25Métodos de datação radiométrica

Em 2001 uma equipe que trabalhava com grãos detríticos de zircão das Jack Hills, na Austrália Ocidental, relatou um que havia cristalizado há $4404 \pm 8$ milhões de anos. Trabalhos posteriores confirmaram a idade desses grãos: são o material mais antigo já formado na Terra, de qualquer tipo, e mostram que uma crosta havia se formado em cerca de 160 milhões de anos do nascimento do Sistema Solar. No outro extremo da escala, idades argônio situaram a extinção no fim do Cretáceo, há $66.00\,\mathrm{Ma}$, a menos de $32\,000$ anos do impacto que se pensa tê-la causado. Os dois números vêm da contagem de átomos: um pai radioativo que decai a uma taxa conhecida, uma filha que se acumula. Este capítulo explica como tais relógios são lidos, por que cada um data um evento diferente, e como eles penduram a escala de Capítulo 24 em uma escala de anos.

O que você já sabe

Os livros de física descrevem a desintegração radioativa: os núcleos de um isótopo radioativo decaem ao acaso, independentemente da temperatura e da pressão, de modo que o número $N$ que resta após um tempo $t$ segue $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, em que $\lambda$ é a constante de decaimento; a meia-vida é $T = \ln 2/\lambda$. Isótopos de um elemento têm o mesmo número de prótons e números diferentes de nêutrons; os livros de química descrevem o espectrômetro de massa, que separa íons por massa. No Livro 2, 12º ano, uma rocha ou mineral que não trocou átomos-pai ou filha com seu entorno é um sistema fechado, e os minerais do granito de Varden, plotados em uma isócrona rubídio–estrôncio, deram uma idade de 310 milhões de anos. Biotita, muscovita e hornblenda são as micas e o anfibólio de Definição 7.10. Uma idade entre dois níveis datados pode ser interpolada (Proposição 24.8).

25.1 Sistemas de decaimento

Um relógio precisa de duas contagens: o que restou do pai, e quanto de filha ele produziu desde que o relógio começou.

Definição 25.1 (Isótopo-pai, filha radiogênica)

Em um sistema de decaimento usado para datação, o isótopo-pai é o isótopo radioativo cujo decaimento serve de relógio, e a filha é o isótopo que seu decaimento produz. A filha radiogênica, escrita $D^*$, é a parte da filha formada pelo decaimento do pai dentro da amostra desde que o relógio começou; o resto, $D_0$, estava ali desde o início. O número de átomos da filha medido hoje é $D = D_0 + D^*$.

Proposição 25.2 (Crescimento radiogênico e a equação da idade)

Em um sistema fechado que contém $P$ átomos do pai hoje, a filha radiogênica formada em um tempo $t$ é

$$D^* = P\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr),$$

desde que cada decaimento dê um átomo da filha. A idade é então

$$t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{D^*}{P}\right).$$

A idade depende apenas de uma razão entre dois números de átomos, que é o que um espectrômetro de massa mede melhor. A figura abaixo mostra as duas contagens em unidades de meia-vida: após uma meia-vida $D^*/P = 1$, após duas $3$, após três $7$ — em geral $2^n - 1$ após $n$ meias-vidas.

Um relógio só lê bem dentro de uma janela de idades. Muito antes de uma meia-vida a filha é uma pequena fração do pai; depois de muitas meias-vidas resta pouco pai para medir. A tabela abaixo lista os sistemas mais usados, com o material ao qual cada um se aplica.

pai	filha	meia-vida (anos)	$\lambda$ (por ano)	material datado
$^{14}\mathrm{C}$	$^{14}\mathrm{N}$	$5700$	$1.216 \times 10^{-4}$	madeira, carvão, osso, concha
$^{40}\mathrm{K}$	$^{40}\mathrm{Ar}$, $^{40}\mathrm{Ca}$	$1.25 \times 10^{9}$	$5.543 \times 10^{-10}$	minerais ricos em potássio: sanidina, biotita, hornblenda
$^{87}\mathrm{Rb}$	$^{87}\mathrm{Sr}$	$4.96 \times 10^{10}$	$1.3972 \times 10^{-11}$	granitos (rochas totais), micas
$^{147}\mathrm{Sm}$	$^{143}\mathrm{Nd}$	$1.07 \times 10^{11}$	$6.46 \times 10^{-12}$	rochas e seus minerais (isócronas)
$^{235}\mathrm{U}$	$^{207}\mathrm{Pb}$	$7.04 \times 10^{8}$	$9.8485 \times 10^{-10}$	zircão
$^{238}\mathrm{U}$	$^{206}\mathrm{Pb}$	$4.47 \times 10^{9}$	$1.551\,25 \times 10^{-10}$	zircão

Dois conjuntos de números são usados para os mesmos núcleos, e uma idade deve dizer qual usou. As tabelas de dados nucleares dão ao potássio-40 uma meia-vida de $1.248 \times 10^{9}$ anos e enviam $10.72\,\%$ de seus decaimentos para o argônio; as constantes usadas convencionalmente na geocronologia dão $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}$ por ano (uma meia-vida de $1.2505 \times 10^{9}$ anos) e enviam $0.581/5.543 = 10.48\,\%$ dos decaimentos para o argônio. As idades radiocarbono, como explica Seção 25.3, são calculadas com uma meia-vida de $5568$ anos que se sabe ser curta demais. As diferenças chegam a alguns por cento, muito mais que os $0.01\,\%$ com que as melhores idades são hoje citadas (Seção 25.5). A incerteza das constantes de decaimento do próprio potássio-40, um núcleo com dois ramos e meia-vida longa, limita a exatidão de suas idades.

Proposição 25.3 (Precisão de uma idade)

Se a razão $R = D^*/P$ é medida com a incerteza padrão $\sigma_R$, a idade carrega a incerteza

$$\sigma_t = \frac{\sigma_R}{\lambda\,(1 + R)}.$$

Para uma amostra jovem, $R$ é pequeno e $\sigma_t \approx \sigma_R/\lambda$: o erro absoluto da idade é fixado por quão bem uma pequena quantidade de filha pode ser medida. Uma meia-vida longa ($\lambda$ pequeno) o amplifica. Por isso rubídio–estrôncio e urânio–chumbo servem para rochas mais antigas que cerca de dez milhões de anos, enquanto potássio–argônio alcança rochas tão jovens quanto cerca de dez mil anos, e o radiocarbono cobre os últimos $70\,000$ anos.

25.2 Isócronas

A equação da idade precisa de $D^*$, mas o instrumento mede $D = D_0 + D^*$, e $D_0$ raramente é zero: o estrôncio-87 está presente em todo mineral que incorporou estrôncio quando se formou. A isócrona elimina $D_0$ medindo várias amostras que começaram com a mesma composição isotópica do elemento-filha.

Definição 25.4 (Isócrona, razão inicial)

Seja $S$ um isótopo estável do elemento-filha que nenhum decaimento produz ($^{86}\mathrm{Sr}$ para o estrôncio, $^{144}\mathrm{Nd}$ para o neodímio). Uma isócrona é a reta sobre a qual se plotam, em um gráfico de $y = D/S$ contra $x = P/S$, as amostras que se formaram ao mesmo tempo com o mesmo valor de $D/S$ e têm sido sistemas fechados desde então. Esse valor inicial comum $y_0 = (D/S)_0$ é a razão inicial.

Teorema 25.5 (A isócrona)

Amostras que se formaram ao mesmo tempo com a mesma razão inicial $y_0$, e foram sistemas fechados por um tempo $t$, satisfazem

$$y = y_0 + \bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr)\,x .$$

Seus pontos estão sobre uma reta de inclinação $m = e^{\lambda t} - 1$ e interseção $y_0$, e $t = \ln(1+m)/\lambda$.

Quando um granito cristalizou, todas as suas amostras tinham o mesmo $y_0$ e se plotavam em uma linha horizontal; cada uma subiu desde então em proporção ao seu $x$, e a reta girou em torno de sua interseção. As amostras precisam de valores diferentes de $x$ para definir bem a inclinação: minerais com muito e pouco rubídio, como no Livro 2, ou amostras de rocha total tomadas de partes mais e menos evoluídas de uma mesma intrusão. Um ponto fora da reta marca uma amostra que não era fechada, ou que não compartilhava a razão inicial. A razão inicial é ela mesma um traçador: um magma do manto herda um $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ baixo, cerca de $0.7025$, e um magma de crosta continental fundida, um alto, cerca de $0.710$, porque a crosta é rica em rubídio e produziu mais estrôncio-87 ao longo das idades.

Pontos reais nunca caem exatamente sobre uma reta. A estimativa usual da reta é aquela que torna tão pequenas quanto possível as distâncias verticais quadradas dos pontos a ela.

Proposição 25.6 (A reta dos mínimos quadrados)

Sejam $(x_i, y_i)$, $i = 1, \dots, n$, pontos com pelo menos dois $x_i$ diferentes, de médias $\bar x$ e $\bar y$, e seja

$$S_{xx} = \sum_i (x_i - \bar x)^2, \qquad S_{xy} = \sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y).$$

A reta $y = b + m x$ que minimiza $Q(b, m) = \sum_i (y_i - b - m x_i)^2$ tem

$$m = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad b = \bar y - m\,\bar x ,$$

e passa pelo centroide $(\bar x, \bar y)$.

A dispersão dos pontos em torno da reta dá a incerteza da inclinação. Com os resíduos $r_i = y_i - b - m x_i$, o desvio padrão da dispersão é $s = \sqrt{\sum_i r_i^2/(n-2)}$ — dois graus de liberdade são usados pelos dois parâmetros — e as incertezas padrão da inclinação e da interseção são

Esses dois resultados de estatística são admitidos aqui; a idade carrega então $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1 + m)\bigr)$, pelo argumento de Proposição 25.3. Eles mostram o que faz uma boa isócrona: muitos pontos, espalhados amplamente em $x$ (um $S_{xx}$ grande), com pouca dispersão.

Método 25.7 (Ajustando uma isócrona)

1. Meça $x = P/S$ e $y = D/S$ em pelo menos quatro amostras de um só corpo, escolhidas para espalhar $x$ o mais amplamente possível.
2. Plote-as; deixe de lado, com uma razão, qualquer ponto claramente fora da tendência.
3. Calcule $\bar x$, $\bar y$, $S_{xx}$, $S_{xy}$, depois $m = S_{xy}/S_{xx}$ e $b = \bar y - m \bar x$.
4. Calcule os resíduos, $s$, $\sigma_m$ e $\sigma_b$.
5. A idade é $t = \ln(1+m)/\lambda$, com $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1+m)\bigr)$; a razão inicial é $b \pm \sigma_b$.

Exemplo 25.8 (Um riolito inventado)

Seis amostras de rocha total de uma série de lavas riolíticas (dados de exercício) dão:

$x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	1.85	4.62	9.30	14.75	21.20	27.60
$y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71732	0.73332	0.76164	0.79420	0.83226	0.87028

Aqui $\bar x = 13.22$, $\bar y = 0.784837$, $S_{xx} = 491.41$ e $S_{xy} = 2.92308$, logo $m = 0.0059484$ e $b = 0.70620$. Os resíduos dão $s = 0.00024$, $\sigma_m = 1.10 \times 10^{-5}$ e $\sigma_b = 0.00018$. A idade é $t = \ln(1.0059484)/1.3972 \times 10^{-11} = 424.5\,\mathrm{Ma}$, com $\sigma_t = 1.10 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0059) = 0.8\,\mathrm{Myr}$: $(424.5 \pm 0.8)\,\mathrm{Ma}$, razão inicial $0.706\,20 \pm 0.000\,18$ (figura abaixo).

No laboratório — Pesando isótopos

Um espectrômetro de massa de ionização térmica (à esquerda) mede as razões isotópicas de elementos como o estrôncio. O elemento, separado da amostra dissolvida por química, é carregado em um filamento metálico em vácuo; aquecido, ele libera íons, que são acelerados e desviados pelo campo do grande eletroímã (as bobinas pretas no centro), os íons mais leves mais que os mais pesados, de modo que cada isótopo atinge seu próprio coletor. Razões entre isótopos são o que o instrumento mede melhor, e por isso os métodos construídos só sobre razões são os mais precisos. (Fotografia: Radiogenic, CC0, via Wikimedia Commons.)

25.3 Potássio–argônio, urânio–chumbo e radiocarbono

Um pai com duas filhas

Definição 25.9 (Decaimento ramificado)

Um pai sofre decaimento ramificado quando seus núcleos decaem por dois ou mais caminhos para filhas diferentes. Cada caminho $i$ tem sua própria constante parcial de decaimento $\lambda_i$; o pai decai com a constante total $\lambda = \sum_i \lambda_i$, e uma fração $\lambda_i/\lambda$ dos decaimentos segue o caminho $i$. O potássio-40 decai para cálcio-40 com $\lambda_\beta = 4.962 \times 10^{-10}$ por ano e para argônio-40 com $\lambda_e = 0.581 \times 10^{-10}$ por ano.

Proposição 25.10 (A idade potássio–argônio)

Um mineral que reteve todo o argônio nele produzido, e não continha nenhum quando se formou, contém após um tempo $t$

$${}^{40}\mathrm{Ar}^* = \frac{\lambda_e}{\lambda}\;{}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr), \qquad\text{logo}\qquad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_e}\, \frac{{}^{40}\mathrm{Ar}^*}{{}^{40}\mathrm{K}}\right),$$

em que ${}^{40}\mathrm{K}$ é o número de átomos de potássio-40 hoje e $\lambda = \lambda_\beta + \lambda_e$.

O expoente guarda a constante total e o fator à frente a parcial: usar $\lambda_e$ no expoente, como se o argônio fosse o único caminho, daria uma idade totalmente errada. O ramo do cálcio carrega nove décimos dos decaimentos, mas é inútil para datar, porque o cálcio-40 é o isótopo comum de um elemento abundante nas rochas; o argônio, um gás nobre, escapa de um magma, de modo que um cristal começa com quase nenhum. O potássio-40 é $0.0117\,\%$ dos átomos de potássio. O método precisa das quantidades absolutas de potássio e de argônio, medidas separadamente. Argônio do ar, presente em toda rocha, é reconhecido por seu argônio-36 e subtraído com a razão atmosférica $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$.

O método falha de duas maneiras. Argônio em excesso torna as idades velhas demais: uma lava que esfria depressa pode aprisionar argônio do manto em bolhas, e lavas históricas costumam dar idades potássio–argônio de 1 a 2 milhões de anos, um erro que só importa para rochas jovens. A perda de argônio as torna jovens demais: a maioria dos minerais perde argônio quando aquecidos acima de cerca de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que um metamorfismo posterior zera o relógio total ou parcialmente, e uma perda parcial dá uma idade entre os dois eventos que não data nenhum deles. Minerais ricos em potássio são preferidos: sanidina e biotita, depois plagioclásio ou hornblenda.

O método argônio–argônio mede apenas razões. A amostra é irradiada com nêutrons rápidos no núcleo de um reator nuclear, ao lado de um mineral padrão de idade conhecida; a reação transforma parte de seu potássio-39 em argônio-39, que então representa o potássio, e o padrão dá o rendimento da reação. Os dois isótopos são medidos juntos no mesmo gás. A amostra pode então ser aquecida em etapas, com um forno ou um laser; cada etapa dá uma idade, e as idades são plotadas contra a fração acumulada de argônio-39 liberada, um espectro de idades. Etapas que concordam dentro de seus erros formam um patamar; um espectro sem um patamar alerta que o mineral não permaneceu fechado. A sincronia do impacto e da extinção no fim do Cretáceo repousa sobre idades argônio–argônio.

Dois relógios de urânio

O urânio tem dois isótopos de vida longa, o urânio-238 decaindo para chumbo-206 e o urânio-235 para chumbo-207, em taxas diferentes; hoje $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$, um átomo em 137.8. Um mineral que contém urânio carrega assim dois relógios independentes, cada um com sua própria equação de crescimento, ${}^{206}\mathrm{Pb}^* = {}^{238}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{238} t} - 1)$ e ${}^{207}\mathrm{Pb}^* = {}^{235}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{235} t} - 1)$. Se as duas idades concordam, diz-se que são concordantes, e a concordância é um teste de que o mineral permaneceu fechado, algo que nenhum relógio isolado pode fornecer. A discordância vem sobretudo do chumbo perdido de partes do cristal danificadas pela radiação do próprio urânio; um gráfico das duas razões uma contra a outra, o diagrama de concórdia, recupera então tanto a idade do cristal quanto a do evento que o fez perder chumbo — uma ferramenta do Livro 5.

O zircão, $\mathrm{ZrSiO_4}$, é o mineral de escolha: incorpora urânio em sua estrutura, mas quase nenhum chumbo, de modo que quase todo o seu chumbo é radiogênico; é duro, resiste ao intemperismo e sobrevive ao metamorfismo, de modo que grãos erodidos de uma rocha mantêm sua idade nas areias derivadas dela. Apatita e esfeno também são usados, com menos frequência.

Radiocarbono

O carbono-14 é produzido continuamente na alta atmosfera a partir do nitrogênio-14 atingido por raios cósmicos. Ele se une ao carbono da atmosfera; organismos vivos trocam carbono com a atmosfera e mantêm sua proporção de carbono-14. Na morte a troca para e o carbono-14 decai de volta a nitrogênio-14. Como a proporção inicial é a da atmosfera, a idade segue da lei de decaimento sozinha, sem isócrona: $t = -\tau \ln(A/A_0)$, em que $A$ é a atividade do carbono da amostra, $A_0$ a do carbono vivo e $\tau = 1/\lambda$ a vida média. Madeira, carvão, osso, dente e concha são datados desse modo, até algumas dezenas de milhares de anos: cerca de $70\,000$ anos no máximo.

Definição 25.11 (Idade radiocarbono, curva de calibração)

A idade radiocarbono (convencional) de uma amostra é

$$t = -8033 \,\ln \frac{A_{\mathrm{SN}}}{A_{\mathrm{ON}}} \ \text{anos AP},$$

onde $A_{\mathrm{SN}}$ é a atividade do carbono da amostra e $A_{\mathrm{ON}}$ a do padrão de referência; usa a meia-vida de $5568$ anos (vida média $8033$ anos), normaliza as atividades para o fracionamento isotópico do carbono ($\delta^{13}\mathrm{C} = -25\,\text{‰}$), e conta os anos antes de 1950 d.C. (BP, “antes do presente”). Uma curva de calibração dá a idade radiocarbono de amostras de idade civil conhecida; lida ao contrário, ela converte uma idade radiocarbono em uma faixa de idades civis (cal BP).

A idade radiocarbono não é uma idade em anos civis, por duas razões. A meia-vida de $5568$ anos, o valor de Libby, mantido por convenção, é menor que os $5700$ anos verdadeiros, de modo que as idades radiocarbono ficam cerca de $2.4\,\%$ curtas. Mais importante, a proporção de carbono-14 na atmosfera não foi constante. A curva de calibração mede os dois efeitos juntos, em arquivos datados de modo independente: anéis de árvores até cerca de $13\,900$ cal BP, e além, sequências flutuantes de anéis de árvores, sedimentos de lagos e de mar, depósitos de cavernas e corais, até $55\,000$ cal BP (figura abaixo).

Em $2000$ cal BP a curva dá $2070 \pm 14$ anos BP; em $12\,000$ cal BP, $10\,306$: idades radiocarbono ali são $1694$ anos mais jovens que as idades civis, muito mais que os $2.4\,\%$ da meia-vida. A curva oscila, e onde é plana uma idade radiocarbono corresponde a uma longa faixa de idades civis, por mais precisa que seja a medida.

Dados de 2020

A curva em uso para o Hemisfério Norte é a IntCal20, publicada em 2020. Ela substituiu a IntCal13, acrescentando novos dados e estendendo a curva a $55\,000$ cal BP, com curvas separadas para o Hemisfério Sul e para a superfície do oceano. Curvas de calibração são revisadas à medida que novos arquivos são medidos, de modo que uma idade civil deve nomear a curva que a produziu.

25.4 Temperatura de fechamento

Um mineral que cristaliza a partir de um magma a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ não inicia seu relógio de imediato. Enquanto está quente, átomos da filha — o argônio sobretudo — difundem-se por sua rede e escapam; só quando esfriou o bastante a difusão torna-se lenta demais para importar, e a filha começa a se acumular.

Definição 25.12 (Temperatura de fechamento, idade de resfriamento)

A temperatura de fechamento de um mineral para um sistema de decaimento é a temperatura abaixo da qual os átomos-pai e filha não entram nem saem de sua rede depressa o bastante para importar, de modo que o mineral se comporta como um sistema fechado. Uma idade de resfriamento é uma idade medida em um mineral que se formou acima de sua temperatura de fechamento: ela data o momento em que o mineral resfriou através dessa temperatura, não o momento em que se formou.

As temperaturas de fechamento diferem de mineral para mineral, porque as redes diferem, e de elemento para elemento, porque átomos diferentes se difundem por uma mesma rede em taxas diferentes (figura abaixo). São aproximadas: duas tabelas dão $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para o argônio na biotita, $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para o argônio na hornblenda. Traços de fissão, as trilhas de dano deixadas em um cristal pela fissão espontânea de núcleos de urânio, se curam a temperaturas ainda mais baixas.

Em um plúton que esfriou devagar, os relógios fecham-se, portanto, um após o outro, do mais quente ao mais frio: primeiro o zircão, perto de sua cristalização, depois a hornblenda, depois a muscovita e a biotita. A dispersão de suas idades registra o resfriamento.

Proposição 25.13 (Taxa de resfriamento entre dois fechamentos)

Se dois minerais de uma mesma rocha, de temperaturas de fechamento $T_1 > T_2$, dão as idades de resfriamento $t_1 > t_2$, a taxa média de resfriamento entre os dois fechamentos é

$$\dot T = \frac{T_1 - T_2}{t_1 - t_2}.$$

Se a rocha estava a uma profundidade onde a temperatura subia com a profundidade, com gradiente constante $G$ abaixo de uma superfície à temperatura $T_s$, ela estava à profundidade $z_i = (T_i - T_s)/G$ quando o relógio $i$ fechou.

A profundidade dá uma taxa de exumação quando o tempo em que a rocha chegou à superfície é conhecido — como no problema deste capítulo. O método é grosseiro: as temperaturas de fechamento são incertas em dezenas de graus, e o geoterma é suposto constante no tempo. A termocronologia, a reconstrução detalhada de trajetórias temperatura–tempo a partir de muitos relógios, é assunto do Livro 5.

25.5 Datação de sequências sedimentares

A maioria das rochas sedimentares não pode ser datada diretamente. Seus grãos são mais velhos que a rocha: um zircão detrítico, como o grão do início deste capítulo, data a rocha de onde foi erodido. O radiocarbono data apenas matéria orgânica jovem. As idades da escala vêm, portanto, de rochas que cristalizaram no momento em que foram depositadas — cinzas vulcânicas e derrames de lava dentro da sequência — e de rochas ígneas que a cortam.

Definição 25.14 (Idade de contenção)

Uma idade de contenção é um limite posto na idade de um nível sedimentar por rochas datadas relacionadas a ele pelos princípios da estratigrafia: uma idade máxima a partir de uma camada datada abaixo dele, ou a partir do grão detrítico mais jovem nele; uma idade mínima a partir de uma camada datada acima dele, ou de uma intrusão que o corta. Um nível entre um máximo e um mínimo fica contido.

As melhores contenções são próximas e precisas: duas camadas de cinza a alguns metros de distância, datadas em zircão com precisão de algumas dezenas de milhares de anos, com o nível entre elas interpolado por Proposição 24.8. Em Meishan, o GSSP da base do Triássico fica entre cinco camadas de cinza datadas; a extinção é contida entre $(251.941 \pm 0.037)\,\mathrm{Ma}$ e $(251.880 \pm 0.031)\,\mathrm{Ma}$, e a base do sistema é colocada em $(251.902 \pm 0.024)\,\mathrm{Ma}$ (Seção 24.4). Camadas de cinza, carregadas pelo vento através das fácies, são ao mesmo tempo linhas de tempo e relógios.

A escala só é tão precisa quanto as camadas datadas perto de cada limite. A base do Triássico é conhecida a $0.024\,\mathrm{Myr}$, uma parte em dez mil; a base do Carbonífero a $0.19\,\mathrm{Myr}$; a base do Devoniano a $1.36\,\mathrm{Myr}$. Onde nenhuma camada datada fica perto de um limite, sua idade é interpolada entre outras distantes, e sua incerteza cresce em conformidade. Cada nova camada de cinza datada perto de um limite pode deslocá-lo, por isso a carta traz uma data de versão.

25.6 Exercícios

Exercício 25.1 ★

(a) Um mineral contém três vezes mais átomos de filha radiogênica que átomos de pai. Quantas meias-vidas ele tem? (b) Calcule $D^*/P$ após $310\,\mathrm{Myr}$ para o rubídio-87 e para o urânio-235, com as constantes de Table 25.1. Qual razão é mais fácil de medir com precisão? (c) Após quantas meias-vidas resta menos de $1\,\%$ do pai?

Solução

Solução de Exercício 25.1.

(a) $D^*/P = 2^n - 1 = 3$ dá $n = 2$: duas meias-vidas. (b) Rubídio-87: $e^{\lambda t} - 1 = e^{1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.004341$; urânio-235: $e^{9.8485 \times 10^{-10} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.3570$. A razão do urânio é cerca de 80 vezes maior: um dado erro absoluto de medida é uma parte bem menor dela. (c) $2^{-n} < 0.01$ quando $n > \log_2 100 = 6.64$: após cerca de sete meias-vidas.

Exercício 25.2 ★

Qual método de Table 25.1 você usaria, e em qual material, para datar: (a) carvão de uma lareira de cerca de $8000$ anos; (b) uma camada de cinza que se pensa ter cerca de $66\,\mathrm{Ma}$, rica em sanidina e zircão; (c) um granito de cerca de $2.7\,\mathrm{Ga}$; (d) uma concha de cerca de $40\,000$ anos; (e) um calcário do Jurássico sem nenhuma camada vulcânica?

Solução

Solução de Exercício 25.2.

(a) Radiocarbono no carvão. (b) Urânio–chumbo no zircão, ou argônio–argônio (potássio–argônio) na sanidina, um mineral rico em potássio. (c) Urânio–chumbo no zircão, que sobrevive a uma longa história; rubídio–estrôncio em rochas totais é possível; potássio–argônio correria o risco de idades rebaixadas pelo argônio perdido em aquecimentos posteriores. (d) Radiocarbono no carbonato da concha, perto do limite do método (cerca de $70\,000$ anos). (e) Nenhum diretamente: sua idade é contida por rochas vulcânicas datadas acima e abaixo, ou obtida correlacionando seus fósseis com uma seção datada (Capítulo 24).

Exercício 25.3 ★

O carbono de um pedaço de madeira tem um quarto da atividade do padrão, após normalização. (a) Calcule sua idade radiocarbono convencional. (b) Calcule sua idade com a meia-vida de $5700$ anos. (c) Por que nenhuma dessas é sua idade em anos civis, e como essa idade é obtida?

Solução

Solução de Exercício 25.3.

(a) $t = -8033 \ln 0.25 = 8033 \times 1.3863 = 11\,136$ anos BP. (b) A vida média é $5700/\ln 2 = 8223$ anos: $t = 8223 \times 1.3863 = 11\,400$ anos. (c) Ambos supõem que a proporção de carbono-14 no carbono vivo era a mesma então que no padrão; não era. A idade civil é lida em uma curva de calibração como IntCal20, como uma faixa em anos cal BP.

Exercício 25.4 ★

Um granito dá uma idade urânio–chumbo no zircão de $420\,\mathrm{Ma}$, uma idade potássio–argônio na hornblenda de $410\,\mathrm{Ma}$ e uma na biotita de $398\,\mathrm{Ma}$. (a) Por que as três idades são diferentes, e nessa ordem? (b) Com as temperaturas de fechamento da figura de Seção 25.4, calcule a taxa média de resfriamento entre os fechamentos da hornblenda e da biotita. (c) O que se pode dizer da taxa de resfriamento entre o fechamento do zircão e o da hornblenda?

Solução

Solução de Exercício 25.4.

(a) Cada relógio começa quando seu mineral esfria abaixo de sua temperatura de fechamento: zircão (acima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) fecha primeiro, a hornblenda (cerca de $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) em seguida, a biotita (cerca de $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) por último, de modo que as idades diminuem nessa ordem à medida que o granito esfriou. (b) $(530 - 280)/(410 - 398) = 250/12 = 21\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos. (c) O zircão fechou acima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, então o granito esfriou ao menos $750 - 530 = 220\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $10\,\mathrm{Myr}$: ao menos $22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos, um limite inferior.

Exercício 25.5 ★★

Quatro amostras de rocha total de um gnaisse (dados de exercício) dão $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 2.0$, $5.0$, $9.0$, $14.0$ e $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7323$, $0.7741$, $0.8307$, $0.9010$. (a) Ajuste a reta dos mínimos quadrados pelo método de Método 25.7. (b) Calcule a idade e a razão inicial. (c) Calcule $s$ e a incerteza da idade. (d) A razão inicial aponta para uma fonte no manto ou na crosta?

Solução

Solução de Exercício 25.5.

(a) $\bar x = 7.5$, $\bar y = 0.809525$, $S_{xx} = 81.0$, $S_{xy} = 1.13965$; $m = 1.13965/81.0 = 0.0140698$, $b = 0.809525 - 7.5 \times 0.0140698 = 0.70400$. (b) $t = \ln(1.0140698)/1.3972 \times 10^{-11} = 1000.0\,\mathrm{Ma}$; razão inicial $0.7040$. (c) Os resíduos são $+1.6$, $-2.5$, $+0.7$ e $+0.2$ (em unidades de $10^{-4}$): $s = \sqrt{9.34 \times 10^{-8}/2} = 0.00022$, $\sigma_m = 0.00022/\sqrt{81} = 2.40 \times 10^{-5}$ e $\sigma_t = 2.40 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0141) = 1.7\,\mathrm{Myr}$: $(1000.0 \pm 1.7)\,\mathrm{Ma}$. (d) $0.7040$ está próximo do valor do manto $0.7025$ e bem abaixo do da crosta $0.710$: uma fonte sobretudo no manto.

Exercício 25.6 ★★

Uma sanidina de uma camada de cinza contém $10.0\,\%$ de potássio em massa e $1.169\,\mathrm{nmol}$ de argônio-40 radiogênico por grama. (a) Com a massa atômica do potássio, $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, e a abundância do potássio-40, calcule o número de mols de potássio-40 por grama. (b) Calcule a idade potássio–argônio. (c) Se $0.5\,\%$ do argônio medido tivesse sido aprisionado quando a cinza caiu, em quanto a idade estaria velha demais? Isso é uma preocupação aqui?

Solução

Solução de Exercício 25.6.

(a) $0.100/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.992 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ de potássio-40 por grama. (b) ${}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{40}\mathrm{K} = 1.169 \times 10^{-9}/2.992 \times 10^{-7} = 0.0039065$; $\lambda/\lambda_e = 5.543/0.581 = 9.5404$; $t = \ln(1 + 9.5404 \times 0.0039065)/5.543 \times 10^{-10} = \ln(1.037269)/5.543 \times 10^{-10} = 66.01\,\mathrm{Ma}$. (c) O argônio radiogênico seria $0.995 \times 1.169$ nanomols, dando $65.69\,\mathrm{Ma}$: a idade medida estaria $0.32\,\mathrm{Myr}$ velha demais, dez vezes os $32\,000$ anos dentro dos quais o impacto e a extinção no fim do Cretáceo são agora mostrados coincidir. O excesso de argônio preocupa sobretudo as rochas jovens e as rochas totais; um mineral como a sanidina não deveria incorporar argônio ao cristalizar, e um espectro de idades argônio–argônio o revelaria.

Exercício 25.7 ★★

A curva IntCal20 dá as idades radiocarbono $2070 \pm 14$ anos BP a $2000$ cal BP, $7178$ a $8000$ cal BP e $10\,306$ a $12\,000$ cal BP. (a) Uma semente dá $2070 \pm 14$ anos BP. Qual é sua idade civil? (b) Outra dá $2480 \pm 15$ anos BP; com o painel da direita da figura de Seção 25.3, dê sua faixa de idades civis e explique por que ela é tão larga. (c) Em quantos anos, e em que direção, as idades radiocarbono diferem das idades civis a $2000$, $8000$ e $12\,000$ cal BP? A diferença cresce em proporção à idade?

Solução

Solução de Exercício 25.7.

(a) Cerca de $2000$ cal BP: a curva passa por $2070$ anos BP ali. (b) De cerca de $2495$ a $2699$ cal BP, duzentos anos: a curva é quase plana entre $2500$ e $2700$ cal BP, de modo que toda idade civil desse intervalo tem quase a mesma idade radiocarbono, e uma medida mais precisa não estreitaria a faixa. (c) A $2000$ cal BP a idade radiocarbono é $70$ anos mais velha que a idade civil; a $8000$ cal BP, $822$ anos mais jovem ($10\,\%$); a $12\,000$ cal BP $1694$ anos mais jovem ($14\,\%$). A diferença não é proporcional à idade: ela chega até a mudar de sinal. Ela não pode vir só da meia-vida, que daria um $2.4\,\%$ constante.

Exercício 25.8 ★★

Em uma seção marinha, uma camada de cinza a $4\,\mathrm{m}$ é datada de $(94.50 \pm 0.10)\,\mathrm{Ma}$ e um derrame de lava a $20\,\mathrm{m}$ de $(93.80 \pm 0.12)\,\mathrm{Ma}$; um dique que corta toda a seção é datado de $(93.20 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$. O zircão detrítico mais jovem de um arenito a $6\text{ a }10\,\mathrm{m}$ é de $(95.3 \pm 0.4)\,\mathrm{Ma}$. Um limite de andar é posto a $12\,\mathrm{m}$. (a) Quais das quatro idades contêm o limite, e quais não servem para ele? (b) Interpole sua idade e sua incerteza com Proposição 24.8. (c) O que o zircão detrítico diz sobre o arenito?

Solução

Solução de Exercício 25.8.

(a) A camada de cinza abaixo ($94.50\,\mathrm{Ma}$) dá uma idade máxima, o derrame de lava acima ($93.80\,\mathrm{Ma}$) uma mínima: o limite fica contido entre elas. O dique também é uma mínima, mas mais fraca, mais jovem que a lava. O zircão detrítico é uma máxima apenas para o arenito, e mais fraca que a camada de cinza, que fica abaixo do arenito. (b) $f = (12 - 4)/(20 - 4) = 0.5$; $t = 94.50 - 0.5 \times 0.70 = 94.15\,\mathrm{Ma}$; $\sigma_t = \sqrt{0.25 \times 0.10^2 + 0.25 \times 0.12^2} = 0.08\,\mathrm{Myr}$: $(94.15 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$. (c) Seus grãos vieram de uma rocha de ao menos $95.3\,\mathrm{Ma}$, erodida em algum lugar da área-fonte; isso mostra que o arenito é mais jovem que $95.3\,\mathrm{Ma}$, o que a camada de cinza abaixo já prova com mais rigor.

Exercício 25.9 ★★

Dois zircões de um mesmo granito dão $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.08401$ e $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.6688$ (grão A), e $0.05881$ e $0.4682$ (grão B). (a) Calcule as duas idades de cada grão. (b) Qual grão é concordante? (c) O grão B perdeu parte de seu chumbo recentemente. Mostre que suas duas razões são $70\,\%$ das do grão A, e explique por que suas duas idades diferem embora a perda tenha sido a mesma para os dois isótopos.

Solução

Solução de Exercício 25.9.

(a) Grão A: $\ln(1.08401)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$ e $\ln(1.6688)/9.8485 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$. Grão B: $368.4\,\mathrm{Ma}$ e $389.9\,\mathrm{Ma}$. (b) O grão A é concordante. (c) $0.05881/0.08401 = 0.7000$ e $0.4682/0.6688 = 0.7001$. A idade é $\ln(1 + R)/\lambda$, não proporcional a $R$: para a pequena razão do urânio-238 $\ln(1+R) \approx R$ e a idade cai quase $30\,\%$ (para $368\,\mathrm{Ma}$); para a razão maior do urânio-235 o logaritmo cai menos, e a idade só cai para $390\,\mathrm{Ma}$. Ambas são jovens demais, e elas discordam: o grão é discordante.

Exercício 25.10 ★★★

(a) Mostre que quando $\lambda t \ll 1$ a equação da idade se reduz a $t \approx (D^*/P)/\lambda$, e que o erro relativo dessa aproximação é próximo de $\lambda t/2$. (b) Calcule o erro para o rubídio-87 a $310\,\mathrm{Ma}$, para o potássio-40 a $296\,\mathrm{Ma}$ e para o urânio-238 a $4.4\,\mathrm{Ga}$. (c) Se $D^*/P$ for medido a $0.1\,\%$, qual é a incerteza de uma idade rubídio–estrôncio de $310\,\mathrm{Ma}$?

Solução

Solução de Exercício 25.10.

(a) Com $u = \lambda t$, $D^*/P = e^u - 1 = u + u^2/2 + \dots$, de modo que $(D^*/P)/\lambda = t\,(1 + u/2 + \dots)$: a aproximação superestima a idade por um erro relativo próximo de $u/2$. (b) Rubídio-87 a $310\,\mathrm{Ma}$: $u = 0.00433$, erro $0.22\,\%$ ($0.7\,\mathrm{Myr}$); potássio-40 a $296\,\mathrm{Ma}$: $u = 0.164$, erro $8.7\,\%$ ($26\,\mathrm{Myr}$; $u/2$ dá $8.2\,\%$); urânio-238 a $4.4\,\mathrm{Ga}$: $u = 0.683$, erro $43\,\%$ — a aproximação e até seu erro estimado ($u/2 = 34\,\%$) falham. (c) $R = 0.004341$, $\sigma_R = 4.34 \times 10^{-6}$; pela Proposição 25.3, $\sigma_t = 4.34 \times 10^{-6}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 0.31\,\mathrm{Myr}$.

Exercício 25.11 ★★★

Uma biotita cristalizou e fechou-se há $400\,\mathrm{Myr}$. Há $200\,\mathrm{Myr}$ um aquecimento breve fez com que ela perdesse uma fração $f$ de seu argônio, após o que ela se fechou de novo. (a) Mostre que hoje

$$\frac{\lambda}{\lambda_e}\,\frac{^{40}\mathrm{Ar}^*}{^{40}\mathrm{K}} = (1 - f)\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr) + e^{\lambda t_2} - 1,$$

com $t_1 = 400\,\mathrm{Myr}$ e $t_2 = 200\,\mathrm{Myr}$. (b) Calcule a idade potássio–argônio aparente para $f = 0$, $0.3$, $0.6$ e $1$. (c) Por que uma única idade potássio–argônio não pode distinguir uma perda parcial de um evento mais jovem?

Solução

Solução de Exercício 25.11.

(a) Seja ${}^{40}\mathrm{K}$ o potássio-40 de hoje. Em $t_2$ antes do presente havia ${}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}$ átomos, e o argônio produzido entre $t_1$ e $t_2$ foi, pela Proposição 25.10 aplicada a esse intervalo, $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}\bigl(e^{\lambda (t_1 - t_2)} - 1\bigr) = (\lambda_e/\lambda)\, {}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr)$. Uma fração $1 - f$ dele permaneceu. Desde $t_2$, o mineral fechado produziu $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,(e^{\lambda t_2} - 1)$ a mais. Somando e multiplicando por $\lambda/(\lambda_e\,{}^{40}\mathrm{K})$ obtém-se a expressão. (b) A idade aparente é $\ln(1 + \text{expressão})/\lambda$: $400.0\,\mathrm{Myr}$ para $f = 0$, $342.3\,\mathrm{Myr}$ para $0.3$, $282.7\,\mathrm{Myr}$ para $0.6$ e $200.0\,\mathrm{Myr}$ para $1$. (c) Toda idade entre $200\,\mathrm{Myr}$ e $400\,\mathrm{Myr}$ pode ser produzida por alguma perda parcial, e um único número não pode dizer se ele registra um evento real naquele tempo ou uma mistura; um espectro de idades, ou outros relógios na mesma rocha, são necessários.

Exercício 25.12 ★★★

Em $12\,000$ cal BP a curva IntCal20 dá uma idade radiocarbono de $10\,306$ anos BP. (a) Recalcule a idade a partir da mesma razão de atividades com a meia-vida de $5700$ anos. (b) Quanto dos $1694$ anos pelos quais a idade radiocarbono fica aquém da idade civil a convenção da meia-vida explica? (c) Supondo que o resto venha de uma proporção mais alta de carbono-14 na atmosfera há $12\,000$ anos, calcule em quanto, em por cento, ela excedeu a proporção do padrão.

Solução

Solução de Exercício 25.12.

(a) A idade é proporcional à vida média usada: $10306 \times 8223/8033 = 10\,550$ anos. (b) $10550 - 10306 = 244$ anos, cerca de um sétimo dos $1694$. (c) Se a atividade inicial era $k A_0$, a idade verdadeira é $t = \tau \ln(k A_0/A) = 10\,550 + \tau \ln k$; com $t = 12\,000$, $\ln k = 1450/8223 = 0.176$ e $k = 1.19$: cerca de $19\,\%$ mais carbono-14 que no padrão.

25.7 Problema: datando o granito de Varden e sua cobertura

Problema 25.1

Problema de fim de semana — como quatro relógios datam a cristalização, o resfriamento e o desmantelamento de um granito

O granito das Colinas de Varden, a região inventada da série, intrude o embasamento xistoso e é recoberto, acima de uma discordância, pelo arenito triássico. Use as constantes de Table 25.1, as temperaturas de fechamento da figura de Seção 25.4, a massa atômica do potássio $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ e a abundância do potássio-40, $0.0117\,\%$ dos átomos de potássio. Todas as análises são dados de exercício.

Parte I — Uma isócrona de rocha total. Seis amostras de rocha total dão:

$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.92	2.15	3.40	5.05	7.60	10.30
$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71211	0.71718	0.72284	0.72986	0.74113	0.75261

1. Plote as seis amostras. Elas se alinham em uma reta?
2. Calcule $\bar x$, $\bar y$, $S_{xx}$ e $S_{xy}$, depois a inclinação dos mínimos quadrados.
3. Calcule a interseção. O que ela representa?
4. Calcule a idade do granito.
5. Calcule os resíduos, $s$, e a incerteza da idade.
6. A razão inicial é mais próxima à do manto ou à da crosta continental? Se o magma fosse uma mistura de fusões com $0.7025$ e $0.710$, igualmente ricas em estrôncio, que parcela de seu estrôncio veio da crosta?

Parte II — Potássio e argônio. Uma biotita contém $7.40\,\%$ de potássio em massa e $4.139\,\mathrm{nmol}$ de argônio-40 radiogênico por grama; uma hornblenda $1.10\,\%$ e $0.6333\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$.

7. Calcule o número de átomos de potássio-40 em um grama da biotita.
8. Calcule a idade potássio–argônio da biotita.
9. Calcule a da hornblenda.
10. Que idade a biotita daria se a ramificação fosse esquecida e todos os decaimentos fossem contados como argônio? Por que não se usa o cálcio-40 no lugar?
11. Por que o excesso de argônio, aprisionado quando os minerais se formaram, pouco preocupa aqui?
12. Ambas as idades são mais jovens que a idade da isócrona. Dê duas explicações, e diga como um espectro de idades argônio–argônio poderia distingui-las.

Parte III — Resfriamento. Um zircão do granito dá $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.049361$ e $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.35784$.

13. Calcule as duas idades urânio–chumbo. São concordantes?
14. Atribua a cada idade das Partes I a III o evento que ela data. Desenhe a temperatura do granito contra o tempo desde o zircão até a biotita.
15. Calcule a taxa média de resfriamento entre os fechamentos da hornblenda e da biotita.
16. O que se pode dizer da taxa de resfriamento entre o fechamento do zircão e o da hornblenda?
17. Com uma incerteza de $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em cada uma das duas temperaturas de fechamento, independentes, que faixa de taxas de resfriamento é possível?
18. Com a outra tabela citada no capítulo ($550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para a hornblenda, $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para a biotita), que taxa se encontra? O que isso diz do resultado?
19. Suponha um geoterma de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$ abaixo de uma superfície a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A que profundidade estava o granito quando a biotita fechou?

Parte IV — A discordância. Uma camada de cinza a $18\,\mathrm{m}$ acima da base do arenito triássico contém zircões com $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.039108$ e $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.27577$. Uma segunda camada de cinza, a $58\,\mathrm{m}$ acima da base, é datada de $245.30\,\mathrm{Ma}$. Zircões detríticos no metro mais baixo do arenito dão idades em torno de $310\,\mathrm{Ma}$.

20. Calcule a idade da camada de cinza inferior.
21. De onde vêm os zircões detríticos, e o que dizem sobre a idade do arenito?
22. Calcule a taxa de acumulação do arenito entre as camadas de cinza, e a idade de sua base, supondo a mesma taxa abaixo da cinza inferior.
23. Qual é a duração da lacuna do registro na discordância, da cristalização do granito à deposição do arenito?
24. Calcule a taxa média de erosão que trouxe o granito da profundidade da questão 19 à superfície. Que suposição isso faz sobre onde o granito erodido estava?
25. Qual é a taxa de resfriamento do granito?

Solução

Solução de Problema 25.1.

1. Os pontos sobem de modo constante com $x$; seus desvios de uma reta são de no máximo duas unidades na quarta casa decimal, contra uma amplitude de $0.04$ em $y$: estão sobre uma reta dentro de uma pequena dispersão.
2. $\bar x = 4.90333$, $\bar y = 0.729288$, $S_{xx} = 62.1253$, $S_{xy} = 0.269335$; $m = 0.269335/62.1253 = 0.0043354$.
3. $b = 0.729288 - 0.0043354 \times 4.90333 = 0.70803$: a $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ do granito quando cristalizou, compartilhada por todas as suas partes.
4. $t = \ln(1.0043354)/1.3972 \times 10^{-11} = 309.6\,\mathrm{Ma}$.
5. Os resíduos são $+9.1$, $-17.2$, $+6.9$, $-6.4$, $+15.1$ e $-7.5$ (em unidades de $10^{-5}$); $s = 0.000137$, $\sigma_m = 0.000137/\sqrt{62.1253} = 1.74 \times 10^{-5}$, $\sigma_t = 1.74 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 1.2\,\mathrm{Myr}$: $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$, e $\sigma_b = 0.00010$.
6. $0.7080$ está mais perto do $0.710$ da crosta do que do $0.7025$ do manto. Para uma mistura, $(0.70803 - 0.7025)/(0.710 - 0.7025) = 0.74$: cerca de três quartos do estrôncio vieram de crosta fundida.
7. $0.0740/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.214 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ por grama, vezes $6.022 \times 10^{23}$: $1.33 \times 10^{17}$ átomos.
8. $^{40}\mathrm{Ar}^*/^{40}\mathrm{K} = 4.139 \times 10^{-9}/2.2144 \times 10^{-7} = 0.018691$; $1 + 9.5404 \times 0.018691 = 1.17832$; $t = \ln(1.17832)/5.543 \times 10^{-10} = 296.0\,\mathrm{Ma}$.
9. $^{40}\mathrm{K} = 3.292 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}\,\mathrm{g}^{-1}$, razão $0.019239$, $\ln(1.18355)/5.543 \times 10^{-10} = 304.0\,\mathrm{Ma}$.
10. $\ln(1.018691)/5.543 \times 10^{-10} = 33.4\,\mathrm{Ma}$, nove vezes jovem demais, porque só cerca de um decaimento em dez dá argônio. O cálcio-40 é o isótopo comum do cálcio, abundante nas rochas: o pouco produzido por decaimento não pode ser distinguido do cálcio que os minerais continham desde o início.
11. O excesso de argônio desloca idades em quantidades da ordem de um milhão de anos, o que importa para rochas jovens; aqui seria bem abaixo de $1\,\%$ da idade. E cristais de mica e de anfibólio quase não incorporam argônio ao se formar.
12. Ou o granito esfriou devagar e as micas e o anfibólio fecharam-se depois da cristalização (idades de resfriamento), ou um aquecimento posterior expulsou parte de seu argônio. Um patamar plano em um espectro de idades argônio–argônio apoia uma idade de resfriamento; um espectro sem patamar alerta que os minerais perderam argônio. A ordem das idades, a hornblenda antes da biotita como preveem suas temperaturas de fechamento, também aponta para o resfriamento.
13. $\ln(1.049361)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$ e $\ln(1.35784)/9.8485 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$: concordantes.
14. Zircão $310.6\,\mathrm{Ma}$, fechamento acima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: cristalização; a isócrona de rocha total, $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$, também a data, e concorda dentro de sua incerteza; hornblenda $304.0\,\mathrm{Ma}$: resfriamento através de cerca de $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; biotita $296.0\,\mathrm{Ma}$: resfriamento através de cerca de $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O gráfico desce de acima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $310.6\,\mathrm{Ma}$ até $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $296.0\,\mathrm{Ma}$.
15. $(530 - 280)/(304.02 - 296.03) = 250/7.99 = 31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos.
16. $(750 - 530)/(310.60 - 304.02) = 220/6.58 = 33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos ao menos, já que o zircão fechou acima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: o resfriamento foi ao menos tão rápido no início.
17. A diferença de temperaturas, $250 \pm \sqrt{40^2 + 40^2} = 250 \pm 57$, dá $24\text{ a }38\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos.
18. $(550 - 350)/7.99 = 25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos, dentro da faixa da questão 17: a incerteza vem das temperaturas de fechamento, não das idades.
19. $(280 - 10)/30 = 9.0\,\mathrm{km}$.
20. $\ln(1.039108)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 247.30\,\mathrm{Ma}$, e o mesmo pela razão do urânio-235: concordante.
21. Os zircões detríticos vêm do granito, erodido na discordância: sua idade é a idade de cristalização do granito. Eles mostram apenas que o arenito é mais jovem que $310\,\mathrm{Ma}$: uma idade máxima, muito mais fraca que a camada de cinza.
22. $(58 - 18)/(247.30 - 245.30) = 20.0\,\mathrm{m}$ por milhão de anos; a base é $18/20.0 = 0.90\,\mathrm{Myr}$ mais velha que a cinza inferior: $248.20\,\mathrm{Ma}$.
23. De $309.6\,\mathrm{Ma}$ (isócrona) ou $310.6\,\mathrm{Ma}$ (zircão) até $248.2\,\mathrm{Ma}$: cerca de $62\,\mathrm{Myr}$.
24. $9.0\,\mathrm{km}$ em $296.0 - 248.2 = 47.8\,\mathrm{Myr}$: $0.19\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, $0.19\,\mathrm{mm}$ por ano. Isso supõe que a biotita datada veio logo abaixo da discordância, de modo que toda a rocha acima dela no granito e no xisto foi removida quando a areia chegou, e que o geoterma permaneceu constante.
25. O granito esfriou a cerca de $31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos entre os fechamentos da hornblenda e da biotita.