobem, embora nada tenha sido acrescentado a eles (Exercício 20.11).

As taxas mudam. Uma taxa de denudação medida hoje não é uma constante da paisagem. À medida que a topografia e as encostas diminuem, a taxa também diminui, e uma cordilheira antiga e rebaixada é desgastada cada vez mais devagar; inversamente, uma cordilheira que está sendo soerguida, ou um clima que muda, a eleva. Um tempo calculado a partir da taxa de hoje é uma primeira estimativa, não uma previsão.

20.5 Exercícios

Exercício 20.1 ★

Um rio tem uma vazão média de $500\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ e carrega, como média ponderada pela vazão, $0.4\,\mathrm{g}$ de sedimento em suspensão por litro. Calcule seu fluxo em suspensão em quilogramas por segundo e em milhões de toneladas por ano (tome um ano de $365.25$ dias).

Solução

Solução de Exercício 20.1.

$0.4\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$ é $0.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, logo o fluxo é $500 \times 0.4 = 200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. Um ano de $365.25$ dias dura $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, logo o fluxo anual é $6.31 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$, ou $6.31\,\mathrm{Mt}$.

Exercício 20.2 ★

Com a lei de Stokes, calcule a velocidade de sedimentação de um grão de silte de quartzo de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diâmetro em água a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($R = 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), confira que seu número de Reynolds do grão é pequeno, e calcule o tempo que leva para afundar através de $2\,\mathrm{m}$ de água parada.

Solução

Solução de Exercício 20.2.

$w_s = R g d^2/(18\nu) = 1.6548 \times 9.81 \times (30 \times 10^{-6})^2/(18 \times 1.0034 \times 10^{-6}) = 8.09 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, cerca de $0.8\,\mathrm{mm}$ por segundo. Seu número de Reynolds do grão é $w_s d/\nu = 8.09 \times 10^{-4} \times 30 \times 10^{-6}/1.0034 \times 10^{-6} = 0.024$, muito abaixo de 1: vale a lei de Stokes. Ele afunda através de $2\,\mathrm{m}$ em $2/8.09 \times 10^{-4} = 2472\,\mathrm{s}$, cerca de $41\,\mathrm{min}$.

Exercício 20.3 ★

Um riacho largo de $0.5\,\mathrm{m}$ de profundidade escoa em declividade de $4 \times 10^{-4}$. Calcule sua tensão de cisalhamento no leito, com $\rho = 998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e o parâmetro de Shields do escoamento para grãos de quartzo de $1\,\mathrm{mm}$ e de $10\,\mathrm{mm}$ ($\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$). Os valores críticos são $0.0314$ a $1\,\mathrm{mm}$ e $0.0556$ a $10\,\mathrm{mm}$: quais grãos se movem?

Solução

Solução de Exercício 20.3.

$\tau_b = \rho g h S = 998.2 \times 9.81 \times 0.5 \times 4 \times 10^{-4} = 1.96\,\mathrm{Pa}$. Com $(\rho_s - \rho) g = 1651.8 \times 9.81 = 16\,204\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$: para $1\,\mathrm{mm}$, $\theta = 1.96/(16204 \times 0.001) = 0.121$, quase quatro vezes o limiar de $0.0314$, logo a areia se move; para $10\,\mathrm{mm}$, $\theta = 0.0121$, um quinto do limiar de $0.0556$, logo o cascalho permanece. O riacho carrega sua areia sobre um leito de cascalho que não se move.

Exercício 20.4 ★

O fluxo moderno de sedimento em suspensão para o oceano é de cerca de $12.6\,\mathrm{Gt}$ por ano, o fluxo dissolvido de cerca de $3.9\,\mathrm{Gt}$ por ano, a uma concentração média de $120\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. (a) Qual é a razão entre o fluxo em suspensão e o dissolvido? (b) Antes da influência humana o fluxo em suspensão era de $14\,\mathrm{Gt}$ por ano: que massas os grandes reservatórios ($20\,\%$) e todos os reservatórios ($26\,\%$) retêm? (c) Que volume anual de água fluvial o fluxo dissolvido e sua concentração implicam? Qual é então a concentração média de sedimento em suspensão, em gramas por litro?

Solução

Solução de Exercício 20.4.

(a) $12.6/3.9 = 3.2$: os rios carregam cerca de três vezes mais em suspensão que em solução. (b) Grandes reservatórios: $0.20 \times 14 = 2.8\,\mathrm{Gt}$ por ano; todos eles: $0.26 \times 14 = 3.64\,\mathrm{Gt}$ por ano. (c) O fluxo dissolvido é de $3.9 \times 10^{15}\,\mathrm{g}$ por ano a $120\,\mathrm{g}\,\mathrm{m}^{-3}$, logo a água que o carrega é $3.9 \times 10^{15}/120 = 3.25 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$, cerca de $32\,500\,\mathrm{km}^{3}$ por ano. A carga em suspensão nessa água é $1.26 \times 10^{16}\,\mathrm{g}/3.25 \times 10^{16}\,\mathrm{L} = 0.39\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$.

Exercício 20.5 ★★

Em um canal de largura finita, o produto profundidade–declividade torna-se $\tau_b = \rho g R_h S$, com o raio hidráulico $R_h$, a área da seção dividida por seu perímetro molhado. (a) Calcule $R_h$ para um canal retangular de $10\,\mathrm{m}$ de largura e $2\,\mathrm{m}$ de profundidade. (b) Compare a tensão de cisalhamento no leito em uma declividade de $0.001$ com a de um canal muito largo da mesma profundidade. (c) Mostre que $R_h \to h$ quando a largura cresce.

Solução

Solução de Exercício 20.5.

(a) A seção tem a área $10 \times 2 = 20\,\mathrm{m}^{2}$ e o perímetro molhado $10 + 2 \times 2 = 14\,\mathrm{m}$, logo $R_h = 20/14 = 1.43\,\mathrm{m}$. (b) $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 1.43 \times 0.001 = 14.0\,\mathrm{Pa}$, contra $19.6\,\mathrm{Pa}$ para um canal muito largo de $2\,\mathrm{m}$ de profundidade: a razão é $R_h/h = 0.714$, as margens tomando o resto do atrito. (c) Para um canal retangular de largura $b$, $R_h = bh/(b + 2h) = h/(1 + 2h/b)$, que tende a $h$ quando $b$ cresce.

Exercício 20.6 ★★

(a) Mostre a partir de Proposição 20.5 que o limite $d_1$ da lei de Stokes é proporcional a $\nu^{2/3}$. (b) A $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a viscosidade da água é $1.3059\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ e sua densidade $999.7\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; calcule $d_1$ para o quartzo, sabendo que ele é $0.104\,\mathrm{mm}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, onde $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ (despreze a pequena mudança de $R$). (c) De que fator um grão de silte de quartzo de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ afunda mais devagar a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ que a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? O que isso significa para um rio no inverno?

Solução

Solução de Exercício 20.6.

(a) $d_1 = \left(18\nu^2/(Rg)\right)^{1/3} = (18/(Rg))^{1/3}\,\nu^{2/3}$, e $R$ e $g$ não dependem da viscosidade. (b) $\nu = 1.3059 \times 10^{-3}/999.7 = 1.306 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, contra $1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: a razão é $1.302$, e $1.302^{2/3} = 1.192$, logo $d_1 = 0.104 \times 1.192 = 0.124\,\mathrm{mm}$. (c) No intervalo de Stokes $w_s$ é inversamente proporcional a $\nu$: o grão afunda $1.302$ vezes mais devagar, cerca de $30\,\%$. Água fria mantém o sedimento fino em suspensão por mais tempo: um rio no inverno carrega seu silte um pouco mais longe, para a mesma vazão.

Exercício 20.7 ★★

Para grãos de quartzo de $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.5\,\mathrm{mm}$ e $2\,\mathrm{mm}$ em água a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, calcule a velocidade de sedimentação pela lei de Stokes e pela lei combinada, e a razão entre as duas. Explique a tendência.

Solução

Solução de Exercício 20.7.

Com $R g/(18\nu) = 8.99 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ e a lei combinada:

$d$	Stokes ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$)	combinada ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$)	razão
$0.1\,\mathrm{mm}$	$8.99 \times 10^{-3}$	$7.53 \times 10^{-3}$	$1.19$
$0.5\,\mathrm{mm}$	$0.225$	$0.0711$	$3.16$
$2\,\mathrm{mm}$	$3.60$	$0.197$	$18.3$

A razão cresce com o tamanho, porque o número de Reynolds do grão cresce: a lei de Stokes, válida apenas para números de Reynolds pequenos, cresce como $d^2$, enquanto o arrasto da esteira freia os grãos grossos até uma velocidade que cresce apenas como $\sqrt d$.

Exercício 20.8 ★★

(a) Calcule, com a curva de Soulsby e Whitehouse, o parâmetro de Shields crítico e a tensão de cisalhamento crítica no leito para grãos de quartzo de $0.2\,\mathrm{mm}$ e $20\,\mathrm{mm}$. (b) Que profundidade de água, escoando permanentemente em um canal largo de declividade $0.002$, atinge cada limiar?

Solução

Solução de Exercício 20.8.

(a) $(Rg/\nu^2)^{1/3} = 25\,263\,\mathrm{m}^{-1}$. Em $0.2\,\mathrm{mm}$, $D_* = 5.05$ e $\theta_c = 0.3/7.06 + 0.055(1 - e^{-0.101}) = 0.0425 + 0.0053 = 0.0478$; $\tau_c = 0.0478 \times 16204 \times 2 \times 10^{-4} = 0.155\,\mathrm{Pa}$. Em $20\,\mathrm{mm}$, $D_* = 505$ e $\theta_c = 0.3/607 + 0.055(1 - e^{-10.1}) = 0.0005 + 0.0550 = 0.0555$; $\tau_c = 0.0555 \times 16204 \times 0.02 = 18.0\,\mathrm{Pa}$. (b) $h = \tau_c/(\rho g S)$ com $\rho g S = 19.58\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}$: $7.9\,\mathrm{mm}$ de água movem a areia fina, $0.92\,\mathrm{m}$ o cascalho.

Exercício 20.9 ★★

Uma bacia de $2000\,\mathrm{km}^{2}$ exporta por ano $0.6\,\mathrm{Mt}$ de carga em suspensão e de fundo e $0.2\,\mathrm{Mt}$ de carga dissolvida derivada da rocha. Calcule sua produção específica e sua taxa de denudação para uma densidade da rocha de $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Como ela se compara com a mediana das bacias medidas com berílio-10?

Solução

Solução de Exercício 20.9.

A bacia perde $0.8\,\mathrm{Mt}$ = $8 \times 10^{5}\,\mathrm{t}$ por ano, ou $8 \times 10^{5}/2000 = 400\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Pela Proposição 20.15, $D = 8 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/(2650 \times 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}) = 1.51 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ por ano, ou $151\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Isso é cerca de três vezes a mediana das bacias medidas com berílio-10, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, embora abaixo de sua média de $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: uma bacia razoavelmente rápida, como as de países íngremes ou tectonicamente ativos.

Exercício 20.10 ★★★

Um rio largo de $3\,\mathrm{m}$ de profundidade escoa em declividade de $5 \times 10^{-4}$. (a) Calcule sua velocidade de cisalhamento e sua tensão de cisalhamento no leito. (b) Com Proposição 20.12 e a lei combinada de sedimentação, encontre o maior grão de quartzo que ele carrega em suspensão. (c) Com a curva de limiar, encontre o maior grão que ele move de todo. (d) Descreva o leito e a carga deste rio.

Solução

Solução de Exercício 20.10.

(a) $u_* = \sqrt{g h S} = \sqrt{9.81 \times 3 \times 5 \times 10^{-4}} = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\tau_b = \rho u_*^2 = 14.7\,\mathrm{Pa}$. (b) A suspensão exige $w_s < u_* = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. A lei combinada dá $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $1\,\mathrm{mm}$; resolvendo $w_s(d) = 0.1213$ por tentativas dá $d = 0.94\,\mathrm{mm}$. (c) Para o cascalho $\theta_c \approx 0.0555$, logo $\tau_c = 14.7\,\mathrm{Pa}$ para $d \approx 14.7/(0.0555 \times 16204) = 16.3\,\mathrm{mm}$; nesse tamanho a curva de limiar dá $\theta_c = 0.0555$, de fato. (d) Grãos mais grossos que cerca de $16\,\mathrm{mm}$ permanecem no leito e formam um piso de cascalho estável; o cascalho mais fino e a areia mais grossa que cerca de um milímetro viajam como carga de fundo; areia mais fina, silte e argila viajam em suspensão.

Exercício 20.11 ★★★

Um platô em equilíbrio isostático é cortado por vales até que $30\,\%$ de seu volume acima dos fundos dos vales seja removido; antes do corte ele estava como uma superfície plana $1000\,\mathrm{m}$ acima dos futuros fundos dos vales. Tome $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Que espessura média de rocha é removida? (b) Quanto a região se eleva por isostasia? (c) Quanto a superfície média foi rebaixada? (d) O que aconteceu com os cumes que não foram erodidos?

Solução

Solução de Exercício 20.11.

(a) $0.30 \times 1000\,\mathrm{m} = 300\,\mathrm{m}$ de rocha, média sobre a região. (b) A recuperação é $300 \times 2700/3300 = 245\,\mathrm{m}$. (c) A superfície média é rebaixada apenas em $300 - 245 = 55\,\mathrm{m}$. (d) Os cumes, que não foram erodidos, são levados para cima com toda a região: agora estão $245\,\mathrm{m}$ mais altos que antes. Cortar vales pode elevar os picos de uma cordilheira.

Exercício 20.12 ★★★

Um reservatório de $50 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ recebe $0.5\,\mathrm{Mt}$ de sedimento por ano e retém $90\,\%$ dele. O depósito, úmido e solto, tem densidade aparente de $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Que volume do reservatório ele preenche a cada ano, e que fração? (b) Quanto tempo até que metade do reservatório esteja cheia nesse ritmo? (c) Por que a perda de volume costuma desacelerar à medida que o reservatório envelhece?

Solução

Solução de Exercício 20.12.

(a) $0.9 \times 5 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 346\,000\,\mathrm{m}^{3}$ por ano, ou $0.69\,\%$ do reservatório. (b) Metade do reservatório, $25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, é preenchida em $25 \times 10^{6}/346\,000 = 72\text{ anos}$ nesse ritmo. (c) À medida que o reservatório se enche, seu volume, e portanto o tempo de residência da água, diminui, e grãos mais finos passam por ele: sua eficiência de retenção cai. Ao mesmo tempo, os depósitos antigos são soterrados e compactados, expulsando água, de modo que sua densidade aparente aumenta e cada tonelada ocupa menos espaço. Os dois efeitos desaceleram a perda de volume à medida que o reservatório envelhece.

20.6 Problema: com que rapidez as Colinas de Varden estão sendo desgastadas?

Problema 20.1

Problema de fim de semana — o rio das Colinas de Varden, de suas cargas até o tempo necessário para desgastar as colinas

O rio das Colinas de Varden drena uma bacia de $80\,\mathrm{km}^{2}$ de granito, xisto e rochas sedimentares. Em sua saída, uma estação de medição registra uma vazão média de $1.2\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$; ao longo de vários anos de amostragem, a concentração média ponderada pela vazão de sedimento em suspensão é $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, e a da carga dissolvida derivada das rochas, $80\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. A carga de fundo é estimada em $10\,\%$ da carga em suspensão. Tome um ano de $365.25$ dias, uma densidade da rocha de $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, grãos de quartzo de densidade $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e água a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($R = 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).

Parte I — As cargas.

1. Exprima a vazão média como um escoamento superficial, a profundidade de água espalhada sobre a bacia a cada ano, em milímetros.
2. Calcule o fluxo anual de sedimento em suspensão, em toneladas.
3. Calcule o fluxo anual de carga dissolvida derivada da rocha.
4. Calcule a carga de fundo e a carga total.
5. A concentração média no tempo de sedimento em suspensão é bem menor que $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. Explique por quê, e qual das duas deve ser multiplicada pela vazão média.
6. Qual parcela do total a carga dissolvida representa? Compare com os rios do mundo, cujo fluxo dissolvido é de cerca de $3.9\,\mathrm{Gt}$ e o fluxo em suspensão de $12.6\,\mathrm{Gt}$ por ano.

Parte II — A taxa de denudação.

7. Calcule a produção específica de sedimento da bacia.
8. Calcule sua taxa de denudação, em metros por milhão de anos.
9. Compare-a com a mediana das bacias medidas com berílio-10, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. A bacia é rápida ou lenta?
10. Uma medição de berílio-10 de areia da saída dá uma taxa da mesma ordem. Que intervalos de tempo a medição de vazão e o berílio fazem a média, e por que podem diferir?
11. Por que só a parte da carga dissolvida derivada da rocha deve ser contada?

Parte III — Um reservatório. Uma barragem é planejada na saída, retendo um reservatório de $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ com profundidade média de $8\,\mathrm{m}$.

12. Qual é o tempo médio de residência da água no reservatório, em dias?
13. Quanto tempo leva um grão de areia de quartzo de $0.1\,\mathrm{mm}$, entrando pela superfície, para afundar até o fundo (lei combinada)?
14. Mesma pergunta para um grão de silte de $0.02\,\mathrm{mm}$, com a lei de Stokes.
15. Mesma pergunta para uma partícula de argila de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$. Ela é retida?
16. Qual é o grão mais fino que afunda através de toda a profundidade dentro do tempo de residência?
17. Suponha que a carga de fundo e $70\,\%$ da carga em suspensão sejam retidas, sendo o resto argila mais fina, e que o depósito tenha densidade aparente de $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Que volume ele preenche a cada ano, que fração do reservatório, e quanto tempo até que esteja meio cheio?

Parte IV — Desgastando as colinas.

18. À taxa de denudação da questão 8, quanto tempo levaria para rebaixar as colinas em $100\,\mathrm{m}$, se nada mais acontecesse?
19. Com $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, de que fração da espessura removida a superfície média é rebaixada, uma vez que a isostasia tenha se ajustado?
20. Que espessura de rocha precisa ser removida para rebaixar a superfície média em $100\,\mathrm{m}$?
21. Se a erosão se concentra nos vales, o que acontece com os cumes mais altos durante esse tempo?
22. Por que a taxa de hoje dificilmente se manterá constante por milhões de anos, e em que direção ela mudará?
23. Em milhões de anos, com três algarismos, quanto tempo leva, à taxa de hoje e com a recuperação isostática, para rebaixar as Colinas de Varden em $100\,\mathrm{m}$?

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. Um ano de água é $1.2 \times 3.156 \times 10^{7} = 3.79 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$; espalhado sobre $8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, uma camada de $0.473\,\mathrm{m}$: uma vazão de $473\,\mathrm{mm}$ por ano.

2. $1.2 \times 0.150\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 0.18\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, ou $5680\,\mathrm{t}$ por ano.

3. $1.2 \times 0.080 = 0.096\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, ou $3030\,\mathrm{t}$ por ano.

4. A carga de fundo é $568\,\mathrm{t}$ por ano, e o total $5680 + 3030 + 568 = 9278\,\mathrm{t}$ por ano.

5. A concentração de sedimento em suspensão é alta durante os poucos dias de enchente, quando a vazão também é alta, e baixa no resto do tempo. Uma média no tempo dá a cada dia o mesmo peso, de modo que ela é dominada pelos muitos dias de vazão baixa e concentração baixa. Pela Proposição 20.2, a massa anual é $\int Q\,C\,\mathrm dt$; a média ponderada pela vazão é essa integral dividida por $\int Q\,\mathrm dt$, de modo que é a média ponderada pela vazão que deve ser multiplicada pela vazão média.

6. $3030/9278 = 0.33$, um terço. Para os rios do mundo, $3.9/(12.6 + 3.9) = 0.24$, e menos se a carga de fundo fosse contada. A parcela da bacia é maior: colinas baixas, onde a erosão mecânica lenta deixa à rocha tempo para se dissolver, e calcário e giz, que se dissolvem por completo.

7. $9278/80 = 116\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

8. $D = 9.278 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/(2700 \times 8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}) = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ por ano, $43.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

9. $43.0/54 = 0.80$: um pouco abaixo da mediana das bacias medidas, e cinco vezes abaixo de sua média. Uma bacia moderadamente lenta, como se espera para colinas baixas em uma região calma.

10. A medição de vazão faz a média sobre os poucos anos de medição, e depende das enchentes que ocorreram neles. O berílio-10 faz a média sobre o tempo necessário para erodir os poucos metros em que ele é produzido: a $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, cada metro leva $23\,000$ anos, de modo que a média abrange dezenas de milhares de anos. Elas podem diferir por causa de grandes enchentes raras, ausentes em um registro curto, porque a agricultura e o desmatamento aumentaram a erosão nos últimos séculos, e porque o sedimento é armazenado na planície de inundação, e dela retomado.

11. Parte da carga dissolvida não vem da rocha: boa parte do bicarbonato carrega carbono tirado do ar ou do solo, e a chuva traz sal marinho. Contá-los creditaria à bacia uma rocha que ela não perdeu.

12. $1.5 \times 10^{6}/1.2 = 1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $14.5$ dias.

13. A lei combinada dá $7.53 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: o grão afunda $8\,\mathrm{m}$ em $1062\,\mathrm{s}$, cerca de $18\,\mathrm{min}$. Ele é retido.

14. $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (2 \times 10^{-5})^2 = 3.60 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: $8\,\mathrm{m}$ em $22\,200\,\mathrm{s}$, cerca de $6.2$ horas. Retido.

15. $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (1 \times 10^{-6})^2 = 8.99 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: $8\,\mathrm{m}$ leva $8.9 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $103$ dias, sete vezes o tempo de residência. A maior parte dela passa pela barragem com a água.

16. O grão deve afundar $8\,\mathrm{m}$ em $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, a $6.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ no mínimo. Pela lei de Stokes $d = \sqrt{18\nu w_s/(Rg)} = \sqrt{6.4 \times 10^{-6}/8.99 \times 10^{5}} = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}$: uma argila fina. Grãos mais grossos ficam retidos onde entram.

17. $568 + 0.7 \times 5680 = 4544\,\mathrm{t}$ por ano, o que preenche $4.544 \times 10^{6}/1300 = 3496\,\mathrm{m}^{3}$ por ano, $0.233\,\%$ do reservatório. Metade dele, $7.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$, é preenchida em cerca de $215$ anos.

18. $100/43.0 = 2.33\,\mathrm{Myr}$.

19. $1 - 2700/3300 = 0.18$: a superfície desce apenas $18\,\%$ da espessura removida.

20. $100/0.1818 = 550\,\mathrm{m}$ de rocha.

21. A região inteira se eleva por $550 \times 2700/3300 = 450\,\mathrm{m}$ de recuperação. Cumes pouco erodidos são levados para cima com ela, em até $450\,\mathrm{m}$, enquanto os vales se aprofundam: a topografia cresce antes de declinar.

22. A taxa de denudação depende sobretudo das encostas. À medida que as colinas são rebaixadas e suas encostas se suavizam, a taxa diminuirá, a menos que o soerguimento ou uma mudança de clima as torne íngremes outra vez: o tempo calculado à taxa de hoje é um limite inferior.

23. $550/42.95 = 12.80$. À taxa de hoje e com a recuperação isostática, rebaixar as Colinas de Varden em $100\,\mathrm{m}$ leva 12.8 milhões de anos.