3Planetologia comparada

Vênus e a Terra são quase gêmeas: Vênus tem $95\,\%$ do raio da Terra e $81\,\%$ da sua massa. No entanto a Terra tem oceanos, uma atmosfera de nitrogênio e oxigênio e placas em movimento, enquanto Vênus esconde sob as nuvens uma superfície a $737\,\mathrm{K}$, mais quente que qualquer forno de cozinha, esmagada por uma atmosfera de dióxido de carbono a $92\,\mathrm{bar}$. Marte, com a metade do tamanho da Terra, tem uma atmosfera fina e fria, vulcões gigantes e cânions, mas não tem placas em movimento. Mais longe, Júpiter e Saturno são sobretudo hidrogênio e hélio; Urano e Netuno, sobretudo os gelos de água, metano e amônia. Comparar os planetas é a única maneira de testar o que julgamos saber sobre a Terra: por que o seu interior é estratificado, por que o seu clima é ameno, por que só ela tem tectônica de placas. Este capítulo pesa e mede os planetas, lê os seus interiores a partir das densidades e da maneira como a massa se distribui, compara suas temperaturas e atmosferas, e termina com as luas e os pequenos corpos que guardam o registro da juventude do Sistema Solar.

O que você já sabe

Os planetas giram em torno do Sol em elipses, e o quadrado do período de um satélite é proporcional ao cubo do seu semieixo maior (terceira lei de Kepler, no volume de física do primeiro ano, onde também se define o momento de inércia de um sólido; uma esfera homogênea tem $I = \tfrac25MR^2$). Um corpo negro irradia $\sigma T^4$ por unidade de área (no segundo ano). O Sistema Solar e os seus planetas rochosos e gigantes foram descritos no Livro 1 (6º ano); o albedo e a temperatura de equilíbrio de um planeta foram vistos no Livro 2 (10º ano), e o efeito estufa, no Livro 1 (9º ano).

3.1 Pesando e medindo os planetas

O raio de um planeta é medido a partir do seu diâmetro angular e da sua distância, ou, para um planeta visitado por sondas, por altimetria de radar e de laser. Sua massa é mais difícil: ela só se manifesta pela atração gravitacional que o planeta exerce sobre outro corpo.

Método 3.1 (A massa de um planeta a partir da órbita de um satélite)

Para um satélite de massa desprezível, em uma órbita quase circular de raio (semieixo maior) $a$ e período sideral $T$ em torno de um planeta de massa $M$:

1. converta $a$ para metros e $T$ para segundos;
2. a terceira lei de Kepler dá $GM = 4\pi^2a^3/T^2$: esse produto é o que a órbita mede, e com precisão muito maior que a de $G$ em si;
3. divida por $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ para obter $M$.

Um planeta sem lua (Mercúrio, Vênus) é pesado do mesmo modo, a partir da órbita, ou do desvio, de uma sonda que passa por ele.

Exemplo 3.2

Io, a maior lua interna de Júpiter, orbita a $a = 421.8 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ em $1.769\,138$ dias, isto é, $T = 152\,854\,\mathrm{s}$. Então

$$GM = \frac{4\pi^2\times(4.218 \times 10^{8}\,\mathrm{m})^3}{(152\,854\,\mathrm{s})^2} = 1.268 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}, \qquad M = \frac{1.268 \times 10^{17}}{6.6743 \times 10^{-11}} = 1.900 \times 10^{27}\,\mathrm{kg},$$

o que concorda com a massa tabelada de Júpiter, $1.898 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$, com $0.1\,\%$. A massa de Io, $4.7 \times 10^{-5}$ da de Júpiter, é desprezível; o pequeno excesso vem do abaulamento equatorial de Júpiter, que puxa uma lua próxima um pouco mais forte do que o faria uma esfera de mesma massa.

Com a massa e o raio vem a densidade média $\bar\rho = 3M/(4\pi R^3)$, a primeira pista do que é um planeta. As densidades dos planetas se dividem em dois grupos (veja a figura abaixo): Mercúrio, Vênus, a Terra e Marte situam-se entre cerca de $3900$ e $5500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, mais densos do que qualquer rocha comum; os quatro planetas externos situam-se entre $690$ e $1640\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, perto da densidade da água, e Saturno até abaixo dela.

A densidade média, sozinha, não consegue dizer se um planeta é feito de um só material denso ou se tem um centro muito denso e um envelope mais leve. Um segundo número consegue: como a massa se distribui entre o centro e a superfície.

Definição 3.3 (Fator de momento de inércia)

O fator de momento de inércia de um planeta é o número

$$C = \frac{I}{MR^2} ,$$

onde $I$ é o seu momento de inércia em torno do eixo de rotação, $M$ a sua massa e $R$ o seu raio médio. Uma esfera homogênea tem $C = \tfrac25 = 0.4$; um planeta cuja densidade cresce em direção ao centro tem $C < 0.4$, tanto menor quanto mais a massa estiver concentrada.

O momento de inércia é medido a partir da lenta precessão do eixo de rotação sob a atração do Sol, junto com o achatamento do campo gravitacional do planeta. Os valores são reveladores: a Lua, com $C = 0.394$, é quase homogênea; Marte, com $0.366$, e a Terra, com $0.3308$, são claramente estratificados; Júpiter, com $0.254$, e Saturno, com $0.210$, têm a maior parte da massa concentrada em direção ao centro.

3.2 Do que são feitos os planetas

Definição 3.4 (Planetas terrestres e gigantes)

Um planeta terrestre é um planeta feito sobretudo de rocha silicatada e ferro, com superfície sólida: Mercúrio, Vênus, a Terra e Marte. Um planeta gigante é um planeta muitas vezes mais massivo que a Terra, feito sobretudo de elementos leves e seus compostos, e sem superfície sólida. Um gigante gasoso é um planeta gigante feito sobretudo de hidrogênio e hélio: Júpiter e Saturno. Um gigante de gelo é um planeta gigante feito sobretudo dos compostos que os astrônomos chamam de gelos — água, metano e amônia — sob um envelope de hidrogênio e hélio: Urano e Netuno.

As atmosferas que as sondas e os telescópios medem confirmam a divisão. A de Júpiter é de $89.8\,\%$ de hidrogênio e $10.2\,\%$ de hélio em volume, a de Saturno, $96.3\,\%$ e $3.25\,\%$; no caso de Urano, pelo menos $80\,\%$ da massa é um fluido denso e quente de água, metano e amônia sobre um pequeno núcleo rochoso. A densidade média de um gigante gasoso permanece baixa, embora o seu centro seja fortemente comprimido, porque o hidrogênio é o elemento mais leve; um gigante de gelo é mais denso que Saturno porque os seus gelos são mais pesados que o hidrogênio.

Os planetas terrestres são estratificados como a Terra: um núcleo rico em ferro sob um manto silicatado e uma crosta fina. O modelo mais simples que usa os dois números medidos, a densidade média e o fator de momento de inércia, tem duas camadas.

Proposição 3.5 (O planeta de duas camadas)

Considere um planeta de raio $R$ como um núcleo de raio $xR$ e densidade uniforme $\rho_c$ dentro de um manto de densidade uniforme $\rho_m$. Sua densidade média e seu fator de momento de inércia são

$$\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^3 , \qquad C = \frac25\,\frac{\rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^5}{\bar\rho} .$$

Dados $\bar\rho$, $C$ e uma densidade presumida para o manto, $\rho_m$, o raio relativo do núcleo segue:

$$x^2 = \frac{\tfrac52C\bar\rho - \rho_m}{\bar\rho - \rho_m} , \qquad \rho_c = \rho_m + \frac{\bar\rho - \rho_m}{x^3} .$$

O modelo tem três incógnitas e dois dados, de modo que uma delas, a densidade do manto, deve ser presumida a partir do que rochas de composição adequada pesam sob pressão. A resposta é sensível a essa escolha quando $C$ está perto de $0.4$, porque $\tfrac52C\bar\rho - \rho_m$ é então uma pequena diferença de números grandes (Exercício 3.10 e o problema). O modelo também ignora a compressão do manto pelo próprio peso, que, num planeta do tamanho da Terra, eleva a densidade do manto profundo bem acima da das rochas da superfície; para a Terra, a sismologia faz muito melhor (Capítulo 9). Sismômetros colocados em Marte fizeram agora o mesmo para esse planeta: onde a tabela planetária dá um raio de núcleo de $1830\,\mathrm{km}$, os resultados recentes indicam apenas $1650\,\mathrm{km}$ a $1675\,\mathrm{km}$.

3.3 Atmosferas e superfícies

A temperatura de um planeta é fixada, em primeiro lugar, pela luz solar que ele absorve. A irradiância $S$ a uma distância $d$ do Sol cai como $1/d^2$ (Proposição 2.11): $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ na Terra, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Vênus, $586\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Marte, $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Júpiter. Parte dela é refletida de volta, diretamente.

Definição 3.6 (Albedo de Bond)

O albedo de Bond $A$ de um planeta é a fração da potência total da luz solar que incide sobre ele e que ele reflete e espalha de volta ao espaço, em todos os comprimentos de onda e em todas as direções.

Neve fresca e nuvens brilhantes refletem muito; rocha escura e mar aberto, pouco. Vênus, envolto em nuvens brilhantes, tem $A = 0.77$; a Terra, $0.294$; Marte, $0.250$; a Lua, rocha cinzenta escura, $0.11$.

Definição 3.7 (Temperatura de equilíbrio)

A temperatura de equilíbrio $T_\mathrm{eq}$ de um planeta é a temperatura uniforme à qual um corpo negro do tamanho do planeta irradiaria para o espaço exatamente a potência que o planeta absorve do Sol.

Proposição 3.8 (Temperatura de equilíbrio)

Um planeta de albedo de Bond $A$ que recebe a irradiância $S$ tem

$$T_\mathrm{eq} = \left(\frac{S(1 - A)}{4\sigma}\right)^{1/4}, \qquad \sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4} .$$

Com os valores acima, $T_\mathrm{eq}$ é $255\,\mathrm{K}$ para a Terra, $227\,\mathrm{K}$ para Vênus, $210\,\mathrm{K}$ para Marte e $270\,\mathrm{K}$ para a Lua. Vênus, embora mais próxima do Sol, sai mais fria que a Terra: suas nuvens refletem três quartos da luz solar. A figura abaixo põe esses valores ao lado das temperaturas médias da superfície medidas. As diferenças são o efeito estufa, que os parágrafos seguintes e os capítulos sobre o clima (Capítulo 27) tornam quantitativo: cerca de $33\,\mathrm{K}$ para a Terra, cerca de $510\,\mathrm{K}$ para Vênus, apenas cerca de $4\,\mathrm{K}$ para Marte.

A temperatura média da Lua, de cerca de $253\,\mathrm{K}$, fica abaixo da sua temperatura de equilíbrio. Isso não é um paradoxo: sem atmosfera nem oceano para transportar calor, o lado iluminado é muito quente e o lado noturno muito frio, e, como a emissão cresce com $T^4$, um corpo de temperaturas desiguais irradia a potência absorvida com uma temperatura média menor do que um corpo uniforme (Exercício 3.11).

Uma atmosfera faz duas coisas: deixa passar a maior parte da luz solar e absorve parte do infravermelho que o solo emite, reirradiando uma parte dele para baixo. Quanto ela aquece a superfície depende de quanto gás absorvente há acima de cada metro quadrado. A pressão na superfície mede exatamente isso: $p = mg$ para uma coluna de massa $m$ por metro quadrado. A atmosfera de Vênus, a $92\,\mathrm{bar}$, é $96.5\,\%$ de dióxido de carbono; a de Marte, com apenas $6.36\,\mathrm{mbar}$ em média, é também $95.1\,\%$ de dióxido de carbono, mas tem cerca de sessenta vezes menos gás acima de cada metro quadrado do que a da Terra, e muito pouco vapor de água. Os dois planetas têm atmosferas de dióxido de carbono; só um deles tem uma atmosfera espessa.

As superfícies guardam o registro do que as moldou. Crateras de impacto se acumulam em qualquer superfície exposta ao espaço; uma superfície muito craterada, como a maior parte da Lua ou de Mercúrio, é antiga, e uma superfície com poucas crateras foi renovada: por fluxos de lava, pela erosão ou pelas placas que levam o assoalho oceânico da Terra de volta ao manto. Planícies vulcânicas e vulcões são encontrados em todos os planetas terrestres. Falhas, riftes e cinturões dobrados mostram que as litosferas de Vênus e de Marte foram deformadas; mas, de todos os planetas, só a Terra mostra hoje uma litosfera partida em placas que se movem como blocos rígidos, com dorsais onde se formam e fossas onde afundam. Por que só a Terra tem tectônica de placas ainda é discutido; a presença de água, que enfraquece as rochas, é uma das razões propostas.

3.4 Luas e pequenos corpos

A Lua, com um quarto do diâmetro da Terra, é grande para um satélite. Sua densidade, $3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, próxima à das rochas do manto terrestre, e seu fator de momento de inércia, próximo de $0.4$, mostram que ela tem no máximo um pequeno núcleo de ferro. Os planetas gigantes têm sistemas de luas que são mundos em si mesmos (veja as fotografias abaixo). Io, a mais interna das quatro grandes luas de Júpiter, é o mundo mais ativo vulcanicamente do Sistema Solar, com centenas de vulcões, aquecida pelas marés que Júpiter nela provoca; o vulcanismo a renova mais depressa do que os impactos conseguem marcá-la com grandes crateras. Europa, de densidade $3010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, é rocha sob uma crosta de gelo, e há forte indício de um oceano salgado sob essa crosta. Ganimedes e Calisto, de densidades $1940$ e $1830\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, são feitas de rocha e gelo em quantidades comparáveis. Titã, a maior lua de Saturno, é a única lua com uma atmosfera densa, sobretudo de nitrogênio com um pouco de metano, e o único mundo, além da Terra, com rios, lagos e mares na superfície — de metano e etano líquidos; ele também provavelmente esconde um oceano de água.

Definição 3.9 (Asteroide, cometa, objeto transnetuniano)

Um asteroide é um pequeno corpo rochoso ou metálico que orbita o Sol, pequeno demais para ser um planeta e sem o envelope de gás e poeira de um cometa; a maioria orbita entre Marte e Júpiter. Um cometa é um pequeno corpo de gelo e poeira que, quando sua órbita o aproxima do Sol, libera gás e poeira que formam um envoltório luminoso em torno dele e caudas apontando para longe do Sol. Um objeto transnetuniano é um corpo do Sistema Solar cuja órbita fica, em média, além da de Netuno.

Os objetos transnetunianos do Cinturão de Kuiper, uma zona em forma de disco além de Netuno, são corpos de gelo e rocha restos da formação dos planetas; Plutão, classificado como planeta anão desde 2006, é um deles. Os asteroides são os destroços de uma região onde nenhum planeta se formou. Fragmentos de asteroides, e alguns da Lua e de Marte, caem sobre a Terra como meteoritos. São as únicas amostras de outros mundos em nossas mãos, além das trazidas por sondas, e alguns deles mudaram pouco desde a formação do Sistema Solar; suas classes, e o que dizem sobre a composição da Terra e a idade do Sistema Solar, são o assunto do Livro 4.

3.5 Exercícios

Exercício 3.1 ★

Júpiter tem massa de $1898.13 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e raio médio de $69\,911\,\mathrm{km}$. Calcule sua densidade média e compare-a com a da água, $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Solução

Solução de Exercício 3.1.

$V = \tfrac43\pi(6.9911 \times 10^{7}\,\mathrm{m})^3 = 1.4313 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{3}$ e $\bar\rho = 1898.13 \times 10^{24}/1.4313 \times 10^{24} = 1326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, apenas 1.33 vezes a densidade da água, embora Júpiter tenha massa 318 vezes maior que a da Terra: ela é feita sobretudo dos elementos mais leves.

Exercício 3.2 ★

Usando a figura das densidades e dos raios, classifique Mercúrio, Saturno, Urano e Vênus como planetas terrestres, gigantes gasosos ou gigantes de gelo, e justifique cada escolha pelo seu raio e pela sua densidade.

Solução

Solução de Exercício 3.2.

Mercúrio (raio $2440\,\mathrm{km}$, $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) e Vênus ($6052\,\mathrm{km}$, $5243\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) são pequenos e mais densos que a rocha: planetas terrestres, de rocha e ferro. Saturno ($60\,268\,\mathrm{km}$, $687\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) é enorme e mais leve que a água: um gigante gasoso, sobretudo de hidrogênio e hélio. Urano ($25\,559\,\mathrm{km}$, $1270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) é um gigante, mas muito menor que Saturno e quase duas vezes mais denso: um gigante de gelo, cujos gelos de água, metano e amônia são mais pesados que o hidrogênio.

Exercício 3.3 ★

Vênus recebe $2601.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ e tem albedo de Bond de 0.77. Calcule sua temperatura de equilíbrio. Por que ela é mais baixa que a da Terra, embora Vênus esteja mais perto do Sol?

Solução

Solução de Exercício 3.3.

$T_\mathrm{eq} = (2601.3\times0.23/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = (2.638 \times 10^{9})^{1/4} = 226.6\,\mathrm{K}$. Vênus recebe 1.9 vezes mais luz solar que a Terra, mas as suas nuvens refletem $77\,\%$ dela: absorve apenas $2601.3\times0.23 = 598\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ contra $1361\times0.706 = 961\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ da Terra.

Exercício 3.4 ★

Ordene a Lua ($C = 0.394$), Marte (0.366), a Terra (0.3308), Júpiter (0.254) e Saturno (0.210) do mais homogêneo ao mais concentrado no centro. Qual seria $C$ para um planeta cuja massa inteira estivesse concentrada em um ponto no seu centro?

Solução

Solução de Exercício 3.4.

Do mais homogêneo ao mais concentrado: a Lua, Marte, a Terra, Júpiter, Saturno. Uma massa pontual no centro tem $I = 0$, logo $C = 0$.

Exercício 3.5 ★★

Titã orbita Saturno a $a = 1221.87 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ em $15.945\,421$ dias. Calcule a massa de Saturno e compare-a com o valor tabelado de $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

Solução

Solução de Exercício 3.5.

$T = 15.945421\times86400 = 1\,377\,684\,\mathrm{s}$; $GM = 4\pi^2(1.221\,87 \times 10^{9})^3/1\,377\,684^2 = 3.794 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$; $M = 3.794 \times 10^{16}/6.6743 \times 10^{-11} = 5.685 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, dentro de $0.03\,\%$ de $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

Exercício 3.6 ★★

A Terra recebe $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $149.6 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ do Sol. Calcule a irradiância em Marte ($228.0 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$) e em Júpiter ($778.5 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$), e compare-as com os valores tabelados de $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ e $50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Solução

Solução de Exercício 3.6.

$S = 1361\times(149.6/228.0)^2 = 585.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Marte e $1361\times(149.6/778.5)^2 = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Júpiter, de acordo com as tabelas (a pequena diferença em Marte vem do arredondamento das distâncias médias).

Exercício 3.7 ★★

Mostre que, para um dado albedo, $T_\mathrm{eq}$ varia como $d^{-1/2}$. Calcule $T_\mathrm{eq}$ para Júpiter ($S = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $A = 0.343$). Se fosse constatado que Júpiter irradia mais potência do que absorve do Sol, o que isso implicaria sobre o seu interior?

Solução

Solução de Exercício 3.7.

$S \propto d^{-2}$ e $T_\mathrm{eq} \propto S^{1/4}$, logo $T_\mathrm{eq} \propto d^{-1/2}$. Para Júpiter, $T_\mathrm{eq} = (50.26\times0.657/(4\times 5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 109.8\,\mathrm{K}$. Um planeta que irradia mais do que absorve deve ter uma fonte interna de calor: Júpiter estaria liberando calor armazenado desde a sua formação, ou produzido à medida que se contrai lentamente.

Exercício 3.8 ★★

Calcule o aquecimento por efeito estufa, $T_\mathrm{surf} - T_\mathrm{eq}$, de Vênus ($737\,\mathrm{K}$), da Terra ($288\,\mathrm{K}$, $A = 0.294$) e de Marte ($214\,\mathrm{K}$). Exprima cada um como fração de $T_\mathrm{eq}$.

Solução

Solução de Exercício 3.8.

Vênus: $737 - 226.6 = 510\,\mathrm{K}$, $225\,\%$ de $T_\mathrm{eq}$. A Terra: $T_\mathrm{eq} = (1361\times0.706/(4\sigma))^{1/4} = 255.1\,\mathrm{K}$, $288 - 255.1 = 33\,\mathrm{K}$, $13\,\%$. Marte: $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$, $2\,\%$.

Exercício 3.9 ★★

Para uma esfera homogênea, mostre que $C = 0.4$ integrando os momentos de inércia de cascas esféricas finas (uma casca de raio $r$ e massa $\mathrm dm$ tem $\mathrm dI = \tfrac23 r^2\,\mathrm dm$). Que valor tem uma casca oca de raio $R$?

Solução

Solução de Exercício 3.9.

Com $\mathrm dm = 4\pi\rho r^2\,\mathrm dr$: $I = \int_0^R\tfrac23r^2\,4\pi \rho r^2\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$, e $MR^2 = \tfrac43\pi\rho R^5$, logo $C = \tfrac{8}{15}\cdot\tfrac34 = \tfrac25$. Uma casca oca tem toda a sua massa em $r = R$: $I = \tfrac23MR^2$, $C = \tfrac23$.

Exercício 3.10 ★★★

Mercúrio tem $\bar\rho = 5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $C = 0.35$ e raio de $2439.7\,\mathrm{km}$. Com uma densidade de manto de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, use o modelo de duas camadas para encontrar o raio do seu núcleo, a densidade do núcleo e a fração de sua massa no núcleo. O que há de notável em Mercúrio?

Solução

Solução de Exercício 3.10.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750.4$; $x^2 = (4750.4 - 3300)/(5429 - 3300) = 1450.4/2129 = 0.6812$, $x = 0.8254$, raio do núcleo $0.8254\times2439.7 = 2014\,\mathrm{km}$. $x^3 = 0.5623$ e $\rho_c = 3300 + 2129/0.5623 = 7086\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. O núcleo contém $0.5623\times7086/5429 = 73\,\%$ da massa. O núcleo de Mercúrio atinge $83\,\%$ do seu raio, contra $3485/6371 = 55\,\%$ na Terra: Mercúrio é sobretudo núcleo, com um manto rochoso fino.

Exercício 3.11 ★★★

Modele um corpo sem ar cujo hemisfério diurno está à temperatura uniforme $T_1$ e o noturno a $T_2$, irradiando juntos a potência absorvida. (a) Mostre que, se $T_1^4 + T_2^4 = 2T_\mathrm{eq}^4$, a temperatura média $(T_1 + T_2)/2$ é no máximo $T_\mathrm{eq}$, com igualdade apenas quando $T_1 = T_2$. (b) Para a Lua, $T_\mathrm{eq} = 270\,\mathrm{K}$; tome $T_2 = 100\,\mathrm{K}$. Calcule $T_1$ e a temperatura média.

Solução

Solução de Exercício 3.11.

(a) A função $t\mapsto t^4$ é convexa, logo $\bigl(\tfrac{T_1 + T_2}{2}\bigr)^4 \le \tfrac{T_1^4 + T_2^4}{2} = T_\mathrm{eq}^4$, com igualdade apenas se $T_1 = T_2$. (b) $T_1^4 = 2\times270^4 - 100^4 = 1.0529 \times 10^{10}$, $T_1 = 320\,\mathrm{K}$, e a temperatura média é $(320 + 100)/2 = 210\,\mathrm{K}$, $60\,\mathrm{K}$ abaixo de $T_\mathrm{eq}$.

Exercício 3.12 ★★★

Vênus tem raio de $6051.8\,\mathrm{km}$, gravidade na superfície de $8.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ e pressão superficial de $92\,\mathrm{bar}$. Calcule a massa de sua atmosfera, compare-a com a da atmosfera terrestre, $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$, e com a massa de Vênus, $4.8673 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. O que a comparação sugere sobre onde está guardado o dióxido de carbono da Terra?

Solução

Solução de Exercício 3.12.

$m = 4\pi R^2p/g = 4\pi\times(6.0518 \times 10^{6})^2\times9.2 \times 10^{6}/8.9 = 4.602 \times 10^{14}\times1.034 \times 10^{6} = 4.76 \times 10^{20}\,\mathrm{kg}$: 93 vezes a massa da atmosfera terrestre, e $9.8 \times 10^{-5}$ da massa de Vênus. A Terra guarda uma quantidade comparável de carbono, não no ar, mas em rochas carbonatadas (calcários) e no oceano, onde a água líquida permitiu armazená-lo.

3.6 Problema: pesando e sondando Marte

Problema 3.1

Problema de fim de semana — a massa de Marte a partir da sua lua, da sua densidade e temperatura, e o tamanho do seu núcleo

Fobos, a maior lua de Marte, orbita a uma distância média de $9378\,\mathrm{km}$ do centro de Marte em $0.318\,91$ dias. Marte tem raio médio de $3389.5\,\mathrm{km}$, período de rotação de $24.6\,\mathrm{h}$, fator de momento de inércia $C = 0.366$, albedo de Bond de 0.250 e pressão superficial média de $6.36\,\mathrm{mbar}$; recebe $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ do Sol, e sua temperatura média na superfície é de cerca de $214\,\mathrm{K}$. Fobos tem massa de $1.06 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. Tome $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ e $\sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

Parte I — Pesando Marte.

1. Converta o período de Fobos para segundos.
2. Calcule $GM$ para Marte.
3. Deduza a massa de Marte.
4. É correto desprezar a massa de Fobos?
5. Calcule a velocidade orbital de Fobos.
6. Compare o período de Fobos com a rotação de Marte. Em que sentido Fobos cruza o céu de Marte?

Parte II — Densidade e gravidade.

7. Calcule o volume de Marte.
8. Calcule a sua densidade média, arredondada a $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.
9. Compare-a com a da Terra, $5514\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Dê duas razões pelas quais a Terra é mais densa.
10. Calcule a gravidade na superfície de Marte.
11. Calcule a velocidade de escape a partir da superfície de Marte.

Parte III — Temperatura e atmosfera.

12. Calcule a temperatura de equilíbrio de Marte.
13. Compare-a com a temperatura média da superfície. Qual é a magnitude do aquecimento por efeito estufa?
14. Calcule a massa da atmosfera acima de cada metro quadrado de Marte e compare-a com a da Terra ($p = 1014\,\mathrm{hPa}$, $g = 9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).
15. Calcule a massa total da atmosfera de Marte.
16. A atmosfera de Marte é de $95\,\%$ de dióxido de carbono, e no entanto seu aquecimento por efeito estufa é pequeno. Sugira por quê.

Parte IV — O núcleo de Marte.

17. Qual seria $C$ se Marte fosse homogêneo? O que o valor medido nos diz?
18. Escreva a densidade média de um Marte de duas camadas em função do raio relativo do núcleo $x$, da densidade do manto $\rho_m$ e da densidade do núcleo $\rho_c$.
19. Escreva o seu fator de momento de inércia nos mesmos termos.
20. Mostre que $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$.
21. Com a densidade média da questão 8 e $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcule $x$ e a densidade do núcleo.
22. Qual fração da massa de Marte está no núcleo?
23. Repita a questão 21 com $\rho_m = 3450$ e $3550\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. O que você conclui sobre a precisão do modelo?
24. Dê o raio do núcleo de Marte pelo modelo com $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e compare-o com o valor da tabela planetária, $1830\,\mathrm{km}$, e com o resultado sísmico recente, $1650\,\mathrm{km}$ a $1675\,\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Problema 3.1.

1. $T = 0.31891\times86400 = 27\,553.8\,\mathrm{s}$.

2. $GM = 4\pi^2\times(9.378 \times 10^{6})^3/27\,553.8^2 = 4.289 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$.

3. $M = 4.289 \times 10^{13}/6.6743 \times 10^{-11} = 6.426 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, dentro de $0.14\,\%$ do valor tabelado $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$.

4. $1.06 \times 10^{16}/6.426 \times 10^{23} = 1.6 \times 10^{-8}$: Fobos é desprezível.

5. $v = 2\pi a/T = 2\pi\times9.378 \times 10^{6}/27553.8 = 2138\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, cerca de $2.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $T = 7.65\,\mathrm{h}$, 3.2 vezes menor que a rotação de Marte: Fobos dá a volta mais depressa do que o solo gira sob ele, de modo que ultrapassa a rotação. Visto de Marte, ele nasce a oeste e se põe a leste.

7. $V = \tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3 = 1.6312 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$.

8. $\bar\rho = 6.426 \times 10^{23}/1.6312 \times 10^{20} = 3939$, isto é, $3940\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

9. $3940/5514 = 0.715$. A Terra, maior e mais massiva, comprime mais fortemente o seu próprio interior; e o seu núcleo de ferro é uma parcela maior do planeta.

10. $g = GM/R^2 = 4.289 \times 10^{13}/(3.3895 \times 10^{6})^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $38\,\%$ da gravidade terrestre.

11. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2\times4.289 \times 10^{13}/ 3.3895 \times 10^{6}} = 5.03\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

12. $T_\mathrm{eq} = (586.2\times0.75/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 209.8\,\mathrm{K}$.

13. $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$: um aquecimento por efeito estufa fraco.

14. $m = p/g = 636/3.733 = 170\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$; para a Terra, $101400/9.82 = 10\,326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, 61 vezes mais.

15. $4\pi R^2\times170.4 = 1.444 \times 10^{14}\times170.4 = 2.46 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

16. Sobre cada metro quadrado há sessenta vezes menos gás do que na Terra, de modo que a absorção no infravermelho, embora feita pelo dióxido de carbono, é fraca; e o ar de Marte contém muito pouco vapor de água, o outro grande absorvedor.

17. Um Marte homogêneo teria $C = 0.4$; o valor medido, 0.366, mostra que a sua densidade cresce em direção ao centro: Marte tem um núcleo denso.

18. $\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^3$.

19. $C = \tfrac25[\rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^5]/\bar\rho$.

20. De 18 e 19, $(\rho_c - \rho_m)x^3 = \bar\rho - \rho_m$ e $(\rho_c - \rho_m)x^5 = \tfrac52C\bar\rho - \rho_m$; dividindo, obtém-se $x^2$.

21. $\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.366\times3940 = 3605.1$; $x^2 = (3605.1 - 3500)/(3940 - 3500) = 105.1/440 = 0.2389$, $x = 0.4887$. $x^3 = 0.1167$ e $\rho_c = 3500 + 440/0.1167 = 7269\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

22. $x^3\rho_c/\bar\rho = 0.1167\times7269/3940 = 0.215$, isto é, $21.5\,\%$ da massa.

23. Com $\rho_m = 3450$: $x^2 = 155.1/490 = 0.3165$, $x = 0.5626$, raio do núcleo $1907\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 6202\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Com $\rho_m = 3550$: $x^2 = 55.1/390 = 0.1413$, $x = 0.3759$, $1274\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 10\,894\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Uma variação de $1.4\,\%$ na densidade presumida do manto desloca o raio do núcleo em várias centenas de quilômetros: a densidade média e $C$ sozinhos não bastam para fixar com precisão o núcleo de Marte, e por isso sismômetros foram enviados para lá.

24. $0.4887\times3389.5 = 1657\,\mathrm{km}$: o raio do núcleo de Marte, segundo o modelo, é cerca de $1660\,\mathrm{km}$, dentro da faixa obtida pela sismologia recente, de $1650\,\mathrm{km}$ a $1675\,\mathrm{km}$, e bem abaixo dos $1830\,\mathrm{km}$ da tabela planetária — um acordo que a questão 23 mostra ser em parte fruto da sorte na escolha de $\rho_m$.