12Cinemática de placas sobre uma esfera

Duas estações de posicionamento por satélite vêm registrando suas posições todos os dias há mais de um quarto de século: uma em Reykjavik, no oeste da Islândia, a outra perto de Stavanger, na costa oeste da Noruega. A linha reta entre elas, de $1546\,\mathrm{km}$, cresce $17.5\,\mathrm{mm}$ a cada ano, quase dois centímetros. Nada no terreno mostra isso, e o fundo do Atlântico Norte entre as duas estações registra o mesmo alargamento há milhões de anos: a lava erupcionada na Dorsal Meso-Atlântica adquiriu a direção do campo magnético terrestre ao esfriar, e o campo já se inverteu muitas vezes, de modo que o fundo oceânico carrega um registro listrado de seu próprio crescimento. Este capítulo transforma as placas dos anos escolares em calotas rígidas sobre uma esfera, descreve seus movimentos com a geometria das rotações, e mostra como o registro geológico e os satélites medem os mesmos movimentos.

O que você já sabe

Numa esfera, um círculo máximo é a interseção com um plano que passa pelo centro; um círculo menor, com qualquer outro plano. A lei dos cossenos dá a distância angular entre dois pontos a partir de suas latitudes e longitudes, e o azimute de uma direção é contado a partir do norte, para leste (Capítulo 1). Um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo tem uma velocidade angular (física). A litosfera está quebrada em placas que se movem umas em relação às outras a alguns centímetros por ano, e o fundo oceânico carrega listras magnéticas que registram as inversões do campo magnético terrestre (Livro 2, 11º ano).

12.1 Placas rígidas sobre uma esfera

Uma placa cobre uma grande parte da esfera: a placa euroasiática se estende do meio do Atlântico até a Sibéria oriental. Seu movimento não pode ser descrito por uma velocidade, como o movimento de um carro; ele deve ser descrito por uma rotação.

Definição 12.1 (Placa rígida)

A placa rígida é uma região da litosfera cujo interior não se deforma de modo mensurável: a distância entre quaisquer dois de seus pontos permanece constante. O movimento relativo de duas placas é absorvido ao longo de sua fronteira comum, uma zona estreita de falhas, terremotos e vulcões.

Nenhuma placa é perfeitamente rígida: as fronteiras são zonas de dezenas a centenas de quilômetros de largura, e os interiores se deformam lentamente. A hipótese é que esses desvios são pequenos diante dos movimentos relativos; ela é testada pela consistência de cada resultado deste capítulo.

Uma placa rígida na superfície de uma esfera se move sem mudar a distância entre quaisquer dois de seus pontos, e o centro da Terra não se move. Tal movimento é descrito por uma matriz $3\times3$ $R$ que conserva comprimentos, uma matriz ortogonal ($R^{\mathsf T}R = I$), e que conserva a orientação do espaço, de modo que $\det R = 1$: um ponto de vetor posição $\vec r$ vai para $R\vec r$.

Teorema 12.2 (Teorema da rotação de Euler)

Todo deslocamento de uma placa rígida na esfera é uma rotação em torno de um eixo que passa pelo centro da Terra: existe um vetor unitário $\vec n$ com $R\vec n = \vec n$, e a placa gira em torno de $\vec n$ de algum ângulo.

Em um intervalo de tempo curto o bastante para que o movimento não mude, a rotação se dá a uma taxa constante, e o movimento de uma placa em relação a outra é uma velocidade angular em torno de um eixo fixo.

Definição 12.3 (Polo de Euler; vetor de Euler)

O movimento de uma placa B em relação a uma placa A é uma rotação em torno de um eixo que passa pelo centro da Terra. O polo de Euler do par é o ponto em que esse eixo encontra a superfície, escolhido de modo que a rotação seja anti-horária vista de cima dele; o ponto antípoda é o polo oposto. O vetor de Euler $\vec\omega_{BA}$ é a velocidade angular de B em relação a A: ele aponta do centro da Terra para o polo de Euler, e seu comprimento $\omega$ é a taxa de rotação.

Um vetor de Euler é dado pela latitude e longitude de seu polo e por sua taxa, em geral em graus por milhão de anos. O movimento da placa euroasiática em relação à placa norte-americana, média dos últimos $3.16\,\mathrm{Myr}$ a partir de 453 taxas de espalhamento medidas nas dorsais entre elas, tem seu polo em $61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ L, na Sibéria oriental, e a taxa $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Em radianos por ano,

uma volta completa em $1714\,\mathrm{Myr}$.

12.2 Velocidades relativas

Teorema 12.4 (Velocidade em uma placa em rotação)

Se a placa B gira em relação à placa A com o vetor de Euler $\vec\omega$, um ponto de B de vetor posição $\vec r$ (a partir do centro da Terra) se move em relação a A com a velocidade

$$\vec v = \vec\omega\times\vec r .$$

O ângulo $\Delta$ é a distância angular entre o polo de Euler e o ponto, que a lei dos cossenos dá a partir de latitudes e longitudes.

Proposição 12.5 (Velocidade e direção do movimento relativo)

Seja o polo de Euler na latitude $\varphi_p$ e longitude $\lambda_p$, e o ponto em $\varphi$ e $\lambda$. Então

1. a distância angular $\Delta$ do polo ao ponto satisfaz $\cos\Delta = \sin\varphi_p\sin\varphi + \cos\varphi_p\cos\varphi \cos(\lambda - \lambda_p)$;
2. a velocidade relativa é $v = \omega R\sin\Delta$: nula no polo, máxima, $\omega R$, no círculo máximo a $90{}^{\circ}$ dele;
3. a direção do movimento é perpendicular ao círculo máximo que une o ponto ao polo: seu azimute é o do polo, visto do ponto, mais $90{}^{\circ}$.

A velocidade do movimento relativo muda, portanto, ao longo de uma fronteira de placas mesmo quando as duas placas são perfeitamente rígidas, e a direção do movimento gira com ela. Duas consequências moldam todo mapa de fronteiras de placas.

Proposição 12.6 (As transformantes seguem pequenos círculos)

Uma falha transformante, ao longo da qual duas placas deslizam uma pela outra sem se abrir nem se fechar, está sobre um pequeno círculo em torno do polo de Euler das duas placas. A direção do espalhamento em uma dorsal, e da convergência em uma zona de subducção, também segue os pequenos círculos.

A Dorsal Meso-Atlântica entre a Eurásia e a América do Norte é uma escada de segmentos de dorsal deslocados por falhas transformantes; as transformantes têm direções próximas dos azimutes previstos pelo vetor de Euler, e sua direção é um dos dados usados para localizar o polo. A taxa de espalhamento ao longo da mesma fronteira cresce com a distância angular ao polo: $11\text{ a }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ na dorsal de Gakkel no oceano Ártico, perto do polo, e $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ logo ao norte dos Açores, a $78{}^{\circ}$ dele. A figura abaixo compara as taxas que o vetor de Euler prevê ao longo de toda a fronteira com as de um modelo independente de placas.

Método 12.7 (A velocidade em um ponto)

1. Converta a taxa do vetor de Euler para radianos por ano e calcule $\omega R$, em $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, com $R = 6371\,\mathrm{km}$.
2. Calcule a distância angular $\Delta$ do polo ao ponto com a lei dos cossenos; a velocidade é $\omega R\sin\Delta$.
3. Calcule o azimute $\beta$ do polo visto do ponto, com $\tan\beta = \sin(\lambda_p - \lambda)\cos\varphi_p / \bigl(\cos\varphi\sin\varphi_p - \sin\varphi\cos\varphi_p \cos(\lambda_p - \lambda)\bigr)$ e o quadrante do numerador e do denominador; o movimento se dá em direção a $\beta + 90{}^{\circ}$.
4. Confira o sentido: o movimento é o da segunda placa em relação à primeira. Trocar as placas o inverte.

Exemplo 12.8 (A Eurásia se afasta da América do Norte na Islândia)

Tome o centro da Islândia a $64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W, e o vetor de Euler da Eurásia em relação à América do Norte acima. Então $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e

$$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos64.5{}^{\circ}\cos(-18{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.60736,$$

logo $\Delta = 52.60{}^{\circ}$ e $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. O polo é visto no azimute $\beta = 13.1{}^{\circ}$, um pouco a leste do norte, sobre o Ártico; a Eurásia se move em direção a $103.1{}^{\circ}$, lés-sudeste, isto é $18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para leste e $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o sul.

12.3 Combinação de movimentos; junções triplas

As velocidades relativas se somam como as velocidades da mecânica: se B se move em relação a A e C em relação a B, então C se move em relação a A com a soma das duas velocidades.

Proposição 12.9 (Os vetores de Euler se somam)

Para três placas A, B, C,

$$\vec\omega_{CA} = \vec\omega_{CB} + \vec\omega_{BA}, \qquad \vec\omega_{AB} = -\vec\omega_{BA}.$$

Para somar vetores de Euler, escreva cada um em componentes cartesianas retangulares, $\omega(\cos\varphi_p \cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$, some as componentes, e converta de volta para um polo e uma taxa. Polos não podem ser somados; vetores de Euler podem. A relação é uma restrição poderosa. O movimento da placa núbia (África) em relação à Eurásia é lento, e o registro geológico dá poucas medidas diretas dele: entre os Açores e Gibraltar, as únicas são os azimutes de uma só transformante, a falha de Gloria. Ele decorre, em vez disso, das duas medidas bem conhecidas de espalhamento através do Atlântico: com $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ (polo $79.2{}^{\circ}$ N, $40.2{}^{\circ}$ L, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) e $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ acima, $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ tem seu polo em $20.9{}^{\circ}$ N, $18.3{}^{\circ}$ W, ao largo da África Ocidental, e a taxa $0.123{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ (Exercício 12.7).

Definição 12.10 (Junção tripla; junção tripla estável)

Uma junção tripla é um ponto onde três placas se encontram, e com elas três fronteiras de placas, cada uma uma dorsal (R), uma fossa (T) ou uma falha transformante (F). Uma junção tripla é estável se, à medida que as placas se movem, ela mantém a mesma geometria: os mesmos três tipos de fronteira encontrando-se nos mesmos ângulos.

Cada fronteira permite que a junção se mova apenas de certos modos sem mudar sua geometria. Uma dorsal simétrica fica no meio caminho entre suas duas placas; uma transformante mantém sua direção qualquer que seja o que a junção faz ao longo dela; uma fossa fica presa à placa cavalgante. A questão é se um único movimento da junção satisfaz as três fronteiras ao mesmo tempo. Ela é respondida no espaço de velocidades: um diagrama em que cada placa é um ponto cujo vetor posição é a velocidade da placa na junção, em relação a uma placa qualquer, de modo que o lado que une dois pontos é a velocidade relativa das duas placas.

Proposição 12.11 (Junções dorsal–dorsal–dorsal são estáveis)

Uma junção de três dorsais, cada uma espalhando-se simetricamente e perpendicularmente a seu eixo, é estável qualquer que sejam as velocidades relativas das três placas.

McKenzie e Morgan, que introduziram em 1969 a distinção entre junções estáveis e instáveis, analisaram as combinações desse modo. Uma transformante permite que a junção se mova apenas ao longo de si mesma, isto é, ao longo da reta que passa pelos pontos de suas duas placas: uma junção de três transformantes nunca é, portanto, estável, pois as três retas que passam pelos lados de um triângulo não têm ponto comum. Para os outros tipos, a estabilidade impõe condições sobre as orientações das fronteiras e sobre as velocidades relativas.

A junção tripla dos Açores, a cerca de $39.4{}^{\circ}$ N, $29.8{}^{\circ}$ W, onde as placas norte-americana, euroasiática e núbia se encontram, é uma junção dorsal–dorsal–dorsal: a Dorsal Meso-Atlântica corre ao norte e ao sul dela, e o lento Rift da Terceira corre de lá para lés-sudeste. Na junção os dois vetores de Euler do par norte-americano dão à Eurásia $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $95{}^{\circ}$, e à Núbia $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $104{}^{\circ}$; a Eurásia se afasta, portanto, da Núbia a $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $59{}^{\circ}$, uma abertura lés-nordeste–oés-sudoeste através do rifte da Terceira. A junção real não é um ponto: a taxa de espalhamento ao longo da dorsal cai gradualmente de $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $40{}^{\circ}$ N para $19.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $38{}^{\circ}$ N, através de uma pequena placa de cerca de $100\,\mathrm{km}$ de largura presa entre as três grandes, a microplaca dos Açores.

12.4 Rotações finitas

O vetor de Euler descreve o movimento agora, média de alguns milhões de anos. Para recolocar as placas onde estavam há muito tempo, é preciso a rotação que leva uma placa de sua posição atual à sua posição passada.

Definição 12.12 (Rotação finita)

Uma rotação finita é a rotação da esfera, dada por um polo (latitude, longitude) e um ângulo, que leva uma placa, ou um pedaço de sua borda, de sua posição atual à sua posição em um dado tempo em relação a outra placa. Um ângulo positivo gira no sentido anti-horário visto de cima do polo.

Proposição 12.13 (Fórmula de Rodrigues)

A rotação de ângulo $\alpha$ em torno do vetor unitário $\vec n$ leva o vetor $\vec r$ a

$$\vec r\,' = \cos\alpha\,\vec r + (1 - \cos\alpha)(\vec n\cdot\vec r)\,\vec n + \sin\alpha\,\vec n\times\vec r .$$

A fórmula é linear em $\vec r$; escrita com matrizes, $\vec r\,' = R\vec r$ com

uma matriz ortogonal de determinante $1$, como exige o teorema de Euler. Seu traço é $1 + 2\cos\alpha$, o que dá o ângulo de qualquer matriz de rotação (Exercício 12.10).

Rotações finitas não comutam. Gire o ponto a $0{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ L, sobre o eixo $x$, de $90{}^{\circ}$ em torno do polo norte: ele vai para $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ L, sobre o eixo $y$; depois de $90{}^{\circ}$ em torno do eixo $x$: ele chega ao polo norte. Feito na outra ordem, a primeira rotação deixa o ponto onde está e a segunda o leva a $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ L (Exercício 12.8). Uma sucessão de movimentos de placas deve, portanto, ser composta multiplicando as matrizes na ordem certa, nunca somando ângulos; somente as velocidades angulares, que descrevem rotações infinitesimais, somam-se como vetores.

O encaixe dos litorais da América do Sul e da África, notado há muito tempo nos mapas, torna-se um cálculo. Com a rotação de $120.6\,\mathrm{Ma}$, o litoral do nordeste do Brasil perto de Recife ($8.05{}^{\circ}$ S, $34.9{}^{\circ}$ W) cai em $3.4{}^{\circ}$ N, $8.3{}^{\circ}$ L, no litoral do Golfo da Guiné, depois de uma trajetória de cerca de $5000\,\mathrm{km}$ ao longo de seu pequeno círculo: uma abertura média de cerca de $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. O encaixe não é perfeito em toda parte: por cerca de quatorze milhões de anos antes de o oceano abrir, os dois continentes foram lentamente distendidos, e uma reconstrução precisa deve primeiro restaurar as margens distendidas e as bacias de rifte dos dois lados.

História — Tectônica sobre uma esfera

Em 1965 Edward Bullard e dois colegas ajustaram os continentes em torno do Atlântico por computador, com um critério de mínimos quadrados: o melhor ajuste segue a parte íngreme da borda continental, a uma profundidade de 500 braças (cerca de $900\,\mathrm{m}$), e não o litoral. No mesmo ano Tuzo Wilson descreveu uma nova classe de falhas, as falhas transformantes, e sua relação com a deriva continental. Em 1967 Dan McKenzie e Robert Parker mostraram, tomando o Pacífico Norte como exemplo, que as áreas asísmicas da superfície se movem como placas rígidas sobre uma esfera. Em 1968 Jason Morgan descreveu a superfície como blocos crustais limitados por cristas, fossas e grandes falhas, e Xavier Le Pichon ligou o espalhamento do fundo oceânico à deriva continental. Em três anos, a deriva dos continentes tinha se tornado a cinemática de calotas rígidas sobre uma esfera.

12.5 Medindo os movimentos das placas

O registro magnético do fundo oceânico

A lava erupcionada em uma dorsal adquire, ao esfriar, uma magnetização na direção do campo terrestre naquele momento, e a conserva ao se afastar da dorsal. Como o campo se inverte em intervalos irregulares, o fundo oceânico fica magnetizado em direções alternadas, em faixas paralelas à dorsal.

Definição 12.14 (Anomalia magnética marinha; cron de polaridade; escala de tempo de polaridade)

Uma anomalia magnética marinha é a diferença entre a intensidade do campo magnético medido no mar e a intensidade de um modelo de referência do campo principal da Terra no mesmo lugar: ela é positiva sobre crosta magnetizada na direção do campo atual, e negativa sobre crosta magnetizada na direção oposta. Um cron de polaridade é um intervalo de tempo durante o qual o campo manteve uma polaridade, designado por um número e pela letra n (normal, como hoje) ou r (invertida). A escala de tempo de polaridade geomagnética é a sequência de crons de polaridade com as idades de seus limites.

A escala de tempo é construída datando sequências de inversões em terra e em testemunhos de sedimentos de mar profundo, e casando o padrão das anomalias do fundo oceânico, cujas larguras guardam as durações relativas dos crons. O cron normal atual, C1n, começou $0.781\,\mathrm{Ma}$, e o campo se inverteu em intervalos irregulares: a escala conta vinte e cinco intervalos normais nos últimos onze milhões de anos, alguns durando mais de um milhão de anos, outros pouco mais de dez mil anos. A figura abaixo mostra essa história, até o fim do cron C5n, e as listras que ela grava no fundo de uma dorsal lenta e de uma dorsal rápida.

Definição 12.15 (Taxas de espalhamento de metade e completa)

Em uma dorsal, a taxa de espalhamento de metade de um flanco é a taxa com que a crosta desse flanco se afasta do eixo da dorsal. A taxa de espalhamento completa é a taxa com que as duas placas se afastam, a soma das duas taxas de metade; ela é o dobro da taxa de metade quando o espalhamento é simétrico.

Método 12.16 (Uma taxa de espalhamento a partir das anomalias magnéticas)

1. Em um perfil magnético perpendicular à dorsal, identifique a sequência de anomalias nos dois flancos por seu padrão de listras largas e estreitas, e case-a com a escala de tempo de polaridade.
2. Meça a distância do eixo até o mesmo limite de cron em cada flanco, e divida-a pela sua idade: estas são as duas taxas de espalhamento de metade, médias desde então. A taxa completa é a soma delas, ou a distância entre os dois limites dividida pela idade.
3. Prefira um limite antigo a um jovem: um erro de um quilômetro em uma distância pesa menos sobre uma distância de cem quilômetros do que sobre uma de dez.
4. Se o perfil não for perpendicular à dorsal, projete as distâncias sobre a direção do espalhamento.

O terceiro ponto não é apenas uma questão de erros de leitura. A crosta não adquire sua magnetização ao longo de uma única linha: a lava escorre sobre a crosta vizinha, ligeiramente mais antiga, diques se intrometem nela, e a crosta inferior é magnetizada mais tarde que a superior. Todos esses processos deslocam os limites entre listras para longe do eixo, de modo que a distância entre dois limites de mesma idade excede a largura da crosta efetivamente formada. O deslocamento para os dois lados é $1\text{ a }3\,\mathrm{km}$ na maioria das dorsais e chega a $5.0\,\mathrm{km}$ na dorsal de Reykjanes. Compilações cuidadosas corrigem as taxas para baixo por esse deslocamento para fora, de $0.6\text{ a }2.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e as médias sobre os últimos $3.16\,\mathrm{Myr}$ nas dorsais lentas, até as anomalias do cron C2An, e sobre $0.78\,\mathrm{Myr}$ nas rápidas. Na dorsal de Gakkel, carente de magma, as anomalias do curto subcron Jaramillo e do cron C2n estão ausentes, enquanto na dorsal de Reykjanes ao sul da Islândia, espalhando-se a menos de $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ mas com um suprimento abundante de magma, elas são claramente reconhecidas.

Geodésia por satélite

Desde os anos 1990, as posições de estações permanentes são medidas todos os dias por posicionamento por satélite. Uma série de posições diárias durante dez anos ou mais dá a velocidade de uma estação, depois de tratados os movimentos sazonais e os saltos causados por terremotos ou por trocas de equipamento (Exercício 12.12).

No campo — Uma estação permanente

Uma estação permanente de posicionamento por satélite é um instrumento discreto. A antena, sob sua cúpula à prova de intempéries, fica no topo de um pilar ou de um mastro escorado e cimentado na rocha, de modo que se move com a crosta e com mais nada; o receptor na base registra os sinais de cada satélite visível, continuamente, e os envia a um centro de dados. Ali, analistas calculam uma posição para cada dia, em um referencial ligado a uma rede mundial de estações, e publicam séries temporais e velocidades. O histórico de uma estação importa tanto quanto seus dados: cada troca de antena ou receptor é registrada, porque pode deslocar a posição calculada.

As velocidades de estações nos interiores de duas placas dão um vetor de Euler próprio, independente do registro geológico. Para a Eurásia em relação à América do Norte, tal vetor prevê $17.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ na Islândia, cerca de $8\,\%$ menos que os $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ médios em $3.16\,\mathrm{Myr}$ (figura acima). A corda entre Reykjavik e Stavanger, ambas em partes estáveis de suas placas, alonga-se $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; o vetor de satélite prevê $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, o geológico $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Através do Atlântico Norte, uma taxa medida em algumas décadas e uma taxa média de três milhões de anos concordam, portanto, a menos de um décimo: ali, as placas se movem hoje quase como se moveram por milhões de anos.

Dentro da zona de fronteira o quadro é menos simples, pois as estações se movem com mais que as placas. Mais de um décimo da Islândia está sob calotas de gelo, e a maioria delas vem perdendo massa desde cerca de 1890: a crosta sob elas sobe à medida que a carga diminui, e se move horizontalmente afastando-se do gelo que afina. A estação de Höfn, na costa sudeste perto da maior calota, sobe $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12.6 Exercícios

Tome $R = 6371\,\mathrm{km}$ em todos os exercícios.

Exercício 12.1 ★

O vetor de Euler da Eurásia em relação à América do Norte tem a taxa $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (a) Converta-a para $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e para $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Quanto tempo levaria uma volta completa? (c) Calcule $\omega R$ em $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 12.1.

(a) $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr} = 0.210\times\pi/180 = 3.665 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ por milhão de anos, isto é $3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; com $1\,\mathrm{yr} = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $1.161 \times 10^{-16}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $360/0.210 = 1714\,\mathrm{Myr}$, mais de um terço da idade da Terra. (c) $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Exercício 12.2 ★

Com o mesmo vetor de Euler, calcule a velocidade relativa das duas placas a $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ}$ do polo de Euler. Onde ao longo da fronteira de placas o espalhamento seria mais rápido?

Solução

Solução de Exercício 12.2.

$v = \omega R\sin\Delta = 23.35\sin\Delta$: $11.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $30{}^{\circ}$, $20.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $60{}^{\circ}$ e $23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $90{}^{\circ}$. O espalhamento é mais rápido onde a fronteira está mais longe do polo, até $90{}^{\circ}$: entre a Eurásia e a América do Norte, na extremidade sul da fronteira, perto dos Açores, a $78{}^{\circ}$ do polo.

Exercício 12.3 ★

O subcron normal Jaramillo durou de $1.072\,\mathrm{Ma}$ a $0.988\,\mathrm{Ma}$. (a) Qual a largura da listra que ele forma em cada flanco de uma dorsal com uma taxa de espalhamento de metade de $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? E de $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? (b) Qual é a largura total da listra do cron normal atual, que começou $0.781\,\mathrm{Ma}$, em uma dorsal com taxa de metade de $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$?

Solução

Solução de Exercício 12.3.

O subcron durou $1.072 - 0.988 = 0.084\,\mathrm{Myr}$, e uma taxa de metade em $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ é também uma taxa em $\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$. (a) $50\times0.084 = 4.2\,\mathrm{km}$ a $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $10\times0.084 = 0.84\,\mathrm{km}$ a $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) A listra atravessa o eixo: $2\times10\times0.781 = 15.6\,\mathrm{km}$.

Exercício 12.4 ★

Em um perfil atravessando uma dorsal, a borda jovem da anomalia do cron C2An, com $2.581\,\mathrm{Ma}$, fica a $66\,\mathrm{km}$ a oeste do eixo e a $64\,\mathrm{km}$ a leste dele. Calcule as duas taxas de espalhamento de metade e a taxa de espalhamento completa. O espalhamento é simétrico?

Solução

Solução de Exercício 12.4.

As taxas de metade são $66/2.581 = 25.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para oeste e $64/2.581 = 24.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para leste; a taxa completa é $130/2.581 = 50.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. O espalhamento é quase simétrico: o flanco oeste cresceu cerca de $3\,\%$ mais depressa.

Exercício 12.5 ★★

Um ponto da dorsal de Gakkel, no oceano Ártico, fica a $85{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ L. Calcule sua distância angular ao polo de Euler Eurásia–América do Norte ($61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ L, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) e a taxa de espalhamento ali. Compare com as taxas medidas de $11\text{ a }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 12.5.

$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin85{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos85{}^{\circ} \cos(0{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.8813\times0.9962 + 0.4726\times0.08716\times (-0.7615) = 0.87795 - 0.03137 = 0.84658$, logo $\Delta = 32.16{}^{\circ}$ e $v = 23.35\sin32.16{}^{\circ} = 12.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Isto está um pouco acima das $11\text{ a }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ medidas, mas o vetor de Euler é um único melhor ajuste a 453 taxas, das quais as taxas se afastam em $0.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em média, e taxas individuais perto da lenta dorsal de Gakkel estão entre as menos precisas.

Exercício 12.6 ★★

Na junção tripla dos Açores, $39.44{}^{\circ}$ N, $29.83{}^{\circ}$ W, calcule (a) a distância angular ao polo de Euler Eurásia–América do Norte, (b) a taxa de espalhamento, e (c) o azimute do movimento relativo. (d) Que direção você prevê para as falhas transformantes da dorsal logo ao norte da junção?

Solução

Solução de Exercício 12.6.

(a) $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin39.44{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos39.44{}^{\circ} \cos(169.43{}^{\circ}) = 0.20111$: $\Delta = 78.40{}^{\circ}$. (b) $v = 23.35 \sin78.40{}^{\circ} = 22.87\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, a $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ medida logo ao norte da junção. (c) Com a fórmula do método, o numerador é $\sin169.43{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.08668$ e o denominador $\cos39.44{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin39.44{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos169.43{}^{\circ} = 0.97573$: o polo é visto em $\beta = 5.08{}^{\circ}$, quase exatamente ao norte, e a Eurásia se move em direção a $95.1{}^{\circ}$. (d) As transformantes são paralelas ao movimento relativo: elas têm direção de cerca de $095{}^{\circ}$, quase leste–oeste.

Exercício 12.7 ★★

(a) Escreva os vetores de Euler $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ ($61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ L, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) e $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ ($79.2{}^{\circ}$ N, $40.2{}^{\circ}$ L, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) em componentes cartesianas, em ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) Deduza $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}}$, seu polo e sua taxa. (c) Por que esta é a melhor maneira de conhecer o movimento da Núbia em relação à Eurásia?

Solução

Solução de Exercício 12.7.

(a) Em componentes, $\vec\omega = \omega(\cos\varphi_p\cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$: $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (-0.0756, 0.0643, 0.1851)$ e, de modo análogo, $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} = (0.0333, 0.0282, 0.2289)$, em ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (0.1089, -0.0361, 0.0438)$, de comprimento

$$\sqrt{0.011859 + 0.001303 + 0.001918} = 0.1228{}^{\circ}/\mathrm{Myr}.$$

Seu polo está na latitude $\arcsin(0.0438/0.1228) = 20.9{}^{\circ}$ N e longitude $\arctan(-0.0361/0.1089) = -18.3{}^{\circ}$, isto é $18.3{}^{\circ}$ W (a componente $x$ sendo positiva, nenhum $180{}^{\circ}$ é somado). (c) A fronteira entre a Núbia e a Eurásia oferece poucas medidas diretas: entre os Açores e Gibraltar, apenas os azimutes da falha de Gloria. Os dois movimentos de espalhamento através do Atlântico são medidos por centenas de taxas, e sua diferença herda sua precisão.

Exercício 12.8 ★★

Seja $\vec e_x$ apontando para $0{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ L, $\vec e_y$ para $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ L e $\vec e_z$ para o polo norte. Com a fórmula de Rodrigues, calcule a imagem de $\vec e_x$ (a) pela rotação de $90{}^{\circ}$ em torno de $\vec e_z$ seguida pela rotação de $90{}^{\circ}$ em torno de $\vec e_x$; (b) pelas mesmas duas rotações na ordem oposta. (c) O que isso significa para a reconstrução das posições passadas de uma placa?

Solução

Solução de Exercício 12.8.

(a) Em torno de $\vec e_z$ por $90{}^{\circ}$: $\cos90{}^{\circ} = 0$, $\vec e_z\cdot\vec e_x = 0$ e $\vec e_z\times\vec e_x = \vec e_y$, logo $\vec e_x$ vai para $\vec e_y$. Depois em torno de $\vec e_x$ por $90{}^{\circ}$: $\vec e_x\cdot\vec e_y = 0$ e $\vec e_x\times\vec e_y = \vec e_z$, logo $\vec e_y$ vai para $\vec e_z$: o ponto termina no polo norte. (b) Em torno de $\vec e_x$ primeiro: $\vec e_x$ está sobre o eixo, $\vec e_x\times\vec e_x = \vec 0$ e $(1 - \cos90{}^{\circ})(\vec e_x\cdot\vec e_x) \vec e_x = \vec e_x$, logo não se move; depois, em torno de $\vec e_z$, vai para $\vec e_y$, a $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ L. (c) Os resultados diferem: rotações finitas não comutam. Reconstruções sucessivas devem ser compostas por multiplicação das matrizes de rotação na ordem certa, nunca somando ângulos ou polos.

Exercício 12.9 ★★

Três placas A, B e C se encontram em uma junção dorsal–dorsal–dorsal. Em relação a A, a placa B se move a $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para leste e a placa C a $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o sul. (a) Desenhe o triângulo de velocidades. (b) Calcule a velocidade e o azimute de C em relação a B. (c) Qual é a direção da dorsal entre B e C se ela se espalha perpendicularmente ao seu eixo?

Solução

Solução de Exercício 12.9.

(a) No espaço de velocidades ponha $a$ na origem, $b$ a $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o leste e $c$ a $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o sul. (b) $\vec v_{CB} = \vec v_{CA} - \vec v_{BA} = (0, -40) - (30, 0) = (-30, -40)$ (componentes leste, norte): $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção ao azimute $\arctan\bigl((-30)/(-40)\bigr) + 180{}^{\circ} = 216.9{}^{\circ}$, sudoeste. (c) A dorsal é perpendicular a essa direção: ela tem direção $216.9{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 126.9{}^{\circ}$, isto é noroeste–sudeste.

Exercício 12.10 ★★★

(a) Mostre que o traço da matriz $R$ de uma rotação de $\alpha$ em torno de um eixo qualquer é $1 + 2\cos\alpha$. (b) A matriz

$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

é ortogonal com determinante $1$. Encontre seu eixo, como latitude e longitude, e seu ângulo. (c) Confira sua resposta aplicando $R$ a $\vec e_x$, $\vec e_y$ e $\vec e_z$.

Solução

Solução de Exercício 12.10.

(a) Na matriz de Rodrigues, a identidade contribui com $3\cos\alpha$, a matriz $\vec n\,\vec n^{\mathsf T}$ com traço $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$, vezes $1 - \cos\alpha$, e a matriz antissimétrica nada: $\operatorname{tr}R = 3\cos\alpha + 1 - \cos\alpha = 1 + 2\cos\alpha$. (b) Aqui $\operatorname{tr}R = 0$, logo $\cos\alpha = -1/2$ e $\alpha = 120{}^{\circ}$. O eixo satisfaz $R\vec n = \vec n$: $R(x, y, z) = (z, x, y)$, logo $x = y = z$ e $\vec n = (1, 1, 1)/\sqrt3$, na latitude $\arcsin(1/\sqrt3) = 35.26{}^{\circ}$ N e longitude $45{}^{\circ}$ L. (c) $R\vec e_x = \vec e_y$, $R\vec e_y = \vec e_z$, $R\vec e_z = \vec e_x$: os três eixos são permutados, como um terço de volta em torno da diagonal. A fórmula de Rodrigues com $\alpha = +120{}^{\circ}$ em torno de $\vec n$ de fato dá $\vec e_x\mapsto -\tfrac12\vec e_x + \tfrac12(1, 1, 1) + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}(0, 1, -1) = (0, 1, 0)$, logo a rotação é anti-horária vista de cima de $35.26{}^{\circ}$ N, $45{}^{\circ}$ L.

Exercício 12.11 ★★★

Antes do posicionamento por satélite, os polos de Euler eram encontrados a partir das direções das falhas transformantes. (a) Mostre que o polo de Euler está sobre o círculo máximo que passa por um ponto de uma falha transformante e é perpendicular à falha ali, e que o polo fica portanto na direção de $\vec t_1\times\vec t_2$, onde $\vec t_1$ e $\vec t_2$ são vetores unitários ao longo de duas falhas transformantes de uma mesma fronteira. (b) As falhas transformantes têm direção de $95{}^{\circ}$ perto da junção tripla dos Açores ($39.44{}^{\circ}$ N, $29.83{}^{\circ}$ W) e de $103{}^{\circ}$ na Islândia ($64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W). O vetor horizontal unitário na latitude $\varphi$ e longitude $\lambda$ apontando para o azimute $\beta$ é $\sin\beta\,\vec e + \cos\beta\,\vec n$, com $\vec e = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)$ e $\vec n = (-\sin\varphi\cos\lambda, -\sin\varphi\sin\lambda, \cos\varphi)$. Localize o polo. (c) Quão bem duas transformantes determinam o polo?

Solução

Solução de Exercício 12.11.

(a) Em uma transformante a velocidade relativa $\vec\omega\times\vec r$ está ao longo da falha, logo paralela a $\vec t$; ela é perpendicular a $\vec\omega$, portanto $\vec t\cdot\vec\omega = 0$. O plano perpendicular a $\vec t$ pelo centro contém $\vec r$ (pois $\vec t$ é horizontal) e $\vec\omega$: ele é o plano do círculo máximo que passa pelo ponto, perpendicular à falha, e o polo está sobre esse círculo. Dois desses planos se encontram ao longo da reta de $\vec t_1\times\vec t_2$. (b) $\vec t_1 = (0.5436, 0.8367, -0.0673)$ na junção e $\vec t_2 = (0.4942, 0.8639, -0.0968)$ na Islândia, logo $\vec t_1\times\vec t_2 = (-0.02285, 0.01936, 0.05612)$, de comprimento $0.06362$. Sua latitude é $\arcsin(0.05612/0.06362) = 61.9{}^{\circ}$ N e sua longitude $180{}^{\circ} - \arctan(0.01936/0.02285) = 139.7{}^{\circ}$ L (componente $x$ negativa): o polo do capítulo. (c) Mal: os dois círculos máximos se cruzam em um ângulo pequeno, pois as direções diferem em apenas $8{}^{\circ}$ ao longo de $26{}^{\circ}$ da fronteira. Mudar qualquer uma das direções em um grau move o polo em cerca de $15{}^{\circ}$. Determinações reais combinam muitas transformantes com taxas de espalhamento, cuja variação ao longo da fronteira fixa a distância angular ao polo.

Exercício 12.12 ★★★

A posição leste de uma estação, a cada três meses durante três anos, é (em milímetros, a partir de $t = 0$):

$t$ (yr)	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
$x$ (mm)	4	5	6	15	24	25	26	65	74	75	76	85	94

É composta de um movimento estacionário, uma oscilação sazonal e um salto causado por um terremoto. (a) Calcule a velocidade a partir das primeiras e últimas posições. (b) Calcule as nove diferenças entre posições separadas exatamente por um ano, e sua mediana. (c) Explique por que a mediana das diferenças de um ano é uma estimativa robusta da velocidade estacionária, e quando ela falharia.

Solução

Solução de Exercício 12.12.

(a) $(94 - 4)/3 = 30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) As diferenças separadas por um ano são $24 - 4 = 20$, $25 - 5 = 20$, $26 - 6 = 20$, $65 - 15 = 50$, $74 - 24 = 50$, $75 - 25 = 50$, $76 - 26 = 50$, $85 - 65 = 20$ e $94 - 74 = 20$ (mm). Ordenadas: cinco valores de 20 e quatro de 50; a mediana é $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Duas posições separadas por um ano estão na mesma fase da oscilação sazonal, que se cancela em sua diferença. Um salto afeta apenas os pares que o atravessam, aqui quatro dos nove; enquanto menos da metade dos pares atravessar um salto, a mediana o ignora; já a estimativa pelos extremos em (a) toma o salto inteiro como movimento e sai $50\,\%$ alta demais. O método falha quando os saltos são tão frequentes que a maioria dos pares de um ano contém um, ou quando a estação se move de modo irregular, por exemplo depois de um grande terremoto.

12.7 Problema: a Islândia se separa

Problema 12.1

Problema de fim de semana — a abertura do Atlântico Norte através da Islândia, medida de três maneiras

A Islândia está sobre a Dorsal Meso-Atlântica, entre a placa norte-americana, a oeste, e a placa euroasiática, a leste. Tome $R = 6371\,\mathrm{km}$ e, para a Eurásia em relação à América do Norte, o vetor de Euler com seu polo em $61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ L e a taxa $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

Parte I — O vetor da placa.

1. Converta a taxa para $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e calcule $\omega R$ em $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.
2. Calcule a distância angular $\Delta$ do polo ao centro da Islândia, $64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W.
3. Deduza a taxa de espalhamento completa através da Islândia prevista pelo vetor da placa.
4. Calcule o azimute do polo visto da Islândia, e o azimute do movimento da Eurásia em relação à América do Norte.
5. Decomponha essa velocidade em suas componentes para leste e para norte.
6. Na dorsal de Gakkel, a $86{}^{\circ}$ N, $60{}^{\circ}$ L, que taxa o mesmo vetor dá? Por que a fronteira ali é tão mais lenta?

Parte II — As listras magnéticas. Um perfil magnético de navio atravessando a dorsal de Reykjanes, a sudoeste da Islândia, perto de $63{}^{\circ}$ N, $23{}^{\circ}$ W, percorrido na direção do espalhamento, dá as seguintes distâncias do eixo a três limites de cron (um perfil construído para este problema):

limite	idade (Ma)	a oeste do eixo (km)	a leste do eixo (km)
base de C1n	0.781	9.7	10.1
borda jovem de C2An	2.581	26.8	27.3
borda jovem de C5n	9.779	94	97

7. A partir da borda jovem de C5n, calcule as duas taxas de espalhamento de metade.
8. Deduza a taxa de espalhamento completa desde $9.8\,\mathrm{Ma}$.
9. Calcule também a taxa completa a partir das duas fronteiras mais jovens. As três concordam? Descreva como elas mudam com a idade do limite.
10. O espalhamento é simétrico? A assimetria muda a taxa completa?
11. Na dorsal de Reykjanes, os limites entre listras são deslocados para longe do eixo em $5.0\,\mathrm{km}$ ao todo, somando os dois flancos. Corrija as três taxas completas. Por que a correção importou mais para o limite mais jovem?
12. Qual é a largura da listra do subcron Jaramillo ($1.072\text{ a }0.988\,\mathrm{Ma}$) em cada flanco, com a taxa de metade corrigida? Compare com o deslocamento da questão 11. A anomalia Jaramillo é, mesmo assim, claramente reconhecida nos perfis da dorsal de Reykjanes, mas está ausente na dorsal de Gakkel: o que isso sugere?
13. O vetor da placa prevê $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ no perfil. Compare com suas taxas corrigidas.

Parte III — Os satélites. As estações permanentes REYK (Reykjavik, $64.139{}^{\circ}$ N, $21.955{}^{\circ}$ W) e STAS (Stavanger, $59.018{}^{\circ}$ N, $5.599{}^{\circ}$ L) estão sobre as placas norte-americana e euroasiática. Suas velocidades medidas fazem a corda entre elas alongar-se em $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

14. Calcule a distância angular entre as duas estações, e o comprimento da corda.
15. Quanto tempo a corda leva para alongar-se um metro?
16. O vetor da placa dá a STAS uma velocidade de $18.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $114.8{}^{\circ}$ em relação à América do Norte. O círculo máximo de REYK chega a STAS seguindo em direção a $123.1{}^{\circ}$. Calcule a componente da velocidade ao longo desta direção, e então o alongamento previsto da corda, que faz o ângulo $\Delta/2$ com a horizontal em STAS.
17. Compare o alongamento medido com o previsto. O que poderia explicar a diferença?
18. Em relação à América do Norte, REYK se move a $1.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o oeste e $0.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o sul, e a estação HOFN (Höfn, sudeste da Islândia) a $21.12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o leste e $6.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o sul. Calcule a velocidade e o azimute de HOFN em relação a REYK.
19. Compare com a Parte I. HOFN também sobe $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Por que as estações dentro da Islândia são uma má medida do movimento da placa?

Parte IV — Dez milhões de anos, e a junção ao sul.

20. Em $10\,\mathrm{Myr}$, de que ângulo a Eurásia gira em torno do polo em relação à América do Norte?
21. A que distância percorre, nesse tempo, um ponto da Eurásia no meio da Islândia ao longo de seu pequeno círculo? Compare com a largura corrigida da crosta formada desde a borda jovem de C5n na Parte II.
22. Na junção tripla dos Açores, os vetores de placa dão à Eurásia $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $95.1{}^{\circ}$ e à Núbia $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $103.8{}^{\circ}$, ambos em relação à América do Norte. Calcule a velocidade da Eurásia em relação à Núbia.
23. Esta junção é estável? Que tipo de fronteira a velocidade da questão 22 implica entre a Eurásia e a Núbia?
24. Reúna as taxas de abertura das Partes I, II e III. Quais concordam, e qual método mede o movimento das placas no menor intervalo de tempo?
25. Com aproximação de um milímetro por ano, que taxa de espalhamento completa através da Islândia dão ao mesmo tempo o vetor da placa e as listras magnéticas corrigidas?

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. $\omega = 0.210\times(\pi/180)/10^{6} = 3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

2. $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ} \cos64.5{}^{\circ}\cos(-157.6{}^{\circ}) = 0.79546 - 0.18809 = 0.60737$, logo $\Delta = 52.60{}^{\circ}$.

3. $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 23.35\times0.7944 = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

4. O numerador é $\sin157.6{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.18011$ e o denominador

$$\cos64.5{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin64.5{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos157.6{}^{\circ} = 0.37940 + 0.39436 = 0.77376;$$

ambos são positivos, logo $\beta = \arctan 0.2328 = 13.1{}^{\circ}$. A Eurásia se move em direção a $13.1{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 103.1{}^{\circ}$.

5. Leste: $18.55\sin103.1{}^{\circ} = 18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; norte: $18.55\cos103.1{}^{\circ} = -4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, isto é $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para o sul.

6. $\cos\Delta = 0.8851$, $\Delta = 27.74{}^{\circ}$, $v = 23.35 \sin27.74{}^{\circ} = 10.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. As duas placas giram em torno de um polo na Sibéria oriental: a dorsal de Gakkel está perto dele, e a velocidade cai com $\sin\Delta$ embora as placas sejam as mesmas.

7. Oeste: $94/9.779 = 9.61\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; leste: $97/9.779 = 9.92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

8. $(94 + 97)/9.779 = 191/9.779 = 19.53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

9. De C2An: $54.1/2.581 = 20.96\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; da base de C1n: $19.8/0.781 = 25.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Elas não concordam: quanto mais jovem o limite, maior a taxa. Uma mudança real de taxa é possível, mas um excesso constante nas distâncias, igual em todas as idades, faria exatamente isso.

10. A razão entre as distâncias oeste e leste é 0.96 para 0.98: o flanco leste cresceu alguns por cento mais. A taxa completa depende apenas da soma das duas distâncias, logo a assimetria não a altera.

11. $(191 - 5.0)/9.779 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(54.1 - 5.0)/2.581 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(19.8 - 5.0)/0.781 = 18.95\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Os três agora concordam dentro de $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Os mesmos $5\,\mathrm{km}$ são um quarto dos $19.8\,\mathrm{km}$ do par mais jovem, mas menos de $3\,\%$ dos $191\,\mathrm{km}$ do mais antigo; limites antigos dão as taxas mais confiáveis.

12. A taxa de metade corrigida é $186/9.779/2 = 9.51\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e $9.51\times0.084 = 0.80\,\mathrm{km}$, um terço dos $2.5\,\mathrm{km}$ de que cada limite é deslocado. Seria de esperar que uma listra tão estreita fosse borrada ao longo do caminho. Que ela seja reconhecida na dorsal de Reykjanes, enquanto está ausente na dorsal de Gakkel, carente de magma, sugere que um suprimento abundante de magma registra o campo fielmente mesmo em listras estreitas.

13. As taxas corrigidas, de 18.95 a $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, concordam com os $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ do vetor da placa; sem a correção elas o excediam em 3 a 33 por cento.

14. $\cos\Delta = \sin64.139{}^{\circ}\sin59.018{}^{\circ} + \cos64.139{}^{\circ}\cos59.018{}^{\circ}\cos27.554{}^{\circ} = 0.97054$, logo $\Delta = 13.94{}^{\circ}$; a corda é $2R\sin(\Delta/2) = 12742\times\sin6.97{}^{\circ} = 1546\,\mathrm{km}$.

15. $1000/17.5 = 57$ anos.

16. As duas direções diferem de $123.1{}^{\circ} - 114.8{}^{\circ} = 8.3{}^{\circ}$: a componente horizontal ao longo do círculo máximo é $18.9\cos8.3{}^{\circ} = 18.70\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e ao longo da corda $18.70\cos6.97{}^{\circ} = 18.56\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, cerca de $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

17. A corda se alonga $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $6\,\%$ menos que os $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ previstos. As duas estações estão longe da fronteira de placas, logo a diferença não é local. Ou as placas se movem um pouco mais devagar hoje do que em média nos últimos três milhões de anos, ou uma das duas estimativas carrega um pequeno erro sistemático; as medidas sozinhas não dizem qual. Um vetor de Euler calculado apenas a partir do posicionamento por satélite prevê $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para esta corda, próximo do valor medido.

18. Leste: $21.12 - (-1.07) = 22.19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; norte: $-6.97 - (-0.97) = -6.00\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Velocidade $\sqrt{22.19^2 + 6.00^2} = 23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, em direção a $180{}^{\circ} - \arctan(22.19/6.00) = 105.1{}^{\circ}$.

19. A direção está próxima dos $103{}^{\circ}$ do vetor da placa, mas a velocidade excede seus $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em um quarto. As duas estações estão dentro da zona onde a fronteira se deforma, e Höfn, perto da maior calota, move-se com o soerguimento da crosta à medida que o gelo afina: para cima em $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e de lado, afastando-se do gelo. As estações dentro da zona de fronteira medem o movimento da placa mais a deformação local.

20. $0.210\times10 = 2.10{}^{\circ}$.

21. O ponto percorre um pequeno círculo de raio $R\sin\Delta$: $6371\times0.7944\times(2.10\times\pi/180) = 185.5\,\mathrm{km}$. A largura corrigida da crosta formada desde a borda jovem de C5n, $186\,\mathrm{km}$ em $9.8\,\mathrm{Myr}$, é quase a mesma: o movimento tem sido estável ao longo de dez milhões de anos.

22. Componentes (leste, norte): Eurásia $(22.9\sin95.1{}^{\circ}, 22.9\cos95.1{}^{\circ}) = (22.81, -2.04)$, Núbia $(19.2\sin103.8{}^{\circ}, 19.2\cos103.8{}^{\circ}) = (18.65, -4.58)$. Eurásia em relação à Núbia: $(4.16, 2.54)$, isto é $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $\arctan(4.16/2.54) = 58.6{}^{\circ}$, lés-nordeste.

23. Uma junção de três dorsais é estável qualquer que sejam as velocidades. A velocidade da questão 22 faz a Eurásia e a Núbia se afastarem, de lés-nordeste a oés-sudoeste: sua fronteira na junção deve abrir-se, lentamente; é o rifte da Terceira, cuja direção lés-sudeste torna a abertura oblíqua.

24. Parte I: $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ no centro da Islândia ($19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ no perfil da Parte II). Parte II: 18.95 a $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ depois de corrigido. Parte III: a corda Reykjavik–Stavanger alonga-se $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, enquanto o vetor da placa prevê $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; o par dentro da Islândia dá $23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, o que não é o movimento da placa. O vetor da placa e as listras concordam; os satélites diferem em $6\,\%$. As listras são médias sobre até dez milhões de anos, o vetor da placa sobre $3.16\,\mathrm{Myr}$; os satélites medem o movimento dos últimos vinte a trinta anos.

25. O vetor da placa dá $18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ através da Islândia, e as listras corrigidas $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ao lado: com aproximação de um milímetro por ano, a taxa de espalhamento completa através da Islândia é $19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.