Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

20Photons et phonons

La théorie quantique est née du sujet de ce chapitre. En 1900, le spectre des corps incandescents refusait d’obéir à la physique classique — pire, la physique classique prédisait une énergie infinie aux courtes longueurs d’onde, la « catastrophe ultraviolette » — et le remède désespéré de Planck, l’énergie par paquets de $h\nu$ , s’est révélé la clé maîtresse du siècle. Avec la machinerie désormais assemblée — le comptage des modes du Chapitre 7, la thermodynamique de l’oscillateur du Chapitre 17 — la loi de Planck tient en une demi-page : un gaz de photons, un oscillateur occupé selon Bose par mode de cavité. La même demi-page, avec du son à la place de la lumière, donne la théorie des solides de Debye et la capacité thermique en $T^3$ que le modèle d’Einstein manquait. Et emplissant chaque centimètre cube de l’univers se trouve le chef-d’œuvre du sujet : le fond diffus cosmologique à 2,725 kelvins, le corps noir le plus parfait jamais mesuré — le rayonnement thermique du jeune univers lui-même, qui nous parvient encore.

20.1 La loi de Planck, démontrée

Théorème 20.1 (Le spectre du corps noir)

Une cavité à la température $T$ supporte des modes électromagnétiques — des ondes stationnaires comptées exactement comme dans Proposition 7.5, deux fois pour la polarisation :

g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .

Chaque mode est un oscillateur quantique portant, à l’équilibre, $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ photons (Exercice 17.5 ; de façon équivalente, des bosons à $\mu = 0$ ). L’énergie par unité de volume et de fréquence vaut donc

u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\, \frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :

la loi de Planck (1900). Ses conséquences, toutes conformes à la mesure : le maximum en $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (la loi du déplacement de Wien du volume de deuxième année, maintenant démontrée) ; le flux total issu d’une surface noire $\Phi = \sigma T^4$ avec

\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}

(Stefan–Boltzmann, sa constante désormais bâtie sur $h$ , $c$ , $k_{\text{B}}$ ) ; et la densité de photons $n_\gamma \approx 2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ par mètre cube.

Démonstration partielle. Multiplions le comptage des modes par $h\nu\,\bar n$ . L’intégrale d’énergie totale, avec $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ et $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (admis), donne $u_{\text{tot}} = aT^4$ et, avec le facteur de flux standard $c/4$ , le $\sigma$ annoncé. La loi de Wien est la maximisation de Exercice 20.1. À basse fréquence ( $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ ) chaque mode porte $k_{\text{B}}T$ — Rayleigh–Jeans, correct pour la radio, catastrophique si on l’étend à tout $\nu$ : la coupure de Planck, c’est le permis de l’équipartition (Théorème 17.5) révoqué mode par mode. ∎

Spectres de Planck à trois températures (chacun mis à une hauteur comparable : les aires vraies croissent comme T4). La droite classique de Rayleigh–Jeans suit le flanc de basse fréquence puis s’envole vers la catastrophe ultraviolette ; le péage h de Planck ferme les modes de haute fréquence et rabat la courbe. — Spectres de Planck à trois températures (chacun mis à une hauteur comparable : les aires vraies croissent comme $T^4$ ). La droite classique de Rayleigh–Jeans suit le flanc de basse fréquence puis s’envole vers la catastrophe ultraviolette ; le péage $h\nu$ de Planck ferme les modes de haute fréquence et rabat la courbe.

Exemple 20.2 (Trois thermomètres)

Le Soleil ( $T = 5800\,\mathrm{K}$ ) : maximum à $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — nos yeux ont évolué sur son maximum. Un corps à $310\,\mathrm{K}$ : maximum vers $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , rayonnant $\sigma T^4 \approx 520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ par mètre carré de peau (heureusement, la pièce rayonne en retour ; Exercice 20.2). L’univers ( $T = 2.725\,\mathrm{K}$ ) : maximum vers $1.9\,\mathrm{mm}$ , soit $160\,\mathrm{GHz}$ en fréquence, $411$ photons par centimètre cube — le fond diffus cosmologique, le grand exemple de ce chapitre (Problème 20.1).

Proposition 20.3 (Thermodynamique de la lumière)

Le gaz de photons a une densité d’énergie $u = aT^4$ ( $a = 4\sigma/c$ ), une pression

P = \frac u3 ,

une densité d’entropie $\tfrac43 aT^3$ , et un nombre de photons $\propto T^3$ . Conséquences : une boîte emplie de rayonnement qui se dilate adiabatiquement refroidit comme $T \propto 1/L$ — les photons de l’univers en expansion se sont refroidis de $3000$ K aux $2.725$ K d’aujourd’hui par un facteur d’étirement $\approx1100$ tout en gardant un spectre de Planck parfait ; et dans les étoiles massives la croissance en $T^4$ permet à la pression de radiation de rivaliser avec la pression du gaz, ce qui fixe une limite supérieure aux masses stellaires (Chapitre 27).

Démonstration partielle. $P = u/3$ : un gaz isotrope de particules à la vitesse $c$ délivre en pression le tiers de sa densité d’énergie (le facteur $\langle \cos^2\theta\rangle = 1/3$ , comme dans la théorie cinétique du volume de première année). L’entropie vient de $\dd U = T\dd S - P\dd V$ appliqué à $U = aT^4V$ . Adiabatique : $S \propto T^3V$ constant donne $T \propto V^{-1/3}$ . ∎

20.2 Phonons : l’achèvement de Debye

Théorème 20.4 (Le modèle de Debye)

Les vibrations d’un cristal sont des ondes élastiques quantifiées exactement comme la lumière : des phonons, trois polarisations à la vitesse du son $c_{\text{s}}$ , comptés comme des photons mais avec un total plafonné à $3N$ modes — ce plafond définissant la température de Debye

k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}} (6\pi^2n)^{1/3} .

La capacité thermique interpole entre les deux lois classiques :

C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}}) \qquad\text{(Dulong--Petit)} , \qquad C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}} \Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3 \;(T \ll \theta_{\text{D}}) :

la loi en $T^3$ qu’exigeait la calorimétrie des basses températures et que la fréquence unique d’Einstein ne pouvait donner (Exercice 17.6). La raison est la même que pour la lumière : si froid que soit le cristal, il existe des quanta sonores de grande longueur d’onde arbitrairement bon marché, et leur comptage à la manière des photons donne le $T^3$ des photons.

Démonstration partielle. Refaites le calcul des photons avec $c \to c_{\text{s}}$ , trois polarisations, et le total de modes $\int g\,\dd\nu = 3N$ fixant la coupure. À $T \ll \theta_{\text{D}}$ la coupure est invisible et l’intégrale d’énergie en $T^4$ donne $C \propto T^3$ ; à haute $T$ , chacun des $3N$ modes porte $k_{\text{B}}T$ . L’intégrale d’interpolation complète est admise. ∎

Capacité thermique d’un cristal : les deux modèles atteignent Dulong–Petit, mais à basse température la courbe à fréquence unique d’Einstein meurt exponentiellement tandis que les phonons bon marché de grande longueur d’onde de Debye soutiennent le T3 mesuré — la région des basses T est de la pure « physique des photons » avec du son. — Capacité thermique d’un cristal : les deux modèles atteignent Dulong–Petit, mais à basse température la courbe à fréquence unique d’Einstein meurt exponentiellement tandis que les phonons bon marché de grande longueur d’onde de Debye soutiennent le $T^3$ mesuré — la région des basses $T$ est de la pure « physique des photons » avec du son.

Exemple 20.5 (Les phonons sont de vraies particules)

Les phonons diffusent les neutrons et les rayons X avec conservation de l’énergie et de l’impulsion (cristalline) — les courbes de dispersion mesurées $\omega(\vect k)$ du Chapitre 23 en sont la spectroscopie. Ils portent la chaleur : la conductivité thermique d’un isolant est le $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ d’un gaz de phonons, et le diamant — rigide, léger, pur — conduit cinq fois mieux que le cuivre à température ambiante, par les seuls phonons (Exercice 20.12). Et ils s’éteignent à basse température comme $T^3$ , d’où les cristaux devenus « acoustiquement silencieux » des cryogénistes.

Méthode 20.6 (L’art du gaz de rayonnement)

(1) Compter les modes ( $\propto\nu^2$ par polarisation en 3D) ; les occuper avec $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$ ; intégrer — attendre des énergies en $T^4$ et des nombres et capacités en $T^3$ . (2) Les maximums par Wien ; les totaux par Stefan ; le $k_{\text{B}}T$ classique par mode seulement au-dessous de $h\nu \sim k_{\text{B}}T$ . (3) Pour les solides, plafonner les modes à $3N$ ( $\theta_{\text{D}}$ ) ; la forme d’Einstein pour les modes de branche optique, celle de Debye pour l’acoustique. (4) Rayonnement adiabatique : $T \propto V^{-1/3}$ . (5) Vérifier les deux constantes du métier : $\lambda_{ \max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ et $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$ .

Une maison vue par une caméra thermique : chaque surface rayonne son spectre de Planck, et la caméra lit la température directement dans l’infrarouge — Stefan, Boltzmann et Wien auditant la facture de chauffage.

20.3 Exercices

Exercice 20.1 ★

(a) À partir de la loi de Planck en longueur d’onde, montrer que le maximum obéit à $\lambda_{\max}T =$ const (l’équation transcendante peut être citée : $x = 4.965$ ). (b) Calculer les longueurs d’onde du maximum pour le Soleil, un filament à $2700\,\mathrm{K}$ , un corps à $310\,\mathrm{K}$ et le ciel à $2.725\,\mathrm{K}$ . (c) Lequel des quatre l’œil humain échantillonne-t-il bien, et quelle fraction de la production d’un filament est-elle visible (estimation : faible) ? (d) Pourquoi les « caméras infrarouges » sont-elles l’outil adapté aux personnes et aux bâtiments ?

Solution

Solution de Exercice 20.1.

(a) Poser $\dd u/\dd\lambda = 0$ donne $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$ , $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$ : $\lambda_{\max}T = hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (b) $0.50$ , $1.07$ , $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ et $1.06\,\mathrm{mm}$ . (c) Seul celui du Soleil ; un filament culmine dans le proche infrarouge et ne délivre en lumière que quelques pour cent de sa puissance — le rendement qui l’a mis à la retraite. (d) Les gens et les bâtiments « brillent » à dix microns : les imageurs thermiques sont les caméras du second maximum.

Exercice 20.2 ★

Bilans radiatifs. (a) Une personne ( $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , peau à $306\,\mathrm{K}$ ) dans une pièce à $293\,\mathrm{K}$ : la puissance nette rayonnée $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) Comparer au métabolisme de $100\,\mathrm{W}$ du corps : pourquoi le tolérons-nous (les vêtements, et la pièce qui rayonne en retour) ? (c) La Terre absorbe la lumière solaire sur $\pi R^2$ et rayonne sur $4\pi R^2$ : obtenir $T_{\text{eff}} = [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ avec $\Phi_\odot = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , un albédo $A = 0.30$ , et évaluer. (d) La moyenne de surface mesurée vaut $288\,\mathrm{K}$ : nommer le mécanisme des $33\,\mathrm{K}$ d’écart (Problème 9.1).

Solution

Solution de Exercice 20.2.

(a) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$ . (b) Le flux de retour de la pièce est déjà dans la différence ; les vêtements insèrent des surfaces intermédiaires tièdes — le rayonnement est une comptabilité à double sens. (c) $T_{\text{eff}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$ . (d) Le bonus de $33\,\mathrm{K}$ est l’effet de serre : la couverture infrarouge de Problème 9.1, quantifiée dans Exercice 20.9.

Exercice 20.3 ★

Compter les photons. (a) Avec $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ par mètre cube : la densité de photons du fond à $2.725\,\mathrm{K}$ . (b) La lumière solaire à la Terre : à partir de $\Phi_\odot$ et d’une énergie moyenne par photon $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$ , calculer le flux de photons par mètre carré et par seconde. (c) Une ampoule à incandescence de $60\,\mathrm{W}$ (5% de visible) : les photons visibles par seconde. (d) Pourquoi « compter les photons » est-il courant pour les astronomes mais absurde pour les radiateurs ?

Solution

Solution de Exercice 20.3.

(a) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} = 411$ par cm $^3$ . (b) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 6 \times 10^{21}$ photons par mètre carré et par seconde. (c) $3\,\mathrm{W}/ 3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ par seconde. (d) Les signaux astronomiques arrivent photon par photon — des cadences qu’un compteur résout ; les $10^{22}$ par seconde d’un radiateur sont un continuum pour tout détecteur.

Exercice 20.4 ★

La catastrophe et sa queue. (a) Montrer que l’équipartition classique ( $k_{\text{B}}T$ par mode) donne $u(\nu) = 8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$ , divergent une fois intégré. (b) Où la loi de Planck s’y réduit-elle ? (c) Les radioastronomes mesurent le fond à $1.4\,\mathrm{GHz}$ : y vérifier $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ et justifier leur habitude de la « température d’antenne », qui donne les intensités en kelvins. (d) Au maximum du fond, à $160\,\mathrm{GHz}$ , évaluer $h\nu/k_{\text{B}}T$ : le maximum est-il classique ?

Solution

Solution de Exercice 20.4.

(a) Le $k_{\text{B}}T$ par mode multiplié par le comptage en $\nu^2$ : intégré, infini — la catastrophe. (b) Pour $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ . (c) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$ : bien dans la queue classique, où l’intensité est $\propto T$ — d’où la « température de brillance » en kelvins. (d) $2.8$ : le maximum est là où la remise quantique de Planck agit à plein.

Exercice 20.5 ★★

Pression de radiation. (a) Obtenir $P = u/3$ par isotropie (ou accepter le facteur cinétique) et évaluer la pression de la lumière solaire sur l’orbite terrestre ; comparer à la pression atmosphérique. (b) À l’intérieur du Soleil ( $T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ ) : calculer $P_{\text{rad}} = aT^4/3$ et comparer à la pression du gaz $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$ . (c) La pression de radiation croît comme $T^4$ , celle du gaz comme $T$ : montrer pourquoi des étoiles suffisamment massives (donc plus chaudes) deviennent dominées par le rayonnement et instables — le plafond d’Eddington vers $\sim100\,M_\odot$ . (d) Les lasers : un faisceau de $1\,\mathrm{kW}$ focalisé pour pousser — quelle force ? Pourquoi les « rayons tracteurs » restent-ils au cinéma tandis que les pinces optiques (gradients, piconewtons) sont de vrais outils ?

Solution

Solution de Exercice 20.5.

(a) Pour le faisceau solaire dirigé, $P \approx \Phi/c = 4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : onze ordres sous l’atmosphère — les voiles ne fonctionnent que parce que l’espace soustrait tout le reste. (b) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$ : moins d’un millième de la pression du gaz — le Soleil est soutenu par son gaz. (c) $P_{\text{rad}}/P_{\text{gaz}} \propto T^3/n$ : les étoiles plus massives brûlent plus chaud, et le déluge en $T^4$ finit par rivaliser avec l’emprise gravitationnelle sur le gaz — une instabilité lumineuse plafonne les étoiles vers $\sim100\,M_\odot$ . (d) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ : les rayons tracteurs restent de la fiction ; les pinces exploitent des gradients de champ sur des objets microscopiques, où règnent les piconewtons (Problème 16.1).

Exercice 20.6 ★★

L’étirement de l’univers. Le fond a été émis à la recombinaison ( $T \approx 3000\,\mathrm{K}$ , le territoire de Exercice 18.12) et arrive à $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) À partir de $T \propto 1/a$ , le facteur d’étirement de toutes les longueurs depuis l’émission. (b) Montrer qu’un spectre de Planck reste de Planck sous un étirement uniforme de toutes les longueurs d’onde (qu’advient-il de $T$ ?). (c) Le maximum émis (de la lumière orange visible !) arrive où ? (d) Pourquoi le ciel est-il donc noir à l’œil et éblouissant pour un récepteur micro-onde ?

Solution

Solution de Exercice 20.6.

(a) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . (b) Le $\lambda$ de chaque mode s’étire du même facteur : la forme en $\nu^3$ se transforme en elle-même avec $T \to T/(1+z)$ — une courbe de Planck ne peut être dé-planckisée par l’expansion. (c) Le maximum rouge profond à $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ arrive à $1.06\,\mathrm{mm}$ . (d) Le même ciel est vide à $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ et saturé au millimètre : l’obscurité est un énoncé de longueur d’onde.

Exercice 20.7 ★★

Températures de Debye à partir du son. (a) Évaluer $\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ pour le cuivre ( $c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) et comparer aux $343\,\mathrm{K}$ calorimétriques. (b) Le diamant : $c_{\text{s}} \approx 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$ : calculer et comparer à $\approx2200\,\mathrm{K}$ . (c) Le plomb : mou et lourd — expliquer son $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ en une phrase. (d) Énoncer la règle liant la raideur d’un solide, sa masse atomique et sa température de gel quantique.

Solution

Solution de Exercice 20.7.

(a) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ contre les $343\,\mathrm{K}$ ajustées : la bonne échelle (une moyenne correcte sur les vitesses longitudinale et transverse comble l’écart). (b) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — en accord : le diamant est le cas extrême. (c) Une faible vitesse du son (mou) et des atomes lourds poussent tous deux $\theta_{\text{D}}$ vers le bas : le réseau du plomb est classique presque tout de suite. (d) $\theta_{\text{D}} \propto c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ , en gros : rigide et léger gèle tard, mou et lourd gèle tôt.

Exercice 20.8 ★★

Le cuivre à un kelvin. (a) Avec $C = \gamma T + \beta T^3$ , le $\gamma$ de Exemple 19.3 et le coefficient $T^3$ de Debye pour $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ : calculer les deux termes par mole à $1\,\mathrm{K}$ . (b) Lequel l’emporte, et de combien ? (c) À quelle température se croisent-ils ? (d) Pourquoi ce régime est-il la fenêtre du calorimétriste sur la densité d’états électronique ?

Solution

Solution de Exercice 20.8.

(a) Électronique : $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ donne $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; réseau : $1944R\dots$ — le terme $T^3$ de Debye donne $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . (b) Les électrons, d’un ordre de grandeur. (c) Vers $3\,\mathrm{K}$ (Exercice 19.5). (d) Sous le croisement, l’ordonnée à l’origine mesurée de $C/T$ est $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$ : une expérience de thermomètre et de chauffage lit la densité d’états de la surface de Fermi.

Exercice 20.9 ★★

Effet de serre à une couche. Soit la surface (température $T_s$ ) sous une mince couche atmosphérique (température $T_a$ ) transparente à la lumière solaire mais opaque à l’infrarouge thermique. (a) Écrire le bilan d’énergie de la couche (elle absorbe $\sigma T_s^4$ et rayonne $2\sigma T_a^4$ ) et celui de la surface (elle absorbe la lumière solaire $S$ plus $\sigma T_a^4$ ). (b) Montrer que $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{eff}}$ où $\sigma T_{\text{eff}}^4 = S$ . (c) Avec $T_{\text{eff}} = 255\,\mathrm{K}$ : évaluer $T_s$ et comparer à $288\,\mathrm{K}$ (l’atmosphère réelle est une couverture partielle et multicouche). (d) Relier à Problème 9.1 : quelle physique moléculaire rend la couche opaque dans l’infrarouge et pourtant transparente dans le visible ?

Solution

Solution de Exercice 20.9.

(a) Couche : absorbe $\sigma T_s^4$ , émet $2\sigma T_a^4$ (les deux faces) : $T_s^4 = 2T_a^4$ . Surface : $S + \sigma T_a^4 = \sigma T_s^4$ . (b) Éliminer $T_a$ : $S = \tfrac12\sigma T_s^4$ , soit $T_s = 2^{1/4}T_{\text{eff}}$ . (c) $1.19 \times 255 = 303\,\mathrm{K}$ — au-dessus des $288\,\mathrm{K}$ réels, parce que la vraie couverture est partielle et stratifiée. (d) Les quanta de vibration des gaz traces triatomiques : transparents à $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , opaques à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — la molécule de Problème 9.1.

Exercice 20.10 ★★★

La constante de Stefan depuis zéro. (a) Assembler $u_{\text{tot}} = \int u(\nu)\dd\nu$ avec $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ et le $\pi^4/15$ donné, pour obtenir $u = aT^4$ avec $a = 8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$ . (b) Le flux issu d’une surface noire vaut $c\,u/4$ (accepter le quart géométrique) : former $\sigma$ et l’évaluer numériquement à partir de $h$ , $c$ , $k_{\text{B}}$ . (c) Comparer à $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ . (d) Inversion historique : Planck a ajusté sa loi sur des spectres et en a extrait à la fois $h$ et $k_{\text{B}}$ (donc le nombre d’Avogadro) en 1900 — dites pourquoi la courbe du corps noir fixe deux constantes à la fois.

Solution

Solution de Exercice 20.10.

(a) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x = 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$ . (b–c) $\sigma = ac/4 = 2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — à partir de trois constantes, pile. (d) La forme de la courbe fixe $h/k_{\text{B}}$ (par $h\nu/k_{\text{B}}T$ ) et son échelle absolue fixe $k_{\text{B}}^4/h^3$ : deux équations, deux constantes — Planck a lu $h$ et $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}}$ sur un seul ajustement, des années avant les grains de Perrin.

Exercice 20.11 ★★★

Les coefficients A et B d’Einstein (1917). Des atomes à deux niveaux (énergies $0, h\nu_0$ ; populations $N_1, N_2$ ) baignent dans un rayonnement de densité spectrale $u(\nu_0)$ . Taux d’absorption : $B_{12}uN_1$ ; émission stimulée : $B_{21}uN_2$ ; spontanée : $AN_2$ . (a) Écrire le bilan d’équilibre. (b) Exiger que le rapport de Boltzmann $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ et le $u$ de Planck valent simultanément pour toute $T$ : obtenir $B_{12} = B_{21}$ et

\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .

(c) Interpréter : pourquoi l’équilibre thermique force-t-il l’émission spontanée à exister, et fixe-t-il son taux à partir de l’émission stimulée ? (d) Le $\nu^3$ : relier aux durées de vie de Exercice 13.8 et à la difficulté de faire laser aux fréquences des rayons X.

Solution

Solution de Exercice 20.11.

(a) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$ . (b) Résoudre en $u$ : $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$ ; imposer la forme de Planck pour toute $T$ force $B_{12} = B_{21}$ et $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$ . (c) Sans $A$ , aucun équilibre n’est possible face à la loi de Planck : l’équilibre lui-même exige que les atomes excités se désexcitent sans sollicitation, à un taux lié à celui de l’émission stimulée — Einstein a prédit l’émission spontanée par la thermodynamique, une décennie avant que la mécanique quantique ne la démontre. (d) $A \propto \nu^3$ : les états ultraviolets se désexcitent en nanosecondes (Exercice 13.8), donc les inversions coûtent ruineusement cher aux courtes longueurs d’onde — le problème du laser à rayons X.

Exercice 20.12 ★★★

Le diamant, l’autoroute des phonons. Conductivité thermique d’un isolant : $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ par unité de volume, avec $\ell$ le libre parcours moyen des phonons. (a) Pour le diamant à $300\,\mathrm{K}$ ( $C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$ , donc partiellement gelé ; $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\ell \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) : calculer $\kappa$ et comparer aux $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ du cuivre. (b) Pourquoi $\ell$ est-il si long dans le diamant (rigide, léger, isotopiquement propre — qu’est-ce qui diffuse les phonons ?). (c) Un diamant purifié isotopiquement double presque $\kappa$ : que révèle cela sur la diffusion des phonons par le désordre de masse isotopique ? (d) Deux usages : les répartiteurs de chaleur en électronique ; et pourquoi un diamant paraît froid sur la lèvre — expliquer la sensation.

Solution

Solution de Exercice 20.12.

(a) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4} \times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ : cinq fois le cuivre. (b) Rigide et léger signifie des phonons rapides ; un réseau pur, parfait et léger leur offre peu de quoi diffuser — $\ell$ atteint des milliers de paramètres de maille. (c) Même la différence de masse des atomes de $^{13}$ C diffuse les phonons de façon mesurable : le désordre isotopique est une vraie résistance, que la purification supprime. (d) Des répartiteurs de chaleur sous les puces de puissance ; et la chaleur de la lèvre fuit si vite qu’un vrai diamant paraît étonnamment froid — le test tactile du joaillier est une mesure de phonons.

Tout le ciel en micro-ondes (NASA/WMAP, domaine public) : le rayonnement de Planck à 2.7\, K du fond cosmologique, cartographié. Les marbrures valent une part sur 105 — les germes des galaxies, imprimés sur le corps noir de ce chapitre. — Tout le ciel en micro-ondes (NASA/WMAP, domaine public) : le rayonnement de Planck à $2.7\,\mathrm{K}$ du fond cosmologique, cartographié. Les marbrures valent une part sur $10^5$ — les germes des galaxies, imprimés sur le corps noir de ce chapitre.

20.4 Problème : la plus ancienne lumière

Problème 20.1

Problème du week-end — lire le fond diffus cosmologique

Pointer n’importe quel récepteur millimétrique vers n’importe quelle région du ciel et il rapporte le même signal : un spectre de Planck à $T = 2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$ , plus lisse que tout four jamais construit par l’humanité. C’est l’éclair de la recombinaison de l’univers (Exercice 18.12), étiré onze cents fois, et il porte le recensement du cosmos. Données : $T_0 = 2.725\,\mathrm{K}$ ; $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $u = aT^4$ , $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$ ; densité de baryons aujourd’hui $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ ; densité critique $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Partie I — Le spectre.

Calculer la longueur d’onde du maximum (Wien) du fond et sa densité de photons par centimètre cube.
Calculer sa densité d’énergie, en $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ et en $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ , et la fraction de la densité critique que représente son équivalent en masse.
Le spectre de COBE (1990) collait à Planck à quelques parties sur $10^4$ — l’auditoire a applaudi le graphique. Pourquoi un spectre thermique parfait venu d’un ciel vide est-il si difficile à expliquer autrement que par un passé chaud et dense ?
À l’émission, ces mêmes photons formaient un corps noir à $3000\,\mathrm{K}$ : vérifier le facteur d’étirement $1 + z = T_{\text{alors}}/T_0$ .
Pourquoi l’univers est-il devenu transparent précisément à cette température (rappeler quel équilibre du Chapitre 18 s’est éteint) ?
Le ciel nocturne est noir (le paradoxe d’Olbers de l’ancienne astronomie) : en quel sens précis est-il en réalité éclatant — à quelle longueur d’onde et à quelle température ?

Partie II — Le recensement.

Calculer le rapport photons sur baryons $\eta^{-1} = n_\gamma/n_{\text{b}}$ .
Ce nombre — environ deux milliards de photons par proton — est l’une des données fondamentales de la cosmologie : dites ce qu’il mesure de l’asymétrie matière–antimatière (rappeler Exercice 18.12 : les photons sont surtout des produits d’annihilation).
Comparer la densité d’énergie du fond à celle de la lumière des étoiles ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ moyennée sur l’univers) : quelle lumière domine le cosmos ?
Le fond l’emporte, en photons, sur tout ce que les étoiles ont jamais rayonné : pourquoi cela rend-il l’univers primordial « dominé par le rayonnement », et qu’a pris le relais ensuite (les lois en $T^4$ contre $T^3$ face au $a^{-3}$ de la matière) ?
Estimer l’époque de l’égalité matière–rayonnement : avec une densité de rayonnement variant comme $(1+z)^4$ et une densité de matière comme $(1+z)^3$ , et le rapport actuel $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ , trouver $z_{\text{eq}}$ .
Les neutrinos se sont découplés plus tôt et ont refroidi un peu plus (ils ont manqué le réchauffement par annihilation $e^+e^-$ de Exercice 18.12) : la prédiction $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — l’évaluer, et s’émerveiller d’une prédiction de mer de neutrinos à $1.95\,\mathrm{K}$ que personne n’a encore détectée directement.

Partie III — Les anisotropies.

Le fond est plus chaud de $3.4\,\mathrm{mK}$ dans une direction et plus froid à l’opposé : interpréter par la physique Doppler du Chapitre 4 et extraire notre vitesse ( $\Delta T/T = v/c$ ).
Une fois ce dipôle retiré, il reste des rides de $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ (COBE 1992, puis WMAP, Planck) : que cartographient-elles à $z = 1100$ ?
Ces germes de densité à $10^{-5}$ sont devenus des galaxies : pourquoi la gravité amplifie-t-elle les surdensités (quelle instabilité), et pourquoi la croissance a-t-elle dû attendre l’égalité matière–rayonnement pour démarrer vraiment ?
La taille de ride la plus marquée (environ un degré sur le ciel) est une longueur d’onde acoustique — du son dans le plasma photons–baryons (le gaz de ce chapitre plus les ondes du Chapitre 3 !) : qu’est-ce qui fixe son échelle (la distance parcourue par le son avant la recombinaison) ?
Mesurer cet angle face à l’échelle physique connue triangule la géométrie de l’univers : énoncer le résultat (plate, au pour cent près).
Le monopôle à $2.7\,\mathrm{K}$ , le dipôle à $3\,\mathrm{mK}$ , les rides à $10^{-5}$ : classer ce que chacun a enseigné (un passé chaud ; notre mouvement ; les germes et la géométrie de tout).

Partie IV — L’héritage.

Penzias et Wilson ont trouvé le signal en 1965 comme un bruit d’antenne impossible à supprimer (après avoir expulsé les pigeons) : pourquoi un excès isotrope et indépendant de la saison à $3\,\mathrm{K}$ était-il inexplicable par une source locale ou galactique ?
Environ $1\%$ de la neige d’un téléviseur analogique non réglé était ce signal : y réfléchir en une phrase.
Le fond traverse les amas de galaxies et se fait légèrement pousser vers les hautes fréquences par les électrons chauds (l’effet Sunyaev–Zel’dovitch) : pourquoi cela rend-il les amas visibles comme des ombres à basse fréquence, et quelle est la vertu particulière d’une telle ombre (indépendante de la distance) ?
La frontière d’aujourd’hui traque la polarisation du fond pour y trouver l’empreinte des ondes gravitationnelles primordiales : quels chapitres de ce livre une telle découverte marierait-elle (la polarisation du Chapitre 6, les ondes de la gravitation) ?
Calculer le flux de photons du fond à travers votre corps ( $n_\gamma c/4$ par unité d’aire, section efficace du corps $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ) : combien de vestiges du Big Bang vous traversent chaque seconde ?
Le fond distingue un référentiel de repos (celui où le dipôle s’annule) : expliquer pourquoi cela ne contredit pas la relativité — quel genre de référentiel est privilégié par le contenu matériel plutôt que par les lois ?
Résumer le résultat nommé : une courbe de Planck à $2.725$ kelvins emplissant le ciel — $411$ photons par centimètre cube, deux milliards par baryon, maximum à $160\,\mathrm{GHz}$ — est le reçu thermique du commencement chaud : la physique statistique comme pierre de fondation de la cosmologie.

Solution

Solution de Problème 20.1.

1. $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$ ; $411$ photons par cm $^3$ . 2. $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx 0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ; l’équivalent en masse $u/c^2 \approx 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : environ $5\times10^{-5}$ du critique. 3. Un spectre thermique exige que l’émetteur et le rayonnement se soient équilibrés — impossible pour un ensemble d’étoiles, de poussières ou de plasmas additionnés le long de lignes de visée différentes ; seul un univers qui fut lui-même une cavité chaude et opaque convient. 4. $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . 5. L’équilibre de Saha est passé aux atomes neutres : les électrons libres ont disparu, la diffusion Thomson a cessé, et les photons volent intacts depuis lors. 6. Éclatant aux longueurs d’onde millimétriques, à $2.725\,\mathrm{K}$ : le ciel d’Olbers est embrasé — le décalage vers le rouge a sorti l’embrasement du visible. 7. $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ photons par baryon. 8. Les photons sont les cendres de l’annihilation matière–antimatière ; les baryons sont l’excédent d’un pour un milliard qui a survécu : $\eta$ mesure l’asymétrie primordiale — toujours inexpliquée. 9. $4.2 \times 10^{-14}\,$ contre $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : la lumière fossile surpasse en densité d’énergie tout ce que les étoiles ont jamais émis. 10. Le rayonnement se dilue en $a^{-4}$ (le nombre en $a^{-3}$ , chaque photon étiré de $a^{-1}$ ), la matière en $a^{-3}$ : aux débuts le rayonnement régnait ; la matière l’a dépassé à l’égalité, laissant croître les structures. 11. $1 + z_{\text{eq}} \approx 3400$ . 12. $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 = 1.95\,\mathrm{K}$ : un fond cosmique de neutrinos prédit, le chèque non encaissé le plus audacieux de la physique thermique. 13. $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3} \approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : le mouvement du Système solaire à travers le référentiel fossile. 14. Les rides de température (donc de densité et de vitesse) de l’univers à 380 000 ans : une photographie des germes. 15. Les régions surdenses attirent plus fort et croissent (l’instabilité gravitationnelle) ; avant l’égalité, la pression de radiation les faisait rebondir — la croissance a attendu le règne de la matière. 16. La distance parcourue par le son ( $c/\sqrt3$ dans le fluide photons–baryons) jusqu’à la recombinaison — l’horizon sonore, une règle acoustique enfouie dans le ciel. 17. L’angle s’accorde à la géométrie d’un univers plat au pour cent près : les parallèles, cosmiquement, restent parallèles. 18. Monopôle : le commencement chaud. Dipôle : nos $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Rides : l’origine des structures et la géométrie de l’espace — chaque décimale, une découverte. 19. Il était égal dans toutes les directions, jour et nuit, été comme hiver, et sans pigeons : rien de local, de galactique ni d’instrumental n’est aussi isotrope — rien que le ciel lui-même. 20. Un souffle sur chaque poste mal réglé : le Big Bang passait à la télévision depuis toujours. 21. Les électrons chauds des amas propulsent par effet Compton les photons du fond vers le haut en fréquence : sous la fréquence de croisement, l’amas retire des photons — une silhouette dont la profondeur ne dépend pas de la distance, ce qui permet aux relevés de trouver des amas à tout décalage vers le rouge. 22. Des ondes gravitationnelles primordiales tordraient la polarisation du fond en « modes B » : les ondes de la relativité lues dans une lumière diffusée par effet Thomson — deux fils de ce livre noués. 23. $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$ : environ $10^{16}$ photons du Big Bang vous traversent chaque seconde, sans que vous le sentiez. 24. C’est un référentiel désigné par le contenu (celui où le rayonnement est isotrope), non par les lois : la relativité n’interdit que les référentiels privilégiés par les lois — se déplacer à travers le fond est détectable, se déplacer à travers l’espace-temps ne l’est pas. 25. Une courbe de Planck à $2.725\,\mathrm{K}$ sur chaque ligne de visée — $411$ photons par centimètre cube, $10^9$ par baryon, des rides à $10^{-5}$ : le corps noir de la physique statistique, promu document fondateur de la cosmologie.