Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

15La théorie de la diffusion

Presque tout ce que nous savons du petit s’apprend en lui lançant des choses et en regardant ce qui rebondit. Rutherford a découvert le noyau en comptant des éclairs de particules alpha sur un écran au sulfure de zinc ; cinquante ans plus tard la même expérience, menée avec des électrons à plus haute énergie, a trouvé des quarks dans le proton ; entre-temps et depuis, toute section efficace de physique nucléaire, des particules, atomique et de la matière condensée s’est lue à travers la théorie de ce chapitre. Le langage est celui de la section efficace — une aire de cible effective ; l’objet quantique est l’amplitude de diffusion, dont l’approximation de Born dit une chose inoubliable : une cible diffuse est sondée dans l’espace de Fourier, angle par angle. À basse énergie ce sont les ondes partielles qui prennent le relais, effondrant tout potentiel compliqué en un seul nombre — la longueur de diffusion — qui accorde aujourd’hui les gaz quantiques ultrafroids ; et là où un projectile peut s’attarder dans un état quasi lié, la section efficace se hérisse de résonances, la spectroscopie de ce qui reste autrement invisible.

15.1 Les sections efficaces

Définition 15.1 (Section efficace)

Envoyons un faisceau uniforme de flux $\Phi$ (particules par unité d’aire et par seconde) sur une particule cible unique. Le taux de projectiles diffusés dans l’angle solide $\dd\Omega$ autour de la direction $(\theta, \varphi)$ définit la section efficace différentielle,

\dd\dot N = \Phi\,\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\,\dd\Omega ,

et son intégrale $\sigma = \int(\dd\sigma/\dd\Omega)\,\dd\Omega$ est la section efficace totale : l’aire que la cible présente effectivement. Pour une lame mince de $n$ cibles par unité de volume, un faisceau s’atténue en $\eu^{-n\sigma x}$ : les sections efficaces se mesurent en comptant ce qui ressort. Unités : la physique nucléaire emploie le barn, $1\,\mathrm{b} = 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ — environ la taille géométrique d’un noyau d’uranium, « grand comme une grange » pour un neutron.

L’expérience de diffusion : une onde plane à l’entrée, une onde sphérique à la sortie, un détecteur qui compte à l’angle . Le motif angulaire des comptages est la physique de la cible. — L’expérience de diffusion : une onde plane à l’entrée, une onde sphérique à la sortie, un détecteur qui compte à l’angle $\theta$ . Le motif angulaire des comptages est la physique de la cible.

15.2 L’amplitude et l’approximation de Born

Théorème 15.2 (États de diffusion et amplitude)

Pour une particule d’énergie $E = \hbar^2k^2/2m$ rencontrant un potentiel localisé $V(\vect r)$ , l’état stationnaire de diffusion se comporte à grande distance comme

\psi(\vect r) \;\longrightarrow\; \eu^{\iu kz} + f(\theta)\,\frac{\eu^{\iu kr}}{r} ,

une onde plane incidente plus une onde sphérique sortante modulée par l’amplitude de diffusion $f(\theta)$ (une longueur), et

\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = |f(\theta)|^2 .

Démonstration partielle. La décroissance en $1/r$ rend fini le flux sortant à travers toute grande sphère ; en calculant les courants de probabilité (Proposition 7.2) des deux termes, le courant radial sortant par unité d’angle solide vaut $(\hbar k/m)|f|^2$ contre le flux incident $\hbar k/m$ : le rapport est la définition de $\dd\sigma/\dd\Omega$ . Que des solutions de cette forme asymptotique existent est admis. ∎

Théorème 15.3 (Approximation de Born)

Pour un potentiel faible (ou un projectile rapide), la théorie des perturbations au premier ordre en $V$ donne

f(\theta) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \int V(\vect r)\,\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r}\,\dd^3r , \qquad \vect q = \vect k - \vect k' , \quad q = 2k\sin\frac\theta2 :

l’amplitude est, aux constantes près, la transformée de Fourier du potentiel évaluée au transfert d’impulsion $\hbar\vect q$ . Les expériences de diffusion sont des analyseurs de Fourier de la matière : les petits angles lisent les grandes longueurs d’onde (structure grossière), les grands angles le détail fin — la raison la plus profonde pour laquelle « plus haute énergie » signifie « plus petites distances ».

Démonstration partielle. C’est la règle d’or de Fermi (Théorème 13.5) appliquée entre ondes planes $\ket{\vect k} \to \ket{\vect k'}$ : l’élément de matrice vaut $\int V\eu^{\iu(\vect k - \vect k')\cdot\vect r}\dd^3r$ , la densité d’états finaux fournit les facteurs cinématiques, et la comptabilité (admise) les assemble en $f$ . L’élasticité donne $|\vect k'| = |\vect k|$ , d’où $q = 2k\sin(\theta/2)$ par le triangle isocèle formé de $\vect k, \vect k'$ . ∎

Exemple 15.4 (De Yukawa à Rutherford)

Pour le potentiel coulombien écranté $V = \dfrac{Q_1Q_2}{4\pi \varepsilon_0 r}\,\eu^{-r/a}$ , l’intégrale de Born est élémentaire (Exercice 15.5) et, lorsque le rayon d’écrantage $a \to \infty$ ,

\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = \Big(\frac{Q_1Q_2}{16\pi\varepsilon_0 E}\Big)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} :

la section efficace de Rutherford. Par une coïncidence propre au potentiel en $1/r$ , le calcul classique, l’approximation de Born et la réponse quantique exacte s’accordent tous — ce qui explique que Rutherford, calculant classiquement en 1911, ait obtenu la bonne formule et, de sa vérification éclair par éclair, le noyau (Problème 15.1).

15.3 Ondes partielles et longueur de diffusion

Théorème 15.5 (Déphasages)

Pour un potentiel central, décomposons l’état de diffusion sur les moments cinétiques : chaque onde partielle $l$ quitte la région du potentiel avec son oscillation radiale décalée d’une phase $\delta_l(k)$ — l’attraction l’avance, la répulsion la retarde — et l’amplitude observable se reconstitue en

f(\theta) = \frac1k\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\,\eu^{\iu\delta_l} \sin\delta_l\,P_l(\cos\theta) , \qquad \sigma = \frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l .

À basse énergie, l’intuition classique ( $l \sim kb$ pour un paramètre d’impact $b$ ) dit que seul $l = 0$ pénètre : la diffusion devient isotrope et un seul nombre règne,

f \to -a , \qquad \sigma \to 4\pi a^2 ,

où $a = -\lim_{k\to0}\delta_0/k$ est la longueur de diffusion. Quelle que soit sa complexité interne, une cible à basse énergie est sa longueur de diffusion — la grande simplification sur laquelle roule la physique des atomes froids.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Une onde partielle quitte la région d’interaction avec son oscillation déplacée : c’est le déphasage _0. Tout ce qu’un détecteur peut savoir d’un potentiel central à une énergie donnée est la liste de ces déphasages. — Une onde partielle quitte la région d’interaction avec son oscillation déplacée : c’est le déphasage $\delta_0$ . Tout ce qu’un détecteur peut savoir d’un potentiel central à une énergie donnée est la liste de ces déphasages.

Exemple 15.6 (Un neutron rencontre un proton)

Les neutrons lents diffusent sur les protons avec $\sigma \approx 20.4\,\mathrm{b}$ — une aire quarante fois la taille géométrique du deuton. L’explication : la collision de basse énergie est une pure onde $s$ à deux canaux de spin, dont les longueurs de diffusion mesurées, $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ (triplet) et $a_{\text{s}} = -23.7\,\mathrm{fm}$ (singulet), sont toutes deux bien plus grandes que la portée de $2\,\mathrm{fm}$ de la force. Un $|a|$ grand signale un état presque à énergie nulle : le deuton à peine lié du triplet (Exemple 7.9), et dans le singulet un partenaire « virtuel » qui manque tout juste de lier — son échec inscrit dans $a_{\text{s}} < 0$ . Une énigme de vingt barns, résolue par deux états liés à un cheveu près (Exercice 15.7).

15.4 Les résonances

Proposition 15.7 (Résonances de Breit–Wigner)

Si le projectile peut être capturé temporairement dans un état quasi lié d’énergie $E_{\text{R}}$ et de durée de vie $\tau = \hbar/\Gamma$ , le déphasage correspondant balaie $\pi/2$ et la section efficace partielle se hérisse :

\sigma_l(E) \approx \frac{4\pi}{k^2}\,(2l+1)\, \frac{\Gamma^2/4}{(E - E_{\text{R}})^2 + \Gamma^2/4} ,

un pic lorentzien de largeur $\Gamma$ au plafond que l’onde peut atteindre (la « limite d’unitarité » $4\pi(2l+1)/k^2$ ). Lue à l’envers, une résonance dans une section efficace est la découverte d’un état : sa position est un niveau d’énergie, sa largeur une durée de vie. L’essentiel du zoo de particules du Chapitre 26 a été découvert sous forme de telles bosses.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Les deux visages du déphasage. À gauche : un état quasi lié fait passer par π/2 — un pic de Breit–Wigner dont la largeur est une durée de vie. À droite : l’effet Ramsauer–Townsend — dans l’argon, _0 passe par π vers 1\, eV et l’atome devient presque transparent aux électrons : une interférence destructive en guise d’anti-résonance. — Les deux visages du déphasage. À gauche : un état quasi lié fait passer $\delta$ par $\pi/2$ — un pic de Breit–Wigner dont la largeur est une durée de vie. À droite : l’effet Ramsauer–Townsend — dans l’argon, $\delta_0$ passe par $\pi$ vers $1\,\mathrm{eV}$ et l’atome devient presque transparent aux électrons : une interférence destructive en guise d’anti-résonance.

Méthode 15.8 (Lire un problème de diffusion)

(1) La cinématique d’abord : $k$ , et la plage de $q$ accessible $0 \le q \le 2k$ — quelles échelles de structure sont visibles ? (2) Rapide et faible : Born — transformer le potentiel par Fourier ; vérifier la petitesse. (3) Lent : ondes partielles, en général $s$ seulement ; penser longueur de diffusion, et attendre $\sigma = 4\pi a^2$ (pour des bosons identiques : $8\pi a^2$ ). (4) Pics dans $\sigma(E)$ : ajuster une Breit–Wigner, annoncer un niveau et une durée de vie ; creux : une phase qui passe par $\pi$ . (5) Cibles étendues : multiplier l’amplitude ponctuelle par le facteur de forme — la transformée de Fourier de la densité (Exercice 15.12).

Le premier laboratoire de diffusion : un microscope de laiton braqué sur un écran au sulfure de zinc, comptant un faible éclair vert par particule arrivée. De tels comptages, angle par angle, ont permis à Rutherford de peser le cœur de l’atome. — Le premier laboratoire de diffusion : un microscope de laiton braqué sur un écran au sulfure de zinc, comptant un faible éclair vert par particule $\alpha$ arrivée. De tels comptages, angle par angle, ont permis à Rutherford de peser le cœur de l’atome.

15.5 Exercices

Exercice 15.1 ★

Un faisceau de protons de $1\,\text{µ}\mathrm{A}$ ( $6.2 \times 10^{12}$ protons/s) de section $1\,\mathrm{cm}^{2}$ traverse une feuille d’or de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ). (a) La densité surfacique de cibles. (b) Avec $\sigma = 10\,\mathrm{b}$ par noyau, quelle fraction du faisceau est diffusée ? (c) Le taux vers un détecteur d’angle solide $10^{-3}\,\mathrm{sr}$ si la diffusion était isotrope. (d) Pourquoi la « section efficace » est-elle une propriété bien définie du triplet (projectile, cible, énergie) plutôt que de la seule cible ?

Solution

Solution de Exercice 15.1.

(a) $nt = 5.9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-2}$ . (b) $nt\sigma = 5.9 \times 10^{22} \times 10^{-27} = 5.9 \times 10^{-5}$ . (c) Taux diffusé $6.2 \times 10^{12} \times 5.9 \times 10^{-5} = 3.7 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; dans $10^{-3}/4\pi$ de la sphère : $2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (d) L’« aire » encode l’interaction et la longueur d’onde : le même noyau d’or présente des aires différentes aux alphas, aux électrons et aux neutrons, et à des énergies différentes.

Exercice 15.2 ★

Sphères dures classiques de rayons $R_1, R_2$ : (a) montrer que $\sigma = \pi(R_1 + R_2)^2$ . (b) Pour des molécules d’air ( $R \approx 0.15\,\mathrm{nm}$ , $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ), le libre parcours moyen $1/n\sigma$ : l’évaluer et comparer à la valeur de la théorie cinétique du volume de première année. (c) Pourquoi une sphère dure classique ne montre-t-elle aucune structure angulaire ( $\dd\sigma/\dd\Omega$ constant — admettre ou démontrer) ? (d) Quel trait de la diffusion quantique par une sphère dure (Exercice 15.6) n’a aucun équivalent classique ?

Solution

Solution de Exercice 15.2.

(a) Des centres plus proches que $R_1 + R_2$ entrent en collision : $\sigma = \pi(R_1 + R_2)^2$ . (b) $\sigma \approx 2.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$ : $\ell = 1/n\sigma \approx 0.14\,\text{µ}\mathrm{m}$ — l’échelle de la théorie cinétique (le $\sqrt2$ du mouvement relatif l’affine). (c) Une sphère dure réfléchit uniformément en angle chaque anneau de paramètre d’impact : isotrope à la limite classique. (d) Le facteur quatre sur la section efficace à basse énergie — pure diffraction ondulatoire, aucune logique classique d’ombre n’y survit.

Exercice 15.3 ★

Transfert d’impulsion. (a) Tracer le triangle de $\vect k$ , $\vect k'$ et obtenir $q = 2k\sin(\theta/2)$ . (b) Pour des alphas de $5.5\,\mathrm{MeV}$ ( $k = 1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$ ) : la plage de $q$ sur $\theta \in [0, \pi]$ , et la plus petite structure résoluble $\sim 1/q_{\max}$ . (c) Pour des électrons de $500\,\mathrm{MeV}$ ( $k \approx E/\hbar c$ ) : de même. (d) Dégager la morale qui relie l’énergie du faisceau au pouvoir de résolution du microscope.

Solution

Solution de Exercice 15.3.

(a) Triangle isocèle d’angle au sommet $\theta$ : $q = 2k\sin(\theta/2)$ . (b) $q$ va de $0$ à $2k = 2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$ : des structures jusqu’à $\sim5 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ sont en principe encodées (en pratique, la barrière coulombienne tient les alphas à l’extérieur). (c) $k = E/\hbar c = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$ : résolution $\sim2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ — à l’intérieur du proton. (d) Résolution $\sim 1/q_{\max} \sim \hbar/p$ : acheter de l’énergie, c’est acheter une règle plus courte.

Exercice 15.4 ★

D’après Théorème 15.2 : (a) vérifier que $|f|^2$ a les dimensions d’une aire par angle solide ; (b) montrer que le flux diffusé à travers une sphère vaut $\Phi\sigma$ ; (c) pourquoi $f$ doit-il en général être complexe (quelle loi de conservation sa phase garde-t-elle) ? (d) Énoncer le théorème optique $\sigma_{\text{tot}} = (4\pi/k)\operatorname{Im}f(0)$ et son sens (l’onde vers l’avant doit être appauvrie d’exactement ce qui est diffusé ailleurs).

Solution

Solution de Exercice 15.4.

(a) $f$ est une longueur ; $|f|^2$ une aire — par stéradian, par construction. (b) Intégrer $(\hbar k/m)|f|^2/r^2$ sur la sphère : $\Phi\sigma$ . (c) La conservation de la probabilité : l’onde sortante doit interférer destructivement avec le faisceau vers l’avant pour payer ce qui est diffusé ; cette comptabilité vit dans la phase de $f$ . (d) Le théorème optique énonce exactement cet audit de l’ombre : retrait total $=$ déficit d’interférence vers l’avant.

Exercice 15.5 ★★

Born pour Yukawa. Avec $V(r) = \dfrac{g\,\eu^{-\mu r}}{r}$ : (a) mener l’intégrale de Born (partie angulaire d’abord, puis $\int_0^ \infty\sin(qr)\eu^{-\mu r}\dd r$ ) pour obtenir $f = -\dfrac{2mg} {\hbar^2(q^2 + \mu^2)}$ . (b) Faites $\mu \to 0$ avec $g = Q_1Q_2/4\pi\varepsilon_0$ et retrouver Rutherford. (c) Pourquoi la section efficace totale de Rutherford diverge-t-elle, et quel ingrédient physique (l’écrantage par les électrons atomiques) rétablit une réponse finie ? (d) En physique des particules la forme de Yukawa avec $\mu = m_\pi c/\hbar$ modélise la force nucléaire : calculer sa portée $1/\mu$ pour $m_\pi c^2 = 140\,\mathrm{MeV}$ .

Solution

Solution de Exercice 15.5.

(a) L’intégrale angulaire donne $4\pi\sin(qr)/qr$ ; puis, comme $\int_0^\infty\eu^{-\mu r}\sin(qr)\,\dd r = q/(q^2 + \mu^2)$ , on trouve $f = -2mg/\hbar^2(q^2 + \mu^2)$ . (b) $\mu \to 0$ : $|f|^2 = (2mg/\hbar^2q^2)^2$ ; avec $q = 2k\sin(\theta/2)$ et $E = \hbar^2k^2/2m$ c’est la formule de Rutherford. (c) La divergence en $\theta \to 0$ s’intègre à l’infini : toute particule qui passe est un peu déviée par la force de portée infinie ; dans la matière, les électrons atomiques écrantent le noyau au-delà de $\sim10^{-10}\,\mathrm{m}$ et coupent la divergence. (d) $\hbar/m_\pi c = 197.3/140 = 1.4\,\mathrm{fm}$ — la portée de la force nucléaire, prédite d’après la masse du pion.

Exercice 15.6 ★★

La sphère dure quantique (rayon $a$ ), onde $s$ : à l’extérieur, $u_0 = \sin(kr + \delta_0)$ avec $u_0(a) = 0$ . (a) Montrer que $\delta_0 = -ka$ . (b) Montrer que $\sigma \to 4\pi a^2$ quand $k \to 0$ : quatre fois l’ombre géométrique. (c) Donner l’explication ondulatoire du facteur (la diffraction n’a pas d’ombre nette aux grandes longueurs d’onde). (d) À haute énergie la réponse tend vers $2\pi a^2$ — encore le double du géométrique (diffraction d’ombre) : pourquoi jamais simplement $\pi a^2$ ?

Solution

Solution de Exercice 15.6.

(a) $\sin(ka + \delta_0) = 0$ avec le plus petit choix : $\delta_0 = -ka$ . (b) $\sigma = (4\pi/k^2)\sin^2(ka) \to 4\pi a^2$ . (c) À $\lambda \gg a$ l’onde ressent la sphère comme un défaut ponctuel et se reconstruit par diffraction tout autour — l’« ombre » est un concept de courte longueur d’onde, et la réponse ondulatoire compte toute la surface $4\pi a^2$ de la sphère. (d) Même aux courtes longueurs d’onde, retirer un disque d’onde exige un remplissage diffractif — l’ombre elle-même diffuse ( $\pi a^2$ de blocage $+$ $\pi a^2$ de diffraction d’ombre).

Exercice 15.7 ★★

Les vingt barns de l’hydrogène. Des neutrons lents non polarisés sur des protons sondent le canal triplet avec le poids $3/4$ et le singulet avec $1/4$ : $\sigma = \pi(3a_{\text{t}}^2 + a_{\text{s}}^2)$ . (a) Évaluer avec $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ , $a_{\text{s}} = -23.7\,\mathrm{fm}$ et comparer aux $20.4\,\mathrm{b}$ mesurés. (b) Quel canal domine, malgré son plus faible poids statistique ? (c) Relier la taille et le signe de $a_{\text{t}}$ à la liaison quasi nulle du deuton ; que dit $a_{\text{s}} < 0$ du système singulet ? (d) Pourquoi l’eau est-elle un modérateur si efficace des neutrons de réacteur — et pourquoi cette section efficace y importe-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 15.7.

(a) $\pi(3 \times 5.4^2 + 23.7^2)\,\mathrm{fm}^{2} = \pi \times 649 \,\mathrm{fm}^{2} = 20.4\,\mathrm{b}$ — la valeur mesurée. (b) Le singulet : son énorme $|a_{\text{s}}|$ l’emporte sur son poids $1/4$ . (c) $a_{\text{t}}$ grand et positif : un véritable état lié (le deuton) tout juste sous le seuil ; $a_{\text{s}}$ grand et négatif : un niveau « virtuel » tout juste au-dessus — presque un second deuton que la nature a refusé de lier. (d) Les noyaux de l’hydrogène sont les partenaires les mieux accordés en quantité de mouvement pour les neutrons (masses égales), et vingt barns de diffusion élastique par proton font de l’eau un modérateur superbement compact.

Exercice 15.8 ★★

Ramsauer–Townsend. Modélisons l’atome d’argon, pour un électron entrant, par un puits carré attractif de portée $R = 0.2\,\mathrm{nm}$ . (a) À l’intérieur, le nombre d’onde vaut $K = \sqrt{2m(E + V_0)}/\hbar$ : le raccordement peut faire ressortir l’onde extérieure avec exactement $\delta_0 = \pi$ — que vaut alors la section efficace en onde $s$ ? (b) Pourquoi l’atome devient-il presque invisible à cette énergie alors que le puits est profond ? (c) Estimer le $V_0$ qui place la transparence vers $E = 1\,\mathrm{eV}$ (faites tenir une demi-longueur d’onde dans le puits : $KR \approx \pi$ ). (d) Pourquoi l’hélium et le néon ne montrent-ils pas l’effet à des énergies comparables (leurs puits sont trop peu profonds pour que $\delta_0$ atteigne $\pi$ ) — et que prouve la seule existence de l’effet au sujet des ondes de matière ?

Solution

Solution de Exercice 15.8.

(a) $\sigma_0 = (4\pi/k^2)\sin^2\pi = 0$ : l’onde $s$ ressort exactement comme si aucun atome n’était là. (b) L’onde est fortement déformée à l’intérieur, mais elle émerge avec un nombre entier de demi-ondes en plus : aucun décalage de phase observable, aucune diffusion — interférence destructive des ondelettes diffusées. (c) $KR \approx \pi$ avec $E \ll V_0$ : $V_0 \approx \pi^2\hbar^2/2mR^2 \approx 9\,\mathrm{eV}$ — un puits à l’échelle atomique. (d) Leurs puits moins profonds n’enroulent jamais la phase jusqu’à $\pi$ aux énergies de l’eV. L’effet est inimitable classiquement : une fenêtre transparente au milieu d’une forte attraction n’existe que pour des ondes.

Exercice 15.9 ★★

Pour une amplitude purement en onde $s$ , $f = \eu^{\iu\delta_0}\sin\delta_0/ k$ : (a) calculer $\sigma$ ; (b) calculer $(4\pi/k)\operatorname{Im} f(0)$ et vérifier le théorème optique ; (c) montrer que la section efficace maximale en onde $s$ vaut $4\pi/k^2$ (la limite d’unitarité) et l’évaluer pour des neutrons thermiques ( $k = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ) en barns ; (d) pourquoi une résonance ne peut-elle jamais pousser $\sigma_0$ au-delà de ce plafond, si forte que soit l’interaction ?

Solution

Solution de Exercice 15.9.

(a) $\sigma = 4\pi\sin^2\delta_0/k^2$ . (b) $\operatorname{Im}f(0) = \sin^2\delta_0/k$ : $(4\pi/k)\operatorname{Im}f(0) = \sigma$ — vérifié. (c) $\sin^2\delta_0 \le 1$ : plafond $4\pi/k^2 \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2} = 10^{8}$ barns pour des neutrons thermiques — il reste de la marge même au-dessus des absorbeurs les plus monstrueux (les millions de barns du xénon 135). (d) Le plafond est l’unitarité : une onde ne peut retirer plus de flux que l’interférence ne le permet ; l’intensité sature le sinus, elle ne le dépasse jamais.

Exercice 15.10 ★★★

Une résonance neutronique. L’uranium 238 montre une résonance célèbre pour les neutrons à $E_{\text{R}} = 6.67\,\mathrm{eV}$ , de largeur totale $\Gamma = 27\,\mathrm{meV}$ . (a) Calculer la durée de vie de la résonance. (b) Calculer $4\pi/k^2$ à cette énergie, en barns, et comparer au pic mesuré de $\sim2 \times 10^{4}\,\mathrm{b}$ (l’écart est le facteur de branchement entre canaux élastique et de capture — commenter). (c) La largeur en unités de température : pourquoi l’élargissement Doppler de cette résonance avec la température du combustible importe-t-il à la stabilité du réacteur (quel signe de rétroaction) ? (d) En deux phrases : comment de telles résonances font-elles de $^{238}$ U un absorbeur de neutrons dans le domaine épithermique, et pourquoi est-ce central à la conception des réacteurs ?

Solution

Solution de Exercice 15.10.

(a) $\tau = \hbar/\Gamma = 6.58 \times 10^{-16}/0.027 = 2.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — long à l’échelle nucléaire : un noyau composé qui « oublie » sa formation. (b) $4\pi/k^2 \approx 3.9 \times 10^{5}$ b ; les $2.3 \times 10^{4}$ b observés sont le plafond multiplié par la fraction de branchement du canal d’entrée ( $\Gamma_n/\Gamma \sim 0.06$ ) — les résonances vendent leurs billets par largeurs partielles. (c) $\Gamma/k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ : chauffer le combustible élargit la résonance par effet Doppler et capture davantage de neutrons pendant leur ralentissement — l’absorption croît avec la température, une rétroaction négative immédiate inscrite dans l’uranium lui-même. (d) Entre énergies thermiques et rapides, la forêt de résonances de $^{238}$ U dévore les neutrons ; la géométrie du combustible et les modérateurs sont conçus pour leur faire franchir cette forêt, et sa rétroaction Doppler est un pilier de la sûreté des réacteurs.

Exercice 15.11 ★★★

Les atomes froids vivent sur un seul nombre. (a) Pour des bosons identiques, la section efficace de basse énergie vaut $8\pi a^2$ (interférence d’échange constructive — admettre) : l’évaluer pour le rubidium avec $a = 100\,a_0$ . (b) À $T = 100\,\mathrm{nK}$ , vérifier que $ka \ll 1$ (calculer $k$ à partir de $k_{\text{B}}T = \hbar^2k^2/2m$ , $m = 1.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ) : le gaz oublie vraiment tout sauf $a$ . (c) Près d’une résonance « de Feshbach », un champ magnétique traîne un niveau moléculaire à travers l’énergie nulle et $a$ diverge puis change de signe, exactement comme dans Exemple 15.6 : que deviennent les interactions du gaz, à volonté ? (d) Pourquoi cette accordabilité — l’intensité d’interaction sur un cadran — est-elle un instrument de rêve pour le physicien (nommer un usage : fabriquer des molécules, simuler de la matière fortement couplée, faire s’effondrer des condensats) ?

Solution

Solution de Exercice 15.11.

(a) $a = 5.3\,\mathrm{nm}$ : $\sigma = 8\pi a^2 = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}^{2}$ . (b) $k = \sqrt{2mk_{\text{B}}T}/\hbar \approx 6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $ka \approx 0.03 \ll 1$ . (c) Le gaz se règle du parfait ( $a \approx 0$ ) au fortement répulsif puis à l’attractif et instable — les interactions comme bouton expérimental. (d) Balayer la résonance apparie les atomes en molécules ; à $a \to \infty$ le gaz devient aussi fortement couplé que la matière d’une étoile à neutrons, sur une paillasse — de la simulation quantique par la longueur de diffusion.

Exercice 15.12 ★★★

Facteurs de forme : peser des nuages de charge. Pour une densité de charge étendue $\rho(\vect r)$ , l’amplitude de Born multiplie la réponse ponctuelle par $F(q) = \int\rho(\vect r)\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r} \dd^3r/Q$ . (a) Montrer que $F(0) = 1$ . (b) Développer pour $q$ petit : $F \approx 1 - q^2\langle r^2\rangle/6$ : mesurer la décroissance à petit $q$ pèse $\langle r^2\rangle$ . (c) La diffusion électron–proton ajuste $\sqrt{\langle r^2\rangle} \approx 0.84\,\mathrm{fm}$ : quelle mesure indépendante de Problème 11.1 (l’hydrogène muonique) la recoupe, et pourquoi leur désaccord historique (l’« énigme du rayon du proton ») a-t-il été pris si au sérieux ? (d) À $q \gg 1/r_{\text{p}}$ le facteur de forme élastique s’effondre mais la diffusion dure persiste sur des constituants ponctuels : dites en une phrase ce que la version inélastique profonde de l’expérience de Rutherford a trouvé, en 1968, dans le proton.

Solution

Solution de Exercice 15.12.

(a) $F(0) = \int\rho/Q = 1$ . (b) Développer l’exponentielle ; le terme linéaire est de moyenne nulle, le quadratique donne $-q^2\langle r^2\rangle/6$ . (c) Le décalage de Lamb de l’hydrogène muonique (Problème 11.1) pèse le même $\langle r^2\rangle$ par une méthode toute différente ; leur désaccord au niveau de $4\%$ (0.877 contre $0.841\,\mathrm{fm}$ ) impliquait soit des systématiques subtiles, soit une physique nouvelle — d’où une décennie de nouvelles mesures (des systématiques, pour l’essentiel, comme cela s’est décanté). (d) Le proton est un nuage mou aux grains durs : des quarks — l’argument de Rutherford, un étage plus bas.

15.6 Problème : les compteurs d’éclairs qui trouvèrent le noyau

Problème 15.1

Problème du week-end — la diffusion de Rutherford, de la géométrie aux quarks

En 1909, Geiger et Marsden restaient assis dans le noir à compter des éclairs de scintillation : des particules alpha tirées à travers une feuille d’or, dont quelques-unes revenaient presque en arrière — « comme si un obus avait rebondi sur du papier de soie ». L’analyse de ces comptages par Rutherford en 1911 a créé l’atome nucléaire. Ce problème le rebâtit. Données : énergie alpha $E = 5.5\,\mathrm{MeV}$ , charge $z = 2$ ; or $Z = 79$ , épaisseur de feuille $t = 0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{atomes}/\mathrm{m}^{3}$ ; $k_C = 1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ .

Partie I — Une alpha, un noyau.

Dans l’image du pouding aux prunes (charge répartie sur l’atome, $10^{-10}\,\mathrm{m}$ ), estimer la déviation maximale qu’un atome unique pourrait donner à une alpha de $5.5\,\mathrm{MeV}$ (champ d’une sphère étalée : $\theta \sim$ force $\times$ temps / quantité de mouvement $\sim 2Zze^2k_C/(E\cdot10^{-10}\,\mathrm{m})$ en radians). Une accumulation de tels coups pourrait-elle renvoyer des alphas en arrière ?
Faisons maintenant de la charge un point. Écrire la distance d’approche minimale $d_0$ pour un choc frontal (toute l’énergie cinétique convertie en énergie coulombienne) et l’évaluer.
Qu’implique donc immédiatement un taux mesurable de diffusion presque vers l’arrière quant à la concentration de la charge positive de l’atome ?
Pour un paramètre d’impact $b$ quelconque, l’orbite classique donne $\tan(\theta/2) = d_0/2b$ (admis — l’hyperbole du chapitre de gravitation du volume de première année, avec répulsion) : vérifier ses limites en $b \to 0$ et $b \to \infty$ .
Calculer le paramètre d’impact qui dévie une alpha de plus de $90^\circ$ , et la fraction des alphas traversant la feuille qui en approchent un noyau d’aussi près ( $n t\,\pi b^2$ ).
Geiger et Marsden ont trouvé environ 1 alpha sur 8000 déviée au-delà de $90^\circ$ : comparer.

Partie II — La section efficace.

Les alphas de paramètre d’impact dans $[b, b + \dd b]$ diffusent dans $[\theta, \theta + \dd\theta]$ : de $\dd\sigma = 2\pi b\,|\dd b|$ et de la relation d’orbite, obtenir

$\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = \Big(\frac{d_0}{4}\Big)^2\frac{1}{\sin^4(\theta/2)} .$
Vérifier que cela coïncide avec la réponse de Born, quantique, de Exemple 15.4 (réécrire $d_0$ en fonction de $E$ ).
Évaluer $\dd\sigma/\dd\Omega$ à $\theta = 30^\circ$ , $60^\circ$ , $120^\circ$ (en barns par stéradian).
Les comptages de Geiger et Marsden en 1913, à géométrie fixée, varient comme $1{:}\,\sin^{-4}(\theta/2)$ : calculer le rapport de comptage prédit entre $30^\circ$ et $120^\circ$ et noter que leurs données ont suivi de tels rapports sur cinq ordres de grandeur de taux.
Pourquoi le $Z^2$ de la même formule permet-il à l’expérience de peser la charge nucléaire — et comment de tels ajustements ont-ils aidé à fixer $Z$ (l’or : 79) comme numéro atomique ?
Le $1/E^2$ : qu’advient-il de tout le motif angulaire quand on double l’énergie de l’alpha ?

Partie III — La taille du noyau.

Approche minimale à l’angle $\theta$ : $d(\theta) = \tfrac{d_0}2[1 + 1/\sin(\theta/2)]$ (admis). L’évaluer pour $\theta = 180^\circ$ et $60{}^{\circ}$ .
Tant que $d(\theta)$ dépasse le rayon nucléaire, la formule de la charge ponctuelle vaut : quelle borne supérieure sur la taille du noyau d’or les points à $180^\circ$ vérifiés par Rutherford ont-ils établie ?
Avec des projectiles plus énergétiques, les comptages à grand angle passent sous Rutherford : que signale cet écart (quelle force nouvelle, à quelle distance) ?
La diffusion d’électrons moderne donne des rayons nucléaires $R \approx r_0A^{1/3}$ avec $r_0 = 1.2\,\mathrm{fm}$ : l’évaluer pour l’or ( $A = 197$ ) et comparer à votre borne.
Le $A^{1/3}$ : que dit-il de la densité de la matière nucléaire (constante ? croissante ?) — un fait sur lequel le Chapitre 25 bâtira.
Pourquoi le modèle du pouding aux prunes (aveugle à la concentration de charge) est-il mort de cette expérience plutôt que de la spectroscopie ?

Partie IV — Les petits-enfants de Rutherford.

Dresser la table de traduction exacte entre 1911 et 1968 : alpha $\to$ faisceau d’électrons, atome d’or $\to$ proton, noyau $\to$ quarks — qu’est-ce qui a joué le rôle des « événements inattendus à grand angle » au SLAC ?
Pourquoi les électrons sont-ils la sonde la plus propre (quelle complication de la diffusion alpha–noyau n’ont-ils pas) ?
En langage de Born : la diffusion élastique à grand $q$ mesure l’effondrement du facteur de forme (un nuage mou), tandis que les taux inélastiques profonds sont restés grands et quasi ponctuels : énoncer la conclusion qui en a été tirée.
Un siècle en trois lignes : donner (énergie de sonde, distance résolue) pour les alphas de 1911 ( $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$ ), le SLAC de 1968 ( $20\,\mathrm{GeV}$ , $\sim10^{-16}\,\mathrm{m}$ ) et le LHC (échelle du TeV, $\sim10^{-19}\,\mathrm{m}$ ) — en usant de la règle « résolution $\sim \hbar c/(qc)$ ».
Les neutrons, non chargés, ne diffusent que sur les noyaux (et sur les moments magnétiques) : nommer deux choses que la diffusion de neutrons cartographie donc dans les matériaux et que les rayons X voient mal (les atomes légers comme l’hydrogène ; l’ordre magnétique).
Les sections efficaces de découverte au LHC se mesurent en femtobarns ( $10^{-43}\,\mathrm{m}^{2}$ ) : du barn au femtobarn il y a quinze ordres de grandeur — que dit cela de la rareté des collisions intéressantes, et pourquoi la luminosité (le flux délivré) est-elle aussi précieuse que l’énergie ?
Résumer le résultat nommé : une loi en $\sin^{-4}(\theta/2)$ , vérifiée éclair par éclair, a mis $99.98\%$ de la masse de l’atome dans un volume $10^{-14}$ fois le sien — et la même expérience, reprise toujours plus dure, n’a jamais cessé de trouver la couche suivante.

Solution

Solution de Problème 15.1.

1. $\theta \sim 8 \times 10^{-4}$ rad par atome ; même une marche aléatoire à travers $10^4$ couches atomiques n’accumule que quelques degrés : la rétrodiffusion est impossible dans le pouding. 2. $E = k_CzZe^2/d_0$ : $d_0 = k_CzZe^2/E = 4.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ — quarante femtomètres. 3. Que toute la charge positive siège dans $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ : dix mille fois plus petit que l’atome. 4. $b \to 0$ : $\theta \to 180^\circ$ ; $b \to \infty$ : $\theta \to 0$ — rebonds frontaux, frôlements lointains. 5. $\theta > 90^\circ$ exige $b < d_0/2 = 2.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ : fraction $nt\,\pi b^2 \approx 3 \times 10^{-5}$ — une alpha sur trente mille pour cette feuille. 6. Le même ordre que le un sur huit mille de Geiger et Marsden (leurs feuilles étaient plus épaisses) : les rebonds « impossibles » arrivent exactement aussi souvent qu’un noyau ponctuel l’exige. 7. $\dd\sigma = 2\pi b|\dd b|$ avec $b = (d_0/2)\cot(\theta/2)$ : $|\dd b/\dd\theta| = (d_0/4)/\sin^2( \theta/2)$ , et $\dd\Omega = 2\pi\sin\theta\,\dd\theta$ ; en assemblant, les simplifications dues à $\sin\theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ laissent $(d_0/4)^2\sin^{-4}(\theta/2)$ . 8. $d_0/4 = k_CzZe^2/4E = Q_1Q_2/16\pi\varepsilon_0E$ : le résultat de Born — la coïncidence du $1/r$ . 9. $(d_0/4)^2 = 1.06\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$ : $236$ , $17$ et $1.9\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$ à $30^\circ$ , $60^\circ$ , $120^\circ$ . 10. $(\sin60^\circ/\sin15^\circ)^4 \approx 125$ : leurs comptages ont suivi de tels rapports sur cinq décades de taux — la loi, non une tendance. 11. Le taux varie comme $Z^2$ à géométrie fixée : comparer des feuilles étalonne la charge nucléaire elle-même, ce qui a nourri l’identification de $Z$ au numéro atomique. 12. Tous les taux chutent d’un facteur quatre ; la forme angulaire est intacte — une signature expérimentale propre du $1/E^2$ . 13. $d(180^\circ) = d_0 = 41\,\mathrm{fm}$ ; $d(60^\circ) = (d_0/2)(1 + 2) = 62\,\mathrm{fm}$ . 14. La formule a tenu aux plus grands angles : le noyau d’or est plus petit que $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ . 15. Le projectile commence à toucher le noyau : la force forte, de courte portée (et l’absorption), entre en jeu aux distances femtométriques — l’écart mesure le bord du noyau. 16. $R = 1.2 \times 197^{1/3} = 7.0\,\mathrm{fm}$ — confortablement à l’intérieur de la borne de Rutherford. 17. Volume $\propto A$ : la matière nucléaire a une densité fixe ( $\sim2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) — les noyaux sont des gouttes d’un liquide incompressible, l’image de départ du Chapitre 25. 18. La spectroscopie interrogeait les électrons ; seul un projectile qui pénètre l’atome pouvait témoigner de l’endroit où siègent la charge positive et la masse. 19. Des électrons de $20$ GeV diffusés à des angles et avec des pertes d’énergie improbablement grands — trop d’événements durs pour un proton mou : le rebond de Rutherford, rejoué. 20. Les électrons ne ressentent pas la force forte et n’ont aucune sous-structure connue : une sonde ponctuelle qui lit la seule charge, sans rien de la nature composite de l’alpha. 21. L’effondrement du facteur de forme élastique dit que le proton est un nuage diffus ; la persistance d’une diffusion inélastique dure dit que ce nuage contient des constituants ponctuels — des quarks (partons). 22. 1911 : $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$ ; SLAC : $\hbar c/q \sim 0.2\,\mathrm{fm} = 2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ ; LHC : $\sim2 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}$ — cinq ordres de grandeur de règle en un siècle. 23. Les positions de l’hydrogène (dans la glace, les polymères, les protéines) et les structures magnétiques (antiferromagnétiques, spirales de spin) — presque invisibles aux rayons X, pain quotidien des neutrons. 24. Les processus qui valent une découverte surviennent une fois pour $10^{15}$ rencontres ordinaires : seule une luminosité colossale change des femtobarns en événements par an — concevoir un collisionneur, c’est faire l’arithmétique des sections efficaces. 25. Une loi en $\sin^{-4}(\theta/2)$ , vérifiée éclair par éclair, a concentré la masse de l’atome dans $10^{-14}$ de son volume ; menée à $q$ toujours plus grand, la même expérience a trouvé la taille du noyau, puis ses constituants, et cherche encore.

Termes définis dans ce chapitre

Section efficace

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