Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

4Cinématique relativiste

Les rayons cosmiques qui frappent la haute atmosphère y créent des muons à quinze kilomètres d’altitude — des particules instables qui vivent, en moyenne, deux microsecondes. Deux microsecondes à une vitesse proche de celle de la lumière font six cents mètres ; et pourtant les détecteurs de muons au niveau de la mer cliquettent sans relâche, comptant des particules qui ont franchi vingt fois leur portée. La résolution de ce paradoxe n’est pas un détail de physique des particules mais une révision des concepts qui portent toute la physique : le temps s’écoule autrement pour le muon en mouvement que pour nous, et les distances se contractent le long de son mouvement. Ce chapitre construit cette révision — la relativité restreinte (Einstein, 1905) — à partir de ses deux postulats : les lois de la physique sont les mêmes dans tout référentiel galiléen, et la lumière dans le vide y a partout la même vitesse. Tout le reste suit d’une cinématique honnête : l’enchevêtrement de l’espace et du temps dans la transformation de Lorentz, la dilatation du temps, la contraction des longueurs, la nouvelle règle d’addition des vitesses, et la géométrie — l’espace-temps et son intervalle invariant — où tout cela devient aussi naturel que des rotations.

4.1 Deux postulats contre le temps absolu

Remarque 4.1 (D’où vient le conflit)

La mécanique a toujours eu son principe de relativité : à l’intérieur d’un navire qui file doucement, aucune expérience de billes et de pendules ne trahit le mouvement (Galilée), et les lois de Newton valent dans tout référentiel galiléen, c’est-à-dire tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre. Mais l’électromagnétisme du volume de deuxième année déduit pour la lumière une vitesse déterminée, $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , à partir de constantes de la nature, sans dire qui la mesure — et l’expérience confirme : la vitesse de la lumière des étoiles arrivant sur la Terre en mouvement, mesurée au fil des saisons, ne varie jamais (Michelson et Morley, 1887, et tous leurs successeurs). La cinématique galiléenne, où les vitesses s’additionnent, ne peut digérer une vitesse identique pour tous. Quelque chose doit céder, et c’est notre postulat que le temps et la simultanéité sont absolus.

Théorème 4.2 (Les postulats de la relativité restreinte)

(i) Relativité : les lois de la physique prennent la même forme dans tout référentiel galiléen ; aucune expérience ne distingue le repos du mouvement uniforme. (ii) Lumière : la lumière dans le vide se propage à la même vitesse $c$ dans tout référentiel galiléen, quel que soit le mouvement de la source ou de l’observateur.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Définition 4.3 (Événements et simultanéité)

Un événement est une occurrence ponctuelle : un lieu déterminé et un instant déterminé — une étincelle, un clic de détecteur, une désintégration. Chaque référentiel galiléen attribue à un événement ses coordonnées $(t, x, y, z)$ , au moyen de règles au repos dans le référentiel et d’horloges synchronisées qui y sont réparties. Deux événements sont simultanés dans un référentiel lorsque les horloges de ce référentiel leur attribuent le même $t$ — et la première victime des postulats est que cette notion dépend du référentiel.

Exemple 4.4 (Le train et les deux éclairs)

La foudre frappe les deux extrémités d’un train rapide, laissant des marques sur le train et sur la voie. Pour l’observatrice au sol, à mi-distance des marques, les deux éclairs arrivent ensemble : les impacts ont été simultanés pour elle. Le passager assis au milieu du train, lui, va vers l’un des éclairs et s’éloigne de l’autre ; la lumière allant à $c$ dans son référentiel aussi, l’éclair avant l’atteint d’abord — et comme il se tient à égale distance des deux marques sur le train, il doit conclure que l’impact avant a eu lieu plus tôt. Aucun des deux n’a tort : la simultanéité d’événements séparés n’est pas un fait du monde, mais du référentiel. Tout « paradoxe » relativiste se dissout ici.

Deux impacts marquant à la fois le train et la voie. L’observatrice au sol, à mi-distance des marques, reçoit les éclairs ensemble : simultanés pour elle. Le passager court vers l’éclair B ; celui-ci l’atteint d’abord et — à égale distance des marques dans son propre référentiel — il conclut que B a frappé d’abord. La simultanéité est relative.

4.2 La transformation de Lorentz

Théorème 4.5 (Transformation de Lorentz)

Soit le référentiel $\mathcal R'$ animé de la vitesse $v$ le long de l’axe $x$ du référentiel $\mathcal R$ , leurs origines coïncidant à $t = t' = 0$ . Un événement $(t, x)$ de $\mathcal R$ a dans $\mathcal R'$ les coordonnées

x' = \gamma\,(x - vt) , \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{v\,x}{c^2}\Big) , \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} ,

avec $y' = y$ , $z' = z$ ; la transformation inverse est la même avec $v \to -v$ . Pour $v \ll c$ , $\gamma \to 1$ et l’on retrouve les formules de Galilée $x' = x - vt$ , $t' = t$ . Le facteur $\gamma \ge 1$ — à peine $1$ aux vitesses ordinaires, $1.15$ à $c/2$ , $7.1$ à $0.99c$ — mesure tous les effets relativistes de ce chapitre.

Démonstration partielle. L’homogénéité de l’espace et du temps impose une transformation linéaire ; la symétrie entre les référentiels et le postulat de relativité la réduisent à $x' = \gamma(x - vt)$ , $x = \gamma(x' + vt')$ avec une seule fonction inconnue $\gamma(v)$ . Suivons un éclair de lumière émis à l’origine commune : le postulat (ii) exige $x = ct$ et $x' = ct'$ . En substituant, $ct' = \gamma t(c - v)$ et $ct = \gamma t'(c + v)$ ; en multipliant les deux équations, $c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2)$ , ce qui donne le $\gamma$ annoncé. En éliminant $x'$ entre les deux relations linéaires, on obtient la formule du temps. (Le passage de « la lumière est d’accord » à « la transformation est entièrement fixée » — aucune dilatation résiduelle des directions transverses, aucun changement d’échelle — utilise les arguments de symétrie détaillés dans Exercice 4.11.) ∎

Proposition 4.6 (Dilatation du temps)

Une horloge au repos dans $\mathcal R'$ — battant à $x'$ fixé — est vue de $\mathcal R$ comme retardant : entre deux de ses battements séparés par le temps propre $\Delta\tau$ (le temps du référentiel où l’horloge repose), le référentiel $\mathcal R$ mesure

\Delta t = \gamma\,\Delta\tau \ge \Delta\tau .

Les horloges en mouvement retardent — toutes, biologiques, atomiques ou subatomiques, car c’est le temps lui-même, et non un mécanisme, qui se dilate.

Démonstration. Deux battements au même $x'$ : la transformation inverse donne $\Delta t = \gamma(\Delta t' + v\,\Delta x'/c^2) = \gamma\,\Delta\tau$ puisque $\Delta x' = 0$ . L’image de l’horloge à lumière (Exercice 4.2) donne le même $\gamma$ par le seul théorème de Pythagore. ∎

Proposition 4.7 (Contraction des longueurs)

Une tige de longueur propre $L_0$ (sa longueur dans son référentiel propre), en mouvement selon sa longueur à la vitesse $v$ , mesure au laboratoire

L = \frac{L_0}{\gamma} \le L_0 .

Les dimensions transverses sont inchangées. Mesurer une tige en mouvement, c’est repérer ses deux extrémités au même instant du laboratoire — et comme la simultanéité dépend du référentiel, la longueur aussi.

Démonstration. Marquons les deux extrémités au même temps $t$ du laboratoire : la transformation donne $\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t) = \gamma\,\Delta x$ avec $\Delta t = 0$ , et $\Delta x' = L_0$ : d’où $\Delta x = L_0/\gamma$ . ∎

L’horloge à lumière : un photon rebondissant entre deux miroirs. Vu du référentiel où l’horloge se déplace, le photon parcourt un trajet plus long, incliné, à la même vitesse c : le battement dure plus longtemps, t = \,, par le seul théorème de Pythagore. — L’horloge à lumière : un photon rebondissant entre deux miroirs. Vu du référentiel où l’horloge se déplace, le photon parcourt un trajet plus long, incliné, à la même vitesse $c$ : le battement dure plus longtemps, $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ , par le seul théorème de Pythagore.

Exemple 4.8 (Le muon, expliqué deux fois)

Un muon à $v = 0.995c$ a $\gamma = 10$ . Dans notre référentiel, son horloge interne retarde d’un facteur dix : ses deux microsecondes de vie propre s’étirent à vingt, et il parcourt six kilomètres au lieu de six cents mètres. Dans le référentiel du muon, sa vie est les $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ordinaires — mais la montagne qui fonce sur lui est contractée d’un facteur dix, et y tient. Les deux référentiels s’accordent sur l’unique fait physique, le muon atteint-il le détecteur : la relativité rebat les temps et les longueurs, jamais les résultats (Problème 4.1).

Méthode 4.9 (Ne pas confondre les effets)

(1) Identifier les événements (émission, arrivée, battement, désintégration), et non des « objets ». (2) Le temps propre $\Delta\tau$ appartient à l’unique horloge présente aux deux événements : tout autre référentiel mesure davantage, $\gamma\Delta\tau$ . (3) La longueur propre $L_0$ appartient au référentiel propre de la tige : tout autre référentiel mesure moins, $L_0/\gamma$ . (4) Quand le « paradoxe » frappe, chercher les deux événements spatialement séparés que l’on appelle silencieusement simultanés, et demander : dans quel référentiel ? (5) Vérifier la limite $v/c \to 0$ , et retenir $\gamma - 1 \approx \tfrac12 v^2/c^2$ aux faibles vitesses — l’ordre de grandeur des corrections relativistes du quotidien.

4.3 Composer les vitesses ; effet Doppler

Proposition 4.10 (Composition relativiste des vitesses)

Si un corps se déplace à $u'$ selon $x'$ dans le référentiel $\mathcal R'$ , lui-même animé de $v$ par rapport à $\mathcal R$ , alors $\mathcal R$ mesure non pas $u' + v$ mais

u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2} .

Aux vitesses ordinaires le dénominateur vaut $1$ et Galilée revient ; pour $u' = c$ la formule donne $u = c$ quel que soit $v$ — la lumière va à $c$ pour tout le monde, comme il a été imposé ; et aucune composition de vitesses inférieures à $c$ n’atteint jamais $c$ .

Démonstration. $u = \dd x/\dd t$ avec la transformation inverse : $\dd x = \gamma(\dd x' + v\,\dd t')$ , $\dd t = \gamma(\dd t' + v\,\dd x'/c^2)$ ; il suffit de diviser. ∎

Exemple 4.11 (Le coefficient de Fresnel expliqué)

Dans l’eau immobile la lumière va à $c/n$ . Dans une eau qui coule à $v$ , Fizeau mesura (1851) l’énigmatique $c/n + v(1 - 1/n^2)$ : pas l’entraînement complet $c/n + v$ . Composons $u' = c/n$ avec $v$ :

u = \frac{c/n + v}{1 + v/nc} \approx \Big(\frac{c}{n} + v\Big)\Big(1 - \frac{v}{nc}\Big) \approx \frac{c}{n} + v\Big(1 - \frac{1}{n^2}\Big) ,

au premier ordre en $v/c$ . Un résultat de paillasse du dix-neuvième siècle, alors inexplicable, est la loi de composition des vitesses lue au premier ordre — l’une des confirmations discrètes qu’Einstein citait en 1905.

Proposition 4.12 (Effet Doppler longitudinal)

Une source de fréquence propre $f_0$ qui s’éloigne à la vitesse $v = \beta c$ selon la ligne de visée est reçue à

f = f_0\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \qquad \text{(en approche~: } \beta \to -\beta\text{)} .

Deux effets se composent : l’étirement classique des temps d’arrivée, chaque crête partant de plus loin, et le ralentissement relativiste de l’horloge de la source — le $\gamma$ qui subsiste même à $90^\circ$ (l’effet Doppler transverse, pure dilatation du temps).

Démonstration. Dans le référentiel du récepteur, la source émet une crête toutes les $\gamma/f_0$ (dilatation), chacune partant $v\gamma/f_0$ plus loin, si bien que les crêtes arrivent toutes les $\gamma(1 + \beta)/f_0 = \sqrt{(1+\beta)/ (1-\beta)}\,/f_0$ . ∎

Exemple 4.13 (La fuite des galaxies)

La raie de l’hydrogène émise à $656.3\,\mathrm{nm}$ arrive d’une galaxie lointaine à $689\,\mathrm{nm}$ : $f/f_0 = 0.953$ , donc $\beta \approx 0.048$ — la galaxie s’éloigne à $14\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Appliquée à tout le ciel, cette seule formule a changé des spectres en une carte de l’univers en expansion ; le dernier chapitre de ce livre reprend l’histoire.

4.4 L’espace-temps et l’intervalle invariant

Théorème 4.14 (L’intervalle invariant)

Pour deux événements quelconques, la combinaison

\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2

prend la même valeur dans tout référentiel galiléen — la grandeur que la relativité conserve tandis que temps et longueurs fléchissent. Son signe classe le couple : de genre temps ( $\Delta s^2 > 0$ ) : un référentiel amène les deux événements au même lieu, et $\Delta s/c$ est le temps propre qui les sépare ; de genre espace ( $\Delta s^2 < 0$ ) : un référentiel les rend simultanés, et aucun signal ne peut les relier ; de genre lumière ( $\Delta s^2 = 0$ ) : seule la lumière les relie.

Démonstration. Substitution directe de la transformation de Lorentz : $c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2 \big] = \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$ . Pour la classification : amener les événements au même lieu demande un référentiel de vitesse $v = \Delta x/\Delta t$ , possible quand $|\Delta x| < c\,|\Delta t|$ (genre temps) ; les rendre simultanés demande $v = c^2\Delta t/\Delta x$ , possible quand $|\Delta x| > c\,|\Delta t|$ (genre espace). ∎

Remarque 4.15 (La causalité a une géométrie)

Par tout événement passe son cône de lumière : les événements qu’il peut influencer (cône futur), ceux qui ont pu l’influencer (cône passé), et l’« ailleurs » de genre espace, coupé de toute causalité. Comme un couple de genre espace a un ordre qui dépend du référentiel — certains voient A avant B, d’autres B avant A —, tout signal plus rapide que la lumière permettrait à un observateur de voir un effet précéder sa cause. La limite de vitesse de la relativité ne concerne pas les moteurs ; c’est le prix d’une histoire cohérente.

L’espace-temps autour d’un événement (le point à l’origine). Son cône de lumière sépare ce qu’il peut affecter (futur), ce qui a pu l’affecter (passé), et l’ailleurs de genre espace. Les lignes d’univers matérielles restent plus raides que 45 — toujours à l’intérieur du cône. — L’espace-temps autour d’un événement (le point à l’origine). Son cône de lumière sépare ce qu’il peut affecter (futur), ce qui a pu l’affecter (passé), et l’ailleurs de genre espace. Les lignes d’univers matérielles restent plus raides que $45^\circ$ — toujours à l’intérieur du cône.

Exemple 4.16 (La jumelle voyageuse)

Une jumelle file vers une étoile à $8$ années-lumière à $0.8c$ ( $\gamma = 5/3$ ) et revient. Temps terrestre : $2 \times 8/0.8 = 20\,\mathrm{yr}$ . Temps propre de la voyageuse : $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ — huit ans de moins, et aucun paradoxe : les situations des deux jumelles ne sont pas symétriques, puisque l’une des lignes d’univers est droite (galiléenne d’un bout à l’autre) et l’autre présente un coude au demi-tour. Entre deux événements fixés, la ligne d’univers droite est celle du plus long temps propre — dans la géométrie de l’espace-temps, le détour vieillit moins. L’effet se mesure couramment : des horloges atomiques promenées autour du monde diffèrent de leurs sœurs restées au sol des nanosecondes exactement prédites (Problème 4.1).

Une station de rayons cosmiques en altitude. Les muons qu’elle compte, nés dix kilomètres plus haut, ne l’atteignent que parce que les horloges en mouvement retardent — la dilatation du temps, mesurée chaque nuit sur les sommets.

4.5 Exercices

Exercice 4.1 ★

Calculer $\gamma$ pour $v/c = 0.1$ , $0.5$ , $0.9$ , $0.99$ , $0.999$ . Pour la station spatiale ( $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), calculer $\gamma - 1$ par l’approximation des faibles vitesses, et le temps que son équipage « gagne » (ou perd ?) par mission de six mois par rapport à une horloge au sol, en ignorant la gravitation.

Solution

Solution de Exercice 4.1.

$\gamma = 1.005$ , $1.155$ , $2.294$ , $7.09$ , $22.4$ . Station spatiale : $\beta = 2.57 \times 10^{-5}$ , $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 3.3 \times 10^{-10}$ ; sur six mois ( $1.6 \times 10^{7}{}\,\mathrm{s}$ ) l’horloge de l’équipage retarde de $\approx5\,\mathrm{ms}$ (effet de vitesse seul ; à la faible altitude de la station, l’effet gravitationnel le réduit sans l’inverser).

Exercice 4.2 ★

L’horloge à lumière de la figure : (a) écrire le battement $\Delta\tau = 2d/c$ de l’horloge au repos ( $d$ étant l’écart des miroirs) ; (b) par Pythagore dans le référentiel où elle se déplace à $v$ , obtenir $\Delta t = \gamma\Delta\tau$ ; (c) pourquoi l’argument exige-t-il que la distance transverse $d$ soit la même dans les deux référentiels ? (d) Donner l’argument (deux règles identiques qui se croisent) montrant que les longueurs transverses ne peuvent pas changer.

Solution

Solution de Exercice 4.2.

(a) $\Delta\tau = 2d/c$ . (b) À chaque demi-battement, le photon parcourt l’hypoténuse : $(c\Delta t/2)^2 = (v\Delta t/2)^2 + d^2$ avec $d = c\Delta\tau/2$ ; on résout : $\Delta t = \Delta\tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . (c) Si $d$ changeait avec le mouvement, l’étape de Pythagore serait fausse. (d) Faisons se croiser deux règles identiques, chacune portant à son extrémité un pinceau dirigé vers l’autre. Si le mouvement contractait les longueurs transverses, chaque référentiel prédirait que sa propre règle marque au-delà de l’extrémité de l’autre — deux faits contradictoires sur les mêmes traits de pinceau, au même événement de croisement. Une contradiction en un même événement est interdite : les longueurs transverses ne peuvent pas changer.

Exercice 4.3 ★

Un muon est créé à $15\,\mathrm{km}$ d’altitude avec $v = 0.999c$ . (a) Son $\gamma$ et sa vie moyenne dans notre référentiel. (b) La distance moyenne qu’il parcourt. (c) L’épaisseur de l’atmosphère dans son référentiel. (d) Quelle fraction de ces muons atteint le sol, avec et sans la relativité (loi de désintégration $\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 4.3.

$\gamma = 22.4$ . (a) $\gamma\tau = 49\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $v\gamma \tau = 14.8\,\mathrm{km}$ . (c) $15/22.4 = 670\,\mathrm{m}$ . (d) Temps de vol au laboratoire $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : sans la relativité $\eu^{-50/2.2} \approx 10^{-10}$ — aucun ; avec la relativité le temps propre vaut $50/22.4 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ , fraction $\eu^{-1} \approx 0.37$ .

Exercice 4.4 ★

Deux événements sur l’axe $x$ : A en $(t = 0, x = 0)$ , B en $(t = 2\,\text{µ}\mathrm{s}, x = 300\,\mathrm{m})$ . (a) Calculer $\Delta s^2$ : genre temps ou genre espace ? (b) A peut-il causer B ? (c) Trouver la vitesse du référentiel où A et B ont lieu au même endroit, et le temps propre qui les y sépare. (d) Mêmes trois questions pour B en $(1\,\text{µ}\mathrm{s}, 600\,\mathrm{m})$ — quel référentiel existe désormais, et lequel n’existe pas ?

Solution

Solution de Exercice 4.4.

(a) $c\Delta t = 600\,\mathrm{m}$ , $\Delta x = 300\,\mathrm{m}$ : $\Delta s^2 = (600^2 - 300^2)\,\mathrm{m}^{2} > 0$ , genre temps. (b) Oui : un signal à $\Delta x/\Delta t = c/2$ suffit. (c) Ce même référentiel, $v = 0.5c$ ; temps propre $\Delta s/c = \sqrt{600^2 - 300^2}/c = 520/c = 1.73\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) Maintenant $c\Delta t = 300 < \Delta x = 600$ : genre espace ; aucun lien causal possible ; aucun référentiel ne les amène au même lieu, mais celui de vitesse $v = c^2\Delta t/\Delta x = 0.5c$ les rend simultanés.

Exercice 4.5 ★★

Les satellites GPS orbitent à $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) Calculer $\gamma - 1$ . (b) De combien une horloge de satellite retarde-t-elle sur une horloge au sol par jour, du seul fait de la dilatation du temps ? (c) Le positionnement repose sur la datation de signaux allant à $c$ : quelle erreur de position correspond à un jour de dérive relativiste restreinte non corrigée ? (d) La correction complète (avec la gravitation, traitée dans l’esprit du dernier chapitre) vaut $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour, le décalage gravitationnel vers le bleu l’emportant sur la dilatation du temps : que vous dit ce signe sur l’effet le plus grand à $20\,200\,\mathrm{km}$ d’altitude ?

Solution

Solution de Exercice 4.5.

(a) $\beta = 1.29 \times 10^{-5}$ : $\gamma - 1 = 8.3 \times 10^{-11}$ . (b) $86400\,\mathrm{s} \times 8.3 \times 10^{-11} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour. (c) $c \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 2.2\,\mathrm{km}$ — la navigation mourrait en un jour. (d) Le solde $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ signifie que le décalage gravitationnel vers le bleu ( $+45.7$ ) l’emporte sur le ralentissement cinématique ( $-7.2$ ) : à $20\,200\,\mathrm{km}$ , être plus haut dans le potentiel terrestre accélère l’horloge davantage que la vitesse orbitale ne la ralentit.

Exercice 4.6 ★★

(a) Un vaisseau à $0.8c$ lance vers l’avant une sonde à $0.8c$ par rapport à lui : quelle est la vitesse de la sonde pour nous ? (b) Deux vaisseaux se rapprochent, chacun à $0.9c$ dans notre référentiel : quelle est leur vitesse relative ? (c) Montrer à partir de la loi de composition que $u' < c$ et $v < c$ entraînent $u < c$ (factoriser l’expression $c - u$ ). (d) Un pointeur laser balayé sur la face de la Lune peut y peindre une tache qui va plus vite que $c$ : pourquoi cela ne viole-t-il aucune loi ?

Solution

Solution de Exercice 4.6.

(a) $1.6c/1.64 = 0.976c$ . (b) $1.8c/1.81 = 0.994c$ . (c) $c - u = \dfrac{(c - u')(c - v)}{c\,(1 + u'v/c^2)}$ : les deux facteurs sont positifs, donc $u < c$ . (d) La tache est un motif en mouvement, non une chose : ni matière, ni énergie, ni information ne va d’un point de la face lunaire au suivant — chaque photon est parti vers la Lune à $c$ .

Exercice 4.7 ★★

Le doublet du sodium à $589.0\,\mathrm{nm}$ arrive d’une étoile à $575.0\,\mathrm{nm}$ . (a) Approche ou fuite ? À quelle vitesse ? (b) À quelle vitesse la lumière visible ( $550\,\mathrm{nm}$ ) serait-elle décalée vers le proche infrarouge ( $1100\,\mathrm{nm}$ ) ? (c) Pour $\beta \ll 1$ , montrer que $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ et donner la règle pratique en km/s par $\text{Å}$ à $600\,\mathrm{nm}$ . (d) Une source qui tourne à distance constante montre un décalage sans aucun mouvement radial : quel effet est-ce, et de quel ordre en $\beta$ ?

Solution

Solution de Exercice 4.7.

(a) Longueur d’onde plus courte : elle s’approche. $f/f_0 = 589/575 = 1.024$ ; $(1+\beta)/(1-\beta) = 1.049$ : $\beta = 0.024$ , soit environ $7200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (b) Rapport $2$ : $(1+\beta)/(1-\beta) = 4$ , $\beta = 0.6$ . (c) En développant la racine, $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ ; à $600\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{Å} = 0.1\,\mathrm{nm}$ donne $\beta = 1.7 \times 10^{-4}$ : environ $50\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ par ångström — le réflexe de l’astronome. (d) L’effet Doppler transverse : pure dilatation du temps, d’ordre $\beta^2$ — mesurable seulement avec une précision atomique.

Exercice 4.8 ★★

La perche et la grange. Une perche de $20\,\mathrm{m}$ est portée à $\gamma = 2$ vers une grange de $10\,\mathrm{m}$ munie de deux portes. (a) La longueur de la perche dans le référentiel de la grange : y tient-elle ? (b) Dans le référentiel du coureur, c’est la grange qui mesure $5\,\mathrm{m}$ : comment les deux peuvent-ils avoir raison ? Identifier les deux événements (« la porte avant se ferme », « la porte arrière s’ouvre ») et comparer leur ordre temporel dans les deux référentiels. (c) Calculer le temps entre ces événements dans chaque référentiel pour une fermeture simultanée dans la grange. (d) Énoncer la morale en une phrase (quelle hypothèse tacite le « paradoxe » faisait-il ?).

Solution

Solution de Exercice 4.8.

(a) $20/2 = 10\,\mathrm{m}$ : elle y tient, tout juste, et les deux portes peuvent être fermées simultanément (référentiel de la grange). (b) Dans le référentiel du coureur, les événements « la porte avant se ferme » et « la porte arrière s’ouvre » ne sont pas simultanés : la sortie s’ouvre avant que l’entrée ne se ferme, et la perche de $20\,\mathrm{m}$ enfile une grange de $5\,\mathrm{m}$ sans y être jamais enfermée. (c) Référentiel de la grange : $\Delta t = 0$ sur $\Delta x = 10\,\mathrm{m}$ . Référentiel du coureur : $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 2 \times 0.866c \times 10/c^2 = 58\,\mathrm{ns}$ . (d) « La perche est enfermée » affirme tacitement que deux événements séparés (les deux portes fermées) sont simultanés — un énoncé lié au référentiel, non un fait.

Exercice 4.9 ★★

Une fusée de longueur propre $100\,\mathrm{m}$ passe devant une station spatiale à $0.6c$ . (a) Combien de temps l’horloge de la station mesure-t-elle entre le passage du nez et celui de la queue ? (b) Même question pour une horloge de la fusée regardant défiler la station (longueur propre $300\,\mathrm{m}$ ). (c) La station déclenche deux verrous d’amarrage simultanément (dans son référentiel), distants de $80\,\mathrm{m}$ : quel est le temps entre les deux déclenchements pour la fusée, et lequel part le premier ? (d) Vérifier que $\Delta s^2$ s’accorde entre les référentiels pour le couple d’événements des verrous.

Solution

Solution de Exercice 4.9.

$\gamma = 1.25$ à $0.6c$ . (a) Longueur en mouvement $100/1.25 = 80\,\mathrm{m}$ à $1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $444\,\mathrm{ns}$ . (b) $240/1.8 \times 10^{8} = 1.33\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 200\,\mathrm{ns}$ ; d’après $t' = \gamma(t - vx/c^2)$ , le verrou de plus grand $x$ — celui de l’avant — part le premier pour la fusée. (d) Station : $\Delta s^2 = 0 - 80^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ . Fusée : $\Delta x' = \gamma\,\Delta x = 100\,\mathrm{m}$ , $c\Delta t' = 60\,\mathrm{m}$ : $60^2 - 100^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ — invariant.

Exercice 4.10 ★★★

Les jumelles, en détail. Stella file à $0.8c$ vers une étoile à $8\,\mathrm{ly}$ (référentiel terrestre) et revient à $0.8c$ ; Terra reste. (a) Calculer le temps écoulé pour chacune. (b) Dans le référentiel d’aller de Stella, à quelle distance est l’étoile, et combien de temps lui prend l’aller ? (c) Juste avant et juste après le demi-tour, que calcule Stella pour « l’heure qu’il est sur Terre » (utiliser le terme $vx/c^2$ ) ? Montrer que sa comptabilité saute de plusieurs années au coude — et que ce saut est exactement ce qui réconcilie les totaux. (d) Expliquer pourquoi aucun argument symétrique ne peut être mené du côté de Stella.

Solution

Solution de Exercice 4.10.

(a) Terra : $20\,\mathrm{yr}$ ; Stella : $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ . (b) La distance se contracte à $8/\gamma = 4.8\,\mathrm{ly}$ , parcourus en $4.8/0.8 = 6\,\mathrm{yr}$ de son temps — cohérent avec les $12\,\mathrm{yr}$ de l’aller-retour. (c) Simultanéité avec l’événement du demi-tour $(t = 10\,\mathrm{yr},\ x = 8\,\mathrm{ly})$ : le référentiel d’aller attribue à l’horloge terrestre $t - vx/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\,\mathrm{yr}$ ; celui du retour, $10 + 6.4 = 16.4\,\mathrm{yr}$ . Son « maintenant sur Terre » saute de $12.8\,\mathrm{yr}$ au coude ; son bilan $3.6 + 12.8 + 3.6 = 20\,\mathrm{yr}$ retrouve exactement Terra. (d) Stella occupe deux référentiels galiléens raccordés par une accélération qu’elle ressent ; Terra n’en occupe qu’un. La ligne d’univers droite entre les événements de départ et de retrouvailles porte le plus long temps propre ; seule celle de Stella est brisée.

Exercice 4.11 ★★★

Obtenir Lorentz honnêtement. (a) Argumenter à partir de l’homogénéité que la transformation doit être linéaire. (b) En admettant $x' = \gamma(x - vt)$ et, par le principe de relativité, $x = \gamma(x' + vt')$ , obtenir $t'$ en fonction de $t$ et $x$ sans utiliser la lumière. (c) Montrer qu’exiger $x = ct \Rightarrow x' = ct'$ fixe $\gamma$ à sa valeur annoncée. (d) Où exactement l’argument a-t-il utilisé chaque postulat ?

Solution

Solution de Exercice 4.11.

(a) Si l’application était non linéaire, un mouvement uniforme ne paraîtrait pas uniforme dans l’autre référentiel, ce qui distinguerait des points d’un espace et d’un temps homogènes. (b) En reportant une relation dans l’autre : $t' = \gamma t + (1 - \gamma^2)x/\gamma v$ . (c) En posant $x = ct$ , $x' = ct'$ : $\gamma(c - v)t = c\gamma t + c(1 - \gamma^2)ct/\gamma v$ , ce qui donne $\gamma^2 = 1/(1 - v^2/c^2)$ . (d) La relativité a donné le même $\gamma$ pour les deux sens (aucun référentiel privilégié) ; le postulat de la lumière a changé la fonction libre restante en le $\gamma(v)$ déterminé.

Exercice 4.12 ★★★

La rapidité. Définissons $\varphi$ par $\tanh\varphi = \beta$ . (a) Montrer que la transformation de Lorentz s’écrit $ct' = ct\cosh\varphi - x\sinh\varphi$ , $x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi$ : une « rotation » d’angle imaginaire, qui conserve $c^2t^2 - x^2$ comme les rotations conservent $x^2 + y^2$ . (b) Montrer que composer les vitesses revient à ajouter les rapidités : $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$ , et retrouver la loi de composition à partir de $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)$ . (c) Une fusée accélère de $g$ dans son propre référentiel : en admettant que sa rapidité croît selon $\dd\varphi = g\, \dd\tau/c$ , trouver $\beta(\tau)$ et le temps propre qu’il lui faut pour atteindre $0.99c$ . (d) Pourquoi la rapidité peut-elle croître indéfiniment alors que $\beta$ ne le peut pas ?

Solution

Solution de Exercice 4.12.

(a) Avec $\cosh\varphi = \gamma$ , $\sinh\varphi = \gamma\beta$ , la transformation est exactement la rotation hyperbolique annoncée, et $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ conserve $c^2t^2 - x^2$ . (b) $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = (\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2)/(1 + \tanh\varphi_1\tanh\varphi_2)$ : précisément la loi de composition — les vitesses ne s’ajoutent pas, les rapidités si. (c) $\varphi = g\tau/c$ , donc $\beta = \tanh(g\tau/c)$ ; $\operatorname{artanh}(0.99) = 2.65$ donne $\tau = 2.65c/g \approx 8.1 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.6$ ans de temps de bord. (d) $\varphi$ parcourt tous les réels tandis que $\tanh\varphi$ sature à $1$ : on peut accélérer indéfiniment, gagnant de la rapidité linéairement, pendant que la vitesse ne fait que ramper vers $c$ .

Albert Einstein (photographie d’Orren Jack Turner, 1947, domaine public). L’article de 1905 sur la relativité a refondé la cinématique à partir de deux postulats — ce chapitre, pour l’essentiel inchangé, est cet article avec des exercices.

4.6 Problème : l’expérience dans le ciel

Problème 4.1

Problème du week-end — muons, horloges de montagne et la preuve que le temps se dilate

Le test précoce le plus net de la dilatation du temps n’a utilisé aucun appareil de laboratoire : la nature fournit des horloges relativistes par milliers, qui pleuvent sur toutes les montagnes. Ce problème reconstruit l’expérience de Frisch et Smith (1963), puis ramène la même physique aux avions de ligne et aux satellites de navigation. Données : vie propre moyenne du muon $\tau = 2.20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; la désintégration est exponentielle, une fraction $\eu^{-t/\tau}$ des muons survivant à un temps propre $t$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; mont Washington : dénivelé $h = 1907\,\mathrm{m}$ entre les deux détecteurs.

Partie I — Des horloges qui tombent du ciel.

Des protons cosmiques frappent des noyaux haut dans l’atmosphère et les débris se désintègrent en muons vers $15\,\mathrm{km}$ d’altitude. Pourquoi une population de particules instables identiques est-elle une horloge ?
Calculer $c\tau$ , la portée naturelle d’une vie moyenne de muon.
Sans la relativité, quelle fraction des muons nés à $15\,\mathrm{km}$ et allant pratiquement à $c$ atteindrait le sol ? (Donner l’exposant ; le nombre lui-même est absurde.)
Les détecteurs au niveau de la mer comptent des muons en abondance : énoncer la contradiction en une phrase.
Le flux au niveau de la mer est d’environ un muon par centimètre carré et par minute : estimer combien de muons traversent votre main tendue chaque seconde, et votre corps entre deux battements de cœur.
L’expérience a sélectionné des muons de vitesse $0.995c$ : calculer leur $\gamma$ .
Frisch et Smith ont compté $563 \pm 10$ muons par heure au sommet. Pourquoi mesurer à deux altitudes d’une même gerbe plutôt que de se fier au récit d’une création à $15\,\mathrm{km}$ ?

Partie II — La mesure en montagne.

Combien de temps le trajet de $1907\,\mathrm{m}$ à $0.995c$ prend-il dans le référentiel de la montagne ?
Sans dilatation du temps, quelle fraction survit à ce trajet, et combien devraient atteindre le détecteur du bas par heure ?
Avec la dilatation du temps, combien de temps propre s’écoule-t-il pour le muon pendant le trajet ?
Prédiser la fraction survivante et le comptage horaire avec la relativité.
Le comptage mesuré en bas était de $408 \pm 9$ par heure. Comparer les deux prédictions aux données, et dites quelle théorie survit à sa rencontre avec la montagne.
À partir du rapport mesuré $408/563$ , extraire le facteur de dilatation expérimental et le comparer à $\gamma = 10$ . (Les muons ralentissent un peu dans le blindage rocheux, si bien que le $\gamma$ effectif est un peu sous la valeur du sommet — Frisch et Smith ont trouvé $8.8 \pm 0.8$ .)

Partie III — L’histoire vue par le muon.

Dans le référentiel du muon, quelle est la hauteur du mont Washington ?
Combien de temps la montagne met-elle à défiler, et quelle fraction des muons se désintègre pendant ce temps ? Vérifier l’accord avec la prédiction de la partie II.
Les deux référentiels sont en désaccord sur ce qui s’est dilaté (notre temps ? sa montagne ?) et pourtant s’accordent sur le comptage : de quelle nature est ce comptage, et pourquoi tous les référentiels doivent-ils s’y accorder ?
Calculer l’intervalle $\Delta s^2$ entre la création au sommet et l’arrivée en bas, dans le référentiel de la montagne, et vérifier que $\Delta s/c$ égale le temps propre du muon de la partie II.
Un sceptique objecte : « c’est peut-être l’altitude, non la vitesse, qui change les taux de désintégration ». Quel contrôle la dépendance mesurée en $\gamma$ (les muons plus lents se dilatent moins) apporte-t-elle ?
Les anneaux de stockage modernes maintiennent des muons à $\gamma = 29.3$ et mesurent les durées de vie à $10^{-3}$ près : que trouvent-ils, et qu’ajoute une orbite circulaire au test (laquelle des jumelles est le muon) ?

Partie IV — Redescendre sur Terre : avions et satellites.

Un avion de ligne croise à $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pendant un tour du monde de $40\,\mathrm{h}$ . À l’aide de $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ , calculer le retard relativiste restreint de son horloge, en nanosecondes.
Les horloges au césium résolvent aisément la nanoseconde ; les vols de 1971 ont confirmé la prédiction (une fois incluse la poussée opposée de la gravitation, plus grande en altitude). Pourquoi faut-il séparer les deux effets en volant à la fois vers l’est et vers l’ouest ?
Un satellite GPS ( $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) accumule quel retard d’horloge relativiste restreint par jour, en microsecondes ?
Sans correction, combien de kilomètres d’erreur de distance une semaine de cette seule dérive produirait-elle ?
La correction GPS complète, $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour gravitation comprise, est intégrée aux horloges des satellites avant leur lancement : qu’observerait un navigateur en quelques heures si elle ne l’était pas ?
Résumer le résultat nommé : une montagne, deux compteurs et des horloges de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ont mesuré la dilatation du temps à $\gamma \approx 9$ à $10\%$ près en 1963 — et la même physique est corrigée, chaque seconde, dans chaque téléphone qui sait où il est.

Solution

Solution de Problème 4.1.

1. Tous les muons sont rigoureusement identiques et se désintègrent à un taux statistique fixe : la fraction survivante d’une population mesure le temps propre écoulé aussi sûrement qu’une aiguille. 2. $c\tau = 3.00 \times 10^{8}\, \times 2.2 \times 10^{-6}\, = 660\,\mathrm{m}$ . 3. $t = 15\,\mathrm{km}/c = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : fraction $\eu^{-50/2.2} = \eu^{-22.7} \approx 1.4 \times 10^{-10}$ . 4. Des particules qui « ne peuvent pas » franchir plus d’un kilomètre en traversent quinze et arrivent en nombre. 5. Une main de $\sim100\,\mathrm{cm}^{2}$ : deux ou trois muons par seconde ; un corps de section horizontale $\sim10^{3}\,\mathrm{cm}^{2}$ : une quinzaine entre deux battements de cœur — la relativité pleut sur tout le monde, en permanence. 6. $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$ . 7. Comparer deux comptages de la même population sélectionnée sur un dénivelé connu élimine toute hypothèse sur le lieu et le nombre des naissances de muons. 8. $t = 1907/(0.995 \times 3 \times 10^{8}) = 6.39\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 9. $\eu^{-6.39/2.2} = 0.055$ : environ $31$ par heure. 10. $t/\gamma = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 11. $\eu^{-0.64/2.2} = 0.75$ : environ $420$ par heure. 12. Mesure $408 \pm 9$ : les $\approx 420$ de la relativité s’accordent, au léger ralentissement des muons dans l’absorbeur des détecteurs près ; les $31$ de la physique classique sont faux d’un facteur treize. La montagne tranche. 13. $408/563 = 0.725 = \eu^{-t_{\text{propre}}/\tau}$ : $t_{\text{propre}} = 0.71\,\text{µ}\mathrm{s}$ , donc $\gamma_{\exp} = 6.39/0.71 = 9.0$ — en plein dans le $8.8 \pm 0.8$ de Frisch et Smith. 14. $1907/10 = 191\,\mathrm{m}$ . 15. $191/(0.995c) = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ : les mêmes $25\%$ de désintégration — la version du muon d’un même comptage. 16. Un comptage de clics est un ensemble d’événements locaux de coïncidence ; les événements et leurs décomptes sont invariants — les référentiels peuvent différer sur les temps et les longueurs, jamais sur ce qu’un compteur a affiché. 17. $\Delta s^2 = (c \times 6.39\,\text{µ}\mathrm{s})^2 - (1907\,\mathrm{m})^2 = (1917^2 - 1907^2)\,\mathrm{m}^{2} = (196\,\mathrm{m})^2$ : $\Delta s/c = 0.65\,\text{µ}\mathrm{s}$ — le temps propre, calculé sans jamais quitter le référentiel de la montagne. 18. Les taux de désintégration dépendraient de l’altitude pour toutes les vitesses de la même façon ; au lieu de cela la survie suit $\gamma$ — les sélections plus lentes se dilatent moins, exactement comme $\gamma(v)$ le prescrit. 19. Des durées de vie de $\gamma\tau$ au millième près (anneaux de stockage de muons du CERN) ; l’anneau fait du muon un voyageur perpétuellement accéléré — la « jumelle voyageuse » reste jeune même quand le voyage n’est qu’un demi-tour sans fin. 20. $\beta = 8.3 \times 10^{-7}$ : $\Delta t = \tfrac12\beta^2 \times 144\,000\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{ns}$ . 21. La vitesse de l’avion s’ajoute à celle de la Terre en rotation ou s’en retranche, tandis que l’effet d’altitude (gravitationnel) est le même dans les deux sens : les vols vers l’est et vers l’ouest séparent proprement les deux contributions (le résultat de 1971 s’accordait aux deux). 22. D’après Exercice 4.5 : $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour. 23. $7 \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} \times c \approx 15\,\mathrm{km}.$ 24. Les positions dériveraient de centaines de mètres en quelques heures, de kilomètres en un jour — la navigation se casserait visiblement dès le premier matin. 25. En 1963, une montagne, deux compteurs et des horloges de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ont mesuré $\gamma_{\exp} = 9.0$ contre un $10$ prédit (avec le ralentissement, $8.8 \pm 0.8$ ) : la dilatation du temps confirmée à $10\%$ près — et la physique identique est corrigée en silence, chaque seconde, dans chaque satellite de navigation au-dessus de votre tête.

Termes définis dans ce chapitre

Événements et simultanéité

Voir les 431 termes du glossaire