24Les électrons dans les solides

Solution de Exercice 24.1.

(a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$. (b) $\ell = v_{\text{F}}\tau \approx 39\,\mathrm{nm}$. (c) Environ 110 paramètres de maille. (d) Un électron qui file devant une centaine d’ions sans diffuser ne peut pas rebondir sur les ions eux-mêmes — le réseau doit lui être transparent, exactement ce que le théorème de Bloch (Théorème 24.3) démontrera plus tard.

Solution de Exercice 24.2.

(a) $v_{\text{d}} = I/neA = 7.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — moins d’un millimètre par seconde. (b) Environ 23 minutes. (c) Le champ s’établit le long du fil à une vitesse proche de celle de la lumière et met toute la mer d’électrons en dérive d’un coup : les marcheurs sont lents, l’ordre de marcher ne l’est pas. (d) $v_{\text{d}}/v_{\text{F}} \sim 10^{-9}$ : la conduction est un biais imperceptible sur un mouvement quantique violent, non un écoulement classique paisible.

Solution de Exercice 24.3.

(a) Bande à moitié pleine : métal, $\dd\rho/\dd T > 0$. (b) Deux électrons rempliraient exactement sa bande — le magnésium conduit parce que sa bande pleine recouvre la suivante, vide : métal, $\dd\rho/\dd T > 0$. (c) Bande pleine, gap de $5.5\,\mathrm{eV}$ : isolant (formellement $\dd\rho/\dd T < 0$, mais sans pratiquement aucun porteur à compter). (d) Semi-conducteur : $\dd\rho/\dd T < 0$, le changement de signe exponentiel qui trahit la classe.

Solution de Exercice 24.4.

(a) $\lambda = hc/E_{\text{g}} = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : le silicium est transparent dans l’infrarouge au-delà — et c’est pourquoi les caméras infrarouges peuvent avoir des lentilles en silicium. (b) $225\,\mathrm{nm}$, dans l’ultraviolet : aucun photon visible ne peut être absorbé, donc le diamant est limpide comme l’eau. (c) $365\,\mathrm{nm}$ : un gap assez large pour le bleu ($2.8\,\mathrm{eV}$) existe dans les nitrures et presque nulle part ailleurs de façon pratique — la DEL bleue a attendu des décennies la croissance des matériaux. (d) Son gap fixe son photon : la surcharge ajoute de la chaleur, non de la largeur de gap, et la diode cuit dans le noir — la couleur d’une DEL est une constante du matériau, non un réglage de luminosité.

Solution de Exercice 24.5.

(a) $\kappa/\sigma T = 400/(5.9\times10^7\times300) = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$. (b) À dix pour cent près de $L$. (c) Les mêmes électrons de la surface de Fermi portent la charge et la chaleur, si bien que leur temps de diffusion se simplifie dans le rapport. (d) La casserole d’acier conduit la chaleur vers les aliments parce que ses électrons bougent ; le manche de bois, isolant dans les deux sens, les garde — et garde la chaleur — loin de votre main.

Solution de Exercice 24.6.

(a) Cinquante pour cent de plus — flagramment absents de l’expérience. (b) $T/T_{\text{F}} \approx 0.004$ : le terme électronique est étranglé sous le pour cent. (c) Le $T^3$ du réseau s’effondre plus vite que le $T$ des électrons : sous quelques kelvins, les électrons « négligeables » sont tout ce qui reste. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ : l’ordonnée à l’origine $\gamma$ pèse les électrons, la pente $\beta$ le réseau — un seul graphique, les deux locataires.

Solution de Exercice 24.7.

(a) $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3} = 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $\lambda_{\text{F}} = 4.6\,\text{Å}$. (b) $2a = 7.2\,\text{Å}$ : le même ordre — la surface de Fermi du cuivre s’approche de la frontière de zone, et la physique d’ouverture du gap se joue aux énergies qui comptent. (c) Une onde stationnaire entasse sa charge sur les ions positifs (énergie électrostatique plus basse), l’autre entre eux (plus haute) : même longueur d’onde, deux énergies — le gap. (d) Le libre parcours de 110 paramètres de maille : les ondes de Bloch ne diffusent pas sur un réseau parfait, il ne reste donc que les vibrations et les impuretés pour résister.

Solution de Exercice 24.8.

(a) $E_{\text{g}}/2k_{\text{B}} = 6500\,\mathrm{K}$ : $\exp[6500(1/300 - 1/400)] \approx 230$. (b) La résistance de la thermistance plonge exponentiellement — une courbe raide et sensible ; celle du platine monte doucement et linéairement (plus de phonons). L’une est un thermomètre par comptage de porteurs, l’autre par diffusion. (c) Les porteurs naissent en paires électron–trou, et l’équilibre $np = n_{\text{i}}^2$ partage le coût du gap entre les deux — d’où le $E_{\text{g}}/2$. (d) $n_{\text{i}}$ atteint $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ vers $760\,\mathrm{K}$ : le dopage est noyé et le circuit oublie sa conception. Les composants réels abandonnent plus tôt — leurs fuites inverses, qui doublent tous les dix kelvins, se conduisent mal les premières.

Solution de Exercice 24.9.

(a) $5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ — cinq millions de fois $n_{\text{i}}$. (b) Le même facteur $\sim5\times10^6$ : une poussière par million d’atomes s’approprie la conductivité. (c) Parce que des ppm accidentelles feraient de même sans y être invitées : seul un cristal pur au ppb près a une conductivité qui appartient au concepteur. (d) $d \sim n^{-1/3} \approx 27\,\mathrm{nm}$, dix fois l’orbite de $2.4\,\mathrm{nm}$ : les donneurs sont des hydrogènes isolés ; pousser le dopage d’un facteur cent et les orbites se touchent — une bande d’impuretés, et finalement un métal.

Solution de Exercice 24.10.

(a) $E = 13.6\times0.26/11.7^2 \approx 26\,\mathrm{meV}$ (la valeur mesurée pour le phosphore, $45\,\mathrm{meV}$, garde l’échelle honnête). (b) Comparable à $k_{\text{B}}T = 26\,\mathrm{meV}$ : pratiquement tous les donneurs sont ionisés à température ambiante — la prémisse de Définition 24.5. (c) $a = 0.53\,\text{Å}\times\varepsilon_{\text{r}}/(m^*/ m_{\text{e}}) \approx 2.4\,\mathrm{nm}$. (d) Une orbite qui s’étend sur des dizaines de mailles voit le cristal comme un milieu lisse — et c’est précisément la condition sous laquelle un $\varepsilon_{\text{r}}$ de volume et un $m^*$ moyenné sur la bande sont légitimes : l’approximation se certifie elle-même.

Solution de Exercice 24.11.

(a) $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$. (b) $eV/k_{\text{B}}T = 19.3$ : rapport $\eu^{19.3} \approx 2\times10^{8}$ — la diode est une voie à sens unique à huit chiffres. (c) $I_0 \propto n_{\text{i}}^2 \propto \eu^{-E_{\text{g}}/k_{\text{B}}T}$ : la même exponentielle qu’en Exercice 24.8, d’où le doublement en règle empirique. (d) Les quatre diodes forment un losange : à chaque demi-période, la paire polarisée en direct dirige le courant dans le même sens à travers la charge — de l’alternatif à l’entrée, du continu cahoteux à la sortie.

Solution de Exercice 24.12.

(a) Rétrécir le gap et davantage de photons le franchissent, mais chacun ne délivre que la petite énergie de gap ; l’élargir et chaque photon paie plus cher mais moins nombreux sont admis : le produit récolte $\times$ tension culmine entre les deux. (b) Juste sous l’optimum de $1.3\,\mathrm{eV}$ : le plafond idéal du silicium est de $\sim30\,\%$ — assez proche pour que son bas prix l’emporte. (c) La cellule supérieure à grand gap prend le bleu à haute tension et laisse passer le rouge vers la cellule à petit gap en dessous : chaque photon est récolté près de sa propre énergie, la thermalisation diminue, et le plafond de l’empilement grimpe vers les quarante. (d) La chaleur relève $I_0$ exponentiellement, ce qui tire vers le bas la tension en circuit ouvert $\sim(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ ; et le gap lui-même rétrécit légèrement, échangeant de la tension contre un courant qu’il ne peut pas entièrement récupérer.