Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

5Dynamique relativiste

En 1964, William Bertozzi filma des électrons lancés dans un accélérateur linéaire : chaque paquet recevait une énergie mesurée, et sa vitesse était chronométrée sur $8.4\,\mathrm{m}$ de vol. Newton prédisait que des électrons de $15\,\mathrm{MeV}$ devaient voler à huit fois la vitesse de la lumière ; le chronomètre annonça $0.9999c$ et refusa d’aller plus loin, si fort que l’on poussât les électrons. La cinématique nous a dit au chapitre précédent que $c$ est une limite ; la dynamique doit maintenant expliquer ce qu’il advient de la poussée — où passe le travail quand la vitesse ne croît plus. La réponse réorganise la mécanique autour d’une nouvelle quantité de mouvement et d’une nouvelle énergie, réunies dans l’équation la plus célèbre de la physique : l’énergie stockée est de la masse, la masse est de l’énergie en résidence, $E = mc^2$ . Ce chapitre construit cette dynamique, puis la met au travail là où elle vit chaque jour — désintégrations radioactives, collisions de particules, et les accélérateurs qui changent du mouvement en matière neuve.

5.1 Quantité de mouvement et énergie, refondues

Remarque 5.1 (Pourquoi $m\vect v$ devait céder)

La quantité de mouvement classique $m\vect v$ se conserve dans tout référentiel si les vitesses se transforment à la manière de Galilée. Elles ne le font pas (Proposition 4.10) : une collision qui conserve $\sum m\vect v$ dans un référentiel ne la conserve pas dans un autre, si bien que l’ancienne quantité de mouvement ne peut être une loi de la nature — tout au plus l’ombre, aux faibles vitesses, d’une loi véritable. La réparation consiste à mesurer la vitesse avec l’horloge propre de la particule : $\dd\vect r/\dd\tau = \gamma\,\vect v$ se transforme proprement, et $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ se trouve conservé dans tous les référentiels à la fois.

Définition 5.2 (Quantité de mouvement et énergie relativistes)

Une particule de masse $m$ et de vitesse $\vect v$ ( $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ) porte la quantité de mouvement et l’énergie

\vect p = \gamma m\vect v , \qquad E = \gamma mc^2 .

Au repos, $E_0 = mc^2$ : l’énergie de masse. L’énergie cinétique est ce que le mouvement ajoute, $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$ , qui pour $v \ll c$ se réduit au familier $\tfrac12 mv^2$ (développer $\gamma$ ). Dans tout processus isolé, la $\vect p$ totale et l’ $E$ totale — énergies de masse comprises — sont conservées.

Théorème 5.3 (La relation énergie–impulsion)

Pour toute particule,

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 , \qquad \vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :

la combinaison $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ prend la même valeur dans tout référentiel — elle est à l’énergie et à la quantité de mouvement ce que l’intervalle est au temps et à l’espace. Deux régimes : à faible vitesse, $E \approx mc^2 + p^2/2m$ ; à haute énergie ( $E \gg mc^2$ ), $E \approx pc$ et $v \to c$ : pousser plus fort ajoute de l’énergie et de la quantité de mouvement, presque pas de vitesse.

Démonstration. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$ ; et $pc^2/E = \gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$ . L’invariance de référentiel suit de ce que $m$ et $c$ n’en dépendent pas. ∎

Proposition 5.4 (Particules de masse nulle)

Une particule de masse nulle a $E = pc$ et se déplace exactement à $c$ dans tout référentiel ; on ne peut la ralentir, seulement la décaler vers le rouge. Le photon en est le cas type : $E = h\nu$ et $p = h\nu/c = h/\lambda$ — les relations de Planck–Einstein du volume de première année, vues maintenant comme le coin $m = 0$ de la mécanique.

Démonstration. Faisons $m = 0$ dans Théorème 5.3 : $E = pc$ et $v = pc^2/E = c$ . ∎

À gauche : l’expérience de la « vitesse ultime » de Bertozzi — les vitesses d’électrons mesurées (points) suivent la courbe relativiste et saturent à c tandis que la droite de Newton la dépasse. À droite : l’hyperbole énergie–impulsion ; son ordonnée à p = 0 est l’énergie de masse, son asymptote le E = pc du photon. — À gauche : l’expérience de la « vitesse ultime » de Bertozzi — les vitesses d’électrons mesurées (points) suivent la courbe relativiste et saturent à $c$ tandis que la droite de Newton la dépasse. À droite : l’hyperbole énergie–impulsion ; son ordonnée à $p = 0$ est l’énergie de masse, son asymptote le $E = pc$ du photon.

Exemple 5.5 (Ordres de grandeur)

La physique des particules compte les énergies en électronvolts et les masses en $\mathrm{MeV}/c^2$ : électron $0.511$ , proton $938.3$ , muon $105.7$ , pion $139.6$ . Un électron d’énergie cinétique $1\,\mathrm{MeV}$ a $\gamma = 2.96$ et $v = 0.94c$ — déjà pleinement relativiste, et c’est pourquoi l’électronique reste classique ( $\mathrm{eV}$ ) et la physique nucléaire non ( $\mathrm{MeV}$ ). Un proton du LHC à $6.8\,\mathrm{TeV}$ a $\gamma = 7250$ et ne suit un photon qu’avec $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de retard.

5.2 La masse est de l’énergie en résidence

Théorème 5.6 (Équivalence masse–énergie)

La masse d’un corps est l’énergie totale de son contenu, divisée par $c^2$ , mesurée dans son référentiel propre : chauffer un corps, remonter son ressort, exciter ses atomes, et il pèse davantage de $\Delta E/c^2$ ; lier ses parties entre elles et il pèse moins, de l’énergie de liaison sur $c^2$ — le défaut de masse. Réciproquement, l’énergie de masse peut être libérée : chaque fois que les masses finales totalisent moins que les initiales, la différence $\Delta m\,c^2$ émerge en énergie cinétique ou en rayonnement.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 5.7 (Le grand livre de $c^2$ )

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : un gramme de différence de masse vaut $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ , l’énergie d’une petite ville pour un jour. Les liaisons chimiques (quelques eV par molécule) décalent les masses de quelques parts pour $10^{10}$ — à jamais impesables, et c’est pourquoi la chimie ne s’en est jamais aperçue. La liaison nucléaire les décale de près de $1\%$ : l’hélium pèse $0.7\%$ de moins que ses quatre ingrédients d’hydrogène, et cette fraction manquante, s’écoulant du Soleil en lumière, lui coûte $\Delta m = L_\odot/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ à chaque seconde — quatre millions de tonnes de soleil. L’annihilation solde tout le compte : un électron rencontrant un positon ne laisse que deux photons de $511\,\mathrm{keV}$ chacun, le signal par lequel les caméras TEP observent un cerveau vivant.

Remarque 5.8 (Ce que « conversion » veut dire)

Rien de matériel ne « se change » en énergie : l’énergie totale était conservée depuis le début. Ce qui change, c’est sa résidence — de l’énergie de masse, qui pèse, à l’énergie cinétique et au rayonnement, qui volent. L’énoncé profond de $E = mc^2$ est que l’inertie elle-même est un contenu énergétique : une boîte de gaz chaud résiste plus à l’accélération que la même boîte froide.

5.3 Collisions et désintégrations

Définition 5.9 (Quadrivecteur énergie–impulsion et masse invariante)

Réunissons l’énergie et la quantité de mouvement d’une particule dans son quadrivecteur énergie–impulsion $P = (E/c, \vect p)$ . Pour un système de particules, on somme composante par composante : $E_{\text{tot}} = \sum E_i$ , $\vect p_{\text{tot}} = \sum\vect p_i$ . La masse invariante $M$ du système est définie par

M^2c^4 = E_{\text{tot}}^2 - \|\vect p_{\text{tot}}\|^2c^2 :

le même nombre dans tout référentiel, égal à l’énergie totale (sur $c^2$ ) dans le référentiel du centre de masse, celui où $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ . Notez que $M$ dépasse la somme des masses des constituants dès qu’ils bougent les uns par rapport aux autres — deux photons qui s’écartent ont $M > 0$ bien que chacun soit de masse nulle.

Méthode 5.10 (Résoudre une collision relativiste)

(1) Écrire la conservation du quadrivecteur énergie–impulsion : $E$ et $\vect p$ ensemble, jamais l’un sans l’autre. (2) Calculer l’invariant $E^2 - p^2c^2$ du regroupement le plus commode — il s’évalue dans le référentiel le plus facile et s’utilise dans tout autre. (3) Seuils : une réaction est possible dès que la masse invariante de l’état initial atteint la somme des masses au repos de l’état final. (4) Désintégrations au repos : les quantités de mouvement des produits sont opposées et égales ; les énergies découlent des seules masses. (5) Tout à la fin seulement, si on le demande, convertir en vitesses par $v = pc^2/E$ .

Exemple 5.11 (L’empreinte du pion)

Un pion chargé au repos se désintègre, $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (le neutrino étant pratiquement de masse nulle). La conservation de la quantité de mouvement place les produits dos à dos avec le même $p$ ; la conservation de l’énergie s’écrit $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ . En résolvant :

pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,

si bien que tout muon issu d’un pion se désintégrant au repos naît avec exactement $4.1\,\mathrm{MeV}$ d’énergie cinétique — une raie monoénergétique, dont l’observation (Powell, 1947) est la première pesée de la masse du pion. Les désintégrations à deux corps produisent toujours de telles raies ; celles à trois corps les étalent en spectres, et c’est précisément ainsi que le neutrino fut d’abord soupçonné dans la désintégration $\beta$ nucléaire.

Proposition 5.12 (Seuils : la tyrannie de la cible fixe)

Pour créer des particules nouvelles, seule l’énergie du centre de masse $Mc^2$ est disponible. Un faisceau d’énergie $E$ frappant une cible de masse $m_{\text{t}}$ au repos donne

M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 + 2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :

l’énergie utile ne croît que comme $\sqrt E$ — le reste est gaspillé à pousser les débris vers l’avant. Deux faisceaux identiques entrant en collision frontale donnent $Mc^2 = 2E$ : tout est utile. Cette seule formule explique que les machines de la frontière soient des collisionneurs (Problème 5.1).

Démonstration. Évaluons $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ au laboratoire : $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$ avec $p$ la quantité de mouvement du faisceau ; développer et utiliser $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$ . Pour le collisionneur, $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ et $Mc^2 = E_{\text{tot}}$ . ∎

Faire de la matière avec du mouvement : sur une cible fixe, la conservation de la quantité de mouvement force les produits à continuer de voler, et l’énergie utile du centre de masse ne croît que comme √ E ; dans une collision frontale, c’est la totalité de 2E. — Faire de la matière avec du mouvement : sur une cible fixe, la conservation de la quantité de mouvement force les produits à continuer de voler, et l’énergie utile du centre de masse ne croît que comme $\sqrt E$ ; dans une collision frontale, c’est la totalité de $2E$ .

5.4 La force et les machines

Proposition 5.13 (Équation du mouvement relativiste)

La loi de Newton survit sous la forme

\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)} {\dd t} , \qquad \frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .

Un champ magnétique, toujours perpendiculaire à $\vect v$ , ne change aucune énergie et courbe la trajectoire en un cercle de rayon

r = \frac{p}{qB}

— la même formule qu’au volume de première année, avec le $p$ relativiste. Mais la fréquence de circulation $qB/\gamma m$ diminue désormais quand la particule gagne de l’énergie : la poussée à fréquence fixe du cyclotron se désaccorde vers l’échelle du MeV, et les machines de haute énergie — les synchrotrons — font au contraire monter leur champ et leur fréquence en synchronisme avec $\gamma$ , maintenant le faisceau sur un anneau unique.

Démonstration partielle. La loi de force est la définition de la dynamique compatible avec la nouvelle quantité de mouvement ( $\dd E/\dd t$ découle de $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ : $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$ ). Pour le cercle : $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$ avec $|\vect p|$ constant signifie que le vecteur quantité de mouvement tourne au rythme $qvB/p$ , donc le rayon vaut $v/(qvB/p) = p/qB$ . ∎

Exemple 5.14 (Lire le LHC comme un exercice)

Des protons de $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ dans des dipôles de $B = 8.3\,\mathrm{T}$ : $p \approx E/c$ (ultrarelativiste), donc $r = p/qB = 2.7\,\mathrm{km}$ — et de fait le rayon de courbure magnétique de l’anneau vaut $2.8\,\mathrm{km}$ , les $27\,\mathrm{km}$ de circonférence étant surtout des aimants. Les collisions frontales fournissent $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$ ; atteindre cela sur cible fixe demanderait un faisceau de $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx 10^{17}\,\mathrm{eV}$ — cent fois la portée de toute machine jamais construite. C’est la formule du collisionneur, et non des aimants plus puissants, qui a acheté la frontière énergétique moderne.

Des particules chargées traversant une chambre à brouillard. Des traces comme celles-ci — s’enroulant dans les champs magnétiques, apparaissant par paires — ont fait de E = mc2 une comptabilité quotidienne : le positon a été découvert sur une telle photographie. — Des particules chargées traversant une chambre à brouillard. Des traces comme celles-ci — s’enroulant dans les champs magnétiques, apparaissant par paires — ont fait de $E = mc^2$ une comptabilité quotidienne : le positon a été découvert sur une telle photographie.

5.5 Exercices

Exercice 5.1 ★

Un électron ( $mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ ) va à $0.99c$ . Calculer $\gamma$ , sa quantité de mouvement en $\mathrm{MeV}/c$ , son énergie totale et son énergie cinétique. Mêmes questions pour un proton ( $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ) d’énergie cinétique $1\,\mathrm{GeV}$ .

Solution

Solution de Exercice 5.1.

Électron : $\gamma = 7.09$ ; $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$ , donc $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$ ; $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$ , $E_k = 3.11\,\mathrm{MeV}$ . Proton : $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$ , $\gamma = 2.07$ , $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = pc/E = 0.875$ .

Exercice 5.2 ★

(a) Combien d’énergie dort dans un gramme de matière ? (b) L’explosion d’Hiroshima a libéré environ $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ : quelle différence de masse cela fait-il ? (c) Le Soleil rayonne $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ : quelle masse perd-il par seconde, et quelle fraction de ses $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ en dix milliards d’années ? (d) La batterie de votre téléphone stocke $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : de combien un téléphone chargé est-il plus lourd ?

Solution

Solution de Exercice 5.2.

(a) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ . (b) $6 \times 10^{13}/ 9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — la bombe a converti moins d’un gramme. (c) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; sur $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ( $3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$ ) : $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$ , soit environ $0.07\%$ du Soleil. (d) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx 0.6\,\mathrm{ng}$ — réel, et à jamais impesable.

Exercice 5.3 ★

(a) Quelle quantité de mouvement le faisceau d’un pointeur laser de $5\,\mathrm{mW}$ emporte-t-il par seconde, et quelle force le pointeur ressent-il ? (b) Quelle force la lumière solaire ( $1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) exerce-t-elle sur une voile solaire parfaitement réfléchissante de $100\,\mathrm{m}^{2}$ ? (c) Partant du repos, à quelle vitesse va un voilier de $10\,\mathrm{kg}$ après un mois ? (d) Pourquoi la queue de poussière d’une comète pointe-t-elle à l’opposé du Soleil ?

Solution

Solution de Exercice 5.3.

(a) $p = P/c$ par seconde : force de recul $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ . (b) La réflexion double le transfert : $F = 2\Phi A/c = 2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$ . (c) $a \approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; après $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v \approx 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lent au départ, mais le moteur ne tombe jamais en panne. (d) La quantité de mouvement de la lumière solaire (avec le vent solaire) pousse la poussière continûment vers l’extérieur : la queue s’écoule à l’opposé du Soleil, non derrière la comète.

Exercice 5.4 ★

Exercice d’unités. (a) Montrer que $\mathrm{MeV}/c^2$ est une unité de masse et convertir la masse de l’électron en kilogrammes. (b) Que vaut $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ en $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ? (c) Un carré de masse invariante vaut $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ (en unités $c = 1$ ) : quelle énergie de centre de masse est-ce ? (d) Pourquoi les physiciens des particules posent-ils $c = 1$ , et que doit réinsérer un lecteur pour obtenir des nombres SI ?

Solution

Solution de Exercice 5.4.

(a) $m = E_0/c^2$ : $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ . (b) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ d’énergie de centre de masse. (d) Avec $c = 1$ , énergie, quantité de mouvement et masse partagent une unique unité et toute formule perd ses $c$ ; pour revenir au SI, il faut réinsérer l’unique puissance de $c$ qui rétablit les dimensions.

Exercice 5.5 ★★

Les électrons de Bertozzi avaient des énergies cinétiques de $0.5$ , $1$ , $4.5$ et $15\,\mathrm{MeV}$ . (a) Calculer la prédiction de Newton $v^2 = 2E_k/m$ pour chacune, en unités de $c^2$ . (b) Calculer le $v^2/c^2$ relativiste. (c) Son temps de vol sur $8.4\,\mathrm{m}$ à $15\,\mathrm{MeV}$ : qu’indiqua le chronomètre, et qu’aurait prédit Newton ? (d) L’énergie des électrons était aussi mesurée par calorimétrie — par leur chaleur à l’impact : pourquoi cette étape était-elle le vrai enjeu de l’expérience ?

Solution

Solution de Exercice 5.5.

(a) $2E_k/mc^2$ : $1.96$ , $3.9$ , $17.6$ , $59$ — absurde dès le deuxième. (b) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$ : $0.74$ , $0.89$ , $0.990$ , $0.9989$ . (c) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$ ; le $7.7c$ de Newton aurait donné $3.7\,\mathrm{ns}$ . (d) Le calorimètre prouvait que les électrons emportaient bien les $15\,\mathrm{MeV}$ entiers dans la cible : l’énergie y était tout entière, et pourtant la vitesse avait cessé de croître — le travail achète désormais de la quantité de mouvement et de l’énergie, non de la vitesse.

Exercice 5.6 ★★

Le pion chargé se désintègre au repos : $\pi^+ \to \mu^+\nu$ , $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ , $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$ , $m_\nu \approx 0$ . (a) Montrer que $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ et l’évaluer. (b) L’énergie cinétique et la vitesse du muon. (c) L’énergie du neutrino. (d) En vol à $\gamma_\pi = 50$ , quelles sont les énergies maximale et minimale du muon de désintégration au laboratoire (désintégration vers l’avant et vers l’arrière) ?

Solution

Solution de Exercice 5.6.

(a) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ ; isoler la racine et élever au carré : $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 = (139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (b) $E_\mu = \sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$ : $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$ . (c) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (d) Par changement de référentiel : $E_{\text{lab}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$ avec $\beta \approx 1$ : entre $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ et $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$ .

Exercice 5.7 ★★

La masse invariante à l’œuvre. (a) Deux photons de $200\,\mathrm{MeV}$ chacun volent à $60^\circ$ l’un de l’autre : calculer la masse invariante de la paire. (b) Un pion neutre ( $m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$ ) se désintègre en deux photons : quelle est la masse invariante de la paire de photons, dans tout référentiel ? (c) Expliquer comment une expérience « découvre » une particule sous forme d’une bosse dans la distribution de masse invariante de ses produits de désintégration. (d) Deux photons de même énergie volent exactement parallèlement : masse invariante ? Que dit cela du référentiel propre d’un faisceau lumineux ?

Solution

Solution de Exercice 5.7.

(a) Pour deux quanta de masse nulle, $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) = 2 \times 200^2 \times \tfrac12$ : $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$ . (b) Exactement $m_{\pi^0}$ — la masse invariante est la masse de la particule, dans tout référentiel. (c) Calculer $M$ pour chaque paire de photons de l’événement : les paires fortuites s’étalent doucement, les vraies filles d’une particule s’accumulent à sa masse — la bosse. (d) $\theta = 0$ : $M = 0$ ; un faisceau de lumière parallèle n’a pas de référentiel propre — il va à $c$ dans son ensemble, comme chacun de ses photons.

Exercice 5.8 ★★

Comptabilité du LHC (protons de $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ ). (a) $\gamma$ , et le déficit de vitesse $c - v$ (utiliser $c - v \approx c/2\gamma^2$ ). (b) La fréquence de révolution sur l’anneau de $27\,\mathrm{km}$ et le nombre de tours par seconde. (c) L’énergie stockée dans un faisceau de $3 \times 10^{14}$ protons, en kilogrammes de TNT ( $4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ). (d) L’équivalent en masse de l’énergie cinétique des deux faisceaux, en microgrammes — de la matière sur le point d’être faite.

Solution

Solution de Exercice 5.8.

(a) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$ ; $c - v \approx c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 = 11.1\,\mathrm{kHz}$ : onze mille tours par seconde. (c) $3 \times 10^{14} \times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ de TNT — dans un faisceau fin comme un cheveu. (d) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx 7\,\text{µ}\mathrm{g}$ : le stock de travail de la matière à venir.

Exercice 5.9 ★★

Photons en collision. (a) Montrer qu’un photon isolé dans le vide ne peut pas se désintégrer en une paire électron–positon, si énergétique soit-il (utiliser l’invariant). (b) Contre un second photon d’énergie $\epsilon$ en collision frontale, montrer que la création de paire exige $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) Un photon de $511\,\mathrm{keV}$ demande quel partenaire ? Un rayon X de $50\,\mathrm{keV}$ ? (d) L’univers est empli de lumière stellaire et du fond diffus micro-onde : que prédit (b) pour la portée des rayons $\gamma$ du TeV à travers l’espace intergalactique ?

Solution

Solution de Exercice 5.9.

(a) La masse invariante d’un photon vaut $0$ ; celle d’une paire $e^+e^-$ vaut au moins $2m_{\text{e}}c^2$ . L’invariant ne peut changer dans une désintégration isolée : interdit. (De façon équivalente : dans aucun référentiel la quantité de mouvement ne s’équilibre.) (b) De front, $M^2c^4 = 4E\epsilon$ ; la création de paire exige $Mc^2 \ge 2m_{\text{e}}c^2$ , c’est-à-dire $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) Un autre photon de $511\,\mathrm{keV}$ ; pour $50\,\mathrm{keV}$ , un partenaire de $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$ . (d) Un photon du TeV rencontre le seuil $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ sur la lumière stellaire ordinaire : le ciel lui-même absorbe les rayons $\gamma$ du TeV sur des distances cosmologiques — l’univers n’est pas transparent à toutes les énergies.

Exercice 5.10 ★★★

Compton, par les quadrivecteurs. Un photon de longueur d’onde $\lambda$ frappe un électron au repos et diffuse sous l’angle $\theta$ . (a) Écrire la conservation du quadrivecteur énergie–impulsion et isoler l’invariant de l’électron final. (b) Obtenir

\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .

(c) Évaluer $h/m_{\text{e}}c$ et le décalage maximal ; pourquoi l’effet est-il invisible en lumière visible mais décisif pour les rayons X ? (d) Qu’établit la mesure de Compton en 1923 au sujet de la lumière que l’effet photoélectrique n’avait pas établi ?

Solution

Solution de Exercice 5.10.

(a) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$ ; élever les deux membres au carré (invariants) : $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\! \cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$ . (b) Avec $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$ , $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ et $P_\gamma\!\cdot\! P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$ : $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$ , ce qui, en longueurs d’onde ( $E = hc/\lambda$ ), donne le décalage annoncé. (c) $h/m_{\text{e}}c = 2.43\,\mathrm{pm}$ , soit au plus $4.9\,\mathrm{pm}$ : une part sur $10^5$ pour la lumière visible (invisible), quelques pour cent pour un rayon X de $100\,\mathrm{pm}$ (mesuré). (d) Qu’un photon entre en collision comme une boule de billard — emportant une quantité de mouvement $h/\lambda$ échangée lors d’événements individuels, et pas seulement de l’énergie par paquets.

Exercice 5.11 ★★★

La fin du spectre des rayons cosmiques. L’univers baigne dans des photons micro-ondes d’énergie typique $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . Un proton d’énergie $E$ en frappant un de front peut être excité en résonance $\Delta$ ( $m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$ ), perdant de l’énergie à chaque fois. (a) Montrer que la condition de seuil s’écrit approximativement $4E\epsilon = (m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$ . (b) Calculer le seuil $E$ . (c) Au-dessus, l’univers est opaque aux protons au-delà de quelque $100\,\mathrm{Mly}$ : que prédit cela pour le spectre observé des rayons cosmiques (la coupure de Greisen–Zatsepin–Kuzmin) ? (d) Des rayons cosmiques de $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ ont été enregistrés — les particules « Oh-My-God » : qu’exige leur existence de leurs sources ?

Solution

Solution de Exercice 5.11.

(a) $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ de front (le proton étant ultrarelativiste) ; seuil en $M = m_\Delta$ . (b) $E = (1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}) \approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ pour le photon moyen — la queue thermique du fond micro-onde ramène la coupure effective vers $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ . (c) Les protons au-dessus de la coupure cèdent de l’énergie au $\Delta$ en $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$ : le spectre devrait s’achever vers $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ pour les sources lointaines — la suppression GZK observée. (d) Leurs sources doivent être à la fois des accélérateurs extraordinaires et cosmiquement proches — à l’intérieur de notre superamas — ce qui explique en partie que leur origine soit encore traquée.

Exercice 5.12 ★★★

La fusée à photons. Une fusée de masse initiale $m_{\text{i}}$ éjecte son échappement sous forme d’un faisceau lumineux collimaté et atteint la vitesse $\beta c$ . (a) En conservant l’énergie et la quantité de mouvement entre le départ et l’arrivée, montrer que

\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,

l’exponentielle de la rapidité — l’équation de Tsiolkovski relativiste avec le meilleur échappement possible. (b) Rapport de masses pour atteindre $0.9c$ ? Et pour atteindre $0.9c$ puis s’arrêter à destination ? (c) Il faut bien fabriquer ce faisceau : avec une annihilation matière–antimatière de rendement parfait, combien de kilogrammes d’antimatière par kilogramme de charge utile pour l’aller simple à $0.9c$ ? (d) La production mondiale d’antiprotons se compte en nanogrammes par an : conclure, en une phrase, sur les fusées à photons.

Solution

Solution de Exercice 5.12.

(a) Énergie : $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$ ; quantité de mouvement : $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$ . En éliminant $E_\ell$ : $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} = m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$ . (b) $\sqrt{19} = 4.4$ ; accélérer et freiner l’élève au carré : $19$ . (c) La masse consommée $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ doit être du carburant annihilé, moitié antimatière : $1.7\,\mathrm{kg}$ d’antimatière par kilogramme livré (aller simple, sans freinage). (d) À quelques nanogrammes de production mondiale par an, la fusée à photons reste de l’arithmétique, non de l’ingénierie.

La découverte de l’antimatière (Carl D. Anderson, 1932, domaine public) : un unique positon montant à travers la plaque de plomb de la chambre à brouillard, courbé du mauvais côté pour un électron et trop serré pour un proton — le grand livre de E = mc2 pris à tourner à l’envers. — La découverte de l’antimatière (Carl D. Anderson, 1932, domaine public) : un unique positon montant à travers la plaque de plomb de la chambre à brouillard, courbé du mauvais côté pour un électron et trop serré pour un proton — le grand livre de $E = mc^2$ pris à tourner à l’envers.

5.6 Problème : fabriquer de la matière — l’antiproton et le Bevatron

Problème 5.1

Problème du week-end — comment la conservation de la quantité de mouvement a fixé le prix de l’antimonde

Les équations de Dirac exigeaient, dès 1931, que le proton eût un jumeau en miroir de charge opposée. En fabriquer un signifiait acheter son énergie de masse avec de l’énergie de faisceau — et la conservation de la quantité de mouvement en fixait le prix. Ce problème en établit le tarif, conçoit la machine qui l’a payé et suit la découverte de 1955. Données : $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$ ; la charge et le nombre baryonique (protons et neutrons $+1$ , antiprotons $-1$ ) sont conservés dans toute réaction.

Partie I — La boîte à outils du quadrivecteur.

Pour une particule, montrer que $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ à partir des définitions de $E$ et $\vect p$ .
Pour un système, pourquoi $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ est-il le même dans tous les référentiels, et que vaut-il dans le référentiel du centre de masse ?
Un faisceau de protons d’énergie $E$ frappe un proton au repos : montrer que $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ .
Vérifier les deux limites : à basse énergie $Mc^2 \to 2m_{\text{p}}c^2$ ; à haute énergie $Mc^2 \approx \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — la loi en racine carrée.
Une réaction n’est permise que si $Mc^2$ atteint la somme des masses au repos des produits, tous les produits étant au repos dans le référentiel du centre de masse au seuil : justifier cette dernière clause.
Pourquoi l’énergie cinétique des produits au laboratoire ne peut-elle jamais être récupérée pour créer des particules sur une cible fixe ?

Partie II — Le prix de l’antiproton.

Dans les collisions $p + p$ , la réaction la moins chère fabriquant un antiproton $\bar p$ doit aussi fabriquer un proton supplémentaire : l’écrire et la justifier par la charge et le nombre baryonique.
Montrer que le seuil exige $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ .
En déduire l’énergie de faisceau requise $E = 7m_{\text{p}}c^2$ et l’énergie cinétique $T = 6m_{\text{p}}c^2$ ; évaluer $T$ .
Au seuil, quelle fraction de l’énergie cinétique du faisceau est réellement devenue de la masse au repos nouvelle (dont $2m_{\text{p}}c^2$ ) ? Où est le reste ?
Dans un collisionneur frontal $p$ – $p$ , quelle énergie cinétique par faisceau la même réaction demanderait-elle ? Comparer les deux conceptions.
En 1954 aucun collisionneur n’existait (les faisceaux étaient trop ténus pour se toucher) : quel fait pratique a imposé le choix de la cible fixe, et qu’a-t-il coûté en énergie de faisceau ?

Partie III — Concevoir le Bevatron. La machine construite à Berkeley atteignit $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ — confortablement au-dessus du seuil — avec des champs dipolaires de $B = 1.56\,\mathrm{T}$ .

Calculer l’énergie totale et la quantité de mouvement du faisceau à son énergie maximale.
Calculer le rayon de courbure $r = p/qB$ et comparer aux $15.2\,\mathrm{m}$ de la machine.
Calculer la vitesse du proton et la fréquence de révolution sur l’anneau de longueur $2\pi r$ .
À l’injection, les protons arrivent à $10\,\mathrm{MeV}$ d’énergie cinétique : calculer leur vitesse et expliquer pourquoi la fréquence accélératrice devait balayer pendant chaque cycle (quelles deux grandeurs changent quand $E$ croît ?).
Avec environ $1.5\,\mathrm{kV}$ gagnés par tour, combien de tours et combien de temps dure un cycle d’accélération ?
Le nom « Bevatron » venait de BeV, milliards d’électronvolts : dites en une ligne quelle physique a fixé le chiffre de conception de $6$ et quelques BeV.

Partie IV — La découverte, 1955.

Un aimant courbe chaque candidat sur un cercle : expliquer pourquoi cela sélectionne les particules par leur quantité de mouvement ( $r = p/qB$ ), et non par leur énergie ou leur vitesse — et pourquoi un faisceau ainsi sélectionné mélange encore les espèces.
Le faisceau sur une cible de cuivre produisait des torrents de pions négatifs ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ) parmi lesquels se cachaient quelques antiprotons. Le spectromètre sélectionnait les négatifs de quantité de mouvement $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ : calculer la vitesse d’un antiproton et celle d’un pion à cette quantité de mouvement.
Sur les $12\,\mathrm{m}$ de vol, calculer les deux temps de parcours : quelle résolution temporelle la découverte exigeait-elle ?
Une seconde signature indépendante utilisait des compteurs Tcherenkov, ne se déclenchant qu’au-dessus d’un seuil de vitesse : quelle particule fut-elle réglée pour les déclencher, et pourquoi la redondance importe-t-elle à une découverte ?
Chamberlain et Segrè comptèrent environ un antiproton pour $44\,000$ pions : pourquoi l’argument de seuil garantissait-il un taux minuscule même au-dessus du seuil ?
Un antiproton finit par rencontrer un proton et s’annihile : quelle énergie est libérée par événement, et sous quelle forme, typiquement ?
Résumer le résultat nommé : la conservation du quadrivecteur énergie–impulsion a fixé le prix de l’antiproton à $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ sur cible fixe ; un synchrotron de $6.2\,\mathrm{GeV}$ et $15\,\mathrm{m}$ l’a payé, et l’antimonde est devenu un fait de laboratoire — le prix Nobel de 1959.

Solution

Solution de Problème 5.1.

1. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$ . 2. $E_{\text{tot}}$ et $\vect p_{\text{tot}}$ se transforment comme l’ $E$ et le $\vect p$ d’une particule unique (ce sont des sommes), si bien que la même algèbre donne un invariant ; là où $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ , il vaut le carré de l’énergie totale : $Mc^2 = E_{\text{CM}}$ . 3. $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$ . 4. $E \to m_{\text{p}}c^2$ donne $M = 2m_{\text{p}}$ ; $E \gg m_{\text{p}}c^2$ donne $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$ . 5. Tout mouvement relatif des produits ajoute de l’énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse par-dessus leurs masses au repos ; le $Mc^2$ minimal — le seuil — les laisse tous au repos les uns par rapport aux autres. 6. La quantité de mouvement du laboratoire $\vect p_{\text{tot}} \neq \vect 0$ doit survivre à la collision : les produits sont condamnés à se mouvoir, et leur énergie cinétique est soustraite à la fabrication de masse. 7. $p + p \to p + p + p + \bar p$ : charge $+2 \to +2$ ; nombre baryonique $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$ . Fabriquer $\bar p$ seul, ou avec moins d’un baryon supplémentaire complet, viole l’une des deux règles. 8. Quatre masses de proton au repos relatif : $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ . 9. $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2$ : $E = 7m_{\text{p}}c^2$ , $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.63\,\mathrm{GeV}$ . 10. Masse au repos nouvelle : $2m_{\text{p}}c^2$ sur $T = 6m_{\text{p}}c^2$ — un tiers ; les deux autres tiers repartent en énergie cinétique des produits, protégés par la conservation de la quantité de mouvement. 11. De front, $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) = 4m_{\text{p}}c^2$ : $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ par faisceau — six fois moins que le faisceau sur cible fixe, douze fois moins d’énergie cinétique totale. 12. Les faisceaux des années 1950 étaient bien trop ténus pour entrer utilement en collision l’un avec l’autre ; une cible solide offre $10^{22}$ protons par centimètre cube. Le prix : $5.6\,\mathrm{GeV}$ au lieu de $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$ . 13. $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$ ; $pc = \sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$ . 14. $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — la machine telle qu’elle fut bâtie. 15. $\beta = pc/E = 0.991$ ; orbite $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$ : $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$ . 16. À $10\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 0.145$ : $f = 0.46\,\mathrm{MHz}$ . À mesure que l’énergie monte, la vitesse (donc $f$ ) et la quantité de mouvement (donc le champ nécessaire à rayon fixé) changent toutes deux : le champ et la radiofréquence doivent monter ensemble — l’astuce qui définit le synchrotron. 17. $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ tours ; à une fréquence moyenne de l’ordre du mégahertz, un cycle d’accélération d’une à deux secondes. 18. Le seuil de l’antiproton $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ , plus une marge : la comptabilité de ce problème est littéralement ce pour quoi l’énergie de la machine — et son nom — ont été choisis. 19. $r = p/qB$ ne contient aucune masse : l’aimant courbe également des quantités de mouvement égales, quelle que soit la particule — le faisceau sélectionné mélange donc encore pions, kaons et (rarement) antiprotons, tous à $1.19\,\mathrm{GeV}/c$ . 20. $\bar p$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} = 1.51\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.79$ . $\pi^-$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.993$ . 21. $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$ ; $t_\pi = 40\,\mathrm{ns}$ : l’écart de $11\,\mathrm{ns}$ exigeait une datation à la nanoseconde — disponible, tout juste, en 1955. 22. Les compteurs étaient réglés pour se déclencher sur les pions rapides et rester muets pour les antiprotons lents (un veto de vitesse) ; avec une aiguille à $1$ pour $44000$ , seules deux signatures indépendantes (temps de vol et seuil Tcherenkov) pouvaient écarter les fausses coïncidences. 23. Juste au-dessus du seuil, les produits naissent presque au repos relatif : la réaction n’a presque pas d’espace des phases, tandis que la production de pions, bien au-dessus de son seuil, est abondante — la rareté était garantie par la cinématique même qui en fixait le prix. 24. $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$ par annihilation, typiquement en une poignée de pions qui se désintègrent ensuite en photons, muons et neutrinos. 25. La conservation du quadrivecteur énergie–impulsion a fixé le prix de l’antiproton à $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ sur cible fixe ; le Bevatron de $6.2\,\mathrm{GeV}$ et $15.1\,\mathrm{m}$ l’a payé ; le temps de vol et un veto Tcherenkov ont trouvé une particule de l’antimonde pour $44000$ imposteurs — et le prix Nobel de 1959 a certifié le grand livre.

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