Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

19Statistique quantique

Les électrons de conduction du cuivre forment un gaz mille fois plus dense que l’air — et pourtant ils n’ajoutent presque rien à la capacité thermique du cuivre, scandale qui a hanté la physique classique pendant cinquante ans. Un nuage d’atomes de rubidium, refroidi à cent milliardièmes de kelvin, s’effondre soudain dans un unique état quantique profond de dix mille atomes. Une étoile morte de la masse du Soleil et de la taille de la Terre refuse de se contracter davantage, soutenue par rien d’autre que le principe d’exclusion. Ces trois faits sont un seul chapitre de physique : ce qui arrive à un gaz quand $n\lambda_T^3 \sim 1$ et que les formules d’occupation du Chapitre 18 s’écartent de Boltzmann. Les fermions bâtissent des mers — froides, rigides, sous pression ; les bosons bâtissent des condensats — grégaires, cohérents, superfluides. Entre la majorité silencieuse de la mer de Fermi et la ruée du condensat tient l’essentiel de la physique moderne de la matière condensée et des basses températures, et le destin des étoiles.

19.1 Des gaz d’occupations

Proposition 19.1 (La machinerie du gaz quantique)

Pour des particules sans interaction dans une boîte, les sommes sur les niveaux deviennent des intégrales sur la densité d’états de Proposition 7.5 (par état de spin, $g(\epsilon) = (V/4\pi^2)(2m/\hbar^2)^{3/2}\sqrt\epsilon$ ) :

N = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\dd\epsilon , \qquad E = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\epsilon\, \dd\epsilon ,

avec $\bar n$ l’occupation de Fermi–Dirac ou de Bose–Einstein. La première équation fixe $\mu(T, n)$ ; la seconde livre la thermodynamique. Dans la limite diluée $n\lambda_T^3 \ll 1$ , les deux statistiques s’effondrent sur Boltzmann et le gaz classique revient ; les régimes quantiques commencent là où les paquets d’ondes se touchent.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

19.2 La mer de Fermi

Théorème 19.2 (Le gaz de fermions dégénéré)

À $T = 0$ , les fermions remplissent tous les niveaux jusqu’à l’énergie de Fermi

E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2n)^{2/3} \qquad (\text{spin } \tfrac12) ,

avec une énergie moyenne $\tfrac35 E_{\text{F}}$ par particule et la pression de dégénérescence

P = \frac25\,n\,E_{\text{F}} \;\propto\; n^{5/3} :

une pression au zéro absolu, d’origine purement quantique — la raideur du gaz d’électrons de tout métal et le soutien des étoiles mortes. À $0 < T \ll T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ , seuls les électrons situés à $\sim k_{\text{B}}T$ de la surface de cette mer de Fermi peuvent répondre à quoi que ce soit : la fraction $\sim T/T_{\text{F}}$ est la clé maîtresse du comportement métallique.

Démonstration partielle. Remplissons $g(\epsilon)$ jusqu’à $E_{\text{F}}$ : inverser $N = \int_0^{ E_{\text{F}}}g\,\dd\epsilon$ donne le $E_{\text{F}}$ annoncé (Exercice 7.8) ; $\langle\epsilon \rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ par une intégrale de plus. Pression : comprimer la boîte élève chaque niveau comme $V^{-2/3}$ , donc $E \propto V^{-2/3}$ et $P = -\partial E/\partial V = \tfrac23 E/V$ — avec $E = \tfrac35 NE_{\text{F}}$ , la loi annoncée. ∎

La mer de Fermi à T T_ F : l’occupation est une marche légèrement adoucie. Les électrons profonds ne peuvent ni diffuser, ni absorber, ni répondre — tout état accessible est pris ; toute la physique métallique se joue dans la mince couche thermique de surface. — La mer de Fermi à $T \ll T_{\text{F}}$ : l’occupation est une marche légèrement adoucie. Les électrons profonds ne peuvent ni diffuser, ni absorber, ni répondre — tout état accessible est pris ; toute la physique métallique se joue dans la mince couche thermique de surface.

Exemple 19.3 (Le scandale de la capacité thermique, résolu)

Classiquement, l’électron libre par atome du cuivre devrait ajouter $\tfrac32 k_{\text{B}}$ à la capacité thermique — $50\%$ par-dessus Dulong–Petit. Mesuré : environ $1\%$ à température ambiante. La mer l’explique : avec $T_{\text{F}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , seule la fraction $\sim T/T_{\text{F}} \approx 0.4\%$ des électrons peut être excitée thermiquement, chacun de $\sim k_{\text{B}}T$ :

C_{\text{el}} \approx \frac{\pi^2}{2}\, Nk_{\text{B}}\,\frac{T}{T_{\text{F}}}

(le coefficient exact de Sommerfeld ; Exercice 19.12). Linéaire en $T$ , elle est ensevelie sous le $T^3$ du réseau aux températures ordinaires mais domine au-dessous de quelques kelvins — exactement ce que trouvent les calorimètres, ce qui résout d’un coup l’énigme des électrons qui portent le courant mais non la capacité thermique.

Exemple 19.4 (Des étoiles soutenues par l’exclusion)

Une naine blanche (Exercice 14.11) équilibre la gravité par la pression de dégénérescence électronique. Comme $P \propto n^{5/3}$ se raidit plus vite que ne l’exige la gravité à mesure que l’étoile se contracte, un rayon d’équilibre existe pour toute masse modeste — avec cette loi d’échelle troublante $R \propto M^{-1/3}$ : les naines lourdes sont plus petites. Comprimés davantage, les électrons deviennent relativistes, la loi de pression s’adoucit en $n^{4/3}$ , et l’équilibre échoue à une masse unique, la limite de Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ (Problème 19.1) — au-delà, effondrement en étoile à neutrons : une mer de Fermi de neutrons à la densité nucléaire, la même physique à $10^{14}$ fois la densité.

19.3 La ruée des bosons

Théorème 19.5 (Condensation de Bose–Einstein)

Pour un gaz de $N$ bosons conservés, les états excités ne peuvent contenir au plus que $N_{\max}(T) = 2.612\,V/\lambda_T^3$ particules (l’intégrale de $g\bar n_{\text{BE}}$ à son plafond $\mu \to 0$ ). Au-dessous de la température critique

k_{\text{B}}T_{\text{c}} = \frac{2\pi\hbar^2}{m} \Big(\frac{n}{2.612}\Big)^{2/3} \quad\text{(de façon équivalente } n\lambda_{T_{\text{c}}}^3 = 2.612 \text{)} ,

l’excédent n’a nulle part où aller que l’unique état fondamental : une population macroscopique

\frac{N_0}{N} = 1 - \Big(\frac{T}{T_{\text{c}}}\Big)^{3/2}

se condense dans un seul état quantique — de la matière se comportant comme une seule fonction d’onde géante. Prédite par Einstein en 1925 à partir de la statistique de Bose pour les photons ; réalisée dans du rubidium dilué en 1995 à $T_{\text{c}} \approx 100\,\mathrm{nK}$ (Nobel 2001), annoncée par la distribution de vitesses bimodale révélatrice : un nuage thermique d’où s’élève, en son centre, une aiguille de condensat à vitesse nulle.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

À gauche : au-dessous de T_ c, la population de l’état fondamental devient macroscopique. À droite : la signature de 1995 — relâché puis imagé, le nuage montre une large distribution thermique surmontée d’un pic étroit à vitesse nulle : un seul état quantique, visible par une caméra. — À gauche : au-dessous de $T_{\text{c}}$ , la population de l’état fondamental devient macroscopique. À droite : la signature de 1995 — relâché puis imagé, le nuage montre une large distribution thermique surmontée d’un pic étroit à vitesse nulle : un seul état quantique, visible par une caméra.

Exemple 19.6 (L’hélium, le superfluide vétéran)

L’hélium $^4$ He liquide (bosonique) se transforme à $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ en superfluide : viscosité nulle à travers les capillaires les plus fins, écoulement en film sur les parois, effets de fontaine, et circulation quantifiée en unités de $h/m$ — la phase macroscopique d’un condensat à l’œuvre, décalée de la prédiction du gaz parfait ( $3.1\,\mathrm{K}$ pour la densité de l’hélium) par les interactions, mais indubitablement le même phénomène. Le $^3$ He fermionique ne peut condenser seul : ses atomes doivent d’abord s’apparier (comme les électrons d’un supraconducteur, Chapitre 24) en bosons composites — et la superfluidité arrive bel et bien, mais à $2.6\,\mathrm{mK}$ , mille fois plus froid : deux isotopes, une leçon — la statistique est un destin.

Méthode 19.7 (Quelle statistique, quel régime)

(1) Calculer d’abord $n\lambda_T^3$ : $\ll1$ signifie Boltzmann, et le chapitre 17 suffit. (2) Fermions dégénérés : penser en $E_{\text{F}}$ et $T/T_{\text{F}}$ ; les réponses (capacité thermique, susceptibilité, diffusion) portent le facteur $T/T_{\text{F}}$ ou n’échantillonnent que la surface de Fermi. (3) Bosons dégénérés : comparer $T$ à $T_{\text{c}}$ ; au-dessous, séparer le gaz en condensat plus nuage thermique. (4) Pressions : raideur fermionique en $n^{5/3}$ (ou $n^{4/3}$ relativiste) contre ce qui comprime. (5) Particules composites : compter les fermions constituants pour choisir la statistique — et rappeler que l’appariement peut convertir une statistique en l’autre.

Un supraconducteur repoussant les lignes de champ d’un aimant : au-dessous de sa température critique, le fluide électronique se condense dans un unique état quantique macroscopique — la physique de la dégénérescence, tenant un palet en l’air.

19.4 Exercices

Exercice 19.1 ★

Calculer $E_{\text{F}}$ et $T_{\text{F}}$ pour (a) le cuivre ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) ; (b) le sodium ( $2.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) ; (c) le $^3$ He liquide ( $1.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 3u$ ) ; (d) les classer face à la température ambiante et dites qui est dégénéré et quand.

Solution

Solution de Exercice 19.1.

(a) $7.1\,\mathrm{eV}$ , $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (b) $3.2\,\mathrm{eV}$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (c) Avec $m = 3u$ : $E_{\text{F}} \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ , $T_{\text{F}} \approx 5\,\mathrm{K}$ (valeur du gaz parfait ; les interactions l’abaissent). (d) Les électrons des métaux : dégénérés à toute température terrestre ; le $^3$ He : seulement sous quelques kelvins ; $T = 300\,\mathrm{K}$ n’effleure jamais l’échelle de Fermi d’un métal.

Exercice 19.2 ★

(a) Montrer que $\langle\epsilon\rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ à $T = 0$ . (b) Calculer la vitesse quadratique moyenne des électrons dans le cuivre. (c) À quelle température cette vitesse correspondrait-elle classiquement ? (d) Pourquoi un métal froid contient-il des électrons allant au centième de la vitesse de la lumière sans rayonner cette énergie ?

Solution

Solution de Exercice 19.2.

(a) $\int_0^{E_{\text{F}}}\epsilon\,g\,\dd\epsilon/\int g\,\dd \epsilon = \tfrac35 E_{\text{F}}$ à partir de $g \propto \sqrt\epsilon$ . (b) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; valeur efficace $\sqrt{3/5}\,v_{\text{F}} \approx 1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\tfrac32 k_{\text{B}}T = \tfrac35 E_{\text{F}}$ : $T \approx 3.3 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (d) Il n’y a nulle part où aller : tout état inférieur est occupé, donc aucun photon ne peut être émis et aucune collision ne peut les ralentir — de la vitesse sans chaleur, par exclusion.

Exercice 19.3 ★

Pression de dégénérescence des électrons du cuivre : (a) évaluer $P = \tfrac25 nE_{\text{F}}$ en pascals et en atmosphères. (b) Pourquoi le métal n’explose-t-il pas (qu’est-ce qui retient) ? (c) Cette pression résiste à la compression : la relier à la faible compressibilité des métaux. (d) Estimer le module de compressibilité $K \sim \tfrac53 P$ et comparer aux $140\,\mathrm{GPa}$ mesurés du cuivre.

Solution

Solution de Exercice 19.3.

(a) $P = 0.4 \times 8.5 \times 10^{28} \times 7.1\,\mathrm{eV} = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa} \approx 4 \times 10^{5}$ atmosphères. (b) L’attraction coulombienne du réseau d’ions : le métal est la trêve entre les deux (Exercice 19.11). (c) Comprimer élève $E_{\text{F}}$ fortement ( $n^{2/3}$ ) : les métaux résistent. (d) $K \sim \tfrac53 P \approx 65\,\mathrm{GPa}$ contre les $140\,\mathrm{GPa}$ mesurés : la moitié de la raideur du cuivre est de pure exclusion.

Exercice 19.4 ★

Seuils de condensation. (a) Calculer $T_{\text{c}}$ pour le rubidium-87 ( $m = 1.44 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ) à $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (b) Pour le même $n$ , quel $T_{\text{c}}$ auraient des atomes d’hydrogène ? (c) Pourquoi les expériences emploient-elles des gaz dilués aux nanokelvins plutôt que des gaz denses aux millikelvins (que se passe-t-il chimiquement à haute densité et basse température) ? (d) Vérifier la règle de cohérence $n\lambda_{T_c}^3 = 2.612$ sur vos nombres du rubidium.

Solution

Solution de Exercice 19.4.

(a) $T_{\text{c}} \approx 0.4\,\text{µ}\mathrm{K}$ — le condensat du JILA est apparu à $170\,\mathrm{nK}$ : même physique, densité au pic légèrement plus basse. (b) $T_{\text{c}} \propto 1/m$ : $\times87 \approx 35\,\text{µ}\mathrm{K}$ . (c) À haute densité et à un tel froid, tout gaz sauf l’hydrogène polarisé en spin se solidifie ; les collisions à trois corps fabriquent des molécules. L’astuce est un gaz dilué et métastable, assez froid pour que $\lambda_T$ compense la dilution. (d) $\lambda_{T_{\text{c}}} = h/\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T_{\text{c}}} \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $n\lambda^3 = 10^{20} \times 2.7 \times 10^{-20} \approx 2.7$ , comme la règle l’exige.

Exercice 19.5 ★★

Deux capacités thermiques. Dans un métal, $C = \gamma T + \beta T^3$ (électrons ; réseau). (a) À l’aide de Exemple 19.3 et du terme de réseau de type Debye $\beta T^3 = 234\,Nk_{\text{B}}(T/\theta_{\text{D}})^3$ , estimer la température de croisement pour le cuivre ( $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ , $T_{\text{F}} = 8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (b) À $300\,\mathrm{K}$ , la part électronique en pourcentage. (c) À $0.1\,\mathrm{K}$ ? (d) Pourquoi les expérimentateurs tracent-ils $C/T$ contre $T^2$ , et que livrent l’ordonnée à l’origine et la pente de cette droite ?

Solution

Solution de Exercice 19.5.

(a) $\gamma T = \beta T^3$ en $T^2 = \gamma/\beta$ : pour le cuivre $T \approx 3\,\mathrm{K}$ . (b) $C_{\text{el}}/C \approx (\pi^2/2)(300/8.2 \times 10^{4})/3 \approx 0.6\%$ . (c) À $0.1\,\mathrm{K}$ le terme de réseau s’est effondré comme $T^3$ : les électrons en portent $\sim10^3$ fois plus — la calorimétrie devient une spectroscopie électronique. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ est une droite en $T^2$ : l’ordonnée à l’origine $\gamma$ mesure la densité d’états au niveau de Fermi, la pente $\beta$ la température de Debye — deux nombres par métal à partir d’un seul tracé.

Exercice 19.6 ★★

Une naine blanche d’une masse solaire ( $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) et de rayon terrestre ( $R = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ), un électron pour deux nucléons. (a) Calculer $n_{\text{e}}$ et $E_{\text{F}}$ (formule non relativiste). (b) Comparer $E_{\text{F}}$ à $m_{\text{e}}c^2$ et à $k_{\text{B}}T$ aux $10^{7}\,\mathrm{K}$ de l’intérieur : justifier simultanément « froid » et « presque relativiste ». (c) Comparer la pression de dégénérescence $\tfrac25 nE_{\text{F}}$ à l’estimation de la pression gravitationnelle $\sim GM^2/R^4$ : même ordre ? (d) Qu’arrive-t-il qualitativement à chaque membre de l’équilibre si $M$ croît ?

Solution

Solution de Exercice 19.6.

(a) $N_{\text{e}} = M/2m_{\text{n}} = 6 \times 10^{56}$ ; $n = 5.5 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $E_{\text{F}} \approx 0.24\,\mathrm{MeV}$ . (b) La moitié de l’énergie de masse de l’électron (au bord du relativiste), et pourtant trois cents fois $k_{\text{B}}T$ ( $0.9\,\mathrm{keV}$ ) : chauffé à blanc et quantiquement froid à la fois. (c) $P_{\text{deg}} \approx 9 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}$ contre $GM^2/R^4 \sim 10^{22}\,\mathrm{Pa}$ : le même ordre — l’étoile est exactement cet équilibre. (d) Plus de masse : le membre gravitationnel croît comme $M^2$ , et l’étoile doit se contracter ( $R \propto M^{-1/3}$ ), ce qui pousse $E_{\text{F}}$ vers l’adoucissement relativiste.

Exercice 19.7 ★★

Matière neutronique. Une étoile à neutrons tasse $M = 1.4\,M_\odot$ dans $R \approx 11\,\mathrm{km}$ . (a) Calculer la densité de neutrons et comparer à la densité nucléaire ( $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (b) Calculer $E_{\text{F}}$ pour les neutrons (non relativiste ; $m_{\text{n}}c^2 = 939\,\mathrm{MeV}$ ) et vérifier à quel point ils sont relativistes. (c) Pourquoi les électrons de l’étoile ont-ils disparu (désintégration bêta inverse : $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ — qu’est-ce qui, dans le $E_{\text{F}}$ des électrons, a payé la note) ? (d) Combien pèse une cuillerée de cette matière ?

Solution

Solution de Exercice 19.7.

(a) $\rho \approx 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : environ deux fois la densité nucléaire — un noyau de la taille d’une ville. (b) $n_{\text{n}} \approx 3 \times 10^{44}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $E_{\text{F}} \approx 90\,\mathrm{MeV}$ , un dixième de $m_{\text{n}}c^2$ : la relativité frappe à la porte. (c) L’énergie de Fermi des électrons a dépassé le coût de $0.78\,\mathrm{MeV}$ de $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ : la capture est devenue rentable, et l’étoile a troqué ses électrons et ses protons contre des neutrons. (d) $5\,\mathrm{cm}^{3} \times 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ : une cuillerée plus lourde qu’un massif montagneux.

Exercice 19.8 ★★

Des bosons sans nombre. (a) Les photons ont toujours $\mu = 0$ : pourquoi ne peuvent-ils subir la condensation de Théorème 19.5 (que fait le gaz à la place quand on le refroidit) ? (b) Quelle loi de conservation les atomes de rubidium possèdent-ils, que les photons n’ont pas ? (c) En 2010 un condensat de photons a bel et bien été réalisé, dans une cavité remplie de colorant où les photons se thermalisent et où leur nombre est effectivement fixé : quel ingrédient la cavité à colorant a-t-elle restauré ? (d) Les phonons d’un cristal : condensation ou non, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 19.8.

(a) Refroidir une cavité ôte simplement des photons (les parois les absorbent) : sans nombre à conserver, $\mu$ reste cloué à zéro et nul excédent ne s’entasse jamais dans le mode fondamental — le gaz s’assombrit au lieu de condenser. (b) Le nombre d’atomes est conservé sur toute échelle de temps de laboratoire. (c) Le colorant absorbe et réémet les photons de façon répétée sans les perdre à l’échelle de temps de thermalisation : un nombre de photons effectivement conservé (et une masse effective donnée par la cavité) — et la condensation apparaît bel et bien. (d) Les phonons : créés et détruits librement, $\mu = 0$ : pas de condensation — le « gaz de phonons » d’un cristal se contente de geler.

Exercice 19.9 ★★

Les deux isotopes de l’hélium. (a) Calculer le $T_{\text{c}}$ du gaz parfait pour le $^4$ He liquide ( $n = 2.2 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 4u$ ) et comparer à $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (b) Pourquoi l’accord n’est-il que grossier (qu’ignore le mot « parfait » dans un liquide) ? (c) Le $^3$ He, à densité presque égale, reste normal jusqu’aux millikelvins : énoncer l’obstacle et le contournement qu’a trouvé la nature. (d) Vérification de logique composite : une paire de $^3$ He contient un nombre pair de fermions — un boson ; le $^6$ Li tient $3\text{p} + 3\text{n} + 3\text{e} = 9$ fermions : le classer, et nommer les fameuses expériences de gaz froids qui exploitent exactement ce contraste Li–Li.

Solution

Solution de Exercice 19.9.

(a) $T_{\text{c}}^{\text{parfait}} \approx 3.1\,\mathrm{K}$ contre le $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ mesuré. (b) L’hélium liquide est dense et fortement en interaction : « parfait » laisse tomber les interactions qui décalent (et remodèlent) la transition. (c) Les atomes de $^3$ He sont des fermions : pas de condensation sans appariement ; des interactions attractives lient des paires de type Cooper seulement sous $2.6\,\mathrm{mK}$ , et le liquide apparié devient alors superfluide. (d) Neuf fermions : le $^6$ Li est un fermion (tandis que le $^7$ Li est un boson) — le couple d’isotopes du lithium permet à un même laboratoire d’étudier une mer de Fermi et un condensat dans le même four.

Exercice 19.10 ★★★

$T_{\text{c}}$ honnêtement. (a) Écrire $N_{\text{exc}} = \int_0^\infty g(\epsilon)\dd\epsilon/(\eu^{\beta\epsilon} - 1)$ à $\mu = 0$ et le réduire, avec $x = \beta\epsilon$ , à $N_{\text{exc}} = (V/\lambda_T^3)\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x\,\dd x}{\eu^x - 1}$ . (b) Sachant que $\int_0^\infty\sqrt x\,\dd x/( \eu^x - 1) = 2.612\,\sqrt\pi/2$ , obtenir le plafond et $T_{\text{c}}$ . (c) Obtenir la fraction condensée $1 - (T/T_{\text{c}})^{3/2}$ . (d) Pourquoi le même argument ne produit-il aucune condensation dans une boîte à deux dimensions (comment $g( \epsilon)$ change-t-il, et qu’advient-il de la convergence de l’intégrale) ?

Solution

Solution de Exercice 19.10.

(a) Substituer $g \propto \sqrt\epsilon$ et sortir $\beta$ par changement d’échelle. (b) La valeur de l’intégrale donne $N_{\text{exc}} = 2.612\,V/\lambda_T^3$ ; poser $N_{\text{exc}} = N$ définit $T_{\text{c}}$ . (c) Sous $T_{\text{c}}$ , $N_{\text{exc}}(T) = N(T/T_{\text{c}})^{3/2}$ ; le reste est $N_0$ . (d) À deux dimensions, $g(\epsilon)$ est constante et $\int\dd\epsilon/(\eu^{ \beta\epsilon} - 1)$ diverge en bas : les états excités peuvent toujours absorber tout le monde — aucune population macroscopique de l’état fondamental à aucun $T > 0$ .

Exercice 19.11 ★★★

Pourquoi les métaux tiennent. Modéliser un métal par des électrons de densité $n$ (coût en énergie de Fermi $\propto n^{2/3}$ par électron) attirés par un fond d’ions neutralisant (gain coulombien par électron $\sim -e^2n^{1/3}/4\pi\varepsilon_0$ ). (a) Écrire l’énergie par électron $\epsilon(n) = An^{2/3} - Bn^{1/3}$ et montrer qu’elle possède un minimum. (b) Montrer que l’espacement électronique d’équilibre est de l’ordre de $a_0$ — les densités métalliques ne sont pas un hasard. (c) Estimer l’échelle d’énergie de cohésion au minimum, en eV. (d) Quel rôle joue la pression de dégénérescence dans cet état lié (qu’est-ce qui arrête l’effondrement coulombien) ?

Solution

Solution de Exercice 19.11.

(a) $\dd\epsilon/\dd n = \tfrac23 An^{-1/3} - \tfrac13 Bn^{-2/3} = 0$ en $n^{1/3} = B/2A$ : un vrai minimum. (b) Avec $A \sim \hbar^2/m_{\text{e}}$ et $B \sim e^2/4\pi\varepsilon_0$ , l’espacement d’équilibre $n^{-1/3} \sim \hbar^2 4\pi\varepsilon_0/ m_{\text{e}}e^2 = a_0$ : les métaux sont denses parce que le rayon de Bohr le dit. (c) $\epsilon_{\min} \sim -B^2/A \sim -E_{\text{I}}$ — une cohésion de l’ordre de l’électronvolt, comme mesuré. (d) La pression de dégénérescence est la moitié répulsive de la trêve : sans elle, le terme coulombien écraserait le réseau en un point — le volume de la matière est celui de Pauli.

Exercice 19.12 ★★★

La couche de Sommerfeld, quantifiée. (a) Argumenter : sur $N$ électrons, seuls $\sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ occupent la couche active, chacun portant une énergie supplémentaire de $\sim k_{\text{B}}T$ : obtenir $C_{\text{el}} \sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}^2T$ à une constante près. (b) Avec $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ , retrouver $C_{\text{el}} \sim Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ (la constante exacte vaut $\pi^2/2$ ). (c) La même logique de couche donne la susceptibilité de spin de Pauli, indépendante de la température : seuls les électrons de la couche peuvent basculer — mais la couche croît comme $T$ tandis que chaque contribution décroît comme $1/T$ : montrer la compensation. (d) Énoncer la morale générale pour des fermions dégénérés : toute réponse est la réponse classique multipliée par $\sim T/T_{\text{F}}$ ou son analogue de surface.

Solution

Solution de Exercice 19.12.

(a) Électrons actifs : $g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ; énergie chacun : $\sim k_{\text{B}}T$ ; dériver $E_{\text{extra}} \sim g k_{\text{B}}^2T^2$ . (b) $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ donne $C \sim 3Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ — le $\pi^2/2$ exact remplace le 3. (c) Spins basculables $\propto T$ ; chacun contribue un alignement $\propto \mu^2B/k_{\text{B}}T$ : les $T$ se compensent — la susceptibilité de Pauli est plate là où celle de Curie (Exercice 17.11) décroît en $1/T$ : un diagnostic de dégénérescence. (d) Les fermions dégénérés ne répondent qu’à leur surface : multiplier toute réponse classique par $\sim T/T_{\text{F}}$ , ou la restreindre à la couche de Fermi.

Le premier condensat de Bose–Einstein (NIST/JILA, 1995, domaine public) : distributions de vitesses d’atomes de rubidium à mesure que le gaz refroidit, de gauche à droite — la colline thermique s’effondre en un pic de condensat, soixante-dix ans après la prédiction.

19.5 Problème : la naine blanche la plus lourde possible

Problème 19.1

Problème du week-end — la limite de Chandrasekhar et les chandelles qu’elle a allumées

En 1930, à dix-neuf ans, Subrahmanyan Chandrasekhar calcula, sur le bateau qui l’emmenait en Angleterre, que la dégénérescence électronique ne peut soutenir une étoile morte que jusqu’à une masse bien définie. Le résultat — combattu âprement par Eddington — fonde les étoiles à neutrons, les trous noirs et les « chandelles standard » de supernova qui ont révélé l’accélération de l’univers. Ce problème le construit par lois d’échelle. Données : $M_\odot = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; un électron pour $\mu_e = 2$ nucléons ; $m_{\text{ n}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ; $\hbar c = 3.16 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ ; $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ .

Partie I — Équilibre de deux énergies. Pour une étoile de masse $M$ et de rayon $R$ , traiter les énergies par unité de masse en lois d’échelle.

Énergie gravitationnelle : $E_{\text{g}} \sim -GM^2/R$ — rappeler son origine.
Nombre d’électrons $N_{\text{e}} = M/\mu_e m_{\text{n}}$ et densité $n \sim N_{\text{e}}/R^3$ : écrire l’échelle d’énergie de Fermi non relativiste en fonction de $M$ et de $R$ .
Montrer que l’énergie cinétique totale (de dégénérescence) varie comme $E_{\text{k}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}} R^2$ .
Minimiser $E_{\text{k}} + E_{\text{g}}$ sur $R$ et montrer que le rayon d’équilibre vaut $R \sim \hbar^2 N_{\text{e}}^{-1/3}/(G\,m_{\text{e}}\, m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ .
Lire la loi d’échelle $R \propto M^{-1/3}$ : les naines lourdes sont plus petites. Pourquoi cela sent-il déjà les ennuis ?
Évaluer $R$ pour $M = 1\,M_\odot$ et comparer aux $\approx5800\,\mathrm{km}$ mesurés de Sirius B.

Partie II — La relativité dérobe le plancher.

À mesure que $R$ diminue, $E_{\text{F}}$ croît : estimer la densité à laquelle $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ , et la région de masse de naine correspondante.
Dans le régime ultrarelativiste, l’énergie de chaque électron vaut $\sim\hbar c\,n^{1/3}$ : montrer que l’énergie cinétique devient $E_{\text{k}} \sim \hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3}/R$ .
Les deux énergies varient maintenant comme $1/R$ : conclure que l’équilibre ne sélectionne plus de rayon — comparer plutôt les deux coefficients.
En posant $\hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3} \sim GM^2 = G(\mu_em_{\text{n}}N_{\text{e}})^2$ , obtenir le nombre critique d’électrons et la masse

$M_{\text{Ch}} \sim \Big(\frac{\hbar c}{G\,m_{\text{n}}^2}\Big)^{3/2} \frac{m_{\text{n}}}{\mu_e^2} .$
Évaluer le rapport sans dimension $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2$ — l’un des grands nombres purs de la physique — puis $M_{\text{Ch}}$ en masses solaires (le traitement exact donne $1.4\,M_\odot$ ).
Interpréter la formule : quelles trois constantes conspirent, et pourquoi une limite quantique sur une étoile porte-t-elle $\hbar$ ?

Partie III — Au-delà de la limite.

Une naine poussée au-delà de $M_{\text{Ch}}$ (accrétion depuis une compagne) : qu’est-ce qui la soutient ensuite, et à quelle échelle de rayon (remplacer $m_{\text{e}}$ par $m_{\text{n}}$ et $\mu_e$ par 1 dans le rayon de la partie I) ?
Montrer que la limite relativiste propre à l’étoile à neutrons est du même ordre que $M_{\text{Ch}}$ — la nature n’accorde qu’un sursis d’un facteur deux (maximum observé $\approx 2.2\,M_\odot$ ). Qu’attend au-delà ?
Lors de l’effondrement en étoile à neutrons, $\sim GM^2/R_{ \text{ns}}$ d’énergie gravitationnelle est libéré : évaluer cette énergie pour $M = 1.4\,M_\odot$ , $R = 11\,\mathrm{km}$ , et comparer à toute la production du Soleil sur $10\,\mathrm{Gyr}$ ( $\sim1.2 \times 10^{44}\,\mathrm{J}$ ).
Presque tout part en neutrinos en quelques secondes : quelle observation de 1987 a confirmé ce tableau de manière spectaculaire ?
Le rebond du cœur en effondrement et la poussée des neutrinos soufflent l’enveloppe : une supernova à effondrement de cœur. La distinguer, en une phrase chacune, de la supernova thermonucléaire (de type Ia) d’une naine blanche qui s’enflamme au seuil de Chandrasekhar.
Pourquoi une détonation à une masse universelle rend-elle les supernovae de type Ia presque identiques — et donc utilisables comme chandelles standard ?

Partie IV — Les chandelles et le cosmos.

L’éclat apparent d’une chandelle standard donne sa distance : énoncer la logique en carré inverse et pourquoi standard est le mot décisif.
En 1998, deux équipes ont trouvé des supernovae de type Ia lointaines plus faibles que prévu : énoncer l’inférence (expansion en accélération — énergie sombre) et pourquoi la fiabilité de la chandelle était le point crucial.
Énumérer en une ligne la chaîne de ce problème : Pauli $\to$ pression de dégénérescence $\to$ $M_{\text{Ch}}$ $\to$ explosions uniformes $\to$ accélération cosmique.
Eddington a raillé le résultat (« une étoile commettant des absurdités ») ; Chandrasekhar a reçu le prix Nobel cinquante-trois ans plus tard : que nous enseigne l’épisode sur le fait de suivre les équations au-delà des conclusions confortables ?
Le spectre de Sirius B, en 1915, impliquait une tonne par centimètre cube — « un non-sens » jusqu’à ce que Fowler, quelques mois après la statistique de Fermi de 1926, explique l’étoile comme un gaz dégénéré : dites pourquoi l’énigme était insoluble une année et banale la suivante.
Les relevés de milliers de naines blanches trouvent des masses groupées près de $0.6\,M_\odot$ , aucune au-dessus de $\approx1.4\,M_\odot$ : quelles deux prédictions de ce problème ce seul histogramme confirme-t-il ?
Résumer le résultat nommé : $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{ 3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ — trois constantes de la nature fixant la naine blanche la plus lourde possible, la masse-gâchette des explosions calibrées de l’univers.

Solution

Solution de Problème 19.1.

1. L’énergie libérée en assemblant l’étoile à partir de matière dispersée — négative, d’autant plus profonde que l’objet est compact. 2. $E_{\text{F}} \sim (\hbar^2/m_{\text{e}}) (N_{\text{e}}/R^3)^{2/3}$ . 3. $E_{\text{k}} \sim N_{\text{e}}E_{\text{F}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}}R^2$ . 4. Minimiser $A/R^2 - B/R$ donne $R = 2A/B$ : $R \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{-1/3}/(Gm_{\text{e}}m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ . 5. $N_{\text{e}} \propto M$ : $R \propto M^{-1/3}$ — ajouter de la masse rétrécit l’étoile, donc la densité et $E_{\text{F}}$ croissent sans borne : le soutien non relativiste vit à crédit. 6. $N_{\text{e}} = 6 \times 10^{56}$ : $R \sim 2000\,\mathrm{km}$ — le bon ordre à côté des $5800\,\mathrm{km}$ de Sirius B (nos lois d’échelle ont laissé tomber des facteurs de quelques unités). 7. $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ pour $n \sim (m_{\text{e}}c/\hbar)^3 \approx 2 \times 10^{37}\,\mathrm{m}^{-3}$ , soit $\rho \sim 10^{10}$ – $10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : le régime des naines les plus lourdes. 8. Chaque électron : $\epsilon \sim \hbar c\,n^{1/3}$ ; au total : $\hbar cN_{\text{e}}^{4/3}/R$ . 9. Les deux termes étant $\propto 1/R$ , le rayon disparaît : la stabilité se décide selon que le coefficient cinétique dépasse ou non le coefficient gravitationnel — un pur critère de masse. 10. Égaler : $N_{\text{e,crit}} \sim (\hbar c/ Gm_{\text{n}}^2\mu_e^2)^{3/2}$ , et $M_{\text{Ch}} = \mu_em_{\text{n}}N_{\text{e,crit}}$ : la formule annoncée. 11. $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2 = 1.7 \times 10^{38}$ ; $M_{\text{Ch}} \sim (1.7 \times 10^{38})^{3/2}m_{\text{n}}/4 \approx 9 \times 10^{29}\,\mathrm{kg} \approx 0.5\,M_\odot$ — le calcul exact affine l’ordre de grandeur en $1.4\,M_\odot$ . 12. $\hbar$ (la pression est quantique), $c$ (son adoucissement relativiste), $G$ (l’adversaire) : un nombre à l’échelle stellaire bâti sur trois constantes microscopiques — la mécanique quantique légiférant pour des objets de $10^{57}$ particules. 13. La dégénérescence des neutrons, à un rayon plus petit d’un facteur $\sim m_{\text{e}}/m_{\text{n}}$ (à la comptabilité de $\mu_e$ près) : des kilomètres — l’étoile à neutrons. 14. Les mêmes trois constantes avec $m_{\text{n}}$ partout donnent la même échelle de masse : les étoiles à neutrons plafonnent vers $2\,M_\odot$ ; au-delà, aucune loi de pression ne gagne — un trou noir. 15. $GM^2/R \approx 5 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ : plusieurs centaines de fois toute la production du Soleil sur dix milliards d’années, libérée en quelques secondes. 16. La supernova 1987A : deux douzaines de neutrinos, arrivés des heures avant l’éclat lumineux, portant exactement l’énergie prédite — l’effondrement entendu directement. 17. Effondrement de cœur : le cœur de fer d’une étoile massive implose au-delà de tout plancher de pression ; l’enveloppe est soufflée. Type Ia : une naine blanche nourrie jusqu’au seuil enflamme son carbone en un éclair thermonucléaire qui délie l’étoile entière. 18. Même masse-gâchette, même combustible, même énergie libérée : des courbes de lumière presque identiques — des bombes calibrées. 19. Connaissant l’éclat absolu, l’éclat observé donne la distance par le carré inverse ; sans le mot « standard » l’échelle s’effondre. 20. Trop faible signifie trop loin : l’expansion s’est accélérée — l’énergie sombre, dont la preuve repose sur l’uniformité des chandelles (d’où le soin apporté à leur physique). 21. Principe d’exclusion $\to$ pression de dégénérescence $\to$ une masse limite universelle $\to$ des explosions standardisées $\to$ l’accélération mesurée de l’univers. 22. Suivre les mathématiques où qu’elles mènent : le comportement « absurde » des étoiles au-delà de la limite s’est révélé être les étoiles à neutrons et les trous noirs — tous deux catalogués aujourd’hui par milliers. 23. En 1915 aucune physique connue n’autorisait une tonne par centimètre cube ; en 1926 la statistique de Fermi–Dirac en a fait l’état par défaut de tout gaz dense et froid : l’observation attendait la statistique, non l’inverse. 24. Que des naines existent de façon stable sur une plage de masses (la branche $R(M)$ ), et que cette branche s’arrête à $1.4\,M_\odot$ : les deux sont dessinées dans cet histogramme. 25. $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ : trois constantes fixent la naine blanche la plus lourde — et par là la masse-gâchette des chandelles standard qui ont pesé le destin de l’univers.