23Solides cristallins

Solution de Exercice 23.1.

(a) cs : $8\times\tfrac18 = 1$ ; cc : $8\times\tfrac18 + 1 = 2$ ; cfc : $8\times\tfrac18 + 6\times\tfrac12 = 4$. (b) Diagonale $a\sqrt3 = 4r$ : $r = a\sqrt3/4$. (c) Diagonale de face $a\sqrt2 = 4r$ : $r = a\sqrt2/4$. (d) $0.68$ et $0.74$ : la liaison métallique, aveugle à la direction, veut l’empilement maximal, d’où les structures cfc (ou hexagonale aussi dense) du cuivre, de l’aluminium, de l’argent et de l’or.

Solution de Exercice 23.2.

(a) $a/\sqrt2 = 2.55\,\text{Å}$. (b) 12 — la coordinence de l’empilement compact. (c) $8960\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ (Exemple 23.2). (d) $n = 4/a^3 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, donc un micromètre cube contient $8.5\times10^{10}$ atomes — et c’est pourquoi la métallurgie des puces est une statistique, non de la menuiserie.

Solution de Exercice 23.3.

(a) $\sin\theta_1 = \lambda/2d = 0.273$ : $\theta_1 = 15.8^\circ$. (b) $n \le 2d/\lambda = 3.66$ : trois ordres. (c) $\sin\theta \le 1$ impose $n\lambda \le 2d$ ; le $\lambda \sim 5000\,\text{Å}$ de la lumière visible est mille fois trop long — aucun espacement de plans cristallins ne peut la diffracter. (d) $\sin\theta$ baisse de 1 % : $\theta_1 \to 15.7^\circ$. Un diffractomètre est un fin thermomètre — et ce décalage est la façon de mesurer la dilatation thermique à l’échelle atomique.

Solution de Exercice 23.4.

(a) $d_{100} = a > d_{110} = a/\sqrt2 > d_{111} = a/\sqrt3$. (b) Le plus grand $d$, le plus petit angle : (100). (c) La famille octaédrique (111) — dans la structure diamant, ses feuillets s’apparient en doubles couches fortement liées, séparées par de larges espaces peu liés : le plan du cliveur. (d) Chaque grain réfléchit au même $\theta$ mais dans un azimut aléatoire : les rayons réfléchis s’ouvrent en cônes de demi-angle $2\theta$, qui coupent le détecteur en anneaux.

Solution de Exercice 23.5.

(a) L’interférence exige des différences de marche de l’ordre de $\lambda$ ; les espacements sont des ångströms, donc $\lambda$ doit l’être aussi. (b) $E = hc/\lambda \approx 8\,\mathrm{keV}$. (c) $p = h/\lambda$, $V = p^2/2m_{\text{e}}e \approx 60\,\mathrm{kV}$ (la relativité rogne quelques pour cent) — la tension de travail d’un microscope électronique. (d) $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ : les neutrons à température ambiante naissent prêts à diffracter. Ils diffusent sur les noyaux, non sur les nuages électroniques — ils voient donc clairement l’hydrogène et portent un moment magnétique qui cartographie l’ordre magnétique, deux choses presque invisibles aux rayons X.

Solution de Exercice 23.6.

(a) Quatre paires par maille de volume $a^3$. (b) $N_{\text{A}} = 4M/\rho a^3 = 4\times0.05844/(2165\times1.794 \times 10^{-28}\,) \approx 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$. (c) $N_{\text{A}} \propto a^{-3}$ : une erreur de 0,1 % sur $a$ en fait 0,3 % sur $N_{\text{A}}$. (d) La méthode compte les atomes en supposant chaque maille pleine et identique : lacunes, impuretés et joints en mosaïque faussent toutes le compte — d’où les sphères de silicium fanatiquement parfaites de la redéfinition du kilogramme.

Solution de Exercice 23.7.

(a) Chaque ion voit $2\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}/n = 2\ln2$ en unités de $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0$ (facteur 2 : les deux côtés), attractif. (b) $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0 = 5.11\,\mathrm{eV}$ ; $\times1.7476 = 8.93\,\mathrm{eV}$. (c) La minimisation supprime $1/9$ de l’attraction : $U = 8.93\times\tfrac89 = 7.94\,\mathrm{eV}$. (d) À un pour cent des $7.9\,\mathrm{eV}$ : un réseau de charges ponctuelles plus un seul exposant de raideur expliquent tout le budget d’un solide ionique — la mécanique quantique se cache dans $r_0$ et dans l’exposant.

Solution de Exercice 23.8.

(a) $r_0 = 2^{1/6}\times3.40 = 3.82\,\text{Å}$, soit 1,5 % au-dessus des $3.76\,\text{Å}$ mesurés (chaque atome ressent aussi ses douze voisins, ce qui resserre le puits). (b) $T_{\text{m}} \sim \epsilon/2k_{\text{B}} \approx 60\,\mathrm{K}$ : la bonne échelle pour $84\,\mathrm{K}$. (c) L’énergie de point zéro $\hbar\omega/2$ de l’hélium, dans un puits si peu profond, rivalise avec le puits lui-même : le cristal se secoue jusqu’à se défaire, et l’hélium reste liquide à $T = 0$ à moins d’être comprimé. (d) Une profondeur $\sim0.01\,\mathrm{eV}$ contre $\sim3.6\,\mathrm{eV}$ par liaison covalente : un facteur trois cents en énergie, c’est toute la distance du givre au diamant.

Solution de Exercice 23.9.

(a) $ka \ll 1$ : $\omega \approx 2\sqrt{K/m}\,(ka/2) = a\sqrt{K/m}\,k$. (b) Étirer une maille de $\delta$ : contrainte $\sim K\delta/a^2$, déformation $\delta/a$, donc $E \sim K/a$, soit $K \sim Ea$. (c) $K \approx 31\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $v = a\sqrt{K/m} \approx 4400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — les $4000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ mesurés à 10 % près, à partir d’un ressort deviné sur le module d’Young. (d) $v = a\sqrt{K/m}$ : liaisons rigides vers le haut, atomes légers vers le haut — le diamant maximise les deux, d’où un son à $18\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\Theta_{\text{D}} \approx 2200\,\mathrm{K}$.

Solution de Exercice 23.10.

(a) $\dd\omega/\dd k \propto \cos(ka/2) = 0$ en $k = \pi/a$. (b) $u_n \propto (-1)^n$ : chaque atome en opposition de phase avec ses deux voisins — une onde stationnaire, l’énergie ballottant sur place. (c) Avec $\lambda = 2a$, les ondes rétrodiffusées par des atomes successifs diffèrent d’exactement une longueur d’onde de marche : la condition de Bragg le long de la chaîne elle-même. Le réseau réfléchit sa propre vibration, les ondes aller et retour se verrouillent en un motif stationnaire, et l’onde progressive ne peut plus avancer. (d) $\omega_{\text{max}} = 2\sqrt{K/m} \approx 3.4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, soit $\sim5\,\mathrm{THz}$ : l’infrarouge lointain — vibrations du réseau et lumière infrarouge se rencontrent dans la même octave, fait qui sous-tend l’exercice suivant.

Solution de Exercice 23.11.

(a) Dans le mode optique, les sous-réseaux $+$ et $-$ se déplacent en sens opposés : un dipôle électrique oscillant, exactement ce qu’une onde lumineuse saisit. (b) $\omega \approx \sqrt{2K/\mu}$ avec $\mu = 2.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ : $\omega \approx 4.7 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\lambda = 2\pi c/\omega \approx 40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — l’infrarouge lointain (la bande reststrahlen mesurée du sel se situe à $61\,\text{µ}\mathrm{m}$ : la bonne octave pour un modèle à deux ressorts). (c) Dans cette bande, la résonance propre du cristal absorbe et réémet l’onde : le sel transparent devient un miroir opaque. (d) Un atome par maille, c’est aucun second sous-réseau contre lequel battre : une seule branche, pas de gap.

Solution de Exercice 23.12.

(a) $N$ atomes $\times$ 3 directions de déplacement = $3N$ oscillateurs, donc le spectre linéaire est coupé dès qu’il a compté $3N$ modes : cela définit $k_{\text{D}}$. (b) $k_{\text{D}} = (6\pi^2n)^{1/3} = 1.7 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\Theta_{\text{D}} = \hbar vk_{\text{D}}/k_{\text{B}} \approx 350\,\mathrm{K}$ — les $343\,\mathrm{K}$ calorimétriques, à partir d’une vitesse du son et d’une densité. (c) La droite manque l’aplatissement au bord de zone : Debye surcompte les hautes fréquences, si bien que l’ajustement force aux températures intermédiaires ; la loi en $T^3$ (grandes ondes seules) est sûre. (d) Les deux disent que le spectre s’arrête quand la longueur d’onde atteint l’espacement atomique — un mode par atome, habillé soit en vecteur d’onde de coupure, soit en température de coupure.