17Falhas, dobras e fábricas

Um corte de estrada mostra uma face de rocha polida como vidro e riscada por sulcos paralelos finos. Do outro lado do vale, um penhasco à beira-mar mostra camadas de arenito e de folhelho dobradas em ziguezagues de lados retos e cantos vivos. Num telhado próximo, ardósias se partem em lâminas de poucos milímetros de espessura, ao longo de planos que cortam as camadas da lama de que foram feitas. Cada um é um registro da deformação da rocha, lido em uma escala diferente: os sulcos dão a direção em que dois blocos deslizaram um ao longo do outro, numa falha; os ziguezagues medem quanto as camadas foram encurtadas; os planos da ardósia cresceram atravessando a textura da rocha enquanto ela era comprimida. Este capítulo dá a geometria necessária para medir os três registros, e a mecânica do capítulo anterior explica por que as falhas tomam os mergulhos que tomam.

O que você já sabe

A atitude de um plano é seu sentido de mergulho e seu mergulho, escrita por exemplo como $080/12$; sua direção segue pela regra da mão direita, o plano mergulhando para a direita de um observador que olha ao longo da direção (Capítulo 4). Uma dobra é uma curvatura de camadas originalmente planas; um anticlinal é convexo para cima, com as rochas mais antigas no núcleo, e um sinclinal é côncavo para cima; o eixo da dobra é a linha ao longo da qual as camadas mais se curvam (Capítulo 4). O rejeito e o salto de uma falha são as componentes vertical e horizontal de seu deslocamento (Capítulo 5). Uma linha tem um rumo de caimento e um caimento, e o vetor unitário para baixo $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ (Capítulo 6). Uma rocha que obedece ao critério de Coulomb rompe-se em planos a $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$, e falhas existentes deslizam segundo a lei de Byerlee (Capítulo 16). Um mineral está em extinção entre polarizadores cruzados quando suas direções de vibração são paralelas às dos polarizadores (Capítulo 8). Falhas foram vistas no Livro 1, 7º ano; falhas inversas, empurrões e xistosidade no Livro 2, 12º ano. O produto vetorial de dois vetores é perpendicular a ambos (matemática, primeiro ano).

17.1 Falhas: geometria e cinemática

Uma falha é uma superfície ao longo da qual dois blocos de rocha deslizaram um em relação ao outro. Para descrever o movimento precisamos de nomes para os dois blocos e para o deslocamento, e de um modo de medir sua direção dentro do plano da falha.

Definição 17.1 (Bloco superior, bloco inferior, vetor de deslizamento, deslizamento líquido, rake)

Seja uma falha localmente um plano que não é vertical. O bloco superior é o bloco acima dela, o bloco inferior o bloco abaixo. Seja $A$ um ponto do bloco inferior e $A'$ o ponto do bloco superior que estava em contato com ele antes do movimento. O vetor de deslizamento $\overrightarrow{AA'}$ é o deslocamento do bloco superior em relação ao inferior; seu comprimento é o deslizamento líquido. O rake $r$ (também chamado pitch) do vetor de deslizamento é o ângulo, medido no plano da falha, desde a direção dada pela regra da mão direita até o vetor de deslizamento, positivo quando o vetor aponta para cima do plano e negativo quando aponta para baixo: $-180{}^{\circ} < r \le 180{}^{\circ}$. Esta é a convenção dos sismólogos, usada de novo para terremotos em Capítulo 18; muitos geólogos de campo registram, em vez disso, um ângulo entre 0 e $180{}^{\circ}$, medido no sentido horário a partir da direção vista de cima, e acrescentam o sentido do movimento em palavras.

Os dois nomes vêm da mineração: um mineiro que trabalhava um filão inclinado ficava sobre o bloco inferior e tinha o bloco superior sobre a cabeça. Um deslocamento visto em um único corte não é, em geral, o deslizamento: uma camada deslocada em um mapa ou em uma seção mostra uma separação, que depende da atitude da camada. O deslizamento precisa de dois pontos que foram um só, como as duas metades de uma linha cortada pela falha, por exemplo a borda de um dique contra uma camada.

Proposição 17.2 (Componentes do deslizamento)

Seja uma falha com sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$, e um vetor de deslizamento de comprimento $L$ e rake $r$. Com componentes leste, norte e para cima, seja $\mathbf s = (\sin(\alpha-90{}^{\circ}), \cos(\alpha-90{}^{\circ}), 0)$ o vetor unitário ao longo da direção, e $\mathbf u = (-\cos\delta\sin\alpha, -\cos\delta\cos\alpha, \sin\delta)$ o vetor unitário para cima do mergulho. Então

$$\overrightarrow{AA'} = L\,(\cos r\,\mathbf s + \sin r\,\mathbf u),$$

sua componente transcorrente é $L\cos r$ e sua componente de mergulho $L\sin r$; o rejeito vertical é $L\,|\sin r|\sin\delta$, o afastamento horizontal $L\,|\sin r|\cos\delta$, e o vetor de deslizamento tem caimento $p$ com $\sin p = |\sin r|\sin\delta$.

Para uma falha de mergulho, $|\sin r| = 1$ e o salto é o rejeito dividido por $\tan\delta$, como em Capítulo 5. O rake separa as falhas em famílias.

Definição 17.3 (Falhas normais, inversas, de empurrão, transcorrentes e oblíquas)

Uma falha cujo vetor de deslizamento jaz ao longo da linha de mergulho ($r = \pm90{}^{\circ}$) é uma falha de mergulho: uma falha normal quando o bloco superior desceu ($r = -90{}^{\circ}$), uma falha inversa quando subiu ($r = 90{}^{\circ}$). Uma falha de empurrão é uma falha inversa que mergulha $45{}^{\circ}$ ou menos. Uma falha cujo deslizamento é paralelo à sua direção ($r = 0$ ou $180{}^{\circ}$) é uma falha transcorrente; essas falhas costumam ser quase verticais. Uma falha transcorrente é dextral (lateral direita) quando um observador de pé em um lado vê o outro lado deslocado para a direita, sinistral (lateral esquerda) quando para a esquerda. Uma falha cujo deslizamento tem componentes transcorrente e de mergulho é uma falha oblíqua; na prática, uma falha é nomeada pela sua componente maior, de modo que um rake perto de $-90{}^{\circ}$ é chamado normal.

Proposição 17.4 (O sentido de uma falha transcorrente)

O sentido de uma falha transcorrente não depende do lado em que o observador está. Um rake perto de $0$ é sinistral, um rake perto de $180{}^{\circ}$ dextral.

Uma superfície de falha é muitas vezes ela mesma um registro do movimento: os riscos e fibras sobre ela jazem ao longo do deslizamento. Ao redor da superfície, uma zona de falha pode estar preenchida com rocha quebrada pelo movimento.

Definição 17.5 (Espelho de falha, estrias, rochas de falha)

Estrias são riscos ou fibras sobre uma superfície de falha, paralelos ao deslizamento; um espelho de falha é uma superfície de falha que as carrega, muitas vezes alisada pelo deslizamento. Uma rocha de falha é uma rocha feita pelo movimento em uma falha. Uma brecha de falha é feita de fragmentos angulosos das paredes da falha, girados e deslocados do lugar, de blocos enormes até cerca de $2\,\mathrm{mm}$; um cataclasito é feito de fragmentos do tamanho de areia ou menores; nenhum dos dois tem textura, pois os fragmentos jazem ao acaso. Uma argila de falha é uma rocha de falha rica em argila, muito mole no afloramento. Um milonito é uma rocha de granulação fina, fortemente foliada, feita em uma zona de cisalhamento por cisalhamento dúctil, com os grãos reduzidos por recristalização e não por moagem.

As rochas de falha são um medidor de profundidade, e seguem a envoltória de resistência de Capítulo 16. A argila de falha, a brecha e o cataclasito, com sua textura ao acaso, são feitos por deslizamento por atrito e fratura na crosta frágil; os milonitos são feitos abaixo da transição frágil–dúctil, onde a falha continua para baixo como uma faixa de cisalhamento dúctil. Para uma geoterma normal e água suficiente, a transição entre as duas fica a $10\text{ a }15\,\mathrm{km}$, perto dos $13.7\,\mathrm{km}$ da envoltória do capítulo anterior, e a falha é mais forte ali. Numa grande falha trazida de grande profundidade, encontra-se lado a lado a mesma ordem: zonas de argila de falha perto da superfície, depois cataclasito, depois milonito. O nome milonito, da palavra grega para moer farinha, registra um engano: pensava-se que fosse rocha moída. O Livro 5 estuda essas zonas de cisalhamento profundas e os mecanismos que fazem os milonitos.

Método 17.6 (Medindo o deslizamento sobre uma falha)

1. Meça a atitude $\alpha/\delta$ da superfície da falha e escreva sua direção, $\alpha - 90{}^{\circ}$.
2. Meça as estrias: seu rake na falha, ou seu rumo e caimento; para um rake $r$, $\sin p = |\sin r|\sin\delta$.
3. Descubra para que lado o bloco superior se moveu, a partir de marcadores deslocados através da falha, e dê ao rake seu sinal: negativo se o bloco superior desceu.
4. Encontre o deslizamento líquido $L$ a partir de dois pontos que foram um só; se só o rejeito vertical $h$ de um marcador horizontal é conhecido, $L = h/(|\sin r|\sin\delta)$.
5. Calcule as componentes com Proposição 17.2 e dê nome à falha com Definição 17.3.

No campo — Medindo uma superfície de falha

Um geólogo que encontra uma superfície de falha num afloramento a mede como qualquer outro plano, com uma bússola-clinômetro apoiada sobre a superfície, e depois mede as estrias sobre ela, seja como rake, com um transferidor apoiado no plano, seja como rumo e caimento. Os dois são conferidos um com o outro pela fórmula do passo 2 do método. O sentido do movimento é a parte difícil. Pequenos degraus em um espelho de falha, e fibras de quartzo ou calcita que cresceram à medida que os blocos se afastavam, podem mostrar para que lado o bloco faltante foi, mas alguns degraus apontam para o lado errado; por isso o sentido só é confiável quando concorda com o deslocamento de uma camada marcadora ou de um veio. As rochas de falha são descritas e amostradas, e uma zona de falha larga demais para ser medida em um só lugar é mapeada como uma faixa. Cada falha é registrada em uma estação numerada do caderno, com sua atitude, suas estrias, o sentido do movimento e quão seguro o geólogo está dele.

17.2 A teoria de Anderson das falhas

Por que a maioria das falhas normais é íngreme e a maioria dos empurrões é suave? Em 1905, o geólogo escocês Ernest Masson Anderson respondeu com duas observações: a superfície da Terra fixa as direções das tensões principais, e o critério de Coulomb então fixa o ângulo das falhas.

Proposição 17.7 (Uma superfície livre faz um plano principal)

Na superfície da Terra, onde ela é horizontal, uma tensão principal é vertical e as outras duas são horizontais.

Anderson supôs que as tensões principais mantêm essas direções até as profundidades em que se formam as falhas. A suposição vale bem sob uma superfície suavemente inclinada e em rochas sem fraquezas antigas fortes; ela falha perto de uma topografia íngreme e onde falhas ou camadas antigas guiam as novas. Com ela, só são possíveis três casos, conforme qual de $\sigma_1$, $\sigma_2$ e $\sigma_3$ é vertical.

Teorema 17.8 (Teoria de Anderson das falhas)

Seja uma tensão principal vertical, e rompa-se a rocha segundo o critério de Coulomb, com ângulo de atrito interno $\phi$. Novas falhas se formam em planos que contêm a direção de $\sigma_2$ e fazem o ângulo $45{}^{\circ} - \phi/2$ com $\sigma_1$, e deslizam perpendicularmente a $\sigma_2$, encurtando a rocha ao longo de $\sigma_1$. Daí

1. se $\sigma_1$ é vertical, formam-se falhas normais, com direção ao longo de $\sigma_2$ e mergulho $45{}^{\circ} + \phi/2$;
2. se $\sigma_3$ é vertical, formam-se falhas de empurrão, com direção ao longo de $\sigma_2$ e mergulho $45{}^{\circ} - \phi/2$;
3. se $\sigma_2$ é vertical, formam-se falhas transcorrentes verticais, com direção formando $45{}^{\circ} - \phi/2$ de cada lado de $\sigma_1$.

Com $\phi = 30{}^{\circ}$, os mergulhos são $60{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ}$.

Em cada regime são possíveis dois conjuntos de falhas, simétricos em torno de $\sigma_1$: falhas conjugadas, que se encontram em $90{}^{\circ} - \phi$, cerca de $60{}^{\circ}$, com $\sigma_1$ no ângulo agudo entre elas. Inversamente, um par de falhas conjugadas medido no campo dá as direções das tensões que as fizeram: $\sigma_1$ divide ao meio seu ângulo agudo, e $\sigma_2$ é sua linha de interseção.

Os três regimes correspondem aos três tipos de limite de placa descritos em Capítulos 13 e 14. Onde a litosfera é distendida, em riftes e dorsais, a tensão horizontal fica abaixo da vertical e formam-se falhas normais; onde é comprimida, em limites convergentes e em cinturões de montanhas, a tensão horizontal excede o peso da rocha e formam-se empurrões; ao longo de falhas transformantes, as duas tensões horizontais envolvem a vertical. Os mergulhos se ajustam às observações de modo grosseiro: as falhas normais dos riftes mergulham cerca de $60{}^{\circ}$ perto da superfície, e os empurrões são falhas inversas de baixo ângulo. O que não se encaixa é instrutivo. Muitas falhas normais se achatam com a profundidade, e algumas seções de riftes as mostram chegando a uma zona de cisalhamento quase plana: essas falhas de baixo ângulo, ou descolamentos, cortam a crosta a bem menos de $45{}^{\circ}$. A teoria de Anderson não consegue explicá-las como falhas novas, e o Exercício 17.10 mostra que o atrito de Byerlee tampouco consegue fazê-las deslizar sob tensões andersonianas: elas precisam de rochas de falha fracas, de pressão alta nos poros ou de tensões giradas. Uma falha que já existe desliza com o atrito da lei de Byerlee, $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$; as falhas normais mais bem orientadas então mergulham $65.2{}^{\circ}$, como mostrou o problema do Capítulo 16.

História — Falhas de Anderson

Ernest Masson Anderson, geólogo escocês, publicou sua teoria dos três tipos de falhas em 1905, em um artigo curto sobre a dinâmica do falhamento, e deu sua forma completa, com sua aplicação aos diques e falhas da Grã-Bretanha, em seu livro The Dynamics of Faulting and Dyke Formation. Um pequeno número de artigos e esse livro ainda moldam a geologia estrutural, a sismologia e a mecânica das rochas: seus três regimes, normal, de empurrão e transcorrente, são o modo usual de classificar os estados de tensão da crosta e as falhas que eles produzem, e de ler a tensão a partir das falhas.

17.3 Geometria das dobras

Capítulo 4 nomeou dobras e leu seus padrões em mapas. Em três dimensões, uma dobra precisa de mais nomes: onde ela se curva, com que agudeza, e como está posta no espaço.

Definição 17.9 (Charneira, linha de charneira, flanco, plano axial, ângulo entre flancos, dobra cilíndrica)

Sobre uma superfície dobrada, a charneira é a zona de maior curvatura, e a linha de charneira a linha que une seus pontos de maior curvatura; os flancos são as partes menos curvas de cada lado. A superfície axial de uma dobra é a superfície que une as linhas de charneira de suas superfícies dobradas sucessivas; quando é um plano, é o plano axial. O ângulo entre flancos $\iota$ é o ângulo entre os dois flancos, medido no perfil, no plano perpendicular à linha de charneira, entre as tangentes aos flancos em seus pontos de inflexão; $0 \le \iota \le 180{}^{\circ}$. Uma dobra é uma dobra cilíndrica quando suas superfícies são geradas por uma reta movida paralelamente a si mesma; a direção dessa reta é o eixo da dobra de Definição 4.14, e toda linha de charneira de uma dobra cilíndrica é uma reta paralela a ele.

Quando os flancos são planos, como nas dobras em chevron abaixo e nas Colinas de Varden, a geometria de uma dobra decorre das atitudes de seus flancos. A normal unitária ascendente de um plano de sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$ é $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$, em componentes leste, norte e para cima.

Proposição 17.10 (Uma dobra a partir de seus flancos)

Seja uma dobra cilíndrica de flancos planos, nenhum invertido, com normais unitárias ascendentes $\mathbf n_1$ e $\mathbf n_2$. Sua linha de charneira é paralela a $\mathbf n_1 \times \mathbf n_2$, e seu ângulo entre flancos é

$$\iota = 180{}^{\circ} - \arccos(\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2) .$$

Para uma dobra vertical cujos dois flancos mergulham $\delta$ para cada lado, as normais fazem o ângulo $2\delta$ e $\iota = 180{}^{\circ} - 2\delta$.

Definição 17.11 (Classes de dobras)

Pelo seu ângulo entre flancos, uma dobra é uma dobra suave ($\iota$ de $180{}^{\circ}$ a $170{}^{\circ}$), uma dobra aberta (de $170{}^{\circ}$ a $90{}^{\circ}$), uma dobra fechada (de $90{}^{\circ}$ a $10{}^{\circ}$) ou, quando seus flancos são quase paralelos ($\iota$ de $10{}^{\circ}$ a $0$), uma dobra isoclinal. Pelo mergulho de seu plano axial, uma dobra é uma dobra vertical quando o plano axial mergulha mais que $80{}^{\circ}$, uma dobra deitada quando mergulha menos que $10{}^{\circ}$, e uma dobra inclinada entre esses valores. Uma dobra cujo flanco passou da vertical, de modo que ambos os flancos mergulham para o mesmo lado e as camadas daquele flanco estão de cabeça para baixo, é uma dobra invertida. Uma dobra cuja linha de charneira não é horizontal é uma dobra com caimento.

Outros limites são usados para as classes de aperto; este livro mantém as quatro acima.

A espessura das camadas distingue dois estilos. Em dobras paralelas, ou concêntricas, cada camada conserva sua espessura medida perpendicularmente a ela, como uma pilha de folhas de papel ao ser dobrada; tais dobras se formam por flambagem de camadas fortes intercaladas com camadas muito fracas. Em dobras semelhantes, cada superfície tem a mesma forma, as camadas conservam sua espessura medida paralelamente ao plano axial, e afinam nos flancos e engrossam nas charneiras, como os perfis desenhados acima mostram; elas se formam quando todas as camadas são fracas, de modo que não desempenham papel mecânico. Dobras em chevron têm flancos retos e charneiras estreitas, com um ângulo entre flancos perto de $60{}^{\circ}$; são dobras paralelas de camadas fortes dispostas próximas umas das outras, que deslizam umas sobre as outras à medida que se dobram.

17.4 Fábricas

Uma rocha deformada muitas vezes o é em toda a sua extensão, e não apenas em algumas superfícies: seus grãos são achatados, girados ou recristalizados em uma orientação comum, o que lhe dá uma fábrica. Uma fábrica planar faz a rocha se partir em lâminas; uma linear faz com que ela se parta em bastões.

Definição 17.12 (Foliação, xistosidade, clivagem ardosiana, clivagem plano-axial)

Uma foliação é uma fábrica planar que permeia uma rocha: um conjunto de superfícies paralelas bem espaçadas, feitas por grãos achatados ou em placas alinhados ou por camadas finas, ao longo das quais a rocha se parte com mais facilidade. Xistosidade é a foliação de um xisto, feita por grãos alinhados mais grossos que cerca de $1\,\mathrm{mm}$. Uma clivagem é uma foliação de uma rocha de granulação fina feita por sua deformação; a clivagem ardosiana é a clivagem de uma ardósia, feita por filossilicatos pequenos demais para serem vistos a olho nu, e tão próximos que a rocha pode ser partida quase em qualquer lugar em lâminas finas. Uma clivagem plano-axial é uma clivagem paralela, ou quase paralela, aos planos axiais das dobras das mesmas rochas.

A foliação forma-se aproximadamente perpendicular à direção de maior encurtamento, pelo giro de grãos em placas, pelo crescimento de micas novas e pela dissolução de grãos nas faces mais pressionadas. A clivagem de uma ardósia, portanto, nada tem a ver com o acamamento da lama: ela registra a compressão. Quando dobras e clivagem crescem no mesmo encurtamento, a clivagem jaz perto dos planos axiais das dobras, e se abre levemente através deles, convergindo ou divergindo conforme a resistência de cada camada, como mostra a fotografia abaixo.

Definição 17.13 (Lineação, lineação de interseção, lineação de estiramento)

Uma lineação é uma fábrica linear que permeia uma rocha, medida por seu rumo e caimento. Uma lineação de interseção é o conjunto de linhas ao longo das quais duas fábricas planares se cortam, como o acamamento e uma clivagem; uma lineação de estiramento é feita de grãos ou seixos alongados ao longo da direção de maior alongamento.

Proposição 17.14 (Lineação de interseção de uma dobra)

Numa dobra cilíndrica com clivagem plano-axial, a lineação de interseção do acamamento e da clivagem é paralela à linha de charneira, em toda a dobra.

A proposição é o caminho do geólogo de campo até o caimento de uma dobra grande demais para ser vista inteira: em qualquer afloramento de um dos flancos, as linhas nas quais a clivagem corta o acamamento dão a linha de charneira. O acamamento e a clivagem juntos dizem mais: onde está a dobra e de que lado para cima estão as camadas.

Definição 17.15 (Vergência)

A vergência de uma dobra assimétrica é a direção horizontal para a qual sua parte superior se moveu em relação à sua parte inferior: a direção em que ela está invertida ou, para uma dobra inclinada, aquela para a qual ela se inclina.

Proposição 17.16 (Acamamento e clivagem nos flancos de uma dobra)

Considere uma dobra com flancos retos e uma clivagem plano-axial, em rochas que estavam na posição normal antes do dobramento, e em que ambos os flancos descem a partir de cada charneira anticlinal. Vista no perfil:

1. em um flanco onde o acamamento e a clivagem mergulham para o mesmo lado, o acamamento é o mais íngreme dos dois exatamente quando o flanco está invertido;
2. a rotação aguda que leva a clivagem sobre o acamamento tem sentidos opostos nos dois flancos de uma dobra; em um flanco que não está invertido, ela move o topo da clivagem horizontalmente em direção à charneira anticlinal no topo desse flanco.

O sentido da rotação muda, assim, em cada charneira, anticlinal ou sinclinal. Um geólogo que o registra ao longo de um percurso encontra as charneiras de dobras grandes demais para serem vistas em um só afloramento onde o sentido muda, e os flancos invertidos onde o acamamento é mais íngreme que a clivagem; a palavra vergência também é usada para esse sentido de rotação, e as inversões da vergência de dobras menores são mapeadas do mesmo modo para encontrar as charneiras das dobras maiores: as pequenas dobras nos dois flancos de uma grande têm assimetrias opostas, e o traço axial dela passa entre elas.

17.5 Microestruturas

Ao microscópio, a deformação de uma rocha aparece em seus grãos. Um grão de quartzo dobrado pelo deslizamento lento de sua rede cristalina não se extingue mais de uma só vez entre polarizadores cruzados: à medida que a platina gira, uma faixa escura varre o grão, porque suas partes apontam em direções ligeiramente diferentes. Essa extinção ondulante (Capítulo 8) cresce em intensidade à medida que se aproxima de uma zona de cisalhamento, porque defeitos se acumulam na rede cristalina. Onde há água, os grãos se dissolvem nas faces onde são mais pressionados, e a matéria dissolvida se deposita onde a tensão é menor, ou é levada embora: essa dissolução por pressão encurta as rochas em baixa temperatura e produz muitas clivagens. Em temperatura mais alta, os grãos deformados são substituídos, enquanto a deformação prossegue, por grãos novos, menores e sem deformação, primeiro ao longo dos antigos contornos de grão: recristalização dinâmica, que reduz o tamanho do grão e produz milonitos. As formas dos grãos deformados e dos minerais que crescem em suas sombras também mostram para que lado uma zona de cisalhamento se moveu; esses indicadores de sentido de cisalhamento, e os próprios mecanismos, pertencem ao Livro 5.

17.6 Exercícios

Exercício 17.1 ★

Dê nome a cada falha pelo rake de seu vetor de deslizamento, para o plano que mergulha $60{}^{\circ}$: (a) $r = -90{}^{\circ}$; (b) $r = 85{}^{\circ}$; (c) $r = 0$; (d) $r = 180{}^{\circ}$; (e) $r = -40{}^{\circ}$. (f) Como se chamaria (b) se seu mergulho fosse $25{}^{\circ}$?

Solução

Solução de Exercício 17.1.

(a) Uma falha normal. (b) Uma falha inversa, quase puramente de mergulho. (c) Uma falha transcorrente sinistral. (d) Uma falha transcorrente dextral. (e) Uma falha oblíqua: o bloco superior desceu e deslizou ao longo da direção, para a esquerda; sua componente transcorrente, $\cos40{}^{\circ} = 0.77$ do deslizamento líquido, é maior que sua componente de mergulho, $0.64$, de modo que é chamada uma falha sinistral com componente normal. (f) Com um mergulho de $25{}^{\circ}$, menor que $45{}^{\circ}$, a falha inversa é uma falha de empurrão.

Exercício 17.2 ★

Uma falha normal mergulha $55{}^{\circ}$; seu deslizamento é puramente de mergulho, com deslizamento líquido de $300\,\mathrm{m}$. Calcule seu rejeito e seu salto.

Solução

Solução de Exercício 17.2.

Com $|\sin r| = 1$, o rejeito é $300\sin55{}^{\circ} = 245.7\,\mathrm{m}$ e o salto $300\cos55{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$.

Exercício 17.3 ★

Dê o ângulo entre flancos e a classe de cada dobra vertical, cujos flancos mergulham em sentidos opostos: (a) flancos mergulhando $35{}^{\circ}$ e $35{}^{\circ}$; (b) $70{}^{\circ}$ e $75{}^{\circ}$; (c) $85{}^{\circ}$ e $88{}^{\circ}$.

Solução

Solução de Exercício 17.3.

Para uma dobra vertical cujos flancos mergulham $\delta_1$ e $\delta_2$ em sentidos opostos, $\iota = 180{}^{\circ} - \delta_1 - \delta_2$. (a) $110{}^{\circ}$: aberta. (b) $35{}^{\circ}$: fechada. (c) $7{}^{\circ}$: isoclinal.

Exercício 17.4 ★

Um arenito tem ângulo de atrito interno $35{}^{\circ}$. Segundo a teoria de Anderson, com que ângulos mergulham suas falhas normais e seus empurrões? Que ângulo formam entre si duas falhas transcorrentes conjugadas?

Solução

Solução de Exercício 17.4.

As falhas normais mergulham $45{}^{\circ} + 35{}^{\circ}/2 = 62.5{}^{\circ}$, os empurrões $45{}^{\circ} - 17.5{}^{\circ} = 27.5{}^{\circ}$. Falhas transcorrentes conjugadas fazem cada uma $27.5{}^{\circ}$ com $\sigma_1$, de um lado e do outro dele, de modo que se encontram em $55{}^{\circ}$.

Exercício 17.5 ★★

Uma falha tem atitude $090/50$, e estrias de rake $-30{}^{\circ}$ sobre ela; o deslizamento líquido é $400\,\mathrm{m}$. (a) Calcule as componentes transcorrente e de mergulho, o rejeito e o salto. (b) Escreva o vetor de deslizamento em componentes leste, norte e para cima, e dê seu rumo e caimento. (c) Dê nome à falha.

Solução

Solução de Exercício 17.5.

(a) A componente transcorrente é $400\cos30{}^{\circ} = 346.4\,\mathrm{m}$ ao longo da direção, a componente de mergulho $400\sin-30{}^{\circ} = -200\,\mathrm{m}$, isto é, $200\,\mathrm{m}$ para baixo do mergulho; o rejeito é $200\sin50{}^{\circ} = 153.2\,\mathrm{m}$ e o salto $200\cos50{}^{\circ} = 128.6\,\mathrm{m}$. (b) A direção é $000$, logo $\mathbf s = (0, 1, 0)$; $\mathbf u = (-\cos50{}^{\circ}, 0, \sin50{}^{\circ}) = (-0.643, 0, 0.766)$. Então $\overrightarrow{AA'} = 400(0.866\,\mathbf s - 0.5\,\mathbf u) = (128.6, 346.4, -153.2)$ em metros. Seu rumo é $\arctan(128.6/346.4) = 20.4{}^{\circ}$ e seu caimento $\arcsin(153.2/400) = 22.5{}^{\circ}$, que é também $\arcsin(\sin30{}^{\circ}\sin50{}^{\circ})$. (c) Uma falha de deslizamento oblíquo: o rake jaz entre $0$ e $-90{}^{\circ}$, mais perto de $0$: uma falha sinistral com componente normal.

Exercício 17.6 ★★

Duas falhas transcorrentes verticais de mesma idade têm direção $020$ e $080$. (a) Segundo Anderson, dê as direções de $\sigma_1$, $\sigma_2$ e $\sigma_3$, e o ângulo de atrito interno da rocha. (b) Qual falha é dextral e qual é sinistral? Argumente a partir do encurtamento ao longo de $\sigma_1$.

Solução

Solução de Exercício 17.6.

(a) As duas falhas fazem $60{}^{\circ}$ entre si; $\sigma_1$ divide ao meio o ângulo agudo, logo é horizontal ao longo de $050$ (e $230$); $\sigma_3$ é horizontal ao longo de $140$; $\sigma_2$ é vertical, ao longo da linha em que as duas falhas verticais se encontram. Cada falha faz $30{}^{\circ}$ com $\sigma_1$, logo $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ e $\phi = 30{}^{\circ}$. (b) As duas falhas cortam o solo em quatro cunhas; as cunhas que contêm $\sigma_1$, em direção a $050$ e a $230$, movem-se uma em direção à outra, e as que contêm $\sigma_3$ afastam-se, em direção a $140$ e $320$. Tome a falha de direção $020$, entre a cunha em direção a $050$ (a seu leste) e a cunha em direção a $320$ (a seu oeste): em relação à cunha ocidental, a oriental move-se em direção a $230$ e para longe de $320$, ambos com uma componente em direção a $200$ ao longo da falha. Um observador na cunha ocidental, olhando para o leste, vê a oriental mover-se em direção a $200$, para a direita: a falha de direção $020$ é dextral. O mesmo argumento, ou a simetria em torno de $\sigma_1$, torna a falha de direção $080$ sinistral.

Exercício 17.7 ★★

Os dois flancos de uma dobra cilíndrica têm as atitudes $120/40$ e $260/30$. Com a Proposição 17.10, encontre o rumo e o caimento de sua linha de charneira, seu ângulo entre flancos e sua classe.

Solução

Solução de Exercício 17.7.

As normais ascendentes são

$$\begin{align*} \mathbf n_1 &= (\sin40{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \sin40{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, \cos40{}^{\circ}) = (0.557, -0.321, 0.766),\\ \mathbf n_2 &= (\sin30{}^{\circ}\sin260{}^{\circ}, \sin30{}^{\circ}\cos260{}^{\circ}, \cos30{}^{\circ}) = (-0.492, -0.087, 0.866). \end{align*}$$

Seu produto vetorial é $(-0.211, -0.859, -0.207)$, que aponta para baixo: a linha de charneira tem caimento $\arcsin 0.207/0.909 = 13.1{}^{\circ}$ em direção a $180{}^{\circ} + \arctan(0.211/0.859) = 193.8{}^{\circ}$. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = 0.417$, o ângulo entre as normais é $65.3{}^{\circ}$, e $\iota = 114.7{}^{\circ}$: uma dobra aberta.

Exercício 17.8 ★★

Num afloramento, o acamamento tem a atitude $040/30$ e uma clivagem plano-axial a atitude $160/80$. Encontre o rumo e o caimento da lineação de interseção. O que ela diz sobre a dobra?

Solução

Solução de Exercício 17.8.

$\mathbf n_1 = (0.321, 0.383, 0.866)$ para o acamamento e $\mathbf n_2 = (0.337, -0.925, 0.174)$ para a clivagem. Seu produto vetorial, tomado para baixo, dá uma linha de caimento $25.4{}^{\circ}$ em direção a $074.8{}^{\circ}$. Pela Proposição 17.14, esta é a direção da linha de charneira: a dobra cai cerca de $25{}^{\circ}$ em direção a leste-nordeste, o que qualquer outro afloramento de um dos flancos deve confirmar.

Exercício 17.9 ★★

Uma falha vertical tem direção leste–oeste. Um dique vertical de direção norte–sul a atravessa; ao norte da falha, o dique é encontrado $350\,\mathrm{m}$ a leste de onde está ao sul da falha. (a) A falha é dextral ou sinistral? (b) Se as estrias forem horizontais, qual é o deslizamento líquido? (c) Se, em vez disso, elas caírem $20{}^{\circ}$ para leste, qual são o deslizamento líquido e a componente vertical do deslizamento, e qual bloco desceu?

Solução

Solução de Exercício 17.9.

(a) Um observador ao sul da falha, olhando para o norte, vê a parte norte do dique deslocada para leste, para a direita: a falha é dextral. (b) O dique é um plano vertical perpendicular à falha, logo seu deslocamento ao longo da direção é a componente transcorrente: $350\,\mathrm{m}$, que é o deslizamento inteiro se as estrias forem horizontais. (c) O deslizamento então faz $20{}^{\circ}$ com a direção no plano vertical da falha: sua componente horizontal continua sendo $350\,\mathrm{m}$, logo o deslizamento líquido é $350/\cos20{}^{\circ} = 372.5\,\mathrm{m}$ e sua componente vertical $350\tan20{}^{\circ} = 127.4\,\mathrm{m}$. O bloco norte moveu-se para leste, e as estrias descem para o leste, logo ele também desceu, em $127.4\,\mathrm{m}$. Um dique vertical não pode mostrar esse movimento vertical, já que deslizá-lo ao longo de si mesmo deixa seu traço inalterado.

Exercício 17.10 ★★★

Uma falha sem coesão e com coeficiente de atrito $\mu$ faz o ângulo $\theta$ com $\sigma_1$. (a) Mostre que ela desliza quando as tensões principais efetivas atingem a razão

$$\frac{\sigma_1'}{\sigma_3'} = \frac{1 + \mu\cot\theta}{1 - \mu\tan\theta} .$$

(b) Com $\mu = 0.6$ e $\sigma_1$ vertical, calcule a razão para falhas normais que mergulham $60{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ e $35{}^{\circ}$. (c) Mostre que uma falha normal que mergulha menos que certo ângulo nunca pode deslizar, e calcule esse ângulo. (d) Para $\mu = 0.6$ e $\mu = 0.85$, dê os mergulhos das falhas normais e de empurrão mais bem orientadas.

Solução

Solução de Exercício 17.10.

(a) A normal à falha faz $90{}^{\circ} - \theta$ com $\sigma_1$, logo, pela Proposição 16.5, $\sigma_n' = \sigma_1'\sin^2\theta + \sigma_3'\cos^2\theta$ e $\tau = (\sigma_1' - \sigma_3')\sin\theta\cos\theta$. O deslizamento começa quando $\tau = \mu\sigma_n'$; dividindo por $\sigma_3'\cos^2\theta$ e escrevendo $R = \sigma_1'/\sigma_3'$, $(R - 1)\tan\theta = \mu(R\tan^2\theta + 1)$, logo $R\tan\theta(1 - \mu\tan\theta) = \tan\theta + \mu$, que é a fórmula. (b) Com $\sigma_1$ vertical, $\theta$ é $90{}^{\circ}$ menos o mergulho: $\theta = 30{}^{\circ}$ dá $R = 3.12$; $\theta = 45{}^{\circ}$, $R = 4.00$; $\theta = 55{}^{\circ}$, $R = 9.92$. (c) O denominador se anula quando $\tan\theta = 1/\mu$, $\theta = 59.0{}^{\circ}$; além disso, $R$ seria negativo: nenhuma razão de tensões efetivas positivas pode fazer a falha deslizar, por maior que $\sigma_1'$ se torne. Falhas normais que mergulham menos que $31.0{}^{\circ}$ não podem deslizar sob um $\sigma_1$ vertical com $\mu = 0.6$. (d) O plano mais bem orientado está a $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$. Para $\mu = 0.6$, $\phi = 31.0{}^{\circ}$: falhas normais mergulham $60.5{}^{\circ}$, empurrões $29.5{}^{\circ}$. Para $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$: $65.2{}^{\circ}$ e $24.8{}^{\circ}$.

Exercício 17.11 ★★★

Ao longo de um percurso leste–oeste atravessando dobras em chevron cujas charneiras têm direção norte, um plano axial de clivagem mergulha $60{}^{\circ}$ para oeste em toda parte. O acamamento mergulha $40{}^{\circ}$ O na estação A, $80{}^{\circ}$ O na estação B e $40{}^{\circ}$ O na estação C, de oeste para leste, em rochas que estavam na posição normal antes do dobramento. (a) Qual estação está num flanco invertido? (b) Em que sentido a clivagem gira sobre o acamamento em cada estação, vista olhando para o norte? (c) Onde estão as charneiras, e quais são anticlinais? (d) Encontre o ângulo entre flancos e a atitude dos planos axiais, e diga para que lado as dobras vergem.

Solução

Solução de Exercício 17.11.

Olhando para o norte, o leste está à direita, e planos que mergulham para oeste sobem em direção à direita. (a) Em B o acamamento mergulha no mesmo sentido que a clivagem, e mais íngreme: pela Proposição 17.16(a), B está em um flanco invertido; A e C, onde o acamamento é menos íngreme, estão na posição normal. (b) A clivagem sobe a $60{}^{\circ}$; em A e C o acamamento sobe a $40{}^{\circ}$, e a rotação aguda de um para o outro é horária, por $20{}^{\circ}$, movendo o topo da clivagem para leste; em B o acamamento sobe a $80{}^{\circ}$ e a rotação é anti-horária, por $20{}^{\circ}$, movendo-o para o oeste. (c) O sentido muda entre A e B e de novo entre B e C: há uma charneira em cada intervalo. Em A, que está na posição normal, o topo da clivagem se move para leste, em direção ao anticlinal no topo do flanco: a charneira entre A e B é um anticlinal, e a que fica entre B e C, um sinclinal. (d) Na notação da prova, os flancos na posição normal mergulham $\gamma - \iota/2 = 40{}^{\circ}$ e os flancos invertidos $\gamma + \iota/2 = 80{}^{\circ}$, logo $\gamma = 60{}^{\circ}$, como diz a clivagem, e $\iota = 40{}^{\circ}$: dobras fechadas. Os planos axiais têm direção norte e mergulham $60{}^{\circ}$ para oeste, atitude $270/60$. Os flancos curtos passaram da vertical com seus topos para leste: as dobras vergem para leste, como na figura do capítulo.

Exercício 17.12 ★★★

Uma camada de comprimento $L_0$ é dobrada numa série de dobras em chevron simétricas de ângulo entre flancos $\iota$, com seu comprimento inalterado. (a) Mostre que seu comprimento medido através das dobras torna-se $L_0\sin(\iota/2)$. (b) Que encurtamento representam dobras em chevron de ângulo entre flancos $60{}^{\circ}$? (c) Que ângulo entre flancos corresponde a um encurtamento de $30\,\%$? (d) Uma série de dobras verticais com flancos mergulhando $12{}^{\circ}$: qual é o encurtamento?

Solução

Solução de Exercício 17.12.

(a) Numa dobra em chevron simétrica, cada flanco faz o ângulo $\iota/2$ com o plano axial, que é perpendicular à direção de encurtamento; um flanco de comprimento $l$ ocupa portanto $l\sin(\iota/2)$ através das dobras, e a camada inteira $L_0\sin(\iota/2)$. (b) $\sin30{}^{\circ} = 0.5$: um encurtamento de $50\,\%$. (c) $\sin(\iota/2) = 0.7$ dá $\iota = 88.9{}^{\circ}$. (d) $\iota = 156{}^{\circ}$ e $\sin78{}^{\circ} = 0.978$: um encurtamento de $2.2\,\%$, que é também $1 - \cos12{}^{\circ}$.

17.7 Problema: as estruturas das Colinas de Varden, medidas

Problema 17.1

Problema de fim de semana — o anticlinal e a falha normal das Colinas de Varden, a partir das atitudes de seus planos e do deslizamento sobre a falha

As Colinas de Varden estão dobradas em um anticlinal, cujo eixo corre de norte a sul em $x = 3.5\,\mathrm{km}$, e um sinclinal a $4\,\mathrm{km}$ a leste dele; ambos têm flancos planos. Um levantamento de campo mediu o acamamento no flanco leste do anticlinal como $080.7/12.2$ e no flanco oeste como $279.3/12.2$. A cobertura é cortada por uma falha normal de atitude $120/60$, cujo bloco superior desceu ao longo do mergulho, com um rejeito de $200\,\mathrm{m}$. Dê os ângulos com precisão de $0.1{}^{\circ}$ e os comprimentos com precisão de $0.1\,\mathrm{m}$.

Parte I — Os flancos.

1. Escreva as normais unitárias ascendentes $\mathbf n_1$ (flanco leste) e $\mathbf n_2$ (flanco oeste) em componentes leste, norte e para cima.
2. Calcule $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2$ e o ângulo entre as normais.
3. Deduza o ângulo entre flancos do anticlinal.
4. Classifique o anticlinal pelo seu ângulo entre flancos.
5. Os dois flancos mergulham $12.2{}^{\circ}$. Por que o ângulo entre flancos não é exatamente $180{}^{\circ} - 2\times12.2{}^{\circ}$? Calcule o mergulho aparente de qualquer um dos flancos em uma seção vertical leste–oeste.
6. O sinclinal compartilha o flanco leste do anticlinal, e seu próprio flanco leste é paralelo ao flanco oeste do anticlinal. Qual é o seu ângulo entre flancos?

Parte II — A linha de charneira e o plano axial.

7. Calcule $\mathbf n_1\times\mathbf n_2$, e o rumo e o caimento da linha de charneira.
8. Dê a atitude do plano axial. O anticlinal é vertical, inclinado ou deitado?
9. Dê a descrição completa da dobra: aperto, atitude do plano axial, caimento.
10. No mapa geológico do Capítulo 4, para que lado fecham os afloramentos do anticlinal, e o que aflora em seu núcleo?
11. O folhelho da cobertura tem uma clivagem plano-axial. Dê sua atitude, e o rumo e o caimento de sua lineação de interseção no flanco leste.
12. No flanco leste, em que sentido a clivagem gira sobre o acamamento, vista olhando para o norte, e de que lado está a charneira do anticlinal?

Parte III — A falha e as tensões.

13. Dê a direção da falha pela regra da mão direita, e diga de que lado de seu traço jaz o bloco superior.
14. Qual tensão principal era vertical quando a falha se formou, segundo Anderson?
15. Dê as direções das duas tensões principais horizontais.
16. Que ângulo de atrito interno o mergulho implica? Que coeficiente de atrito interno?
17. Dê a atitude do conjunto conjugado de falhas que as mesmas tensões poderiam ter feito, e o ângulo entre os dois conjuntos.
18. A falha estaria na melhor orientação para deslizar de novo sob o mesmo regime, com o atrito de Byerlee de 0.85?

Parte IV — O deslizamento.

19. Dê o rake do vetor de deslizamento, e seu rumo e caimento.
20. Escreva o vetor unitário do deslizamento em componentes leste, norte e para cima.
21. Calcule o salto da falha.
22. Calcule as componentes leste e norte do deslocamento horizontal do bloco superior.
23. Verifique que o deslizamento líquido $L$, o rejeito $h$ e o salto $e$ satisfazem $L^2 = h^2 + e^2$, e explique por quê.
24. Com aproximação de um metro, qual é o deslizamento líquido na falha de Varden?

Solução

Solução de Problema 17.1.

1. $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ dá

$$\mathbf n_1 = (0.20855, 0.03415, 0.97742), \qquad \mathbf n_2 = (-0.20855, 0.03415, 0.97742).$$

2. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = -0.04349 + 0.00117 + 0.95535 = 0.91302$, e o ângulo entre as normais é $24.1{}^{\circ}$.

3. Pela Proposição 17.10, $\iota = 180{}^{\circ} - 24.1{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$.

4. Entre $170{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ}$: uma dobra aberta.

5. Os flancos mergulham em direção a $080.7$ e $279.3$, e não exatamente para leste e oeste, porque a dobra tem caimento: suas linhas de maior declive não estão no perfil, que mostra apenas um mergulho aparente. Em uma seção leste–oeste, pela Teorema 5.4, $\tan\beta = \tan12.2{}^{\circ} \cos9.3{}^{\circ} = 0.2134$, logo $\beta = 12.0{}^{\circ}$, e $180{}^{\circ} - 2\times12.0{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$ (o perfil está inclinado $2{}^{\circ}$ dessa seção, o que não altera nada com esta precisão).

6. Seus flancos são paralelos aos do anticlinal, logo seu ângulo entre flancos também é $155.9{}^{\circ}$.

7. $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 = (0.03415\times0.97742 - 0.97742\times0.03415,\; 0.97742\times(-0.20855) - 0.20855\times0.97742,\; 0.20855\times0.03415 + 0.03415\times0.20855) = (0, -0.40768, 0.01424)$. Tomado para baixo, $(0, 0.40768, -0.01424)$: a linha de charneira tem rumo $000$ e tem caimento $\arctan(0.01424/0.40768) = 2.0{}^{\circ}$ para o norte.

8. O plano axial contém a linha de charneira e biparte os dois flancos; sua normal está ao longo de $\mathbf n_1 - \mathbf n_2 = (0.41710, 0, 0)$, horizontal e leste–oeste. Ele é vertical e tem direção norte–sul: $090/90$. O anticlinal é vertical.

9. Uma dobra aberta e vertical, com caimento de $2.0{}^{\circ}$ para o norte.

10. Pela Proposição 4.15, os afloramentos de um anticlinal fecham-se na direção do caimento: para o norte. Seu núcleo contém as rochas mais antigas: o arenito na base da cobertura e, onde o rio cortou mais fundo, o embasamento de xisto e granito sob ela.

11. Plano-axial, a clivagem é vertical e tem direção norte–sul, $090/90$. Pela Proposição 17.14, sua lineação de interseção com o acamamento é paralela à linha de charneira: rumo $000$, caimento $2.0{}^{\circ}$. Diretamente: o plano $080.7/12.2$ encontra o plano vertical de direção norte ao longo de uma linha de caimento $\arctan(\tan12.2{}^{\circ} \cos80.7{}^{\circ}) = 2.0{}^{\circ}$ em direção a $000$.

12. Olhando para o norte, o flanco leste sobe em direção à esquerda com $12.0{}^{\circ}$, e a clivagem é vertical: a rotação aguda da clivagem para o acamamento, por $78.0{}^{\circ}$, é anti-horária e move o topo da clivagem para oeste. O flanco está na posição normal, logo, pela Proposição 17.16(b), a charneira do anticlinal fica a oeste, em $x = 3.5\,\mathrm{km}$, como mostra o mapa.

13. A direção é $120 - 90 = 030$; o plano mergulha em direção a $120$, logo o bloco superior jaz do lado leste-sudeste do traço.

14. A falha é normal: $\sigma_1$ era vertical.

15. $\sigma_2$ é horizontal ao longo da direção, $030$–$210$; $\sigma_3$ horizontal através dela, $120$–$300$.

16. $45{}^{\circ} + \phi/2 = 60{}^{\circ}$ dá $\phi = 30{}^{\circ}$, e $\mu = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

17. O conjunto conjugado tem também direção $030$ e mergulha $60{}^{\circ}$ para o outro lado: $300/60$. Os dois conjuntos se encontram em $180{}^{\circ} - 2\times60{}^{\circ} = 60{}^{\circ}$, com a $\sigma_1$ vertical dividindo ao meio o ângulo agudo.

18. Com $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$ e as falhas normais mais bem orientadas mergulham $65.2{}^{\circ}$; a falha de Varden, a $60{}^{\circ}$, está a $5.2{}^{\circ}$ de distância. Pelo Exercício 17.10, ela desliza na razão $\sigma_1'/\sigma_3' = (1 + 0.85\cot30{}^{\circ})/(1 - 0.85\tan30{}^{\circ}) = 4.85$, contra $4.68$ para o plano mais bem orientado: ela está quase, mas não exatamente, na melhor orientação, e deslizaria de novo com uma razão de tensões apenas $4\,\%$ maior.

19. O deslizamento é para baixo do mergulho: $r = -90{}^{\circ}$; o vetor de deslizamento tem rumo $120$ e caimento $60{}^{\circ}$.

20. $(\cos60{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ}) = (0.4330, -0.2500, -0.8660)$.

21. $e = 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$.

22. Leste: $115.47\sin120{}^{\circ} = 100.0\,\mathrm{m}$; norte: $115.47\cos120{}^{\circ} = -57.7\,\mathrm{m}$, isto é, $57.7\,\mathrm{m}$ para o sul.

23. $L = 200/\sin60{}^{\circ} = 230.9\,\mathrm{m}$, e $200^2 + 115.47^2 = 40\,000 + 13\,333 = 53\,333 = 230.94^2$. O rejeito e o salto são as componentes vertical e horizontal do deslizamento, que jaz no plano vertical do mergulho: são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o deslizamento.

24. Com aproximação de um metro, o deslizamento líquido na falha de Varden é $231\,\mathrm{m}$.