Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

6Électromagnétisme covariant

Un fil de cuivre porte dix ampères. Ses électrons dérivent d’un dixième de millimètre par seconde — plus lentement qu’un escargot — et le fil est électriquement neutre à une précision fantastique. Et pourtant une charge qui longe le fil subit une attraction mesurable. Vu du référentiel propre de cette charge, l’explication « magnétique » s’évapore : la charge est au repos, et une charge au repos ne subit aucune force magnétique. Ce qui l’attire, dans ce référentiel, est un champ électrique — suscité par la relativité elle-même, parce que la contraction des longueurs déséquilibre, d’une part sur $10^{24}$ , les deux flots de charge du fil. Le magnétisme, c’est l’électricité vue d’un siège en mouvement. Ce chapitre réécrit l’électromagnétisme du volume de deuxième année dans la langue des trois chapitres précédents : des quadrivecteurs pour la charge et le potentiel, un unique tenseur antisymétrique tenant ensemble $\vect E$ et $\vect B$ , les quatre équations de Maxwell repliées en deux lignes qui se lisent de même dans tout référentiel galiléen. Au-delà de l’élégance, le bénéfice est de la physique effective : comment les champs se transforment, pourquoi le champ d’une charge rapide s’aplatit en galette, et pourquoi la lumière d’un électron relativiste balaie vers l’avant comme un phare — le principe des sources de rayonnement synchrotron qui radiographient aujourd’hui protéines et batteries.

6.1 Quadrivecteurs pour la charge et le courant

Définition 6.1 (Quadrivecteurs)

Un quadrivecteur est un quadruplet $a^\mu = (a^0, \vect a)$ , $\mu = 0, 1, 2, 3$ , dont les composantes se mélangent sous un changement de référentiel exactement comme celles de $(ct, \vect r)$ :

a'^0 = \gamma(a^0 - \beta a^1) , \qquad a'^1 = \gamma(a^1 - \beta a^0) , \qquad a'^{2,3} = a^{2,3}

pour un changement de référentiel à $\beta c$ selon $x$ . Deux quadrivecteurs quelconques donnent le produit scalaire invariant $a\cdot b = a^0b^0 - \vect a\cdot\vect b$ , le même nombre dans tout référentiel — le motif derrière $c^2t^2 - x^2$ et $E^2 - p^2c^2$ . La position $(ct, \vect r)$ et le quadrivecteur énergie–impulsion $(E/c, \vect p)$ sont les deux que nous avons ; l’électromagnétisme en fournit trois de plus : courant, potentiel et vecteur d’onde.

Proposition 6.2 (Le quadricourant et la conservation de la charge)

La densité de charge $\rho$ et la densité de courant $\vect\jmath$ forment le quadricourant

J^\mu = (\rho c,\ \vect\jmath\,) :

un nuage de charge de densité propre $\rho_0$ se déplaçant à $\vect u$ a $J^\mu = \rho_0\gamma_u(c, \vect u)$ — la densité croît de $\gamma_u$ parce que le volume du nuage se contracte, tandis que la charge elle-même est invariante (un fait expérimental décisif : les atomes dont les électrons internes sont rapides restent exactement neutres). La conservation de la charge est l’énoncé invariant

\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)} + \operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,

l’équation de continuité du volume de deuxième année, désormais visiblement la même loi pour tous les observateurs.

Démonstration partielle. Le nuage en mouvement : une boîte de volume propre $V_0$ contient la charge $\rho_0 V_0$ ; au laboratoire la boîte est contractée à $V_0/\gamma_u$ , donc $\rho = \gamma_u\rho_0$ , et $\vect\jmath = \rho\vect u$ par définition d’une densité de courant. Que $(\rho c, \vect\jmath)$ se transforme alors comme un quadrivecteur suit de ce qu’il vaut $\rho_0/c$ fois la quadrivitesse $\gamma_u(c, \vect u)$ , elle-même quadrivecteur par construction. L’invariance de la charge est une donnée expérimentale. ∎

6.2 Un seul tenseur pour les deux champs

Définition 6.3 (Quadripotentiel et tenseur du champ)

Les potentiels du volume de deuxième année s’assemblent en le quadripotentiel

A^\mu = \Big(\frac{V}{c},\ \vect A\Big) ,

et les champs mesurables $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ , $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ sont les six composantes indépendantes d’un unique tableau antisymétrique, le tenseur du champ électromagnétique

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c\\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} .

$\vect E$ et $\vect B$ ne sont pas deux champs mais six faces d’un seul objet ; la face qu’un observateur nomme « électrique » dépend du mouvement de cet observateur.

Théorème 6.4 (Maxwell, sous forme covariante)

Les quatre équations de Maxwell du volume de deuxième année sont la forme en composantes de deux énoncés indépendants du référentiel : la paire avec sources (Gauss et Ampère–Maxwell) s’écrit

\sum_\mu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^\nu ,

et la paire sans source (absence de monopôle, Faraday) est l’identité qui garantit que $F$ dérive d’un quadripotentiel. La force de Lorentz s’écrit $\dd p^\mu/\dd\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$ — la loi de force, partie magnétique comprise, en une ligne. Les deux membres de chaque équation se transformant à l’identique, la théorie de Maxwell n’a besoin d’aucune correction pour être relativiste : elle fut la première pièce achevée de la relativité, née en 1865.

Démonstration partielle. Développons la composante $\nu = 0$ : $\sum_i\partial_i(E_i/c) = \mu_0\rho c$ , c’est-à-dire $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (avec $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$ ). La composante $\nu = 1$ rassemble $-\partial_t(E_x/c^2) + (\partial_yB_z - \partial_zB_y) = \mu_0 j_x$ : la composante $x$ d’Ampère–Maxwell. Les autres composantes répètent le motif ; la paire sans source est l’égalité des dérivées secondes croisées de $A^\mu$ (vérifiée dans Exercice 6.3). Que $F^{\mu\nu}$ se transforme comme un tenseur (à deux indices) — chaque indice comme un quadrivecteur — est admis ; ses conséquences sont l’objet de la proposition suivante. ∎

6.3 Comment les champs se transforment

Proposition 6.5 (Transformation des champs)

Pour un changement de référentiel à la vitesse $\vect v = v\,\vect e_x$ : les composantes selon le mouvement sont intactes, les transverses se mélangent,

E'_x = E_x , \qquad E'_y = \gamma(E_y - vB_z) , \qquad E'_z = \gamma(E_z + vB_y) ,

B'_x = B_x , \qquad B'_y = \gamma\Big(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\Big) , \qquad B'_z = \gamma\Big(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\Big) .

De façon compacte, transversalement au mouvement : $\vect E' = \gamma(\vect E + \vect v\wedge\vect B)_\perp$ et $\vect B' = \gamma(\vect B - \vect v\wedge\vect E/c^2)_\perp$ . Un $\vect B$ pur dans un référentiel est $\vect E$ et $\vect B$ dans un autre : les champs sont un seul phénomène.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 6.6 (Le magnétisme d’un fil neutre)

Un fil neutre porte un courant : réseau positif au repos, électrons en dérive. Pour une charge d’épreuve qui longe le fil, passons dans son référentiel : les deux flots de charge se contractent différemment (ils n’ont pas la même vitesse), le fil acquiert la densité linéique nette $\lambda' = -\gamma vI/c^2$ , et son champ électrique radial attire la charge avec exactement la force que le laboratoire appelait $q\vect v\wedge\vect B$ . Le magnétisme est ce à quoi ressemble le terme du second ordre $v u/c^2$ de la relativité quand $10^{28}$ charges élémentaires par mètre conspirent : chaque effet est fantastiquement petit, mais le fil est neutre à une précision plus grande encore, si bien que le minuscule déséquilibre fait toute l’histoire (Problème 6.1).

Une force, deux comptabilités. Laboratoire : le courant du fil neutre crée B, la charge en mouvement subit q v B. Référentiel de la charge : le réseau positif se déplace désormais et se contracte, les électrons (plus lents là) s’espacent ; le fil porte une charge nette et c’est son E' qui attire. Même expérience, même issue. — Une force, deux comptabilités. Laboratoire : le courant du fil neutre crée $\vect B$ , la charge en mouvement subit $q\vect v\wedge\vect B$ . Référentiel de la charge : le réseau positif se déplace désormais et se contracte, les électrons (plus lents là) s’espacent ; le fil porte une charge nette et c’est son $\vect E'$ qui attire. Même expérience, même issue.

Exemple 6.7 (Le champ en galette d’une charge rapide)

Transformons le champ coulombien d’une charge dans le référentiel où elle se déplace à $\gamma \gg 1$ : le champ longitudinal est inchangé tandis que le transverse est multiplié par $\gamma$ . Le champ, naguère sphérique, s’aplatit en un disque d’angle d’ouverture $\sim 1/\gamma$ autour du plan passant par la charge — accompagné, transversalement au mouvement, d’un anneau magnétique $B' = vE'/c^2$ . Pour un observateur immobile, le passage d’un proton du LHC ( $\gamma \approx 7000$ ) est une gifle sub-picoseconde de $\vect E$ et $\vect B$ presque croisés : presque une impulsion de lumière — la raison pour laquelle les faisceaux rapides parlent à la matière comme le font les photons.

Le champ électrique d’une charge ponctuelle, au repos et à grande vitesse : le changement de référentiel multiplie les composantes transverses par et laisse les longitudinales intactes, comprimant le champ en un disque perpendiculaire au mouvement. — Le champ électrique d’une charge ponctuelle, au repos et à grande vitesse : le changement de référentiel multiplie les composantes transverses par $\gamma$ et laisse les longitudinales intactes, comprimant le champ en un disque perpendiculaire au mouvement.

6.4 Invariants, lumière et effet phare

Proposition 6.8 (Les deux invariants du champ)

À partir de $F^{\mu\nu}$ on ne peut construire que deux scalaires indépendants :

E^2 - c^2B^2 \qquad\text{et}\qquad \vect E\cdot\vect B ,

les mêmes dans tout référentiel galiléen. Conséquences : si $E > cB$ quelque part (avec $\vect E\cdot\vect B = 0$ ), un référentiel y voit un champ purement électrique ; si $E < cB$ , un référentiel y voit un champ purement magnétique ; et une onde plane lumineuse, avec $E = cB$ et $\vect E\perp\vect B$ , a ses deux invariants nuls — c’est de la lumière dans tout référentiel : aucun changement de référentiel ne peut la changer en champ statique, seulement la décaler vers le rouge. On ne peut rattraper une onde lumineuse ; la question d’adolescent d’Einstein se répond d’elle-même en deux invariants.

Démonstration partielle. Vérifions l’invariance sous le changement de référentiel standard par substitution directe de Proposition 6.5 (Exercice 6.6) ; qu’aucun troisième invariant indépendant n’existe est admis. Pour l’onde : $E = cB$ et l’orthogonalité donnent les deux nuls ; un référentiel où le champ serait statique exigerait un invariant non nul. ∎

Proposition 6.9 (Quadrivecteur d’onde, Doppler et aberration)

La fréquence et la direction d’une onde plane forment le quadrivecteur isotrope $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ , $\|\vect k\| = \omega/c$ . Le transformer donne d’un coup la formule Doppler relativiste du Chapitre 4 et l’aberration des directions :

\cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta\cos\theta} .

Lue à l’envers, une source rayonnant de façon isotrope dans son référentiel propre envoie, au laboratoire, la moitié de sa lumière dans le cône avant $\theta \lesssim 1/\gamma$ : l’effet phare. Un électron tournant à $\gamma \sim 10^4$ dans un anneau de stockage promène autour de l’anneau un projecteur de rayons X de $0.1\,\mathrm{mrad}$ — le rayonnement synchrotron qui alimente les lignes de cristallographie des protéines.

Démonstration partielle. La phase $\omega t - \vect k\cdot\vect r = k^\mu x_\mu$ compte les crêtes qui passent par des événements — un invariant — donc $k^\mu$ doit se transformer comme un quadrivecteur. Appliquons le changement de référentiel à $(\omega/c, k\cos\theta, k\sin\theta, 0)$ : la composante temporelle donne le Doppler, le rapport des composantes spatiales la formule d’aberration. En posant $\theta' = 90^\circ$ (le rayon transversal du référentiel de la source) : $\cos\theta = \beta$ , c’est-à-dire $\theta \approx 1/\gamma$ pour $\gamma \gg 1$ — la moitié de la sphère se replie dans le cône avant. ∎

L’aberration replie le rayonnement d’une source rapide dans un cône avant de demi-angle 1/ : l’effet phare, et le principe de fonctionnement des sources de rayonnement synchrotron. — L’aberration replie le rayonnement d’une source rapide dans un cône avant de demi-angle $\sim 1/\gamma$ : l’effet phare, et le principe de fonctionnement des sources de rayonnement synchrotron.

Méthode 6.10 (Travailler de façon covariante)

(1) Repérer les quadrivecteurs en jeu ( $x^\mu$ , $P^\mu$ , $J^\mu$ , $A^\mu$ , $k^\mu$ ) et préférer leurs produits invariants aux composantes. (2) Pour transformer les champs, séparer les composantes selon le mouvement et transversalement, puis appliquer Proposition 6.5. (3) Contrôler les deux invariants avant et après — le détecteur d’erreur le plus rapide du domaine. (4) Quand un problème magnétique paraît mystérieux, monter avec la charge : dans son référentiel, seul $\vect E'$ agit. (5) Faire confiance à Maxwell : les équations n’ont jamais besoin de « corrections » relativistes, seulement d’une lecture relativiste.

Une aurore polaire : des charges du vent solaire guidées par le champ magnétique terrestre dans l’atmosphère polaire. Ce qu’un observateur appelle guidage magnétique, un autre l’appelle accélération électrique — les champs se mélangent sous les transformations de ce chapitre.

6.5 Exercices

Exercice 6.1 ★

(a) Transformer $a^\mu = (5, 3, 0, 0)$ (en unités d’un certain $a_0$ ) à $\beta = 0.6$ : calculer $a'^\mu$ et vérifier que $a\cdot a$ est inchangé. (b) Montrer que la somme de deux quadrivecteurs est un quadrivecteur. (c) $(c, \vect v)$ est-il un quadrivecteur pour une particule ? Et $\gamma(c, \vect v)$ ? (d) Pourquoi « le champ électrique » seul ne fait-il partie d’aucun quadrivecteur ?

Solution

Solution de Exercice 6.1.

(a) $\gamma = 1.25$ : $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$ , $a'^1 = 1.25(3 - 3) = 0$ ; $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$ . (b) La transformation est linéaire, elle se distribue donc sur les sommes. (c) $(c, \vect v)$ : non — sa composante « temporelle » serait la même pour toutes les particules alors que le mélange exige autre chose ; $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$ : oui, un quadrivecteur divisé par l’invariant $\dd\tau$ . (d) Les trois composantes de $\vect E$ se mélangent à celles de $\vect B$ , non à un scalaire : les champs remplissent un tenseur à deux indices, non un quadrivecteur.

Exercice 6.2 ★

Un fil de cuivre de section $1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ porte $10\,\mathrm{A}$ ; densité d’électrons de conduction $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (a) Calculer la vitesse de dérive. (b) Écrire $J^\mu$ pour le fluide d’électrons et pour le réseau. (c) Vérifier l’équation de continuité pour chacun. (d) Le fil est neutre : que vaut $J^\mu$ pour le fil entier, et quelle composante survit ?

Solution

Solution de Exercice 6.2.

(a) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Réseau : $(nec, \vect 0)$ ; électrons : $(-nec, -ne\vect u)$ — leur densité de courant $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ pointe à l’opposé de leur dérive, et c’est la direction du courant conventionnel. (c) Les deux sont statiques et uniformes : chaque terme s’annule. (d) Total : $(0, \vect\jmath)$ avec $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — un courant pur sans charge, la configuration qui rend subtile la relativité du fil.

Exercice 6.3 ★

(a) Dans la matrice de $F^{\mu\nu}$ , repérer quelles composantes donnent $E_y$ et $B_x$ . (b) Écrire $F^{\mu\nu}$ pour un champ uniforme pur $\vect B = B\vect e_z$ , puis pour le champ d’une onde plane ( $\vect E = E\vect e_y$ , $\vect B = (E/c)\vect e_z$ ). (c) Vérifier sur les composantes que $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ redonne $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ pour $\mu\nu = 12$ . (d) Pourquoi $F$ doit-il être antisymétrique pour que la force $qF^{\mu\nu}u_\nu$ ne travaille pas dans le référentiel propre de la particule ?

Solution

Solution de Exercice 6.3.

(a) $E_y$ : $F^{20} = E_y/c$ ; $B_x$ : $F^{32} = B_x$ . (b) Pour $\vect B = B\vect e_z$ , seuls $F^{12} = -B$ et $F^{21} = +B$ ; pour l’onde, $F^{20} = E/c$ , $F^{12} = -E/c$ (et leurs partenaires antisymétriques). (c) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y + \partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$ : conforme à la matrice. (d) Le taux de variation d’énergie de la particule vaut $\propto F^{0\nu}u_\nu$ ; dans le référentiel propre $u_\nu = (c, \vect 0)$ et l’antisymétrie impose $F^{00} = 0$ : une force qui ne peut jamais travailler sur une particule au repos — la propriété qui définit la partie magnétique.

Exercice 6.4 ★

Un condensateur plan au repos porte $\vect E = E_0\vect e_y$ , sans $\vect B$ . Donner $\vect E'$ et $\vect B'$ dans un référentiel se déplaçant (a) selon $\vect e_y$ (perpendiculairement aux armatures) ; (b) selon $\vect e_x$ (parallèlement aux armatures), et interpréter le $\vect B'$ qui apparaît comme le champ des charges surfaciques en mouvement ; (c) vérifier les invariants dans le cas (b) ; (d) dans le cas (b), les armatures se contractent aussi : quelles grandeurs ( $\sigma$ ? $E'$ ? l’écartement des armatures ?) changent, et en cohérence avec quoi ?

Solution

Solution de Exercice 6.4.

(a) Changement de référentiel selon le champ : composantes longitudinales inchangées, $\vect E' = E_0\vect e_y$ , $\vect B' = \vect 0$ . (b) Selon $\vect e_x$ : $E'_y = \gamma E_0$ , $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — les armatures défilent maintenant comme des nappes de courant $\pm\sigma'v$ , et deux nappes opposées enferment exactement un tel champ. (c) $E'^2 - c^2B'^2 = \gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$ ; $\vect E'\cdot\vect B' = 0$ : les deux sont conservés. (d) Les armatures se contractent selon $x$ , donc $\sigma' = \gamma\sigma$ , en accord avec $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma E_0$ ; l’écartement, transverse au mouvement, est intact.

Exercice 6.5 ★★

La f.é.m. de mouvement unifiée. Une tige conductrice glisse à $\vect v$ sur des rails à travers un $\vect B$ uniforme. (a) Compte rendu au laboratoire : quelle force pousse les électrons le long de la tige, et quelle f.é.m. en résulte ? (b) Compte rendu dans le référentiel de la tige : quel champ les pousse, et d’où vient-il dans Proposition 6.5 ? (c) Montrer que les deux f.é.m. s’accordent à l’ordre $v/c$ . (d) La règle du flux de Faraday du volume de première année couvrait d’une seule formule les cas « circuit mobile » et « champ variable » : que dit la relativité sur les raisons pour lesquelles cette unification devait fonctionner ?

Solution

Solution de Exercice 6.5.

(a) La force magnétique $-e\vect v\wedge\vect B$ pousse les électrons le long de la tige : f.é.m. $= vBL$ . (b) Dans le référentiel de la tige, celle-ci est au repos — aucune force magnétique sur des charges immobiles — mais la transformation livre $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$ : c’est un honnête champ électrique qui entraîne. (c) $E'L = \gamma vBL \approx vBL$ à l’ordre $v/c$ . (d) Cela devait fonctionner parce que la f.é.m. « de mouvement » et celle « de transformateur » sont un seul phénomène lu dans deux référentiels : la règle du flux, c’est la covariance en habits de 1831 — l’article d’Einstein de 1905 s’ouvre exactement sur cette asymétrie de l’aimant et du conducteur.

Exercice 6.6 ★★

(a) À l’aide de Proposition 6.5, vérifier par le calcul direct que $E'^2 - c^2B'^2 = E^2 - c^2B^2$ pour un changement de référentiel selon $x$ . (b) Vérifier que $\vect E'\cdot\vect B' = \vect E\cdot\vect B$ . (c) Une région porte $\vect E$ et $\vect B$ perpendiculaires avec $E = 2cB$ : trouver le référentiel où le champ est purement électrique (direction et vitesse). (d) Pourquoi aucun référentiel ne peut-il rendre le champ d’une onde plane lumineuse purement électrique ou purement magnétique ?

Solution

Solution de Exercice 6.6.

(a) Les composantes selon $x$ sont intactes ; pour les transverses, $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 + (E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$ ; les termes croisés se compensent et les carrés rassemblent $\gamma^2(1 - \beta^2) = 1$ fois la combinaison non transformée. (b) Même comptabilité sur $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$ . (c) $E^2 - c^2B^2 = 3c^2B^2 > 0$ : on se déplace selon $\vect E\wedge\vect B$ à $v = c^2B/E = c/2$ ; là $B' = 0$ et le champ survivant vaut $E' = E/\gamma = \sqrt3\,cB$ — dont le carré redonne l’invariant, comme il se doit. (d) Une onde lumineuse a ses deux invariants nuls : tout référentiel doit reproduire $E' = cB' \perp$ , jamais un champ pur.

Exercice 6.7 ★★

Champs croisés. Au laboratoire, $\vect E = E\vect e_y$ et $\vect B = B\vect e_z$ avec $E < cB$ . (a) Montrer que le référentiel se déplaçant à $\vect v_{\text{d}} = (E/B)\,\vect e_x$ voit un champ purement magnétique. (b) Décrire le mouvement d’une charge lâchée au repos, vu depuis ce référentiel puis de retour au laboratoire (une cycloïde dérivant à $v_{\text{d}}$ ). (c) Le filtre de vitesse du volume de première année laissait passer sans déviation les particules de vitesse $E/B$ : le retrouver en une ligne à partir de (a). (d) Que se passe-t-il, qualitativement, quand $E > cB$ — et pourquoi l’astuce du référentiel de dérive est-elle alors impossible ?

Solution

Solution de Exercice 6.7.

(a) Avec $v_{\text{d}} = E/B$ : $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) = 0$ ; $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$ : champ purement magnétique, légèrement affaibli. (b) Là-bas : un cercle à $qB'/\gamma m$ ; de retour au laboratoire : ce cercle plus la dérive uniforme — une cycloïde rampant à $E/B$ perpendiculairement aux deux champs, la trajectoire des charges dans un magnétron. (c) Une particule allant exactement à $v_{\text{d}}$ est au repos dans le référentiel de dérive, où le seul champ est magnétique et où elle ne subit rien : aucune déviation. (d) Pour $E > cB$ la dérive requise dépasse $c$ : aucun tel référentiel ; il existe en revanche un référentiel à $E$ pur (exercice précédent) et la charge y est accélérée sans borne le long du champ.

Exercice 6.8 ★★

Le quadrivecteur d’onde $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ . (a) Montrer qu’exiger l’invariance de la phase force $k^\mu$ à se transformer comme un quadrivecteur. (b) Obtenir la formule Doppler longitudinale à partir de sa composante temporelle. (c) Obtenir la formule d’aberration. (d) Aberration de la lumière des étoiles : la Terre orbite à $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; de quel angle la position apparente d’une étoile balaie-t-elle en un an ? (Bradley mesura $20.5''$ en 1728 — la première preuve directe que la Terre se meut.)

Solution

Solution de Exercice 6.8.

(a) La phase $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ compte des événements de passage de crête, un nombre invariant ; elle vaut $k^\mu x_\mu$ , et l’invariance du produit pour tous les $x^\mu$ force $k^\mu$ à se transformer comme un quadrivecteur. (b) $\omega'/c = \gamma(\omega/c - \beta k_x)$ avec $k_x = (\omega/c)\cos\theta$ ; pour $\theta = 0$ , $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ . (c) $\cos\theta' = k'_x/(\omega'/c)$ : la formule annoncée. (d) $\beta = 10^{-4}$ : $20.5''$ ; sur une année la position apparente décrit une ellipse de ce demi-axe angulaire — l’aberration de Bradley.

Exercice 6.9 ★★

Une charge $q$ va à $\vect v = v\vect e_x$ constant, $\gamma \gg 1$ . (a) En transformant le champ de Coulomb, montrer que dans le plan transverse passant par la charge le champ est amplifié à $\gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ à la distance $b$ , tandis que droit devant et droit derrière il est écrasé d’un facteur $1/\gamma^2$ . (b) Montrer qu’un observateur immobile à la distance $b$ voit une impulsion de champ de durée $\sim b/\gamma v$ . (c) Pour un proton du LHC passant à $b = 1\,\mathrm{cm}$ : champ maximal et durée de l’impulsion. (d) En quel sens précis cette impulsion est-elle « presque de la lumière » ? (Vérifier $E' \approx cB'$ et les invariants.)

Solution

Solution de Exercice 6.9.

(a) Dans le référentiel propre, Coulomb ; le changement de référentiel multiplie les composantes transverses par $\gamma$ (dans le plan transverse, $E'_\perp = \gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ ) tandis que le champ selon le mouvement, évalué devant ou derrière à la distance $r$ du laboratoire, correspond à une distance propre $\gamma r$ : réduit de $1/\gamma^2$ . (b) La galette de largeur angulaire $1/\gamma$ défile à $v$ : durée $\sim (b/\gamma)/v$ . (c) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx 0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , pendant $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$ . (d) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ et les deux invariants sont en $O(1/\gamma^2)$ : localement indiscernable d’une impulsion lumineuse — la base de la description en « photons équivalents » des collisions de charges rapides.

Exercice 6.10 ★★★

Poursuivre une onde lumineuse. Une onde plane a $\vect E = E_0\vect e_y \cos(\omega(t - x/c))$ , $\vect B = (E_0/c)\vect e_z\cos(\omega(t - x/c))$ . Un observateur la poursuit à $\beta$ . (a) Transformer les champs : montrer que $E'_0 = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ et $B'_0 = E'_0/c$ . (b) Montrer que la fréquence se transforme du même facteur : l’onde reste une onde, décalée vers le rouge, avec toujours $E' = cB'$ . (c) Que deviennent la densité d’énergie de l’onde (proportionnelle à $E^2$ ) et le nombre de photons ? (d) Conclure : que faudrait-il pour « chevaucher un faisceau lumineux », et quel invariant l’interdit ?

Solution

Solution de Exercice 6.10.

(a) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$ , et $B'_z = E'_y/c$ par la même algèbre. (b) La phase se transforme du même facteur Doppler : même onde isotrope, plus rouge et plus faible. (c) La densité d’énergie décroît comme le carré du facteur Doppler ; le nombre de photons est inchangé — c’est le $h\nu$ de chaque photon qui porte tout le facteur. (d) « Chevaucher l’onde » signifie faire tendre le facteur $\to 0$ avec $\beta \to 1$ : l’onde ne devient jamais statique parce que ses invariants sont nuls — il n’existe aucun référentiel où la lumière s’arrête, et c’est là que la relativité de ce livre a commencé.

Exercice 6.11 ★★★

Le rayonnement synchrotron et la mort des machines circulaires à électrons. Une charge ultrarelativiste sur un cercle de rayon $r$ rayonne la puissance $P = q^2c\gamma^4/6\pi\varepsilon_0r^2$ (admis — la formule de Larmor du volume de deuxième année, transformée). (a) Montrer que l’énergie perdue par tour vaut $\Delta E = q^2\gamma^4/3\varepsilon_0r$ . (b) LEP : des électrons à $100\,\mathrm{GeV}$ sur $r = 3.1\,\mathrm{km}$ : calculer $\gamma$ et $\Delta E$ par tour — quelle fraction de l’énergie du faisceau est rachetée à chaque tour ? (c) LHC : des protons à $6.8\,\mathrm{TeV}$ , même tunnel : calculer $\Delta E$ par tour et comparer. (d) Expliquer, avec le facteur $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$ , pourquoi le successeur des électrons est un collisionneur linéaire ou un anneau bien plus grand, et pourquoi les anneaux à protons survivent.

Solution

Solution de Exercice 6.11.

(a) Par tour, $\Delta E = P \times 2\pi r/c$ : le résultat annoncé. (b) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$ : $\Delta E \approx 2.9\,\mathrm{GeV}$ par tour — trois pour cent de l’énergie du faisceau réinjectés à chaque tour ; les klystrons du LEP formaient le plus grand émetteur radio de la Terre. (c) Protons : $\gamma = 7250$ , $\gamma^4$ plus petit de $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$ : environ $5\,\mathrm{keV}$ par tour — négligeable. (d) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$ : à énergie égale l’électron rayonne $10^{13}$ fois plus ; d’où les collisionneurs linéaires (rayonner une fois, non à chaque tour) ou des anneaux gigantesques pour les électrons, tandis que les anneaux à protons montent tranquillement à $27\,\mathrm{km}$ .

Exercice 6.12 ★★★

Le cyclotron relativiste. Une charge dans un $\vect B$ uniforme, à vitesse relativiste. (a) À partir de $\dd\vect p/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ avec $E$ constante, montrer que l’orbite est un cercle parcouru à $\omega = qB/\gamma m$ : la fréquence cyclotron chute avec l’énergie. (b) Un cyclotron classique pousse à $\omega_0 = qB/m$ fixé : montrer qu’après $N$ tours, $\gamma - 1$ croissant linéairement jusqu’à sa valeur finale $\Gamma$ , le déphasage accumulé atteint le quart de période de la radiofréquence quand $\Gamma \approx 1/2N$ ; pour $N = 100$ tours, à quelle énergie cinétique de proton cela correspond-il, et comment cela se compare-t-il au plafond historique des cyclotrons classiques (quelque $20\,\mathrm{MeV}$ , obtenus avec de la marge et de la tension en plus) ? (c) Deux remèdes existent : faire varier la fréquence (synchrocyclotron) ou façonner $B(r)$ pour qu’il croisse comme $\gamma$ (cyclotron isochrone) : expliquer chacun en une phrase. (d) Le cyclotron isochrone du PSI délivre des protons de $590\,\mathrm{MeV}$ : de quel facteur son champ au bord dépasse-t-il le champ central ?

Solution

Solution de Exercice 6.12.

(a) $|\vect p|$ est constant (pas de travail) ; $\dot{\vect p} = q\vect v\wedge\vect B$ fait tourner $\vect p$ au rythme $qvB/p = qB/\gamma m$ . (b) Déphasage par tour $2\pi(\gamma - 1)$ ; avec $\gamma - 1$ croissant linéairement jusqu’à $\Gamma$ , déphasage total $\approx \pi N\Gamma$ ; un quart de période vaut $\pi/2$ : $\Gamma \approx 1/2N$ . Pour $N = 100$ : $\Gamma = 5 \times 10^{-3}$ , $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — le bon ordre ; les machines réelles l’ont étiré jusqu’à $\sim20\,\mathrm{MeV}$ avec de fortes tensions de dees (moins de tours). (c) Synchrocyclotron : faire descendre la radiofréquence pendant chaque impulsion pour suivre $qB/\gamma m$ . Cyclotron isochrone : laisser $B(r)$ croître $\propto\gamma(r)$ pour que le rapport ne change jamais et que le faisceau reste continu. (d) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$ : le champ au bord doit dépasser le champ central de ce facteur.

6.6 Problème : le magnétisme à pas d’escargot

Problème 6.1

Problème du week-end — comment un déséquilibre de $10^{-24}$ fait tourner tous les moteurs

Les électrons dérivent dans le fil d’une lampe plus lentement que ne coule le miel, et le $v^2/c^2$ de cette dérive vaut $10^{-24}$ — et pourtant la force magnétique qu’elle produit soulève des voitures dans les casses. Ce problème fait la comptabilité complète, dans les deux référentiels, d’un fil rectiligne et d’une charge en mouvement, et débusque la relativité dans chaque électroaimant. Données : fil de cuivre, section $S = 1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ , courant $I = 10\,\mathrm{A}$ , densité d’électrons de conduction $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; charge d’épreuve $q = 1\,\text{µ}\mathrm{C}$ à la distance $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ , se déplaçant parallèlement au fil à $v = 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (une vitesse de faisceau d’ions, pour garder des nombres visibles) ; $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ .

Partie I — La comptabilité au laboratoire.

Calculer la vitesse de dérive $u$ des électrons, et $u^2/c^2$ .
Modéliser le fil par deux densités linéiques superposées : le réseau $+\lambda$ au repos et les électrons $-\lambda$ dérivant à $u$ , avec $I = \lambda u$ . Calculer $\lambda$ .
Calculer $B$ à la position de la charge et la force magnétique $F = qvB$ qu’elle subit — direction comprise, pour $v$ parallèle au courant conventionnel $I$ (rappel : des courants parallèles s’attirent).
Pourquoi n’y a-t-il aucune force électrique au laboratoire ?
Le champ électrique de ce même fil s’il portait une charge nette d’un seul électron en excès par mètre : comparer la force qu’il exercerait sur $q$ à la force magnétique de la question 3, et conclure avec quelle précision la neutralité doit être mesurée avant de pouvoir attribuer un effet au magnétisme.
Une charge de $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ à $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : la force de la question 3 est-elle mesurable ? (Comparer au poids d’un grain de sable, $\sim10^{-6}\,\mathrm{N}$ .)

Partie II — On change de siège. Passons au référentiel de la charge d’épreuve (vitesse $v$ le long du fil).

Dans ce référentiel, quelles sont les vitesses du réseau et des électrons (qui dérivent à l’opposé de $I$ et gagnent donc de la vitesse dans ce changement de référentiel — les composer correctement) ?
Intégré sur la section du fil, le quadricourant par unité de longueur vaut $(c\lambda_{\text{tot}}, I, 0, 0)$ avec $\lambda_{\text{tot}} = 0$ ici. Le transformer et montrer que la densité linéique du fil dans le nouveau référentiel vaut

$\lambda' = -\gamma_v\,\frac{vI}{c^2} .$
Évaluer $\lambda'$ , en coulombs par mètre et en charges d’électron par mètre. Quel flot est devenu plus dense, et pourquoi (contracter chaque flot séparément si vous préférez) ?
Calculer le champ électrique $E' = \lambda'/2\pi\varepsilon_0d$ à la charge, et la force électrique $qE'$ qu’elle subit.
Comparer $qE'$ au $qvB$ du laboratoire de la partie I, et expliquer le facteur résiduel $\gamma_v \approx 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ (la loi de transformation de quel quadrivecteur relie les forces ?).
Dans ce référentiel il y a aussi un champ magnétique (le fil porte toujours un courant) : pourquoi n’exerce-t-il aucune force ici ?

Partie III — La morale des nombres.

Le déséquilibre relatif $|\lambda'|/\lambda$ : le calculer et l’écrire sous la forme $\gamma_v vu/c^2$ .
Comment un effet valant $10^{-19}$ de la charge du fil peut-il produire une force macroscopique ? (Par quel nombre énorme est-il multiplié ?)
Deux fils parallèles portant $10\,\mathrm{A}$ chacun à $1\,\mathrm{cm}$ : calculer la force par mètre et la comparer à la valeur de référence $2 \times 10^{-7}\,I_1I_2/d$ newtons par mètre.
Un électroaimant, c’est dix mille fois cette histoire : estimer le champ d’une bobine de $10^{4}\,$ spires par mètre parcourue par $10\,\mathrm{A}$ (formule du solénoïde du volume de première année), et la force par centimètre carré qu’elle exerce sur du fer ( $\sim B^2/2\mu_0$ ).
Si l’on coupait la relativité ( $c \to \infty$ dans la transformation), que resterait-il de $\lambda'$ , de la force de $B$ , des moteurs et des aimants de casse ?
Pourquoi la charge d’épreuve au repos près du fil ne ressent-elle rien, alors même que les électrons défilent devant elle ? (Quelle compensation la protège, et à quelle précision ?)

Partie IV — Au-delà du fil.

Le volume de deuxième année tirait les champs magnétiques du théorème d’Ampère, les courants étant des sources données. Que ce chapitre ajoute-t-il à ce récit — qu’est le champ magnétique, vu de ce problème ?
Les aimants de fer n’ont pas de pile : qu’est-ce qui tient le rôle du courant dans le magnétisme permanent (une phrase ; la réponse microscopique honnête est quantique et attend cinq chapitres) ?
Un faisceau d’électrons seul dans le vide (sans réseau) : un observateur qui l’accompagne le voit-il s’attirer ou se repousser plus qu’un observateur du laboratoire ? Réconcilier les récits des deux référentiels sur l’auto-pincement d’un faisceau.
Rendre ce dernier point quantitatif : montrer que deux faisceaux parallèles de même charge se déplaçant ensemble à $\beta$ se repoussent avec une force nette (répulsion électrique moins attraction magnétique) réduite exactement de $1/\gamma^2$ par rapport à sa valeur au repos — et dites quel référentiel rend le facteur évident.
L’énergie d’une lampe arrive à une vitesse proche de $c$ alors que ses électrons dérivent d’un mètre par heure : qu’est-ce qui transporte réellement l’énergie le long du cordon (rappeler le vecteur de Poynting du volume de deuxième année) ?
Estimer $vu/c^2$ pour les électrons de ce problème et une charge d’épreuve à allure de piéton ( $v = 1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : même là, la force est mesurable au premier ordre avec une aiguille aimantée — qui a montré qu’un courant dévie une boussole, et en quelle année ?
Résumer le résultat nommé : un fil neutre de $10\,\mathrm{A}$ , observé depuis un siège se déplaçant à $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , porte $-10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ de charge relativiste — et cette erreur de comptabilité d’ordre $10^{-24}$ due à la contraction des longueurs, multipliée par $10^{28}$ électrons, fait toute la force magnétique du laboratoire.

Solution

Solution de Problème 6.1.

1. $u = I/nSe = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $u^2/c^2 = 6 \times 10^{-24}$ . 2. $\lambda = I/u = nSe = 1.36 \times 10^{4}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — quatorze kilocoulombs par mètre dans chaque flot. 3. $B = \mu_0I/2\pi d = 2.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , dirigée vers le fil (des courants parallèles s’attirent). 4. Elles se compensent exactement : $\lambda_{\text{tot}} = 0$ , aucun champ à l’ordre zéro. 5. Un électron en excès par mètre : $E = 2k\lambda_1/d = 2.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , force $2.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{N}$ — $10^8$ fois plus petite que la force magnétique. Le fil pourrait cacher cent millions d’électrons parasites par mètre avant que l’électrostatique ne rivalise avec le magnétisme : attribuer la force à $\vect B$ est sûr. 6. $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , c’est vingt poids de grain de sable : aisément mesurable. 7. Réseau : $-v$ . Électrons (dérivant à $u$ à l’opposé de $I$ , donc à l’opposé du changement de référentiel) : vitesse $(u + v)/(1 + uv/c^2)$ — plus rapides que le réseau. 8. $\lambda' = \gamma_v(\lambda_{\text{tot}} - vI/c^2) = -\gamma_v vI/c^2$ . 9. $\lambda' = -10^{5} \times 10/9 \times 10^{16} = -1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ : environ $7 \times 10^7$ électrons en excès par mètre. Le flot d’électrons, plus rapide dans ce référentiel, est le plus dense — chaque flot se contracte de son propre $\gamma$ . 10. $E' = 2k|\lambda'|/d = 2 \times 9 \times 10^{9} \times 1.1 \times 10^{-11}/0.01 = 20\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , dirigé vers le fil ; force $qE' = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , attractive. 11. Identique à $qvB$ au facteur $\gamma_v = 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ près : exactement la loi de transformation d’une force transverse (la quadriforce), $F_{\text{propre}} = \gamma F_{\text{lab}}$ . 12. Le fil porte toujours un courant (plus grand), donc $\vect B' \neq 0$ — mais notre charge est ici au repos, et un champ magnétique n’a prise que sur des charges en mouvement. 13. $|\lambda'|/\lambda = \gamma_v vu/c^2 = 8.2 \times 10^{-16}$ . 14. Il multiplie $\lambda/e \approx 8.5 \times 10^{22}$ charges élémentaires par mètre : $8.2 \times 10^{-16} \times 8.5 \times 10^{22} \approx 7 \times 10^{7}$ électrons par mètre — macroscopique. La matière est si énormément chargée que sa neutralité tient sur un fil de rasoir ; la relativité fait pencher le rasoir. 15. $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.01 = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — la formule qui définissait jadis l’ampère. 16. $B = \mu_0nI = 4\pi\times10^{-7} \times 10^{4} \times 10 = 0.13\,\mathrm{T}$ ; pression magnétique $B^2/2\mu_0 \approx 6300\,\mathrm{Pa} \approx 0.6\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2}$ : des voitures entières pendent à de la relativité intégrée. 17. $c \to \infty$ tue $\lambda'$ , et avec lui la force, la partie magnétique du champ, les moteurs, les dynamos et les grues de casse : le magnétisme n’a aucune existence non relativiste. 18. Au repos, la charge voit le fil neutre du laboratoire : les deux flots se compensent à la précision près de la neutralité de la matière — connue expérimentalement à une exactitude fantastique — et aucune force n’agit. 19. Que l’image des « sources données » n’était qu’une coupe, propre à un référentiel, d’un tenseur unique : $\vect B$ est la part du champ électromagnétique que le mouvement d’un observateur donné attribue aux courants plutôt qu’aux charges. 20. Le spin de l’électron : chaque électron est un aimant élémentaire (un « courant » intrinsèque et quantique), et le fer est une matière où ces aimants s’alignent — Chapitre 12 et Chapitre 22 y reviennent. 21. Dans le référentiel propre du faisceau la répulsion est purement coulombienne et maximale ; au laboratoire, l’attraction magnétique des courants parallèles la compense presque. Aucune contradiction : la force transverse du laboratoire est celle du référentiel propre divisée par $\gamma$ , et une dynamique ralentie (dilatation du temps) complète le récit. 22. Force nette au laboratoire $= qE_{\text{lab}} - qvB_{\text{lab}} = (1 - \beta^2)qE_{\text{lab}} = F_{\text{Coulomb}}/\gamma^2$ selon la transformation ; dans le référentiel propre le facteur est transparent : de l’électrostatique pure, dont on regarde l’expansion à travers un temps dilaté. 23. Le vecteur de Poynting : l’énergie s’écoule dans les champs autour des conducteurs à une vitesse proche de $c$ , les électrons se contentant de la canaliser ; le cuivre du cordon est un guide, non un tuyau. 24. $vu/c^2 \approx 8 \times 10^{-21}$ — et pourtant Ørsted vit sa boussole tourner près d’un fil en 1820 : le multiplicateur de $10^{22}$ charges était déjà à l’œuvre un siècle avant qu’on sût le nommer. 25. Un fil neutre de $10\,\mathrm{A}$ , vu depuis $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , porte $-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ : l’écart de comptabilité de $10^{-16}$ dû à la contraction des longueurs, multiplié par $10^{23}$ charges par mètre, est la force magnétique — tout le magnétisme est de la relativité auditée à pas d’escargot.

Termes définis dans ce chapitre

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