15Pontos quentes e vulcanismo intraplaca

Em janeiro de 1983, e por décadas depois, o Kilauea, na ilha do Havaí, entrou em erupção quase sem interrupção por uma abertura em sua zona de rifte leste, Pu‘u ‘O‘o, lançando cerca de $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ de lava por ano. O Kilauea está no meio da placa do Pacífico, a milhares de quilômetros de qualquer dorsal ou fossa. A noroeste, as ilhas havaianas são cada vez mais antigas, até afundarem abaixo do mar, e a cadeia segue como uma linha de vulcões submersos por milhares de quilômetros adiante. A tectônica de placas explica os vulcões nas bordas das placas; este capítulo trata daqueles que ela não explica diretamente, os pontos quentes, e do que eles nos revelam em troca: como as placas se movem sobre o manto profundo, quanto calor e rocha sobem de baixo, e como se formaram algumas enormes extrusões de lava, as grandes províncias ígneas.

O que você já sabe

Um ponto quente alimenta vulcões a partir do manto profundo enquanto a placa se move sobre ele, e a placa carrega consigo uma trilha de pontos quentes cujos vulcões são mais antigos quanto mais distantes estão (Livro 1, 7º ano; Livro 2, 11º ano). Uma placa que gira com o vetor de Euler $\vec\omega$ move-se com $\vec v = \vec\omega\times\vec r$, à velocidade $\omega R\sin\Delta$, perpendicular ao grande círculo que a une ao polo (Capítulo 12); a topografia é sustentada pela isostasia (Capítulo 11); a rocha quente é mais leve pela fração $\alpha\,\Delta T$ (Capítulo 13).

15.1 Pontos quentes e plumas do manto

Definição 15.1 (Ponto quente)

Um ponto quente é uma região de vulcanismo cuja posição não depende dos limites das placas, ativa por dezenas de milhões de anos, e que se acredita ser alimentada por manto mais quente que o manto ao redor.

Quantos pontos quentes existem depende do que se conta. A tabela de pontos quentes usada neste capítulo lista 68 deles, mas seus autores deixam de fora várias feições que julgam não registrar o movimento de uma placa, e classificam como prováveis alguns dos que mantêm. Alguns pontos quentes, entre eles Havaí, Islândia e Reunião, têm trilhas longas e regulares e uma produção grande, como se espera de uma fonte profunda; outros são pequenos e de vida curta. A maioria dos vulcões de ponto quente emite basalto; onde um ponto quente está sob um continente, o basalto quente funde a crosta, e as grandes erupções tornam-se riolíticas, como em Yellowstone.

Definição 15.2 (Pluma do manto)

Uma pluma do manto é uma coluna de rocha do manto quente e flutuante que sobe de uma camada limite térmica no fundo do manto. Uma pluma nova tem uma cabeça grande e bulbosa sobre uma cauda longa e estreita, ou conduto; depois que a cabeça se espalha sob a litosfera, a cauda continua a alimentar fusão até a superfície por dezenas de milhões de anos.

A forma vem do laboratório. Em experimentos em tanques da década de 1970, uma camada de fluido leve e menos viscoso que o fluido acima subia como uma bolha redonda, alimentada por um tubo atrás dela: um cogumelo. A cabeça de uma pluma do manto que chega à base da litosfera se espalha e se achata; a pressão cai, e a rocha quente funde em grandes quantidades. Os basaltos de inundação encaixam-se nesse quadro: seu vulcanismo dura cerca de dez milhões de anos, mas a maior parte do volume é extrudada em cerca de um milhão de anos ou menos, e eles costumam acompanhar a ruptura de um continente (Seção 15.4).

Qual é a evidência das plumas? Primeiro, as próprias cadeias com progressão de idade, que uma fonte estreita fixa sob uma placa em movimento explica de imediato (Seção 15.2). Segundo, as lavas de alguns pontos quentes têm razões incomumente altas entre o isótopo leve e o pesado do hélio, lidas como assinatura de um reservatório profundo que guardou parte do gás com que a Terra foi formada. Terceiro, as fontes são quentes: as lavas de ilhas oceânicas e de platôs apontam para um manto 200 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mais quente que o manto sob as dorsais, cujo potencial de temperatura fica entre 1280 e $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Quarto, imagens sísmicas do manto: sob o Havaí, uma rede de sismômetros no fundo do mar e nas ilhas registrou uma coluna quente que desce até o manto inferior, e um modelo de todo o manto construído em 2015 a partir de formas de onda sísmicas completas mostra colunas amplas e quase verticais sob muitos dos grandes pontos quentes, que sobem da fronteira núcleo–manto até cerca de $1000\,\mathrm{km}$ abaixo da superfície; sob o Havaí, a Islândia e Samoa, elas estão enraizadas em manchas de velocidade sísmica muito baixa na base do manto. Como essas imagens são feitas pertence ao Livro 5.

Nada disso é uma prova, e o debate segue vivo. Na hipótese das placas, defendida por Gillian Foulger e James Natland, entre outros, o vulcanismo de ponto quente não é especialmente quente e não precisa de pluma profunda: é um subproduto da tectônica de placas, alimentado por fontes rasas onde a litosfera está distendida ou fraturada. Seus opositores sustentam que a evidência de pelo menos algumas plumas profundas é forte, embora as imagens sísmicas ainda não sejam nítidas o bastante para resolver a questão; e os pontos quentes, como a próxima seção mostra, não estão bem fixos.

15.2 Trilhas de pontos quentes e o movimento das placas

Definição 15.3 (Trilha de ponto quente; progressão de idade)

Uma trilha de ponto quente é a linha de vulcões, montes submarinos e cristas vulcânicas que uma placa carrega para longe de um ponto quente à medida que se move sobre ele. Sua progressão de idade é o aumento regular das idades de seus vulcões com a distância ao vulcão ativo. O rumo de uma trilha junto ao ponto quente é o azimute, medido a partir do norte, em direção ao qual sua parte jovem se afasta do ponto quente.

Se os pontos quentes permanecem fixos no manto profundo, uma trilha registra o movimento da placa sobre o manto profundo: seu rumo é o da velocidade da placa no ponto quente, e sua progressão de idade dá a velocidade. O Livro 2, 11º ano, leu a velocidade da placa do Pacífico a partir das idades dos vulcões havaianos. Os rumos sozinhos já dizem mais: dão o polo de Euler.

Proposição 15.4 (O polo de Euler a partir de duas trilhas)

Seja uma placa rígida que se move sobre dois pontos quentes fixos, nas posições $\vec r_1$ e $\vec r_2$, e sejam $\vec t_1$ e $\vec t_2$ os vetores unitários horizontais ao longo de suas trilhas. Se $\vec t_1$ e $\vec t_2$ não forem paralelos, o vetor de Euler da placa em relação aos pontos quentes é paralelo a $\vec t_1\times\vec t_2$, e seu polo é o vetor unitário

$$\vec p = \pm\frac{\vec t_1\times\vec t_2}{\lVert\vec t_1\times\vec t_2\rVert},$$

com o sinal para o qual $(\vec p\times\vec r_1)\cdot\vec t_1 > 0$.

Para aplicar a proposição, é preciso ter, em um ponto de latitude $\varphi$ e longitude $\lambda$, os vetores unitários que apontam para leste e para norte,

nos eixos da Capítulo 12 ($x$ em direção a $0{}^{\circ}$ N $0{}^{\circ}$ L, $y$ em direção a $0{}^{\circ}$ N $90{}^{\circ}$ L, $z$ em direção ao polo norte). Uma trilha de azimute $\theta$ segue ao longo de $\vec t = \sin\theta\,\vec e + \cos\theta\,\vec n$. Com a trilha havaiana, azimute $304{}^{\circ}$, e a trilha de Louisville, azimute $316{}^{\circ}$, a proposição põe o polo da placa do Pacífico em $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ L (o problema de fim de semana faz o cálculo).

Duas trilhas determinam o polo, mas não o testam. Muitas trilhas o sobredeterminam, e o desajuste diz se os pontos quentes se comportam como um referencial fixo. W. Jason Morgan, que propôs as plumas profundas, e Jason Phipps Morgan compilaram em 2007 uma tabela de 68 pontos quentes, com, onde puderam ser medidos, o rumo da trilha e a velocidade da placa sobre o ponto quente, cada um com sua incerteza e um peso para sua confiabilidade; um ponto quente sob duas placas, como a Islândia, tem uma linha para cada. Quinze trilhas ponderadas estão sobre a placa do Pacífico, treze delas com uma velocidade.

Método 15.5 (Ajuste de um polo de Euler e de uma taxa a partir de trilhas de pontos quentes)

Dados, para $N$ pontos quentes de uma mesma placa, as posições, os rumos das trilhas $\theta_i \pm \sigma_i$ com pesos $w_i$, e, para alguns deles, as velocidades $v_i$:

1. Para um polo de teste $\vec p$, calcule em cada ponto quente a direção de $\vec p\times\vec r_i$, o azimute $\hat\theta_i$ do movimento que ele prevê (Proposição 12.5).
2. Forme o desajuste $S(\vec p) = \sum_i w_i\bigl((\hat\theta_i - \theta_i)/\sigma_i\bigr)^2$, cada diferença trazida ao intervalo entre $-180{}^{\circ}$ e $180{}^{\circ}$.
3. Procure o polo que minimiza $S$: em uma malha de toda a esfera e, depois, em uma malha mais fina ao redor do melhor ponto.

4. Com o polo encontrado, calcule para cada ponto quente com velocidade sua distância angular $\Delta_i$ ao polo e $x_i = R\sin\Delta_i$. As velocidades devem ser $v_i = \omega x_i$: a taxa de mínimos quadrados é

   $$\omega = \frac{\sum_i x_i v_i}{\sum_i x_i^2},$$

   pois $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\sum_i (v_i - \omega x_i)^2 = -2\sum_i x_i(v_i - \omega x_i)$ se anula ali.

5. Julgue o ajuste: se os pontos quentes fossem fixos e as incertezas honestas, $S$ estaria próximo do número de rumos menos dois (as duas coordenadas do polo ajustado).

Para as quinze trilhas do Pacífico, o método dá o polo $63.8{}^{\circ}$ S, $112.5{}^{\circ}$ L, a cerca de $10{}^{\circ}$ do polo de duas trilhas, e, a partir das treze velocidades, a taxa $\omega = 0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. No Havaí, a $108.0{}^{\circ}$ do polo, o ajuste prevê um movimento em direção a $298{}^{\circ}$ a $97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; Morgan e Morgan dão $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ e $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. O desajuste $S$ é 39, onde pontos quentes fixos com incertezas honestas dariam cerca de 13, e as velocidades se dispersam em torno da reta por $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ (média quadrática): os pontos quentes do Pacífico formam um referencial bom a poucos graus e a poucos centímetros por ano, não melhor.

A prova mais conhecida do referencial fixo é a curvatura da cadeia Havaí–Imperador. O braço havaiano corre para noroeste; os montes submarinos do Imperador correm quase para o norte, até o Meiji Guyot, com mais de 81 milhões de anos, que está prestes a afundar na junção das fossas de Kuril–Kamchatka e das Aleutas. Essa curvatura foi uma mudança no movimento da placa? O magnetismo das lavas do Imperador, medido em testemunhos perfurados nos montes submarinos, registra a latitude em que cada uma esfriou (o método pertence ao Livro 5): elas se formaram mais ao norte do que o Havaí está hoje, e entre 81 e 47 milhões de anos atrás o próprio ponto quente se deslocou para o sul a mais de $40\,\mathrm{mm}$ por ano. Grande parte da cadeia do Imperador registra o ponto quente, não a placa. Ainda assim, a placa também mudou: idades recentes situam o início da curvatura perto do monte submarino Kimmei, cerca de 50 milhões de anos atrás, quando as dorsais de espalhamento do Pacífico foram realinhadas. A pluma pode até ser mais antiga que a cadeia: pensa-se que a cabeça que a alimentou inicialmente formou um platô cerca de 100 milhões de anos atrás, o qual afundou numa fossa entre 20 e 30 milhões de anos atrás e hoje jaz a cerca de $810\,\mathrm{km}$ de profundidade sob a Sibéria, a oeste do Mar de Okhotsk.

Trilhas de pontos quentes também atravessam continentes. Quando a placa norte-americana se moveu para sudoeste sobre o ponto quente de Yellowstone, formou-se uma cadeia de grandes caldeiras, cada vez mais antigas em direção ao sudoeste ao longo da Planície do Rio Snake. Na sua extremidade distante, na fronteira de Nevada e Oregon, a caldeira McDermitt, com cerca de $40\,\mathrm{km}$ de largura, colapsou há 16.4 milhões de anos numa erupção de cerca de $1000\,\mathrm{km}^{3}$. Em Yellowstone, a primeira de três erupções formadoras de caldeira, há 2.1 milhões de anos, liberou cerca de $2400\,\mathrm{km}^{3}$ de magma e deixou uma caldeira com mais de $100\,\mathrm{km}$ de largura; a última, há 640 000 anos, formou a atual Caldeira de Yellowstone, de $55\,\mathrm{km}$ por 80. Desde 10 milhões de anos atrás, o início das erupções das caldeiras deslocou-se para nordeste à velocidade de $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ por ano, e Morgan e Morgan dão à placa uma velocidade de $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ sobre o ponto quente, em direção a $235{}^{\circ}$; as caldeiras mais antigas, como mostra o Exercício 15.8, moviam-se mais depressa.

15.3 Elevações, flutuabilidade e o suprimento de magma

O Havaí não se ergue sobre um fundo oceânico comum. Em 1953, Robert Dietz e William Menard descreveram a ampla elevação do fundo do mar sobre a qual repousam as ilhas, a elevação havaiana. A elevação não é compensada por crosta espessa: ela é sustentada por baixo pela rocha quente e leve da pluma à medida que esta se espalha sob a placa, um suporte dinâmico. Sobre a elevação, o fluxo de calor na superfície é no máximo de 5 a $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ superior ao das redondezas, e talvez nem seja superior.

Ela pode ser lida na grade global de profundidades. Tracem-se seções transversais à trilha, perpendiculares ao seu rumo, a cada $50\,\mathrm{km}$ desde o ponto quente até $1000\,\mathrm{km}$ a jusante; a cada distância do eixo da cadeia, a mediana das profundidades nessas seções dá um perfil que mantém a elevação e suaviza os vulcões isolados (a figura após a próxima proposição). Longe da cadeia, de 1000 a $1500\,\mathrm{km}$ de cada lado, o fundo fica a $5274\,\mathrm{m}$. Perto dela, ilhas e montes submarinos se erguem até $3\,\mathrm{km}$ acima; substitua-os por uma reta sobre os $300\,\mathrm{km}$ da cadeia, e o que resta é a elevação: cerca de $690\,\mathrm{m}$ de altura no máximo, algumas centenas de quilômetros de largura de cada lado, com uma seção transversal de $A \approx 4.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ acima do fundo distante.

A elevação mede a pluma. Ela é carregada com a placa e refeita sobre o ponto quente, de modo que a pluma deve fornecer flutuabilidade tão depressa quanto a placa a leva embora.

Proposição 15.6 (Fluxo de flutuabilidade de uma pluma)

Seja uma placa que se move com velocidade $v$ sobre um ponto quente, e seja a elevação em torno da trilha de seção transversal $A$ acima do fundo distante dela, estando a elevação em equilíbrio isostático (Definição 11.3) e sustentada por rocha leve transportada junto com a placa. Então a pluma fornece um déficit de massa, seu fluxo de flutuabilidade, à taxa

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,v ,$$

onde $\rho_m$ é a densidade do manto e $\rho_w$ a da água do mar.

Um fluxo de flutuabilidade é um fluxo de massa faltante: ele conta com que rapidez a pluma traz rocha leve para cima. O que torna a rocha leve é o calor, de modo que o fluxo de flutuabilidade é também um fluxo de calor.

Proposição 15.7 (Calor carregado por uma pluma)

Se a rocha de uma pluma está $\Delta T$ mais quente que o manto ao redor, com coeficiente de expansão térmica $\alpha$ e calor específico $c_p$, sua flutuabilidade $B$ e o calor em excesso que ela carrega, $Q$, satisfazem

$$Q = \frac{c_p}{\alpha}\,B ,$$

qualquer que seja $\Delta T$.

Para o Havaí, com $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $A = 4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ e $v = 92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$,

a pluma traz à superfície cerca de três toneladas de massa faltante por segundo. As rochas armazenam de 2 a $3\,\mathrm{MJ}$ por metro cúbico e por kelvin; com $3\,\mathrm{MJ}$ por metro cúbico e por kelvin para o manto, de densidade $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, tem $c_p \approx 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$; com $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$,

$0.2\,\%$ dos $47\,\mathrm{TW}$ que deixam a Terra inteira. A pluma mais forte da Terra é um item pequeno no balanço de calor do planeta (Capítulo 10); a maior parte do calor sai pelo fundo do mar formado nas dorsais.

O magma conta a mesma história. Desde 81 milhões de anos atrás, o ponto quente construiu a cadeia Havaí–Imperador, cerca de dois milhões de quilômetros cúbicos de basalto, depois de contado o afundamento da placa sob sua carga, uma média de $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ por ano; mas cerca de um quarto dele foi erupcionado nos últimos seis milhões de anos, e só o Kilauea é hoje alimentado com cerca de $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ de magma por ano. O Mauna Loa, o maior vulcão das ilhas, contém cerca de $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$, e o Mauna Kea, seu vizinho, ergue-se a $4205\,\mathrm{m}$ acima do mar. Ainda assim, as dorsais produzem cerca de $21\,\mathrm{km}^{3}$ de crosta oceânica por ano, duzentas vezes o suprimento atual do Kilauea.

História — Um referencial fixo para as placas

Em 1963, John Tuzo Wilson explicou as ilhas havaianas, cada vez mais antigas ao longo de uma linha, por uma fonte de lava mantida no núcleo lento de uma célula de convecção do manto, enquanto a parte superior, mais rápida, da célula levava o fundo do mar sobre ela. Em 1971 e 1972, W. Jason Morgan fez dessa fonte uma pluma, de cerca de $150\,\mathrm{km}$ de largura, subindo da parte mais baixa do manto e, portanto, quase fixa enquanto as placas se movem sobre ela; experimentos em tanques logo mostraram como tal pluma se parece. Os pontos quentes tornaram-se um referencial no qual as placas podiam ser medidas contra o manto, e não apenas umas contra as outras. Meio século depois, sabe-se que o referencial deriva, o ponto quente do Havaí entre outros, mas devagar o bastante para que as trilhas do Pacífico ainda deem o movimento da placa sobre o manto com precisão de poucos graus e de poucos centímetros por ano, como mostrou o ajuste deste capítulo.

15.4 Grandes províncias ígneas

Definição 15.8 (Grande província ígnea)

Uma grande província ígnea (LIP) é um acúmulo de rocha ígnea, sobretudo basalto, que não se forma por espalhamento comum em uma dorsal, cobre mais de $10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$, contém mais de $10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$ e foi colocada em no máximo cerca de 50 milhões de anos, a maior parte em pulsos de 1 a 5 milhões de anos que carregam mais de três quartos de seu volume. Em terra, as LIPs são em geral basaltos de inundação; nos oceanos, platôs oceânicos.

Uma LIP típica cobre cerca de um milhão de quilômetros quadrados e contém cerca de um milhão de quilômetros cúbicos de lava, a maior parte erupcionada em cerca de um milhão de anos ou menos. Suas lavas estão empilhadas em fluxos quase planos, que a erosão corta em degraus, as armadilhas de seus nomes. A tabela lista as principais das últimas 260 milhões de anos.

província	idade (Ma)	área ($\mathrm{Mkm}^{2}$)	volume inicial ($\mathrm{Mkm}^{3}$)
Columbia River	16	0.2	0.2
Etiópia–Iêmen	30	0.7	1.2
Atlântico Norte	61 e 56	1.2	mais de 2
Decão	65.5	0.5 (outrora 1.8)	2 a 4
Ontong Java	122 e 90	2	44 (crosta inteira)
Paraná–Etendeka	133	1.5 (outrora mais de 2)	mais de 2.3
Karoo–Ferrar	183	3.1	mais de 2.5
Atlântico Central (CAMP)	201	outrora até 7	mais de 2
Armadilhas Siberianas	250	0.4 (outrora mais de 4)	mais de 3
Emeishan	259	0.5 (outrora 2 a 5)	mais de 1

O modelo de pluma esboçado em Seção 15.1 explica tanto o tamanho quanto a pressa: uma cabeça de pluma de centenas de quilômetros de largura alcança a base da litosfera, descomprime e funde, e inunda a superfície; em seguida a cauda continua a construir uma trilha de ponto quente comum. Várias províncias são consideradas o extremo antigo de uma trilha ainda viva: as Armadilhas do Decão e o ponto quente da Reunião, o Paraná–Etendeka e Tristão da Cunha, ligados pela Cordilheira de Walvis, e os basaltos do Rio Columbia e Yellowstone.

As Armadilhas do Decão, no centro-oeste da Índia, são uma pilha de fluxos de lava com cerca de $2500\,\mathrm{m}$ de espessura, dos quais pelo menos $1800\,\mathrm{m}$ foram erupcionados perto de 65.5 milhões de anos atrás, em muito menos de um milhão de anos; hoje cobrem cerca de $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, talvez $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ antes da erosão. O Platô Ontong Java, no sudoeste do Pacífico, é o maior de todos os platôs oceânicos: cobre cerca de $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, e sua crosta, com cerca de $36\,\mathrm{km}$ de espessura, contém cerca de $44\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de rocha ígnea. Os platôs de Manihiki e Hikurangi, hoje distantes dele pelo fundo do mar mais jovem, podem ter se formado com ele como um único platô. A Província Magmática do Atlântico Central, erupcionada cerca de 201 milhões de anos atrás, quando o Atlântico começou a abrir-se, está hoje espalhada, como lavas, diques e soleiras, por quatro continentes: o leste da América do Norte, o nordeste da América do Sul, a África Ocidental e o sudoeste da Europa; pode ter coberto até $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$.

Várias províncias coincidem no tempo com as grandes extinções em massa que a biologia descreve: as Armadilhas Siberianas com a maior de todas, no fim do Permiano; a província do Atlântico Central com o fim do Triássico; as Karoo–Ferrar com uma extinção no Jurássico Inferior; a Emeishan com uma no Permiano Médio; e as Armadilhas do Decão com o fim do Cretáceo. As quatro maiores extinções dos últimos 260 milhões de anos caem, tão de perto quanto as datas permitem dizer, em uma dessas províncias, e uma ligação causal é tida como a mais provável. Os mecanismos propostos são atmosféricos: aerossóis de sulfato que resfriam o clima por um curto tempo, dióxido de carbono que o aquece por muito mais tempo, e oceanos privados de oxigênio. No caso do fim do Cretáceo, as erupções do Decão começaram antes do impacto de Chicxulub e continuaram depois dele; uma revisão dos registros do limite concluiu em 2010 que o impacto desencadeou a extinção.

Nem todo vulcanismo longe dos limites das placas precisa de pluma. Pequenos campos vulcânicos crescem onde uma placa é distendida ou fraturada, e as cadeias sem uma progressão de idade clara podem ser alimentadas pelo manto superior; esse é o modelo da hipótese das placas em ação. O que as ilhas oceânicas se tornam depois que o ponto quente as deixou, à medida que afundam, se desgastam e formam recifes, pertence ao Livro 4.

15.5 Exercícios

Exercício 15.1 ★

(a) O Mauna Kea se ergue $4205\,\mathrm{m}$ acima do nível do mar, e o fundo do mar longe da cadeia havaiana fica a $5274\,\mathrm{m}$ de profundidade. Calcule quanto o vulcão se eleva acima desse fundo. Explique por que sua altura real, medida a partir da base, é ainda maior. (b) O Mauna Loa contém cerca de $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$. Quanto tempo levaria para construí-lo com o suprimento atual do Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ por ano, e com a taxa média de toda a cadeia, $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ por ano? (c) A erupção do Pu‘u ‘O‘o lançou cerca de $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ por ano de 1983 a 2002. Qual é esse volume, e que fração do Mauna Loa ele representa?

Solução

Solução de Exercício 15.1.

(a) $4205 + 5274 = 9479\,\mathrm{m}$, quase $9.5\,\mathrm{km}$. O vulcão é mais pesado que a água que substitui: a placa dobra para baixo sob sua carga, de modo que sua base fica mais profunda que o fundo distante, e sua altura real é maior. (b) $74000/0.1 = 740\,000$ anos com o suprimento do Kilauea; $74000/0.025 = 3.0 \times 10^{6}$ anos à taxa média da cadeia. (c) $0.12\times19 = 2.3\,\mathrm{km}^{3}$, cerca de $3 \times 10^{-5}$ do Mauna Loa: três milésimos de um por cento.

Exercício 15.2 ★

Uma placa gira sobre os pontos quentes a $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Tome $R = 6371\,\mathrm{km}$. (a) Exprima $\omega$ em radianos por milhão de anos. (b) Calcule a velocidade, em $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dos pontos quentes a $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ e $108.0{}^{\circ}$ do polo. (c) Por que a velocidade do Havaí, a $108.0{}^{\circ}$, é menor que a de $90{}^{\circ}$?

Solução

Solução de Exercício 15.2.

(a) $0.92\times\pi/180 = 0.0161\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. (b) Em radianos por milhão de anos vezes quilômetros, $\omega R\sin\Delta$ é em quilômetros por milhão de anos, isto é, milímetros por ano: $0.016057\times6371 = 102.3$, logo $v = 102.3\sin\Delta$, o que dá $51.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $30{}^{\circ}$, $88.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $60{}^{\circ}$, $102.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $90{}^{\circ}$ e $97.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $108.0{}^{\circ}$. (c) A velocidade é proporcional à distância $R\sin\Delta$ ao eixo, maior sobre o grande círculo a $90{}^{\circ}$ do polo; além dele o ponto se aproxima do eixo de novo, do lado do polo oposto.

Exercício 15.3 ★

(a) Calcule a espessura média das Armadilhas do Decão como são hoje, $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ sobre $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, e da província do Atlântico Central, $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ sobre $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (b) Compare com a espessura da seção do Decão, $2500\,\mathrm{m}$. (c) Por que a espessura média da província do Atlântico Central diz pouco sobre a espessura de suas pilhas de lava?

Solução

Solução de Exercício 15.3.

(a) Decão: $10^{6}/5 \times 10^{5} = 2\,\mathrm{km}$. Atlântico Central: $2 \times 10^{6}/7 \times 10^{6} = 0.29\,\mathrm{km}$, cerca de $290\,\mathrm{m}$. (b) A média do Decão fica perto de sua seção de $2.5\,\mathrm{km}$: a província é um platô espesso e contínuo. (c) A área do Atlântico Central é a de toda a região, em quatro continentes, sobre a qual seus restos são encontrados: lavas, diques e soleiras hoje separados por um oceano e muito erodidos. A rocha se concentra em alguns lugares e está ausente da maior parte da área, de modo que a média não diz nada sobre uma única pilha.

Exercício 15.4 ★

Uma rocha de pluma $250\,\mathrm{K}$ mais quente que o manto ao redor tem $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Em quanto ela é mais leve, em $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$? (b) Que espessura dessa rocha, espalhada sob a placa, sustentaria isostaticamente uma elevação de $690\,\mathrm{m}$ de altura sob o mar ($\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)?

Solução

Solução de Exercício 15.4.

(a) $\rho_m\alpha\,\Delta T = 3300\times3.2 \times 10^{-5}\times250 = 26.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) A coluna da elevação tem a massa extra $(\rho_m - \rho_w)h = 2300\times690 = 1.587 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, que a camada leve deve equilibrar: $H = 1.587 \times 10^{6}/26.4 = 6.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, cerca de $60\,\mathrm{km}$ de rocha quente.

Exercício 15.5 ★★

Dois pontos quentes estão sobre o equador, A em $0{}^{\circ}$ L e B em $90{}^{\circ}$ L, e ambas as trilhas seguem exatamente para o oeste (azimute $270{}^{\circ}$). (a) Calcule os vetores das trilhas $\vec t_A$ e $\vec t_B$. (b) Calcule $\vec t_A\times\vec t_B$. (c) Aplique a regra de sinal de Proposição 15.4: onde está o polo de Euler? Explique o resultado sem cálculo. (d) Se A se move a $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, qual é $\omega$ em graus por milhão de anos?

Solução

Solução de Exercício 15.5.

(a) Em A ($\lambda = 0$, $\varphi = 0$), $\vec e = (0, 1, 0)$ e $\vec n = (0, 0, 1)$; com $\sin270{}^{\circ} = -1$ e $\cos270{}^{\circ} = 0$, $\vec t_A = -\vec e = (0, -1, 0)$. Em B ($\lambda = 90{}^{\circ}$), $\vec e = (-1, 0, 0)$, $\vec n = (0, 0, 1)$ e $\vec t_B = (1, 0, 0)$. (b) $\vec t_A\times\vec t_B = (0, 0, 1)$. (c) Com $\vec p' = (0, 0, 1)$ e $\vec r_A = (1, 0, 0)$, $\vec p'\times\vec r_A = (0, 1, 0)$, e $(\vec p'\times\vec r_A)\cdot\vec t_A = -1 < 0$: o polo é $-\vec p' = (0, 0, -1)$, o polo Sul. Um movimento para oeste ao longo do equador é horário visto de acima do polo Norte, logo anti-horário visto de acima do polo Sul. (d) A $90{}^{\circ}$ do polo, $\omega = 50/6371 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 0.45{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

Exercício 15.6 ★★

Três pontos quentes de uma mesma placa estão às distâncias $x = R\sin\Delta = 3000$, 5000 e $6000\,\mathrm{km}$ do eixo de rotação, e se movem a 30, 48 e $57\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Ajuste $v = \omega x$ pelos mínimos quadrados e dê $\omega$ em radianos e em graus por milhão de anos. (b) Calcule os resíduos. (c) Por que a reta deve passar pela origem?

Solução

Solução de Exercício 15.6.

(a) $\sum x_i v_i = 90000 + 240000 + 342000 = 672\,000$ e $\sum x_i^2 = 7.0 \times 10^{7}$, logo $\omega = 0.0096\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, ou $0.55{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) As previsões são 28.8, 48.0 e $57.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; os resíduos $+1.2$, $0.0$ e $-0.6$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Numa rotação rígida a velocidade é proporcional à distância ao eixo, e um ponto sobre o eixo não se move: não há intercepto a ajustar.

Exercício 15.7 ★★

Uma elevação de seção transversal $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ envolve uma trilha de ponto quente sobre uma placa que se move a $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Tome $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. (a) Calcule seu fluxo de flutuabilidade e seu fluxo de calor. (b) Compare com o do Havaí, $3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Dois pontos quentes têm a mesma elevação; um deles está sob uma placa que se move duas vezes mais depressa. Qual pluma é mais forte?

Solução

Solução de Exercício 15.7.

(a) $v = 50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 1.58 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, logo $B = 2300\times3 \times 10^{8}\times1.58 \times 10^{-9} = 1090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times1090 = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$. (b) Um terço do fluxo havaiano. (c) $B$ cresce com $A\,v$: a pluma sob a placa mais rápida deve refazer a mesma elevação duas vezes mais depressa, e seu fluxo é duas vezes maior.

Exercício 15.8 ★★

Ao longo da trilha de Yellowstone, as erupções de caldeira começaram no campo vulcânico McDermitt há 16.1 milhões de anos e no campo de Picabo, a cerca de $350\,\mathrm{km}$ para nordeste, há 10.3 milhões de anos; desde então elas se deslocam à velocidade de $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ por ano, em direção a N $54{}^{\circ}$ L. (a) Com que velocidade média o vulcanismo migrou de McDermitt para Picabo? (b) Compare as duas velocidades com a da placa sobre o ponto quente, $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $235{}^{\circ}$. (c) O rumo da trilha jovem é o esperado? (d) A parte mais antiga da trilha situa-se em uma região que foi distendida à medida que o vulcanismo passava. Como isso pode explicar a diferença?

Solução

Solução de Exercício 15.8.

(a) $350/(16.1 - 10.3) = 350/5.8 = 60\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, isto é, $60\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) A trilha jovem, $(29 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, concorda com os $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ da placa dentro das incertezas; a parte antiga foi mais de duas vezes mais rápida, $60 - 26 = 34$, quase sete incertezas-padrão da velocidade da placa. (c) Sim: N $54{}^{\circ}$ L é o azimute $54{}^{\circ}$, oposto a $235{}^{\circ}$ dentro de um grau. O vulcanismo se move sobre a placa no sentido oposto ao da placa sobre o ponto quente. (d) A distensão afastou as caldeiras mais antigas umas das outras, aumentando as distâncias entre elas e, portanto, a velocidade aparente; a própria placa não foi mais rápida.

Exercício 15.9 ★★

A pluma havaiana carrega cerca de $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$ de calor em excesso. (a) Se tudo isso saísse pelos $1000\,\mathrm{km}$ por $1000\,\mathrm{km}$ de fundo do mar mais próximos do ponto quente, de quanto subiria ali o fluxo de calor? (b) Compare com o excesso observado, de no máximo 5 a $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) Quanto tempo leva o calor para se difundir por uma placa de $100\,\mathrm{km}$ de espessura ($\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$)? Quanto tempo a placa leva para atravessar $1000\,\mathrm{km}$ a $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? Conclua.

Solução

Solução de Exercício 15.9.

(a) $9.2 \times 10^{10}/10^{12} = 0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Nove a dezoito vezes o excesso observado, que pode até ser nulo. (c) $L^2/\kappa = 10^{10}/10^{-6} = 10^{16}\,\mathrm{s}$, cerca de $320\,\mathrm{Myr}$; a placa atravessa $1000\,\mathrm{km}$ em $1000/92 = 11\,\mathrm{Myr}$. O calor vindo de baixo teve tempo de atravessar apenas uma pequena parte da placa enquanto ela está sobre a elevação: a maior parte do calor da pluma permanece no manto sob a placa e é levada embora com ela, e a superfície sente pouco dele.

Exercício 15.10 ★★★

As Armadilhas do Decão contêm cerca de $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ de lava. Suponha que ela veio de uma cabeça de pluma esférica, da qual um décimo fundiu. (a) Qual eram o volume e o raio da cabeça? (b) Achatada sob a litosfera em um disco de $100\,\mathrm{km}$ de espessura, que diâmetro teria a cabeça? Compare sua área com a área que as Armadilhas podem ter coberto, $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (c) Se a lava foi erupcionada em um milhão de anos, compare sua taxa com o suprimento atual do Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ por ano. (d) Por que uma cabeça de pluma deve ser grande, enquanto a cauda que a segue é estreita?

Solução

Solução de Exercício 15.10.

(a) Dez vezes a fusão, $10^{7}\,\mathrm{km}^{3}$, de raio $(3V/4\pi)^{1/3} = 134\,\mathrm{km}$. (b) $10^{7}/100 = 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$, um disco de $2\sqrt{10^{5}/\pi} = 357\,\mathrm{km}$ de diâmetro: dezoito vezes menor em área que as Armadilhas. A cabeça era maior ou fundiu menos, ou se espalhou mais larga e mais fina, ou as lavas escoaram muito além dela. (c) $1\,\mathrm{km}^{3}$ por ano, dez vezes o suprimento atual do Kilauea. (d) Uma pluma nova deve reunir rocha quente e leve suficiente para abrir caminho para cima pelo manto viscoso, e um grande volume sobe muito mais depressa que um pequeno; a cauda que a segue sobe pelo caminho quente e fraco que a cabeça abriu, e um conduto estreito basta.

Exercício 15.11 ★★★

Entre 81 e 47 milhões de anos atrás, o ponto quente havaiano se deslocou para o sul a mais de $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Tomando $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, quanto ele se deslocou? (b) Suponha que, nesse meio-tempo, a placa se movesse a $80\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $340{}^{\circ}$ sobre o manto profundo. Com $x$ para leste e $y$ para norte, calcule a velocidade da placa em relação ao ponto quente, que se deslocava, sua velocidade e seu azimute. (c) Em que porcentagem, e em quantos graus, uma trilha construída então representaria mal o movimento da placa sobre o manto profundo?

Solução

Solução de Exercício 15.11.

(a) $40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}\times(81 - 47)\,\mathrm{Myr} = 1360\,\mathrm{km}$. (b) A placa se move com $(-80\sin20{}^{\circ}, 80\cos20{}^{\circ}) = (-27.4, 75.2)$ e o ponto quente com $(0, -40)$: em relação ao ponto quente, a placa se move com $(-27.4, 115.2)$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, uma velocidade de $118.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ em direção a $360{}^{\circ} - \arctan(27.4/115.2) = 346.6{}^{\circ}$. (c) A trilha daria uma velocidade $48\,\%$ alta demais e um rumo $6.6{}^{\circ}$ para leste demais: um ponto quente que deriva registra o movimento da placa em relação a si mesmo, e não em relação ao manto profundo.

Exercício 15.12 ★★★

(a) Um basalto de inundação de $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ esfria de cerca de $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ até a temperatura da superfície. Com uma capacidade térmica volumétrica de $3\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, quanto calor ele libera (despreze o calor latente de cristalização)? (b) Distribuída ao longo de um milhão de anos, que potência é essa? Compare com a da pluma havaiana, $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, e com os $47\,\mathrm{TW}$ de toda a Terra. (c) Uma cabeça de pluma também aquece a base da litosfera sem fundir toda ela. A potência do item (b) é um limite superior ou inferior do calor trazido pela cabeça?

Solução

Solução de Exercício 15.12.

(a) $3 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}\times1300\,\mathrm{K}\times10^{15}\,\mathrm{m}^{3} = 3.9 \times 10^{24}\,\mathrm{J}$. (b) Em $3.16 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $1.2 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$: cerca do calor carregado pela pluma havaiana hoje (1.3 vezes), e $0.26\,\%$ dos $47\,\mathrm{TW}$ da Terra. (c) Um limite inferior: a cabeça também traz o calor em excesso dos nove décimos de sua rocha que não fundem e aquece a base da litosfera, e o calor latente foi deixado de fora.

15.6 Problema: o velocímetro da placa do Pacífico

Problema 15.1

Problema de fim de semana — o polo de Euler da placa do Pacífico a partir de duas trilhas de pontos quentes, sua taxa a partir de uma terceira medida, um teste com outros pontos quentes e a flutuabilidade e o suprimento da pluma havaiana

Morgan e Morgan dão o ponto quente do Havaí em $19.0{}^{\circ}$ N, $155.2{}^{\circ}$ O, com uma trilha em direção a $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ e uma velocidade de $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e o ponto quente de Louisville em $53.6{}^{\circ}$ S, $140.6{}^{\circ}$ O, com uma trilha em direção a $316{}^{\circ}\pm5{}^{\circ}$ e uma velocidade de $(67 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Use os eixos e os vetores $\vec e$, $\vec n$, $\vec t$ da Seção 15.2, com $R = 6371\,\mathrm{km}$. Dê as componentes com quatro casas decimais.

Parte I — O polo a partir de duas trilhas.

1. Calcule $\vec r$, $\vec e$ e $\vec n$ no Havaí, depois o vetor da trilha $\vec t_H$.
2. Faça o mesmo em Louisville: $\vec r_L$, $\vec e$, $\vec n$ e $\vec t_L$.
3. Verifique que $\vec t_H$ é um vetor unitário perpendicular a $\vec r_H$.
4. Calcule $\vec t_H\times\vec t_L$ e seu comprimento. Que ângulo formam os dois vetores das trilhas?
5. Normalize o produto vetorial e aplique a regra de sinal de Proposição 15.4.
6. Dê a latitude e a longitude do polo de Euler da placa do Pacífico em relação aos pontos quentes.

Parte II — A taxa.

7. Calcule as distâncias angulares $\Delta_H$ e $\Delta_L$ do polo aos dois pontos quentes.
8. Calcule $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L$. Explique por que ele é igual a $\sin\Delta_L$, e o que seu sinal diz sobre o movimento em Louisville.
9. A partir da velocidade em Louisville, calcule $\omega$ em radianos e em graus por milhão de anos.
10. Quanto tempo a placa do Pacífico leva para dar uma volta completa em torno deste polo?
11. O polo dos mínimos quadrados das quinze trilhas do Pacífico situa-se em $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ L, com $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Calcule o ângulo entre os dois polos e compare as duas taxas.

Parte III — Um teste com três outros pontos quentes. Morgan e Morgan dão o ponto quente da Sociedade ($18.2{}^{\circ}$ S, $148.4{}^{\circ}$ O) $(109 \pm 10)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Pitcairn ($25.4{}^{\circ}$ S, $129.3{}^{\circ}$ O) $(90 \pm 15)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e Cobb ($46.0{}^{\circ}$ N, $130.1{}^{\circ}$ O) $(43 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12. Calcule a distância angular do polo da questão 6 a cada um dos três pontos quentes.
13. Preveja as três velocidades com a taxa da questão 9.
14. Quais previsões concordam com as velocidades medidas dentro de suas incertezas, e quais não concordam?
15. Duas trilhas de rumos diferentes sempre dão um polo. Por que duas trilhas quase paralelas são uma escolha ruim?

Parte IV — A pluma e o velocímetro. A elevação havaiana tem seção transversal de $4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$. Tome $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$.

16. Converta $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e calcule o fluxo de flutuabilidade da pluma havaiana.
17. Calcule o calor em excesso que ela carrega e compare com os $47\,\mathrm{TW}$ que deixam a Terra.
18. As dorsais produzem cerca de $21\,\mathrm{km}^{3}$ de crosta por ano ao longo de cerca de $67\,000\,\mathrm{km}$. Que comprimento de dorsal produz tanta crosta quanto o suprimento do Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ por ano?
19. Nesse ritmo, quanto tempo levaria para crescer o Mauna Loa, de cerca de $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$?
20. O ponto quente construiu cerca de $2 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ da cadeia em 81 milhões de anos. Calcule sua produção média e compare com o suprimento atual do Kilauea.
21. Com o polo e a taxa das Partes I e II, calcule a velocidade que a trilha de Louisville prevê para a placa do Pacífico sobre o ponto quente havaiano.
22. Compare com a velocidade medida, $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: em quanto e em quantas incertezas-padrão elas diferem?
23. A partir das idades dos vulcões havaianos, o Livro 2 encontrou $9.1\,\mathrm{cm}$ por ano, e os autores das idades, ajustando a cadeia inteira, $8.6\,\mathrm{cm}$ por ano. Compare essas médias, ao longo de dezenas de milhões de anos, com as duas velocidades dos pontos quentes.
24. Com uma casa decimal, em centímetros por ano, que velocidade a trilha de Louisville dá à placa do Pacífico sobre o ponto quente havaiano?

Solução

Solução de Problema 15.1.

1. No Havaí ($\varphi = 19.0{}^{\circ}$, $\lambda = -155.2{}^{\circ}$), com $\sin304{}^{\circ} = -0.8290$ e $\cos304{}^{\circ} = 0.5592$:

$$\begin{aligned} \vec r_H &= (-0.8583,\ -0.3966,\ 0.3256), & \vec e &= (0.4195,\ -0.9078,\ 0),\\ \vec n &= (0.2955,\ 0.1366,\ 0.9455), & \vec t_H &= (-0.1825,\ 0.8289,\ 0.5287). \end{aligned}$$

2. Em Louisville ($\varphi = -53.6{}^{\circ}$, $\lambda = -140.6{}^{\circ}$), com $\sin316{}^{\circ} = -0.6947$ e $\cos316{}^{\circ} = 0.7193$:

$$\begin{aligned} \vec r_L &= (-0.4586,\ -0.3767,\ -0.8049), & \vec e &= (0.6347,\ -0.7727,\ 0),\\ \vec n &= (-0.6220,\ -0.5109,\ 0.5934), & \vec t_L &= (-0.8883,\ 0.1693,\ 0.4269). \end{aligned}$$

3. $\lVert\vec t_H\rVert^2 = 0.0333 + 0.6871 + 0.2795 = 0.9999$ e $\vec t_H\cdot\vec r_H = 0.1566 - 0.3287 + 0.1721 = 0.0000$, dentro do arredondamento.

4. $\vec t_H\times\vec t_L = (0.2643, -0.3917, 0.7054)$, de comprimento $0.8491$. O ângulo entre as trilhas é $\arcsin0.8491 = 58.1{}^{\circ}$ (seu produto escalar, $0.528$, é positivo, logo o ângulo é agudo).

5. $\vec p' = (0.3113, -0.4613, 0.8308)$. Então, pelo sinal do produto misto, $(\vec p'\times\vec r_H)\cdot\vec t_H = -0.98 < 0$: o polo é $\vec p = (-0.3113, 0.4613, -0.8308)$.

6. $\arcsin(-0.8308) = -56.18{}^{\circ}$ e $\operatorname{atan2}(0.4613, -0.3113) = 124.01{}^{\circ}$: o polo fica em $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ L, no Oceano Antártico, ao sul da Austrália.

7. $\vec p\cdot\vec r_H = 0.2672 - 0.1830 - 0.2705 = -0.1863$, logo $\Delta_H = 100.7{}^{\circ}$; $\vec p\cdot\vec r_L = 0.1428 - 0.1738 + 0.6687 = 0.6377$, logo $\Delta_L = 50.4{}^{\circ}$.

8. O vetor $\vec p\times\vec r_L$ é perpendicular a $\vec p$ e a $\vec r_L$, como $\vec t_L$ é (pela construção de $\vec p$, e porque uma trilha é horizontal); os dois estão sobre a mesma reta, e seu comprimento é $\sin\Delta_L$. Logo $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L = \pm\sin\Delta_L$, e o cálculo dá $+0.770 = \sin50.4{}^{\circ}$: a placa se move em Louisville ao longo de $+\vec t_L$, no sentido em que a trilha corre. A regra de sinal, aplicada no Havaí, poderia ter dado o sentido errado em Louisville; não deu, de modo que as duas direções são reproduzidas exatamente, $304{}^{\circ}$ e $316{}^{\circ}$.

9. $\omega = 67/(6371\sin50.38{}^{\circ}) = 67/4908 = 0.013\,65\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, isto é, $0.782{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

10. $360/0.782 = 460\,\mathrm{Myr}$.

11. A regra dos cossenos entre $56.18{}^{\circ}$ S, $124.01{}^{\circ}$ L e $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ L dá $9.5{}^{\circ}$. A taxa das duas trilhas, $0.78{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$, fica $15\,\%$ abaixo dos $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ ajustados a treze velocidades.

12. Sociedade $73.6{}^{\circ}$, Pitcairn $77.8{}^{\circ}$, Cobb $134.7{}^{\circ}$.

13. $\omega R = 0.01365\times6371 = 86.98\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, multiplicado por $\sin\Delta$: Sociedade $83.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Pitcairn $85.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Cobb $61.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

14. Pitcairn concorda: $5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ abaixo do medido, dentro de seus $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Sociedade fica $25.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ lenta demais, 2.6 incertezas, e Cobb fica $18.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ rápida demais, mais de seis: nenhuma concorda.

15. O polo é perpendicular aos dois vetores das trilhas. Se eles são quase paralelos, seu produto vetorial é curto, e um erro de alguns graus em qualquer sentido o faz girar por um ângulo grande: o polo é mal determinado.

16. $v = 92 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $B = 2300\times4.83 \times 10^{8}\times2.92 \times 10^{-9} = 3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times3240 = 9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, $0.20\,\%$ de $47\,\mathrm{TW}$.

18. As dorsais produzem $21/67000 = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ por ano por quilômetro; $0.1/3.1 \times 10^{-4} = 320\,\mathrm{km}$ de dorsal.

19. $74000/0.1 = 740\,000$ anos.

20. $2 \times 10^{6}/81 \times 10^{6} = 0.025\,\mathrm{km}^{3}$ por ano: só o Kilauea é hoje alimentado com quatro vezes a produção média de todo o ponto quente, que está perto de sua fase mais forte.

21. $v_H = 86.98\sin100.73{}^{\circ} = 86.98\times0.9825 = 85.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

22. $92 - 85.5 = 6.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, 2.2 incertezas-padrão da velocidade medida: os dois pontos quentes não concordam bem quanto ao movimento de uma única placa rígida sobre um referencial fixo.

23. As idades dão $9.1\,\mathrm{cm}$ e $8.6\,\mathrm{cm}$ por ano, médias sobre a cadeia inteira; os $9.2\,\mathrm{cm}$ por ano de Morgan e Morgan ficam perto do primeiro, e a previsão de Louisville, $8.5\,\mathrm{cm}$ por ano, perto do segundo. Os quatro valores ficam a menos de $0.7\,\mathrm{cm}$ por ano uns dos outros: trilhas, idades e direções contam a mesma história a cerca de $8\,\%$.

24. Com uma casa decimal, a trilha de Louisville dá à placa do Pacífico sobre o ponto quente havaiano a velocidade $8.5\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.