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Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano · স্নাতক প্রথম বর্ষ

4Mapas geológicos

Um geólogo atravessa uma região de colinas baixas com uma prancheta, um caderno e uma bússola-clinômetro. A maior parte do terreno é de capim, mata ou campo arado; a rocha aparece apenas aqui e ali, na margem de um riacho, num corte de estrada, num paredão. A partir desses vislumbres dispersos, e da forma da topografia, o geólogo precisa dizer qual rocha está sob cada metro quadrado das colinas, como as camadas estão inclinadas, onde estão partidas e em que ordem tudo isso aconteceu. O resultado é um mapa geológico: um desenho plano que codifica um corpo tridimensional de rocha. Este capítulo explica como esse mapa é feito e como se lê — como a atitude de uma superfície é medida e calculada, por que o afloramento de uma camada desenha os padrões que desenha e como um mapa conta uma história. Seus exemplos vêm de uma região imaginária, mas geologicamente consistente, as Colinas de Varden, que reaparece ao longo deste livro.

O que você já sabe

Um mapa topográfico mostra a topografia com curvas de nível, linhas de igual altitude; sua escala relaciona distâncias no mapa a distâncias no terreno (Livro 1, 9º ano). As idades relativas seguem da superposição (uma camada é mais nova que as camadas abaixo dela, a menos que a sequência tenha sido invertida), do corte transversal (o que corta uma rocha é mais novo que ela) e da inclusão (Livro 1, 7º ano). Uma falha é uma fratura ao longo da qual os dois blocos se deslocaram (Livro 1, 7º ano); a geometria das dobras e das falhas é o assunto de Capítulo 17.

4.1 Um mapa é um corte através de três dimensões

Definição 4.1 (Mapa geológico)

Um mapa geológico mostra, em cada ponto da superfície do terreno, a unidade rochosa que ali se encontra sob o solo, com os contatos — as superfícies que separam duas unidades — e as estruturas (falhas, eixos de dobras, atitudes das camadas) que as afetam. Uma unidade cartográfica é um corpo de rocha que pode ser reconhecido e acompanhado no campo e é desenhado em uma cor; seu afloramento é a área onde ele se encontra na superfície.

Definição 4.2 (Modelo digital de elevação)

Um modelo digital de elevação é uma malha de altitudes do terreno, $z = g(x,y)$ , em pontos igualmente espaçados. Um sistema de informação geográfica armazena essas malhas e as demais camadas do mapa (contatos, falhas, medidas, sondagens) em um referencial comum de coordenadas, e calcula com elas.

Proposição 4.3 (O afloramento de um contato)

Seja o terreno a superfície $z = g(x,y)$ e um contato a superfície $z = c(x,y)$ . O traço do contato no mapa é a curva

g(x,y) = c(x,y),

a projeção sobre o plano horizontal da interseção das duas superfícies. A unidade situada acima do contato aflora onde $g > c$ .

Demonstração. Um ponto do mapa pertence ao traço se e somente se a superfície do terreno nesse ponto pertence ao contato, isto é, $g(x,y) = c(x,y)$ . Onde $g(x,y) > c(x,y)$ , o terreno está acima do contato: a rocha na superfície pertence à unidade que está acima dele. ∎

Observação 4.4 (Como os mapas deste livro são desenhados)

É exatamente assim que um sistema de informação geográfica desenha um mapa a partir de um modelo tridimensional: ele avalia $g - c$ na malha de um modelo digital de elevação e traça as curvas onde essa quantidade muda de sinal. Os mapas das Colinas de Varden deste livro foram desenhados dessa maneira, a partir de um modelo geológico em que cada superfície é conhecida.

As Colinas de Varden como um modelo digital de elevação: o terreno iluminado a partir do noroeste, com curvas de nível a cada 50\, m (mais grossas em 250\, m e 500\, m) e o rio, que corre para leste. — As Colinas de Varden como um modelo digital de elevação: o terreno iluminado a partir do noroeste, com curvas de nível a cada $50\,\mathrm{m}$ (mais grossas em $250\,\mathrm{m}$ e $500\,\mathrm{m}$ ) e o rio, que corre para leste.

O mapa geológico das Colinas de Varden, com as curvas de nível, o rio, duas atitudes medidas (linha de direção e traço de mergulho, com o mergulho em graus) e a legenda. As idades são as das unidades da região; a falha está escondida sob o aluvião mais jovem do fundo do vale.

4.2 A atitude de um plano

Definição 4.5 (Direção, mergulho e sentido de mergulho)

Seja uma superfície geológica — um plano de estratificação, um contato, uma falha — localmente plana. Sua direção é a direção das linhas horizontais que ela contém, dada como um azimute (graus no sentido horário a partir do norte). Seu mergulho $\delta$ é o ângulo entre o plano e a horizontal, medido no plano vertical perpendicular à direção, $0 \le \delta \le 90{}^{\circ}$ . Seu sentido de mergulho $\alpha$ é o azimute da linha mais inclinada para baixo do plano. Juntos eles formam a atitude do plano, escrita sentido de mergulho/mergulho, por exemplo $080/12$ .

Notação 4.6 (Direção pela regra da mão direita)

Uma direção pode ser lida em dois sentidos opostos. A regra da mão direita escolhe aquele em que o plano mergulha para a direita de um observador que olha ao longo da direção: direção $= \alpha - 90{}^{\circ}$ (módulo $360{}^{\circ}$ ). No mapa, o símbolo é uma linha de direção com um pequeno traço apontando para baixo, na direção do mergulho, rotulado com o mergulho.

Um plano de direção norte e mergulho de 30 para leste (atitude 090/30), cortando um plano horizontal ao longo da sua linha de direção. Fora de escala. — Um plano de direção norte e mergulho de $30{}^{\circ}$ para leste (atitude $090/30$ ), cortando um plano horizontal ao longo da sua linha de direção. Fora de escala.

Proposição 4.7 (A equação de um plano inclinado)

Com $x$ para leste, $y$ para norte e $z$ para cima, o plano de sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$ que passa pelo ponto $(x_0, y_0, z_0)$ é

z = z_0 - \tan\delta\,\bigl[(x - x_0)\sin\alpha + (y - y_0)\cos\alpha\bigr].

Demonstração. O vetor horizontal unitário que aponta no sentido de mergulho é $\vec u = (\sin\alpha, \cos\alpha, 0)$ (um azimute é medido a partir do norte, o eixo $y$ , em direção ao leste, o eixo $x$ ). Ao longo da direção, perpendicularmente a $\vec u$ , o plano é horizontal; ao longo de $\vec u$ ele desce de $\tan\delta$ por unidade de distância horizontal. A distância horizontal de um ponto à linha de direção que passa por $(x_0, y_0)$ , contada positivamente no sentido do mergulho, é $(x-x_0)\sin\alpha + (y-y_0)\cos\alpha$ , de onde sai a fórmula. ∎

Teorema 4.8 (Atitude a partir de três pontos)

Sejam $P_1, P_2, P_3$ três pontos não colineares de um plano, e $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} = (n_x, n_y, n_z)$ , escolhido com $n_z > 0$ (troque $\vec n$ por $-\vec n$ caso contrário). Então o mergulho e o sentido de mergulho do plano são

\delta = \arccos\frac{n_z}{\|\vec n\|}, \qquad \alpha = \text{o azimute do vetor horizontal } (n_x, n_y),

que é o ângulo $\alpha \in [0{}^{\circ}, 360{}^{\circ})$ com $\sin\alpha = n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ e $\cos\alpha = n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ (o plano é horizontal se $n_x = n_y = 0$ ).

Demonstração. $\vec n$ é perpendicular a dois vetores independentes do plano, logo normal a ele. O mergulho é o ângulo entre o plano e a horizontal, igual ao ângulo entre as suas normais, $\vec n$ e a vertical $\vec k$ : $\cos\delta = \vec n \cdot \vec k / \|\vec n\| = n_z/\|\vec n\|$ . Pela Proposição 4.7, o plano é $z = \text{constante} - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ , isto é, $\tan\delta\sin\alpha\,x + \tan\delta\cos\alpha\,y + z = \text{constante}$ ; sua normal para cima é proporcional a $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$ , cuja parte horizontal aponta no sentido de mergulho $\alpha$ . Como $\vec n$ é um múltiplo positivo dessa normal, $(n_x, n_y)$ também aponta no sentido de mergulho. ∎

Método 4.9 (O problema dos três pontos)

Para encontrar a atitude de um contato encontrado em três sondagens (ou visto em três afloramentos):

para cada sondagem, tome a altitude do contato: a altitude do terreno menos a profundidade em que o contato foi encontrado;
escreva os três pontos $P_i = (x_i, y_i, z_i)$ em metros, $x$ para leste, $y$ para norte;
calcule $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$ e torne $n_z$ positivo;
aplique o Teorema 4.8; dê a atitude como sentido de mergulho/mergulho e, se pedido, a direção pela regra da mão direita.

No papel, o mesmo problema se resolve com curvas estruturais: na reta que une o ponto mais alto ao mais baixo, encontre por proporção o ponto na altitude do terceiro; a reta que passa por esses dois pontos de mesma altitude é uma linha de direção; o mergulho segue da diferença de altitude entre duas linhas de direção paralelas e do seu espaçamento.

Exemplo 4.10 (O flanco leste do anticlinal de Varden)

Três sondagens, E1 em $(4000, 6000)$ , E2 em $(4600, 7200)$ e E3 em $(5100, 6400)$ (metros a leste e ao norte do canto sudoeste do mapa), encontram a base do calcário nas altitudes $174$ , $4$ e $-74\,\mathrm{m}$ . Então $\overrightarrow{P_1P_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (1100, 400, -248)$ ; seu produto vetorial é $(-229\,600, -38\,200, -1\,080\,000)$ , que aponta para baixo, logo

\vec n = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000).

Daí, pela normal ao plano, $\cos\delta = 1\,080\,000/\|\vec n\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ , e o sentido de mergulho é o azimute de $(229\,600, 38\,200)$ , $\alpha \approx 80.6{}^{\circ}$ : a atitude é $081/12$ , com direção $351{}^{\circ}$ pela regra da mão direita. A base do calcário mergulha suavemente para leste-nordeste.

4.3 Padrões de afloramento

Proposição 4.11 (Contatos horizontais e verticais)

O traço de um contato horizontal segue a curva de nível de sua altitude. O traço de um contato vertical é uma reta no mapa, qualquer que seja a topografia.

Demonstração. Para $c(x,y) = z_0$ , o traço $g(x,y) = z_0$ é a curva de nível $z_0$ (Proposição 4.3). Um plano vertical é o conjunto de pontos cuja posição horizontal está sobre uma reta, em qualquer altitude; seu traço no mapa é essa reta. ∎

Teorema 4.12 (A regra do V)

Um contato plano atravessa um vale cujo fundo desce rio abaixo com declive $s > 0$ . Seja $a$ a tangente do mergulho aparente do contato na direção rio abaixo ( $a > 0$ se ele mergulha rio abaixo, $a < 0$ se mergulha rio acima, $a = 0$ se é horizontal). Então o traço do afloramento faz um V cujo vértice fica no fundo do vale e

aponta rio abaixo se $a > s$ : o contato mergulha rio abaixo mais acentuadamente do que o fundo do vale desce;
aponta rio acima se $a < s$ : o contato é horizontal, mergulha rio acima, ou mergulha rio abaixo menos acentuadamente que o fundo.

Um contato vertical não faz V.

Demonstração. Seja $\xi$ a distância medida rio abaixo ao longo do fundo do vale. O fundo está na altitude $z_g(\xi) = z_0 - s\xi$ ; na seção vertical ao longo do vale, o contato está em $z_c(\xi) = c - a\xi$ . No fundo, o traço está onde $z_g = z_c$ :

\xi_{\text{fundo}} = \frac{c - z_0}{a - s}.

Num dos flancos do vale, em um ponto mais alto que o fundo em $h > 0$ e à mesma distância da nascente do vale, o terreno está em $z_0 - s\xi + h$ , logo o traço está onde $c - a\xi = z_0 - s\xi + h$ :

\xi_{\text{flanco}} = \frac{c - z_0 - h}{a - s}, \qquad \xi_{\text{fundo}} - \xi_{\text{flanco}} = \frac{h}{a - s}.

Se $a > s$ , o traço fica mais longe rio abaixo no fundo do que nos flancos: o V aponta rio abaixo. Se $a < s$ , o inverso. Um contato vertical cruza o fundo e os flancos no mesmo $\xi$ . ∎

A regra do V calculada. Em cada painel um rio (seta azul) desce para o norte por um vale, cujas curvas de nível (a cada 10\, m) apontam rio acima; um contato de direção leste–oeste é traçado em vermelho. Horizontal, ele segue as curvas de nível; mergulhando rio acima, ou rio abaixo menos acentuadamente que o fundo do vale, faz um V apontando rio acima; mergulhando rio abaixo mais acentuadamente (aqui 10), um V apontando rio abaixo. Um contato vertical atravessaria em linha reta. — A regra do V calculada. Em cada painel um rio (seta azul) desce para o norte por um vale, cujas curvas de nível (a cada $10\,\mathrm{m}$ ) apontam rio acima; um contato de direção leste–oeste é traçado em vermelho. Horizontal, ele segue as curvas de nível; mergulhando rio acima, ou rio abaixo menos acentuadamente que o fundo do vale, faz um V apontando rio acima; mergulhando rio abaixo mais acentuadamente (aqui $10{}^{\circ}$ ), um V apontando rio abaixo. Um contato vertical atravessaria em linha reta.

Observação 4.13 (A largura de um afloramento)

A largura do afloramento de uma unidade depende da sua espessura, do seu mergulho e da inclinação do terreno: uma camada fina que mergulha no mesmo sentido que o declive pode aflorar numa área ampla. A espessura é calculada a partir de um mapa e de um corte transversal em Capítulo 5.

4.4 Dobras, falhas, intrusões e discordâncias em um mapa

Definição 4.14 (Anticlinal e sinclinal)

Uma dobra é uma curvatura de camadas outrora planas. Um anticlinal é uma dobra cujas camadas são convexas para cima (uma antiforma); um sinclinal é uma dobra cujas camadas são côncavas para cima (uma sinforma). Os dois lados de uma dobra são os seus flancos; seu eixo de dobra é a linha ao longo da qual as camadas mais se curvam, e o eixo cai (mergulha) quando não é horizontal. Uma linha como o eixo de uma dobra é localizada pelo seu rumo, o azimute da sua projeção horizontal tomado no sentido da descida, e pelo seu caimento, o ângulo que ela faz com a horizontal (Capítulo 6). A geometria tridimensional das dobras é o assunto de Capítulo 17.

Proposição 4.15 (Padrões de dobras)

Em um mapa de camadas dobradas e erodidas, um anticlinal mostra as unidades mais antigas em seu núcleo e unidades mais novas para fora, dos dois lados; um sinclinal mostra as mais novas no seu núcleo. Se o eixo da dobra cai, os afloramentos se fecham em torno da dobra: o fechamento de um anticlinal aponta na direção do caimento, e o de um sinclinal, no sentido oposto.

Demonstração parcial. Num anticlinal as camadas sobem em direção ao eixo, de modo que uma superfície de erosão aproximadamente horizontal corta mais fundo a sequência ali e expõe suas unidades mais antigas e mais baixas; num sinclinal, as unidades mais novas se preservam mais baixas, no núcleo. Se o eixo cai, considere um contato de um anticlinal: é um arco cuja crista desce ao longo do caimento. Onde a crista está acima do terreno, o terreno corta o arco em dois flancos; onde a crista passa abaixo do terreno, o contato não alcança mais a superfície. Os dois flancos do traço se unem, portanto, em torno do ponto onde a crista encontra o terreno, e esse fechamento fica na direção do caimento. Um sinclinal é uma calha cujo fundo sobe no sentido oposto, de modo que o seu fechamento aponta contra o caimento. O argumento supõe uma topografia suave em comparação com a queda do eixo. ∎

Proposição 4.16 (Falhas, intrusões e discordâncias)

Em um mapa:

uma falha interrompe e desloca os contatos que cruza; no bloco que desceu, as unidades mais novas chegam à superfície em frente às mais antigas; o traço de uma falha inclinada obedece à regra do V como qualquer plano;
um plutão ou um dique corta os contatos das rochas que intrude, e é mais novo que elas;
numa discordância, os contatos das rochas mais antigas são cortados ao longo da base das mais novas, que podem repousar sobre várias unidades mais antigas, uma após outra.

Método 4.17 (Como ler a história a partir de um mapa)

Liste as unidades em ordem de idade, a partir da legenda e da superposição.
Encontre o que corta o quê: falhas, intrusões, discordâncias; cada uma é mais nova que tudo o que corta e mais antiga que tudo o que a sela.
Encontre as dobras e os seus eixos; uma dobra é mais nova que a unidade mais nova que ela dobra.
Escreva os eventos em ordem, cada um com a evidência no mapa.

Exemplo 4.18 (A história das Colinas de Varden)

No mapa das Colinas de Varden: o xisto é a unidade mais antiga; o granito o corta, logo é mais novo; o arenito repousa sobre ambos, cortando o contorno do granito: uma discordância, após uma longa erosão. O arenito, o calcário, o folhelho e o giz se sucedem sem interrupção e são dobrados em conjunto em um anticlinal (arenito e embasamento no núcleo, perto de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ) e em um sinclinal (giz no núcleo, a leste do centro do mapa): o dobramento veio depois de o giz ser depositado. A falha desloca os contatos dobrados: ela é mais nova que o dobramento. Por fim, o rio se encaixou e espalhou o seu aluvião, que nenhuma falha corta.

No campo — Medindo uma atitude

Sobre uma superfície de estratificação limpa, o geólogo põe a borda de uma bússola-clinômetro na horizontal e lê a direção na bússola; depois a coloca na encosta mais íngreme e lê o mergulho no clinômetro. Cada medida é anotada no caderno com sua posição e marcada no mapa de imediato, de modo que uma leitura incoerente aparece enquanto o afloramento ainda está à mão. Hoje as posições vêm de receptores de satélite, as medidas são lançadas em tablets que rodam um sistema de informação geográfica, e os afloramentos são fotografados e colocados sobre modelos digitais de elevação.

História — O primeiro mapa geológico de um país

O agrimensor William Smith, que escavou canais e drenou terras na Inglaterra, percebeu que cada camada de rocha trazia os seus próprios fósseis, numa ordem que era a mesma em toda parte. Usando os fósseis para reconhecer as camadas, ele as acompanhou pelo país durante mais de quinze anos. Seu mapa, A Delineation of the Strata of England and Wales, with part of Scotland, datado de 1 de agosto de 1815, é considerado o primeiro mapa geológico de um país inteiro.

Mapa de William Smith de 1815 (domínio público).

4.5 Exercícios

Exercício 4.1 ★

Defina a direção, o mergulho e o sentido de mergulho de um plano. Um estrato tem atitude $135/40$ : dê a sua direção pela regra da mão direita e desenhe o seu símbolo no mapa.

Solução

Solução de Exercício 4.1.

Direção: azimute das linhas horizontais do plano; mergulho: ângulo entre o plano e a horizontal, medido perpendicularmente à direção; sentido de mergulho: azimute da linha mais inclinada para baixo. Para $135/40$ , a direção pela regra da mão direita é $135 - 90 = 045{}^{\circ}$ . Símbolo: uma linha de direção orientada em N 45 L, com um traço do lado sudeste (em direção a $135{}^{\circ}$ ) rotulado com 40.

Exercício 4.2 ★

Escreva a equação do plano de atitude $090/30$ que passa pelo ponto $(0, 0, 500)$ , coordenadas em metros. Em que altitude ele está em $(1000, 0)$ e em $(0, 1000)$ ?

Solução

Solução de Exercício 4.2.

$z = 500 - \tan30{}^{\circ}\,(x\sin90{}^{\circ} + y\cos90{}^{\circ}) = 500 - 0.577\,x$ . Em $(1000, 0)$ : $500 - 577 = -77\,\mathrm{m}$ . Em $(0, 1000)$ : $500\,\mathrm{m}$ , pois o plano é horizontal ao longo da sua direção norte–sul.

Exercício 4.3 ★

Em um mapa, o traço de um contato segue exatamente a curva de nível de $350\,\mathrm{m}$ ao longo de vários quilômetros de colinas e vales. O que você pode dizer sobre o contato? E se o seu traço é uma reta que atravessa colinas e vales?

Solução

Solução de Exercício 4.3.

Um traço que segue uma curva de nível é um contato horizontal, a $350\,\mathrm{m}$ . Um traço que corre em linha reta, atravessando colinas e vales, pertence a um contato vertical.

Exercício 4.4 ★

No mapa das Colinas de Varden, que unidade aflora no núcleo do anticlinal ao longo do rio, e qual unidade ocupa o núcleo do sinclinal? Explique por que, com o princípio da superposição.

Solução

Solução de Exercício 4.4.

Ao longo do rio, o núcleo do anticlinal mostra o xisto e o granito (sob o arenito); o núcleo do sinclinal é ocupado pelo giz. As unidades mais antigas ficam mais baixas na sequência: onde as camadas se arqueiam para cima e a erosão corta mais fundo, aparecem as mais antigas; onde elas se encurvam para baixo, as mais novas se preservam no meio.

Exercício 4.5 ★★

Um contato é encontrado nas altitudes $300\,\mathrm{m}$ em $(0, 0)$ , $300\,\mathrm{m}$ em $(1000, 0)$ e $200\,\mathrm{m}$ em $(0, 500)$ (metros, $x$ para leste, $y$ para norte). Encontre a sua direção, o sentido de mergulho e o mergulho, primeiro raciocinando sobre as curvas estruturais, depois com o Teorema 4.8.

Solução

Solução de Exercício 4.5.

Os dois primeiros pontos estão na mesma altitude: a reta $y = 0$ é uma linha de direção, logo a direção é leste–oeste. O contato está $100\,\mathrm{m}$ mais baixo, $500\,\mathrm{m}$ ao norte: ele mergulha para o norte, $\tan\delta = 100/500 = 0.2$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ ; sentido de mergulho $000{}^{\circ}$ , direção $270{}^{\circ}$ pela regra da mão direita. Com o teorema: $\overrightarrow{P_1P_2} = (1000, 0, 0)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (0, 500, -100)$ , $\vec n = (0, 100\,000, 500\,000)$ , $\cos\delta = 500\,000/509\,902 \approx 0.981$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ , e $(n_x, n_y) = (0, 100\,000)$ aponta para o norte: o mesmo resultado.

Exercício 4.6 ★★

Um fundo de vale desce para o norte a $30\,\mathrm{m}$ por km. Para que lado aponta o V do afloramento de um contato se o contato é (a) horizontal; (b) mergulha $20{}^{\circ}$ para o sul; (c) mergulha $1{}^{\circ}$ para o norte; (d) mergulha $20{}^{\circ}$ para o norte? Justifique com o Teorema 4.12.

Solução

Solução de Exercício 4.6.

A direção rio abaixo é o norte, $s = 0.03$ ( $1.72{}^{\circ}$ ). (a) $a = 0 < s$ : V rio acima (sul), ao longo das curvas de nível. (b) $a = -\tan20{}^{\circ} < 0 < s$ : V rio acima. (c) $a = \tan1{}^{\circ} \approx 0.017 < s$ : V rio acima. (d) $a = \tan20{}^{\circ} \approx 0.364 > s$ : V rio abaixo (norte).

Exercício 4.7 ★★

Na situação da regra do V, um contato mergulha rio abaixo com $a = 0.364$ ( $20{}^{\circ}$ ) e o fundo do vale desce com $s = 0.03$ . Um ponto no flanco do vale está $80\,\mathrm{m}$ acima do fundo. A que distância rio acima do vértice está o traço nesse ponto?

Solução

Solução de Exercício 4.7.

$\xi_{\text{fundo}} - \xi_{\text{flanco}} = h/(a - s) = 80/(0.364 - 0.03) \approx 240\,\mathrm{m}$ : o traço no flanco fica cerca de $240\,\mathrm{m}$ rio acima do vértice.

Exercício 4.8 ★★

Os afloramentos do anticlinal de Varden se fecham em torno da extremidade norte do seu núcleo. Em que direção cai o eixo da dobra? Os afloramentos do sinclinal próximo se fecham para o norte ou para o sul?

Solução

Solução de Exercício 4.8.

O fechamento do anticlinal aponta na direção do caimento: o eixo cai para o norte. Com um eixo caindo para o norte, os afloramentos de um sinclinal se fecham para o sul.

Exercício 4.9 ★★

No mapa geológico, ao longo da falha, de que lado as unidades mais novas aparecem na superfície? Qual bloco desceu? Confira com o símbolo do mapa.

Solução

Solução de Exercício 4.9.

O lado leste-sudeste mostra unidades mais novas (giz e folhelho, contra unidades mais antigas em frente a elas): esse bloco desceu. Os traços do símbolo da falha estão desse lado, o bloco abatido.

Exercício 4.10 ★★★

Mostre que dois planos de atitudes $(\alpha_1, \delta_1)$ e $(\alpha_2, \delta_2)$ se interceptam segundo uma reta paralela a $\vec n_1 \times \vec n_2$ , em que $\vec n_i = (\tan\delta_i\sin\alpha_i, \tan\delta_i\cos\alpha_i, 1)$ . Aplique-o aos planos $090/30$ e $270/30$ : qual é a reta, e que tipo de dobra os dois planos formam?

Solução

Solução de Exercício 4.10.

Uma reta comum aos dois planos é perpendicular às duas normais, logo paralela a $\vec n_1 \times \vec n_2$ . Para $090/30$ : $\vec n_1 = (0.577, 0, 1)$ ; para $270/30$ : $\vec n_2 = (-0.577, 0, 1)$ . Então $\vec n_1 \times \vec n_2 = (0\cdot 1 - 1\cdot 0,\ 1\cdot(-0.577) - 0.577\cdot 1,\ 0) = (0, -1.155, 0)$ : uma reta horizontal norte–sul. O primeiro plano mergulha para leste, o segundo para oeste: eles mergulham afastando-se da reta, que é a crista de um anticlinal de eixo horizontal.

Exercício 4.11 ★★★

Um dique vertical tem direção $045{}^{\circ}$ e aflora na origem, em um fundo de vale na altitude $0\,\mathrm{m}$ . Onde pode estar o seu traço em uma colina a $300\,\mathrm{m}$ ? Um segundo dique tem a mesma direção, mergulha $60{}^{\circ}$ para sudeste e também aflora na origem. A que distância da origem, e em que direção, está o seu traço no terreno a $300\,\mathrm{m}$ , medido perpendicularmente à direção?

Solução

Solução de Exercício 4.11.

O traço de um dique vertical é a reta que passa pela origem com direção $045{}^{\circ}$ , qualquer que seja a altitude: na colina ele está em algum ponto dessa mesma reta. O dique que mergulha é o plano $z = -\tan60{}^{\circ}\,d$ , em que $d$ é a distância horizontal à reta de direção que passa pela origem, contada positivamente para sudeste. Em $z = 300\,\mathrm{m}$ : $d = -300/\tan60{}^{\circ} \approx -173\,\mathrm{m}$ : o traço fica $173\,\mathrm{m}$ a noroeste da reta de direção que passa pela origem, do lado de cima do plano.

Exercício 4.12 ★★★

Em um modelo digital de elevação com malha de $100\,\mathrm{m}$ , o terreno em $(x, y)$ e em $(x + 100, y)$ está a 420 e $405\,\mathrm{m}$ , e em $(x, y + 100)$ a $412\,\mathrm{m}$ . Tratando o terreno dessa célula como um plano, calcule a sua declividade (em graus) e o azimute para o qual ele está voltado (sentido da descida).

Solução

Solução de Exercício 4.12.

\frac{\partial z}{\partial x} \approx \frac{405 - 420}{100} = -0.15, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} \approx \frac{412 - 420}{100} = -0.08,

logo a declividade é $\arctan\sqrt{0.15^2 + 0.08^2} = \arctan 0.17 \approx 9.6{}^{\circ}$ . O terreno desce ao longo de $-\nabla z = (0.15, 0.08)$ , cujo azimute é $\arctan(0.15/0.08) \approx 62{}^{\circ}$ : a célula está voltada para o leste-nordeste.

4.6 Problema: resolvendo as Colinas de Varden

Problema 4.1

Problema de fim de semana — das sondagens e de um mapa até o eixo da dobra, a falha e a história de uma região

Uma empresa que perfura poços de água nas Colinas de Varden registra onde as suas sondagens encontram a base do calcário; seus geólogos também localizam a falha onde ela cruza o terreno. As coordenadas estão em metros a leste e ao norte do canto sudoeste do mapa; as altitudes, em metros acima do nível do mar. A Parte I usa o mapa geológico colorido de Seção 4.1.

Parte I — Lendo o mapa.

Liste as unidades da região, da mais antiga para a mais nova.
Quais unidades o rio corta, de oeste para leste?
Qual unidade ocupa o núcleo da dobra perto de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ? De que tipo é a dobra?
Qual unidade ocupa o núcleo da dobra perto de $x = 7.5\,\mathrm{km}$ ? De que tipo é a dobra?
Por que o xisto e o granito só são visíveis perto do rio, no núcleo da primeira dobra?
Que tipo de contato separa o arenito do granito? Justifique a partir do mapa.

As sondagens (profundidade $d$ até a base do calcário, altitude do terreno $z_g$ ) e os três pontos F1–F3 onde a falha cruza o topo do embasamento (F2, no vale, está sob o aluvião fino, que a falha não corta):

	leste	norte	$z_g$	$d$
E1	4000	6000	435	261
E2	4600	7200	432	428
E3	5100	6400	512	586
W1	1500	6000	524	669
W2	2200	7200	421	459
W3	2600	5400	319	209
	leste	norte	$z_g$
F1	4197	1000	405
F2	5824	3500	129
F3	7321	6500	482

Parte II — O flanco leste.

Calcule a altitude da base do calcário em E1, E2 e E3.
Escreva os vetores $\overrightarrow{E_1E_2}$ e $\overrightarrow{E_1E_3}$ .
Calcule o seu produto vetorial e oriente-o para cima.
Deduza o mergulho da base do calcário no flanco leste.
Deduza o seu sentido de mergulho e, depois, a sua direção pela regra da mão direita.
O resultado é coerente com o símbolo de direção e mergulho do flanco leste no mapa?

Parte III — A dobra.

Calcule as altitudes da base do calcário em W1, W2 e W3.
Calcule uma normal para cima $\vec n_W$ à base do calcário no flanco oeste.
Deduza a atitude do flanco oeste.
Calcule uma direção da interseção dos dois flancos, o eixo da dobra, como $\vec n_E \times \vec n_W$ (com $\vec n_E$ da questão 9).
Dê o rumo (o azimute da projeção horizontal do eixo, tomado no sentido da descida) e o caimento (o seu ângulo abaixo da horizontal) do eixo da dobra.
A base do arenito está sobre o eixo, a $230\,\mathrm{m}$ , onde o rio o cruza, perto de $y = 4\,\mathrm{km}$ . Quanto ela está mais baixa sobre o eixo a $8\,\mathrm{km}$ mais ao norte? Isso é coerente com a questão 3 da Parte I e com o fechamento dos afloramentos?

Parte IV — A falha e a história.

A partir de F1, F2 e F3, calcule a atitude da falha.
Ao longo da falha, as unidades na superfície do lado leste-sudeste são mais novas que as que lhes ficam em frente. Qual bloco desceu? A falha é normal ou reversa?
A reta de F1 a F3 passa a cerca de $200\,\mathrm{m}$ a oeste de F2. Por que o traço da falha se curva para leste-sudeste onde cruza o vale do rio, em F2?
Coloque em ordem: dobramento; deposição do giz; falhamento; intrusão do granito; erosão antes do arenito; deposição do aluvião.
O giz tem 90 milhões de anos e está dobrado; o aluvião foi depositado nos últimos 2.58 milhões de anos e não está falhado. Entre quais idades ocorreram o dobramento e o falhamento?
Para atingir a falha a $1000\,\mathrm{m}$ abaixo do nível do mar sob F1, a que distância de F1, e em que direção, deve ser perfurado um poço vertical?

Solução

Solução de Problema 4.1.

1. Xisto, granito, arenito, calcário, folhelho, giz, aluvião.

2. De oeste para leste: giz e folhelho, calcário, arenito, depois xisto e granito perto de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ , arenito, calcário e folhelho de novo, depois giz; aluvião ao longo de todo o fundo do vale.

3. O arenito, com o xisto e o granito sob ele ao longo do rio: as unidades mais antigas no núcleo, um anticlinal.

4. O giz, a unidade mais nova: um sinclinal.

5. A base do arenito é mais alta sobre o eixo do anticlinal, e só ao longo do rio a erosão cortou abaixo dela.

6. Uma discordância: o arenito repousa sobre duas unidades mais antigas diferentes, xisto e granito, e corta o contorno do granito.

7. $435 - 261 = 174$ , $432 - 428 = 4$ , $512 - 586 = -74\,\mathrm{m}$ .

8. $\overrightarrow{E_1E_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{E_1E_3} = (1100, 400, -248)$ .

9. O produto vetorial é

(-229\,600,\ -38\,200,\ -1\,080\,000);

orientado para cima, $\vec n_E = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000)$ .

10. $\|\vec n_E\| \approx 1\,104\,800$ ; $\cos\delta \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ .

11. Azimute de $(229\,600, 38\,200)$ : $\arctan(229\,600/38\,200) \approx 80.6{}^{\circ}$ ; atitude $081/12$ , direção $\approx 351{}^{\circ}$ .

12. Sim: o símbolo do flanco leste tem uma linha de direção quase norte–sul e um traço de mergulho para leste, rotulado com 12.

13. $524 - 669 = -145$ , $421 - 459 = -38$ , $319 - 209 = 110\,\mathrm{m}$ .

14. $\overrightarrow{W_1W_2} = (700, 1200, 107)$ e $\overrightarrow{W_1W_3} = (1100, -600, 255)$ . Seu produto vetorial, orientado para cima, é

(370\,200,\ -60\,800,\ -1\,740\,000) \quad\longrightarrow\quad \vec n_W = (-370\,200,\ 60\,800,\ 1\,740\,000).

15. Daí $\cos\delta = 1\,740\,000/\|\vec n_W\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ ; sentido de mergulho: azimute de $(-370\,200, 60\,800)$ , $\approx 279.3{}^{\circ}$ . Atitude $279/12$ , direção $\approx 189{}^{\circ}$ : o flanco oeste mergulha para oeste-noroeste, o flanco leste para leste-nordeste.

16. $\vec n_E \times \vec n_W = (804 \times 10^6,\ -799\,320 \times 10^6,\ 28\,101 \times 10^6)$ (arredondado).

17. O sentido de descida é $(-804, 799\,320, -28\,101) \times 10^6$ : rumo $\arctan(-804/799\,320) \approx 0{}^{\circ}$ , isto é, norte; caimento $\arctan\bigl(28\,101/\sqrt{804^2 + 799\,320^2}\bigr) \approx 2.0{}^{\circ}$ . O eixo cai $2{}^{\circ}$ para o norte.

18. $8000 \times \tan2.0{}^{\circ} \approx 280\,\mathrm{m}$ mais baixo, perto de $-50\,\mathrm{m}$ . O núcleo do anticlinal é mais alto perto do rio e afunda para o norte, de modo que o seu afloramento se fecha para o norte, como mostra o mapa.

19. $\overrightarrow{F_1F_2} = (1627, 2500, -276)$ e $\overrightarrow{F_1F_3} = (3124, 5500, 77)$ dão a normal para cima

(1\,710\,500,\ -987\,503,\ 1\,138\,500), \qquad \delta = \arccos\frac{1\,138\,500}{2\,279\,700} \approx 60{}^{\circ},

e um sentido de mergulho $\approx 120{}^{\circ}$ . Atitude $120/60$ , direção $030{}^{\circ}$ .

20. O mergulho da falha é para leste-sudeste, de modo que esse lado é o teto, o bloco que fica acima do plano de falha inclinado; ele desceu (unidades mais novas na superfície): uma falha normal.

21. O plano da falha mergulha para leste-sudeste, rio abaixo e muito mais acentuadamente do que desce o fundo do vale: terreno mais baixo encontra o plano mais longe no sentido do mergulho, de modo que o traço se desvia para leste-sudeste no vale — a regra do V aplicada ao plano da falha.

22. Intrusão do granito; erosão antes do arenito; deposição do giz; dobramento; falhamento; deposição do aluvião.

23. Depois de 90 milhões de anos atrás (o giz está dobrado) e antes de 2.58 milhões de anos atrás (o aluvião não está falhado); o dobramento veio primeiro, o falhamento depois dele.

24. A falha desce $1405\,\mathrm{m}$ de F1 ( $405\,\mathrm{m}$ ) até $-1000\,\mathrm{m}$ ; com um mergulho de $60{}^{\circ}$ , isso corresponde a uma distância horizontal $1405/\tan60{}^{\circ} \approx 811\,\mathrm{m}$ no sentido do mergulho. O poço deve ser perfurado cerca de $810\,\mathrm{m}$ a leste-sudeste de F1 (azimute $120{}^{\circ}$ ).

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